第3节向量代数(第3节：数量积、向量积)

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高等数学高数课件 8.3数量积、向量积、混合积

的单位向量.
解
i j k i j c a b ax a y az 3 2
k
4 10 j 5k,
bx by bz 1 1 2
| c | 102 52 5 5,
c
|
c c
|
2
j
5
1 5
k
.
例7 在顶点为 A(1,1,2)、B(5,6,2) 和 C(1,3,1)
的三角形中, 求 AC 边上的高 BD.
解 AC 0,4,3, AB 4,5,0,
三角形 ABC 的面积为
S
Hale Waihona Puke 1 2|AC
AB
|
1 2
152
122
162
25 2
,
又
S
1 2
|
AC
|
|
BD
|,
|
AC |
42 (3)2 5,
所以
25 2
1 2
5
|
BD
|,
从而 | BD | 5.
例8
设向量
m
,
n,
p
两两垂直,
符合右手规则,
且
| m | 4,
2
3 .
(3) a b | b | Pr jba,
4 Pr
jba
a b |b |
3.
例2
证明向量
c
与向量
(a
c
)b
(b
c )a
垂直.
证 [(a c )b (b c )a] c
[(a c )b c (b c )a c]
(b c )[a c a c]
ax j ax
bx
bx

《数量积和向量积》课件

数量积和向量积的性质和运算法则
数量积的性质
• 数量积满足交换律 • 数量积与向量的模长的
乘积等于两个向量夹角的余弦值
向量积的性质
• 向量积垂直于参与运算的两个向量
• 向量积的模长等于以两个向量为邻边的平行四边形的面积
数量积和积乘以它们夹角的
• 余向弦量值积的运算法则：向量积等于两个向量模长的乘积乘以它们夹角的正弦值，并与参与运算的两个向量的法向量方向相符。
数量积的应用
1 向量投影
在数量积的基础上，我们可以求得一个向量在另一个向量方向上的投影。
2 向量夹角
通过计算数量积的值，可以得到两个向量夹角的余弦值，从而求得它们的夹角。
《数量积和向量积》PPT 课件
本课件将介绍数量积和向量积的定义、基本概念以及它们的性质和运算法则。还将探讨数量积和向量积在实际应用中的作用和应用实例。
数量积的定义和基本概念
1 数量积的定义
数量积，又称点积或内积，是两个向量之间的一种运算，用数值表示。
2 向量积的定义
向量积，又称叉积或外积，是两个向量之间的一种运算，结果是一个新的向量。
3 求垂直分解
数量积可以用来计算一个向量在另一个向量垂直方向上的分量。
向量积的应用
1 平行四边形的面积
向量积的模长等于以两个向量为邻边的平行四边形的面积。
2 三角形的面积
通过计算两个向量的向量积的模长的一半，可以得到以这两个向量为边的三角形的面积。
3 直线的位置关系
通过计算两个向量的向量积，可以判断直线的位置关系，如相交、平行或共面。
应用实例
1
航空工程
数量积和向量积在航空工程中被广泛应
建筑设计

高等数学数量积向量积.ppt

数量积的运算律： (1)交换律 a ·bb ·a； (2)分配律：(ab) ·ca ·cb ·c． (3)(a) ·ba ·(b)(a ·b)， (a) ·(b)(a ·b)，、为数．
数量积的坐标表示：设a ax i ay j az k，b bx i by j bz k．
按数量积的运算规律可得
3
二、两向量的向量积
向量积的物理背景：
设O为一根杠杆L的支点．有一个力F 作用于这杠杆上P点处．
F 与 OMPA的夹角为．由力学规定，力 F 对支点O的力矩是一向
量 M ，它的模
|
M
||OMPA
|
|
F
|sin
，
F
而 M 的方向垂直于 MOPA与 F 所决定的 O
平面， M 的指向是的按右手规则从
两向量夹角的余弦的坐标表示：
当a 0 、b 0 时，由于 a ·b | a | | b |cos ，所以
cos a b
| a || b |
axbx ayby azbz
ax2
a
2 y
az2
bx2 by2 bz2
．
例1 已知三点M(1,1,1)、A(2,2,1)和B(2,1,2)，求AMB ．
表示位移
M1M
2
．由物理学知道，力 F
所作的功为
F
W| F | | s |cos ，
其中为 F 与 s 的夹角．
s
数量积：
对于两个向量 a 和 b
，它们的模|
a
|、|
b
M1
|及它们的夹角
M2
(0≤ θ ≤ π) 的余弦的乘积称为向量 a 和 b 的数量积，
记作 a ·b ，即

数量积和向量积

数量积和向量积1. 数量积（点积）1.1 数量积的定义数量积，又称为点积或内积，是向量运算中的一种重要操作。

它是将两个向量进行运算得到的一个标量。

向量a和b的数量积表示为a·b（或者a∙b），计算公式为：a·b = |a| × |b| × cosθ其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模（长度），θ表示夹角。

1.2 数量积的性质•交换律：a·b = b·a•分配律：(a+b)·c = a·c + b·c•数量积与夹角的关系：a·b = |a| × |b| × cosθ2. 向量积（叉积）2.1 向量积的定义向量积，又称为叉积或外积，是向量运算中的一种重要操作。

它是将两个向量进行运算得到的一个新的向量。

向量a和b的向量积表示为a×b（或者a⨯b），计算公式为：a×b = |a| × |b| × sinθ × n其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模（长度），θ表示夹角，n表示垂直于a 和b所在平面的单位法向量。

2.2 向量积的性质•反交换律：a×b = -b×a•分配律：a×(b+c) = a×b + a×c•向量积与夹角的关系：|a×b| = |a| × |b| × sinθ3. 数量积和向量积的比较3.1 运算结果类型数量积的结果是一个标量，即一个实数。

而向量积的结果是一个新的向量。

3.2 运算顺序数量积的运算顺序无关紧要，即a·b = b·a。

而向量积的运算顺序会影响结果的方向，即a×b = -b×a。

3.3 几何意义数量积的几何意义是计算向量之间的夹角，根据数量积的计算公式可以得到cosθ的值。

而向量积的几何意义是计算由两个向量构成的平面的法向量（垂直于该平面的向量）。

向量的数量积和向量积

用e表示u轴上的单位向量，则a·e为向量a在e方向上的投影，那么有
a e | a || e | cos | a | cos
例1 已知a={1，1，-4}，b={1，-2，2}，求：（1）a·b；（2）a与b的夹角；
（3）a在b上的投影。
解：（1）a b 11 1( 2 ) (-4) 2
x1x2 y1 y2 z1z2
则有两非零向量a和b的夹角θ 的余弦坐标表示为
cos a b
x1x2 y1 y2 z1z2
| a || b |
x12 y12 z12 x22 y22 z22
此时，对于非零向量a，b，有
a b x1x2 y1 y2 z1z2
如右图，则力对物体做的功为
θ
A
S
B
W | F || S | cos
2 性质：（1） a·a=|a|2
i i 1, j j 1, k k 1
（2）a b a b 0
i j 0, j k 0, k i 0
（3）θ 表示两非零向量a和b的夹角，则有
（2）a || b a b o
（3）若a≠o，b≠o，a，b的夹角为θ ，则
sin | a b |
| a || b |
3 两向量的向量积的运算律（1） a×b=-b×a；（2）（λa）×b=a×（λb）=λ（a×b （λ为常数）（3）（a+b）×c=a×c+b×c
4 两向量的向量积的坐标表示设向量
则有
a b x1x2 y1 y2 z1z2
证明：
a b (x1i y1 j z1k ) (x2i y2 j z2k )

平面向量的数量积和向量积的定义和性质

平面向量的数量积和向量积的定义和性质平面向量是代表有大小和方向的箭头，它可以用坐标表示。

在平面向量的运算中，数量积和向量积是两个重要的概念，它们分别有各自的定义和性质。

接下来将详细介绍平面向量的数量积和向量积，包括它们的定义、性质及应用。

一、数量积的定义和性质数量积又称为点积或内积，表示两个向量之间的乘积。

给定平面向量a和b，它们的数量积定义为a·b = |a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ是a和b的夹角。

数量积是一个标量。

1. 交换律：a·b = b·a2. 分配律：(c·a)·b = c·(a·b)3. a·a = |a|^2 ≥ 0，等号成立当且仅当a = 04. 如果a·b = 0，则称a和b垂直或正交。

5. 若θ是锐角，则a·b > 0；若θ是直角，则a·b = 0；若θ是钝角，则a·b < 0。

数量积的一个重要应用是求两个向量之间的夹角。

根据数量积的定义，可以得到夹角θ的公式：cosθ = a·b / (|a||b|)。

通过计算数量积可以求解两个向量之间的夹角大小。

二、向量积的定义和性质向量积又称为叉乘或外积，表示两个向量之间的叉积。

给定平面向量a和b，它们的向量积定义为a×b = |a||b|sinθn，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ是a和b的夹角，n是垂直于a和b构成的平面的单位法向量。

向量积是一个向量。

1. 反交换律：a×b = -b×a2. 分配律：a×(b+c) = a×b + a×c3. 若a和b共线或其中任意一个为零向量，则a×b = 0。

4. |a×b| = |a||b|sinθ，模长等于两个向量的模长和夹角的正弦值的乘积。

高中数学中的向量的数量积与向量积的计算

高中数学中的向量的数量积与向量积的计算向量是数学中一个重要的概念，它常用来描述力、速度、加速度等物理量。

在高中数学中，我们学习了向量的数量积与向量积的计算方法。

本文将重点介绍这两种向量运算的定义、性质和计算方法。

一、向量的数量积向量的数量积，也称为内积或点积，是两个向量之间的运算，其结果是一个实数。

数量积的定义如下：设有两个 n 维向量 A 和 B，其数量积记作 A·B 或者A∙B，定义为A·B = |A| |B| cosθ，其中 |A| 和 |B| 分别表示向量 A 和 B 的模，θ 是 A 和B 之间的夹角。

数量积的计算方法如下：设 A = (x₁, y₁, z₁) 和 B = (x₂, y₂, z₂) 是两个三维向量，它们的数量积可以表示为 A·B = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂。

数量积具有以下性质：1. 交换律：A·B = B·A2. 分配律：A·(B+C) = A·B + A·C3. 结合律：k(A·B) = (kA)·B = A·(kB)，其中 k 是实数。

4. 对于零向量 0，有 A·0 = 0。

通过数量积的计算，我们可以判断两个向量之间的相互关系。

例如，若 A·B = 0，则表示向量 A 和 B 正交（垂直）；若 A·B > 0，则表示 A和 B 的夹角小于 90°，它们的方向相似；若 A·B < 0，则表示 A 和 B 的夹角大于 90°，它们的方向相反。

二、向量的向量积向量的向量积，也称为叉积或向量积，是两个向量之间的运算，其结果是一个向量。

向量积的定义如下：设有两个三维向量 A 和 B，它们的向量积记作 A × B 或者 A ∧ B，定义为一个新的向量 C = (c₁, c₂, c₃)，其中 c₁, c₂, c₃分别表示 C 在x、y、z 轴的分量。

第三节向量的数量积与向量积

= a x bxi ⋅ i + a x b yi ⋅ j + a x bzi ⋅ k
+ a y bx j ⋅ i + a y b y j ⋅ j + a y bz j ⋅ k
+ a z bxk ⋅ i + a z b yk ⋅ j + a z bzk ⋅ k
= a x bx + a y by + az bz .
a × b = a ⋅ b sin ( a , b ) = 0, 因此 a × b = 0.
反之，反之，当 a、b 为非零向量，且 a × b = 0 时，则为非零向量，
a ⋅ b sin (a , b) = 0. 因为 a ≠ 0 , b ≠ 0 . 所以 sin (a , b) = 0. 从而断定 (a , b) = 0 或 π，
a ⋅b cos (a , b) = a ⋅b
=
axbx + ayby + azbz a +a +a ⋅ b +b +b
2 x 2 y 2 z 2 x 2 y 2 z
.
例 1 已知 a = i + j，b = i + k，求a ⋅ b, cos (a , b) ，，及 ab . 解由公式可得
= c ×a.
从而
例 8 已知 a + b + c = 0，求证 a ´ b = b ´ c ，
证明因为 a + b + c = 0 ，所以 a = − ( b + c ) ,
a × b = − (b + c ) × b = −( b × b + c × b )
= −c × b = b × c .

向量的数量积与向量积

向量的数量积与向量积向量是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域。

向量的数量积和向量积是向量运算中的两个重要概念。

本文将详细介绍向量的数量积和向量积的定义、性质和应用。

一、向量的数量积向量的数量积也被称为点积或内积，用符号"·"表示。

给定两个向量a和b，向量的数量积定义为a·b = |a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的长度，θ表示a和b之间的夹角。

数量积具有以下性质：1. 对于任意向量a和b，a·b = b·a，即数量积满足交换律。

2. 对于任意向量a，a·a = |a|^2，其中|a|^2表示向量a的长度的平方。

3. 如果两个向量a和b垂直（夹角为90度），则a·b = 0，即垂直向量的数量积为零。

4. 对于任意向量a和b，有a·b = |a||b|cosθ，其中θ为向量a和b之间的夹角。

数量积的应用非常广泛，例如在力学中，可以通过计算向量的数量积来求解两个力的合力和共线力。

在几何学中，可以利用数量积的性质来证明两个向量是否垂直或平行。

二、向量的向量积向量的向量积也被称为叉积或外积，用符号"×"表示。

给定两个向量a和b，向量的向量积定义为a×b = |a||b|sinθn，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的长度，θ表示a和b之间的夹角，n表示垂直于a和b所在平面的单位法向量。

向量积具有以下性质：1. 对于任意向量a和b，a×b = -b×a，即向量积满足反交换律。

2. 对于任意向量a，a×a = 0，即向量与自身的向量积为零。

3. 对于任意向量a和b，有|a×b| = |a||b|sinθ，其中θ为向量a和b之间的夹角，|a×b|表示向量a和b的向量积的长度。

向量积在物理学、几何学和工程学等领域中被广泛应用。

空间向量的数量积和向量积

空间向量的数量积和向量积空间向量是三维空间中的矢量，有数量积和向量积两种运算。

一、数量积数量积，也称为点积或内积，是指两个向量之间进行的一种运算，结果是一个标量。

数量积的计算方法是将两个向量的对应分量相乘，并将乘积相加。

设有两个向量A = (A1, A2, A3)和A = (A1, A2, A3)，它们的数量积表示为A·A。

计算公式如下：A·A = A1A1 + A2A2 + A3A3数量积有以下几个重要性质：1. 交换律：A·A = A·A2. 结合律：(AA)·A = A(A·A) = A·(AA)，其中A为常数。

3. 分配律：A·(A + A) = A·A + A·A数量积可以用来计算向量之间的夹角和向量的投影。

夹角公式如下：cos A = A·A / (│A││A│)其中，A为A和A之间的夹角，│A│和│A│分别为向量A和A的模。

二、向量积向量积，也称为叉积或外积，是指两个向量之间进行的一种运算，结果是一个新的向量。

向量积的计算方法是利用行列式，将原向量和单位向量按照一定的顺序排列成矩阵，然后计算该矩阵的行列式。

设有两个向量A = (A1, A2, A3)和A = (A1, A2, A3)，它们的向量积表示为A×A。

计算公式如下：A×A = (A2A3 - A3A2, A3A1 - A1A3, A1A2 - A2A1)向量积有以下几个重要性质：1. 反交换律：A×A = -A×A2. 分配律：A×(A + A) = A×A + A×A向量积的模可以表示为：│A×A│ = │A││A│sinA其中，A为A和A之间的夹角，│A×A│为向量积的模。

向量积可以用来计算以两个向量为邻边所构成的平行四边形的面积，并且垂直于这两个向量的方向。

向量积数量积

向量积数量积向量积，也称为数量积或点积，是线性代数中的一个重要概念。

它是两个向量的乘积，得到的结果是一个标量。

本文将深入探讨向量积的定义、性质和应用。

一、向量积的定义向量积是两个向量的乘积，表示为A·B，读作A点乘B。

对于二维向量A=(x1, y1)和B=(x2, y2)，它们的向量积定义为A·B = x1x2 + y1y2。

对于三维向量A=(x1, y1, z1)和B=(x2, y2, z2)，它们的向量积定义为A·B = x1x2 + y1y2 + z1z2。

二、向量积的性质1. 向量积满足交换律：A·B = B·A。

这意味着两个向量的顺序对结果没有影响。

2. 向量积不满足结合律：(A·B)·C ≠ A·(B·C)。

这意味着向量积不具备结合性质。

3. 向量积与向量的夹角：A·B = |A||B|cosθ，其中θ是A和B 之间的夹角。

4. 向量积与正交性：如果两个向量的向量积为0，即A·B = 0，那么它们是正交的，也就是说它们的夹角为90度。

三、向量积的应用1. 计算力矩：在物理学中，力矩是指力对物体产生旋转的效果。

对于一个力F作用在位置矢量r上，其力矩M定义为M = r × F，其中×表示向量积。

通过向量积可以方便地计算力矩的大小和方向。

2. 判断向量的方向：通过向量积可以判断两个向量的相对方向。

如果A·B > 0，那么A和B的夹角小于90度；如果A·B < 0，那么A和B的夹角大于90度；如果A·B = 0，那么A和B是正交的。

3. 计算平面的法向量：对于一个平面上的两个非零向量A和B，它们的向量积A·B可以得到平面的法向量。

法向量垂直于平面，可以用来描述平面的性质和方程。

4. 计算三角形的面积：对于三角形的两条边A和B，它们的向量积的大小的一半可以表示三角形的面积。

第3节平面向量的数量积及平面向量的应用

第3节平面向量的数量积及平面向量的应用知识梳理1.平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角.(2)数量积的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a 与b 的数量积(或内积)a ·b ＝|a ||b |cos__θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0. (3)数量积的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos__θ的乘积.2.平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为向量a ，b 的夹角. (1)数量积：a ·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2.(2)模：|a |＝a ·a ＝x 21＋y 21.(3)夹角：cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. (4)两非零向量a ⊥b 的充要条件：a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(5)|a ·b |≤|a ||b |(当且仅当a ∥b 时等号成立)⇔|x 1x 2＋y 1y 2|≤x 21＋y 21·x 22＋y 22.3.平面向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a (交换律).(2)λa ·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )(结合律). (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律). 4.平面几何中的向量方法三步曲：(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系； (3)把运算结果“翻译”成几何关系.1.两个向量a ，b 的夹角为锐角⇔a ·b >0且a ，b 不共线；两个向量a ，b 的夹角为钝角⇔a ·b <0且a ，b 不共线. 2.平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2； (2)(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. (3)(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2.3.数量积运算律要准确理解、应用，例如，a ·b ＝a ·c (a ≠0)，不能得出b ＝c ，两边不能约去同一个向量.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)两个向量的夹角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.( )(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.( )(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( )(4)若a ·b ＝a ·c (a ≠0)，则b ＝c .( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× 解析 (1)两个向量夹角的范围是[0，π].(4)由a ·b ＝a ·c (a ≠0)得|a ||b |·cos 〈a ，b 〉＝|a ||c |·cos 〈a ，c 〉，所以向量b 和c 不一定相等.2.已知向量a ＝(1，1)，b ＝(2，4)，则(a －b )·a ＝( ) A.－14 B.－4C.4D.14答案 B解析由题意得a －b ＝(－1，－3)，则(a －b )·a ＝－1－3＝－4. 3.设a ，b 是非零向量，则“a ·b ＝|a ||b |”是“a ∥b ”的( ) A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析设a 与b 的夹角为θ.因为a ·b ＝|a |·|b |cos θ＝|a |·|b |，所以cos θ＝1，即a 与b 的夹角为0°，故a ∥b .当a ∥b 时，a 与b 的夹角为0°或180°，所以a ·b ＝|a |·|b |cos θ＝±|a |·|b |，所以“a ·b ＝|a |·|b |”是“a ∥b ”的充分而不必要条件.4.(2020·湘潭模拟)已知平面向量a ，b ，满足|a |＝|b |＝1，若(2a －b )·b ＝0，则向量a ，b 的夹角为( ) A.π6 B.π4C.π3D.2π3答案 C解析由(2a －b )·b ＝0，可得a ·b ＝12b 2＝12，设向量a 、b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝12，又θ∈[0，π]，所以向量a 、b 的夹角为π3.5.(多选题)(2021·青岛统检)已知向量a ＋b ＝(1，1)，a －b ＝(－3，1)，c ＝(1，1)，设a ，b 的夹角为θ，则( ) A.|a |＝|b | B.a ⊥c C.b ∥cD.θ＝135°答案 BD解析由a ＋b ＝(1，1)，a －b ＝(－3，1)，得a ＝(－1，1)，b ＝(2，0)，则|a |＝2，|b |＝2，故A 不正确；a ·c ＝－1×1＋1×1＝0，故B 正确；不存在λ∈R ，使b ＝λc 成立，故C 不正确；cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－22×2＝－22，所以θ＝135°，故D 正确.综上知选BD.6.(2020·全国Ⅱ卷)已知单位向量a ，b 的夹角为45°，k a －b 与a 垂直，则k ＝________. 答案 22解析由题意知(k a －b )·a ＝0，即k a 2－b ·a ＝0. 因为a ，b 为单位向量，且夹角为45°，所以k ×12－1×1×22＝0，解得k ＝22.考点一平面向量的数量积运算1.已知向量a ，b 满足|a |＝1，a ·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝( ) A.4 B.3C.2D.0答案 B解析 a ·(2a －b )＝2|a |2－a ·b ＝2×12－(－1)＝3.2.(2020·北京卷)已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足AP →＝12()AB →＋AC →，则|PD→|＝__________；PB →·PD →＝__________. 答案5 －1解析法一 ∵AP→＝12(AB →＋AC →)，∴P 为BC 的中点.以A 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意知A (0，0)，B (2，0)，C (2，2)，D (0，2)，P (2，1)，∴|PD →|＝（2－0）2＋（1－2）2＝ 5. 易得PB→＝(0，－1)，PD →＝(－2，1). ∴PB→·PD →＝(0，－1)·(－2，1)＝－1.法二如图，在正方形ABCD 中，由AP→＝12(AB →＋AC →)得点P 为BC的中点，∴|PD→|＝12＋22＝ 5. PB→·PD →＝PB →·(PC →＋CD →)＝PB →·PC →＋PB →·CD → ＝－PB→2＋0＝－1. 3.在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝23，AD ＝5，∠A ＝30°，点E 在线段CB的延长线上，且AE ＝BE ，则BD →·AE →＝________. 答案－1解析如图，在等腰△ABE 中，易得∠BAE ＝∠ABE ＝30°，故BE ＝2. 则BD→·AE →＝(AD →－AB →)·(AB →＋BE →) ＝AD→·AB →＋AD →·BE →－AB →2－AB →·BE → ＝5×23×cos 30°＋5×2×cos 180°－12－23×2×cos 150° ＝15－10－12＋6＝－1.4.(2020·新高考山东卷)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP→·AB →的取值范围是( ) A.(－2，6) B.(－6，2)C.(－2，4)D.(－4，6)答案 A解析法一如图，取A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (2，0)，C (3，3)，F (－1，3).设P (x ，y )，则AP→＝(x ，y )，AB →＝(2，0)，且－1＜x ＜3.所以AP →·AB →＝(x ，y )·(2，0)＝2x ∈(－2，6). 故选A.法二 AP→·AB →＝|AP →|·|AB →|·cos ∠P AB ＝2|AP →|·cos ∠P AB ，又|AP→|cos ∠P AB 表示AP →在AB →方向上的投影. 结合几何图形，当点P 与F 重合时投影最小，当P 与点C 重合时，投影最大，又AC→·AB →＝23×2×cos 30°＝6，AF →·AB →＝2×2cos 120°＝－2，故当点P 在正六边形ABCDEF 内时，－2<AP →·AB →<6.感悟升华 1.计算平面向量的数量积主要方法： (1)利用定义：a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉.(2)利用坐标运算，若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. (3)活用平面向量数量积的几何意义.2.解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简后再运算.但一定要注意向量的夹角与已知平面几何图形中的角的关系是相等还是互补.考点二向量数量积的性质及应用角度1夹角与垂直【例1】(1)(2020·全国Ⅱ卷)已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是()A.a＋2bB.2a＋bC.a－2bD.2a－b(2)(2021·新高考8省联考)已知单位向量a，b满足a·b＝0，若向量c＝7a＋2b，则sin〈a，c〉等于()A.73 B.23 C.79 D.29答案(1)D(2) B解析(1)易知a·b＝|a||b|cos 60°＝1 2，则b·(a＋2b)＝52≠0，b·(2a＋b)＝2≠0，b·(a－2b)＝a·b－2b2＝－32≠0，b·(2a－b)＝0.因此b⊥(2a－b).(2)法一设a＝(1，0)，b＝(0，1)，则c＝(7，2)，∴sin〈a，c〉＝2 3.法二a·c＝a·(7a＋2b)＝7a2＋2a·b＝7，|c|＝（7a＋2b）2＝7a2＋2b2＋214a·b＝7＋2＝3，∴cos〈a，c〉＝a·c|a||c|＝71×3＝73，∴sin〈a，c〉＝2 3.角度2平面向量的模【例2】(1)(2020·南昌模拟)设x，y∈R，a＝(x，1)，b＝(2，y)，c＝(－2，2)，且a⊥c，b∥c，则|2a＋3b－c|＝()A.234B.26C.12D.210(2)已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的最大值是________.答案 (1)A (2)2＋1解析 (1)因为a ⊥c ，所以a ·c ＝－2x ＋2＝0，解得x ＝1，则a ＝(1，1)，因为b ∥c ，所以4＋2y ＝0，解得y ＝－2，则b ＝(2，－2). 所以2a ＋3b －c ＝(10，－6)，则|2a ＋3b －c |＝234. (2)法一由a ·b ＝0，得a ⊥b .如图所示，分别作OA→＝a ，OB →＝b ，作OC →＝a ＋b ，则四边形OACB 是边长为1的正方形，所以|OC →|＝ 2.作OP→＝c ，则|c －a －b |＝|OP →－OC →|＝|CP →|＝1. 所以点P 在以C 为圆心，1为半径的圆上.由图可知，当点O ，C ，P 三点共线且点P 在点P 1处时，|OP →|取得最大值2＋1.故|c |的最大值是2＋1. 法二由a ·b ＝0，得a ⊥b .建立如图所示的平面直角坐标系，则OA →＝a ＝(1，0)，OB →＝b＝(0，1).设c ＝OC →＝(x ，y )，由|c －a －b |＝1，得(x －1)2＋(y －1)2＝1，所以点C 在以(1，1)为圆心，1为半径的圆上. 所以|c |max ＝2＋1.法三易知|a ＋b |＝2，|c －a －b |＝|c －(a ＋b )| ≥||c |－|a ＋b ||＝||c |－2|，由已知得||c |－2|≤1，所以|c |≤1＋2，故|c |max ＝2＋1.感悟升华 1.两个向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0，若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.2.若题目给出向量的坐标，可直接运用公式cos θ＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22求解.没有坐标时可用公式cos θ＝a·b|a||b|.研究向量夹角应注意“共起点”，注意取值范围是[0，π].3.向量模的计算主要利用a2＝|a|2，把向量模的运算转化为数量积运算，有时借助几何图形的直观性，数形结合，提高解题效率.【训练1】(1)(多选题)(2021·湖南三校联考)已知a，b是单位向量，且a＋b＝(1，－1)，则()A.|a＋b|＝2B.a与b垂直C.a与a－b的夹角为π4 D.|a－b|＝1(2)已知单位向量a，b的夹角为θ，且tan θ＝12，若向量m＝5a－3b，则|m|＝()A.2B.3C.26D.2或26答案(1)BC(2)A解析(1)|a＋b|＝12＋（－1）2＝2，故A错误；因为a，b是单位向量，所以|a|2＋|b|2＋2a·b＝1＋1＋2a·b＝2，得a·b＝0，a与b 垂直，故B正确；|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝2，|a－b|＝2，故D错误；cos〈a，a－b〉＝a·（a－b）|a||a－b|＝a2－a·b1×2＝22，所以a与a－b的夹角为π4，故C正确.故选BC.(2)依题意|a|＝|b|＝1，又θ为a，b的夹角，且tan θ＝1 2，∴θ为锐角，且cos θ＝2sin θ，又sin2θ＋cos2θ＝1，从而cos θ＝25 5.由m＝5a－3b，∴m2＝(5a－3b)2＝5a2＋9b2－65a·b＝2，因此|m|＝ 2.考点三平面向量的综合应用【例3】 (1)(2020·天津卷)如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝3，BC ＝6，且AD→＝λBC →，AD →·AB →＝－32，则实数λ的值为__________；若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN→|＝1，则DM →·DN →的最小值为__________.答案 16 132解析因为AD→＝λBC →，所以AD ∥BC ，则∠BAD ＝120°，所以AD→·AB →＝|AD →|·|AB →|·cos 120°＝－32，解得|AD→|＝1. 因为AD→，BC →同向，且BC ＝6，所以AD→＝16BC →，即λ＝16. 在四边形ABCD 中，作AO ⊥BC 于点O ，则BO ＝AB ·cos 60°＝32，AO ＝AB ·sin 60°＝332.以O 为坐标原点，以BC 和AO 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系. 如图，设M (a ，0)，不妨设点N 在点M 右侧，则N (a ＋1，0)，且－32≤a ≤72.又D ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，332，所以DM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1，－332， DN→＝⎝⎛⎭⎪⎫a ，－332，所以DM→·DN →＝a 2－a ＋274＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋132. 所以当a ＝12时，DM→·DN →取得最小值132.(2)已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，cos A )，m ·n ＝sin 2C . ①求角C 的大小；②若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA →·(AB →－AC →)＝18，求c .解 ①m ·n ＝sin A ·cos B ＋sin B ·cos A ＝sin(A ＋B )，在△ABC 中，A ＋B ＝π－C ，0<C <π，所以sin(A ＋B )＝sin C ，所以m ·n ＝sin C ，又m ·n ＝sin 2C ，所以sin 2C ＝sin C ，cos C ＝12. 又因为C ∈(0，π)，故C ＝π3.②由sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，可得2sin C ＝sin A ＋sin B ，由正弦定理得2c ＝a ＋b .因为CA→·(AB →－AC →)＝18，所以CA →·CB →＝18，即ab cos C ＝18，ab ＝36. 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ，所以c 2＝4c 2－3×36，c 2＝36，所以c ＝6.感悟升华 1.以平面几何为载体的向量问题有两种基本解法：(1)基向量法：恰当选择基底，结合共线定理、平面向量的基本定理进行向量运算.(2)坐标法：如果图形比较规则，可建立平面坐标系，把有关点与向量用坐标表示，从而使问题得到解决.2.解决平面向量与三角函数的交汇问题，关键是准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题.【训练2】 (1)(2020·全国Ⅲ卷)在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点.若AC →·BC →＝1，则点C 的轨迹为( ) A.圆B.椭圆C.抛物线D.直线(2)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE ＝2EA ，AD 与CE 交于点O .若AB →·AC →＝6AO →·EC →，则AB AC 的值是________. 答案 (1)A (2)3解析 (1)以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，设点A ，B 分别为(－a ，0)，(a ，0)(a >0)，点C 为(x ，y )，则AC→＝(x ＋a ，y )，BC→＝(x －a ，y )，所以AC →·BC →＝(x －a )(x ＋a )＋y ·y ＝x 2＋y 2－a 2＝1，整理得x 2＋y 2＝a 2＋1.因此点C 的轨迹为圆.故选A.(2)法一如图，过点D 作DF ∥CE 交AB 于点F ，由D 是BC 的中点，可知F 为BE 的中点.又BE ＝2EA ，则知EF ＝EA ，从而可得AO ＝OD ，则有AO→＝12AD →＝14(AB →＋AC →)，EC →＝AC →－AE →＝AC →－13AB →，所以6AO →·EC →＝32(AB →＋AC →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫AC →－13AB →＝32AC →2－12AB →2＋AB →·AC →＝AB→·AC →，整理可得AB →2＝3AC →2，所以AB AC＝ 3.法二以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示.设E (1，0)，C (a ，b )，则B (3，0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋32，b 2.⎭⎪⎬⎪⎫l AD ：y ＝ba ＋3x ，l CE ：y ＝ba －1（x －1）⇒O ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋34，b 4. ∵AB→·AC →＝6AO →·EC →， ∴(3，0)·(a ，b )＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋34，b 4·(a －1，b )，即3a ＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤（a ＋3）（a －1）4＋b 24，∴a 2＋b 2＝3，∴AC ＝ 3.∴AB AC ＝33＝ 3.平面向量与三角形的“四心”向量具有数形二重性，借助几何直观研究向量，优化解题过程，进而提高解题效率.设O 为△ABC 所在平面上一点，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则 (1)O 为△ABC 的外心⇔|OA→|＝|OB →|＝|OC →|＝a 2sin A .(2)O 为△ABC 的重心⇔OA→＋OB →＋OC →＝0.(3)O 为△ABC 的垂心⇔OA→·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →.(4)O 为△ABC 的内心⇔aOA →＋bOB →＋cOC →＝0.一、平面向量与三角形的“重心”【例1】已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 为坐标原点，动点P 满足OP →＝13[(1－λ)OA →＋(1－λ)OB →＋(1＋2λ)·OC →]，λ∈R ，则点P 的轨迹一定经过( ) A.△ABC 的内心B.△ABC 的垂心C.△ABC 的重心D.AB 边的中点答案 C解析取AB 的中点D ，则2OD→＝OA →＋OB →，∵OP→＝13[(1－λ)OA →＋(1－λ)OB →＋(1＋2λ)OC →]， ∴OP→＝13[2(1－λ)OD →＋(1＋2λ)OC →] ＝2（1－λ）3OD →＋1＋2λ3OC →，而2（1－λ）3＋1＋2λ3＝1，∴P ，C ，D 三点共线，∴点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心. 二、平面向量与三角形的“内心”问题【例2】在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝6，cos A ＝15，O 是△ABC 的内心，若OP→＝xOB →＋yOC →，其中x ，y ∈[0，1]，则动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为( ) A.1063 B.1463 C.43D.62答案 B解析根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P 的轨迹是以OB ，OC 为邻边的平行四边形及其内部，其面积为△BOC 的面积的2倍.在△ABC 中，设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a ＝7.设△ABC 的内切圆的半径为r ，则 12bc sin A ＝12(a ＋b ＋c )r ，解得r ＝263，所以S △BOC ＝12×a ×r ＝12×7×263＝763.故动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为2S △BOC ＝1463. 三、平面向量与三角形的“外心”问题【例3】(2020·安庆质检)在△ABC 中，O 为其外心，OA →·OC →＝3，且3OA →＋7OB →＋OC →＝0，则边AC 的长是________. 答案3－1解析设△ABC 外接圆的半径为R ， ∵O 为△ABC 的外心， ∴|OA→|＝|OB →|＝|OC →|＝R ，又3OA→＋7OB →＋OC →＝0，则3OA→＋OC →＝－7OB →， ∴3OA→2＋OC →2＋23OA →·OC →＝7OB →2，从而OA→·OC →＝32R 2，又OA→·OC →＝3，所以R 2＝2，又OA→·OC →＝|OA →||OC →|cos ∠AOC ＝R 2cos ∠AOC ＝3， ∴cos ∠AOC ＝32，∴∠AOC ＝π6，在△AOC 中，由余弦定理得 AC 2＝OA 2＋OC 2－2OA ·OC ·cos ∠AOC ＝R 2＋R 2－2R 2×32＝(2－3)R 2＝4－2 3. 所以AC ＝3－1.四、平面向量与三角形的“垂心”问题【例4】已知O 是平面上的一个定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C )，λ∈(0，＋∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A.重心 B.垂心C.外心D.内心答案 B解析因为OP→＝OA →＋λ(AB →|AB →|cos B ＋AC→|AC →|cos C)，所以AP →＝OP →－OA →＝λ(AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C )，所以BC→·AP →＝BC →·λ(AB →|AB →|cos B ＋AC→|AC →|cos C)＝λ(－|BC→|＋|BC →|)＝0，所以BC →⊥AP →，所以点P 在BC 的高线上，即动点P 的轨迹一定通过△ABC 的垂心.A 级基础巩固一、选择题1.已知向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( ) A.－92 B.0C.3D.152答案 C解析因为2a －3b ＝(2k －3，－6)，(2a －3b )⊥c ，所以(2a －3b )·c ＝2(2k －3)－6＝0，解得k ＝3，选C.2.(2020·新乡质检)已知向量a ＝(0，2)，b ＝(23，x )，且a 与b 的夹角为π3，则x ＝( ) A.－2B.2C.1D.－1答案 B解析由题意得a ·b |a ||b |＝2x 2·12＋x 2＝12，则2x ＝12＋x 2，解之得x ＝2，x ＝－2(舍去).3.(2021·长沙调研)如图所示，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝AD ＝4，CD ＝8.若CE→＝－7DE →，3BF →＝FC →，则AF →·BE →＝( )A.11B.10C.－10D.－11答案 D解析以A 为坐标原点，建立直角坐标系如图.则A (0，0)，B (4，0)，E (1，4)，F (5，1)，所以AF →＝(5，1)，BE→＝(－3，4)，则AF →·BE →＝－15＋4＝－11. 4.若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|b |，则向量a ＋b 与a 的夹角为( ) A.π3 B.2π3C.5π6D.π6答案 D解析设|b |＝1，则|a ＋b |＝|a －b |＝2. 由|a ＋b |＝|a －b |，得a ·b ＝0，故以a 、b 为邻边的平行四边形是矩形，且|a |＝3，设向量a ＋b 与a 的夹角为θ，则cos θ＝a ·（a ＋b ）|a |·|a ＋b |＝a 2＋a ·b |a |·|a ＋b |＝|a ||a ＋b |＝32，又0≤θ≤π，所以θ＝π6.5.(多选题)(2021·武汉调研)如图，点A ，B 在圆C 上，则AB →·AC →的值( )A.与圆C 的半径有关B.与圆C 的半径无关C.与弦AB 的长度有关D.与点A ，B 的位置有关答案 BC解析如图，连接AB ，过C 作CD ⊥AB 交AB 于D ，则D 是AB 的中点，故AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos ∠CAD ＝|AB →|·|AC →|·12|AB →||AC →|＝12|AB →|2，故AB→·AC →的值与圆C 的半径无关，只与弦AB 的长度有关，故选BC. 6.(多选题)(2020·青岛调研)在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，如图，则下列等式成立的是( ) A.|AC→|2＝AC →·AB → B.|BC→|2＝BA →·BC → C.|AB→|2＝AC →·CD → D.|CD →|2＝（AC →·AB →）×（BA →·BC →）|AB →|2答案 ABD解析因为AC→·AB →＝|AC →||AB →|cos A ＝|AC →||AC →|＝|AC →|2，选项A 正确；因为BA→·BC →＝|BA →||BC →|cos B ＝|BC →||BC →|＝|BC →|2，选项B 正确；由AC→·CD →＝|AC →||CD →|·cos(π－∠ACD )＜0，|AB →|2＞0，知选项C 错误；由题图可知Rt △ACD ∽Rt △ABC ，所以|AC→||BC →|＝|AB →||CD →|，结合选项A ，B 可得|CD →|2＝（AC →·AB →）×（BA →·BC →）|AB →|2，选项D 正确.故选ABD.二、填空题7.已知a ，b 为单位向量，且a ·b ＝0，若c ＝2a －5b ，则cos 〈a ，c 〉＝________. 答案 23解析由题意，得cos 〈a ，c 〉＝a ·（2a －5b ）|a |·|2a －5b |＝2a 2－5a ·b|a |·|2a －5b |2＝21×4＋5＝23.8.(2020·全国Ⅰ卷)设a ，b 为单位向量，且|a ＋b |＝1，则|a －b |＝________. 答案3解析如图，设OA →＝a ，OB →＝b ，利用平行四边形法则得OC →＝a ＋b ，∵|a |＝|b |＝|a ＋b |＝1，∴△OAC 为正三角形，∴|BA →|＝|a －b |＝2×32×|a |＝ 3.9.已知四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AD ＝1，BC ＝2，M 是AB 边上的动点，则|MC →＋MD →|的最小值为________.答案 3解析以BC 所在直线为x 轴，BA 所在直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设A (0，a )，M (0，b )，且0≤b ≤a ，由于BC ＝2，AD ＝1. ∴C (2，0)，D (1，a ).则MC →＝(2，－b )，MD →＝(1，a －b )， ∴MC→＋MD →＝(3，a －2b ). 因此|MC→＋MD →|＝9＋（a －2b ）2， ∴当且仅当a ＝2b 时，|MC →＋MD →|取得最小值3.三、解答题10.已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]. (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值. 解 (1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ，所以－3cos x ＝3sin x .若cos x ＝0，则sin x ＝0，与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾，故cos x ≠0，于是tan x ＝－33.又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6.(2)f (x )＝a ·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3) ＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，从而－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤32.于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取到最大值3；当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取到最小值－2 3.B 级能力提升11.(2021·石家庄调研)已知向量a ，b 满足|a |＝1，(a －b )⊥(3a －b )，则a 与b 的夹角的最大值为( ) A.π6 B.π3C.2π3D.5π6答案 A解析设a 与b 的夹角为θ，θ∈[0，π]. 因为(a －b )⊥(3a －b )，所以(a －b )·(3a －b )＝0. 整理可得3a 2－4a ·b ＋b 2＝0，即3|a |2－4a ·b ＋|b |2＝0.将|a |＝1代入3|a |2－4a ·b ＋|b |2＝0，可得3－4|b |cos θ＋|b |2＝0，整理可得cos θ＝34|b |＋|b |4≥234|b |×|b |4＝32，当且仅当34|b |＝|b |4，即|b |＝3时取等号，故cos θ≥32，结合θ∈[0，π]，可知θ的最大值为π6.12.(2021·重庆联考)已知点O 为坐标原点，向量OA →＝(1，2)，OB →＝(x ，y )，且OA→·OB →＝10，则|OB →|的最小值为________. 答案 25解析由题意知|OB→|＝x 2＋y 2，x ＋2y ＝10，∴点B 在直线x ＋2y －10＝0上，∴|OB→|的最小值为点O 到直线x ＋2y －10＝0的距离. 则|OB →|min＝|0＋0－10|12＋22＝105＝2 5. 13.(2020·浙江卷)已知平面单位向量e 1，e 2满足|2e 1－e 2|≤ 2.设a ＝e 1＋e 2，b ＝3e 1＋e 2，向量a ，b 的夹角为θ，则cos 2θ的最小值是__________. 答案 2829解析因为单位向量e 1，e 2满足|2e 1－e 2|≤2，所以|2e 1－e 2|2＝5－4e 1·e 2≤2，即e 1·e 2≥34. 因为a ＝e 1＋e 2，b ＝3e 1＋e 2，a ，b 的夹角为θ，所以cos 2θ＝（a ·b ）2|a |2|b |2＝[（e 1＋e 2）·（3e 1＋e 2）]2|e 1＋e 2|2·|3e 1＋e 2|2＝（4＋4e 1·e 2）2（2＋2e 1·e 2）（10＋6e 1·e 2）＝4＋4e 1·e 25＋3e 1·e 2. 不妨设t ＝e 1·e 2，则t ≥34，cos 2θ＝4＋4t 5＋3t ，又y ＝4＋4t 5＋3t 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞上单调递增，所以cos 2θ≥4＋35＋94＝2829，所以cos 2θ的最小值为2829.14.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos(A －B )， sin(A －B ))，n ＝(cos B ，－sin B )，且m ·n ＝－35. (1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的投影. 解 (1)由m ·n ＝－35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35，所以cos A ＝－35.因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45. (2)由正弦定理，得a sin A ＝bsin B ，则sin B ＝b sin A a ＝5×4542＝22，因为a >b ，所以A >B ，且B 是△ABC 一内角，则B ＝π4.由余弦定理得(42)2＝52＋c 2－2·5c ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，解得c ＝1，c ＝－7(舍去)，故向量BA→在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝c cos B ＝1×22＝22.。

向量的数量积向量积

03
向量数量积满足结合律，即(a · b) · c = a · (b · c)。
几何意义
向量数量积的几何意义是表示两个向量在垂直于它们夹角平面的方向上的投影长度之积。
当两个向量的夹角为锐角时，向量数量积大于0；当夹角为直角时，向量数量积等于0；当夹角为钝角时，向量数量
积小于0。
向量数量积可以用于描述两个向量的相似程度，如果两个向量的数量积较大，则表示它们
分配律
总结词
分配律是指向量的数量积满足分配律，即数量积满足线性性质。
详细描述
设$mathbf{A}, mathbf{B}, mathbf{C}$是任意向量，则有 $mathbf{A} cdot (mathbf{B} + mathbf{C}) = mathbf{A} cdot mathbf{B} + mathbf{A} cdot mathbf{C}$。
当两向量的夹角为$0^{circ}$时，它们的数量积为正无穷大；当夹角为$180^{circ}$时，数量积为负无穷大。
向量积为零的情况分析
01
当两个非零向量的夹角为 $90^{circ}$时，它们的向量积为零向量。
02
向量积为零可能是由于两个向量的模长为零，或者两个非零向量的夹角为$90^{circ}$。
CHAPTER
向量数量积与向量积的注意事项
零向量的特殊处理
01 零向量与任意向量进行数量积或向量积运算，结果都为零向量。
02 零向量与零向量进行数量积运算，结果为零。 03 在进行向量积运算时，如果两个向量为零向量，
则结果未定义。
向量夹角的取值范围
向量夹角的取值范围是$0^{circ}$到$180^{circ}$，包括 $0^{circ}$和$180^{circ}$。

向量的数量积、向量积、混合积

混合积
混合积在解析几何中可以用于表示向量的旋转和缩放。例如，在三维空间中，混合积可以用来计算三个向量的旋转角度和缩放因子。
在物理学中的应用
向量积
在物理学中，向量积可以用于描述矢量场中的矢量线。例如，在电磁学中，向量积可以用来计算磁场中的矢量线。
混合积
在物理学中，混合积可以用于描述物体的转动惯量。例如，在刚体动力学中，混合积可以用来计算刚体的转动惯量。
性质
混合积为标量，其值与三个向量的顺序有关，但与向量的排列顺序无关。
几何意义
几何意义
向量$mathbf{a}$、$mathbf{b}$、 $mathbf{c}$的混合积等于以这三个向量为邻边的平行六面体的体积。
VS
特殊情况
当其中一个向量是零向量时，混合积为零；当两个向量共线时，混合积为零。
运算性质
交换律
$(mathbf{a}, mathbf{b}, mathbf{c}) = (mathbf{c}, mathbf{b}, mathbf{a})$
分配律
$(mathbf{a} + mathbf{b}, mathbf{c}, mathbf{d}) = (mathbf{a}, mathbf{c}, mathbf{d}) + (mathbf{b}, mathbf{c}, mathbf{d})$
运算性质
要点一
分配律
$mathbf{A} times (mathbf{B} + mathbf{C}) = mathbf{A} times mathbf{B} + mathbf{A} times mathbf{C}$。
要点二
结合律
$(mathbf{A} + mathbf{B}) times mathbf{C} = mathbf{A} times mathbf{C} + mathbf{B} times mathbf{C}$。

高等数学同济大学版7.3 向量的数量积与向量积

M2
为 a 与 b 的数量积，亦称为点乘积，点积或内积。
注：两向量的数量积, 结果是一个数量.
a 与 b 的数量积 : a b a b cos .
2. 性质
(1) a a
为了方便可记：a a a2.
(2) a , b 为两个非零向量, 则有
a 0,b 0 则 ab 0
ab 0
则 cos AMB MA MB
MA MB
B M
1 0 0 2 2
故 AMB
例3 已知 a { 3, 2,1 }, b {2, 2, 5}, 试问实数为何值时，
向量 a b 与向量 a 垂直.
解 (a b) a
(a b ) a 0,
即 a a a b 0, 由此可得 a a ,
a b axbx ayby azbz . 数量积的坐标表达式
又 a b | a || b | cos
cos a b ,
| a || b |
cos
axbx ayby azbz
.
ax2
a
2 y
az2
bx2 by2 bz2
两向量夹角余弦的坐标表示式
由此可知两向量垂直的充要条件为
ab
axbx a yby azbz 0.
完
例1 已知 a {1,1, 4}, b {1, 2, 2}, 求
(1) a b;
(2)
a
与
b
的夹角;
(3)
a
在
b上的投影.
解
(1) a b 11 1 (2) (4) 2 9.
(2) cos
axbx a yby azbz
F
O
P L
Q
OQ OP sin

第七章向量代数(第3节：数量积、向量积)

Q
M 的方向垂直于OP 与F 所决
定的平面, 指向符合右手系.
定义
向量a
与b
的向量积为一向量
c
(1) | c
（2）c
的||方a |向| b既| s垂in直于(其a，中又为垂a直与于bb的，夹指角)
向符合右手系记.为：c
=
a
b
向量积也称为“叉积”、“外积”.

(aybz azby )i (azbx axbz ) j (axby aybx )k
a

b

( a y bz

azby
)i

(azbx axbz ) j (axby aybx )k
向量积还可用三阶行列式表示

a

b

ay by
az
例：试利用混合积的几何意义证明
|
sin
1
|
a

b
|表示以a 和 b
为邻边的三角形的面积.
2
例3
求与a

3i

2
j

4k ，b

i

j

2k 都垂
直的单位向量.

解
c a b源自i ax j ay
ki az 3
j 2
k

4 10 j 5k,
bx by bz 1 1 2
arccos
axbx ayby azbz
ax2 ay2 az2 bx2 by2 bz2
5。两向量垂直的充要条件为
ab axbx a yby azbz 0

向量的数量积和向量积的概念和计算

向量的数量积和向量积的概念和计算向量是代表有大小和方向的量，常用于物理学、力学和几何学等领域。

在向量运算中，数量积和向量积是两个重要的概念，它们在解决问题和分析向量关系时起着重要的作用。

一、数量积的概念和计算数量积也被称为点积或内积，是两个向量的运算结果，其结果是一个标量（即一个实数）。

对于两个向量A和B，它们的数量积可以通过如下公式计算：A·B = |A| * |B| * cosθ其中，|A|和|B|分别表示向量A和B的模长，cosθ表示向量A和B的夹角的余弦值。

根据数量积的计算公式可以得出以下结论：1. 如果向量A与向量B夹角为90度（即两个向量垂直），则它们的数量积为0，即A·B = 0。

2. 如果向量A与向量B夹角小于90度（即两个向量之间有夹角），则它们的数量积为正数，即A·B > 0。

3. 如果向量A与向量B夹角大于90度（即两个向量之间有夹角），则它们的数量积为负数，即A·B < 0。

二、向量积的概念和计算向量积也被称为叉积或外积，是两个向量的运算结果，其结果是一个向量。

对于两个向量A和B，它们的向量积可以通过如下公式计算：A ×B = |A| * |B| * sinθ * n其中，|A|和|B|分别表示向量A和B的模长，sinθ表示向量A和B 的夹角的正弦值，n表示垂直于A和B所在平面的单位向量，并且满足右手定则。

根据向量积的计算公式可以得出以下结论：1. 如果两个向量平行（即两个向量共线），则它们的向量积为零，即A × B = 0。

2. 如果向量A和向量B夹角为零或180度（即两个向量共线但方向相反），则它们的向量积为零，即A × B = 0。

三、数量积和向量积的应用数量积和向量积在物理和数学中有广泛的应用。

1. 数量积可以用来计算两个向量之间的夹角，通过夹角的余弦值来判断两个向量之间的关系。

2. 数量积还可以用来计算向量在某个方向上的分量，从而对向量进行分析和计算。

《数量积向量积》课件

《数量积向量积》ppt 课件
目录
• 数量积和向量积的定义 • 数量积和向量积的性质 • 数量积和向量积的计算方法 • 数量积和向量积的应用 • 数量积和向量积的实例分析
CHAPTER 01
数量积和向量积的定义
数量积的定义
总结词
数量积是两个向量的内积，表示为点乘，其结果是一个标量。
详细描述
数量积定义为两个向量的对应分量之积的和，即$mathbf{A} cdot mathbf{B} = A_1B_1 + A_2B_2 + ldots + A_nB_n$，其中$mathbf{A} = (A_1, A_2, ldots, A_n)$和$mathbf{B} = (B_1, B_2, ldots, B_n)$是两个向量。数量积的结果是一个标量，其值取决于两个向量的长度和它们之间的夹角。
在力的合成与分解中，我们常常需要计算力的矢量合成和分解后的结果。通过数量积和向量积的计算，我们可以更准确地描述力的方向和大小，从而更好地理解力的合成与分解过程。
实例二：速度和加速度的计算
总结词
速度和加速度是描述物体运动状态的重要物理量，通过数量积和向量积可以更准确地计算速度和加速度。
详细描述
03
电磁学
在电磁学中，电场和磁场都是向量场，电场强度和磁场强度都是向量，
它们的计算涉及到数量积和向量积。
工程中的应用
航空航天
在航空航天领域，飞行器的设计和控制涉及到大量的向量计算，包括飞行器的姿态、速度、加速度等都需要用到数量积和向量积
。
机械工程
在机械工程中，机器的运动分析和设计需要用到大量的向量计算，包括力的分析、运动轨迹的计
CHAPTER 03

平面向量的数量积和向量积

平面向量的数量积和向量积平面向量是高中数学中的一个重要概念，它具有方向和大小，并且是可以进行运算的。

在平面向量的运算中，数量积和向量积是两个常见且重要的运算。

一、数量积1. 定义数量积又称为点积、内积或标量积，用符号"·"表示。

对于平面内两个向量A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，它们的数量积为：A·B = x₁x₂ + y₁y₂其中，x₁、x₂为A和B的横坐标，y₁、y₂为A和B的纵坐标。

2. 计算方法根据数量积的定义，计算方法简单直接。

对于任意两个向量A和B，只需将它们的横纵坐标带入公式即可。

例如，对于向量A(3,2)和向量B(4,-1)，它们的数量积为：A·B = 3*4 + 2*(-1) = 12 - 2 = 103. 特性数量积具有以下几个重要的特性：- 结果为标量：数量积的结果是一个数，即标量，没有方向。

- 交换律：A·B = B·A，即数量积满足交换律。

若夹角为θ，则A·B = |A||B|cosθ，其中|A|和|B|为向量的长度。

二、向量积1. 定义向量积又称为叉积、外积或矢量积，用符号"×"表示。

对于平面内两个向量A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，它们的向量积为：A×B = (0, 0, x₁y₂ - x₂y₁)其中，向量积是一个垂直于平面的向量，其大小为由A和B所张成的平行四边形的面积。

2. 计算方法根据向量积的定义，计算方法稍微复杂一些。

对于任意两个向量A 和B，只需将它们的横纵坐标带入公式，得到一个新的向量。

例如，对于向量A(3,2)和向量B(4,-1)，它们的向量积为：A×B = (0, 0, 3*(-1) - 4*2) = (0, 0, -11)3. 特性向量积具有以下几个重要的特性：- 结果为向量：向量积的结果是一个向量，具有方向和大小。