第一章-三角形的证明教案
初中数学_三角形证明的复习教学设计学情分析教材分析课后反思
北师大版初中数学八下第一章《三角形的证明复习课》教学设计北师大版初中数学八年级下册第一章三角形的证明复习课第一课时一、学生学情分析学生在本章学习并证明完成了全部8条基本事实，并学习了三类特殊的三角形------等腰三角形，等边三角形，直角三角形。
通过对这三类三角形性质和判定的探索与证明积累了一定的探索经验，并继续深入学习证明的方法和格式；多数学生已经了解证明的必要性，具备了证明命题是否成立的探索经验的基础.同时已经具备了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力.再将文字语言与图形语言，符号语言转换方面也有了很大提升。
八年级学生已有合情推理，慢慢的侧重于演绎推理，在经历了对八条基本事实时的探究，证明过程中，积累了更多的活动经验。
在学习了本章后，无论是对证明的必要性的体会，对证明严谨性以及证明思路的多样性上都有了长足的进步。
具备自己整理知识，进行知识梳理，逐渐将学习内容纳入知识体系的能力。
二、教学任务分析教科书要求教学活动中应注重让学生体会到证明是原有探索活动的自然延续和必要发展，引导学生从问题出发，根据观察、试验的结果，发现证明的思路.经过一个阶段的学习，有必要对有关知识进行回顾与思考，引导学生回顾总结本章学习的主要内容及其蕴含的数学思想，并思考这些内容获得的过程，帮助学生逐步构建知识体系，养成回顾与反思的学习习惯。
本节课的教学目标是：1．知识目标：在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思路和方法，尺规作图等.2．能力目标：进一步体会证明的必要性，发展学生的初步的演绎推理能力；进一步掌握综合法的证明方法，结合实例体会反证法的含义；提高学生用规范的数学语言表达论证过程的能力.3．情感价值观要求通过积极参与数学学习活动，对数学的证明产生好奇心和求知欲，培养学生合作交流的能力，以及独立思考的良好学习习惯.4．重点与难点重点：1.构建本章知识内容框架，发现其中关联2.通过对典型例题的讲解和课堂练习对所学知识进行复习巩固难点：是本章知识的综合性应用对学生来讲是难点。
直角三角形全等的判定 优秀教案
《直角三角形全等的判定》教学设计第一章三角形的证明2．直角三角形（二）一、学情分析及内容解析学生在学习直角三角形全等判定定理“HL”之前，已经掌握了一般三角形全等的判定方法、勾股定理以及用尺规作三角形，且在一系列的实践活动中，积累了一定的探索与推理经验，已经具备了进一步探索并证明判定直角三角形全等定理的基础。
本节课探索直角三角形全等的判定定理的过程中，通过探究活动，使学生在实践中学习，是培养学生自主学习、合作交流的好素材。
三角形全等是贯穿这一章的主线，是初中阶段证明线段相等和角相等的主要工具。
而探索斜边与直角边长度之比则是学习三角函数的基础。
因此，这节课有利于学生形成完整的数学知识结构，有利于培养学生的能力，是学习后续几何课程的基础。
二、教学任务分析本节课内容是三角形全等的最后一部分内容，也是很重要的一部分内容，凸显直角三角形的特殊性质。
本课时在学生现有知识和活动经验的基础上，提出具体教学及学习任务：经历探索直角三角形全等条件的过程，用尺规完成已知一条直角边和斜边作直角三角形，掌握判定直角三角形全等的条件，能熟练选择判定方法判定两个直角三角形全等，并解决一些简单的实际问题。
在探索证明直角三角形全等判定定理“HL”的同时，进一步巩固命题的相关知识也是本节课的任务之一。
三、教学目标1．知识目标：①能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性。
②熟练利用“斜边、直角边”定理判定两个直角三角形是否全等，解决一些简单的实际问题。
2．能力目标：①进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力。
②经历探索直角三角形全等条件的过程，进一步掌握证明几何问题和解决简单实际问题的方法。
3、情感目标①让学生理解事物的特殊与一般的关系，培养学生的思维品质及能力。
②通过定理的证明，范例的分析过程的教学，培养观察分析问题、把实际问题抽象概括成数学问题、并加以论证解决的能力。
③通过“HL”定理的推导渗透变换的思想，培养学生一题多解的思维能力，拓宽学生的知识面，并使学生在数学学习中体验数学推理证明的乐趣，获得成功的喜悦。
三角形的证明教案
三角形的证明教案一、教学目标1、让学生掌握三角形全等的判定定理，如 SSS（边边边）、SAS （边角边）、ASA（角边角）、AAS（角角边）和RHS（直角、斜边、边）。
2、培养学生运用三角形全等的证明解决实际问题的能力。
3、通过观察、操作、想象、推理、交流等活动，发展学生的空间观念和逻辑思维能力。
二、教学重难点1、重点（1）掌握三角形全等的判定方法，并能熟练运用。
（2）能够准确地找出全等三角形的对应边和对应角。
2、难点（1）灵活运用三角形全等的判定定理进行证明。
（2）理解证明的思路和方法，规范书写证明过程。
三、教学方法讲授法、讨论法、探究法、练习法四、教学过程（一）导入同学们，大家还记得我们之前学过的三角形吗？今天呀，老师要带大家走进三角形的神秘世界，一起来探索三角形的证明。
我先给大家讲个小故事。
前几天我去逛街，路过一个建筑工地，看到工人们正在搭建一个三角形的架子。
我就好奇地问他们：“师傅，你们怎么能保证这个架子是稳固的呀？”其中一个师傅笑着说：“这你就不懂了吧，我们是根据三角形的特性来搭建的，只要三条边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就确定了，绝对稳固！”同学们，你们想想，为什么三条边确定了，三角形就稳固了呢？这就涉及到我们今天要学习的三角形的证明啦！（二）新课讲授1、三角形全等的定义两个三角形能够完全重合，就说这两个三角形全等。
2、三角形全等的判定定理（1）SSS（边边边）如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
比如，我们有两个三角形，一个三角形的三条边分别是3cm、4cm、5cm，另一个三角形的三条边也是 3cm、4cm、5cm，那么这两个三角形就是全等的。
（2）SAS（边角边）如果两个三角形的两条边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。
举个例子，一个三角形的两条边分别是 6cm 和 8cm，它们的夹角是60°，另一个三角形的两条边也是 6cm 和 8cm，夹角也是 60°，那么这两个三角形就是全等的。
北师大版八年级数学下册第一章 三角形的证明4 第2课时 三角形三条内角的平分线
1 三角形的内角平分线
证明结论
已知：如图，在△ABC 中，角平分线
BM 与角平分线 CN 相交于点 P，过点 P
分别作 AB，BC，AC 为 D，E，F.
的垂线，垂足分别
D N
求证：∠A 的平分线经过点 P，且
PD = PE = PF.
的两边距离相等的点在这个角的平分线上)，
即∠A 的平分线经过点 P.
归纳总结
结论：三角形的三条角平分线相交于一点,并且 这一点到三条边的距离相等.
例1 如图，在△ABC 中，已知 AC = BC，∠C = 90°，
AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E.
(1) 如果 CD = 4 cm，求 AC 的长；
过点 O 作 OM⊥AC，若 OM＝4，
B
(1) 点 O 到△ABC 三边的距离和
为 12 .
OP
A
DM C
温馨提示：不存在垂线段——构造应用
(2) 若 △ABC 的周长为 32，求 △ABC 的面积.
解：如图，过点 O 作 OE⊥AB 于点 E，ON⊥BC 于
点 N，连接 OC.
S ABC S AOC S BOC S AOB
三角形内角 平分线的性质
性质：三角形的三条角平分线交 于一点，并且这一点到三条边的 距离相等
应用：位置的选择问题
1. 如图，已知 △ABC，求作一点 P，使 P 到∠A 的两边
的距离相等，且 PA＝PB．下列确定 P 点的方法正确的
是(B )
A. P 为∠A，∠B 两角平分线的交点
B. P 为∠A 的平分线与 AB 的垂直平分线的交点
新北师大版八下数学第一章三角形的证明教案
新北师大版八下数学第一章三角形的证明教案教学目标：1.理解三角形的定义，掌握三角形分类的方法。
2.掌握使用三角形的基本性质进行三角形的证明。
3.培养学生的逻辑思维和推理能力。
教学重点：1.理解三角形的定义，掌握三角形分类的方法。
2.使用三角形的基本性质进行三角形的证明。
教学难点：使用三角形的基本性质进行三角形的证明。
教学过程：一、导入（10分钟）1.师生互动：提问学生对三角形的定义和分类的了解。
2.引入新知：向学生介绍本课的学习内容，即三角形的证明。
二、讲解与示范（20分钟）1.讲解三角形的定义和分类的方法，并通过图示进行解释。
2.讲解三角形的基本性质（如角的度数和等于180度等）。
3.示范使用三角形的基本性质进行三角形的证明。
三、练习与训练（30分钟）1.学生个别或分组完成教材上的练习题，巩固理论知识。
2.学生在小组内互相出题，进行三角形证明的练习。
四、展示与评价（15分钟）1.学生展示自己的练习成果，分享自己的解题思路。
2.教师评价学生的表现，指出不足之处并给予指导。
五、拓展与应用（15分钟）1.针对一些高阶问题进行拓展，引导学生思考和推理。
2.学生在小组内或以个体形式，解答拓展问题。
六、总结与归纳（10分钟）1.学生和教师一起总结本节课所学的内容，梳理知识点。
2.教师对本节课的教学进行总结，并提醒学生下节课的学习安排。
教学资源：1.新北师大版八年级数学教材。
2.黑板、彩色粉笔、投影仪等教学工具。
教学延伸：本节课主要讲解了三角形的定义和分类，并引导学生使用三角形的基本性质进行三角形的证明。
在教学过程中，教师可以使用多媒体教学、思维导图等方式，增加学生的参与度和理解能力。
同时，教师还可以设计一些趣味性的活动，激发学生的学习兴趣和求知欲。
三角形的证明教案
三角形的证明教案一、教学目标1、让学生掌握三角形全等的判定定理，如“边边边”（SSS）、“边角边”（SAS）、“角边角”（ASA）和“角角边”（AAS）。
2、能够运用三角形全等的判定定理进行简单的证明和计算。
3、培养学生的逻辑推理能力和空间观念。
二、教学重难点1、重点掌握三角形全等的判定定理。
能够运用判定定理进行证明。
2、难点灵活运用判定定理解决复杂的几何问题。
正确书写证明过程，逻辑清晰，推理严谨。
三、教学方法讲授法、讨论法、练习法四、教学过程1、导入通过展示两个形状相同但大小不同的三角形，引发学生思考如何判断两个三角形全等。
2、知识讲解（1）“边边边”（SSS）判定定理给出两个三角形，三条边对应相等，让学生观察并猜测它们是否全等。
通过几何画板进行演示，验证学生的猜测，得出“边边边”判定定理：如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等。
（2）“边角边”（SAS）判定定理展示两个三角形，两条边及其夹角对应相等，引导学生思考它们是否全等。
同样利用几何画板演示，得出“边角边”判定定理：如果两个三角形的两条边及其夹角对应相等，那么这两个三角形全等。
（3）“角边角”（ASA）和“角角边”（AAS）判定定理以类似的方式，分别介绍“角边角”和“角角边”判定定理。
3、例题讲解给出一些简单的例题，如已知三角形的某些边和角的条件，要求学生判断两个三角形是否全等，并说明理由。
详细讲解例题的解题思路和证明过程，强调书写规范。
4、课堂练习让学生完成一些课堂练习题，巩固所学的判定定理。
巡视学生的练习情况，及时给予指导和纠正。
5、小组讨论安排学生分组讨论一些较复杂的几何问题，鼓励他们运用所学的判定定理进行分析和证明。
每组选派代表进行发言，分享小组的讨论结果。
6、总结归纳与学生一起回顾三角形全等的判定定理，并强调在证明过程中需要注意的事项。
解答学生在学习过程中遇到的疑问。
7、布置作业布置适量的课后作业，包括书面作业和拓展性作业，让学生进一步巩固所学知识。
初二-第01讲-三角形的证明(培优)-教案
学科教师辅导讲义学员编号：年级：八年级(下) 课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第01讲-三角形的证明授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①掌握等腰三角形、直角三角形的概念与性质；②掌握线段的垂直平分线与角平分线的性质与定理；③掌握各种思想的运用。
授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂一、知识梳理1、等腰三角形的性质定理（1）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。
（AAS）（2）等腰三角形的两底角相等。
即等边对等角。
（3）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合。
即三线合一。
（4）等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°。
体系搭建2、等腰三角形的判定定理（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形。
（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形。
即等角对等边。
（3）三个角都相等的三角形是等边三角形。
（4）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
3、在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
4、直角三角形的性质和判定方法定理：直角三角形的两个锐角互余。
定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。
5、勾股定理：勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
6、勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
7、逆命题、逆定理互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。
互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆命题。
8、斜边、直角边定理定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。
简述为“斜边、直角边定理”或“HL”定理。
9、线段垂直平分线的性质定理：定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
新教材数学八下第一章三角形的证明教案
B
D
C
问题 3. 如图，已知△ABC 的外角∠CBD 和∠BCE 的平分线相交于点 F， 求证： 点 F 在∠DAE 的 平分线上
A
C D
E
B
2、如图，在△ABC 中， 平分 AB， 且 DE=DC。求∠B 的度数。 点拨： 应用角平分线判定定理和相等垂直平分线性质定理。 五.【课堂训练】拓展延伸
D
2 1
∠C=90 度，点 D 在 BC 上，DE 垂直
C
N M
问题 3. 如图，已知∠B=∠C=90º，M 是 BC 中点，MN⊥AD，
若∠1＝∠2，求证∠3=∠4 。 3 4 拓展： 你还有什么发现？ A 六.【课堂小结】 1.角平分线性质定理及其逆定理的内容是什么？我们是如何证明的? 2.三角形的三条角平分线交于一点吗？我是然后证明的？ 3.反证法的一般步骤有哪些？ 4.你还有哪些困惑？ 随堂练习 课外作业 下一节课 预习要求 教 后 记
D C P E B A
A D P O E B
问题 1. “如果一个点到角的两边的距离不相等，那么这个点不在这个角 的平分线上。 ” 你认为这个结论正确吗？如果正确，你能证明吗？
点拨：假设该点在角的平分线上，则它到这个角的两边的距离______， 这与已知条件“这个点到角的两边的距离不相等”矛盾。所以_______ 链接：这种证题模式称为反证法，应用反证法证明的主要三步是： 否定结论 → 推导出矛盾 → 结论成立。实施的具体步骤是： 第一步，反设：作出与求证结论相反的假设； 第二步，归谬：将反设作为条件，由此通过正确推理导出矛盾； 第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。 牛顿曾经说： “反证法是数学家最精当的武器之一” 。一般来讲， 反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式” 、 “至少”或
新版北师大版八年级下册第一章三角形的证明导学案集体备课版
12 3
B
D
C
模块二 合作探究 9、如图，已知∠D =∠C，∠A =∠B，且 AE = BF。求证：AD = BC。
C
D
D 为 AC 上一点，并且 AB = AD，DB = DC，若∠C = 29°，求∠A。
A D
B
C
模块三 形成提升 1、 填空： （1）如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D 在 AC 上，且 BD = BC = AD。 请找出所有的等腰三角形 _________ 。 （2）等腰三角形的顶角为 50°，则它的底角为 _________ 。 （3）等腰三角形的一个角为 40°，则另两个角为 _ 。 （4）等腰三角形的一个角为 100°，则另两个角为 _ 。 （5）等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于 __ 度。 2、如图，在△ABC 中，AB = AC，D 是 BC 边上的中点，且 DE⊥AB，DF⊥AC。 求证：∠1 =∠2。
达州耀华育才学校八年级集体备课教案导学案 主备教师：喻茂伦
C
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实践练习: 1、等腰三角形的两边分别是 7 cm 和 3 cm，则周长为 ____ 。 2、如图在△ABC 中，AB = AC，AD⊥AC，∠BAC = 100°。求：∠1、∠B 的度数。
B
归纳：1、等腰三角形性质定理： （简称“等边对等角” ） ； 推理格式：∵AB=AC，∴_________（等边对等角） 2、推论（三线合一） ： ； 推理格式： ①∵AB=AC,AD⊥BC, ②∵AB=AC, BD=DC, ③∵AB=AC,___平分____, ∴BD=DC,AD 平分_____, ∴___⊥___,___平分_____, ∴________________,
《第一章三角形的证明》word版 公开课一等奖教案
当我们在日常办公时,经常会遇到一些不太好编辑和制作的资料.这些资料因为用的比拟少,所以在全网范围内,都不易被找到.您看到的资料,制作于2021年,是根据最|新版课本编辑而成.我们集合了衡中、洋思、毛毯厂等知名学校的多位名师,进行集体创作,将日常教学中的一些珍贵资料,融合以后进行再制作,形成了本套作品.本套作品是集合了多位教学大咖的创作经验,经过创作、审核、优化、发布等环节,最|终形成了本作品.本作品为珍贵资源,如果您现在不用,请您收藏一下吧.因为下次再搜索到我的时机不多哦!第1章三角形的证明一、学生知识状况分析学生已经了解等腰三角形性质探索经验的根底上 ,继续深入学习证明的方法和格式的；多数学生已经了解证明的必要性 ,具备了证明命题是否成立的探索经验的根底.同时已经具备了一定的合作学习的经验 ,具备了一定的合作与交流的能力.二、教学任务分析教科书要求教学活动中应注重让学生体会到证明是原有探索活动的自然延续和必要开展 ,引导学生从问题出发 ,根据观察、试验的结果 ,发现证明的思路.本节课的教学目标是：1．知识目标：在回忆与思考中建立本章的知识框架图 ,复习有关定理的探索与证明 ,证明的思路和方法 ,尺规作图等.2．能力目标：进一步体会证明的必要性 ,开展学生的初步的演绎推理能力；进一步掌握综合法的证明方法 ,结合实例体会反证法的含义；提高学生用标准的数学语言表达论证过程的能力.3．情感价值观要求通过积极参与数学学习活动 ,对数学的证明产生好奇心和求知欲 ,培养学生合作交流的能力 ,以及独立思考的良好学习习惯.4．重点与难点重点：通过例题的讲解和课堂练习对所学知识进行复习稳固是重点 ,难点：是本章知识的综合性应用对学生来讲是难点 .三、教学过程分析本节课设计了五个教学环节：第|一环节：创设问题情境 ,搭建 "回忆与思考〞的平台；第二环节：建立本章的知识框架图；第三环节：例题讲解；第四环节：课时小结；第五环节：布置作业 .学生课前准备：一副三角尺；教师课前准备：制作好课件.第|一环节：创设问题情境 ,搭建 "回忆与思考〞的平台活动内容：通过提问方式复习本章所学习的相关根本知识 ,如定理、逆定理等 .活动目的：使学生通过这种方式对所学的知识进行及时的稳固 ,最|终到达掌握并灵活应用的目的 .活动过程：问题1：你能说说作为证明根底的几条公理吗 ?教师通过学生答复并整理出六条公理如下：1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;3.两边夹角对应相等的两个三角形全等; (SAS )4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等; (ASA )5.三边对应相等的两个三角形全等; (SSS )6.全等三角形的对应边相等,对应角相等.问题2：向你的同伴讲述一两个命题的证明思路和证明方法.①综合法：从出发利用学过的公理和已证明的定理进行合情推理和演绎推理；②反证法．(教师可关注根底较差的学生 ,给于关注和指导 )问题3：你能说出一对互逆命题吗 ?它们的真假性如何 ?问题4：任意画一个角 ,利用尺规将其二等分、四等分．：如图,∠AOB Array求作：(1)射线OC ,使∠AOC =∠BOC；(2)射线OD 、OE ,使∠AOD =∠DOC =∠COE =∠EOB作法: (1) 1、在OA 和OB 上分别分别截取OM 、ON ,使OM =ON ．2．分别以M 、N 为圆心 ,以大于21MN 的长为半径作弧 ,两弧在∠AOB 内交于点C ．3．作射线OC∴OC 就是∠AOB 的平分线．(2) 同上 ,分别在AOC 和BOC 内部作射线OD 、OE ．活动效果及考前须知：在整理根本定理及相关知识时 ,可以先通过学生讨论 ,或在课前提前布置总结的任务 ,这样学生准备的更充足一些 ,课堂复习的效果估计会更好一些 !第二环节：建立本章的知识框架图本章所证明的命题大多与等腰三角形和直角三角形有关 ,主要包括哪些呢 ?等腰三角形 (含等边三角形 )、直角三角形的性质定理及判定定理；线段垂直平分线的性质定理及判定定理；角平分线的性质定理及判定定理．1．通过探索、猜想、计算、证明得到的定理：(1 )与等腰三角形、等边三角形有关的结论：性质：等腰三角形的两个底角相等 ,即等边对等角；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；等腰三角形两底角的平分线相等 ,两条腰上的中线相等 ,两条腰上的高相等． 等边三角形的三条边都相等 ,三个角都相等 ,并且每个角都等于60° ；等边三角形的三条角平分线、三条中线、三条高互相相等．判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形．(2 )与直角三角形有关的结论：勾股定理的逆定理；在直角三角形中 ,如果一个锐角等于30° ,那么它所对的直角边等于斜边的一半； 斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等．(HL)(3 )与一般三角形有关的结论：在一个三角形中 ,两个角不相等 ,它们所对的边也不相等 (用反证法证明 )．2．命题的逆命题及其真假：在两个命题中 ,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件 ,那么这两个命题称为互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．一个命题是真命题 ,它的逆命题不一定是真命题．如果一个定理的逆命题经过证明是真命题 ,那么它也是一个定理 ,这两个定理称为互逆定理．其中一个定理称为另一个定理的逆定理．例如勾股定理及其逆定理．3．尺规作图线段垂直平分线的性质定理和判定定理；用尺规作线段的垂直平分线；底边和底边上的高 ,用尺规作等腰三角形角平分线的性质定理和判定定理；用尺规作角的平分线．第三环节：例题讲解例1、：如图 ,D是△ABC的BC边上的中点,DE⊥AC ,DF⊥AB ,垂足分别是E、F ,且DE =DF.求证：△ABC是等腰三角形.分析：要证△ABC是等腰三角形 ,可证∠B =∠C.例2、如图 ,在△ABC中 ,AB =AC ,AB的垂直平分线交AC于点E ,△BCE的周长为8 ,AC －BC =2. 求AB与BC的长.分析：由AC－BC =2 ,即AB－BC =2 ,要求AB和BC的长 ,利用方程的思想 ,需找另一个AB与BC的关系．第四环节：课时小结本章的内容总结如下：通过探索、猜想、计算、证明得到的定理与等腰三角形、等边三角形有关的结论与直角三角形有关的结论与一般三角形有关的结论命题的逆命题及其真假尺规作图线段的垂直平分线角的平分线第五环节：布置作业课内： A组题中的第3、4、5、6、7、8题；课外：A组题中的9题 ,B组题第1、2、3题.四、教学反思本节容量较大 ,教师上课时对知识首|先要注意给学生一个系统性的梳理 ,然后再侧重于解题方法尤其是证明中的综合法以及反证法的讲解上 ,思路上可以更灵活一些 ,要让学生的积极性调动起来 ,做到以学生为本 .本课教学反思英语教案注重培养学生听、说、读、写四方面技能以及这四种技能综合运用的能力.写作是综合性较强的语言运用形式, 它与其它技能在语言学习中相辅相成、相互促进.因此, 写作教案具有重要地位.然而, 当前的写作教案存在" 重结果轻过程〞的问题, 教师和学生都把写作的重点放在习作的评价和语法错误的订正上,无视了语言的输入.这个话题很容易引起学生的共鸣,比拟贴近生活,能激发学生的兴趣, 在教授知识的同时,应注意将本单元情感目标融入其中,即保持乐观积极的生活态度,同时要珍惜生活的点点滴滴.在教授语法时,应注重通过例句的讲解让语法概念深入人心,因直接引语和间接引语的概念相当于一个简单的定语从句,一个清晰的脉络能为后续学习打下根底.此教案设计为一个课时,主要将安妮的处境以及她的精神做一个简要概括,下一个课时那么对语法知识进行讲解.在此教案过程中,应注重培养学生的自学能力,通过辅导学生掌握一套科学的学习方法,才能使学生的学习积极性进一步提高.再者,培养学生的学习兴趣,增强教案效果,才能防止在以后的学习中产生两极分化.在教案中任然存在的问题是,学生在"说〞英语这个环节还有待提高,大局部学生都不愿意开口朗读课文,所以复述课文便尚有难度,对于这一局部学生的学习成绩的提高还有待研究.。
第一章三角形的证明(教案)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与三角形证明相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示如何利用模型或工具来直观展示全等三角形的判定过程。
-通过对比不同判定方法，让学生找出它们之间的异同点，形成直观认识。
-利用动画或实物模型，展示全等三角形在变化过程中保持不变的元素，加深学生对判定方法的理解。
-设计不同难度的练习题，让学生在具体操作中体会各个判定方法的应用场景，增强实践能力。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《第一章三角形的证明》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要证明两个三角形全等的情况？”比如，在拼接图形或设计图案时。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索三角形证明的奥秘。
3.等腰三角形的性质：引导学生探讨等腰三角形的性质，如等腰三角形的两底角相等，等腰三角形的底边中线等于底边一半等。
4.直角三角形的性质：学习直角三角形的性质，如直角三角形的两个锐角互余，直角三角形的斜边上的中线等于斜边一半等。
5.三角形证明的应用：通过实际例题，让学生运用所学知识进行三角形证明，提高学生的几何证明能力。
4.培养学生的数学抽象素养：让学生从具体实例中抽象出三角形的一般性质，形成数学概念，提高数学抽象素养。
5.培养学生的团队合作意识：通过小组讨论与合作完成证明题目，增强学生的沟通与协作能力，培养团队合作精神。
北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明(教案)
(3)在讲解三角形面积计算方法时，教师要引导学生掌握面积公式，并通过实际例题让学生学会应用。
2.教学难点
-理解和运用全等三角形的判定方法，特别是AAS和HL的判定方法，学生容易混淆。
-灵活运用勾股定理解决实际问题，尤其是非直角三角形的斜边长度计算。
1.教学重点
-全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL。这是本节课的核心内容，要求学生熟练掌握并能灵活运用。
-勾股定理及其逆定理的应用：解决实际问题，如计算三角形边长、判断三角形类型等。
-三角形面积的计算方法：掌握面积公式，并能应用于解决实际问题。
举例解释：
(1)在讲解全等三角形的判定方法时，教师要通过生动的例子和图形展示，使学生理解各个判定方法的应用场景，如SSS判定法适用于已知三边相等的情况，SAS判定法适用于两边和夹角相等的情况。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了全等三角形的基本概念、判定方法和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对全等三角形证明的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的课堂教学过程中，我发现学生们对全等三角形的判定方法和勾股定理的应用掌握程度参差不齐。在讲授过程中，我尽量用生动的语言和形象的例子来解释这些概念，但显然，对于一些学生来说，这些知识点仍然具有一定的难度。
在实践活动和小组讨论环节，我发现学生们参与度很高，积极发表自己的观点，这让我很欣慰。但同时，我也注意到有些学生在讨论过程中容易偏离主题，这需要我在今后的教学中加强对学生的引导，确保讨论的有效性。
八年级数学北师大版下册第一章《三角形的证明》单元教学设计
3.创新与实践：
-利用剪纸、折纸等材料，制作全等三角形的模型，并尝试用它们来解释全等三角形的性质。
-结合实际情境，创作一个与全等三角形相关的数学故事或漫画，展现数学的趣味性。
作业要求：
-完成作业时，注意书写规范，使用几何符号和术语要准确。
-提问学生：“我们已经学习过三角形的基本概念和性质，那么如何证明两个三角形是全等的呢？这节课我们将一起探讨这个问题。”
2.教学目标：
-激发学生对三角形证明的兴趣和好奇心。
-唤起学生对已有三角形知识的回忆，为新课的学习做好铺垫。
（二）讲授新知
1.教学内容：
-通过讲解和实例演示，向学生介绍全等三角形的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS）。
-鼓励学生尝试不同的证明方法，培养其创新思维。
（五）总结归纳
1.教学活动设计：
-教师与学生一起回顾本节课所学的全等三角形的判定方法、性质和证明技巧。
-学生分享自己在课堂练习中的收获和困惑，教师进行解答和指导。
2.教学目标：
-帮助学生巩固本节课所学知识，形成系统的三角形证明体系。
-培养学生的反思能力，为下一节课的学习做好过渡。
2.学会运用演绎推理和合情推理进行三角形的证明。
-掌握SSS、SAS、ASA、AAS四类全等三角形的判定方法，并能灵活运用。
-理解并掌握全等三角形的性质，如对应角相等、对应边相等。
3.能够运用三角形的知识解决实际问题，如计算三角形面积、周长等。
（二）过程与方法
1.通过直观演示、实际操作、合作交流等教学活动，培养学生观察、分析、归纳和推理的能力。
-各小组汇报讨论成果，分享不同的证明方法和技巧。
三角形相似的判定数学教学教案
三角形相似的判定数学教学教案第一章：三角形相似的概念引入教学目标：1. 让学生理解三角形相似的基本概念。
2. 让学生掌握三角形相似的判定方法。
教学内容：1. 引入三角形相似的概念，让学生通过观察图形，理解相似三角形的定义。
2. 讲解三角形相似的判定方法，包括AA相似定理、SAS相似定理和SSS相似定理。
教学活动：1. 通过展示两组三角形图形，让学生观察并判断它们是否相似。
3. 讲解AA相似定理，让学生通过例题理解并掌握该定理的应用。
4. 讲解SAS相似定理，让学生通过例题理解并掌握该定理的应用。
5. 讲解SSS相似定理，让学生通过例题理解并掌握该定理的应用。
巩固练习：1. 让学生完成一些判断三角形相似的练习题，加深对相似三角形概念的理解。
2. 让学生完成一些应用AA相似定理、SAS相似定理和SSS相似定理的练习题，提高解题能力。
教学评价：1. 通过课堂提问，检查学生对三角形相似概念的理解程度。
2. 通过练习题的完成情况，评估学生对三角形相似判定方法的掌握程度。
第二章：三角形相似的性质与应用教学目标：1. 让学生理解三角形相似的性质。
2. 让学生掌握三角形相似的应用。
教学内容：1. 讲解三角形相似的性质，包括相似三角形的对应边成比例、对应角相等。
2. 讲解三角形相似在实际问题中的应用，如计算未知角度或边长。
教学活动：2. 讲解相似三角形的性质，包括对应边成比例、对应角相等。
3. 讲解三角形相似在实际问题中的应用，如通过已知三角形的相似关系，计算未知角度或边长。
巩固练习：1. 让学生完成一些判断三角形相似的练习题，加深对相似三角形性质的理解。
2. 让学生完成一些应用相似三角形解决实际问题的练习题，提高解题能力。
教学评价：1. 通过课堂提问，检查学生对三角形相似性质的理解程度。
2. 通过练习题的完成情况，评估学生对三角形相似应用的掌握程度。
第三章：三角形相似的证明教学目标：1. 让学生理解三角形相似的证明方法。
新北师大版八年级数学下册《一章三角形的证明1.等腰三角形等腰三角形的判定与反证法》教案_7
（）
（ A ）35° （ B） 20° （C）35 °或 20°（ D）无法确定
4．等腰三角形的顶角等于一个底角的 3 倍，则顶角的度数为
，底角的
度数为
5．等腰三角形三个内角与顶角的外角之和等于 260°，则它的底角度数为
6．等腰△ ABC 中， AB=AC ， BC=6cm，则△ ABC 的周长的取值范围是
三等分，则图中等腰三角形的个数（
）
（ A ）3 （B） 4 （ C）5 （D） 6
2．如图，在△ ABC 中， AB=AC ，BD=BC ， AD=DE=EB ，则∠ A 等于（ ）
（ A ）30° （ B） 36° （C）45 °（D） 54°
3．等腰三角形的一个内角为 70°，它的一腰上的高与底边所夹的角的度数是
7．已知如图，在△ ABC 中，∠ B＝90°，AB ＝BC， BD ＝CE，M 是 AC 的中点，
求证：△ DEM 是等腰三角形
六、能力提升： 1．如图，等腰三角形 ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝90°，BD 平分∠ ABC ，DE⊥BC 且 BC＝10，求△ DCE 的周长。
2．已知△ ABC 中， AB=AC ，D、M 分别为 AC 、BC 的中点， E 为 BC 延长线上 一点，且 CE=12 BC，求证：（1）∠ DMC= ∠ DCM ；（2）DB=DE
布置作业： 【评价反思】
自 学习态度 A
B
C
D
我 学习效果 A
B
C
D
评 合作情况 A
B
C
D
价 尚需改进
反
思
等腰 三角形的
相等。反过来，有两个角相等的三 角形
是
。
定理：
八下第一章三角形的证明学案
1.1等腰三角形（1）教师寄语：良好的开端是成功的一半学习目标：1、了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤步骤和书写格式。
2、经历“探索---发现---猜想---证明”的过程，能够用综合法证明等腰三角形的有关性质定理。
3、通过探究，养成严谨的科学态度、不懈的探究精神和良好的说理方法。
学习过程：一、前置准备：1、请你用自己的语言说一说证明的基本步骤。
2、列举我们已知道的公理：、（1）公理：同位角，两直线平行。
（2）公理：两直线，同位角。
（3）公理：的两个三角形全等。
（4）公理：的两个三角形全等。
（5）公理：的两个三角形全等。
（6）公理：全等三角形的对应边，对应角。
注：等式的有关性质和不等式的有关性质都可以看作公理。
二、自主学习：利用已有的公理和定理证明：“两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
”三、合作交流；议一议：（1）还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？（2）你能利用已有的公理及定理证明这些结论吗？四、归纳总结：1、我的收获？2、我不明白的问题？五、例题解析：在△ABC中，AD是角平分线,DE⊥AB, DF⊥AC，试猜想EF与AD之间有什么关系?并证明你的猜想。
六、当堂训练：1、下列各组几何图形中，一定全等的是（）A、各有一个角是550的两个等腰三角形；B、两个等边三角形；C、腰长相等的两个等腰直角三角形；D、各有一个角是500，腰长都为6cm的两个等腰三角形.2、如图，已知：AB∥CD，AB=CD，若要使△ABE≌△CDF,仍需添加一个条件，下列条件中，哪一个不能使△ABE≌△CDF的是（）A、∠A=∠B ;B、BF=CE;C、AE∥DF;D、AE=DF.3、如果等腰三角形的一个内角等于500则其余两角的度数为。
4、（1）如果等腰三角形的一条边长为3，另一边长为5，则它的周长为。
（2）等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的腰长为。
5、△ABC中， AB=AC, 且BD=BC=AD，则∠A的度数为。
三角形的证明教案
三角形的证明教案教案标题：三角形的证明教案目标：1. 学生能够理解三角形的定义和性质。
2. 学生能够运用相关的定理和公式进行三角形的证明。
3. 学生能够运用逻辑推理和几何知识解决与三角形证明相关的问题。
教学步骤：1. 引入（5分钟）- 向学生介绍三角形的定义和性质，包括三边和三角形内角的关系。
- 提问学生，你们对三角形有什么了解？它有哪些性质？2. 探究（15分钟）- 教师给出一个三角形的图形，并提出一个证明问题，如证明三角形的两边之和大于第三边。
- 引导学生思考如何证明这个问题，鼓励他们用逻辑推理和几何知识来解决。
- 学生分组或个人进行讨论，尝试找到证明方法。
3. 指导（20分钟）- 教师向学生介绍一些常用的三角形证明定理和公式，如勾股定理、正弦定理和余弦定理等。
- 通过示例和练习，指导学生如何运用这些定理和公式来解决三角形的证明问题。
- 强调证明过程的逻辑性和准确性，鼓励学生进行严谨的推理和演算。
4. 实践（15分钟）- 学生个人或小组进行实践活动，选择一个三角形的证明问题，并尝试用所学的知识进行证明。
- 教师在此过程中提供必要的指导和帮助，鼓励学生积极探索和思考。
5. 总结（5分钟）- 教师与学生一起回顾本节课的学习内容，总结学生在三角形证明方面的收获和困惑。
- 解答学生提出的问题，并对他们的努力和成果给予肯定和鼓励。
- 鼓励学生在日常生活中运用所学的知识，发现和解决与三角形证明相关的问题。
教学资源：1. 三角形的图形和相关定理的示意图。
2. 练习题和实践活动的材料。
3. 教师提供的解答和指导材料。
评估方法：1. 观察学生在探究和实践活动中的表现，包括他们的思考过程、证明方法和解决问题的能力。
2. 批改学生完成的练习题和实践活动，评估他们对三角形证明的理解和应用能力。
3. 学生之间的互评和自评，鼓励他们分享和讨论自己的证明思路和策略。
拓展活动：1. 鼓励学生在课后进一步探索和研究三角形证明的相关问题，拓宽他们的数学视野。
新北师大版八下数学第一章三角形的证明教案
第一章三角形的证明【单元分析】本章是八年级上册第七章《平行线的证明》的继续，在“平等线的证明”一章中，我们给出了8条基本事实，并从其中的几条基本事实出发证明了有关平行线的一些结论。
运用这些基本事实和已经学习过的定理，我们还可以证明有关三角形的一些结论。
在这之前，学生已经对图形的性质及其相互关系进行了大量的探索，探索的同时也经历过一些简单的推理过程，已经具备了一定的推理能力，树立了初步的推理意识，从而为本章进一步严格证明三角形有关定理打下了基础。
【单元目标】1.知识与技能（1）等腰三角形的性质和判定定理；（2）直角三角形的性质定理和判定定理；2.过程与方法（1）会运用等腰三角形的性质和判定定理解决相关问题；（2）直角三角形的性质定理和判定定理解决简单的实际问题；3.情感态度与价值观（1）经历由情景引出问题，探索掌握有关数学知识，再运用于实践的过程，培养学数学、用数学的意识与能力；（2）感受数学文化的价值和中国传统数学的成就，激发学生热爱祖国与热爱祖国悠久文化的思想感情。
【单元重点】在证明过程中，进一步感受证明过程，掌握推理证明的基本要求，明确条件和结论，能够借助数学符号语言利用综合法证明等腰三角形的性质定理和判定定理。
【单元难点】明确推理证明的基本要求如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等。
【教学思路】1.对于已有命题的证明，教学过程中要注意引导学生回忆过去的探索、说理过程，从中获取严格证明的思路；对于新增命题，教学过程中要重视学生的探索、证明过程，关注该命题与其他已有命题之间的关系；对于整章的命题，注意关注将这些命题纳入一个命题系统，关注命题之间的关系，从而形成对相关图形整体的认识。
2.对于证明的方法，除了注重启发和回忆，还应注意关注证明方法的多样性，力图通过学生的自主探索，获得多样的证明方法，并在比较中选择适当的方法。
3.证明过程中注意揭示蕴含其中的数学思想方法，如转化、归纳、类比等。
4.作为初中阶段几何证明的最后阶段，教学中应要求学生掌握综合法和分析法证明命题的基本要求，掌握规范的证明表述过程，达成课程标准对证明表述的要求。
第一章三角形证明教案
第一讲等腰与等边三角形【优异学生必知的数学那点事】等腰三角形1、定义：有两条边相等的三角形称为等腰三角形。
2、等腰三角形是三角形家族中最为均匀、俊美的成员，等腰三角形的基天性质有：①等腰三角形的底角相等且必为锐角。
即为“等边平等角”。
②等腰三角形底边上的中线、高线与顶角的均分线重合。
即有“三线合一”，且重心，外心，心里，垂心共线。
③等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边上的高所在的直线，这条直线把等腰三角形分红两部分，以这条直线为轴，把此中一部分翻转，能使两部分重合，两个底角也重合在一同。
等边三角形1、等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60° .2、等边三角形每条边上的中线、高线和所对的角均分相互重合。
（三线合一）3、等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是每条边上的中线、高线或角的均分线所在的直线。
4、等边三角形重心、心里、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。
5、等边三角形内随意一点到三边的距离之和为定值。
（等于其高）6、等边三角形拥有等腰三角形的全部性质。
（等边三角形是特别的等腰三角形）【优选精讲】例题 1. 如下图，△ABC中，AB=AC，点 D、E、F 分别在三边上，且 CE=BD，CD=BF,若∠ A=40°，求∠ EDF。
例题 2、如图，△ ABC中，∠ B=2∠C，∠ BAC的均分线 AD交 BC于 D，求证： AB+BD=AC例题 3、如图，在△ ABC中， AB=3AC，∠ A 的均分线交 BC于点 D，过 B 作 BE⊥ AD，垂足为 E，求证： AD=DE。
【基础达标】1、等腰三角形的一条腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（）A、 30°B、30°或150°C、 120°或 150°D、30°或120°或150°2、等腰三角形的周长为 a cm, 一腰的中线将周长分红5:3 ，则三角形的底边长为（）A、aB、3a C、a或3a D、4a 656553、如图 3，△ ABC中， AB=AC，D、E、F 分别在 BC、 AC、AB上，若 BD=CE， CD=BF，则∠ EDF等于（）A、90°－1∠A B、90°－∠ A 2C、180°－∠ AD、180°－2∠ A4、如图 4，已知△ ABC中，∠ B 与∠ C 的均分线交点 P 恰幸亏 BC边的高 AD上，那么△ ABC一定是（）A、直角三角形C、等腰三角形5、如图 5 所示，在△B、等边三角形D、等腰直角三角形ABC中， AB=AC，BD是角均分线，∠BDC=75°，则∠ BAC=。
人教版八年级数学下册第一章三角形的证明单元教学设计
（3）关注学生的学习情感，营造轻松愉快的学习氛围，增强学生的学习兴趣。
（4）加强师生互动，增进师生情感，提高教学效果。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学活动：通过展示生活中常见的三角形物体，如三角尺、自行车三角架等，引导学生观察和思考三角形的特点和作用。
2.提出问题：让学生思考三角形为什么在生活中如此常见，它具有哪些独特的性质？如何运用数学知识来解释这些性质？
3.引入新课：通过讨论和思考，引出本节课的学习内容——三角形的证明，激发学生学习兴趣。
（二）讲授新知
1.三角形的基本性质：介绍三角形的概念、分类、性质（如内角和、两边之和大于第三边等），并通过实例进行讲解。
（2）新知：讲解三角形的基本性质、全等和相似性质，结合实例进行分析，让学生掌握证明方法。
（3）巩固：设计练习题，让学生及时巩固所学知识，提高解题能力。
（4）拓展：介绍勾股定理及其逆定理在实际问题中的应用，提高学生运用数学知识解决问题的能力。
（5）小结：对本节课所学内容进行总结，强化重点，突破难点。
3.教学评价：
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：三角形的基本性质、全等和相似性质、勾股定理及其逆定理的运用。
2.难点：
（1）三角形证明的逻辑推理和论证方法。
（2）运用勾股定理及其逆定理解决实际问题。
（3）三角函数的计算和应用。
（二）教学设想
1.教学方法：
（1）采用情境导入法，通过实际生活中的三角形现象，引出本章节的学习内容。
2.学生在运用勾股定理及其逆定理解决问题时，可能会出现计算错误或思路不清晰的情况。
3.部分学生对几何图形的观察能力较弱，可能难以发现三角形的基本性质和应用。
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第一讲等腰与等边三角形【优秀学生必知的数学那点事】等腰三角形1、定义：有两条边相等的三角形称为等腰三角形。
2、等腰三角形是三角形家族中最为匀称、俏丽的成员，等腰三角形的基本性质有：①等腰三角形的底角相等且必为锐角。
即为“等边对等角”。
②等腰三角形底边上的中线、高线与顶角的平分线重合。
即有“三线合一”，且重心，外心，内心，垂心共线。
③等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边上的高所在的直线，这条直线把等腰三角形分成两部分，以这条直线为轴，把其中一部分翻转，能使两部分重合，两个底角也重合在一起。
等边三角形1、等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°.2、等边三角形每条边上的中线、高线和所对的角平分互相重合。
（三线合一）3、等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是每条边上的中线、高线或角的平分线所在的直线。
4、等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。
5、等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值。
（等于其高）6、等边三角形拥有等腰三角形的一切性质。
（等边三角形是特殊的等腰三角形）【精选精讲】例题1.如图所示，△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在三边上，且CE=BD，CD=BF,若∠A=40°，求∠EDF。
例题2、如图，△ABC 中，∠B=2∠C ，∠BAC 的平分线AD 交BC 于D ，求证：AB+BD=AC例题3、如图，在△ABC 中，AB=3AC ，∠A 的平分线交BC 于点D ，过B 作BE ⊥AD ， 垂足为E ，求证：AD=DE 。
【基础达标】1、等腰三角形的一条腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（ ）A 、30°B 、30°或150°C 、120°或150°D 、30°或120°或150°2、等腰三角形的周长为a cm,一腰的中线将周长分成5:3，则三角形的底边长为（ ）A 、6aB 、a 53C 、a a 536或D 、a 54 3、如图3，△ABC 中，AB=AC ，D 、E 、F 分别在BC 、AC 、AB 上，若BD=CE ，CD=BF ，则∠EDF 等于（ ）A 、90°－21∠A B 、90°－∠A C 、180°－∠A D 、180°－2∠A4、如图4，已知△ABC中，∠B与∠C的平分线交点P恰好在BC边的高AD上，那么△ABC一定是（）A、直角三角形B、等边三角形C、等腰三角形D、等腰直角三角形5、如图5所示，在△ABC中，AB=AC，BD是角平分线，∠BDC=75°，则∠BAC= 。
图3 图4 图56、在△ABC中，AB=AC，∠A-∠B=27°，则∠C= 。
7、等腰三角形的一个内角是50°，则其他两个内角的度数为。
8、如右图，已知：△ABC，△BDE为等边三角形，求证AD=CE。
9、已知：△ABC，△BDE为等边三角形，C,B,D三点共线，求证AD=EC。
10、已知：△ABC为等边三角形，AF=BD=CE,AD,BE,CF依次交于G,H,K。
求证：△GHK为等边三角形【能力提升】1、在△ABC中，AB=AC,D为AC上一点，且AD=BD=BC，则∠A= 。
2、在△ABC中，AB=AC，AB边上的高CD等于腰长的一半，求顶角。
【课后练兵】1、如图，在△ABC中，AB=AC, ∠A=108°,BD平分∠ABC交AC于点D,求证：BC=AC+CD2、如图，已知在等边三角形ABC中，D、E、F分别是BC、CA、AB上的点，且AF=BD=CE。
求证：三角形DEF是等边三角形。
3、已知：△ABC，△BDE为等边三角形，A、D、E共线。
求证：AE=BE+EC。
第二讲 直角三角形【优秀学生必知的数学那点事儿】一、直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余；2、直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半；（斜边上的中线正好把直角三角形分成两个等腰三角形）3、直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方（称为勾股定理）a 2+b 2=c 2（反之，一个三角形中，有一条边的平方等于其他两边的平方和，那么它是直角三角形）二、直角三角形的其他特殊性质1、直角三角形中，如果两条直角边为a 、b ，斜边为c ，斜边上的高为h ，那么它们存在这样的关系：ab=ch 或h=c ab2、直角三角形中，如果一个锐角等于30°或45°a:b:c=1:3:2 a:b:c=1:1:2【精选精讲】例题1、判断下列各组线段为边能否构成直角三角形（1）9 41 40 （2）5 5 52 （3）31 41 51 （4）32 42 52 （5）23 5a 3= 30° 45°a 2=例题2、如图，已知正方形ABCD，E是BC边的中点，F在CD上，且DF=3CF，求证：AE⊥EF例题3、在△ABC中，若a2+b2=25,a2-b2=7,又c=5，则最大边上的高是多少？2,BC边上的中线AD=2，则△ABC是什么三角形？例题4、△ABC中，AB=5,BC=3例题5、已知如图，四边形ABCD中，∠B，∠D是Rt∠，∠A=45°若DC=2cm，AB=5cm，求AD和BC的长【基础达标】1、下列各组数中不能构成直角三角形的一组是（）A、5 12 13B、7 24 25C、8 15 17D、4 6 92、适合下列条件的△ABC 中，直角三角形的个数为（ ）（1）a=31 b=41 c=51 （2）a=b ∠A=45° （3）∠A=32° ∠B=58° （4）a=7 b=24 c=25（5）a=25 b=2 c=3A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个3、下列语句（1）若△ABC 中，a 2+b 2≠c 2，则△ABC 不是直角三角形（2）若△ABC 为直角三角形，∠C=90°，则a 2+b 2=c 2（3）若△ABC 中，a 2+b 2=c 2，则∠C=90°（4）勾股定理的逆定理：若两边的平方和等于第三边的平方，则此三角形为直角三角形 其中正确的个数是（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个4、若线段a 、b 、c 组成Rt △，则它们的比为（ ）A 、2:3:4B 、3:4:6C 、5:12:13D 、4:6:75、Rt △一直角边的长为11，另两边为自然数，则Rt △的周长为（ ）A 、121B 、120C 、132D 、不能确定6、如果Rt △两直角边的比为5:12，则斜边上的高与斜边的比为（ ）A 、60:13B 、5:12C 、12:13D 、60:1697、三角形三边长分别为2K ，2K ，2K ，则它的三个内角分别是 。
8、直角三角形的面积为2，斜边上的中线为2，则直角三角形的周长是 。
9、如图，在四边形ABCD 中，AB=3cm ，CD=12cm ，BD=13cm ，∠B=90°，求四边形ABCD 的面积。
10、已知△ABC三边上分别为a、b、c，a=n2-16，b=8n,c=n2+16(n>4),求证：∠C=90°.11、如图，已知四边形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°求证：∠A+∠C=180°12、在Rt△ABC中，三边长为整数，且AB=3，AC=5，则BC边上中线AD的长是多少。
13、如图P、Q分别是Rt△ABC的两直角边AB、AC上的点，M是斜边BC的中点，PM⊥QM，若PB=a，QC=b，求PQ14、如图，四边形ABCD中，∠BAD=90°，AB=BC=23，AC=6，AD=3，求CD。
【能力提升】1、如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时速度向北偏东40°航行，乙船向南偏东50°航行，3小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C、B两岛相距60海里，问乙船的航速是多少?2、如图，P是长方形ABCD内一点，已知PA=3，PB=4，PC=5，求PD的长。
3、如图，在△ABC中，AB=AC，P为BC上的任意一点，请用学过的知识说明，AB2-AP2=PB×PC4、如图，一个牧童在小河的南4Km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8Km北7Km处，他想把他的马牵到小河边饮水，然后回家，他要完成这件事情所走的最短路程是多少？5、如图，矩形纸片ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，现将A、C重合，把纸片折叠压平，设折痕为EF，试确定重叠部分△AEF的面积。
【课后作业】1、在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=20，求BC及AB的长。
2、如图，一块砖宽AN=5cm，长ND=10cm，CD上的点B距地面的高BD=8cm，地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食，要爬行的最短路线是多少？3、若△ABC的三边长a,b,c满足条件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,试判断△ABC的形状。
4、如图，D、E、F分别是△ABC的BC、AB、AC上的点，若AE=AF，BE=BD，CF=CD，AB×BC=2BD×DC，AB=3，AC=4，求△ABC的面积。