例5-12(债券久期计算)
债券久期的计算公式
债券久期的计算公式债券久期是指在给定利率环境下，债券现金流的加权平均到期时间。
它是债券价格对利率的敏感性的度量，通常用于估计债券价格的变动。
下面将介绍债券久期的计算公式及其相关概念。
首先需要了解以下几个概念：1.票息支付：债券持有人每年（或每半年）获得的利息支付。
2.本金偿还：债券到期时归还给持有人的本金。
3.利率变化：市场上的利率在其中一时间段内发生的变化。
1.票息久期的计算公式：票息久期表示债券上的现金流与票息支付之间的关联程度。
它衡量的是当利率发生变化时，票息支付变动对债券价格变动的敏感性。
票息久期的计算公式为：票息久期=(每期现金流的现值乘以到期时间的加权平均值)/债券的当前价格计算公式中的每期现金流的现值表示债券每一期的利息支付，到期时间表示从当前时间到每一期现金流到期的剩余时间。
2.本金久期的计算公式：本金久期表示债券价格与本金偿还之间的关联程度。
它衡量的是当利率发生变化时，本金偿还对债券价格变动的敏感性。
本金久期的计算公式为：本金久期=(每期现金流的现值乘以到期时间的加权平均值)/债券的当前价格计算公式中的每期现金流的现值表示债券每一期给予持有人的本金偿还，到期时间表示从当前时间到每一期现金流到期的剩余时间。
3.债券久期的计算公式：债券久期是票息久期和本金久期之和。
债券久期=票息久期+本金久期债券久期=[(每期现金流的现值乘以到期时间的加权平均值)/债券的当前价格]+[(每期现金流的现值乘以到期时间的加权平均值)/债券的当前价格]票息久期和本金久期的计算公式非常相似，只是现金流的现值乘以到期时间的加权平均值的计算方式有所不同。
在实际计算中，可以使用电子表格软件（如Excel）中的内置函数来计算债券久期。
这些函数包括NPV（现值）、WEIGHTED AVERAGE（加权平均）等。
需要注意的是，久期只是一种理论上的估算值，并不代表实际到期时间。
实际情况中，债券的回收率、违约风险等因素可能会对久期产生影响。
债券的久期和凸性
)
D D* 1 y
D为Macaulay久期，D*为修正久期，当y很小时，二者近似相等。
精选ppt
4
债券的久期
dP/ P D D* dy 1 y
D
T t1
t
[
Ct (1 y)t
/
T t1
Ct (1 y)t
]
其中，wt为t时期的权重
T
t wt
t1
久期是对债券价格对利率敏感性的度量，久期越大同样利率 变化引起的债券价格变化越大
2. 到期收益率越大（息票率越大），则凸性越小 3. 到期日越远（同等次数、同等量的现金流但支
付越分散），凸性越大。 4. 凸性减少了债券的波动性。
精选ppt
30
债券的凸性
凸性具有减少久期近似误差的性质。利率变化引起债券 价格实际上升的幅度比久期的线性估计要高，而下降的幅 度要小。因此，在其他条件相同时，人们应该偏好凸性大 的债券。
根据泰勒公式
p(y) dP 1 dy 1 1 d2P(dy)2 p dy p 2 p dy2
Ddy 1c(dy)2 2
精选ppt
31
债券的凸性
例 到期收益率 调整久期
5％ 4.33年
债券价格 凸性
100 26.3849
给定以上数据，当到期收益率上升到7％时，债券的价格将如何变化？
pD D*py4.331002%8.66
凸性的意义：在久期给定的情况下，凸性反映 了债券带来的现金流的集中程度，现金流越集中凸 性越小，现金流越分散则凸性越大。 注意：久期是平均意义上的到期时间。
凸性是指在某一到期收益率下,到期收益率发 生变动而引起的价格变动幅度的变动程度。
精选ppt
债券久期计算范文
债券久期计算范文债券久期是债券的一个重要指标，用于衡量债券价格对利率变动的敏感度。
在债券投资中，了解债券久期的计算方法和影响因素对于投资者做出明智的投资决策至关重要。
首先，我们需要了解什么是债券久期。
债券久期是一个衡量债券价格对利率变动的敏感度指标。
它告诉投资者，在债券持有到期之前，每一次1%的利率变动对债券的价格有多大的影响。
债券久期越长，利率变动对债券价格的影响越大，债券的价格波动性越高。
债券久期的计算方法有多种方式，其中最常见的是修正久期。
修正久期考虑了债券的剩余期限、每期现金流量和债券价格。
以一个简单的固定利率债券为例，债券期限为N年，票息率为C，面值为F，债券的价格为P。
首先，我们需要计算债券的现金流量，即每年的票息支付和到期时的回本支付。
然后，乘以各期现金流量的加权比例，得到修正久期。
修正久期的计算公式如下：修正久期=∑[t*CFt/(1+r)^t]/P其中，t代表现金流发生的时间点，CFt表示现金流，r表示久期的折现率，P表示债券的价格。
在计算修正久期时，需要注意的是，债券价格和利率有着相反的变动关系，即债券价格上升，利率下降；债券价格下降，利率上升。
因此，在计算修正久期时，利率应该取负值。
为了更好地理解债券久期的概念和计算方法，我们来看一个具体的例子。
假设一只债券面值为1000元，期限为5年，票息率为5%，即每年支付50元的票息。
当前市场利率为6%。
根据这些信息，我们可以计算出该债券的修正久期。
首先，我们需要计算每一年的现金流。
在第1年、第2年、第3年、第4年，债券发行人分别支付50元的票息，第5年支付50元的票息和面值1000元的本金回收。
其次，我们需要计算每一年现金流的加权比例。
由于每一年现金流的发生时间点相等，所以加权比例为1/5=0.2然后，我们需要将现金流按照久期的折现率折现，即除以(1+r)^t。
在这个例子中，折现率r等于市场利率-利息率，即6%-5%=1%。
现金流折现后，我们可以得到如下结果：第1年现金流：50/(1+1%)^1=49.5第2年现金流：50/(1+1%)^2=48.5第3年现金流：50/(1+1%)^3=47.5第4年现金流：50/(1+1%)^4=46.6第5年现金流：(50+1000)/(1+1%)^5=1053.1最后，我们将每一年的现金流乘以加权比例，并将结果相加，即可得到修正久期的计算结果：修正久期=[1*(49.5)+2*(48.5)+3*(47.5)+4*(46.6)+5*(1053.1)]/(1000)=4.23年根据修正久期的计算结果，我们可以得出以下几点分析：1.该债券的修正久期为4.23年，表示在当前市场利率下，每次1%的利率变动将导致债券价格的大约4.23%的变动。
投资学 实验六 债券久期的计算
实验六：债券久期的计算一、实验目的通过运用Excel软件，掌握债券久期、修正久期和凸度的计算，根据计算结果分析债券久期的影响因素，并且能够根据数据建立动态计算的债券久期模型，预测债券价格。
二、实验内容运用Excel软件，根据确定的数据，通过在Excel软件中输入有关债券久期、修正久期和凸度等公式计算相关的数值，通过对数值的观察，建立动态的久期分析模型。
最以后根据以上的实验结果来精确地预测出债券的未来价格。
三、实验步骤（一）基本久期的计算假设有两个债券，债券A刚刚发行，起面值1000元，票面利率与市场利率相同，均为7%，期限为10年。
债券B是五年前发行的，其面值为1000元，票面利率为11%，期限为15年，还有10年到期。
计算债券A与债券B的久期。
计算步骤：1、建立工作表，输入数据。
在B2、E2、A5：B14和E5：E14单元格中输入相应的数据。
2、计算债券A和B的价格。
分别在B16和E16单元格中输入NPV函数，选择计算区域，按确定，计算债券A和B的价格（如图）。
3、债券A、B的久期计算。
分别在C5和E5单元格输入公式=A5*B5/($B$16*(1+$B$2)^A5)、=A5*E5/($E$16*(1+$B$2)^A5),通过自动填充单元格命令格式求出C5和F5单元区域的数据（如图）。
分别在C16和F16单元格输公式=SUM（C5：C14）和=SUM（F5：F14），按回车键，分别算出债券A和B的久期（如图）。
从计算结果来看，虽然债券A与债券B的到期期限都是10年，但债券A的久期大于债券B的久期。
（二）久期作为债券价格相对利率的弹性的计算。
已知债券A刚刚发行，其面值为1000元，票面利率为7%，期限为10年；债券B是5年前发行的，其面值为1000元，票面利率为11%，期限为15年，还有10年到期。
假设市场利率（贴现率）从当前的7%增加到7.02%。
请计算：（1）计算债券A与债券B的市场价格变化率；（2）作为债券价格相对市场利率的弹性来估计债券A、B的久期。
久期例题
例 久期的计算
设有两种债券，面值均为1000元，均还有两年到期： 债券A 的息票率8%，利息支付半年一次，债券B 为零息债券。
年利率为10%，试计算这两种债券的久期。
第4列的权重根据wt=[PV(Ct)]/P 计算
PV (C t ) (4)
权重38.095 0.039536.281 0.037634.553
0.0358855.611 0.8871964.54 1000
T PV(C P
+
+
连续复利是指在期数趋于无限大的极限情况下得到的利率，此时不同期之间的间隔很短，可以看作是无穷小量。
设本金为p 0 ，年利率为r ，当每年含有m 个复利结算周期（若一个月为一个复利结算周期，则m=12，若以一季度为一个复利结算周期，则m=4）时，则n 年后的本利和为：
所以当连续复利本利和公式为：
即：
在连续复利下，久期的表达式可以写成：
1
1
1
1
D i
i
i rt n
n
rt i i i i n rt i i i
t c t e
c t e p c e ---=====∑
∑∑1mn
nr r/m
mn 00r r p =p 1p 1m m ⎛
⎫⎛
⎫+=+ ⎪
⎪
⎝⎭
⎝⎭
1/000r r lim 1lim 1m m nr
mn
r m
nr n m m p p p p e →∞→∞⎡
⎤
⎛
⎫⎛⎫⎢⎥=+=+= ⎪
⎪
⎢⎥⎝⎭
⎝⎭
⎣
⎦
00nr n nr
n p p e p p e -==。
债券久期计算-计算债券久期例题
债券久期计算-计算债券久期例题例：假设债券A刚发行，其面值为1000元，市场利率（贴现率8%），票面利率为8%，期限为十年。
债券B是5年前发行的，其面值为1000元，票面利率12%，期限为15年，还有10年到期。
计算：1债券A与债券B的价格2计算债券A和B的久期三种方法1）运用久期的定义：久期作为现金流支付时间的加权平均（2）将久期看作债券价格对贴现率的弹性3）运用久期函数3计算债券A，B的修正久期4如果市场利率上升10%，即从8%上升到8.8%，求债券A与债券B的价格的变化久期（n）一、久期(n)的概念久期的概念最早是XXX(Macaulay)在1938年提出来的，所以又称马考勒久期（简记为D）。
马考勒久期是使用加权平均数的形式计算债券的平均到期时间。
它是债券在未来产生现金流的时间的加权平均,其权重是各期现金值在债券价格中所占的比重。
具体的计算将每次债券现金流的现值除以债券价格得到每一期现金支付的权重，并将每一次现金流的时间同对应的权重相乘,最终合计出整个债券的久期。
XXX、XXX和XXX在随后的若干年独立地发现了久期这一理论范畴，特别是XXX和XXX将久期用于衡量资产/负债的利率敏感性的研究，使得久期具有了第二种含义，即：资产针对利率变化的价格变化率。
久期--的第二个含义是债券投资管理中的一个极其重要的战略----“免疫战略”的理论基础，根据该战略，当交易主体债券组合的久期与债务的持有期相等的时候，该交易主体短期内就实现了“免疫”的目标，即短期内的总财产不受利率波动的影响。
但是应用这一战略的前提则是，现有久期观点能否正确地衡量未来任何利率变动情形下债券代价的变动情况。
二、马考勒久期的计算公式公式1)其中，D是马考勒久期，B是债券当前的市场价格，PV （Ct）是债券未来第t期可现金流（利息或资本）的现值，T是债券的到期时间。
需要指出的是在债券发行时以及发行后，都可以计算马考勒久期。
计算发行时的马考勒久期，T（到期时间）等于债券的期限；计算发行后的马考勒久期，T（到期时间）小于债券的期限。
久期——精选推荐
久期(Duration)的概念久期的概念最早是马考勒(Macaulay)在1938年提出来的，所以又称马考勒久期（简记为D）。
马考勒久期是使用加权平均数的形式计算债券的平均到期时间。
它是债券在未来产生现金流的时间的加权平均,其权重是各期现金值在债券价格中所占的比重。
具体的计算将每次债券现金流的现值除以债券价格得到每一期现金支付的权重，并将每一次现金流的时间同对应的权重相乘,最终合计出整个债券的久期。
马考勒久期的计算公式(公式1)其中，D是马考勒久期，B是债券当前的市场价格，PV（Ct）是债券未来第t期现金流（利息或资本）的现值，T是债券的到期时间。
需要指出的是在债券发行时以及发行后，都可以计算马考勒久期。
计算发行时的马考勒久期，T（到期时间）等于债券的期限；计算发行后的马考勒久期，T（到期时间）小于债券的期限。
任一金融工具的久期公式一般可以表示为[1]：(公式2)其中：D为久期；t为该金融工具现金流量所发生的时间；C t为第t期的现金流；F为该金融工具的面值或到期日价值；n为到期期限；i是当前的市场利率。
实际上，公式(公式3)的分母正是该金融工具的市场价值，因此，久期公式又可表示为：(公式3)其中：P表示该金融工具的市场价值或价格。
[编辑]久期的计算过程举例[1]下面试举一例来说明久期的计算过程。
假设面额为1000元的3年期变通债券，每年支付一次息票，年息票率为10%，此时市场利率为12%，则该种债券的久期为：(年)如果其他条件不变，市场利率下跌至5%，此时该种债券的久期为：(年)同理，如果其他条件不变，市场利率上升至20%，此时久期为：(年)再者，如果其他条件不变，债券息票率为0，那么：(年)从上面的计算结果可以发现，久期随着市场利率的下降而上升，随着市场利率的上升而下降，这说明两者存在反比关系。
此外，在持有期间不支付利息的金融工具，其久期等于到期期限或偿还期限。
那些分期付息的金融工具，其久期总是短于偿还期限，是由于同等数量的现金流量，早兑付的比晚兑付的现值要高。
债券的价格波动性与久期
二、久期
（四）对久期的解释 2、久期是一阶导数 • 对上式求价格P对收益率y的导数，经 整理得
tCFt 1 dP dy = − ∑ (1 + y )t 1 + y t =1
n
二、久期
（四）对久期的解释 2、久期是一阶导数 • 将上式两边同除以P可得
1 n tCFt (dP dy )(1 P ) = − (1 P ) ∑ t 1 + y t =1 (1 + y )
二、久期
（四）对久期的解释 1、久期是一种时间度量 • 麦考利久期的计算公式可写为
PVCFn PVCF1 PVCF2 D= ×1 + × 2 +L+ ×n 价格 价格 价格
PVCFt =∑ ×t t =1 价格
n
二、久期
（四）对久期的解释 1、久期是一种时间度量 • 作为一种度量标准，用年数来表示久 期没有错，但是对于久期的正确理解 就是：久期是有确定到期年限的零息 票债券的价格波动性，其中的到期年 限是用久期计算出来的年数。
二、久期
（三）麦考利久期和修正久期 • 修正久期公式还可以表示为 1 1× PVCF1 + 2 × PVCF2 + L + n × PVCFn (1 + 收益率 / k ) k × 价格 • • • • k——每年付息次数 n——到期前期数 收益率——债券的到期收益率 PVCFt——第t期现金流量以到期收益率折现 的现值
= 10.98 修正久期
*
1× PVCF1 + 2 × PVCF2 + L + n × PVCFn D= k × 价格
1 D = × 10.98 = 10.66 (1 + 6% / 3)
债券久期
四、有效久期
• 有效久期是用来衡量市场利率变化增量 对价格变化的敏感度。
• 有效久期=-（△P/P）/△r • 假设有一种赎回价格是1050元的可赎回 债券以980元的价格出售，如果市场利率上 升0.5%，债券价格将会降至930元；如果利 率下降0.5%，债券价格会升至1010元，计 算有效久期？
2．利用财务计算器计算久期方法
• 解答：第一步，计算债券的价格：利用财务计算 器N=2，I/y=6，PMT=5，FV=100，CPT PV=? • 2N,6I/y,5PMT,100FV; CPT PV =98.17。 • 第二步，分别计算w1、w2: • 第1年折现值： 1N,6I/y,5PFV; CPT PV =4.72 • 第2年折现值： 2N,6I/y,105FV; CPT PV =93.45 • 第1年折现比重： w1=4.72/98.17=0.0481 • 第1年折现比重： w2=93.45/98.17=0.9519 • 第三步，计算D值: • D=1×0.0481+2×0.9519=1.9519
• 任一金融工具的久期公式一般可以表示为:
• •
分子相当于将债券持有期间各期现金流 折现后，乘以现金流发生期，即第几期； 分母相当于将债券持有期各项现金流折现 之和，即债券当前市场价值（市场价格）； 久期就是各项现金流折现乘以现金流发生 期与债券当前市场价值的加权比值。
• 其中：D为久期；t为该金融工具现金流量所发生 的时间；Ct为第t期的现金流；F为该金融工具的 面值或到期日价值；n为到期期限；i是当前的市 场利率。实际上，上面公式的分母正是该金融工 具的市场价值，因此，久期公式又可表示为： •
四、有效久期
• △r=上涨利率-下降利率 • =0.5%-（-0.5%） • =1% • △P=利率上涨时的价格-利率下跌时的价格 • =930-1010 • =-80（元） • 有效久期=-（△P/P）/△r • =（-80/980）/1% • =-8.16 • 有效久期为8.16，意味着利率每变化1%将引起债券 价格变化8.16%。
债券久期计算
债券久期计算在金融领域，债券是一种常见的投资工具。
对于投资者来说，了解债券的各种特性和指标至关重要，其中债券久期就是一个关键的概念。
债券久期不仅能帮助投资者评估债券价格对利率变动的敏感性，还能为投资决策提供重要参考。
那么，什么是债券久期？又该如何计算呢？首先，我们来理解一下债券久期的基本概念。
简单来说，债券久期是衡量债券价格对利率变动敏感性的一个指标。
它反映了债券现金流的平均回收时间。
为了更深入地理解债券久期，我们需要先了解债券的一些基本特征。
债券通常会在未来的特定时间点向投资者支付固定的利息，并在到期时偿还本金。
这些利息和本金的支付构成了债券的现金流。
接下来，我们探讨一下债券久期的计算方法。
目前，常用的债券久期计算方法主要有麦考利久期和修正久期。
麦考利久期的计算相对复杂一些。
它的计算公式是：麦考利久期＝（各期现金流现值×时间加权求和）÷债券价格现值。
我们通过一个简单的例子来看看麦考利久期的计算过程。
假设某债券每年支付利息 50 元，期限为 3 年，面值 1000 元，当前市场利率为8%。
首先，计算每年利息的现值。
第一年利息的现值＝ 50 ÷（1 ＋ 8%）＝ 4630 元；第二年利息的现值＝ 50 ÷（1 ＋ 8%）²＝ 4287 元；第三年利息的现值＝ 50 ÷（1 ＋ 8%）³＝ 3969 元。
然后，计算本金的现值＝ 1000 ÷（1 ＋ 8%）³＝ 79383 元。
接下来，计算各期现金流现值乘以时间的加权和：（4630×1）＋（4287×2）＋（3969×3 ＋ 79383×3）＝ 277874 元。
最后，计算债券价格现值＝ 4630 ＋ 4287 ＋ 3969 ＋ 79383 ＝92269 元。
则麦考利久期＝277874 ÷ 92269 ≈ 299 年。
久期
7.72 7.14 6.62 6.13 5.67 63.02 104.62
15.43 21.43 26.46 30.63 34.03 378.10 514.42
5
加总
DN =(514.42/104.62)=4.92（年）
久期与债券到期期限、票息率、及市场利率之间的关系 一、 久期与债券到期期限的关系 零息票债券的久期等于到它的到期时间 如果给定市场利率和票息率，久期与债券到期期限的关系： 债券的到期期限越长，久期也越长。 如图，当市场利率为8％，而票息率为7%的债券的久期随着 到期期限的变化5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 债券到期期限
7
三、 久期与债券票息率之间的关系 如果给定市场利率，久期与债券票息率之间的关系是： 票息率越低，久期越长。
如图，市场利率为7%的债券的久期随着债券票息率的变化 关系。
12 10 8 票息率5% 票息率7% 票息率9%
因而债券息票收入再投资收益率的变动是问题的关键。
11
11
久期免疫原理
利率变化引起债券资本利得与票息再投资收益呈反方向变化
市场利率 ，债券价格 ，而票息再投资收益 。 市场利率 ，债券价格 ，而票息再投资收益 。
免疫策略即无论利率怎样变化，皆不影响原有债券投资产生价值变动， 即： 债券的价格波动风险与再投资风险的替代关系，使投资人在特定 投资时间内获得固定报酬。 McEnaIIy(1980)发现复收益率是到期收益率（YTM）和再投资收益率 （RY）的加权平均： 复收益率= (D/H)YTM + [1-(D/H)]RY
17
第二种债券在第1年年末的利息再投资价值 ＝9×38712.79×(1+i％)2 第二种债券在第2年年末的利息再投资价值 ＝9×38712.79×(1+i％) 第二种债券在第3年年末的利息 ＝9×38712.79 第二种债券在第3年年末的出售价格 ＝109×38712.79/(1+i％)3+9×38712.79/(1+i ％)2+9×38712.79/(1+i％) 在3年时点的债券组合价值
金融市场学第五章债券价值分析
⏹债券价值分析⏹贴现债券(Pure discount bond)⏹定义贴现债券，又称零息票债券 (zero-coupon bond)，是一种以低于面值的贴现方式发行，不支付利息，到期按债券面值偿还的债券。
⏹贴现债券的内在价值公式其中，V代表内在价值，A代表面值，y是该债券的预期收益率，T是债券到期时间。
⏹直接债券(Level-coupon bond)⏹定义直接债券，又称定息债券，或固定利息债券，按照票面金额计算利息，票面上可附有作为定期支付利息凭证的息票，也可不附息票。
最普遍的债券形式⏹直接债券的内在价值公式其中，c是债券每期支付的利息。
⏹统一公债 (Consols)⏹定义统一公债是一种没有到期日的特殊的定息债券。
最典型的统一公债是英格兰银行在18世纪发行的英国统一公债 (English Consols)，英格兰银行保证对该公债的投资者永久期地支付固定的利息。
优先股实际上也是一种统一公债⏹统一公债的内在价值公式⏹判断债券价格被低估还是或高估——以直接债券为例⏹方法一：比较两类到期收益率的差异预期收益率（appropriate yield-to-maturity ）：即公式（2）中的y承诺的到期收益率（promised yield-to-maturity ）：即隐含在当前市场上债券价格中的到期收益率，用k表示如果y>k，则该债券的价格被高估；如果y<k，则该债券的价格被低估；当y= k时，债券的价格等于债券价值，市场也处于均衡状态。
⏹判断债券价格被低估还是或高估——以直接债券为例⏹方法二：比较债券的内在价值与债券价格的差异NPV ：债券的内在价值 (V) 与债券价格 (P) 两者的差额，即当净现值大于零时，该债券被低估，买入信号。
当净现值小于零时，该债券被高估，卖出信号。
债券的预期收益率近似等于债券承诺的到期收益率时，债券的价格才处于一个比较合理的水平。
⏹例5-12⏹假设：5种债券，期限均为20年，面值为100元，息票率分别为4%、5%、6%、7% 和 8% ，预期收益率都等于7% ，可以利用式 (2) 分别计算出各自的初始的内在价值。
第九章_债券久期的基本概念_2022年学习资料
全融工程课程-例题9-2：已知某种债券当前的市场价格为125美元，当前的市场年利率为5%，-债券的久期为4 6年，求：如果市场利率上升40个基点，债券的市场价格将发生-怎样的市场变化？-解：PB-=125美元-i= %-DM=4.6年-△i=+0.004-△PB≈-DMPs△i=-4.6×125×0.004=-2.3美元 更加精确的计算结果为：-AP:=--yPEAi=-=-2.19美元-1+i-1.05-11
全融工程课程-久期的定义及其用途-1当利率发生变化时，迅速对债券价格变化或债券资产组合价-值变化作出大致的 计。-2风险管理。-4
全融工程课程-二、麦考利久期Macaulay Duration的计算-1麦考莱久期估算法-将久期表述为债券 金流的时间加权现值之和与现金流的总现值-的比率。-∑时间加权现值-tP-2-5
四、久期的数学解释-全融工程课程-市场利率的波动是债券价格变动的主要原因。如果将债券的价格看成是市场利率函数，记为，-PB PEi-△PB≈-dPB-.△i-di-D=--△Pa=-D·PB·△i-债券的价格的 化等于债券的修正久期乘以债券的价格再乘以市场利-率的变化-12
五、凸度-全融工程课程-久期实际描述的是债券价格对市场利率的一阶导数关系；-债券价格对市场利率的二阶导数关 即为凸度-P&-6-△i-13
全融工程课程-两个常用术语：-PB一一一债券的现行价格，△P。一一一债券的价格变动-D一一一债券的久期；△ 一一一预期利率的变动-DM-1-1+i-D*称为修正久期-D**美元久期=D*修正久期XPB-2-米米-A B=-DPs△i=-D-3-8
第五章 久期和凸度 《金融工程学》PPT课件
D麦 1 r
=
1 r
（5—14）
r
5.1久期
➢ 5.1.3久期值的计算方法
1）列表法，这便是上文所有计算久期的方法。
2）封闭式久期计算法
D麦=
C
(1
r)n 1 (1 r) r2(1 r)n
rn
F n (1 r)n
P
（5—15）
C表示息票额，F表示面值，r表示到期收益率，n表示债券剩余期限
付息次数，P表示债券价格
5.1久期
➢ 3）有效久期计算法
（1）有效久期是1996年弗兰克法波齐（Frank Fabovi）提出的。
（2）有效久期≈D修（条件：收益率发生很小变动，收益率曲线平
滑）。 （3）计算公式D有效=
P _ P P0(R R _)
（5—17）
其中，P指收益率下降x个基点债券价格，P+ 指收益率上升x个基点时
5.1久期
➢ 5.1.6风险免疫（risk immunization） ➢ 3）风险免疫策略
（1）有特定目标期限的风险免疫。 （2）资产负债管理的风险免疫。
➢ 4）风险免疫的本质
使资产组合的久期与负债组合的久期期限相等，从而使净资产值不 受利率变化的影响。
5.1久期
➢ 5.1.7基于久期的套期保值策略
D2
（5—21）
其中，W1表示第一份债券价值所占总价值的比例，W2表示第二份债券价值
所占总价值的比例
【例5—7】一个资产组合由B1和B2组成，它们的价格、收益率、久期分别 是：
P1=90，D1=0.58；P2=110，D2=1.76 DM=W1 D1＋W2 D2= ×0.58＋ ×1.76=0.261＋0.968=1.229
债券久期计算-计算债券久期例题
债券久期计算-计算债券久期例题本文介绍了债券久期的计算方法和概念。
首先，通过一个例子，介绍了如何计算债券的价格和久期。
其次，讲解了久期的两个含义，即加权平均到期时间和资产/负债的利率敏感性。
最后，给出了马考勒久期的计算公式和一般久期公式。
久期是一种衡量债券现金流支付时间的加权平均的方法。
它是债券在未来产生现金流的时间的加权平均，其权重是各期现金值在债券价格中所占的比重。
久期的计算方法有三种，分别是久期的定义、将久期看作债券价格对贴现率的弹性和运用久期函数。
其中，马考勒久期是最早提出的久期计算方法之一，其计算公式为：D = [PV(1) x 1 + PV(2) x 2 +。
+ PV(T) x T] / B。
需要指出的是，在债券发行时以及发行后，都可以计算马考勒久期。
久期的另一个含义是资产/负债的利率敏感性。
___、___和___在随后的若干年独立地发现了久期这一理论范畴，特别是___和___将久期用于衡量资产/负债的利率敏感性的研究。
根据“免疫策略”，当交易主体债券组合的久期与债权的持有期相等的时候，该交易主体短期内就实现了“免疫”的目标，即短期内的总财富不受利率波动的影响。
但是运用这一策略的前提则是，现有久期概念能否正确地衡量未来任何利率变动情景下债券价格的变动情况。
总之，久期是债券投资管理中的一个重要概念，能够帮助投资者衡量债券的价格和利率敏感性。
支付现金流的时间和利率水平密切相关。
久期越长，债券价格对利率变化的敏感性越高，反之亦然。
因此，投资者可以利用久期来评估债券的风险和收益，并根据市场情况进行相应的投资调整。
在债券分析中，久期已经超越了时间的概念，投资者更多地把它用来衡量债券价格变动对利变化的敏感度，并且经过一定的修正，以使其能精确地量化利率变动给债券价格造成的影响。
修正久期越大，债券价格对收益率的变动就越敏感，收益率上升所引起的债券价格下降幅度就越大，而收益率下降所引起的债券价格上升幅度也越大。
久期计算公式范文
久期计算公式范文久期是衡量债券价格变动对于市场利率变动的敏感度的一种指标。
在投资中，债券久期的计算对于投资者做出决策至关重要。
下面将介绍久期计算的公式及具体步骤。
首先，我们需要明确久期的含义。
久期是一个衡量债券现金流量的平均期限的指标，反映了债券价格对利率波动的敏感度。
当利率上升时，债券价格下降；当利率下降时，债券价格上升。
久期较短的债券对利率变动的敏感度较小，而久期较长的债券对利率变动的敏感度较大。
接下来，我们将介绍久期的计算公式。
1.久期的基本公式是：久期=∑(t*CF_t)/P其中，t表示每期现金流发生的时间，CF_t表示在第t期的现金流量，P表示债券的当前市场价格。
这个基本公式适用于固定利率的债券。
2. 对于零息债券（zero-coupon bond），这个公式可以简化为：久期=N/(1+r)^t其中，N表示债券的面值，r表示债券的年利率，t表示债券的剩余期限。
3. 对于浮息债券（floating-rate bond），久期的计算则比较复杂，需要考虑到利率变动对债券现金流量的影响。
下面，我们以一个实例来说明久期的具体计算步骤。
假设我们有一张面值为1000元，到期期限为5年，票面利率为5%的固定利率债券。
当前市场价格为950元。
债券每年支付一次利息，利息税前计算。
1.首先，我们需要根据债券的面值和票面利率计算出每年的利息收入。
在这个例子中，每年的利息收入为1000*5%=50元。
2.接下来，我们需要计算每年的现金流量与各自的时间加权，即t*CF_t。
在这个例子中，第1年的现金流量为50元，时间加权为1*50=50；第2年的现金流量为50元，时间加权为2*50=100；以此类推，直到第5年。
将这些现金流量与时间加权相加，得到总现金流量与时间加权的和。
3.最后，将总现金流量与时间加权的和除以债券的当前市场价格，即可得到债券的久期。
通过以上步骤的计算，我们可以得到这张债券的久期。
久期的计算是投资中的一个重要工具，可以帮助投资者理解债券价格对于利率波动的敏感性。
久期例题
例 久期的计算
设有两种债券，面值均为1000元，均还有两年到期： 债券A 的息票率8%，利息支付半年一次，债券B 为零息债券。
年利率为10%，试计算这两种债券的久期。
第4列的权重根据wt=[PV(Ct)]/P 计算
PV (C t ) (4)
权重38.095 0.039536.281 0.037634.553
0.0358855.611 0.8871964.54 1000
T PV(C P
+
+
连续复利是指在期数趋于无限大的极限情况下得到的利率，此时不同期之间的间隔很短，可以看作是无穷小量。
设本金为p 0 ，年利率为r ，当每年含有m 个复利结算周期（若一个月为一个复利结算周期，则m=12，若以一季度为一个复利结算周期，则m=4）时，则n 年后的本利和为：
所以当连续复利本利和公式为：
即：
在连续复利下，久期的表达式可以写成：
1
1
1
1
D i
i
i rt n
n
rt i i i i n rt i i i
t c t e
c t e p c e ---=====∑
∑∑1mn
nr r/m
mn 00r r p =p 1p 1m m ⎛
⎫⎛
⎫+=+ ⎪
⎪
⎝⎭
⎝⎭
1/000r r lim 1lim 1m m nr
mn
r m
nr n m m p p p p e →∞→∞⎡
⎤
⎛
⎫⎛⎫⎢⎥=+=+= ⎪
⎪
⎢⎥⎝⎭
⎝⎭
⎣
⎦
00nr n nr
n p p e p p e -==。