《概率论》PPT课件 第五章

X : 访问网站的用户数 A : 访问网站, A : 不访问网站, p P(A), q P(A)
那么, p 0.2, q 0.8, X ~ B(10000,0.2)
由二项分布中心极限定理
X ~ N(100000.2,100000.20.8),即X ~ N(2000,1600)
(1)P1900 X 2100 2100 2000 1900 2000
)
(2n
)
2
1 22n1
1
D(
X
n
)
E(
X
2 n
)
E2
(
X
n
)
1
所以{Xn}服从大数定律。
5.3
独立同分布中心极限定理
设 X1,X2, …,Xn, …独立同分布，具有有限
数学期望和方差：E(Xi) =μ,D(Xi) =σ2，
i=1,2, …，则有
n
Xi n
lim P{ i1
x}
x
n
n
-
X n / Yn a / b
依分布收敛
设随机变量序列{Xn}和随机变量X的分布 函数分别为{Fn(x)} 和F(x)，如果对F(x)的
任一连续点x,有
lim
n
Fn
(x)
F
(x)
则称{Xn}依分布收敛于X，记做
L
Xn X
定理2
P
L
若X n X，则X n X
P
L
X n a X n a（a为常数）
2
即Yn
X np
L
U (设U ~ N(0,1))
np(1 p)
例2. 某互联网站有10000个相互独立的用 户，已知每个用户在平时任一时刻 访问网站的概率为0.2。求： (1)在任一时刻，有1900~2100个用 户访问该网站的概率； (2)在任一时刻，有2100个以上用户 访问该网站的概率。
1
n
n i 1
Xi
P
例1. 设{X n}为相互独立的随机变量序列， 分布列如下，问{X n}是否服从大数定律？
X n 2n
0
2n
p
1 22n1
1
1 22n
1 22n1
解： E(Xn ) (2n )
1 22n1
0
(1
1 22n
)
2n
1 22n1
0
E
(
X
2 n
)
(2n
)2
1 22n1
02
(1
1 22n
Xi : 各个加数的取整误差,i 1,2,...,1200
Xi
~
U (0.5,0.5),
E(Xi
)
0
, D(Xi )
1 12
2
由独立同分布中心极限定理
1200
Xi ~ N (1200,1200 2 )
i 1
12Leabharlann Baidu0
Xi ~ N (0,100)
i 1
P 1200 Xi 12 1 P 1200 Xi 12
证：Xi的分布函数为
0, x 0
F (x) P( Xi x) x, 0 x 1
1, x 1
P( X(n) x) P( X1 x, , X n x) n P( Xi x) x
i 1
0, x 0
x)
n
P( X i
x)
x
n
,
0 x 1
i 1
1, x 1
P{| X(n) 1| } 1 P{| X(n) 1| }
5.1
依概率收敛
设{Xn}为随机变量序列，X为随机变量，
如果对任给的ε> 0,有
lim
n
P{|
Xn
X
|
}
1
则称{Xn}依概率收敛于X，记做
P
Xn X
例1. 设{X n}独立同分布，X n ~ U (0,1)(n 1,2,...)
P
X (n) max{ X1, X 2 ,..., X n},证明X (n) 1.
1 e-t2 2dt (x)
2
n
Xi n L
即Yn
i 1
n
U (设U ~ N (0,1))
例1. 作加法时，对每个加数四舍五入取 整，各个加数的取整误差可以认为 是相互独立的，都服从( -0.5 , 0.5 )上 均匀分布。现在有1200个数相加， 问：取整误差总和的绝对值超过12的 概率是多少？
给的ε> 0,有
lim P{| X p | } 1
n
n
或
X
P
p
n
切比雪夫大数定律
设 {Xn} 为两两不相关的随机变量序列，若
每个Xi的方差存在，且有共同的上界，即
D(Xi) ≤c，i=1,2, …，则{Xn}服从大数定律,
即对任意的ε>0，有
lim P(|
n
1 n
n i 1
Xi
1 n
n i 1
i1
i1
1[21.21] 2 20.8849 0.2302
二项分布中心极限定理
设随机变量X为n次贝努利试验中事件A出
现的次数,p是每次试验中事件A发生的概率,
即X~B(n, p)(0<p<1)，则对任意x，有
X np
x
lim P{
x}
1
t2
e 2 dt (x)
n np(1 p)
5.2
大数定律
设{Xn}为随机变量序列，如果E(Xn)存在，
使得对任给的ε> 0,有
lim P(|
n
1 n
n i 1
Xi
1 n
n i 1
E(Xi ) | )
1
即 1
n
n i 1
Xi
1 n
n i 1
P
E( X i ) 0
则称{Xn}服从大数定律。
伯努利大数定律
设X是n次独立试验中事件A发生的 次数,p 是事件A在每次试验中发生的概率,则对任
1 P{X(n) 1 } P{X(n) 1 } P{X(n) 1 } P{X(n) 1 }
1 1 n 1 (n )
所以，X(n) P1
定理1
设{Xn}、 {Yn}为随机变量序列，a,b为两个 常数，如果
P
Xn a
P
Yn b
则有， Xn Yn Pa b
Xn Yn Pa b
P
E(Xi ) | )
1
或
1
n
n i 1
Xi
1 n
n i 1
P
E( X i ) 0
辛钦大数定律
设 {Xn} 为独立同分布随机变量序列，若每
个Xi的数学期望存在，即E(Xi) =μ，
i=1,2, …，则{Xn}服从大数定律,即对任意
的ε>0，有
lim P(|
n
1 n
n i 1
Xi
| )
1
或
X : 实际开工的车床数 A : 车床开工, A : 车床不开工, p P(A), q P(A)
那么, p 0.6, q 0.4, X ~ B(200,0.6)
由二项分布中心极限定理 X ~ N(2000.6,2000.60.4),即X ~ N(120,48)
40 40
22.51 20.99381 0.9876
(2)PX 2100 1 2100 2000 1 0.9938 0.0062
40
例3. 某车间有200台独立工作的车床，各 台车床开工的概率都是0.6，每台车 床开工时要耗电1千瓦。问供电所至 少要供给这车间多少千瓦电力，才能 以99.9%的概率保证这个车间不会因 为供电不足而影响生产。