高中数学新课程创新教学设计案例50篇___37_向量加法运算及其几何意义

37 向量加法运算及其几何意义
教材分析
引入向量后，考查向量的运算及运算律，是数学研究中的基本的问题．教材中向量的加法运算是以位移的合成、力的合成等物理模型为背景引入的，在此基础上抽象概括了向量加法的意义，总结了向量加法的三角形法则、平行四边形法则．向量加法的运算律，教材是通过“探究”和构造图形引导学生类比数的运算律，验证向量的交换律和结合律．例2是一道实际问题，主要是要让学生体会向量加法的实际意义．这节课的重点是向量加法运算（三角形法则、平行四边形法则），向量的运算律．难点是对向量加法意义的理解和认识．
教学目标
1. 通过物理学中的位移合成、力的合成等实例，认识理解向量加法的意义，体验数学知识发生、发展的过程．
2. 理解和掌握向量加法的运算，熟练运用三角形法则和平行四边形法则作向量的和向量．
3. 理解和掌握向量加法的运算律，能熟练地运用它们进行向量运算．
4. 通过由实例到概念，由具体到抽象，培养学生的探究能力，使学生数学地思考问题，数学地解决问题．
任务分析
这节的主要内容是向量加法的运算和向量加法的应用．对向量加法运算，学生可能不明白向量可以相加的道理，产生疑惑：向量既有大小、又有方向，难道可以相加吗？为此，在案例设计中，首先回顾物理学中位移、力的合成，让学生体验向量加法的实际含义，明确向量的加法就是物理学中的矢量合成．在此基础上，归纳总结向量加法的三角形法则和平行四边形法则．向量加法的运算律发现并不困难，主要任务是让学生对向量进行探究，构造图形进行验证．关于例2的教学，主要是帮助学生正确理解题意，把问题转化为向量加法运算．
教学设计
一、问题情境
1. 如图，某物体从A点经B点到C点，两次位移，的结果，与A点直接到C 点的位移结果相同．
2. 如图，表示橡皮筋在两个力F1，F2的作用下，沿GE的方向伸长了EO，与力F的作用结果相同．
位移与合成为等效，力F与分力F1，F2的共同作用等效，这时我们可以
认为：，F分别是位移与、分力F1与F2某种运算的结果．数的加法启发我们，位移、力的合成可看作数学上的向量加法．
2. 在师生交流讨论基础上，归纳并抽象概括出向量加法的定义
已知非零向量a，b（如图37-3），在平面内任取一点A，作＝a，＝b，再作
向量，则向量叫a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝.
求两个向量和的运算，叫作向量的加法．这种求向量和的作图法则，称为向量求和的三角形法则，我们规定0＋a＝a＋0＝ａ．
3. 提出问题，组织学生讨论
（1）根据力的合成的平行四边形法则，你能定义两个向量的和吗？
（2）当a与b平行时，如何作出a＋b？
强调：向量的和仍是一个向量．用三角形法则求和时，作图要求两向量首尾相连；而用平行四边形法则求和时，作图要求两向量的起点平移在一起．
（3）实数的运算和运算律紧密联系，类似地，向量的加法是否也有运算律呢？首先，让学生回忆实数加法运算律，类比向量加法运算律．向量加法的交换律由平行四边形法则容易验证．向量加法的结合律的验证则比较困难，教学时，应放手让学生进行充分探索．最后通过下面的两个图形验证加法结合律．
三、解释应用
［例题］
1. 已知非零向量a，b，就（1）a与b不共线，（2）a与b共线，分别求作向量a＋b．
注：要求写出作法，规范解题格式．
2. 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输．一艘轮船从长江南岸Ａ点出发，以5km／h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km／h．
（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度．
（2）求船实际航行的速度的大小与方向（速度的大小保留2个有效数字，方向用与江水速度间的夹角表示，精确到度）．
［练习］
1. 如图，已知a，b，画图表示a＋b．
2. 已知两个力F1，F2的夹角是直角，合力F与F1的夹角是60°，｜F｜＝10N，求F1
和F2的大小．
3. 在△ABC中，求证.
4. 在n边形A1A2…A n中，计算
四、拓展延伸
1. 对于任意向量a，b，探索｜a＋b｜与｜a｜＋｜b｜的大小，并指出取“＝”号的条件．
2. 在求作两个向量和时，你可能选择不同的始点求和．你有没有想过，选择不同的始点作出的向量和都相等吗？你可能认为，这是“显然”对的，你能证明这个问题吗？
点评
向量的加法运算是向量的基本运算．为了正确认识理解向量加法的运算，案例首先回顾了的物理学中的位移、力的合成．在此基础上，使学生认识到：物理学中的矢量合成可抽象为数学中的向量加法运算，进而总结出向量加法的三角形法则，平行四边形法则，这样设计自然，流畅，全面．向量加法的运算律的教学，是引导学生通过类比方法发现的，并让学生自主探索，构造图形验证，这样不仅体现了学生的主体地位，同时还能培养学生科学的探究能力．例题与练习、“拓展延伸”的设计，有层次，有力度，深入浅出，能较好地培养学生的创新能力．这是一篇优秀的案例设计．。