二重积分的分部积分公式
分部积分方法及例题
u dv
dv
= x sin x − ∫ sin x dx = x sin x + cos x + C
uv
v du
简化
（2）I2 = ∫ x2 sin x d x= −∫ x2 d cos x
dv
dv
= − x2 cos x + ∫ cosx dx2
vdu
简化
= − x2 cos x+ 2∫ x cosx dx
综合题
例9 ∫ e x dx 令t = x 2 ∫ te t d t
= 2(t e t − e t ) + C = 2e x ( x − 1) + C
例10
I
=
∫
lncosx cos2 x
d
x=
∫
ln
cos x d udv
tan
x
= tan x ⋅ ln cos x + ∫ tan2 x dx
= tan x ⋅ ln cos x + ∫ (sec2 x − 1) dx
问: 选 u = e x 行吗？ 行.
∫ ∫ I = e x d(sin x ) = e x sin x − sin x d e x u ∫ = e x sin x − sin x ⋅ e x d x (第二次分部积分)
∫ = e x sin x + e x dcos x u
两次所选u的 函数类型不
∫ (2) xn ln x d x
设 u = ln x （例3(1)）
∫ (3) xn arcsinxd x 设 u = arcsin x
（例3(2)）
dv = xnd x
3° 选 u 的优先原则： “对反代三指” 法
二重积分及三重积分的计算
第一部分 定积分的计算一、定积分的计算例1 用定积分定义求极限.)0(21lim 1>++++∞→a nn a a a a n . 解 原式=⎰∑=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=∞→1011lim aani n x n n i dx =a a x a +=++11111.例2 求极限 ⎰+∞→1021lim xx n n dx . 解法1 由10≤≤x ，知nn x x x ≤+≤210，于是⎰+≤1210x x n ⎰≤1n x dx dx .而⎰10nx ()∞→→+=+=+n n n x dx n 0111101，由夹逼准则得⎰+∞→1021lim xx n n dx =0.解法2 利用广义积分中值定理()()x g x f ba⎰()()⎰=bax g f dx ξdx （其中()x g 在区间[]b a ,上不变号），().101111212≤≤+=+⎰⎰n n nn dx x dx xx ξξ由于11102≤+≤nξ，即211nξ+有界，()∞→→+=⎰n n dx x n01110，故⎰+∞→1021lim x x nn dx =0. 注 （1）当被积函数为()22,x a x R +或()22,a x x R -型可作相应变换.如对积分()⎰++3122112xxdx，可设t x tan =；对积分()02202>-⎰a dx x ax x a，由于()2222a x a x a x --=-，可设t a a x s i n =-.对积分dx e x ⎰--2ln 021，可设.sin t e x =-（2）()0,cos sin cos sin 2≠++=⎰d c dt td t c tb t a I π的积分一般方法如下：将被积函数的分子拆项，[分子]=A[分母]+B[分母]'，可求出22d c bdac A ++=，22dc adbc B +-=. 则积分 ()220cos sin ln 2cos sin cos sin πππtd t c B A dt td t c t d t c B A I ++=+'++=⎰.ln2dc B A +=π例3 求定积分()dx x x x ⎰-1211arcsin分析 以上积分的被积函数中都含有根式，这是求原函数的障碍.可作适当变换，去掉根式. 解法1 ()dxx x x ⎰-1211arcsin 2t x xt ==12121211212arcsin arcsin arcsin 21arcsin 2tt d t dt tt ==-⎰⎰.1632π= 解法2 ()dx x x x⎰-1211arcsin .163cos sin cos sin 2sin 2242242πππππ==⋅=⎰u du u u uu u u x 小结 （定积分的换元法）定积分与不定积分的换元原则是类似的，但在作定积分换元()t x ϕ=时还应注意：（1）()t x ϕ=应为区间[]βα,上的单值且有连续导数的函数； （2）换限要伴随换元同时进行；（3）求出新的被尽函数的原函数后，无需再回代成原来变量，只要把相应的积分限代入计算即可.例4 计算下列定积分（1）⎰+=2031cos sin sin πx x xdx I ， dx xx x I ⎰+=2032cos sin cos π； （2）.1cos 226dx e xx ⎰--+ππ解 （1）⎰+=2031cos sin sin πxx xdxI)(sin cos cos 2023du uu uu x -+-=⎰ππ=.sin cos cos 223⎰=+πI dx xx x故dx xx xx I I ⎰++==203321cos sin cos sin 21π=()41cos cos sin sin 212022-=+-⎰ππdx x x x x . （2）=I .1cos 226dx e xx ⎰--+ππ()dxe xdu e uu x x u ⎰⎰--+=-+-=2262261cos 1cos ππππ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=⎰⎰--2222661cos 1cos 21ππππdx e x dx e x e I x xx.3252214365cos cos 21206226πππππ=⨯⨯⨯===⎰⎰-xdxxdx这里用到了偶函数在对称取间上的积分公式以及公式：dx xdx n n⎰⎰=2020cos sin ππ()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅⨯-⨯--=⨯-⨯--=偶数奇数n n n n n n n n n n ,22421331,1322431π小结 （1）常利用线性变换把原积分化为可抵消或可合并的易于积分的形式。
二重积分的分部积分公式
二重积分的分部积分公式二重积分是微积分中的重要内容，用于计算平面内一些区域上的二元函数的积分。
分部积分是一种常用的积分技巧，其本质是将一个复杂的积分问题分解为几个较简单的求积分问题。
本文将介绍二重积分的分部积分公式及其应用。
1.二重积分的定义及性质在平面直角坐标系中，设函数f(x,y)在一个有界闭区域D上有定义，我们可以将D分成无穷多个小面积ΔS的小块，其中每一个小块的面积趋近于0。
则二重积分的定义为：∬_(D)▒f(x,y)dxdy=lim┬(ΔS→0)〖∑_(i=1)^(n)▒∑_(j=1)^(m)▒f(x_i^*,y_j^*)ΔS〗其中，(x_i^*,y_j^*)是小块ΔS的内部任意一点，ΔS是小块的面积，n,m分别是D在x和y方向上的划分数。
二重积分具有以下性质：（1）线性性质：如果f(x,y)和g(x,y)都在D上有定义且可积，则对于任意实数a和b，有：∬_(D)▒(af(x,y)+bg(x,y))dxdy=a∬_(D)▒f(x,y)dxdy+b∬_(D)▒g(x,y)dxdy（2）可加性：如果D可以分成两个没有公共部分的区域D_1和D_2，则有：∬_(D)▒f(x,y)dxdy=∬_(D_1)▒f(x,y)dxdy+∬_(D_2)▒f(x,y)dxdy∬_(D)▒(∂u/∂x+∂v/∂y)dxdy=∫(□)〖v(□,y)dy-u(□,y)∣_a^b 〗其中，∂u/∂x和∂v/∂y是函数u(x,y)和v(x,y)的偏导数，(□,y)表示固定y的值，a和b是D在y轴上的两个边界值。
需要注意的是，二重积分的分部积分公式中的边界值是指在y轴上的取值，而不是在D区域上的边界。
3.二重积分的应用举例（1）计算二重积分∬_(D)▒xydxdy，其中D是区域y=x^2,x=y^2所围成的区域。
解：根据分部积分公式，令u=x，v=1/2y^2，则∂u/∂x=1，∂v/∂y=y，代入公式可得：∬_(D)▒xydxdy=∫(□)〖1/2y^2(□,y)dy-x(□,y)∣_0^1 〗先计算边界值，在D区域上y的取值范围是[0,1]，所以x的取值范围是[0,1]。
高数积分总结
高数积分总结一、不定积分1、不定积分的概念也性质定义1：如果在区间I 上，可导函数F （x ）的导函数为f(x)，即对任一I x ∈,都有F`(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I 上的原函数。
定义2：在区间I 上，函数f （x ）的带有任意常数项的原函数称为f （x ）（或者f(x)dx ）在区间I 上的不定积分，记作⎰dx x f )(。
性质1：设函数f(x)及g(x)的原函数存在，则⎰⎰⎰+=+dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([。
性质2：设函数f(x)的原函数存在，k 为非零常数，则⎰⎰=dx x f k dx x kf )()(。
2、换元积分法 (1)第一类换元法：定理1：设f(u)具有原函数，)(x ϕμ=可导，则有换元公式)(])([)(')]([x d f dx x x f ϕμμμϕϕ=⎰⎰=。
例：求⎰xdx 2cos 2解 ⎰⎰⎰⎰=•=•=μμd dx x x dx x xdx cos )'2(2cos 22cos 2cos 2 将x 2=μ代入，既得⎰+=C x xdx 2sin 2cos 2(2)第二类换元法：定理2：设)(t x ψ=是单调的、可导的函数，并且.0)('≠t ψ又设)(')]([t t f ψψ具有原函数，则有换元公式,])(')]([[)()(1x t dt t t f dx x f -=⎰⎰=ψψψ其中)(1x -ψ是)(t x ψ=的反函数。
例：求⎰>+)0(22a ax dx解 ∵t t 22sec tan 1=+，设⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=22tan ππαt t x ，那么 tdt a dx t a t a t a a a x 2222222sec ,sec tan 1tan ==+=+=+，于是⎰⎰⎰==+tdt dt t a ta a x dxsec sec sec 222 ∴C t t ax dx ++=+⎰tan sec ln 22∵aa x t 22sec +=，且0tan sec >+t t ∴1222222)ln(ln C a x x C a ax a x a x dx+++=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=+⎰，a C C ln 1-=3、分部积分法定义：设函数)(x μμ=及)(x υυ=具有连续导数。
第八节二重积分
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第八节 二重积分 导言: 导言:本节我们将一元函数定积分的概念 和思想扩展到二元函数的二重积分上, 和思想扩展到二元函数的二重积分上,由于二 重积分是一元函数定积分在二元函数中的进一 步推广.因此,二重积分概念, 步推广.因此,二重积分概念,性质与定积分 类似, 类似,二重积分的计算方法也是将其转化为定 积分.学习中要注意与定积分的对比, 积分.学习中要注意与定积分的对比,把握两 者之间的共性与区别. 者之间的共性与区别.
D D D
(2) ∫∫ kf (x, y)dσ = k ∫∫ f (x, y)dσ
D
D +D2 1 D 1
(k为常数 ).
D
D2
(3) ∫∫ f (x, y)dσ = ∫∫ f (x, y)dσ + ∫∫ f (x, y)dσ. (4) 若在D上处处有f (x,y)≤g(x,y),则有
∫∫ f (x, y)dσ ≤ ∫∫ g(x, y)dσ.
y1( x)
z = f (x, y)
y1
y2 y
故曲顶柱体的体积, 故曲顶柱体的体积 也就是二重积分为
∫∫ f (x, y)dxdy = ∫
D
b b y2 ( x) S(x)dx = a[ y ( x) f (x, y)dy]dx. a 1
∫ ∫
上式将二重积分化成先对y 积分, 后对x 积分的 二 上式将二重积分化成先对 积分 后对 次积分或称为累次积分. 次积分或称为累次积分 需要指出, 需要指出 计算 ∫
z = f (x, y)
f (ξi ,ηi )σi . 以此作为小曲
高等数学课件D92二重积分的计算
电磁学中电荷分布问题
电荷分布概述
在电磁学中，电荷分布是研究电场和 磁场的基础。了解电荷分布对于预测 电场强度、电势差以及电磁波的传播 等具有重要意义。
二重积分在电荷分布 中的应用
二重积分在电磁学中广泛应用于计算 电荷分布。通过将电荷区域离散化为 微小单元，对每个单元的电荷密度进 行积分，并利用二重积分对整个区域 进行积分，可以得到总电荷量和电荷 分布。
在每个子区域内分别进行积分计算，然后将结果相加得到最 终的二重积分值。这种策略可以降低计算难度，提高计算效 率。
03 典型例题分析与求解
平面区域上函数积分问题
确定积分区域
根据题目要求，确定需要积分的平面区域，通常是由 不等式组或曲线围成。
选择积分次序
根据积分区域的形状和复杂性，选择合适的积分次序， 即先对哪个变量进行积分。
图像处理算法与二重积分
在实际应用中，图像处理算法（如直方图均衡化、滤波算法）经常需要利用像素值统计来实现图像增强和特 征提取。二重积分作为计算像素值统计的重要工具，在这些算法中发挥着关键作用。
其他领域应用举例
地理学中的地形分析
在地理学中，地形分析是研究地 表形态和地貌特征的重要手段。 二重积分可以用于计算地表高程、 坡度、坡向等地形参数，进而实 现地形分类、地貌特征提取等应 用。
梯形法
将积分区域划分为若干个小梯形， 以梯形的面积近似代替被积函数 的面积，通过求和所有梯形的面 积得到二重积分的近似值。
辛普森法
在梯形法的基础上，通过采用更 精确的插值多项式来逼近被积函 数，从而提高二重积分计算的精 度。
误差估计及收敛性判断
误差估计
对于不同的数值方法，可以通过理论分析和实际计算来估计其误差的大小，以便更好地控制计算精度 。
二重积分
（2）在还原积分区域时，首先根据积分上下限用不等式表示出积分区域，然后 再画出积分区域的草图。 例 2、设函数 f ( x, y ) 连续,交换二次积分次序得
dy
0
1
0
2 y 2
f ( x, y)dx A
A 2 dx 0
0
1
x 2
f ( x, y )dy .
B 2 dx 1 x f ( x, y)dy .
2
2
或含有较多的 x
D
2
y 2 时，可以考虑用极坐标计算。
直角坐标与极坐标的转换公式为
f ( x, y)dxdy f ( cos , sin ) d d 。
D
例 3、设 D
x, y x
2
y 2 x ,求 xdxdy .
D
二重积分
二重积分的计算思路，是将它化为累次积分，也就是两次定积分，可用的坐标有直角 坐标与极坐标。二重积分的内容包括概念、不等式的性质以及二重积分的计算。 一、二重积分的计算 1、直角坐标系 1）步骤：画出积分区域草图；选择积分次序；确定积分上下限，做定积分计算 2）确定积分次序时遵循两原则：尽可能地避免分类讨论；尽可能地使第一步的积分简单 3）定限方法（以先对 y 积分的情况为例） ： a、画一条与 y 轴平行的直线，观察这条直线与积分区域边界的两交点，下交点为下限，上 交点为上限，即
2 ( x )
1 ( x)
f ( x, y)dy ；
b、使得直线与积分区域交点 x 的范围便是积分变量 x 的上下限，即 2、极坐标 1）计算公式:
dx
a
b
2 ( x )
2019年-9-2 二重积分的计算法-PPT精选文档
积 分 时 必 须 考 虑 次 序
x2ey2dxdy 1dyyx2ey2dx
D
00
e1 y2 y3dy e 1 y2 y2dy2 1(1 2).
0
3
0
6
6e
8
例10. 关于分块函数在D上的积分. 求| yx|d
a
a2 y2
故本题无法用直角 坐标计算.
14
二、利用极坐标计算二重积分 y
1
1 x
要分部积分，不易计算
若先 x 后 y 则须分片
12
22
Idy yexydx dy yexydx
11 2y
11
易见尽管须分片积分，但
由于被积函数的特点，积 分相对而言也较方便。
D
7
例 9 求 x2e y2dxdy，其中 D 是以(0,0),(1,1),
D
(0,1)为顶点的三角形.
D1
D2
9
11
1x
0dx x (yx)d y0d0 x (xy)dy y
1(1y2x)y1d x 1(xy 1y2)xdx 1
02
x
0
20
y=x
D1
D
D2
1(1x1x2)d x11x2dx 1
02 2
02
3
0
1x
注：分块函数的积分要分块(区域)来积. 另外，带绝对值的函数是分块函数。
y2x y 2xx2
问 ： 从 积 分 域 的 形 状 看 ， 此 域 上 的 积 分 应 选 什 么 样 的 积 分 顺 序 ？
6
例8 计算 y xd e y x ,D :x d 1 ,y x 2 ,y 2 ,x 1 y
二重积分的计算法
0
法二
先x后y
2
x2+y2
a
2
x
D
e
a
x y
d xd y dy
a a2 y2
2 2
a
a y
e
x2 y 2
dx
e
a
y
2
dy
a y
e
x2
dx积不出
14
故本题无法用直角 坐标计算.
二、利用极坐标计算二重积分 y
在极坐标系下, 用同心圆 r =常数 及射线 =常数, 分划区域D 为
极坐标积分。
令x=rcos, y=rsin, 则 x2+y2 = 1的极坐标方程为r = 1. 由(2)
y
x2+y2 1
D*: 0 r 1, 0 2
0
x
D
1 x 2 y 2 dxdy
d 1 r 2 cos2 r 2 sin 2 rdr
1
x
y=x 1 D1
D2
0
D 1 x
注：分块函数的积分要分块(区域)来积. 另外，带绝对值的函数是分块函数。
10
例 11
求由下列曲面所围成的立体体积， z x y ， z xy， x y 1， x 0， y 0 .
解 画图. 所围立体在 xoy 面上的投影 D 如图所示。
x2 y2 R2 , x2 z 2 R2
利用对称性, 考虑第一卦限部分,
其曲顶柱体的顶为 z R 2 x 2
R
o x
0 y R 2 x 2 ( x, y ) D : 0 x R 则所求体积为
二重积分
二重积分一．二重积分定义：设D 为xy 平面上的有界闭区域，(,)f x y 为定义在D 上的函数。
用任意的曲线把D 分成n 个小区域12,,.n σσσ 以i σ∆表示小区域的面积，这些小区域构成D 的一个分割T , 以i d 表示小区域i σ的直径，称1max i i nT d ≤≤=为分割T 的细度。
在每个i σ上任取一点(,)i i ξη，作和式1(,)ni i i i f ξησ=∆∑，称它为函数(,)f x y 在D 上属于分割T 的一个积分和。
如果1lim(,)niiiT i f ξησ→=∆∑存在，则称(,)f x y 在D 上可积，此极限值就称为(,)f x y 在D 上的积分，记为(,)Df x y d σ⎰⎰，即1(,)lim (,)ni i i DT i f x y d f σξησ→==∆∑⎰⎰。
定理：有界闭区域上的连续函数必可积。
性质：1. 若(,)f x y 在区域D 上可积，k 为常数，则(,)kf x y 在D 上也可积，且(,)(,).DDkf x y d k f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰2. 若(,),(,)f x y g x y 在D 上都可积，则(,)(,)f x y g x y ±在D 上也可积，且[(,)(,)](,)(,).DDDf x yg x y d f x y d g x y d σσσ±=±⎰⎰⎰⎰⎰⎰3. 若(,)f x y 在1D 和2D 上都可积，且1D 与2D 无公共内点，则(,)f x y 在12D D ⋃上也可积，且1212(,)(,)(,).D D D D f x y d f x y d g x y d σσσ⋃=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰4. 若(,),(,)f x y g x y 在D 上都可积，且(,)(,)f x y g x y ≤，(,),x y D ∈ 则(,)(,)DDf x y dg x y d σσ≤⎰⎰⎰⎰5. 若(,)f x y 在区域D 上可积，则函数(,)f x y 在区域D 上也可积，且(,)(,).DDf x y d f x y d σσ≤⎰⎰⎰⎰6. 若(,)f x y 在区域D 上可积，且(,),(,),m f x y M x y D ≤≤∈ 则 (,),D D DmS f x y d MS σ≤≤⎰⎰这里D S 是积分区域D 的面积。
计算二重积分的几种方法数学专业论文
计算二重积分的几种方法数学专业论文计算二重积分的几种方法摘要二重积分的计算是数学分析中一个重要的内容，其计算方法多样、灵活，本文总结了二重积分的一般计算方法和特殊计算方法.其中，一般计算方法包括化二重积分为累次积分和换元法，特殊计算方法包括应用函数的对称性、奇偶性求二重积分以及分部积分法.关键词二重积分累次积分法对称性分部积分法1 引言本人在家里的职业教育高中实习，发现这里有些专业的的学生要计算很多面积或者体积问题，已经略微涉及到大学的积分问题，如曲顶柱体的体积，他们用最普遍的求面积/体积的方法求解，而用二重积分进行计算求解就会更容易理解，方法和步骤也带给学生一个新的认知领域。
职业教育的学生在大学知识中解决实际问题应用积分的方法更频繁。
在解决一些几何、物理等的实际问题时，我们常常需要各种不同的多元实值函数的积分，而二重积分又是基本的、常见的多元函数积分，我针对自己在《数学分析》这门课程中的学习，总结了累次积分、根据函数对称性积分、元素法、分部积分法、极坐标下的积分等内容，以下是我对二重积分方法的总结。
2 积分的计算方法2.1化二重积分为两次定积分或累次积分法定理 1 若函数(),f x y 在闭矩形域(),R a x b c y d ≤≤≤≤可积，且[],x a b ∀∈，定积分()(),d cI x f x y dy=⎰存在，则累次积分(),bda c f x y dy dx ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰也存在，且(,)(,)b d ac Rf x y dxdy f x y dy dx⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰证明 设区间[],a b 与[],c d 的分点分别是011011i i n k kma x x x x x bc y y y y yd --=<<⋅⋅⋅<<<⋅⋅⋅<==<<⋅⋅⋅<<<⋅⋅⋅<=这个分法记为T .于是，分法将T 闭矩形域R 分成m n ⨯个小闭矩形，小闭矩形记为 11(,),1,2,,;1,2,,.ik i i k k R x x x y y y i n k m --≤≤≤≤=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ 设(){}(){}[]1sup ,,inf ,.,ik ik i i i M f x y m f x y x x ξ-==∀∈，有()1,,ik i ik k km f y M y y y ξ-≤≤≤<.已知一元函数(),if y ξ在[]1,k k yy -可积，有()11,,kikki ik k k k k k m y f y dy M y y y y ξ--∆≤≤∆∆=-⎰.将此不等式对1,2,k m=…相加，有()1111,k k mmmy ikki ik ky k k k m y f y dy M y ξ-===∆≤≤∆∑∑∑⎰，其中()()()11,,k k my di i i y ck f y dy f y dy I ξξξ-===∑⎰⎰，即()11mmikki ik kk k m yI M y ξ==∆≤≤∆∑∑.再将此不等式乘以ix ∆，然后对1,2,i n=…相加，有()11111n mn n miki k i i ik i ki k i i k mx y I x M x y ξ=====∆∆≤∆≤∆∆∑∑∑∑∑.此不等式的左右两端分别是分法T 的小和()s T 与大和()S T ，即 ()()()1ni i i s T I x S T ξ=≤∆≤∑.(1) 已知函数(),f x y 在R可积，根据定理有()()0lim lim (,),T T RS T s T f x y dxdy →→==⎰⎰又不等式（1），有()()01lim ,niiT i RI x f x y dxdy ξ→=∆=∑⎰⎰，即()()(),,.bbdaa c Rf x y dxdy I x dx f x y dy dx ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰类似地，若(),f x y 在闭矩形域(),R a x b c y d ≤≤≤≤可积，且[],,y c d ∀∈定积分存在，则累次积分(),d b caf x y dx dy⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰，也存在，且()(),,dbcaRf x y dxdy f x y dx dy⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰.也可将累次积分(),b dacf x y dy dx⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰与(),d bcaf x y dx dy⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰分别记为(),b dac dx f x y dy⎰⎰和(),dbcadx f x y dy ⎰⎰. 定义 1 设函数()()12,x x ϕϕ在闭区间[],a b 连续；函数()()12,y y ψψ在闭区间[],c d 连续，则区域()()()[]{}12,,,x y x y x x a b ϕϕ≤≤∈和()()()[]{}12,,,x y y x y y c d ψψ≤≤∈分别称为x 型区域和y 型区域.如下图（1）和（2）所示 .定理2 设有界闭区域R 是x 型区域，若函数(),f x y 在R 可积，且[],x a b ∀∈，定积分()()()21,x xf x y dy ϕϕ⎰存在，则累次积分()()()21,bxaxdx f x y dy ϕϕ⎰⎰也存在，且()()()()21,,bxaxRf x y dxdy dx f x y dy ϕϕ=⎰⎰⎰⎰.利用极坐标计算二重积分公式：()(),cos ,sin RRf x y dxdy f r r rdrd ϕϕϕ=⎰⎰⎰⎰例 1 计算二重积分()sin Rx y dxdy +⎰⎰，其中0,0.22R x y ππ⎛⎫≤≤≤≤ ⎪⎝⎭解 被积函数()cos x y +在R 连续，则有()cos Rx y dxdy +⎰⎰=()220cos dy x y dxππ+⎰⎰=220(cos cos sin sin )dy x y x y dxππ-⎰⎰=()20cos sin y y dy π+⎰= 1+01-例2 计算二重积分22Dxdxdyy⎰⎰，其中D是由直线2,x y x==和双曲线1xy=所围成，D既是x型区域又是y 型区域，如图（3）所示.解先对y积分，后对x积分.将D投影在x轴上，得闭区间[]1,2.[]1,2x∀∈,关于y积分，在D内y的积分限是1yx=到y x=，然后在投影区间[]1,2上关于x积分，即()222231221194xxDx xdxdy dx dy x x dxy y==-=⎰⎰⎰⎰⎰.先对x积分，后对y积分.因为D的左侧边界不是由一个解析式给出，而是由两个解析式1xy=和y x=给出的，所以必须将图（3）所示的区域D分成两个区域()1D PRS与()2D PRQ，分别在其上求二重积分，然后再相加，即2122222122211222221294yyD D Dx x x x xdxdy dxdy dxdy dy dx dy dxy y y y y=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.例3 设函数()f x在[]0,1上连续，并设()2,f x dx B=⎰求()()22.xI dx f x f y dy=⎰⎰解因为()()()()222yxI dx f x f y dy dy f x f y dx==⎰⎰⎰⎰ ()()()()22yxf y dy f x dx f x dx f y dy==⎰⎰⎰⎰所以()()()()()()2222222x xI f x dx f y dy f x dx f y dy f x dx f y dy B =+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以22B I =.2.2 换元法求二重积分，由于某些积分区域的边界曲线比较复杂，仅仅将二重积分化为累次积分并不能得到计算结果.如果经过适当的换元或变换可将给定的积分区域变为简单的区域，从而简化了重积分的计算. 定理3若函数(),f x y 在有界闭区域R 连续，函数组()(),,,x x u v y y u v == （2）将uv 平面上区域'R 变换为xy 平面上区域R .且函数组(2)在'R 上对u 与对v 存在连续偏导数，(),'u v R ∀∈, 有()(),0,,x y J u v ∂=≠∂则()()()()',,,,,RR f x y dxdy f x u v y u v J u v dudv =⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰ （3）证明 用任意分法T 将区域R 分成n 个小区域：12,,,nR R R ⋅⋅⋅.设其面积分别是12,,,nσσσ∆∆⋅⋅⋅∆.于是，在'R 上有对应的分法'T ,它将'R 对应地分成n 个小区域12',',,'nR R R ⋅⋅⋅.设其面积分别是12',',,'n σσσ∆∆⋅⋅⋅∆.根据定理可得(),'ku v R ∀∈，有()()(),','.,k k k x y J u v u v σσσ∂∆≈∆=∆∂(),k k kR ξη∀∈，在'kR 对应唯一一点(),kkαβ，而()(),,,k k k k k k x y ξαβηαβ==.于是，()()()()11,,,,,'.nnkkkkkk k k k k k k f f x y J ξησαβαβαβσ==∆≈∆⎡⎤⎣⎦∑∑(4)因为函数组（2）在有界闭区域R 上存在反函数组()(),,,u u x y v v x y ==，并且此函数组在R 一致连续，所以当T →时，也有'0T →.对（4）取极限()0T→，有()()()()',,,,,RR f x y dxdy f x u v y u v J u v dudv =⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰.例4 计算两条抛物线2y mx=与2ynx=和两条直线y xα=与y x β=所围成R 区域的面积()0,0R m n αβ<<<<，如图（4）所示.解 已知区域R 的面积RR dxdy =⎰⎰.设2,.y yu v x x==这个函数将xy 平面上的区域R 变换为uv 平面上的区域'R ，'R 是由直线,u m u n ==和,v v αβ==所围成的矩形域.()()()()43224222,11.,,2,1x y x y x uu v u v y x y v y yx y x xy x x∂⎛⎫===== ⎪∂∂⎝⎭-∂-由定理3可知,()()4',,n m RR x y u R dxdy dudv dv duu v v βα∂===∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()223322433.26n m n m dv v βαβααβ---==⎰本题是典型的运用换元法解决二重积分求面积的问题。
二重积分计算中“分部积分法”的应用
二重积分计算中“分部积分法”的应用
祝浩锋;李慧
【期刊名称】《浙江海洋学院学报：人文科学版》
【年(卷),期】1995(000)003
【摘要】众所周知,计算二重积分的基本方法是将二重积分化为累次积分,但有时碰到所化成的累次积分不易计算(被积函数的原函数在初等函数中不存在)如此时,通常处理的方法是交换积分顺序,如上述积分改为本文将“分部积分法”用于不易积分的累次积分,常常可不交换积分顺序而极方便地算出该累次积分。
【总页数】2页(P50-51)
【作者】祝浩锋;李慧
【作者单位】
【正文语种】中文
【中图分类】O172.2
【相关文献】
1.二重积分在单积分计算中的应用 [J], 马醒花
2.MATLAB在二重积分计算中的应用 [J], 徐薇薇
3.一题多解在二重积分计算中的应用 [J], 段文梅
4.分部积分法在二重积分中的应用 [J], 潘志
5.对称性在二重积分计算中的应用 [J], 陈楚申;廖小莲
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二重积分的计算法直角坐标
二重积分的计算法直角坐标二重积分是计算二元函数在平面区域上的积分。
在直角坐标系中，二重积分的计算通常涉及到积分区域的边界方程、坐标变换、积分次序以及积分方法等。
首先，我们需要确定积分区域的边界方程。
对于一个平面区域D，其边界可以由直线、抛物线、圆和其他型曲线组成。
我们需要将边界方程进行参数化以便于积分求解。
具体的参数化方法视具体情况而定，这里以圆为例进行解释：若积分区域D被圆x^2+y^2=a^2所围成，我们可以将边界方程参数化为x=a*cosθ，y=a*sinθ，其中θ的取值范围为0到2π。
这样，我们就可以将二重积分的计算问题转化为对参数θ的积分。
接下来，我们需要进行坐标变换。
坐标变换的目的是将原有的直角坐标系转化为新的坐标系，以便于积分计算。
常用的坐标变换有极坐标变换和直角坐标系的转换。
在极坐标变换中，我们可以将二重积分的计算问题转化为极坐标系中的积分。
通过将原有的直角坐标系中的x和y用极坐标的r和θ表示，便可以将二重积分转化为极坐标系下的积分。
极坐标变换公式如下：x = r*cosθ，y = r*sinθ。
在直角坐标系的转换中，我们需要利用雅可比行列式对原有的直角坐标系进行转换。
例如，若引入新的变量u和v，则有：x=Φ(u,v)，y=Ψ(u,v)。
对于这种情况，我们需要计算雅可比行列式的值，ΦuΨv - ΦvΨu。
根据直角坐标的转换公式，我们可以计算出du和dv之间的关系。
然后，通过坐标变换将二重积分转化为新的变量u和v上的积分。
在确定了积分区域的边界方程和进行了坐标变换后，我们需要确定积分的次序。
二重积分的次序可以按照水平方向或者垂直方向进行。
选择合适的次序可以简化计算过程，提高计算效率。
对于次序的选择，可以根据积分函数本身的特点，以及积分区域的形状和边界方程进行判断。
通常情况下，我们选择次序是按照从内层到外层的顺序进行。
最后，我们需要选择适当的积分方法对二重积分进行计算。
常用的积分方法有直接计算、分部积分、换元积分、数值积分等。
二重积分的计算
由给定的积分限可知积分区域D的范围为
0 ≤ y ≤1(外层积分限所确定 ), y ≤ x ≤1(内层积分限所确定 ).
1,2 在y轴上的积分区间为 2
1 当 ≤ y ≤1 时,平行于x轴的直线与区域D相交时, 2 1 沿x轴正方向看,入口曲线为x = ,出口曲线为x=2. y
当1 ≤ y ≤ 2时,平行于x轴的直线与区域D相交时, 沿x轴正方向看,口曲线为x=y,出口曲线为x=2.
2 2 x2 1 2x 2 2x ∴∫∫ 2 dxdy = ∫1 dy∫1 2 dx + ∫1 dy∫y 2 dx y 2 y y D y
=∫
2 6x x2 0
[
3yx
]
y 3(1 ) 2 dy 0
=∫
2 9(1 y + 0
y )dy = 6 , 4
这个结果与我们熟知的四面体的体积 1 1 1 V = 底×高= × 2×3 × 6 = 6 3 3 2 是一致的.
y 例2 计算积分∫∫ 2 dxdy,其中D是正方形区域: Dx
2 2 D
2 1 π 2 = ∫02 [sin( xy )] 0 dx 2 1 π = ∫02 sin 4xdx 2 = 0.
π 2 0
x2 1 例6 计算 ∫∫ 2 dxdy,其中D由不等式 y ≤ x,≤ xy Dy 及 x ≤ 2所确定.
解法1 化为先对y积分后对x积分的二次积分. 作平行于y轴的直线与区域D相交,沿y轴正方 向看,入口曲线为 y = 1 ,出口曲线为y=x, y=x x 因此
因此
∫∫ f (x, y)dxdy = ∫
D d
d S( y)dy c
= ∫c ∫x ( y) f (x, y)dx dy
高等数学第九章习题课二重积分的计算
习题课二重积分的计算一、主要内容二重积分的计算方法是累次积分法，化二重积分为累次积分的步骤是：①作出积分区域的草图②选择适当的坐标系③选定积分次序，定出积分限1。
关于坐标系的选择这要从积分区域的形状和被积函数的特点两个方面来考虑看图定限 —穿越法定限 和不等式定限先选序，后定限①直角坐标系ⅰ。
先 y 后 x ，过任一x ∈ [ a , b ],作平行于 y 轴的直线穿过D 的内部从D 的下边界曲线)(1x y ϕ=穿入—内层积分的下限从上边界曲线)(2x y ϕ=穿出—内层积分的上限ⅱ。
先 x 后 yy 过任一 yy ∈[ c , d ] 作平行于 x 轴的直线定限左边界)(1y x ψ=——内层积分的下限右边界)(2y x ψ=——内层积分的上限则将D 分成若干个简单区域再按上述方法确定每一部分的上下限分片计算，结果相加②极坐标系积分次序一般是θ后先r 过极点O 作任一极角 为 θ]),[(βαθ∈的射线从D 的边界曲线 )(1θr 穿入从 )(2θr 穿出ⅲ。
如D 须分片)(1θr ——内下限)(2θr —内上限具体可分为三种情况)()(,21θθβθαr r r ≤≤≤≤⑵极点在D 的边界上)()(,21θθβθαr r r ≤≤≤≤是边界在极点处的切线的极角βα,)(1θr 绝大多数情况下为0⑶极点在D 的内部)(0,20θπθr r ≤≤≤≤化累次积分后外限是常数内限是外层积分变量的函数或常数极坐标系下勿忘 r⑴极点在D 的外部∫∫∫∫=D Ddxdy x y f dxdy y x f ),(),(——称为关于积分变量的轮换对称性是多元积分所独有的性质奇函数关于对称域的积分等于0，偶函数关于对称域的积分等于对称的部分区域上积分的两倍，完全类似于 对称区间上奇偶函数的定积分的性质简述为“你对称，我奇偶”①、②、③简单地说就是④若 DD 关于直线 y = x 对称。
二重积分的计算方法
二重积分的计算方法2. 二重积分的计算法目前所能接触到的方法是：将二重积分化为两次单积分将二重积分化为两次单积分_接下来介绍：①直角坐标系②极坐标③二重积分的换元法（至于二重积分的换元法，仅作简单介绍）2.1 利用直角坐标计算二重积分本质思想是通过画图来判断是先对x还是先对y积分。
（先对哪一个积分不绝对，需要具体问题具体分析，但仍需考虑图形，这里不过多解释为什么，仅给出相关题型的做法）下面的介绍中，默认f(x,y)≥0①有如下闭区域D：∬Df(x,y) dσ=∫abdx∫ϕ1(x)ϕ2(x)f(x,y) dy（先对y后对x）②∬Df(x,y) dσ=∫cddy∫ψ1(y)ψ2(y)f(x,y) dx（先对x后对y）（注：这里未考虑在立体空间中的形状，但只研究物体在xOy面上的投影即可解决问题）我们称①、②中的区域分别为X型区域、Y型区域。
（按先对、x、y中的哪个积分来命名）若闭区域D既是X型区域，又是Y型区域，则选择哪一种都可以（尽量找简单的）不管先对还是进行积分，要找准积分限不管先对x还是y进行积分，要找准积分限“每个人都有每个人的理解方式，这里我有些解释不出来，大家自行领会吧”注：在解题时，注意使用可加性"可加性"，区间可以分为X型、Y型，既是X型又是Y型的，此时我们对其分别求二重积分即可。
这里给出一个例子来让大家认识到选择正确的积分次序的重要性：计算∬Dy1+x2−y2 dσ，其中区域D是由、、y=x、x=−1、y=1围成的闭区域。
显然D既是X型，又是Y型积分区域，现在我们用两种方法来看一下：①先对y后对x：∫−11dx∫x1y1+x2−y2 dσ（偶函数，想想为什么这里是）=−13∫−11[(1+x2−y2)32|x1] dx=−13∫−11(|x|3−1) dx_（偶函数，想想为什么这里是|x|3）=−23∫01(x3−1)dx=−23(x44−x)|01 =−23⋅(14−1)=12②先对x后对y：∫−11dy∫y1y1+x2−y2dx=∫−11[xy(1+x2−y2)12|1y−∫1yx d[y(1+x2−y2)12]]=∫−11[y2−y2−y2−∫1yx2y1+x2−y2 dx]dy此时还需求∫1yx2y1+x2−y2 dx，难免比较麻烦。
经典高等数学课件D10-2二重积分的计算(1)
1
e y2
(
x3
)
y
dy
D
0
0
0
3
0
e1 y2 y3 dy e1 y2 y2 d(y2 ) 1 (1 2).
0
3
0
6
6e
19
例4. 计算 xyd ,其中D是由 y2 x，y x 2 所围的区域.
D
解:区域D的图形如右阴影部分， y
解方程组
y2
x,
y x 2.
(4,2) x y2 2
于是得到：
y
A( x0) o
D
a
x0
y
b
1(
x)x
A( x0 )
2 ( x0 ) 1 ( x0 )
f
(
x0 ,
y)d
y.
x [a,b], 则x对应的截面面积是A( x) 2(x) f ( x, y)d y, 1( x)
则V f (x, y)d
b
A(x)d x
b
[
2(x) f (x,
分析:如图. D : 0 x 1, x y 1
1
则
x2e y2dxdy
1
dx
1 x2e y2 dy
0
x
y
yx
D
Q e y2dy无法用初等函数表示.
o
1x
积分时必须考虑次序.
解: 由于D : 0 y 1,0 x y
则
x2e y2dxdy
1
dy
y x 2e y2 dx
解: 积分区域 D D1 D2 ,
y
D1 :1 y 0，0 x 1 y,
1
D2 : 0 y 1，0 x 1 y.
微积分大一下学期所有公式大全(经管系)
B
2
则： B2
AC AC
0时， AA
0, 0,
( (
x0 x0
, ,
y0 y0
)为极大值 )为极小值
0时， 无极值
B
2
AC
0时,
不确定
十八.二重积分的计算：
［X－型］
f ( x, y)d
b
dx
2( x) f ( x, y)dy.
D
a
1 ( x )
［Y－型］
十四．二阶常系数非齐次线性微分方程 （ y py qy f (x)，p, q为常数 ）
0 不是根
1.
f
(x)
ex Pm (x)型，为常数；设
y
xkexQm (x)
,
k 1 2
是单根 是重根
,
2. f (x) ex[Pl (x) cosx Pn (x) sin x]型 设 y xkex[Rm(1) (x) cosx Rm(2) (x) sin x],
f cot x csc2 xdx f cot xd cot x
f
arctan
x
1
1 x
2
dx
f
arc ta n x d arc ta n
x
f arcsin x
1 1 x2
dx
f
arcsin x d arcsin x
uvdx uv uvdx
四.分部积分法公式（选择 U 的顺序：对反幂三指）
y
z y
2z y2
f yy(x,
y),
（纯偏导）
y
z x
2z xy
fxy (x,
y),
x
z y