3年高考2年模拟之第四章平面向量(最新整理)
(福建专用)高考数学总复习 第四章第3课时 平面向量的数量积及平面向量的应用举例课时闯关(含解析)
（福建专用）2023年高考数学总复习 第四章第3课时 平面向量的数量积及平面向量的应用举例课时闯关（含解析）一、选择题1．(2023·宁德质检)已知a ＝(1，－3)，b ＝(4,6)，c ＝(2,3)，那么a ·(b·c )等于( )A ．(26，－78)B ．(－28，－42)C ．－52D ．－78解析：选A.a ·(b·c )＝(1，－3)×(4×2＋6×3)＝(26，－78)．2．一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F 1，F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，那么F 3的大小为( )A ．6B ．2C ．2 5D ．27 解析：选D.F 23＝F 21＋F 22＋2F 1·F 2＝28，所以|F 3|＝27.3．a ，b 为平面向量，已知a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，那么a ，b 夹角的余弦值等于( ) A.865 B ．－865C.1665 D ．－1665解析：选 C.b ＝(2a ＋b )－2a ＝(－5,12)，易求得|a |＝5，|b |＝13，那么cos 〈a ，b 〉＝4，3·－5，125×13＝1665. 4．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，那么三角形ABC 的形状一定是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选C.由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，得AC →·(BC →＋BA →－AC →)＝0，即AC →·(BC →＋BA →＋CA →)＝0，∴AC →·2BA →＝0，∴AC →⊥BA →，∴∠A ＝90°.应选C.5．已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sin A )，假设m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，那么角A ，B 的大小分别为( )A.π6，π3B.2π3，π6C.π3，π6D.π3，π3解析：选C.由m ⊥n 可得m·n ＝0，即3cos A －sin A ＝0，所以角A ＝π3，B ＝2π3－C . 由a cos B ＋b cos A ＝c sin C 得sin C ＝1，所以C ＝π2，故B ＝π6. 二、填空题6．假设平面上三点A 、B 、C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，那么AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB→的值等于________．解析：由AB →＋BC →＋CA →＝0可得(AB →＋BC →＋CA →)2＝0，∴9＋16＋25＋2(AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →)＝0，AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝－25.答案：－257．设非零向量a ＝(x,2x )，b ＝(－3x,2)，且a ，b 的夹角为钝角，那么x 的取值范围________． 解析：∵a ，b 的夹角为钝角，∴a·b ＝x ·－3x ＋2x ·2＝－3x 2＋4x ＜0，解得x ＜0或x ＞43.① 又由a ，b 共线且反向可得x ＝－13，② 由①②得x 的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞ 8．(2023·合肥质检)关于平面向量a ，b ，c ，有以下几个命题：①(a ·b )c －(c ·a )b ＝0；②|a |－|b |<|a －b |(a 、b 不共线)；③(b ·c )a －(c ·a )b 不与c 垂直；④假设非零向量a 和b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，那么a 与a ＋b 的夹角为60°.其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．解析：平面向量的数量积不满足结合律，故①假；由向量的减法运算可知|a |、|b |、|a －b |恰为一个三角形的三条边长，而三角形的两边之差小于第三边，故②是真命题；因为[(b ·c )a －(c ·a )b ]·c ＝(b ·c )a ·c －(c ·a )b ·c ＝0，所以垂直，故③假；由|a |＝|b |＝|a －b |，再结合平行四边形法那么可得a 与a ＋b 的夹角为30°，命题④假． 答案：②三、解答题9．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61.(1)求a 与b 的夹角θ；(2)求|a ＋b |；(3)假设AB →＝a ，AC →＝b ，求△ABC 的面积．解：(1)由(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，得4|a |2－4a·b －3|b |2＝61.将|a |＝4，|b |＝3代入上式，求得a·b ＝－6.所以cos θ＝a·b |a ||b |＝－64×3＝－12. 又因为0≤θ≤π，所以θ＝2π3. (2)|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2＝13，所以|a ＋b |＝13.(3)由(1)知，∠BAC ＝θ＝2π3，|AB →|＝|a |＝4，|AC →|＝|b |＝3， 所以S △ABC ＝12|AC →||AB →|si n ∠BAC ＝3 3. 10．已知点A (2,0)，B (0,2)，C (cos α，sin α)，且0<α<π.(1)假设|OA →＋OC →|＝7，求OB →与OC →的夹角；(2)假设AC →⊥BC →，求tan α的值．解：(1)因为|OA →＋OC →|＝7，所以(2＋cos α)2＋sin 2α＝7，所以cos α＝12. 又因为α∈(0，π)，所以α＝∠AOC ＝π3. 又因为∠AOB ＝π2，所以OB →与OC →的夹角为π6. (2)AC →＝(cos α－2，sin α)，BC →＝(cos α，sin α－2)．因为AC →⊥BC →，所以AC →·BC →＝0，所以cos α＋sin α＝12，① 所以(cos α＋sin α)2＝14，所以2sin αcos α＝－34. 又因为α∈(0，π)，所以α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π. 因为(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝74， cos α－sin α<0，所以cos α－sin α＝－72.② 由①②得cos α＝1－74，sin α＝1＋74，所以tan α＝－4＋73.一、选择题1．向量a 与b 的夹角为θ，定义a 与b 的“向量积”：a ×b 是一个向量，它的模|a ×b |＝|a |·|b |·sin θ，假设a ＝(－3，－1)，b ＝(1，3)，那么|a ×b |等于( )A. 3 B ．2C ．2 3D ．4解析：选B.∵|a |＝|b |＝2，a·b ＝－23，∴cos θ＝－232×2＝－32. 又θ∈[0，π]，∴sin θ＝12.∴|a ×b |＝2×2×12＝2. 2．(2023·泉州调研)在△ABC 中，已知向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，那么△ABC 为( ) A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形解析：选D.非零向量BC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，即角A 的平分线垂直于BC ，∴AB ＝AC ，又cos A ＝AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，∠A ＝π3，所以△ABC 为等边三角形． 二、填空题3．如图，AB 是半圆O 的直径，C ，D 是弧AB 的三等分点，M ，N 是线段AB 的三等分点．假设OA ＝6，那么MD →·NC →的值是________．解析：MD →·NC →＝(OD →－OM →)·(OC →－ON →)＝OD →·OC →－OM →·OC →－OD →·ON →＋OM →·ON → ＝6×6×cos60°－6×2×cos120°－6×2×cos 120°＋2×2×cos180°＝26. 答案：264．设向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝1，a·b ＝－12，〈a －c ，b －c 〉＝60°，那么|c |的最大值等于________．解析：设向量a ，b ，c 的起点为O ，终点分别为A ，B ，C ，由已知得，∠AOB ＝120°，∠ACB ＝60°，那么点C 在△AOB 的外接圆上，当OC 经过圆心时，|c |最大，在△AOB 中，求得AB ＝3，由正弦定理得△AOB 外接圆的直径是3sin120°＝2，故|c |的最大值是2.答案：2三、解答题5．已知平面向量a ＝(3，－1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32. (1)证明：a ⊥b ；(2)假设存在不同时为零的实数k 和t ，使x ＝a ＋(t 2－3)·b ，y ＝－ka ＋tb ，且x ⊥y ，试求函数关系式k ＝f (t )；(3)据(2)的结论，确定函数k ＝f (t )的单调区间．解：(1)证明：因为a·b ＝3×12＋(－1)×32＝0， 所以a ⊥b .(2)因为x ⊥y ，所以x·y ＝0，所以[a ＋(t 2－3)b ]·(－ka ＋tb )＝－ka 2＋[t －k (t 2－3)]a·b ＋t (t 2－3)b 2＝0.因为|a |＝2，|b |＝1，a ⊥b ，所以－k ×4＋t (t 2－3)＝0，即k ＝14(t 3－3t )(t ≠0)． (3)由(2)知f (t )＝14(t 3－3t )，故f ′(t )＝14(3t 2－3)， 令f ′(t )>0得t >1或t <－1，令f ′(t )<0得－1<t <1且t ≠0.所以函数k ＝f (t )的单调递增区间为(1，＋∞)和(－∞，－1)，单调递减区间为(－1,0)和(0,1)．6．已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x 4，1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 4，cos 2x4. (1)假设m·n ＝1，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x 的值； (2)记f (x )＝m·n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围．解：(1)∵m·n ＝1，即3sin x 4cos x 4＋cos 2x 4＝1， 即32sin x 2＋12cos x 2＋12＝1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x2＋π6＝12.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1＝－12.(2)∵(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C . ∴2sin A cos B －cos B sin C ＝sin B cos C ，∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )，∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin (B ＋C )＝sin A ，且sin A ≠0， ∴cos B ＝12，B ＝π3，∴0＜A ＜2π3.∴π6＜A2＋π6＜π2，12＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A2＋π6＜1.又∵f (x )＝m·n ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12，∴f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6＋12.故函数f (A )的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.。
3年高考2年模拟之第四章 平面向量
第四章 平面向量 16．平面向量的概念与运算1．(2017·全国Ⅱ)设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则( ) A ．a ⊥b B ．|a |＝|b | C ．a ∥b D ．|a |>|b |2．(2017·浙江)如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记I 1＝OA →·OB →，I 2＝OB →·OC →，I 3＝OC →·OD →，则( )A ．I 1＜I 2＜I 3B ．I 1＜I 3＜I 2C ．I 3＜I 1＜I 2D ．I 2＜I 1＜I 33．(2017·全国Ⅲ)已知向量a ＝(－2，3)，b ＝(3，m )，且a ⊥b ，则m ＝________． 4．(2017·山东)已知向量a ＝(2，6)，b ＝(－1，λ)，若a ∥b ，则λ＝________． 5．(2017·全国Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________． 6．(2017·山东)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量，若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________．7．(2017·浙江)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________，最大值是________．8．(2017·天津)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2，若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB→(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________． 9．(2017·北京)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2，0)，O 为原点，则AO→·AP →的最大值为________．10．(2017·江苏)如图，在同一个平面内，向量OA →，OB →，OC →的模分别为1，1，2，OA →与OC →的夹角为α，且tan α＝7，OB →与OC →的夹角为45°.若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m ＋n ＝________．考点1 平面向量的线性运算及其几何意义1．(2015·新课标全国Ⅰ)已知点A (0，1)，B (3，2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC→＝( ) A ．(－7，－4) B ．(7，4) C ．(－1，4) D ．(1，4)2．(2015·四川)设向量a ＝(2，4)与向量b ＝(x ，6)共线，则实数x ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．63．(2016·全国Ⅱ)已知向量a ＝(m ，4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________． 4．(2015·江苏)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________． 考点2 平面向量的数量积及其几何意义5．(2016·全国Ⅱ)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( ) A ．－8 B ．－6 C ．6 D ．86．(2015·新课标全国Ⅱ)已知a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．27．(2015·北京)设a ，b 是非零向量，“a·b ＝|a ||b |”是“a ∥b ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．(2016·全国Ⅰ)设向量a ＝(x ，x ＋1)，b ＝(1，2)，且a ⊥b ，则x ＝________． 9．(2016·江苏)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA→·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是________．10．(2015·湖北)已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________．11．(2015·天津)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE→＝23BC →，DF →＝16DC →，则AE →·AF →的值为________． 考点3 两平面向量的夹角12．(2016·全国Ⅲ)已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°13．(2015·重庆)已知非零向量a ，b 满足|b |＝4|a |，且a ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π3 B.π2 C.2π3 D.5π614．(2016·北京)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，1)，则a 与b 夹角的大小为________． 考点4 平面向量的模15．(2016·四川)已知正三角形ABC 的边长为23，平面ABC 内的动点P ，M 满足|AP →|＝1，PM →＝MC →，则|BM →|2的最大值是( ) A.434 B.494C.37＋634D.37＋233416．(2015·陕西)对任意平面向量a ，b ，下列关系式中不恒成立的是( ) A ．|a ·b |≤|a ||b | B ．|a －b |≤||a |－|b || C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2 D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 217．(2016·浙江)已知平面向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2，a·b ＝1，若e 为平面单位向量，则|a·e |＋|b·e |的最大值是________．18．(2015·浙江)已知e 1，e 2是平面单位向量，且e 1·e 2＝12.若平面向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2＝1，则|b |＝________．19．(2016·浙江)已知向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2.若对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤6，则a ·b 的最大值是________．20．(2015·安徽)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC→＝2a ＋b ，则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)． ①a 为单位向量；②b 为单位向量；③a ⊥b ；④b ∥BC→；⑤(4a ＋b )⊥BC →.1．(2017·沈阳市一监)已知平面向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，若a ⊥b ，则实数k 为( )A ．－12B ．12 C.43 D.342．(2017·贵阳市监测)设向量a ＝(1，x －1)，b ＝(x ＋1，3)，则“x ＝2”是“a ∥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．(2017·湖南五市十校联考)若向量数量积a ·b <0，则向量a 与b 的夹角θ的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2C.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，πD.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π4．(2017·西安八校联考)已知点A (－1，1)，B (1，2)，C (－2，－1)，D (3，4)，则向量CD→在AB →方向上的投影是( )A.322 B ．－322 C ．3 5 D ．－3 55．(2017·成都市二诊)已知平面向量a ，b 的夹角为π3，且|a |＝1，|b |＝12，则|a －2b |＝( )A ．1 B. 3 C ．2 D.326．(2017·石家庄市质检一)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，m )，c ＝(2，4)，且(2a －5b )⊥c ，则实数m ＝( ) A ．－310 B ．－110 C.110 D.3107．(2017·云南省统检一)在▱ABCD 中，|AB →|＝8，|AD →|＝6，N 为DC 的中点，BM →＝2MC→，则AM →·NM →＝( ) A ．48 B ．36 C ．24 D ．128．(2017·广东五校一联)已知向量a ＝(λ，1)，b ＝(λ＋2，1)，若|a ＋b |＝|a －b |，则实数λ的值为( )A ．－1B ．2C ．1D ．－29．(2016·惠州市二调)已知向量AB→＝(3，7)，BC →＝(－2，3)，则－12AC →＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，5B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－5D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－5 10．(2016·山西省三诊)若菱形ABCD 的边长为2，则|AB →－CB →＋CD →|等于( ) A ．2 B ．1 C ．2 2 D. 211．(2016·山西四校联考)如图，正六边形ABCDEF 中，BA→＋CD →＋EF →等于( )A ．0 B.BE → C.AD→ D.CF → 12．(2016·北京西城区二模)已知平面向量a ，b ，c 满足a ＝(－1，1)，b ＝(2，3)，c ＝(－2，k )，若(a ＋b )∥c ，则实数k ＝( ) A ．4 B ．－4 C ．8 D ．－813．(2016·湖北黄冈八校模拟)在平行四边形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，∠DAB ＝π3，点E ，F 分别在BC ，DC 边上，且BE→＝2EC →，DF →＝FC →，则AE →·BF →＝( )A ．－83B ．－1C ．2 D.10314．(2016·江西赣中南五校联考)若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π4 B.π2 C.3π4 D.π315．(2016·河南八市模拟)已知平面向量a ，b 的夹角为2π3，且a ·(a －b )＝8，|a |＝2，则|b |等于( ) A. 3 B ．2 3 C ．3 D ．416．(2016·河北三市模拟)已知e 1，e 2是不共线向量，a ＝m e 1＋2e 2，b ＝n e 1－e 2，且mn ≠0，若a ∥b ，则mn 等于( ) A ．－12 B.12 C ．－2 D ．217．(2016·山西省二诊)已知非零向量a ，b 满足|b |＝1，且b 与b －a 的夹角为30°，则|a |的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 C ．[1，＋∞) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞18．(2016·豫南九校二联)已知点O 是平面上的一定点，△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若动点P 满足OP →－OA →＝λ(bAB →＋cAC →)，λ∈(0，＋∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．重心 B ．垂心 C ．内心 D ．外心19．(2017·张掖市一诊)已知平面向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a ⊥(a －2b )，则|a ＋b |＝________．20．(2017·湖北七市(州)高三联考)平面向量a ，b ，c 不共线，且两两所成的角相等，若|a |＝|b |＝2，|c |＝1，则|a ＋b ＋c |＝________．21．(2017·石家庄市质检二)非零向量m ，n 的夹角为π3，且满足|n |＝λ|m |(λ>0)，向量组x 1，x 2，x 3由一个m 和两个n 排列而成，向量组y 1，y 2，y 3由两个m 和一个n 排列而成，若x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3所有可能值中的最小值为4m 2，则λ＝________．22．(2016·沈阳市四校联考)在△AOB 中，G 为△AOB 的重心(三角形中三边上中线的交点叫重心)，且∠AOB ＝60°，若OA →·OB →＝6，则|OG →|的最小值是________． 23．(2016·东北三省四市一联)在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝2，AD ＝1，梯形所在平面内一点P 满足BA →＋BC →＝2BP →，则PC →·PD →＝________．24．(2017·苏北四市模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos C ＝35.(1)若CB→·CA →＝92，求△ABC 的面积； (2)设向量x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin B 2，3，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos B ，cos B 2，且x ∥y ，求sin(B －A )的值．25．(2017·日照市质检)已知△ABC 的外接圆圆心为O ，半径为2，OA →＋AB →＋AC →＝0，且|OA →|＝|AB →|. (1)求CA→·CB →的值； (2)若E 是AC 的中点，求|BE →＋OE →|的值．26．(2016·哈尔滨六中模拟)已知向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，cos A )，m ·n ＝sin 2C ，且A 、B 、C 分别为△ABC 三边a 、b 、c 所对的角． (1)求角C 的大小；(2)若sin A 、sin C 、sin B 成等差数列，且CA →·CB →＝18，求c 边的长．27．(2016·重庆市一诊)已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2，－1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x 2，cos 2x 2，设函数f (x )＝m ·n ＋1.(1)求函数f (x )的单调增区间；(2)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足a 2＋b 2＝6ab cos C ，sin 2C ＝2sin A sin B ，求f (C )的值．17.平面向量的应用1．(2017·全国Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为( ) A ．3 B ．2 2 C. 5 D ．22．(2017·全国Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值是( ) A ．－2 B ．－32 C ．－43 D ．－13．(2017·山东)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝3，AB →·AC →＝－6，S △ABC ＝3，求A 和a .4．(2017·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，A (－12，0)，B (0，6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上，若P A →·PB →≤20，则点P 的横坐标的取值范围是________． 5．(2017·江苏)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]．(1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值．考点1 共线向量定理与平面向量平行、垂直的应用1．(2016·山东)已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13.若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( ) A ．4 B ．－4 C.94 D ．－942．(2015·福建)设a ＝(1，2)，b ＝(1，1)，c ＝a ＋k b .若b ⊥c ，则实数k 的值等于( ) A ．－32 B ．－53 C.53 D.323．(2015·山东)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60° ，则BD →·CD →＝( )A ．－32a 2B ．－34a 2 C.34a 2 D.32a 24．(2016·全国Ⅰ)设向量a ＝(m ，1)，b ＝(1，2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________． 考点2 平面向量基本定理与平面向量在平面几何中的应用5．(2016·四川)在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足|DA →|＝|DB →|＝|DC →|，DA →·DB →＝DB →·DC →＝DC→·DA →＝－2，动点P ，M 满足|AP →|＝1，PM →＝MC →，则|BM →|2的最大值是( ) A.434 B.494 C.37＋634 D.37＋2334考点3 平面向量与三角函数、三角形、数列的结合问题6．(2015·江苏)设向量a k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos k π6，sin k π6＋cos k π6(k ＝0，1，2，…，12)，则∑k ＝011(a k ·a k ＋1)的值为________．7．(2015·陕西)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .向量m ＝(a ，3b )与n ＝(cos A ，sin B )平行．(1)求A; (2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积．考点4 平面向量与解析几何的结合题8．(2015·湖南)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC ，若点P 的坐标为(2，0)，则|P A →＋PB →＋PC →|的最大值为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．99．(2016·四川)设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( ) A.33 B.23 C.22 D ．110．(2015·新课标全国Ⅰ)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223 D.⎝⎛⎭⎪⎫－233，233 11．(2016·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2，4)．(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程；(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B 、C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程；(3)设点T (t ，0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA →＋TP →＝TQ →，求实数t 的取值范围．1．(2017·惠州市三调)已知向量m ＝(t ＋1，1)，n ＝(t ＋2，2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则t ＝( ) A ．0 B ．－3 C ．3 D ．－12．(2017·安徽名校联考)已知向量a ＝(m ，1)，b ＝(m ，－1)，且|a ＋b |＝|a －b |，则|a |＝( )A ．1 B.62 C. 2 D ．43．(2017·陕西省质检一)已知非零单位向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则a 与b －a 的夹角是( ) A.π6 B.π3 C.π4 D.3π44．(2017·云南十一校调研)平面向量a 与b 的夹角为45°，a ＝(1，1)，|b |＝2，则|3a ＋b |等于( ) A ．13＋6 2 B ．2 5 C.30 D.345．(2017·郑州市一预)在△ABC 中，|AB →＋AC →|＝3|AB →－AC →|，|AB →|＝|AC →|＝3，则CB→·CA →＝( ) A ．3 B ．－3 C.92 D ．－926．(2017·宝鸡市质检一)已知向量a ＝(－2，－1)，b ＝(λ，1)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2∪(2，＋∞) B ．(2，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12 7．(2017·武汉市武昌区调研)在平行四边形ABCD 中，点M ，N 分别在边BC ，CD 上，且满足BC ＝3MC ，DC ＝4NC ，若AB ＝4，AD ＝3，则AN →·MN →＝( ) A ．－7 B ．0 C.7 D ．78．(2017·湘中名校联考)若点P 是△ABC 的外心，且P A →＋PB →＋λPC →＝0，∠C ＝120°，则实数λ的值为( ) A.12 B ．－12 C ．－1 D ．19．(2017·成都市一诊)已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝4上的两个动点，|AB →|＝2，OC →＝53OA →－23OB →.若M 是线段AB 的中点，则OC →·OM →的值为( ) A ．3 B ．2 3 C ．2 D ．－310．(2016·江西省质检三)在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝4DC →，则AD→等于( ) A.23b ＋13c B.53c －23b C.45b －15c D.45b ＋15c11．(2016·北京东城区高三期末)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(m ，2m －3)，平面上任意向量c 都可以唯一地表示为c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(0，＋∞)B ．(－∞，3)C ．(－∞，－3)∪(－3，＋∞)D ．[－3，3)12．(2016·济南一中高三期中)在△ABC 中，若AB →2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形13．(2016·杭州七校联考)已知平面向量m ，n 的夹角为π6，且|m |＝3，|n |＝2，在△ABC 中，AB→＝2m ＋2n ，AC →＝2m －6n ，D 为BC 的中点，则|AD →|＝( )A ．2B ．4C ．6D ．814．(2016·河北唐山模拟)P 是△ABC 所在平面内一点，若P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →，则P 是△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心15．(2016·江西临川模拟)已知A ，B ，C 是单位圆上互不相同的三点，且满足|AB →|＝|AC→|，则AB →·AC →的最小值为( ) A ．－14 B ．－12 C ．－34 D ．－116．(2016·天一大联考模拟)已知O 为坐标原点，B ，D 分别是单位圆与x 轴正半轴，y 轴正半轴的交点，点P 为单位圆劣弧BD ︵上一点，若OB →＋OD →＝xDB →＋yOP →，∠BOP ＝π3，则x ＋y ＝( ) A ．1 B. 3 C ．2 D ．4－3 317．(2016·绥化市三校期末联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，m ＝(3b －c ，cos C )，n ＝(a ，cos A )，m ∥n ，则cos A 的值等于( ) A.36 B.34 C.33 D.3218．(2016·唐山一中高三期中)若a ，b ，c 均为单位向量，a ·b ＝－12，c ＝x a ＋y b (x ，y ∈R )，则x ＋y 的最大值是( ) A ．2 B. 3 C. 2 D ．119．(2017·广州市综测一)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(x ，－1)，若a ∥(a －b )，则a ·b ＝________．20．(2017·福州市质检)正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，向量AE →，BD →的夹角为θ，则cos θ＝________．21．(2017·长沙市一模)矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝2，P 为矩形内部一点，且AP ＝1，若AP→＝xAB →＋yAD →，则3x ＋2y 的取值范围是________． 22．(2016·南昌市调研)已知直线x ＋y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝2交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，|OA →＋OB →|≥|AB →|，那么实数m 的取值范围是________． 23．(2016·山西省三诊)已知点O 为△ABC 内一点，且OA →＋2OB →＋3OC →＝0，则△AOB ，△AOC ，△BOC 的面积之比等于________．24．(2016·衡水中学四调)如图，边长为1的正方形ABCD 的顶点A ，D 分别在x 轴，y 轴正半轴上移动，则OB→·OC →的最大值是________．25．(2017·河南省质量监测)在△ABC 中，BD →＝mBC →(0<m <1)，AC ＝3，AD ＝7，C ＝π3.(1)求△ACD 的面积；(2)若cos B ＝154，求AB 的长度及∠BAC 的正弦值．26．(2016·惠州市二调)设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值．27．(2016·四川省统考)已知锐角△ABC 中的三个内角分别为A ，B ，C . (1)设BC→·CA →＝CA →·AB →，求证△ABC 是等腰三角形； (2)设向量s ＝(2sin C ，－3)，t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2C ，2cos 2C 2－1，且s ∥t ，若sin A ＝13，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－B 的值．18.平面向量的综合问题类型1 平面向量在三角函数中的应用1．(2017·南京三模)已知向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，α∈(0，π2)，t 为实数．(1)若a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25，0，求t 的值；(2)若t ＝1，且a ·b ＝1，求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值．2．(2016·湖北孝感六校模拟)已知向量a ＝(2cos x ，2)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ，12，记函数f (x )＝a ·b ＋3sin 2x .(1)求函数f (x )的单调增区间；(2)求函数f (x )的最值以及取得最值时x 的集合．3．(2016·泰安市检测)已知a ＝(3，cos ωx )，b ＝(sin ωx ，－1)(0＜ω＜3，x ∈R )，函数f (x )＝a ·b ，若函数f (x )的图象的其中一个对称中心到对称轴的最小距离为π4个单位．(1)求函数f (x )的解析式及其单调增区间； (2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＜α＜23π，求sin α的值．类型2 平面向量在三角形中的应用4．(2017·南阳市三模)已知角A ，B ，C 为等腰△ABC 的内角，设向量m ＝(2sin A －sin C ，sin B )，n ＝(cos C ，cos B )，且m ∥n ，BC ＝7. (1)求角B ；(2)在△ABC的外接圆的劣弧AC上取一点D，使得AD＝1，求sin∠DAC及四边形ABCD的面积．5.(2017·盐城市三模)设△ABC 面积的大小为S ，且3AB →·AC →＝2S . (1)求sin A 的值；(2)若C ＝π4，AB →·AC →＝16，求AC .6．(2017·武汉市模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足2c －b a ＝cos B cos A . (1)求角A 的大小；(2)若D 为BC 上一点，且CD →＝2DB →，b ＝3，AD ＝21，求a .类型3 平面向量在解析几何中的应用7．(2017·福州市适应性考试)已知i ，j 为直角坐标平面xOy 内x ，y 轴正方向上的单位向量，a ＝(x ＋1)i ＋y j ，b ＝(x －1)i ＋y j (x ，y ∈R )，且|a |＋|b |＝6. (1)求点M (x ，y )的轨迹C 的方程；(2)过点(0，1)作直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，OP→＝OA →＋OB →，是否存在直线l ，使得四边形OAPB 是矩形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．8．(2016·湖南衡阳模拟)已知抛物线E ：y ＝ax 2上三个不同的点A (1，1)、B 、C 满足关系式AB→·BC →＝0. (1)求抛物线E 的方程；(2)求△ABC 的外接圆面积的最小值及此时△ABC 的外接圆的方程．1．(2017·洛阳市统考一)已知平面向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为2π3，且(a ＋λb )⊥(2a －b )，则实数λ的值为( ) A ．－7 B ．－3 C ．2 D ．32．(2016·合肥质检二)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝4，a ·b ＝1，则|a －b |＝( ) A ．2 B ．2 3 C ．3 D ．2 53．(2017·东北三省四市二联)若G 是△ABC 的重心，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且aGA→＋bGB →＋33cGC →＝0，则角A ＝( ) A ．90° B ．60° C ．45° D ．30°4．(2017·北京海淀区期末)已知不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≥4，x －y ≥－2，x ≤2表示的平面区域为D ，点O (0，0)，A (1，0)．若点M 是D 上的动点，则OA →·OM→|OM →|的最小值是( )A.22B.55C.1010D.310105．(2017·杭州质检)设P 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)右支上的任意一点，已知A (a ，b )和B (a ，－b )．若OP →＝λOA →＋μOB →(O 为坐标原点)，则λ2＋μ2的最小值为( )A.14abB.14C.12abD.126．(2017·金华市模拟)设P 为锐角△ABC 的外心(三角形外接圆圆心)，AP →＝k (AB →＋AC→)(k ∈R )．若cos ∠BAC ＝25，则k ＝( ) A.514 B.214 C.57 D.377．(2017·台州市模拟)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，过点F 且斜率为－1的直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若AB →＝－3AF→，则双曲线C 的离心率e ＝( ) A.103 B.52 C. 5 D.3438．(2016·济宁市高三统考)如图，在平行四边形ABCD 中，M 为CD 中点，若AC →＝λAM→＋μAB →，则μ的值为( )A.14B.13C.12D ．19．(2016·绵阳诊断)已知点O 是锐角三角形ABC 的外心，若OC →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则( )A ．x ＋y ≤－2B ．－2≤x ＋y ＜－1C ．x ＋y ＜－1D ．－1＜x ＋y ＜010．(2016·江西赣中南五校联考)如图所示，点P 是函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0)图象的一个最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，若PM →·PN →＝0，则ω等于( )A ．8 B.π8 C.π4 D.π211．(2016·常德市统考)已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数k 使得CA→＋CB →＝kCM →成立，则k ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．512．(2016·赣中南五校联考)△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，2AO →＝AB →＋AC→且|OA →|＝|AB →|，则向量BA →在向量BC →方向上的投影为( ) A.12 B.32 C ．－12 D ．－3213．(2016·唐山市模拟)设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a ＋b |＝1，则|a －t b |(t ∈R )的最小值为( )A ．2 B.12 C ．1 D.3214．(2016·郑州市一预)已知函数f (x )＝A sin (πx ＋φ)的部分图象如图所示，点B ，C 是该图象与x 轴的交点，过点C 的直线与该图象交于D ，E 两点，则(BD →＋BE →)·(BE →－CE→)的值为( )A ．－1B ．－12 C.12 D ．215．(2016·衡水中学二调)若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|3AM →－AB →－AC→|＝0，则△ABM 与△ABC 面积之比等于( ) A.34 B.14 C.13 D.1216．(2015·郑州市二预)在Rt △ABC 中，CA ＝CB ＝3，M ，N 是斜边AB 上的两个动点，且MN ＝2，则 CM→·CN →的取值范围为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52 B ．[2，4] C ．[3，6] D ．[4，6] 17．(2015·江西省质检)设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积a ·b ＝(a 1b 1，a 2b 2)，已知向量m ＝(1，2)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，点A (x ，y )在函数y ＝cos x 的图象上运动，B 是函数y ＝f (x )图象上的点，且满足OB →＝m ·OA →＋n (其中O 为坐标原点)，则函数y ＝f (x )的值域是( ) A ．[0，1] B ．[－1，1]C ．[－2，2]D ．[0，1]∪(2，＋∞)18．(2017·南昌市一模)已知单位向量e 1，e 2的夹角为π3，a ＝2e 1－e 2，则a 在e 1上的投影是________．19．(2017·兰州市诊断)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝π3，则BD→·CD →＝________．20．(2017·合肥市质检一)若非零向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且(a ＋b )⊥(3a －b )，则a 与b 的夹角的余弦值为________．21．(2017·杭州二模)在△ABC 中，|AB →|＝3，|BC →|＝5，M 是BC 的中点，AM→＝λMP →(λ∈R )．若MP →＝AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C，则△ABC 的面积为________． 22．(2017·苏北四市检测)设关于x ，y 的不等式组⎩⎨⎧3x －4≥0，（y －1）（3x ＋y －6）≤0表示的平面区域为D .已知点O (0，0)，A (1，0)，点M 是D 上的动点，OA→·OM →＝λ|OM→|，则λ的取值范围是________． 23．(2016·临川模拟)已知△ABC 中，AB ＝7，AC ＝8，BC ＝9，P 点在平面ABC内，且P A →·PC→＋7＝0，则|PB →|的最大值为________． 24．(2016·绥化市三校联考)已知点A (－3，0)和圆O ：x 2＋y 2＝9，AB 是圆O 的直径，M 和N 是AB 的三等分点，P (异于A ，B )是圆O 上的动点，PD ⊥AB 于D ，PE→＝λED →(λ＞0)，直线P A 与BE 交于C ，则当λ＝________时，|CM |＋|CN |为定值．25．(2017·河南八市联考)设△ABC 的面积为S ，且2S ＋3AB→·AC →＝0. (1)求角A 的大小；(2)若|BC→|＝3，且角B 不是最小角，求S 的取值范围．26．(2017·青岛市检测)如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点为A (2，0)，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2e ，12在椭圆上(e 为椭圆的离心率)．(1)求椭圆的方程．(2)若点B ，C (点C 在第一象限)都在椭圆上，满足OC→＝λBA →，且OC →·OB →＝0，求实数λ的值．27.(2016·甘肃省河西五市二联)如图，以Ox 为始边作角α与β(0＜β＜α＜π)，它们的终边分别与单位圆相交于P ，Q ，已知点P 的坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45.(1)求sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α的值； (2)若OP→·OQ →＝0，求sin(α＋β)的值．28．(2016·潍坊市质检)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ，12cos x ，b ＝(cos x ，cos x )，函数f (x )＝a ·b .(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝12，a ＝3，S △ABC ＝32，求b ＋c 的值．。
(2021年整理)平面向量的极化恒等式及其应用
（完整）平面向量的极化恒等式及其应用编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（完整）平面向量的极化恒等式及其应用）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（完整）平面向量的极化恒等式及其应用的全部内容。
平面向量的极化恒等式及其应用一. 极化恒等式的由来定理：平行四边形的对角线的平方和等于相邻两边平方和的两倍. 证法1 (向量法)设.,b AD a AB == 则,,b a DB b a AC -=+=()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-++=+2222222222AD AB b a b a b a DB AC 。
即 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+22222AD AB DB AC 。
证法2 （解析法) 证法3 （余弦定理)推论1：由⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+22222AD AB DB AC 知,⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+2222222AD AB OB AO ， 即 22AD AB +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222OB AO 推论2：()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=⋅2241b a b a b a --—--—---—-—-——--—-— 极化恒等式.即 22OB AO AD AB -=⋅推论3：在ABC ∆中，O 是边BC 的中点,则222241BC AO OB AO AC AB -=-=⋅--—-—-—-—---———- 极化恒等式的几何意义.亦即向量数量积的第二几何意义。
二. 平行四边形的一个重要结论平行四边形的对角线的平方和等于相邻两边平方和的两倍.⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+22222AD AB DB AC . 三. 三角形中线的一个性质: 22AC AB +⎪⎭⎫⎝⎛+=222OB AO .推论1： =2AO 22221OB AC AB -⎪⎭⎫ ⎝⎛+.推论2： =2AO 2224121BC AC AB -⎪⎭⎫ ⎝⎛+。
2023年普通高等学校招生全国统一考试新高考仿真模拟卷数学(四)(含答案解析)
2023年普通高等学校招生全国统一考试�新高考仿真模拟卷数学（四）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知复数1z =，则2z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知全集{62}U xx =-<<∣，集合{}2230A x x x =+-<∣，则U ðA=（）A ．()6,2-B ．()3,2-C ．()()6,31,2--⋃D ．][()6,31,2--⋃3．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗.图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中,B C 分别是上､下底面圆的圆心，且36AC AB ==，底面圆的半径为2，则该陀螺的体积是（）A ．803πB ．703p C ．20πD ．563π4．已知一组数据：123,,x x x 的平均数是4，方差是2，则由12331,31,31x x x ---和11这四个数据组成的新数据组的方差是（）A ．27B ．272C ．12D ．115．若非零向量,a b 满足()22,2a b a b a ==-⊥ ，则向量a 与b 夹角的余弦值为（）A ．34B ．12C ．13D ．146．已知圆221:(2)(3)4O x y -+-=，圆222:2270O x y x y +++-=，则同时与圆1O 和圆2O 相切的直线有（）7．已知函数()()sin (0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，则函数()f x 在区间[]0,10π上的零点个数为（）A ．6B ．5C ．4D ．38．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆C 上，若离心率12PF e PF =，则椭圆C 的离心率的取值范围为（）A．()1-B．⎛ ⎝⎭C．2⎫⎪⎪⎣⎭D．)1,1-二、多选题9．若π1tan tan 231tan ααα-⎛⎫-= ⎪+⎝⎭，则α的值可能为（）A ．π36B ．7π36C ．19π36D ．5π36-10．某校10月份举行校运动会，甲､乙､丙三位同学计划从长跑，跳绳，跳远中任选一项参加，每人选择各项目的概率均为13，且每人选择相互独立，则（）A ．三人都选择长跑的概率为127B ．三人都不选择长跑的概率为23C ．至少有两人选择跳绳的概率为427D ．在至少有两人选择跳远的前提下，丙同学选择跳远的概率为5711．设函数()()()1ln 1(0)f x x x x =++>，若()()11f x k x >--恒成立，则满足条件的正整数k 可以是（）A ．1B ．2C ．3D ．412．已知三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面2,4,,3ABC PA BAC AB AC M π∠====是边BC 上一动点，则（）A ．点C 到平面PAB 的距离为2B ．直线AB 与PCC ．若M 是BC 中点，则平面PAM ⊥平面PBCD ．直线PM 与平面ABC三、填空题13．函数()()313xxk f x x k -=∈+⋅R 为奇函数，则实数k 的取值为__________.14．已知抛物线28y x =的焦点为F ，抛物线上一点P ，若5PF =，则POF ∆的面积为______________.15．由数字0,1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字的三位数，则能被5整除的三位数共有__________个.16．已知0a >，函数()22ag x x x+=+-在[)3,+∞上的最小值为2，则实数=a __________.四、解答题17．第24届冬奥会于2022年2月4日在北京市和张家口市联合举行，此项赛事大大激发了国人冰雪运动的热情.某滑雪场在冬奥会期间开业，下表统计了该滑雪场开业第x 天的滑雪人数y （单位：百人）的数据.天数代码x12345滑雪人数y （百人）911142620经过测算，若一天中滑雪人数超过3500人时，当天滑雪场可实现盈利，请建立y 关于x 的回归方程，并预测该滑雪场开业的第几天开始盈利.参考公式：线性回归方程ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为()()()121ˆˆ,niii ni i x x y y bay bx x x ==--==--∑∑ .18．如图，四边形ABCD 中，150,60,B D AB AD ABC ∠∠====的面积为(1)求AC ；(2)求ACD ∠.19．设数列{}n a 的前n 项和为()*,226n n n S S a n n =+-∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列112n n n a a ++⎧⎫⎨⎩⎭的前m 项和127258m T =，求m 的值.20．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点E 、P 分别是1DD 、11A C 的中点.(1)求证：BP ⊥平面11A EC ；(2)求直线1B C 与平面11A EC 所成角的正弦值.21．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y -=，一个焦点到该渐近线的距离为1.(1)求双曲线C 的方程；(2)若双曲线C 的右顶点为A ，直线:l y kx m =+与双曲线C 相交于,M N 两点(,M N 不是左右顶点），且0AM AN ⋅=.求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标.22．已知函数()()e 4ln 2xf x x x =++-.(1)求函数()f x 的图象在()()0,0f 处的切线方程；(2)判断函数()f x 的零点个数，并说明理由.参考答案：1．C【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简复数2z ，再根据复数的几何意义判断即可.【详解】解：因为1z =-，所以())2221122z ==-+=--，所以2z 在复平面内对应的点的坐标为(2,--位于第三象限.故选：C 2．D【分析】计算出集合B ，由补集的定义即可得出答案.【详解】因为{}}{223031A xx x x x =+-<=-<<∣，U ðA=][()6,31,2--⋃.故选：D.3．D【分析】根据圆锥与圆柱的体积公式，可得答案.【详解】已知底面圆的半径2r =，由36AC AB ==，则2,4AB BC ==，故该陀螺的体积2215633V BC r AB r πππ=⋅+⋅⋅=.故选：D.4．B【分析】根据方差和平均数的计算及可求解.【详解】因为一组数据1x ，2x ，3x 的平均数是4，方差是2，所以22212312311()4,[(4)(4)(4)]233x x x x x x ++=-+-+-=，所以22212312312,(4)(4)(4)6x x x x x x ++=-+-+-=，所以12331,31,31x x x ---，11的平均数为12312311(31)(31)(31)][113()3]1144x x x x x x +-+-+-=+++-=，所以12331,31,31x x x ---，11的方差为2222123111)(312)(312)(312)]4x x x -+-+-+-22212311279[(4)(4)(4)]96424x x x =⨯-+-+-=⨯⨯=故选：B 5．D【分析】求出1,2a b ==，根据()2a b a -⊥ 可得()20a b a -⋅=,代入化简求解夹角余弦值即可.【详解】设a 与b的夹角为θ，因为()22,2a b a b a ==-⊥ ，所以1,2a b==，()2a b a ∴-⋅22cos 0a a b θ=-= .21cos 42a a b θ∴== .故选：D.6．B【分析】根据圆的方程，明确圆心与半径，进而确定两圆的位置关系，可得答案.【详解】由圆()()221:234O x y -+-=，则圆心()12,3O ，半径12r =；由圆222:2270O x y x y +++-=，整理可得()()22119x y +++=，则圆心()21,1O --，半径23r =；由12125O O r r ===+，则两圆外切，同时与两圆相切的直线有3条.故选：B.7．B【分析】求出周期，方法1：画图分析零点个数；方法2：求()0f x =的根解不等式即可.【详解】由题意知，37π2π(3π433T =--=，解得：4πT =，22Tπ=，方法1：∴作出函数图象如图所示，∴()f x 在区间[0,10π]上的零点个数为5.方法2：∴()0f x =，解得：2π2π,Z 3x k k =-+∈，∴2π02π10π3k ≤-+≤，Z k ∈，解得：11633k ≤≤，Z k ∈，∴1,2,3,4,5k =，∴()f x 在区间[0,10π]上的零点个数共有5个.故选：B.8．D【分析】由题意可知12PF e PF =，结合椭圆的定义解得221aPF e =+，再由2a c PF a c -≤≤+求解.【详解】因为12PF e PF =，所以12PF e PF =，由椭圆的定义得：122PF PF a +=，解得221aPF e =+，因为2a c PF a c -≤≤+，所以21aa c a c e -≤≤++，两边同除以a 得2111e e e -≤≤++，解得1e ≥，因为01e <<11e ≤<，所以该离心率e的取值范围是1,1)故选：D.9．BCD【分析】根据题意可得：π1tan πtan(2tan()31tan 4αααα--==-+，然后利用正切函数的性质即可求解.【详解】因为πtantan 1tan π4tan()π1tan 41tan tan 4ααααα--==-++⋅，则ππtan(2)tan()34αα-=-，所以ππ2π,34k k αα-=+-∈Z ，解得：π7π,336k k α=+∈Z ，当0k =时，7π36α=；当1k =时，19π36α=；当1k =-时，5π36α-=；故选：BCD .10．AD【分析】根据相互独立事件概率计算公式计算即可.【详解】由已知三人选择长跑的概率为111133327⨯⨯=，故A 正确.三人都不选择长跑的概率为222833327⨯⨯=，故B 错误.至少有两人选择跳绳的概率为231111127C 33333327⨯⨯+⨯⨯=，故C 错误.记至少有两人选择跳远为事件A ，所以()231111127C 33333327P A =⨯⨯+⨯⨯=.记丙同学选择跳远为事件B ，所以()12111215C 3333327P AB ⎛⎫=⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭.所以在至少有两人选择跳远的前提下，丙同学选择跳远的概率为()()()57P AB P B A P B ==，故D 正确.故选：AD 11．ABC【分析】根据题意可得()()()()1ln 1110g x x x k x =++--+>，利用导数结合分类讨论解决恒成立问题.【详解】若()()11f x k x >--恒成立，则()()()()()111ln 1110f x k x x x k x --+=++--+>恒成立，构建()()()()1ln 111g x x x k x =++--+，则()()ln 12g x x k '=++-，∵0x >，故()ln 10x +>，则有：当20k -≥，即2k ≤时，则()0g x '>当0x >时恒成立，故()g x 在()0,∞+上单调递增，则()()010g x g >=>，即2k ≤符合题意，故满足条件的正整数k 为1或2；当20k -<，即2k >时，令()0g x '>，则2e 1k x ->-，故()g x 在()20,e1k --上单调递减，在()2e 1,k --+∞上单调递增，则()()22e 1e 0k k g x g k --≥-=->，构建()2ek G k k -=-，则()21e0k G k --'=<当2k >时恒成立，故()G x 在()2,+∞上单调递减，则()()210G k G <=>，∵()()233e 0,44e 0G G =->=-<，故满足()()02G k k >>的整数3k =；综上所述：符合条件的整数k 为1或2或3，A 、B 、C 正确，D 错误.故选：ABC.12．BCD【分析】对于A ，利用线面垂直判定定理，明确点到平面的距离，利用三角形的性质，可得答案；对于B ，建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量，利用向量夹角公式，可得答案；对于C ，利用等腰三角形的性质，结合面面垂直判定定理，可得答案；对于D ，利用线面垂直性质定理，结合直角三角形的性质以及锐角正切的定义，可得答案.【详解】对于A ，在平面ABC 内，过C 作CD AB ⊥，如下图所示：PA ⊥ 平面ABC ，且CD ⊂平面ABC ，PA CD ∴⊥，CD AB ⊥ ，PA AB A = ，,AB PA ⊂平面PAB ，CD \^平面PAB ，则C 到平面PAB 的距离为CD ，23BAC π∠= ，AB AC ==6ABC π∴∠=，在Rt BCD 中，sin sin 3CD CB CBA CBA =⋅∠=∠=，故A 错误；对于B ，在平面ABC 内，过A 作AE AB ⊥，且E BC ⊂，易知,,AB AE AP 两两垂直，如图建立空间直角坐标系：则()0,0,0A，()B，()C ，()0,0,4P ，得()AB =，()4PC =-，(6AB PC ⋅==-，AB =PC ==则cos ,14AB PC AB PC AB PC⋅==⋅ ，故B 正确；对于C，作图如下：在ABC 中，AB AC =，M 为BC 的中点，则AM BC ⊥，PA ⊥ 平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，PA BC ∴⊥，AM PA A = ，,AM PA ⊂平面AMP ，BC ∴⊥平面AMP ，BC ⊂ 平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面AMP ，故C 正确，对于D，作图如下：PA ⊥ 平面ABC ，AM ⊂平面ABC ，PA AM ∴⊥，则在Rt PAM 中，tan PAAMP AM∠=，当AM 取得最小值时，tan AMP ∠取得最大值，当M 为BC 的中点时，由C 可知，AM BC ⊥，AM 取得最小值为sin 6AB π⋅=则tan AMP ∠D 正确.故选：BCD.13．1【分析】由奇函数的定义求解即可.【详解】函数()()313xx k f x x k -=∈+⋅R 为奇函数，必有0k >，则()()3·31331331313x x x x x x x xk k k kf x f x k k k k -------===-=-=+⋅++⋅+⋅，于是得22223·31x x k k -=-恒成立，即21k =，解得：1k =.故答案为：1.14．【分析】先根据抛物线定义得P 点坐标，再根据三角形面积公式求解.【详解】因为5PF =，所以2253,24,||P P P P x x y y +=∴===因此POF ∆的面积为11||||=22P y OF ⨯【点睛】本题考查抛物线定义应用，考查基本分析转化与求解能力，属基础题.15．78【分析】能被5整除的三位数末位数字是5或0，分成末位数字是5和末位数字是0两种情况讨论.【详解】能被5整除的三位数说明末尾数字是5或0当末尾数字是5时，百位数字除了0有6种不同的选法，十位有6种不同的选法，根据分步乘法原理一共有6636⨯=种方法；当末尾数字是0时，百位数字有7种不同的选法，十位有6种不同的选法，根据分步乘法原理一共有7642⨯=种方法；则一共有364278+=种故答案为：7816．13≤3>讨论，得出()g x 在[)3,+∞上的最小值，由最小值为2求解a 的值即可得出答案.【详解】()22ag x x x+=+- ，()()(2222221x x x a a g x x x x-+-+=∴+'=-=，3≤时，即07a <≤时，则()0g x '>在()3,+∞上恒成立，则()g x 在[)3,+∞上单调递增，()g x ∴在[)3,+∞上的最小值为()5323ag +==，解得1a =，3>时，即7a >时，当x ∈⎡⎣时，()0g x '<，()g x 单调递减，当)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，()g x ∴在[)3,+∞上的最小值为22,2ga ===，舍去，综上所述：1a =，故答案为：1.17．ˆ 3.7 4.9yx =+；9.【分析】根据表中数据及平均数公式求出ˆˆ,ab ，从而求出回归方程，然后再根据一天中滑雪人数超过3500人时，当天滑雪场可实现盈利即可求解.【详解】由题意可知，1234535x ++++==，911142620165y ++++==，所以()()()()()()()()5113916231116331416iii x x yy =--=-⨯-+-⨯-+-⨯-∑()()()()432616532016+-⨯-+-⨯-()()()()()27150211024=-⨯-+-⨯-+⨯-+⨯+⨯145010837=++++=()()()()()()5222222113233343534101410ii x x =-=-+-+-+-+-=++++=∑，所以()()()51521373.710iii ii x x y y bx x ==--===-∑∑ ，ˆˆ16 3.73 4.9ay bx =-=-⨯=，所以y 关于x 的回归方程为ˆ 3.7 4.9yx =+.因为天中滑雪人数超过3500人时，当天滑雪场可实现盈利，即3.7 4.935x +>，解得30.18.143.7x >≈,所以根据回归方程预测，该该滑雪场开业的第9天开始盈利.18．(1)(2)π4【分析】（1）在ABC 中，利用面积公式、余弦定理运算求解；（2）在ACD 中，利用正弦定理运算求解，注意大边对大角的运用.【详解】（1）在ABC 中，由ABC的面积111sin 222S AB BC B BC =⨯⨯∠=⨯⨯=可得4BC =，由余弦定理2222cos 121624522AC AB BC AB BC B ⎛⎫=+-⨯⨯∠=+-⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭，即AC =（2）在ACD 中，由正弦定理sin sin AC ADD ACD=∠∠，可得sin sin AD D ACD AC ∠∠==∵AD AC <，则60ACD D ∠<∠=︒，故π4ACD ∠=.19．(1)2n n a =(2)7【分析】（1）当2n ≥时，构造11228n n S a n --=+-，与条件中的式子，两式相减，得122n n a a -=-，转化为构造等比数列求通项公式；（2）由（1）可知()()1111222222n n n n n n n b a a ++++==++，利用分组求和法求解.【详解】（1）因为226n n S a n =+-，所以当1n =时，1124S a =-，解得14a =．当2n ≥时，11228n n S a n --=+-，则11222n n n n S S a a ---=-+，整理得122n n a a -=-，即()1222n n a a --=-．所以数列{}2n a -是首项为2，公比为2的等比数列，所以12222n n n a --=⨯=．所以22n n a =+.（2）令()()111112211222222222n n n n n n n n n b a a +++++⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭，数列{}n b 的前m 项和1111111112+4661010142222m m m T +⎛⎫=-+-+-+- ⎪++⎝⎭ ，111112=2422222m m ++⎛⎫-=- ++⎝⎭，则112127222258m +-=+，则12222258m +=+，则122567m m +=⇒=.m 的值为7.20．(1)证明见解析【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明10EC BP ⋅= ，10EA BP ⋅=，即可得证；（2）利用空间向量法计算可得.【详解】（1）证明：如图建立空间直角坐标系，则()0,0,2E ，()4,4,0B ，()14,4,4B ，()2,2,4P ，()10,4,4C ，()14,0,4A ，()0,4,0C ，所以()10,4,2EC = ，()14,0,2EA =，()2,2,4BP =-- ，所以10EC BP ⋅= ，10EA BP ⋅=，所以1EC BP ⊥，1EA BP ⊥，又11EC EA E = ，11,EC EA ⊂平面11A EC ，所以BP ⊥平面11A EC.（2）解：由（1）可知()2,2,4BP =-- 可以为平面11A EC 的法向量，又()14,0,4B C =--，设直线1B C 与平面11A EC 所成角为θ，则11sin 6B C BP B C BPθ⋅==⋅=，故直线1B C 与平面11A EC 21．(1)2214x y -=(2)证明过程见解析，定点坐标为10,03⎛⎫⎪⎝⎭【分析】（1）由渐近线方程求出12b a =，根据焦点到渐近线距离列出方程，求出c =，从而求出2,1a b ==，得到双曲线方程；（2）:l y kx m =+与2214x y -=联立，求出两根之和，两根之积，由0AM AN ⋅= 列出方程，求出103m k =-或2m k =-，舍去不合要求的情况，求出直线过定点，定点坐标为10,03⎛⎫⎪⎝⎭.【详解】（1）因为渐近线方程为20x y -=，所以12b a =，焦点坐标(),0c 到渐近线20x y -=1=，解得：c ，因为2225a b c +==，解得：2,1a b ==，所以双曲线C 的方程为2214x y -=；（2）由题意得：()2,0A ，:l y kx m =+与2214x y -=联立得：()222148440k x kmx m ----=，设()()1122,,,M x y N x y ，则2121222844,1414km m x x x x k k --+==--，()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++，()()()11221212122,2,24AM AN x y x y x x x x y y ⋅=-⋅-=-+++()()()()()122222222124048142421441kx x km x km m k x mkm m k k++-++--++=+⋅+-⋅+-=-，化简得：22201630k km m ++=，解得：103m k =-或2m k =-，当103m k =-时，10:3l y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭恒过点10,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，当2m k =-时，():2l y k x =-恒过点()2,0A ，此时,M N 中有一点与()2,0A 重合，不合题意，舍去，综上：直线l 过定点，定点为10,03⎛⎫⎪⎝⎭，【点睛】处理定点问题的思路：（1）确定题目中的核心变量（此处设为k ），（2）利用条件找到k 与过定点的曲线(),0F x y =的联系，得到有关k 与,x y 的等式，（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点()00,x y ，使得无论k 的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于k 与,x y 的等式进行变形，直至找到()00,x y ，①若等式的形式为整式，则考虑将含k 的式子归为一组，变形为“()k ⋅”的形式，让括号中式子等于0，求出定点；②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去k 变为常数.22．(1)14ln 2=+y (2)有两个零点，理由见解析【分析】（1）根据导数的几何意义，结合导数的运算进行求解即可；（2）令()0f x =转化为()()2=e <xt x x 与()()()4ln 22=---<g x x x x 图象交点的个数，利用导数得到()g x 单调性，结合两个函数的图象判断可得答案.【详解】（1）()()4e 122xf x x x =+-<-'，所以切线斜率为()00e 10204'=+-=-f ，()()00e 04ln 2014ln 2=++-=+f ，所以切点坐标为()0,14ln 2+，函数()f x 的图象在()()0,0f 处的切线方程为14ln 2=+y ；（2）有两个零点，理由如下，令()()e 4ln 20=++-=xf x x x ，可得()e 4ln 2=---x x x ，判断函数()f x 的零点个数即判断()()2=e <xt x x 与()()()4ln 22=---<g x x x x 图象交点的个数，因为()=e xt x 为单调递增函数，()0t x >，当x 无限接近于-∞时()t x 无限接近于0，且()22=e t ，由()421=022+'=-+=--x g x x x，得2x =-，当22x -<<时，()0g x '>，()g x 单调递增，当<2x -时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以()224ln40-=-<g ，()3333e 2e 24lne e 100--=+-=->g ，()110g =-<，43314ln ln 0222⎛⎫=--= ⎪⎝⎭g ，且当x 无限接近于2时()g x 无限接近于+∞，所以()=e xt x 与()()4ln 2=---g x x x 的图象在0x <时有一个交点，在02x <<时有一个交点，综上函数()f x 有2个零点.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解。
广东省2023年高考数学模拟(二模)试题按题型难易度分层分类汇编(12套)-01选择题(基础题)2
广东省2023年各地区高考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（12套）-01选择题（基础题）2一．并集及其运算（共1小题）1．（2023•广州二模）已知集合A＝{x|e x＜1，x∈R}，B＝{x|x2﹣x﹣2＜0，x∈R}，则A∪B＝（ ）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，2）C．（﹣2，0）D．（﹣1，2）二．交集及其运算（共1小题）2．（2023•广州二模）已知集合A＝{x|x＝3n﹣2，n∈N*}，B＝{6，7，10，11}，则集合A∩B的元素个数为（ ）A．1B．2C．3D．4三．交、并、补集的混合运算（共1小题）3．（2023•深圳二模）已知集合A＝{2，0}，B＝{2，3}，则∁A∪B（A∩B）＝（ ）A．{0}B．{2}C．{3}D．{0，3}四．充分条件与必要条件（共2小题）4．（2023•佛山二模）记数列{a n}的前n项和为S n，则“S3＝3a2”是“{a n}为等差数列”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（2023•广州二模）已知非零向量＝（x1，y1），＝（x2，y2），则“”是“∥”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件五．指数函数的单调性与特殊点（共1小题）6．（2023•广州二模）已知，，，则（ ）A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．c＜b＜a六．正弦函数的单调性（共2小题）7．（2023•广州二模）已知函数f（x）＝sin（2x+φ），若恒成立，且，则f（x）的单调递增区间为（ ）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k∈Z）D．（k∈Z）8．（2023•广州二模）已知函数的图象关于点对称，且f（x）在上单调，则ω的取值集合为（ ）A．{2}B．{8}C．{2，8}D．{2，8，14}七．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式（共1小题）9．（2023•梅州二模）已知函数，且，当ω取最小的可能值时，φ＝（ ）A．B．C．D．八．利用导数研究函数的单调性（共1小题）10．（2023•梅州二模）设函数f（x）在R上存在导数f'（x），对任意的x∈R，有f（﹣x）+f （x）＝2x2，且在（0，+∞）上f'（x）＜2x．若f（3﹣a）﹣f（a）≥9﹣6a，则实数a的取值范围为（ ）A．B．C．D．[3，+∞）九．利用导数研究函数的最值（共1小题）11．（2023•广州二模）已知函数f（x）＝x3﹣3x+b，且f（x）+f（﹣x）＝4恒成立，若h （x）＝，恰好有1个零点，则实数a的取值范围为（ ）A．（﹣∞，﹣2）B．[，1]C．（﹣∞，﹣2）∪[，1）D．[﹣2，）一十．利用导数研究曲线上某点切线方程（共1小题）12．（2023•佛山二模）若斜率为1的直线l与曲线y＝ln（x+a）和圆x2+y2＝都相切，则实数a的值为（ ）A．﹣1B．0C．2D．0或2一十一．平面向量的基本定理（共1小题）13．（2023•深圳二模）已知△OAB中，，，AD与BC相交于点M，，则有序数对（x，y）＝（ ）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）一十二．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）（共1小题）14．（2023•广东二模）现有一个轴截面是边长为4的等边三角形的倒置圆锥（顶点在下方，底面在上方），将半径为的小球放入圆锥，使得小球与圆锥的侧面相切，过所有切点所在平面将圆锥分割成两个部分，则分割得到的圆台的侧面积为（ ）A．B．C．D．一十三．棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积（共1小题）15．（2023•湛江二模）如图，将一个圆柱2n（n∈N*）等分切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，n越大，重新组合成的几何体就越接近一个“长方体”．若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了10，则圆柱的侧面积为（ ）A．10πB．20πC．10nπD．18π一十四．棱柱、棱锥、棱台的体积（共1小题）16．（2023•深圳二模）设表面积相等的正方体、正四面体和球的体积分别为V1、V2和V3，则（ ）A．V1＜V2＜V3B．V2＜V1＜V3C．V3＜V1＜V2D．V3＜V2＜V1一十五．直线与圆的位置关系（共2小题）17．（2023•湛江二模）若与y轴相切的圆C与直线l：y＝x也相切，且圆C经过点，则圆C的直径为（ ）A．2B．2或C．D．或18．（2023•梅州二模）若直线l：mx+ny+m＝0将圆C：（x﹣2）2+y2＝4分成弧长之比为2：1的两部分，则直线的斜率为（ ）A．B．C．D．一十六．椭圆的性质（共1小题）19．（2023•广州二模）已知椭圆C：（a＞b＞0），过点（﹣a，0）且方向量为的光线，经直线y＝﹣b反射后过C的右焦点，则C的离心率为（ ）A．B．C．D．一十七．圆锥曲线的综合（共1小题）20．（2023•佛山二模）已知方程Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F＝0，其中A≥B≥C≥D≥E≥F．现有四位同学对该方程进行了判断，提出了四个命题：甲：可以是圆的方程；乙：可以是抛物线的方程；丙：可以是椭圆的标准方程；丁：可以是双曲线的标准方程．其中，真命题有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个一十八．离散型随机变量的期望与方差（共1小题）21．（2023•广州二模）已知随机变量X的分布列如下：X12P m n 若，则m＝（ ）A．B．C．D．一十九．百分位数（共1小题）22．（2023•湛江二模）广东省第七次人口普查统计数据显示，湛江市九个管辖区常住人口数据如表所示，则这九个管辖区的数据的第70%分位数是（ ）管辖区常住人口赤坎区303824霞山区487093坡头区333239麻章区487712遂溪县886452徐闻县698474廉江市1443099雷州市1427664吴川市927275A ．927275B ．886452C ．698474D ．487712二十．线性回归方程（共1小题）23．（2023•梅州二模）云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长．已知某科技公司2018年至2022年云计算市场规模数据，且市场规模y 与年份代码x 的关系可以用模型（其中e 为自然对数的底数）拟合，设z ＝lny ，得到数据统计表如表：年份2018年2019年2020年2021年2022年年份代码x 12345云计算市场规模y /千万元7.4112036.666.7z ＝lny22.433.64由上表可得经验回归方程z ＝0.52x +a，则2025年该科技公司云计算市场规模y 的估计值为（ ）A ．e 5.08B ．e 5.6C ．e 6.12D ．e 6.5二十一．排列、组合及简单计数问题（共1小题）24．（2023•佛山二模）“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的学术大师．已知浙江大学、复旦大学、武汉大学、中山大学均有开设数学学科拔尖学生培养基地，某班级有5位同学从中任选一所学校作为奋斗目标，则每所学校至少有一位同学选择的不同方法数共有（ ）A ．120种B ．180种C ．240种D ．300种二十二．二项式定理（共1小题）25．（2023•广东二模）已知，则＝（ ）A．﹣1B．0C．1D．广东省2023年各地区高考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（12套）-01选择题（基础题）2参考答案与试题解析一．并集及其运算（共1小题）1．（2023•广州二模）已知集合A＝{x|e x＜1，x∈R}，B＝{x|x2﹣x﹣2＜0，x∈R}，则A∪B＝（ ）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，2）C．（﹣2，0）D．（﹣1，2）【答案】B【解答】解：A＝{x|e x＜1，x∈R}＝{x|x＜0}，B＝{x|x2﹣x﹣2＜0，x∈R}＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∪B＝（﹣∞，2）．故选：B．二．交集及其运算（共1小题）2．（2023•广州二模）已知集合A＝{x|x＝3n﹣2，n∈N*}，B＝{6，7，10，11}，则集合A∩B的元素个数为（ ）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解答】解：A＝{x|x＝3n﹣2，n∈N*}＝{1，4，7，10，13，16…}，B＝{6，7，10，11}，则集合A∩B＝{7，10}，故对应的元素个数为2个．故选：B．三．交、并、补集的混合运算（共1小题）3．（2023•深圳二模）已知集合A＝{2，0}，B＝{2，3}，则∁A∪B（A∩B）＝（ ）A．{0}B．{2}C．{3}D．{0，3}【答案】D【解答】解：集合A＝{2，0}，B＝{2，3}，∴A∪B＝{0，2，3}，A∩B＝{2}，则∁A∪B（A∩B）＝{0，3}．故选：D．四．充分条件与必要条件（共2小题）4．（2023•佛山二模）记数列{a n}的前n项和为S n，则“S3＝3a2”是“{a n}为等差数列”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解答】解：数列{a n}的前n项和为S n，则S3＝a1+a2+a3＝3a2，数列{a n}的前n项和为S n，取a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，显然S3＝3a2，而a4﹣a3≠a3﹣a2，即数列{a n}不是等差数列，所以“S3＝3a2”是“{a n}为等差数列”的必要不充分条件．故选：B．5．（2023•广州二模）已知非零向量＝（x1，y1），＝（x2，y2），则“”是“∥”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解答】解：非零向量＝（x1，y1），＝（x2，y2），则“”⇒“”，“”⇒“”或y1，y2中存在0，但是，λ≠0，∴“”是“”的充分不必要条件．故选：A．五．指数函数的单调性与特殊点（共1小题）6．（2023•广州二模）已知，，，则（ ）A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．c＜b＜a【答案】D【解答】解：，，＝，∵＞，y＝2x为增函数，∴b＞c；又a12＝38＝6561＞512＝29＝b12，∴a＞b；∴a＞b＞c．故选：D．六．正弦函数的单调性（共2小题）7．（2023•广州二模）已知函数f（x）＝sin（2x+φ），若恒成立，且，则f（x）的单调递增区间为（ ）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k∈Z）D．（k∈Z）【答案】D【解答】解：函数f（x）＝sin（2x+φ），其中φ为实数，若，对x∈R 恒成立，则：x＝为函数f（x）的对称轴，∴2•+φ＝kπ+，k∈Z，φ＝kπ﹣，k∈Z，由于，∴sinφ＞cosφ，不妨取φ＝，即：f（x）＝sin（2x+），令：2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ﹣≤x≤kπ﹣，k∈Z，则f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ﹣]，k∈Z．故选：D．8．（2023•广州二模）已知函数的图象关于点对称，且f（x）在上单调，则ω的取值集合为（ ）A．{2}B．{8}C．{2，8}D．{2，8，14}【答案】C【解答】解：f（x）关于点对称，所以，所以①；，而f（x）在上单调，所以，0＜ω≤8②；由①②得ω的取值集合为{2，8}．故选：C．七．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式（共1小题）9．（2023•梅州二模）已知函数，且，当ω取最小的可能值时，φ＝（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：由题意可知，当ω取最小值时，最小正周期T最大，，所以，而f（x）＝sin（2x+φ）在时取得最大值，故＝，则φ＝，又，所以．故选：D．八．利用导数研究函数的单调性（共1小题）10．（2023•梅州二模）设函数f（x）在R上存在导数f'（x），对任意的x∈R，有f（﹣x）+f （x）＝2x2，且在（0，+∞）上f'（x）＜2x．若f（3﹣a）﹣f（a）≥9﹣6a，则实数a的取值范围为（ ）A．B．C．D．[3，+∞）【答案】A【解答】解：因为f（﹣x）+f（x）＝2x2，所以f（﹣0）+f（0）＝0，得到f（0）＝0，令g（x）＝f（x）﹣x2，所以g（﹣x）＝f（﹣x）﹣（﹣x）2＝2x2﹣f（x）﹣x2＝x2﹣f（x）＝﹣g（x），则g（x）为奇函数，且g（0）＝f（0）﹣0＝0，又当x＞0时，g'（x）＝f'（x）﹣2x＜0，所以由奇函数的性质知，g（x）在R上单调递减，又f（3﹣a）﹣f（a）≥9﹣6a＝（3﹣a）2﹣a2，所以f（3﹣a）﹣（3﹣a）2≥f（a）﹣a2，即g（3﹣a）≥g（a），所以3﹣a≤a，即．故选：A．九．利用导数研究函数的最值（共1小题）11．（2023•广州二模）已知函数f（x）＝x3﹣3x+b，且f（x）+f（﹣x）＝4恒成立，若h （x）＝，恰好有1个零点，则实数a的取值范围为（ ）A．（﹣∞，﹣2）B．[，1]C．（﹣∞，﹣2）∪[，1）D．[﹣2，）【答案】C【解答】解：因为f（x）+f（﹣x）＝4恒成立，所以f（x）＝x3﹣3x+b的图象关于点（0，2）对称，所以b＝2，且函数f（x）＝x3﹣3x+2的零点为﹣2和1，y＝2﹣6x的零点为，在同一坐标系内分别画出函数f（x）＝x3﹣3x+2与y＝2﹣6x的图象，当且仅当a＜﹣2或时，函数恰好有1个零点，因此实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪．故选：C．一十．利用导数研究曲线上某点切线方程（共1小题）12．（2023•佛山二模）若斜率为1的直线l与曲线y＝ln（x+a）和圆x2+y2＝都相切，则实数a的值为（ ）A．﹣1B．0C．2D．0或2【答案】D【解答】解：设直线l与曲线y＝ln（x+a）的切点为P（x0，y0），由，则，则x0＝1﹣a，y0＝0，即切点为P（1﹣a，0），所以直线l为y＝x﹣1+a，又直线l与圆都相切，则有，解得a＝2或a＝0．故选：D．一十一．平面向量的基本定理（共1小题）13．（2023•深圳二模）已知△OAB中，，，AD与BC相交于点M，，则有序数对（x，y）＝（ ）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）【答案】D【解答】解：如图，∵，∴，∵C，M，B三点共线，∴设＝，且A，M，D三点共线，∴，解得，∴，且，∴，．故选：D．一十二．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）（共1小题）14．（2023•广东二模）现有一个轴截面是边长为4的等边三角形的倒置圆锥（顶点在下方，底面在上方），将半径为的小球放入圆锥，使得小球与圆锥的侧面相切，过所有切点所在平面将圆锥分割成两个部分，则分割得到的圆台的侧面积为（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：作轴截面图如下：△ABC为圆锥的轴截面，点O为与侧面相切球的球心，点E，F为切点，由已知，可得AB＝BC＝AC＝4，，∠ACB＝60°，OE⊥AC，在△OEC中，，∠OEC＝90°，∠OCE＝30°，所以，又AC＝4，所以，所以圆台的母线长为，因为CE＝CF，∠ECF＝60°，所以△ECF为等边三角形，所以，所以圆台的侧面积．故选：D．一十三．棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积（共1小题）15．（2023•湛江二模）如图，将一个圆柱2n（n∈N*）等分切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，n越大，重新组合成的几何体就越接近一个“长方体”．若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了10，则圆柱的侧面积为（ ）A．10πB．20πC．10nπD．18π【答案】A【解答】解：根据题意，设圆柱的底面半径为r，高h，其轴截面的面积为2rh，新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加的为轴截面的面积，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了10，即2rh＝10，所以圆柱的侧面积为2πrh＝10π．故选：A．一十四．棱柱、棱锥、棱台的体积（共1小题）16．（2023•深圳二模）设表面积相等的正方体、正四面体和球的体积分别为V1、V2和V3，则（ ）A．V1＜V2＜V3B．V2＜V1＜V3C．V3＜V1＜V2D．V3＜V2＜V1【答案】B【解答】解：设正方体棱长为a，正四面体棱长为b，球的半径为R，面积为S，正方体表面积为S＝6a2，所以，所以，；如图，正四面体P﹣ABC，D为AC的中点，O为△ABC的中心，则PO是P﹣ABC底面ABC上的高，则，所以，所以，所以正四面体P﹣ABC的表面积为，所以，又O为△ABC的中心，所以，又根据正四面体的性质，可知PO⊥BO，所以，所以；球的表面积为S＝4πR2，所以，所以，因为，所以，所以V2＜V1＜V3．故选：B．一十五．直线与圆的位置关系（共2小题）17．（2023•湛江二模）若与y轴相切的圆C与直线l：y＝x也相切，且圆C经过点，则圆C的直径为（ ）A．2B．2或C．D．或【答案】B【解答】解：因为直线l：y＝x的倾斜角为30°，所以圆心在两切线所成角的角平分线上y＝x上，设圆心C（a，a），则圆C的方程为（x﹣a）2+（y﹣a）2＝a2，将点代入圆的方程，得（2﹣a）2+（﹣a）2＝a2，整理得3a2﹣10a+7＝0，解得a＝1或a＝，∴圆C的直径为2或．故选：B．18．（2023•梅州二模）若直线l：mx+ny+m＝0将圆C：（x﹣2）2+y2＝4分成弧长之比为2：1的两部分，则直线的斜率为（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：设直线与圆的交点为A，B，由题意可得△ABC是顶角为120°的等腰三角形，则几何关系可得圆心到直线的距离为×2＝1，即：d＝＝1，整理可得：8m2＝n2，当n＝0时，m＝0，方程mx+ny+m＝0不表示直线，舍去，当n≠0时，＝±，∴直线l的斜率为：k＝﹣＝±．故选：D．一十六．椭圆的性质（共1小题）19．（2023•广州二模）已知椭圆C：（a＞b＞0），过点（﹣a，0）且方向量为的光线，经直线y＝﹣b反射后过C的右焦点，则C的离心率为（ ）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：由题意可得方向向量为的光线的斜率为﹣1，直线y＝﹣b，平行于x轴，故由反射定律知，△AMF为等腰直角三角形，∴（a+c）＝b，∴a2+2ac+c2＝4b2＝4（a2﹣c2），∴3a2﹣2ac﹣5c2＝0，∴（3a﹣5c）（a+c）＝0，∴3a﹣5c＝0，∴e＝＝．故选：A．一十七．圆锥曲线的综合（共1小题）20．（2023•佛山二模）已知方程Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F＝0，其中A≥B≥C≥D≥E≥F．现有四位同学对该方程进行了判断，提出了四个命题：甲：可以是圆的方程；乙：可以是抛物线的方程；丙：可以是椭圆的标准方程；丁：可以是双曲线的标准方程．其中，真命题有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解答】解：当A＝B＝1，C＝0，D＝E＝﹣2，F＝﹣4时，方程化为x2+y2﹣2x﹣2y﹣4＝0，即（x﹣1）2+（y﹣1）2＝6，此时方程表示圆的方程，所以A甲正确；当A＝1，B＝C＝D＝0，E＝﹣1，F＝﹣4时，Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F＝0化为x2﹣y﹣4＝0，即y＝x2﹣4，此时方程表示抛物线方程，所以乙正确；当A＝2，B＝1，C＝D＝E＝0，F＝﹣4时，Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F＝0化为2x2+y2＝4，即，此时方程表示椭圆方程，所以丙正确；当A＝2，B≥C＝D＝E＝0，F＝﹣4时，Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F＝0，不可能化为双曲线方程，所以丁不正确；真命题有3个．故选：C．一十八．离散型随机变量的期望与方差（共1小题）21．（2023•广州二模）已知随机变量X的分布列如下：X12P m n 若，则m＝（ ）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：根据题意可得，解得，故选：B．一十九．百分位数（共1小题）22．（2023•湛江二模）广东省第七次人口普查统计数据显示，湛江市九个管辖区常住人口数据如表所示，则这九个管辖区的数据的第70%分位数是（ ）管辖区常住人口赤坎区303824霞山区487093坡头区333239麻章区487712遂溪县886452徐闻县698474廉江市1443099雷州市1427664吴川市927275A．927275B．886452C．698474D．487712【答案】A【解答】解：湛江市九个管辖区常住人口数据由小到大排列如下：303824，333239，487093，487712，698474，886452，927275，1427664，1443099；9×70%＝6.3，所以这九个管辖区的数据的第70%分位数是：927275．故选：A．二十．线性回归方程（共1小题）23．（2023•梅州二模）云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长．已知某科技公司2018年至2022年云计算市场规模数据，且市场规模y与年份代码x的关系可以用模型（其中e为自然对数的底数）拟合，设z＝lny，得到数据统计表如表：年份2018年2019年2020年2021年2022年年份代码x12345云计算市场规模y/千万元7.4112036.666.7z＝lny2 2.43 3.64由上表可得经验回归方程z＝0.52x+a，则2025年该科技公司云计算市场规模y的估计值为（ ）A．e5.08B．e5.6C．e6.12D．e6.5【答案】B【解答】解：由题意得，∴，即经验回归方程z＝0.52x+1.44，当x＝8时，z＝0.52×8+1.44＝5.6，∴y＝e z＝e5.6，即2025年该科技公司云计算市场规模y的估计值为e5.6．故选：B．二十一．排列、组合及简单计数问题（共1小题）24．（2023•佛山二模）“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的学术大师．已知浙江大学、复旦大学、武汉大学、中山大学均有开设数学学科拔尖学生培养基地，某班级有5位同学从中任选一所学校作为奋斗目标，则每所学校至少有一位同学选择的不同方法数共有（ ）A．120种B．180种C．240种D．300种【答案】C【解答】解：5位同学从中任选一所学校作为奋斗目标，每所学校至少有一位同学选择的不同方法数＝240．故选：C．二十二．二项式定理（共1小题）25．（2023•广东二模）已知，则＝（ ）A．﹣1B．0C．1D．【答案】A【解答】解：（1﹣x）2023的展开式通项为，所以，，所以，，所以，，且a0＝1，所以，＝．故选：A．。
专题09 平面向量(解析版)-三年(2022–2024)高考数学真题分类汇编(全国通用)
专题09平面向量考点三年考情（2022-2024）命题趋势考点1：平面向量线性运算2022年新高考全国I 卷数学真题平面向量数量积的运算、化简、证明及数量积的应用问题，如证明垂直、距离等是每年必考的内容，单独命题时，一般以选择、填空形式出现．交汇命题时，向量一般与解析几何、三角函数、平面几何等相结合考查，而此时向量作为工具出现．向量的应用是跨学科知识的一个交汇点，务必引起重视．预测命题时考查平面向量数量积的几何意义及坐标运算，同时与三角函数及解析几何相结合的解答题也是热点．考点2：数量积运算2022年高考全国甲卷数学（理）真题2023年高考全国乙卷数学（文）真题2022年高考全国乙卷数学（理）真题2024年北京高考数学真题考点3：求模问题2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题2023年北京高考数学真题2022年高考全国乙卷数学（文）真题考点4：求夹角问题2023年高考全国甲卷数学（文）真题2023年高考全国甲卷数学（理）真题2022年新高考全国II 卷数学真题考点5：平行垂直问题2024年上海夏季高考数学真题2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题2022年高考全国甲卷数学（文）真题2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题2024年高考全国甲卷数学（理）真题考点6：平面向量取值与范围问题2024年天津高考数学真题2023年高考全国乙卷数学（理）真题2022年新高考北京数学高考真题2022年新高考天津数学高考真题2022年新高考浙江数学高考真题2023年天津高考数学真题考点1：平面向量线性运算1．（2022年新高考全国I 卷数学真题）在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n == ，，则CB=（）A ．32m n- B ．23m n-+C ．32m n+ D ．23m n+ 【答案】B【解析】因为点D 在边AB 上，2BD DA =，所以2BD DA =，即()2CD CB CA CD -=- ，所以CB =3232CD CA n m -=- 23m n =-+ ．故选：B ．考点2：数量积运算2．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）设向量a ，b 的夹角的余弦值为13，且1a = ，3b =r ，则()2a b b +⋅= ．【答案】11【解析】设a 与b 的夹角为θ，因为a 与b 的夹角的余弦值为13，即1cos 3θ=，又1a = ，3b =r ，所以1cos 1313a b a b θ⋅=⋅=⨯⨯= ，所以()22222221311a b b a b b a b b +⋅=⋅+=⋅+=⨯+= ．故答案为：11．3．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）正方形ABCD 的边长是2，E 是AB 的中点，则EC ED ⋅=（）A 5B ．3C ．25D ．5【答案】B【解析】方法一：以{},AB AD为基底向量，可知2,0AB AD AB AD ==⋅=uu u r uuu r uu u r uuu r ，则11,22EC EB BC AB AD ED EA AD AB AD =+=+=+=-+uu u r uu r uu u r uu u r uuu r uu u r uu r uuu r uuu r uuu r ，所以22111143224EC ED AB AD AD AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=-+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭uu u r uu u r uu u r uuu r uu u r uuu r uu ur uuu r ；方法二：如图，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，则()()()1,0,2,2,0,2E C D ，可得()()1,2,1,2EC ED ==-uu u r uu u r，所以143EC ED ⋅=-+=uu u r uu u r；方法三：由题意可得：5,2ED EC CD ===，在CDE 中，由余弦定理可得2223cos 25255DE CE DC DEC DE CE +-∠==⋅⨯⨯，所以3cos 5535EC ED EC ED DEC ⋅=∠==uu u r uu u r uu u r uu u r .故选：B.4．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知向量,a b 满足||1,||3,|2|3a b a b ==-= ，则a b ⋅=（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】C【解析】∵222|2|||44-=-⋅+a b a a b b ，又∵||1,||3,|2|3,==-=a b a b ∴91443134=-⋅+⨯=-⋅a b a b ，∴1a b ⋅= 故选：C.5．（2024年北京高考数学真题）设a ，b 是向量，则“()()·0a b a b +-=”是“a b =- 或a b = ”的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为()()220a b a b a b +⋅-=-= ，可得22a b = ，即a b = ，可知()()0a b a b +⋅-= 等价于a b = ，若a b = 或a b =- ，可得a b = ，即()()0a b a b +⋅-=，可知必要性成立；若()()0a b a b +⋅-= ，即a b =，无法得出a b = 或a b =- ，例如()()1,0,0,1a b ==，满足a b = ，但a b ≠ 且a b ≠- ，可知充分性不成立；综上所述，“()()0a b a b +⋅-=”是“a b ≠ 且a b ≠- ”的必要不充分条件.故选：B.考点3：求模问题6．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知向量a ，b满足3a b -= ，2a b a b +=- ，则b = ．3【解析】法一：因为2a b a b +=- ，即()()222a ba b +=-，则2222244a a b b a a b b +⋅+=-⋅+r r r r r r r r ，整理得220a a b -⋅= ，又因为3a b -= ()23a b -= ，则22223a a b b b -⋅+==r r r r r ，所以3b = 法二：设c a b =-r rr ，则3,2,22c a b c b a b c b =+=+-=+r r r r r r r r r ，由题意可得：()()2222c b c b +=+r r r r ，则22224444c c b b c c b b +⋅+=+⋅+r r r r r r r r ，整理得：22c b =r r ，即3b c ==r r 37．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知向量,a b满足1,22a a b =+= ，且()2b a b -⊥ ，则b = （）A ．12B ．22C ．32D ．1【答案】B【解析】因为()2b a b -⊥ ，所以()20b a b -⋅= ，即22b a b =⋅，又因为1,22a a b =+=，所以22144164a b b b +⋅+=+= ，从而22=b .故选：B.8．（2023年北京高考数学真题）已知向量a b，满足(2,3),(2,1)a b a b +=-=- ，则22||||a b -= （）A ．2-B ．1-C ．0D ．1【答案】B【解析】向量,a b 满足(2,3),(2,1)a b a b +=-=-，所以22||||()()2(2)311a b a b a b -=+⋅-=⨯-+⨯=-.故选：B9．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）已知向量(2,1)(2,4)a b ==-，，则a b -r r （）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】因为()()()2,12,44,3a b -=--=- ，所以()22435-=+-a b .故选：D考点4：求夹角问题10．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）已知向量()()3,1,2,2a b ==，则cos ,a b a b +-= （）A ．117B ．1717C 55D 255【答案】B【解析】因为(3,1),(2,2)a b ==，所以()()5,3,1,1a b a b +=-=- ，则225334,112a b a b +=+-=+= ()()()51312a b a b +⋅-=⨯+⨯-= ，所以()()17cos ,342a b a b a b a b a b a b+⋅-+-==⨯+-.故选：B.11．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知向量,,a b c 满足1,2a b c === 0a b c ++=，则cos ,a c b c 〈--〉=（）A ．45-B ．25-C ．25D ．45【答案】D【解析】因为0a b c ++=,所以a b c +=-r r r ,即2222a b a b c ++⋅= ,即1122a b ++⋅=r r ,所以0a b ⋅= .如图,设,,OA a OB b OC c ===,由题知,1,2,OA OB OC OAB === 是等腰直角三角形,AB 边上的高2222OD AD =所以22222CD CO OD =+=,1tan ,cos 310AD ACD ACD CD ∠==∠=,2cos ,cos cos 22cos 1a c b c ACB ACD ACD 〈--〉=∠=∠=∠-2421510=⨯-=.故选:D.12．（2022年新高考全国II 卷数学真题）已知向量(3,4),(1,0),t ===+ a b c a b ，若,,<>=<>a cbc ，则t =（）A ．6-B ．5-C ．5D ．6【答案】C【解析】()3,4c t =+ ,cos ,cos ,a c b c =,即931635t t c c+++= ,解得5t =,故选：C考点5：平行垂直问题13．（2024年上海夏季高考数学真题））已知()(),2,5,6,k a b k ∈==R ，且//a b ，则k 的值为．【答案】15【解析】//a b，256k ∴=⨯，解得15k =．故答案为：15．14．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知向量(0,1),(2,)a b x == ，若(4)b b a ⊥-，则x =（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】D【解析】因为()4b b a ⊥- ，所以()40b b a ⋅-=，所以240b a b -⋅=即2440x x +-=，故2x =，故选：D.15．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知向量(,3),(1,1)a m b m ==+．若a b ⊥ ，则m =．【答案】34-/0.75-【解析】由题意知：3(1)0a b m m ⋅=++=，解得34m =-.故答案为：34-.16．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知向量()()1,1,1,1a b ==-，若()()a b a b λμ+⊥+ ，则（）A ．1λμ+=B ．1λμ+=-C ．1λμ=D ．1λμ=-【答案】D【解析】因为()()1,1,1,1a b ==- ，所以()1,1a b λλλ+=+- ，()1,1a b μμμ+=+-，由()()a b a b λμ+⊥+可得，()()0a b a b λμ+⋅+= ，即()()()()11110λμλμ+++--=，整理得：1λμ=-．故选：D ．17．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）设向量()()1,,,2a x x b x =+=，则（）A ．“3x =-”是“a b ⊥”的必要条件B ．“3x =-”是“//a b ”的必要条件C ．“0x =”是“a b ⊥”的充分条件D ．“13x =-”是“//a b ”的充分条件【答案】C【解析】对A ，当a b ⊥时，则0a b ⋅= ，所以(1)20x x x ⋅++=，解得0x =或3-，即必要性不成立，故A 错误；对C ，当0x =时，()()1,0,0,2a b == ，故0a b ⋅= ，所以a b ⊥，即充分性成立，故C 正确；对B ，当//a b时，则22(1)x x +=，解得13x =，即必要性不成立，故B 错误；对D ，当13x =-时，不满足22(1)x x +=，所以//a b不成立，即充分性不立，故D 错误.故选：C.考点6：平面向量取值与范围问题18．（2024年天津高考数学真题）在边长为1的正方形ABCD 中，点E 为线段CD 的三等分点，1,2CE DE BE BA BC ==+uur uu r uu u r λμ，则λμ+=；F 为线段BE 上的动点，G 为AF 中点，则AF DG ⋅的最小值为．【答案】43518-【解析】解法一：因为12CE DE =，即23CE BA =uur uu r ，则13BE BC CE BA BC =+=+uu u r uur u uu ur r uu u r ，可得1,13λμ==，所以43λμ+=；由题意可知：1,0BC BA BA BC ==⋅=，因为F 为线段BE 上的动点，设[]1,0,13BF k BE k BA k BC k ==+∈，则113AF AB BF AB k BE k BA k BC ⎛⎫=+=+=-+ ⎪⎝⎭，又因为G 为AF 中点，则1111112232DG DA AG BC AF k BA k BC ⎛⎫⎛⎫=+=-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得11111113232AF DG k BA k BC k BA k BC ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-+⋅-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 22111563112329510k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又因为[]0,1k ∈，可知：当1k =时，AF DG ⋅ 取到最小值518-；解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则()()()()11,0,0,0,0,1,1,1,,13A B C D E ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，可得()()11,0,0,1,,13BA BC BE ⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭，因为(),BE BA BC λμλμ=+=- ，则131λμ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩，所以43λμ+=；因为点F 在线段1:3,,03BE y x x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦上，设()1,3,,03F a a a ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，且G 为AF 中点，则13,22a G a -⎛⎫-⎪⎝⎭，可得()131,3,,122a AF a a DG a +⎛⎫=+-=--⎪⎝⎭，则()()22132331522510a AF DG a a a +⎛⎫⎛⎫⋅=+---=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，且1,03a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以当13a =-时，AF DG ⋅ 取到最小值为518-；故答案为：43；518-.19．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知O 的半径为1，直线PA 与O 相切于点A ，直线PB 与O 交于B ，C 两点，D 为BC 的中点，若2PO =，则PA PD ⋅的最大值为（）A ．122+B ．1222+C ．12+D ．22+【答案】A【解析】如图所示，1,2OA OP ==，则由题意可知:π4APO ∠=，由勾股定理可得221PA OP OA =-=当点,A D 位于直线PO 异侧时或PB 为直径时，设=,04OPC παα∠≤<，则：PA PD⋅ =||||cos 4PA PD πα⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭ 12cos 4παα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭222sin 22ααα⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭2cos sin cos ααα=-1cos 21sin 222αα+=-122224πα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭04πα≤<，则2444πππα-≤-<∴当ππ244α-=-时，PA PD ⋅ 有最大值1.当点,A D 位于直线PO 同侧时，设,04OPC παα∠<<，则：PA PD ⋅ =||||cos 4PA PD πα⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭ 12cos 4παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭22222ααα⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭2cos sin cos ααα=+1cos 21sin 222αα+=+122224πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，04πα≤<，则32444πππα≤+<∴当242ππα+=时，PA PD ⋅有最大值122.综上可得，PA PD ⋅的最大值为122.故选：A.20．（2022年新高考北京数学高考真题）在ABC 中，3,4,90AC BC C ==∠=︒．P 为ABC 所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是（）A ．[5,3]-B ．[3,5]-C ．[6,4]-D ．[4,6]-【答案】D【解析】依题意如图建立平面直角坐标系，则()0,0C ，()3,0A ，()0,4B ，因为1PC =，所以P 在以C 为圆心，1为半径的圆上运动，设()cos ,sin P θθ，[]0,2θπ∈，所以()3cos ,sin PA θθ=-- ，()cos ,4sin PB θθ=-- ，所以()()()()cos 3cos 4sin sin PA PB θθθθ⋅=-⨯-+-⨯- 22cos 3cos 4sin sin θθθθ=--+13cos 4sin θθ=--()15sin θϕ=-+，其中3sin 5ϕ=，4cos 5ϕ=，因为()1sin 1θϕ-≤+≤，所以()415sin 6θϕ-≤-+≤，即[]4,6PA PB ⋅∈- ；故选：D21．（2022年新高考天津数学高考真题）在ABC 中，,CA a CB b == ，D 是AC 中点，2CB BE = ，试用,a b表示DE 为，若AB DE ⊥ ，则ACB ∠的最大值为【答案】3122b a - 6π【解析】方法一：31=22DE CE CD b a -=- ，,(3)()0AB CB CA b a AB DE b a b a =-=-⊥⇒-⋅-= ，2234b a a b +=⋅ 222333cos 244a b a b b a ACB a b a b a b⋅+⇒∠==≥= 3a b = 时取等号，而0πACB <∠<，所以(0,]6ACB π∠∈．故答案为：3122b a - ；6π．方法二：如图所示，建立坐标系：(0,0),(1,0),(3,0),(,)E B C A x y ，3(,),(1,)22x y DE AB x y +=--=-- ，23()(1)022x y DE AB x +⊥⇒-+ 22(1)4x y ⇒++=，所以点A 的轨迹是以(1,0)M -为圆心，以2r =为半径的圆，当且仅当CA 与M 相切时，C ∠最大，此时21sin ,426r C C CM π===∠=．故答案为：3122b a - ；6π．22．（2022年新高考浙江数学高考真题）设点P 在单位圆的内接正八边形128A A A 的边12A A 上，则222182PA PA PA +++ 的取值范围是．【答案】[122,16]+【解析】以圆心为原点，37A A 所在直线为x 轴，51A A 所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示：则1345726222222(0,1),,,(1,0),,,(0,1),,,(1,0)222222A A A A A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,82222A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设(,)P x y ,于是()2222212888PA PA PA x y +++=++ ，因为cos 22.5||1OP ≤≤ ，所以221cos 4512x y +≤+≤ ，故222128PA PA PA +++ 的取值范围是[1222,16]+.故答案为：[1222,16]+．23．（2023年天津高考数学真题）在ABC 中，160BC A =∠= ，，11,22AD AB CE CD == ，记,AB a AC b == ，用,a b 表示AE = ；若13BF BC = ，则AE AF ⋅ 的最大值为．【答案】1142a b + 1324【解析】空1：因为E 为CD 的中点，则0ED EC += ，可得AE ED AD AE EC AC⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ ，两式相加，可得到2AE AD AC =+ ，即122AE a b =+ ，则1142AE a b =+ ；空2：因为13BF BC = ，则20FB FC += ，可得AF FC AC AF FB AB ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，得到()22AF FC AF FB AC AB +++=+ ，即32AF a b =+ ，即2133AF a b =+ .于是()2211211252423312a b a F b a AE A a b b ⎛⎫⎛⎫+⋅+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⋅=⎭⎝⎭ .记,AB x AC y ==，则()()222222111525225cos 602221212122A x xy a a b b xy y x y E AF ⎛⎫+⋅+=++=++ ⎪⋅⎝⎭= ，在ABC 中，根据余弦定理：222222cos601BC x y xy x y xy =+-=+-= ，于是1519222122122AE xy x xy AF y ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭=⎝⎭⋅ ，由221+-=x y xy 和基本不等式，2212x y xy xy xy xy +-=≥-=，故1xy ≤，当且仅当1x y ==取得等号，则1x y ==时，AE AF ⋅ 有最大值1324.故答案为：1142a b + ；1324.。
专题09 平面向量—三年高考(2020-2020)数学(文)真题分项版解析(解析版).doc
【答案】3
【考点】向量表示
【名师点睛】(1)向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题.
A． B． C． D．
【答案】
【解析】因为 ，所以 选项正确；当 与 方向相反时， 选项不成立，所以 选项错误；向量平方等于向量模的平方，所以 选项正确； ，所以 选项正确，故答案选 .
【考点定位】1.向量的模；2.数量积.
【名师点睛】1.本题考查向量模的运算，采用向量数量积公式.2.向量的平方就是模的平方进行化解求解.
本题属于基础题，注意运算的准确性.
7.【2014全国2，文4】设向量 满足 ， ，则 （）
A.1 B. 2 C. 3 D. 5
【答案】A
【解析】由已知得， ， ，两式相减得， ，故 ．
【考点定位】向量的数量积.
【名师点睛】本题主要考查了向量数量积运算，本题属于基础题，解决本题的关健在于掌握向量的模与向量数量积之间的关系，还有就是熟练掌握数量积的运算性质与运算律.
12.【2014，安徽文10】设 为非零向量， ，两组向量 和 均由2个 和2个 排列而成，若 所有可能取值中的最小值为 ，则 与 的夹角为
（）
A． B． C． D．0
【答案】B．
【解析】
试题分析：由题意 有以下三种可能：①
；②
；③
，已知第②种情况原式的值最小，即 ，解得 ，即 ，故选B．
考点：1．向量的数量积运算；2．分类讨论思想的应用．
考点30平面向量的概念及线性运算(3种核心题型)(学生版) 2025年高考数学大一轮复习(新高考版)
考点30平面向量的概念及线性运算（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）【考试提醒】1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义．【知识点】1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有 的量叫做向量，向量的大小称为向量的．(2)零向量：长度为的向量，记作．(3)单位向量：长度等于 长度的向量．(4)平行向量：方向相同或 的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量．(5)相等向量：长度相等且方向 的向量．(6)相反向量：长度相等且方向 的向量．2．向量的线性运算向量运算法则(或几何意义)运算律加法交换律：a ＋b ＝ ；结合律：(a ＋b )＋c ＝________减法a －b ＝a ＋(－b )数乘|λa |＝，当λ>0时，λa 的方向与a 的方向；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向 ；当λ＝0时，λa ＝λ(μa )＝ ；(λ＋μ)a ＝ ；λ(a ＋b )＝3.向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 .常用结论1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A 1A 2—→ ＋A 2A 3—→ ＋A 3A 4—→ ＋…＋A n －1A n ———→ ＝A 1A n —→，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．2．若F 为线段AB 的中点，O 为平面内任意一点，则OF → ＝12(OA → ＋OB → )．3．若A ，B ，C 是平面内不共线的三点，则PA → ＋PB → ＋PC → ＝0⇔P 为△ABC 的重心，AP → ＝13(AB → ＋AC → )．4．对于任意两个向量a ，b ，都有||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.【核心题型】题型一 平面向量的基本概念平行向量有关概念的四个关注点(1)非零向量的平行具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．(4)a|a |是与a 同方向的单位向量．【例题1】（2024·湖南永州·三模）在ABC V 中，120ACB Ð=o，3AC uuu r =，4BC =uuu r，0DC DB ×=uuu r uuu r，则AB AD +uuu r uuu r 的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．1D 2【变式1】（2023·北京大兴·三模）设a r ，b r 是非零向量，“a a bb =r r rr ”是“a b =r r”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【变式2】（2022·江苏·三模）已知向量()6,2a =r ，与a r共线且方向相反的单位向量b =r.【变式3】（2022·上海虹口·二模）已知向量a r ，b r满足2a =r ，1b =r ，a +r ，则a b -=r r.题型二 平面向量的线性运算平面向量线性运算的常见类型及解题策略(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义．(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．命题点1 向量加、减法的几何意义【例题2】（2024·福建福州·三模）已知线段AB 是圆O 的一条长为2的弦，则AO AB ×=uuu r uuu r（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【变式1】（2024·河南三门峡·模拟预测）在ABC V 中，3,4AN NC BP PN ==uuu r uuu r uuu r uuu r ，则AP =uuu r （ ）A ．1355AB CA+uuur uuu r B ．3455AB CA-uuur uuu r C ．3155AB CA-uuur uuu r D ．1355AB CA-uuur uuu r 【变式2】（2023·四川乐山·一模）已知正六边形ABCDEF 边长为2，MN 是正六边形ABCDEF 的外接圆的一条动弦，2MN =，P 为正六边形ABCDEF 边上的动点，则PM PN ×uuuu r uuu r的最小值为 .【变式3】（2023·上海金山·二模）已知a r 、b r 、c r 、d ur 都是平面向量，且|||2||5|1a a b a c =-=-=r r r r r ，若,4a d p =r u r ，则||||b dcd -+-r u r r u r的最小值为．命题点2 向量的线性运算【例题3】（2023·河北·模拟预测）在平行四边形ABCD 中，已知24==A D A B ，且4AB BC ×=-uuu r uuu r ，则向量AB uuu r与AC uuu r 的夹角的余弦值为（ ）A ．12-B ．0C ．12D 【变式1】（2024·安徽·模拟预测）已知O 为等边ABC V 的中心，若3,2OA a AB b ==uuu r uuu r r r，则AC =uuu r．（用,a b r r 表示）【变式2】（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知不共线的三个单位向量,,a b c r r r 满足0,a b c a l ++=r r r r r 与b r 的夹角为π3，则实数l =.【变式3】（2024·江苏扬州·模拟预测）记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()()3a b c a b c +++-=，且ABC V (1)求角C ；(2)若2AD DB =uuu r uuu r，求CD 的最小值.命题点3 根据向量线性运算求参数【例题4】（2024·江苏·二模）已知非零向量π(cos 2,sin())4a a a =+r ，π(sin(4b a =+r ，若//a b r r ，则sin 2a =（ ）A ．1-B C ．45D ．35【变式1】（2024·浙江杭州·三模）已知不共线的平面向量a r ，b r满足()()2a b a b l l ++∥r r r r ，则正数l =（ ）A ．1B C D ．2【变式2】（2024·上海·三模）设平面向量()sin ,1a q =r ，(cos b q =r ，若a r ，b r 不能组成平面上的一个基底，则tan q = ．【变式3】（2023·四川南充·一模）在ABC V 中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知向量),sin m A A =r，()1,1n =-r ，且m n ∥r r．(1)求角A 的大小；(2)若a =sin sin 0a B c A -=，求ABC V 的面积．题型三 共线定理及其应用利用共线向量定理解题的策略(1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)是判断两个向量共线的主要依据．(2)若a 与b 不共线且λa ＝μb ，则λ＝μ＝0.(3)若OA → ＝λOB → ＋μOC → (λ，μ为常数)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.【例题5】（2024·全国·模拟预测）已知平面上点O ，A ，B 满足2OA OB ==uuu r uuu r ，且||OA OB OA +=uuu r uuu r uuu r ，点C 满足OC OB -=uuu r uuu rP 满足()1OP tOA t OC =+-uuu r uuu r uuu r ，则OP uuu r 的最小值为（ ）A B C ．1D ．1【变式1】（2024·浙江·模拟预测）已知向量1e u r ，2e u ur 是平面上两个不共线的单位向量，且122AB e e =+u r uuu r u u r ，1232BC e e =-+uuur u r u u r ，1236DA e e =-uuu r u r u u r ，则（ ）A ．、、ABC 三点共线B ．A BD 、、三点共线C ．A C D 、、三点共线D ．B C D 、、三点共线【变式2】（2024·上海松江·二模）已知正三角形ABC 的边长为2，点D 满足CD mCA nCB =+uuu r uuu r uuu r，且0m >，0n >，21m n +=，则||CD uuu r 的取值范围是 .【变式3】（2022·江苏盐城·模拟预测）如图，已知正方形ABCD 的边长为2，过中心O 的直线l 与两边AB ，CD 分别交于点M ，N ．(1)若Q 是BC 的中点，求QM QN ×uuuu r uuu r的取值范围；(2)若P 是平面上一点，且满足2(1)OP OB OC l l =+-uuu r uuu r uuu r ，求PM PN ×uuuu r uuu r的最小值．【课后强化】【基础保分练】一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）已知平面向量a r ，b r ，则“//a b rr ”是“存在R l Î，使得a b l =r r ”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2023·贵州黔东南·三模）在△ABC 中，已知4AB =，M 为线段AB 的中点，3CM =，若2CN NM=uuu r uuuu r，则NA NB ×=uuu r uuu r （ ）A ．92-B ．3-C ．D ．3．（2024·广东深圳·模拟预测）已知点()2,6A ，()2,3B --，()0,1C ，7,62D æöç÷èø，则与向量2AB CD +uuu r uuu r同方向的单位向量为（ ）A ．B ．C ．D ．43,55æö-ç÷èø4．（2024·山西朔州·一模）已知)2,a b ==r r，且a b ^r r ，则2a b -=r r （ ）A ．B ．C ．4D ．二、多选题5．（2024·辽宁·二模）ABC V 的重心为点G ，点O ，P 是ABC V 所在平面内两个不同的点，满足OP OA OB OC =++uuu r uuu r uuu r uuu r，则（ ）A ．,,O P G 三点共线B ．2OP OG =uuu r uuu rC ．2OP AP BP CP =++uuu r uuu r uuu r uuu rD ．点P 在ABC V 的内部6．（2024·浙江宁波·二模）若平面向量,,a b c r r r 满足1,1,3a b c ===r r r 且a c b c ×=×r r r r ，则（ ）A ．a b c ++r r r的最小值为2B ．a b c ++r r r的最大值为5C ．a b c -+r r r 的最小值为2D ．a b c -+r r r的最大值为三、填空题7．（2023·重庆·一模）在PAB V 中，4,3AB APB p=Ð=，点Q 满足2()QP AQ BQ =+uuu r uuu r uuu r ，则QA QB×uuu r uuu r的最大值为.8．（2023·云南大理·模拟预测）若a b =r r ，8a b +=r r ，6a b -=r r ，则a r 在b r上投影向量的模为．9．（2023·陕西西安·模拟预测）若平面四边形ABCD 满足0AB CD +=uuu r uuu r r，()0AB AD AC -×=uuu r uuu r uuu r ，则该四边形一定是 .四、解答题10．（2024·山西朔州·一模）已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，向量()(),,sin sin ,sin sin m a b c n A C A B =+=--r r ，且//m n r r ．(1)求B ；(2)求222b a c+的最小值．11．（2024·四川·模拟预测）已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos 2cos B a bC c-=．(1)求角C ；(2)若4AB AC +=uuu r uuu r，求ABC V 面积的最大值．【综合提升练】一、单选题1．（2023·四川南充·一模）已知正方形ABCD 的边长为1，则AB BC CA +-=uuu r uuu r uuu r （ ）A ．0B C ．D ．42．（2024·全国·模拟预测）已知向量()4,a m =r ，()2,2b m =-r ，则“4m =”是“a r 与b r共线”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2024·安徽马鞍山·三模）已知平面向量1e u r ，2e u u r 不共线，12(21)2a k e e =-+r u r u u r ，12b e e =-r u r ur ，且//a b r r，则k =（ ）A ．12-B ．0C ．1D ．324．（2024·四川遂宁·模拟预测）在ABC V 中，点F 为线段BC 上任一点（不含端点），若()20,0AF xAB y AC x y =+>>uuu r uuu r uuu r ，则12x y+的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．8D ．95．（2023·四川南充·一模）已知正方形ABCD 的边长为1，则AB BC CA +-=uuu r uuu r uuu r （ ）A ．0B C ．2D ．6．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知向量a r ，b r，满足a b a b ==-r r r r ，则()·a a b +=r r r （ ）A ．212a r B ．212b rC ．()212a b +r r D ．()212a b -r r7．（23-24高三上·全国·阶段练习）设平面向量(1,3)a =r ，||2b =r ，且||a b -=rr ，则()()2·a b a b +-r rr r =（ ）A ．1B ．14C D8．（2024·上海杨浦·二模）平面上的向量a r 、b r 满足：3a =r，4b =r ，a b ^r r .定义该平面上的向量集合{|||||,}A x x a x b x a x b =+<+×>×r rr r r r r r r .给出如下两个结论：①对任意c A Îr ，存在该平面的向量d A Îu r ，满足0.5c d -=rr ②对任意c A Îr ，存在该平面向量d A Ïu r ，满足0.5c d -=rr 则下面判断正确的为（ ）A ．①正确，②错误B ．①错误，②正确C ．①正确，②正确D ．①错误，②错误二、多选题9．（2023·海南海口·模拟预测）下列命题为真命题的是（ ）A ．一组数据22 ，20 ，17 ，15，13，11，9，8，8，7 的第90百分位数是21B ．若等差数列{}n a 满足x y p q a a a a +=+(x 、y 、p 、*N )q Î，则x y p q +=+C ．非零平面向量a r 、b r 、c r 满足//a b r r ，//b c r r，则//a cr r D ．在ABC V 中，“AB AC >”与“cos cos C B <”互为充要条件10．（2024·全国·模拟预测）设,a b r r是两个非零向量，下列命题正确的是（ ）A ．若0a b ×=r r，则//a b r r B ．若a b a b ×=×r r r r ，则//a br r C ．若a b ^r r，则()2a b a b×=×r r r r D ．若a b a b +=-r r r r ，则a b^r r11．（2022·辽宁·模拟预测）“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.如图，已知圆O 的半径为2，点P 是圆O 内的定点，且OP =，弦AC 、BD 均过点P ，则下列说法正确的是（ ）A ．PA PC ×uu u r uuu r为定值B ．OA OC ×uuu r uuu r的取值范围是[]2,0-C ．当AC BD ^时，AB CD ×uuu r uuu r为定值D ．AC BD ×uuu r uuu r 的最大值为12三、填空题12．（2024·天津·一模）已知平行四边形ABCD 的面积为23πBAD Ð=，且2BE EC =uuu r uuu r .若F 为线段DE 上的动点，且56AF AB AD l =+uuu r uuu r uuu r，则实数l 的值为 ；AF uuu r 的最小值为 .13．（2023·河南·模拟预测）已知向量()1cos ,sin e a a =u r ，()2cos ,sin e b b =u u r ，()0,1m =u r ，若12e e m +=u r u u r u r ，则12e e ×=u r u u r．14．（2024·青海西宁·二模）若向量,a b r r 不共线，且()()//xa b a yb ++r r r r，则xy 的值为 ．四、解答题15．（2024·吉林延边·一模）已知ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin sin sin A B c aC b a +-=-．(1)求B ；(2)若点D 在AC 上，且2AD BD DC ==，求ac．16．（2024·浙江温州·模拟预测）ABC V 的角,,A B C 对应边是 a ，b ，c ，三角形的重心是 O .已知3,4,5OA OB OC ===.(1)求 a 的长.(2)求ABC V 的面积.17．（2023·湖南·模拟预测）在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c ABC V 的面积为πsin 3A A æö-ç÷èø.(1)求C 的大小.(2)点D 满足AD CA =uuu r uuu r.若c =,a b .18．（2023·四川成都·三模）在锐角ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且6a =，()2sin 2sin()A C b B C +++=(1)求角B 的大小；(2)若3AC DC =uuu r uuu r ，BD =c 的值．19．（2024·山东青岛·一模）已知O 为坐标原点，点W 为O e ：224x y +=和M e 的公共点，0OM OW ×=uuuu r uuuu r ，M e 与直线20x +=相切，记动点M 的轨迹为C ．(1)求C 的方程；(2)若0n m >>，直线1:0l x y m --=与C 交于点A ，B ，直线2:0l x y n --=与C 交于点A ¢，B ¢，点A ，A ¢在第一象限，记直线AA ¢与BB ¢的交点为G ，直线AB ¢与BA ¢的交点为H ，线段AB 的中点为E ．①证明：G ，E ，H 三点共线；②若()217m n ++=，过点H 作1l 的平行线，分别交线段AA ¢，BB ¢于点T ，T ¢，求四边形GTET ¢面积的最大值．【拓展冲刺练】一、单选题1．（2024·黑龙江·模拟预测）已知在梯形ABCD 中，//AB CD 且满足2AB DC =uuu r uuur，E 为AC 中点，F 为线段AB 上靠近点B 的三等分点，设AB a =uuu r r ，AD b uuu r r =，则EF =uuu r （ ）．A ．2132a b -r r B ．3146a b -r r C ．51122a b -r r D ．1126a b -r r 2．（2024·北京西城·二模）已知向量a r ，b r 满足()4,3a =r ，()210,5a b -=-r r ，则（ ）A ．0a b +=r r r B ．0a b ×=r r C ．a b >r r D ．a br r ∥3．（2024·全国·二模）点,O P 是ABC V 所在平面内两个不同的点，满足OP OA OB OC =++uuu r uuu r uuu r uuu r ，则直线OP 经过ABC V 的（ ）A ．重心B ．外心C ．内心D ．垂心4．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知ABC V 是边长为1的正三角形，1,3AN NC P =uuu r uuu r 是BN 上一点且29AP mAB AC =+uuu r uuu r uuu r ，则AP AB ×=uuu r uuu r （ ）A ．29B ．19C ．23D ．1二、多选题5．（2024·福建厦门·三模）已知等边ABC V 的边长为4，点D ，E 满足2BD DA =uuu r uuu r ，BE EC =uuu r uuu r ，AE 与CD 交于点O ，则（ ）A ．2133CD CA CB =+uuu r uuu r uuu r B ．8BO BC ×=uuu r uuu rC ．2CO OD =uuu r uuu r D ．||OA OB OC ++=uuu r uuu r uuu r 6．（2024·安徽淮北·一模）如图，边长为2的正六边形ABCDEF ，点P 是DEF V 内部（包括边界）的动点，AP xAB y AD =+uuu r uuu r uuu r ，x ，y ÎR .（ ）A ．0AD BE CF -+=uuu r uuu r uuu r rB ．存在点P ，使x y=C ．若34y =，则点P 的轨迹长度为2D ．AP AB ×uuu r uuu r 的最小值为2-三、填空题7．（2024·山西太原·三模）赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了 “勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图” (以直角三角形的斜边为边得到的正方形). 类比 “赵爽弦图”，构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，且DF AF =，点P 在AB 上，2BP AP =，点Q 在DEF V 内 (含边界)一点，若PQ PD PA l =+uuu r uuu r uuu r ，则l 的最大值为 .8．（2022·辽宁鞍山·模拟预测）点P 在椭圆2214x y +=上，P 不在坐标轴上，()2,0A ，()2,1C ，()10,1B ，()20,1B -，直线1B P 与2x =交于点T ，直线2B P 与x 轴交于点S ，设OS OA l ®®=，AT AC m ®®=，则l m +的值为 ．9．（2023·四川乐山·一模）已知正方形ABCD 边长为MN 是正方形ABCD 的外接圆的一条动弦，2MN =，P 为正方形ABCD 边上的动点，则MP PN ×uuu r uuu r 的最大值为 .四、解答题10．（2023·江西·模拟预测）在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知M为BC 边的中点，()2a ab AM CB -×=uuuu r uuu r ．(1)求角C 的大小；(2)若ABC V 的面积为ABC V 周长的最小值．11．（2023·河北·模拟预测）如图，D 为ABC V 内部一点，DE BC ^于E ，AB AD =.请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另一个成立.①3CE EB =uuu r uuu r ；②())sin sin sin B C B C +=-；③2AD DE AE DE AD AD DE +=×.。
2023年高考数学----平面向量基本定理及其应用规律方法与典型例题讲解
2023年高考数学----平面向量基本定理及其应用规律方法与典型例题讲解【规律方法】1、应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．2、用基底表示某个向量的基本方法：（1）观察各向量的位置；（2）寻找相应的三角形或多边形；（3）运用法则找关系；（4）化简结果．【典型例题】例1．（2022·全国·模拟预测）如图，在ABC 中，点D 是边AB 上一点且2BD AD =，E 是边BC 的中点，直线AE 和直线CD 交于点F ，若BF 是ABC ∠的平分线，则BCBA =（ ）A ．4B ．3C ．2D ．12 【答案】C【解析】因为BF 是ABC ∠的平分线，所以存在一个实数λ使得BA BC BF BA BC λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭，（根据角平分线的条件，选择合适的基底）因为E 是边BC 的中点，所以2BA BE BF BA BC λ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭=+，又点A ，E ，F 共线，所以21BA BC λλ+=①．（三点共线的应用：OA OB OC λμ=+（λ，μ为实数），若A ，B ，C 三点共线，则1λμ+=） 因为2BD AD =，所以32BD BC BF BABC λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪⎝⎭，又点C ，F ，D 共线，所以312BA BC λλ+=②，联立①②，得112BA BC =，则2BC BA =，即2BC BA =.故选：C ． 例2．（2022·全国·模拟预测）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在线段BD 上，且EB mDE =（m R ∈），若AC AE AD λμ=+（λ，μ∈R ）且20λμ+=，则m =（ ）A ．13B ．3C ．14D ．4【答案】B 【解析】方法1：在平行四边形ABCD 中，因为EB =mDE ，所以()AB AE m AE AD −=−，所以11AE AB m =++1m AD m +， 又∵AB DC AC AD ==−，∴()111m AE AC AD AD m m =−+++， ∴()()11AC m AE m AD =++−，又∵AC AE AD λμ=+，∴1m λ=+，1m μ=−，（平面向量基本定理的应用）又∵20λμ+=，∴()1210m m ++−=，解得3m =，故选：B.方法2：如图，以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则()0,0A ，设(),0B a ，(),D b c ，∵AB DC = 则 (),C a b c +，又∵EB mDE =，设(),E x y ，则()()11mb a x a x m x b m y m y c mc y m ⎧+⎧=⎪⎪−=−⎪⎪+⇒⎨⎨−=−⎪⎪=⎪⎪+⎩⎩即：,11mb a mc E m m +⎛⎫ ⎪++⎝⎭∴,11mb a mc AE m m +⎛⎫= ⎪++⎝⎭，(),AC a b c =+，(),AD b c =， 又∵AC AE AD λμ=+，20λμ+=∴2AC AE AD μμ=−+∴()(),=2,,11mb a mc a b c b c m m μμ+⎛⎫+−+ ⎪++⎝⎭∴2()121a bm a b b m mc c c m μμμμ−+⎧+=+⎪⎪+⎨−⎪=+⎪+⎩①② 由②得1=1m mμ+−，将其代入①得3m =， 故选：B. 例3．（2022·北京·牛栏山一中高三期中）在平行四边形ABCD 中，E 是边CD 的中点，AE 与BD 交于点F ．若AB a =，AD b =，则AF =（ ）A ．1344a b +B ．2133a b +r rC ．3144a b +D ．1233a b + 【答案】D【解析】12AE AD DE AD AB =+=+. 设AF AE λ=()01λ<<， 则1122BF AF AB AD AB AB AD AB λλλ⎛⎫⎛⎫=−=+−=+− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 又BD AD AB =−，且,,B F D 三点共线，则,BF BD 共线，即R μ∃∈，使得BF BD μ=，即12AD AB AD AB λλμμ⎛⎫+−=− ⎪⎝⎭， 又,AB AD 不共线，则有12λμλμ=⎧⎪⎨−=−⎪⎩，解得2323λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以，22112123323333AF AE AD AB AB AD a b ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭. 故选：D.例4．（2022·广东广州·高三期中）如图，在平行四边形ABCD 中，,M N 分别为,AB AD 上的点，且42,53AM AB AN AD ==，连接,AC MN 交于P 点，若AP AC λ=，则λ的值为（ ）A ．35B ．57C ．411D ．815【答案】C 【解析】设MP kMN = 则45AP AM MP AB kMN =+=+ 显然2435MN AN AM AD AB =−=− 得()42424153535k AP AB k AD AB AD k AB ⎛⎫=+−=+− ⎪⎝⎭ 显然AC AD AB =+因为AP AC λ= 所以有()()24135k AD k AB AD AB λ+−=+ 即()24135k AD k AB AD AB λλ+−=+ 根据向量的性质可知()23415k k λλ⎧=⎪⎪⎨⎪−=⎪⎩ 解得611411k λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故选：C例5．（2022·安徽省舒城中学模拟预测（文））已知平面向量OA ，OB 满足2OA OB ==，2OA OB ⋅=−，点D 满足2DA OD =，E 为AOB 的外心，则OB ED ⋅的值为（ ）A ．83− B ．83 C ．163− D ．163 【答案】A 【解析】2OA OB ==uu r uu u r Q ，cos 4c 2os OA O OA OB B AOB AOB ⋅=−∴⋅∠=∠=uu r uu u r uu r uu u r ，1cos 2AOB ∴∠=−，23AOB π∴∠=， 以O 为原点，OA ，垂直于OA 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则()0,0O ，()2,0A ，(B −，设(),0D x 又2DA OD =，知()(),022,0x x =−，解得23x =，2,03D ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭ 又E 为AOB 的外心，123AOE AOB π∴∠=∠=，OE EA =3AOE EAO OEA π∴∠=∠=∠=，AOE ∴为等边三角形，(E ，∴1,3ED ⎛=− ⎝，∴83OB ED ⋅=−． 故选：A例6．（多选题）（2022·湖北·华中师大一附中高三期中）如图，ABC 中，13BD BC =，12AE AC =，AD 与BE 交于点F ，则下列说法正确的是（ ）A ．1233AD AB AC =+ B ．12BF BE = C ．:1:3BFD AFE S S =△△D ．20AF BFCF ++=【答案】BCD 【解析】为了判断下面的有关结论，先引入三点共线向量形式的充要条件，设,,A B C 三点共线，O 为线外一点，则()1OB mOC m OA =+−， 即OA 与OC 前系数和为1，证：,,A B C 三点共线，AB mAC ∴=，()OB OA m OC OA ∴−=−， ()1OB mOC m OA ∴=+−．()11213333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+−=+， 故A 错； ,,B F E 三点共线，()()112AF AB AE AB AC λλλλ−∴=+−=+， ,,A F D 三点共线，233AF AD AB AC μμμ∴==+， 23132μλμλ⎧=⎪⎪∴⎨−⎪=⎪⎩， 解得1234λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，1122AF AB AE ∴=+， ∴ F 为BE 的中点， 12BF BE ∴=，故B 对； 111443BFD ABD ABC S S S ==⨯⋅△△△， 111222AFE ABE ABC S S S ==⨯⋅△△△， :1:3BFD AFE S S ∴=△△，故C 对；取AB 中点G ，BC 中点H ，如下图，则,,G F H 三点共线，()()()()2AF BF CF AF BF BF CF FB FB F FA C ⎡⎤∴++=−++++=++⎣⎦ ()()220FG FH EA EC =−+=−+=，故D 对． 故选：BCD ．例7．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测）在ABC 中，13A A D B =，34A A E C =，BE 与DC 交于点F ，若AF AB AC λμ=+，则λμ+的值为__________. 【答案】79【解析】由已知可得，13A A D B =，34A A E C =. 因为，,,D F C 三点共线，设DF mDC =uuu r uuu r ，01m <<. 13DC AC AD AC AB =−=−uuu r uuu r uuu r uuu r uu u r ，则111333m AF AD DF AB m AC AB AB mAC −⎛⎫=+=+−=+ ⎪⎝⎭uu u r uuu r uuu r uu u r uuu r uu u r uu u r uuu r . 1233m m BF AF AB AB mAC AB AB mAC −+=−=+−=−+uu u r uu u r uu u r uu u r uuu r uu u r uu u r uuu r ， 又34BE AE AB AB AC =−=−+uur uu u r uu u r uu u r uuu r ，因为,,B E F 三点共线，则存在R n ∈，使得BF nBE =uu u r uur ，即233344m n AB mAC n AB AC nAB AC +⎛⎫−+=−+=−+ ⎪⎝⎭uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r ， 因为，,AB AC 不共线，所以有2334m n n m +⎧−=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得2389m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以，1293AF AB AC =+uu u r uu u r uuu r ，即19λ=，23μ=，79λμ+=. 故答案为：79.例8．（2022·全国·高三专题练习）根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和．现在对直角三角形CDE 按上述操作作图后，得如图所示的图形，若AF AB AD x y =+，则x y −=____________．【答案】12− 【解析】如图，以A 为原点，分别以,AB AD 为,x y 轴建立平面直角坐标系，设正方形ABCD 的边长为2a ，则正方形DEHI，正方形EFGC 边长为a 可知()0,0A ，()2,0B a ，()0,2D a，)1DF a =则)1cos30F x a =⋅，)1sin 302F y a a =⋅+，即F ⎫⎪⎪⎝⎭ 又AF AB AD x y =+，()()()2,00,22,2x a y a ax ay ⎫∴=+=⎪⎪⎝⎭即22ax ay ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即22ax ay −=，化简得12x y −=− 故答案为：12−。
高考数学经典试题与解析 专题四 平面向量
专题四平面向量——2025届高考数学考点剖析精创专题卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．[2022年全国高考真题]在ABC △中，点D 在边AB 上，2BD DA =.记CA =m ，CD = n ，则CB =()A.32-m n B.23-+m nC.32+m nD.23+m n1．答案：B解析：如图，因为点D 在边AB 上，2BD DA =，所以33()2323CB CA AB CA AD CA CD CA CA CD =+=+=+-=-+=-+m n ，故选B.2．已知O 是平面内一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足((0,))||||AB AC OP OA AB AC λλ⎛⎫=++∈+∞ ⎪⎝⎭，则点P 的轨迹一定通过ABC △的()A.外心B.内心C.重心D.垂心2．答案：B解析：||AB AB 为AB 上的单位向量，||AC AC 为AC 上的单位向量，则||||AB ACAB AC +的方向为在BAC ∠的平分线上的向量AD的方向.又因为(0,)λ∈+∞，所以||||AB ACAB AC λ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的方向与||||AB AC AB AC + 的方向相同.因为||||AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ ，所以||||AB AC OP OA AP AB AC λ⎛⎫-==+ ⎪⎝⎭，所以点P 在AD 上移动，即点P 的轨迹一定通过ABC △的内心.3．[2023秋·高三·河北保定·期末联考]已知向量(2,3)=-a ，(1,2)=b ，(9,4)=c ，若正实数m ，n 满足m n =+c a b ，则11m n+的值为()A.7 10B.37C.47D.573．答案：A解析：因为(2,3)=-a，(1,2)=b，(9,4)=c，所以(2,32)(9,4) m n m n m n=+=+-+=c a b，所以29,324,m nm n+=⎧⎨-+=⎩解得2,5,mn=⎧⎨=⎩所以111172510m n+=+=.故选A.4．[2024春·高一·甘肃武威·期中联考]在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上.若13AF xAB AD=+，则x=()A.23B.45C.56D.674．答案：C解析：由题可知2()3AE AB AD=+，因为点F在BE上，所以存在实数λ使得(1)AF AB AEλλ=+-，即21223333AF AB ADλλ⎛⎫⎛⎫=++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.从而有221333λ-=，解得12λ=.所以21153326x=+⨯=.故选C.5．[2024年全国高考真题]已知向量(0,1)=a，(2,)x=b，若(4)⊥-b b a，则x=() A.-2 B.-1 C.1 D.25．答案：D解析：解法一：因为(4)⊥-b b a，所以(4)0⋅-=b b a，即24=⋅b a b.因为(0,1)=a，(2,)x=b，所以224x=+b，x⋅=a b，得244x x+=，所以2(2)0x-=，解得2x=，故选D.解法二：因为(0,1)=a，(2,)x=b，所以4(2,)4(0,1)(2,)(0,4)(2,4)x x x-=-=-=-b a.因为(4)⊥-b b a，所以(4)0⋅-=b b a，所以22(4)0x x⨯+-=，所以2(2)0x-=，解得2x =，故选D.6．[2024年全国高考真题]已知向量a ，b 满足||1=a ，|2|2+=a b ，且(2)-⊥b a b ，则||=b ()A.12B.2C.2D.16．答案：B解析：由(2)-⊥b a b ，得2(2)20-⋅=-⋅=b a b b a b ，所以22=⋅b a b .将|2|2+=a b 的两边同时平方，得22444+⋅+=a a b b ，即22212416||4++=+=b b b ，解得21||2=b ，所以2||2=b ，故选B.7．[2023春·高二·长沙市第一中学·开学考试]已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范围是()A.(2,6)- B.(6,2)- C.(2,4)- D.(4,6)-7．答案：A解析：解法一：如图，过点P 作1PP ⊥直线AB 于1P ，过点C 作1CC ⊥直线AB 于1C ，过点F 作1FF ⊥直线AB 于1F ，||||cos AP AB AP AB PAB ⋅=⋅⋅∠，当PAB ∠为锐角时，1||cos AP PAB AP ⋅∠= ，当PAB ∠为钝角时，1||cos AP PAB AP ⋅∠=-，所以当点P 与C 重合时，AP AB ⋅ 最大，此时1||6AP AB AC AB ⋅=⋅= ，当点P 与F 重合时，AP AB ⋅最小，此时1||2AP AB AF AB ⋅=-=-，又因为点P 是正六边形ABCDEF 内的一点，所以26AP AB -<⋅<.故选A.解法二：连接AE ，以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AE 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则(0,0)A ，(2,0)B ，设()00,P x y ，则013x -<<.(2,0)AB =，()00,AP x y = ，则02(2,6)AB AP x ⋅=∈- ，故选A.8．[2023春·高一·辽宁鞍山·月考联考]已知ABC △中，1AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，点D 在BC 边上，且BD =13BC ，则线段AD 的长度为()B.2C.3⋅D.38．答案：D解析：由题意得112()333AD AB BD AB AC AB AC AB =+=+-=+，因为||1AB = ，||2AC =，60BAC ∠=︒，所以||AD ==3==，即线段AD 的长度为233.故选D.二、多项选择题9．[2024春·高一·湖南衡阳·月考校考]下列结果为零向量的是()A.()AB BC CA -+B.AB AC BD CD -+-C.OA OD AD -+D.NO OP MN MP++-9．答案：BCD解析：A 项，()2AB BC CA AB BA AB +-==-；B 项，0AB AC BD CD CB BC --+=+= ；C 项，0OA OD AD DA AD -+=+= ；D 项，0NO OP MN MP NP PN ++=-+=.故选：BCD.10．[2023春·高一·湖南·月考校考]已知向量)(1,3=a ，(2,)y =b ，()+⊥a b a ，则()A.(2,3)=-b B.向量a ，b 的夹角为34πC.12+=a b D.a 在b 上的投影向量是(1,2)-10．答案：BD解析：(1,3)= a ，(2,)y =b ，(3,3)y ∴+=+a b ，()+⊥ a b a ，31(3)30y ∴⨯++⨯=，4y ∴=-，(2,4)∴=-b ，故A 错误；2cos ,||||2⋅〈〉==-⋅a b a b a b ，又,[0,]〈〉∈πa b ，∴向量a ，b 的夹角为34π，故B 正确；1(1,3)(1,2)(2,1)2+=+-= a b ，12∴+=a b ，故C 错误；a 在b 上的投影向量为2()(1,2)||⋅⋅=-a b bb ，故D 正确.故选BD.11．[2024春·高一·湖南常德·月考校考]若正方形ABCD 中，O 为正方形ABCD 所在平面内一点，且AO x AB y AD =+，,x y ∈R ，则下列说法正确的是()A.AO可以是平面内任意一个向量B.若1x y +=，则O 在直线BD 上C.若12x y ==，13AP AO = ，则2133DP AD AB=-+D.若23OA OB OC ++=0，则6ABC BOC S S =△△11．答案：ABD解析：对于A ，由题意AB AD ⊥，又AD x AB y AD =+ ，,x y ∈R ，以{,}AB AD为基底的坐标系中，根据平面向量基本定理易知AO可以是平面内任意一个向量，故A 正确；对于B ，由向量共线的推论知，若1x y +=，则O 在直线BD 上，故B 正确；对于C ，由题设1()2AO AB AD =+ ，则1()6AP AD DP AB AD =+=+，所以1566DP AB AD =-，故C 错误；对于D ，由23OA OB OC ++=0 ，则3()OB OC OB OA AB +=-=，作E 为BC 的中点，连接OE ，则6OE AB = ，即//OE AB ，且1||||6OE AB =，如图所示，所以6ABC BOC S S =△△，故D 正确.故选ABD.三、填空题12．设D 为ABC △所在平面内一点，1433AD AB AC =-+.若BC DC λ= ()λ∈R ，则λ=__________.12．答案：-3解析：因为()BC DC λλ=∈R ，所以(0)AC AB AC AD λλλ-=-≠，即11AD AB AC λλλ-=+ ，又1433AD AB AC =-+ ，所以113λ=-，解得3λ=-.13．已知平面向量(2,)m =a ，(1,=b ，且|2||2|-=+a b a b ，则||+=a b _________.13．答案：3解析：因为|2||2|-=+a b a b ，所以22|2||2|-=+a b a b ，所以0⋅=a b .又(2,)m =a ，(1,=b ，所以20=，解得m =，所以(3,0)+=a b ，所以||3+==a b .14．[2023春·高一·山西阳泉·期中校考]如图，在矩形ABCD 中，AB =，2BC =，E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB AF ⋅= AE BF ⋅的值是__________.解析：以A 为坐标原点，直线AB 为x 轴，直线AD 为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示.则B ，(0,2)D ，2)C ，E .设(,2)F x .因为(,2)AB AF x ⋅=⋅==，所以1x =，所以(12)AE BF ⋅=⋅=四、解答题15．给定三个向量(3,2)=a ，(1,2)=-b ，(4,1)=c .（1）若λμ=+a b c ，求λμ+的值；（2）若向量k +a b 与向量2-b c 共线，求实数k 的值.15．答案：（1）139λμ+=（2）73k =-解析：（1）由题知(,2)λλλ=-b ，(4,)μμμ=c ，所以(4,2)λμλμλμ+=-++b c ，又因为λμ=+a b c ，所以43,22,λμλμ-+=⎧⎨+=⎩解得5,98,9λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以139λμ+=.（2）由题知(3,22)k k k +=-+a b ，2(6,3)-=-b c ，又因为k +a b 与2-b c 共线，所以3(3)6(22)k k -=-+，解得73k =-.16．[2024春·高一·青海西宁·月考校考]如图，AB 为半圆O 的直径，||2AB =，C为AB 上一点（不含端点）.（1）用向量的方法证明AC BC ⊥；（2）若C 是 AB 上更靠近点B 的三等分点，Q 为 AC 上的任意一点（不含端点），求QA CB ⋅的最大值.16．答案：（1）证明见解析（2）12解析：（1）证明：建立平面直角坐标系如图所示.由题意可知||1OB =，(1,0)A -，(1,0)B ，设(,)C a b，则||||1OB OC ===，得221a b +=.由于(1,)AC a b =+ ，(1,)BC a b =-，所以221110AC BC a b ⋅=-+=-=，故AC BC ⊥，即AC BC ⊥.（2）由题意知3COB π∠=，则13,22C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，连接OQ ，设QOB θ∠=，则,3θπ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，(cos ,sin )Q θθ.因为(1cos ,sin )QA θθ=--- ，13,22CB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，所以1131cos sin sin 22262QA CB θθθπ⎛⎫⋅=--+=-- ⎪⎝⎭ ，又,3θπ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，所以5,666θπππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，故当62θππ-=，即23θπ=时，QA CB ⋅ 取得最大值12.17．[2024春·高一·福建宁德·月考校考]如图，在平行四边形ABCD 中，AP BD ⊥，垂足为P.（1）若8AP AC ⋅=，求AP 的长；（2）设||6AB = ，||8AC = ，π3BAC ∠=，AP x AB y AC =+，求y x -的值.17．答案：（1）2（2）27解析：（1） 在平行四边形ABCD 中，AP BD ⊥，垂足为P ，()22208AP AC AP AO AP AP PO AP AP ∴⋅=⋅=⋅+=⋅+=，()224APAP ∴== ，解得2AP =，故AP 长为2.（2）2AP x AB y AC x AB y AO =+=+，且B ，P ，O 三点共线，21x y ∴+=①，又6AB = ，8AC = ，π3BAC ∠=，则1cos 122AB AO AB AC BAC ⋅=⋅∠=，由AP BD ⊥可知()()20AP BO xAB y AO AO AB ⋅=+⋅-=，展开()22220y AO xAB x y AB AO -+-⋅=，化简得到3y x =②，联立①②解得17x =，37y =，故27y x -=.18．已知四边形ABCD 的顶点坐标为(4,1)A -，(3,4)B ，(1,2)D -，且(0)AB DC λλ=>.（1）若点C 在第一象限，求实数λ的取值范围；（2）若点M 为直线AC 外一点，且2355MP MA MC =+，问实数λ为何值时，点P 恰为四边形ABCD 对角线的交点.18．答案：（1）51,2⎛⎫⎪⎝⎭（2）32λ=解析：（1）因为(4,1)A -，(3,4)B ，所以(1,5)AB =- .设点C 的坐标为(,)x y ，0x >，0y >，则(1,2)DC x y =-+ .由(0)AB DC λλ=> ，得(1)1,(2)5,x y λλ-=-⎧⎨+=⎩解得11,5 2.x y λλ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩因为点C 在第一象限，所以0x >，0y >，解得512λ<<.故实数λ的取值范围是51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）由2355MP MA MC =+ 得2()3()MP MA MC MP -=- ，即23AP PC = ，所以32AP PC =.因为(0)AB DC λλ=> ，所以//AB DC ，又点P 恰为四边形ABCD 对角线的交点，所以APB CPD ∽△△，则32AB AP CD CP ==，又AB DC λ= ，所以32λ=.19．[2023春·高一·江苏常州·月考校考]如图，在直角三角形ABC 中，90BAC ∠=︒，22CB CA ==，D ，E 分别是线段AB ，BC 上的点，满足AD AB λ= ，BE BC λ= ，(0,1)λ∈.（1）求AE BC ⋅ 的取值范围；（2）是否存在实数λ，使得AE CD ⊥ ？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.19．答案：（1）(3,1)AE BC ⋅∈- （2）存在实数23λ=，使得AE CD ⊥ 解析：（1） 在直角三角形ABC 中，90BAC ∠=︒，22CB CA ==，30B ∴∠=︒，BA =，2cos303BA BC ∴⋅=⨯︒=，()()AE BC AB BE BC AB BC BC λ∴⋅=+⋅=+⋅ 2234AB BC BC BA BC BC λλλ=⋅+=-⋅+=-+ ，(0,1)λ∈ ，(3,1)AE BC ∴⋅∈- .（2）存在.()()AE CD AB BE AD AC ⋅=+⋅- ()()AB BC AB AC λλ=+⋅- 22AB AB AC BC AB BC ACλλλ=-⋅+⋅-⋅ 2302cos15021cos 60λλλ=-+⨯⨯︒-⨯⨯⨯︒223λλ=-，令2230λλ-=，得23λ=或0λ=（舍去）.∴存在实数23λ=，使得AE CD ⊥ .。
三年高考两年模拟(浙江版)2017届高考数学一轮复习 第四章 平面向量 4.2 平面向量基本定理
§4.2平面向量基本定理及坐标表示Ａ组基础题组1.(2015课标Ⅰ,2,5分)已知点A(0,1),B(3,2),向量=(-4,-3),则向量=( )A.(-7,-4)B.(7,4)C.(-1,4)D.(1,4)2.(2015课标Ⅱ,4,5分)向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=( )A.-1B.0C.1D.23.(2016超级中学原创预测卷九,5,5分)已知平面向量a,b,e满足|e|=1,a·e=1,b·e=2,|a-b|=3,则a·b的最小值为( )A.0B.1C.D.24.(2015福州质检)设向量=(3,1),=(1,3),若=λ+μ,且λ≥μ≥1,则用阴影表示C点所有可能的位置区域正确的是( )6.(2015浙江名校(杭州二中)交流卷六,6)已知矩形ABCD的面积为2,M,N分别是AD,BC的中点,点P为线段MN上的动点,则·+的最小值是( )A.2B.C.1D.27.(2015浙江五校二联,4,5分)已知A、B、C为直线l上不同的三点,点O∉直线l,实数x满足关系式x2+2x+=0,则下列结论中正确的有( )①-·≥0;②-·<0;③x的值有且只有一个;④x的值有两个;⑤点B是线段AC的中点.A.1个B.2个C.3个D.4个8.(2015宁波高考模拟文,13,4分)已知点A(4,0),B(0,3),OC⊥AB于点C,O为坐标原点,则·= .9.(2013课标全国Ⅱ,13,5分)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则·= .10.(2016超级中学原创预测卷十文,10,6分)已知向量a,b是互相垂直的单位向量,且c·a=c·b=-1,则|c|= ,|a-2b+3c|= .11.(2015上海文,13)已知平面向量a、b、c满足a⊥b,且{|a|,|b|,|c|}={1,2,3},则|a+b+c|的最大值是.12.(2015广东,16,12分)在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=,n=(sinx,cosx),x∈.(1)若m⊥n,求tanx的值;(2)若m与n的夹角为,求x的值.13.(2016杭州七校期中,18,14分)在平行四边形ABCD中,M,N分别是线段AB,BC的中点,且DM=1,DN=2,∠MDN=.(1)试用向量,表示向量,;(2)求||,||;(3)设O为△ADM的重心(三角形三条中线的交点),若=x+y,求x,y的值.B组提升题组1.(2015浙江宁波二中阶段检测)已知a=(sinα,1-4cos2α),b=(1,3sinα-2),α∈,若a∥b,则tan=( )A. B.- C. D.-2.(2015浙江杭州西湖高级中学期中)在△ABC中,点P在BC上,且=2,点Q是AC的中点,若=(4,3),=(1,5),则=( )A.(-2,7)B.(-6,21)C.(2,-7)D.(6,-21)3.(2014福建,8,5分)在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是( )A.e1=(0,0),e2=(1,2)B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)4.(2013湖南,8,5分)已知a,b是单位向量,a·b=0.若向量c满足|c-a-b|=1,则|c|的最大值为( )A.-1B.C.+1D.+25.(2015湖南,9,5分)已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0),则|++|的最大值为( )A.6B.7C.8D.96.(2015福建,9,5分)已知⊥,||=,||=t.若点P是△ABC所在平面内的一点,且=+,则·的最大值等于( )A.13B.15C.19D.217.(2016领航高考冲刺卷四文,8,5分)如图,Rt△ACB的斜边为AB,△BCD是正三角形,BC=2,AB⊥BD,点P在△BCD内部(含边界)运动,记E为AB的中点,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的取值范围是( )A.[1,4]B.(-∞,1]C.[4,+∞)D.[0,4]8.(2016超级中学原创预测卷八,12,4分)已知在直角三角形ABC中,A=90°,AB=1,BC=2,若AM是BC边上的高,点P在△ABC内部或边界上运动,则·的取值范围是.9.(2015江苏,6,5分)已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若m a+n b=(9,-8)(m,n∈R),则m-n的值为.10.(2014江苏,12,5分)如图,在平行四边形ABCD中,已知AB=8,AD=5,=3,·=2,则·的值是.11.(2013北京,13,5分)向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示.若c=λa+μb(λ,μ∈R),则= .12.(2015金华十校高三模拟文,15,4分)在△ABC中,AB=BC=2,AC=3.设O是△ABC的内心,若=p+q,则的值为.13.(2015温州一模,15,4分)设||=||=2,∠AOB=60°,=λ+μ,且λ+μ=2,则在上的投影的取值范围是.14.(2014陕西,18,12分)在直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),点P(x,y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上.(1)若++=0,求||;(2)设=m+n(m,n∈R),用x,y表示m-n,并求m-n的最大值.Ａ组基础题组1.A 根据题意得=(3,1),∴=-=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).故选A.2.C因为2a+b=2(1,-1)+(-1,2)=(2,-2)+(-1,2)=(1,0),所以(2a+b)·a=(1,0)·(1,-1)=1×1+0×(-1)=1.故选C.3.A 由题意可设e=(1,0),a=(x1,y1),b=(x2,y2).由a·e=1,得x1=1,由b·e=2,得x2=2.∵|a-b|=3,∴|a-b|2=9,即(1-2)2+(y1-y2)2=9,则y2=y1±2,而a·b=2+y1y2=±2y1+2=(y1±)2≥0,故所求最小值为0.4.D 取λ=3,μ=2,则=3+2,根据平行四边形法则作出点C,结合各选项,知选D.5.B如图,建立平面直角坐标系,则A(0,3),B(0,0),C(4,0),I(1,1),则=(1,-2),=(0,-3),=(4,-3),因为=x+y,所以解得所以x+y=,故选B.6.B 分别以直线AB,AD为x,y轴建立直角坐标系,设B(m,0),M(0,n),P(x,n)(m>0,n>0),则mn=1,=(-x,-n),=(m-x,-n).·+=x2-mx+n2+m2=+n2+m2≥n2+m2,而n2+m2≥mn=当且仅当n=m时,“=”成立,故当x=,且n=m,即当m=,n=,x=时,·+取最小值.7.C 因为x2+2x+=0,所以=-x2-2x,由A,B,C为直线l上不同的三点,点O∉直线l,得-x2-2x=1,解得x=-1,故③正确;此时-2+=0,得=(+),所以点B是线段AC的中点,故⑤正确;-·=(+)2-·=(-)2≥0,所以①正确,故选C.8.答案解析易知OA=4,OB=3,AB=5,则OC==,又cos<,>=,故·=4××=.9.答案 2解析解法一:·=·(-)=-=22-×22=2.解法二:以A为原点建立平面直角坐标系(如图),得A(0,0),E(1,2),B(2,0),C(2,2),D(0,2),∴=(1,2),=(-2,2),则·=(1,2)·(-2,2)=1×(-2)+2×2=2.10.答案;解析不妨设a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y),则c·a=x=-1,c·b=y=-1,所以c=(-1,-1),|c|=.所以a-2b+3c=(-2,-5),所以|a-2b+3c|==.11.答案3+解析因为a⊥b,{|a|,|b|,|c|}={1,2,3},所以可设a=(1,0),b=(0,2),c=(3cosθ,3sinθ),θ∈[0,2π),所以a+b+c=(1+3cosθ,2+3sinθ),所以|a+b+c|2=(1+3cosθ)2+(2+3sinθ)2=14+6sin(θ+φ),其中sinφ==,所以当sin(θ+φ)=1时,|a+b+c|取得最大值,最大值为=3+.12.解析(1)因为m⊥n,所以m·n=sinx-cosx=0.即sinx=cosx,又x∈,所以tanx==1.(2)易求得|m|=1,|n|==1.因为m与n的夹角为,所以cos==.则sinx-cosx=sin=.又因为x∈,所以x-∈.所以x-=,解得x=.13.解析(1)=-=-,=-=-.(2)由(1)知=-,=-,所以||==,||==,所以||=||=.(3)由重心性质知:++=0,因为=x+y,所以0=x+y-=x(-)+y(-)-=(x+y-1)+(-x)+(-y),所以(x+y-1)∶(-x)∶(-y)=1∶1∶1⇒x=y=.B组提升题组1.B ∵a∥b,∴1-4cos2α=sinα(3sinα-2),∴5sin2α+2sinα-3=0,∴sinα=或sinα=-1,∵α∈,∴sinα=,∴tanα=,∴tan==-.故选B.2.B ∵=2,∴=3=3(+).∵Q是AC的中点,∴=2,又=+,∴=3[+2(+)]=(-6,21).3.B 设a=k1e1+k2e2,A项,∵(3,2)=(k2,2k2),∴无解.B项,∵(3,2)=(-k1+5k2,2k1-2k2),∴解之得故B中的e1,e2可把a表示出来.同理,C、D项同A项,无解.4.C 建立如图所示的直角坐标系,由题意知a⊥b,又a与b是单位向量,∴可设=a=(1,0),=b=(0,1),=c=(x,y).∴c-a-b=(x-1,y-1),∵|c-a-b|=1,∴(x-1)2+(y-1)2=1,即点C(x,y)的轨迹是以M(1,1)为圆心,1为半径的圆.而|c|=,∴|c|的最大值为|OM|+1,即|c|max=+1,故选C.5.B 因为点A,B,C在圆x2+y2=1上,且AB⊥BC,所以AC为圆x2+y2=1的直径,设A(x1,y1),B(x2,y2),则C(-x1,-y1).又P(2,0),所以=(x1-2,y1),=(x2-2,y2),=(-x1-2,-y1),所以++=(x1-2+x2-2-x1-2,y1+y2-y1)=(x2-6,y2),所以|++|===,又-1≤x2≤1,所以|++|的最大值为=7.故选B.6.A 以A为原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则B(t>0),C(0,t),P(1,4),·=·(-1,t-4)=17-≤17-2×2=13当且仅当t=时,取“=”,故·的最大值为13,故选A.7.A 如图,以B为坐标原点,AB,BD所在的直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系,则B(0,0),D(0,2),C(-,1),E,设P(x,y),则=,=,=,∵=λ+μ,∴=λ+μ,即∴λ+μ=x+y+1.令z=x+y+1,结合图形可知,当直线z=x+y+1与BC重合时,z min=1,当直线z=x+y+1过点D(0,2)时,z max=4,∴1≤z≤4.8.答案解析如图,以A为原点,AB,AC所在的直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),C(0,),M,直线BC的方程为x+y-=0,设P(x,y),由于点P在△ABC内部或边界上运动,∴又=,=(x-1,y),∴·=x+y-,根据线性规划的知识知,当x=y=0时,(·)min=-,当P(x, y)在BC边上时,(·)max=0,∴·∈.9.答案-3解析由a=(2,1),b=(1,-2),可得m a+n b=(2m,m)+(n,-2n)=(2m+n,m-2n),由已知可得解得从而m-n=-3.10.答案22解析·=(+)·(+)=·=-+·=25-×64-·=13-·=2,故·=22.11.答案 4解析以向量a和b的交点为坐标原点建立如图所示的坐标系,令每个小正方形的边长为1个单位,则A(1,-1),B(6,2),C(5,-1),所以a==(-1,1),b==(6,2),c==(-1,-3).由c=λa+μb 可得解得所以=4.12.答案解析易求得△ABC内切圆的半径r=,建立如图所示的直角坐标系,则O,A,C,B,所以=,AB=,=(3,0),所以=p+q(3,0).则解得所以=.13.答案(-1,2]解析=·(2)+·(2).作=2,=2,则有点P在直线A1B1上,结合图形可知,,的夹角θ的取值范围是,因此在上的投影||cosθ=2cosθ的取值范围是(-1,2].14.解析(1)解法一:∵++=0,又++=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y),∴解得x=2,y=2,即=(2,2),故||=2.解法二:∵++=0,则(-)+(-)+(-)=0,∴=(++)=(2,2),∴||=2.(2)∵=m+n,∴(x,y)=(m+2n,2m+n),∴两式相减得,m-n=y-x,令y-x=t,由图知,当直线y=x+t过点B(2,3)时,t取得最大值1,故m-n的最大值为1.。
2024年高考数学平面向量的基本定理总结(2篇)
2024年高考数学平面向量的基本定理总结平面向量是高考数学中的重要内容之一，也是一道很多学生所困扰的难题。
2024年高考数学试卷中关于平面向量的命题主要以基本定理为主。
基本定理是矢量分解定理和平行四边形定理的推论，也是解决平面向量问题的基础。
下面我将就2024年高考数学试卷中出现的平面向量基本定理进行总结，以便为考生复习提供参考。
一、平面向量的矢量分解定理平面向量的矢量分解定理是高考数学中使向量具有普通向量性质的基础。
矢量分解定理有两种表达形式：平行四边形法则和三角形法则。
1. 平行四边形法则平行四边形法则是指对于平面内的任意两个向量，它们可以用平行四边形的两条对角线表示。
对于平面中的向量AC和AD，可以有以下公式：AC = AB + BCAD = AE + ED其中AC和AD是两向量之和，AB和AE是两向量的矢量分解，BC 和ED是两向量的矢量共线分解。
2. 三角形法则三角形法则是指对于平面内的任意两个向量，它们可以用构成由这两个向量所在的两条边所组成的三角形的一条边和该边上的向量的和表示。
对于平面中的向量AC和AD，可以有以下公式：AC = AB + BCAD = AE + DE其中AC和AD是两向量之和，AB和AE是两向量的矢量分解，BC 和DE是两向量的矢量共线分解。
二、平面向量的平行四边形定理平面向量的平行四边形定理是基本定理的推论，也是较为重要的定理之一。
平行四边形定理有两个推论，分别是相等条件和平行条件。
1. 相等条件平行四边形定理的相等条件是指对于平行四边形形状的两个向量，它们互为相等向量。
对于平面中的向量AC和BD，如果满足AC = BD，则可以得出以下的结论：ABCD为平行四边形2. 平行条件平行四边形定理的平行条件是指对于平面中的两个向量，如果它们的终点相同，则这两个向量是平行向量。
对于平面中的向量AC和BD，如果满足C = D，则可以得出以下的结论：AC // BD三、基本定理的应用基本定理是解决平面向量问题的基础，通过运用矢量分解定理和平行四边形定理，可以解决各种与平面向量相关的问题，如求向量的模、方向、分解等问题。
《三年高考两年模拟》数学(理科)汇编专题：5.1平面向量的概念及坐标运算(含答案解析)
第一节 平面向量的概念及坐标运算A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.(2015·新课标全国Ⅰ，7)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( )A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC → 2.(2015·湖南，8)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC.若点P 的坐标为(2,0)，则|PA →＋PB →＋PC →|的最大值为( )A.6B.7C.8D.93.(2014·福建，8)在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( )A.e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2)B.e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2)C.e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)D.e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3)4.(2014·安徽，10)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a ，b ，|a|＝|b|＝1，a·b ＝0，点Q 满足OQ →＝2(a ＋b).曲线C ＝{P|OP →＝acos θ＋bcos θ，0≤θ<2π}，区域Ω＝{P|0<r≤|PQ →|≤R ，r<R}.若C∩Ω为两段分离的曲线，则( )A.1<r<R<3B.1<r<3≤RC.r≤1<R<3D.1<r<3<R5.(2016·全国Ⅰ，13)设向量a ＝(m ，1)，b ＝(1，2)，且|a ＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m ＝________.6.(2015·新课标全国Ⅱ，13)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________.7.(2015·北京，13)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________.8.(2015·江苏，6)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若ma ＋nb ＝(9，－8)(m ，n ∈R)，则m －n 的值为________.9.(2014·新课标全国Ⅰ，15)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________.10.(2014·湖南，16)在平面直角坐标系中，O 为原点，A(－1，0)，B(0，3)，C(3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________.B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·山东济南一模)O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心2.(2016·广东揭阳模拟)设向量a ＝(1，2)，b ＝(2，3)，若向量a －λb 与向量c ＝(－5，－6)共线，则λ的值为( )A.43B.413C.－49D.4 3.(2016·甘肃嘉峪关一中模拟)已知向量a ＝(m ，1－n)，b ＝(1，2)，其中m ＞0，n ＞0，若a ∥b ，则1m ＋1n的最小值是( ) A.2 2 B.3＋2 2 C.4 2 D.3＋ 24.(2016·广西柳州铁路一中月考)已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是三角形ABC 的重心，动点P 满足OP →＝13⎝⎛⎭⎫12OA →＋12OB →＋2OC →，则点P 一定为三角形ABC 的( ) A.AB 边中线的中点 B.AB 边中线的三等分点(非重心) C.重心 D.AB 边的中点5.(2016·济宁高三期末)在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝( )A.23b ＋13cB.53c －23bC.23b －13cD.13b ＋23c 6.(2015·浙江慈溪余姚模拟)在△ABC 中，设三边AB ，BC ，CA 的中点分别为E ，F ，D ，则EC →＋FA →＝( )A.BD →B.12BD →C.AC →D.12AC → 7.(2015·广东佛山模拟)如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E ，F 两点，且交其对角线于K ，其中，AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，AK →＝λAC →，则λ的值为( )A.29B.27C.25D.238.(2015·广东江门质检)给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为90°,如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动,若OC →＝xOA →＋yOB →,其中x,y ∈R,则x ＋y 的最大值是( )A.1B. 2C. 3D.29.(2016·黑龙江大庆模拟)设向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，若向量a－λb与向量c＝(－5，－6)共线，则λ的值为________.答案精析A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.A [∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)，即4AC →－AB →＝3AD →，∴AD →＝－13AB →＋43AC →.] 2.B [由A,B,C 在圆x 2＋y 2＝1上,且AB ⊥BC,∴AC 为圆直径,故PA →＋PC →＝2PO →＝(－4，0),设B(x ，y)，则x 2＋y 2＝1且x ∈[-1,1]，PB →＝(x －2，y)，所以PA →＋PB →＋PC →＝(x-6，y).故|PA→＋PB →＋PC →|＝－12x ＋37，∴x ＝－1时有最大值49＝7，故选B.]3.B [法一 若e 1＝(0，0)，e 2＝(1，2)，则e 1∥e 2，而a 不能由e 1，e 2表示，排除A ；若e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，－2)，因为－15≠2－2，所以e 1，e 2不共线，根据共面向量的基本定理，可以把向量a ＝(3，2)表示出来，故选B.法二 因为a ＝(3，2)，若e 1＝(0，0)，e 2＝(1，2)，不存在实数λ，μ，使得a ＝λe 1＋μe 2，排除A ；若e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，－2)，设存在实数λ，μ，使得a ＝λe 1＋μe 2，则(3，2)＝(－λ＋5μ，2λ－2μ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝－λ＋5μ，2＝2λ－2μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，μ＝1.所以a ＝2e 1＋e 2，故选B.] 4.A [由已知可设OA →＝a ＝(1，0)，OB →＝b ＝(0，1)，P(x ，y)，则OQ →＝(2，2)，曲线C ＝{P|OP →＝(cos θ，sin θ)，0≤θ<2π}，即C ：x 2＋y 2＝1，区域Ω＝{P|0<r≤|PQ →|≤R ，r<R}表示圆P 1：(x －2)2＋(y －2)2＝r 2与圆P 2：(x －2)2＋(y －2)2＝R 2所形成的圆环，如图所示，要使C∩Ω为两段分离的曲线，只有1<r<R<3.]5.－2 [由|a ＋b|2＝|a|2＋|b|2，得a ⊥b ，所以m×1＋1×2＝0，得m ＝－2.]6.12[∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b≠0，又向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，使λa ＋b ＝μ(a ＋2b)成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，则得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝12.] 7.12 －16 [MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →，∴x ＝12，y ＝－16.] 8.－3 [∵a ＝(2,1),b ＝(1,-2),∴ma ＋nb ＝(2m ＋n,m －2n)＝(9,-8)，即⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，故m －n ＝2－5＝－3.] 9.90° [由AO →＝12(AB →＋AC →)可知O 为BC 的中点，即BC 为圆O 的直径，又因为直径所对的圆周角为直角，所以∠BAC ＝90°，所以AB →与AC →的夹角为90.]10.1＋7 [设D(x ，y)，由|CD →|＝1，得(x －3)2＋y 2＝1，向量OA →＋OB →＋OD →＝(x －1，y ＋3)，故|OA →＋OB →＋OD →|＝（x －1）2＋（y ＋3）2的最大值为圆(x －3)2＋y 2＝1上的动点到点(1，－3)距离的最大值，其最大值为圆(x －3)2＋y 2＝1的圆心(3，0)到点(1，－3)的距离加上圆的半径，即（3－1）2＋（0＋3）2＋1＝1＋7.]B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1. B [作∠BAC 的平分线AD.∵OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，∴AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|＝λ′·AD →|AD →|(λ′∈[0，＋∞))，∴AP →＝λ′|AD →|·AD →，∴AP →∥AD →. ∴P 的轨迹一定通过△ABC 的内心.]2.A [由已知得a －λb ＝(1－2λ，2－3λ)，∵向量a －λb 与向量c ＝(－5，－6)共线.∴(1－2λ)×(－6)－(2－3λ)×(－5)＝0，解得λ＝43,] 3.B [∵向量a ＝(m ，1－n)，b ＝(1，2)，a ∥b ，∴2m －(1－n)＝0.即2m ＋n ＝1. 又m ＞0，n ＞0，∴1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n (2m ＋n)＝3＋2m n ＋n m ≥3＋22m n ·n m＝3＋2 2. 当且仅当2m n ＝n m ，即m ＝1－22，n ＝2－1时取等号， ∴1m ＋1n的最小值为3＋22，故选B.] 4.B [设AB 的中点是E ，∵O 是三角形ABC 的重心，∴OP →＝13⎝⎛⎭⎫12OA →＋12OB →＋2OC →＝13(OE →＋2OC →)，∵OC →＝2EO →，∴OP →＝13(OE →＋4EO →)＝13×3EO →＝EO →， ∴P 在AB 边的中线上，是中线的三等分点，不是重心.故选B.]5. A [AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝c ＋23(b －c)＝23b ＋13c ，故选A.] 6. A [如图，EC →＝12(AC →＋BC →)，FA →＝12(CA →＋BA →)，所以EC →＋FA →＝BD →.故选A.]7.A [∵AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，则AB →＝52AE →，AD →＝2AF →，由向量加法的平行四边形法则可知，AC →＝AB →＋AD →，∴AK →＝λAC →＝λ(AB →＋AD →)＝λ⎝⎛⎭⎫52AE →＋2AF →＝52λAE →＋2λAF →，由E ，F ，K 三点共线可得，λ＝29， 8.B [法一 以O 为原点，向量OA →，OB →所在直线分别为x 轴、y 轴建立直角坐标系，设<OA →,OC →>＝θ,θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2,则OA →＝(1,0),OB →＝(0,1),OC →＝(cos θ，sin θ). 由OC →＝xOA →＋yOB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ.∴x ＋y ＝cos θ＋sin θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4， θ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4，∴x ＋y 的最大值为 2. 法二 因为点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上，所以|OC →|2＝|xOA →＋yOB →|2＝x 2＋y 2＋2xyOA →·OB→＝x 2＋y 2＝1≥（x ＋y ）22.所以x ＋y≤ 2.当且仅当x ＝y ＝22时等号成立.] 9.43[由已知得a －λb ＝(1－2λ，2－3λ)，∵向量a －λb 与向量c ＝(－5，－6)共线， ∴1－2λ－5＝2－3λ－6，解得λ＝43.]。
三年高考两年模拟(浙江版)高考数学一轮复习 第四章 平面向量 4.1 平面向量的概念及线性运算知能训练
第四章平面向量§4.1平面向量的概念及线性运算Ａ组基础题组1.(2015浙江宁波四所重点中学联考)已知=a,=b,=c,=d,且四边形ABCD为平行四边形,则( )A.a-b+c-d=0B.a-b-c+d=0C.a+b-c-d=0D.a+b+c+d=05.(2013四川,12,5分)在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,+=λ,则λ= .6.(2015课标Ⅱ,13,5分)设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ= .7.(2015浙江绍兴一中回头考)若点O是△ABC所在平面内的一点,且满足|-|=|+-2|,则△ABC 的形状为.B组提升题组1.(2015广东,9,5分)在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形,=(1,-2),=(2,1),则·=( )A.5B.4C.3D.22.(2015安徽,8,5分)△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足=2a,=2a+b,则下列结论正确的是( )A.|b|=1B.a⊥bC.a·b=1D.(4a+b)⊥3.(2015浙江杭州一模,6)设P为锐角△ABC的外心(三角形外接圆圆心),=k(+)(k∈R).若cos∠BAC=,则k=( )A. B. C. D.4.(2015浙江测试卷,6)设点D,E分别在△ABC的边BC,AC上,线段AD,BE相交于点F,则“F 为△ABC的重心”是“==2”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.(2014北京,10,5分)已知向量a,b满足|a|=1,b=(2,1),且λa+b=0(λ∈R),则|λ|= .6.(2015北京,13,5分)在△ABC中,点M,N满足=2,=.若=x+y,则x= ,y= .7.(2015浙江嘉兴一中一模,14)若△ABC的重心为G,AB=3,AC=4,BC=5,动点P满足=x+y+z(0≤x,y,z≤1),则点P的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于.8.(2015浙江高考模拟评估测试)在△ABC中,CA=3,CB=5,∠ACB=120°,点O为△ABC的内心,且满足=x+y,其中x,y∈R,则x+y= .Ａ组基础题组1.A 依题意得=,故+=0,所以-+-=0,即-+-=0,则a-b+c-d=0.故选A.2.A =+=++=+=+(-)=-+.故选A.3.D 由++m=0,得-+--m=0,又+=-,代入上式得-3-m=0,得m=-3.4.B 由点C是AB的中点得,=(+)==+,又点P是OC的中点,所以==+.因为M,P,N三点共线,所以+=1,即+=4.当m=时,n=,故选B.5.答案 2解析由平行四边形法则,得+==2,故λ=2.6.答案解析由于a,b不平行,所以可以以a,b作为一组基底,于是λa+b与a+2b平行等价于=,即λ=.7.答案直角三角形解析∵+-2=-+-=+,-==-,∴|+|=|-|,∴||2+2·+||2=||2-2·+||2,∴·=0,所以△ABC为直角三角形.B组提升题组1.A ∵四边形ABCD是平行四边形,∴=+=(3,-1),∴·=2×3+1×(-1)=5.选A.2.D ∵b=-=,∴|b|=||=2,故A错;∵·=2×2×cos60°=2,即-2a·b=2,∴a·b=-1,故B、C 都错;∵(4a+b)·=(4a+b)·b=4a·b+b2=-4+4=0,∴(4a+b)⊥,故选D.3.A 如图所示:取BC的中点D,连结PD,AD.连结PC.则PD⊥BC,+=2,∵=k(+)(k∈R),∴=2k,∴A,P,D三点共线,∴AB=AC.∴cos∠BAC=cos∠DPC===.∴AP=AD.∴2k=,解得k=.故选A.4.C 当F为△ABC的重心时,显然有==2,即充分性成立.当==2时,有=2,且=2.设=m,由=2,得-=2(-),即3=+2=+2m,则==+m,即-=-+m(-),则=+m.设=n,故得m=n=,即点D,E分别是边BC,AC的中点,∴F为△ABC的重心,即必要性成立,故选C. 5.答案解析∵λa+b=0,即λa=-b,∴|λ||a|=|b|.∵|a|=1,|b|=,∴|λ|=.6.答案;-解析由=2知M为AC上靠近C的三等分点,由=知N为BC的中点,作出草图如下:则有=(+),所以=-=(+)-·=-,又因为=x+y,所以x=,y=-.7.答案12解析点P的轨迹所覆盖的区域如图所示,易知所覆盖的区域的面积恰好为△ABC面积的2倍,因此面积为12.8.答案-解析由于A,B,C三点不共线,故x+y≠1.则有-=x(-)+y(-),即=+.由于点O在∠ACB的平分线上,故存在正实数λ,使得=λ,即=λ.所以消去λ,得x=y.所以=+.由CA=3,CB=5,∠ACB=120°,得AB=7, 从而△ABC的内切圆半径为r===,则||==1,又∠ACO=∠BCO=60°,∴·=+·,即=+×3×5×,解得y=-,则x=y=-,故x+y=-.。
2024年新高考版数学专题1_6.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示
零向量和共线向量不能作基底.
2.平面向量的坐标运算
已知a=(x1,y1),b=(x2,y2).
则a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),λa=(λx1,λy1),a∥b⇔x1y2-x2y1=0.
3.向量的坐标表示
若A(x1,y1),B(x2,y2),则
AB
=(x2-x1,y2-y1).
1 2
( BD
- BA )= BA +
1 4
BC
-
1 2
BA =
1 2
BA +
1 4
BC
,∴D
错误.故选AC.
答案 AC
考法二 向量共线问题的求解方法
1.两非零向量共线是指存在实数λ,使两向量可以相互表示,在应用时注意
待定系数法和方程思想的应用.
2.证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线和三点共
λ(μa)=(λμ)a; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb
2.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ,使b=λa.
考点二 平面向量基本定理及坐标运算
1.平面向量基本定理
如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向 量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.我们把{e1、e2}叫做表示这个平 面内所有向量的一个基底.
答案 6
高考 数学
专题六 平面向量
6.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示
基础篇
考点一 平面向量的概念及线性运算 1.向量的线性运算
三年高考两年模拟(浙江版)高考数学一轮复习 第四章 平面向量 4.3 平面向量的数量积及平面向量的应
§4.3平面向量的数量积及平面向量的应用Ａ组基础题组1.(2015北京,6,5分)设a,b是非零向量.“a·b=|a||b|”是“a∥b”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.(2014课标Ⅱ,3,5分)设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则a·b=( )A.1B.2C.3D.53.(2015杭州一模文,4,5分)已知向量e1,e2的模分别为1,2,它们的夹角为60°,则向量e1-e2与-4e1+e2的夹角为( )A.60°B.120°C.30°D.150°4.(2014大纲全国,4,5分)若向量a、b满足:|a|=1,(a+b)⊥a,(2a+b)⊥b,则|b|=( )A.2B.C.1D.5.(2013浙江,7,5分)设△ABC,P0是边AB上一定点,满足P0B=AB,且对于边AB上任一点P,恒有·≥·.则( )A.∠ABC=90°B.∠BAC=90°C.AB=ACD.AC=BC6.已知O是△ABC所在平面内的定点,动点P满足=+λ,λ∈(0,+∞),则动点P的轨迹一定通过△ABC的( )A.内心B.外心C.垂心D.重心7.(2015湖北,11,5分)已知向量⊥,||=3,则·= .8.(2015杭州学军中学仿真考文,12,6分)已知向量a、b满足|a|=2,|b|=3,且|2a-b|=,则|2a+b|= ,向量a在向量b方向上的投影为.9.(2014江西,14,5分)已知单位向量e1与e2的夹角为α,且cosα=,向量a=3e1-2e2与b=3e1-e2的夹角为β,则cosβ= .10.若△ABC满足(2-)·(-2)=0,则= .11.(2016超级中学原创预测卷六,5,5分)已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,且a在b方向上的投影与b在a方向上的投影相等,则a,b的夹角为,|a+b|= .12.(2016山东淄博12月摸底,14,5分)如图,AB是圆O的直径,P是圆弧AB上的点,M、N是AB上的两个三等分点,且AB=6,则·= .13.(2016领航高考冲刺卷一文,15,4分)已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,|a-2b|≤2,则b在a上的投影的取值范围是.14.(2016超级中学原创预测卷三,12,6分)如图,在正三角形ABC中,AB=2,P是AB边上一点,则·的最大值是,最小值是.15.(2014湖南,16,5分)在平面直角坐标系中,O为原点,A(-1,0),B(0,),C(3,0),动点D满足||=1,则|++|的最大值是.16.(2015台州一模,14,4分)若△ABC的外接圆是半径为1的圆O,且∠AOB=120°,则·的取值范围为.17.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61.(1)求a与b的夹角θ;(2)求|a+b|和|a-b|.B组提升题组1.(2015山东,4,5分)已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则·=( )A.-a2B.-a2C.a2D.a22.(2015陕西,7,5分)对任意向量a,b,下列关系式中的是( )A.|a·b|≤|a||b|B.|a-b|≤||a|-|b||C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)·(a-b)=a2-b23.(2015浙江宁波十校联考,4)设向量a,b满足:|a|=1,|b|=2,a·(a+b)=0,则a与b的夹角是( )A.30°B.60°C.90°D.120°4.(2015浙江名校(柯桥中学)交流卷三,5)已知△ABC为等边三角形,AB=2,设点P,Q满足=λ,=(1-λ),λ∈R,若·=-,则λ=( )A. B. C. D.5.(2016超级中学原创预测卷五,7,5分)在△ABC中,若(4-)⊥,则sinA的最大值是( )A. B. C. D.6.(2016超级中学原创预测卷六,9,6分)如图,在边长为a的菱形ABCD中,∠BAD=,AC与BD 相交于点O,点E在线段BD上,且BE=ED,若·=-2,则实数a的值为( )A.1B.2C.3D.47.(2014浙江冲刺卷六,10)已知△ABC为斜三角形,且O是△ABC所在平面上的一个定点,动点P满足=+λ,λ∈[0,+∞),则P的轨迹一定通过△ABC的( )A.外心B.内心C.垂心D.重心8.(2015浙江模拟评估测试卷二,10,5分)对于两个不共线的单位向量a,b,有下列四个命题:①(a+b)⊥(a-b);②2<|a+b|+|a-b|≤2;③a与b在a+b方向上的投影相等;④记a在a+b方向上的投影为m,a在a-b方向上的投影为n,则m2+n2=1.其中正确的命题个数为( )A.1个B.2个C.3个D.4个9.(2015嘉兴测试二,11,6分)若向量a与b满足|a|=,|b|=2,(a-b)⊥a.则向量a与b的夹角等于;|a+b|= .10.(2016余姚中学期中,13,4分)已知与的夹角为60°,||=2,||=2,=λ+μ,若λ+μ=2,则||的最小值为.11.(2016领航高考冲刺卷二,14,4分)如图,已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O,E为线段BC上一动点,延长AE交圆O于点F,则·的取值范围是.12.(2015浙江冲刺卷五,13)设非零向量a,b的夹角为θ,记f(a,b)=a cosθ-b sinθ,若e1,e2均为单位向量,且e1·e2=,则向量f(e1,e2)的模为,向量f(e1,e2)与f(e2,-e1)的夹角为.13.(2013浙江, 17,4分)设e1,e2为单位向量,非零向量b=x e1+y e2,x,y∈R.若e1,e2的夹角为,则的最大值等于.14.(2015金丽衢一联,16,4分)已知△ABC是边长为2的正三角形,EF为△ABC的外接圆O的一条直径,M为△ABC的边上的动点,则·的最大值为.15.(2015浙江,15,6分)已知e1,e2是空间单位向量,e1·e2=.若空间向量b满足b·e1=2,b·e2=,且对于任意x,y∈R,|b-(x e1+y e2)|≥|b-(x0e1+y0e2)|=1(x0,y0∈R),则x0= ,y0= ,|b|= .Ａ组基础题组1.A 设a与b的夹角为θ.因为a·b=|a|·|b|cosθ=|a|·|b|,所以cosθ=1,即a与b的夹角为0°,故a∥b;而当a∥b时,a与b的夹角为0°或180°,所以a·b=|a|·|b|cosθ=±|a|·|b|,所以“a·b=|a|·|b|”是“a∥b”的充分而不必要条件,故选A.2.A 由|a+b|=得a2+b2+2a·b=10,①由|a-b|=得a2+b2-2a·b=6,②①-②得4a·b=4,∴a·b=1,故选A.3.B设向量e1-e2与-4e1+e2的夹角为θ.由已知可得(e1-e2)·(-4e1+e2)=-4|e1|2-|e2|2+5e1·e2=-3,又|e1-e2|2=|e1|2+|e2|2-2e1·e2=3,|-4e1+e2|2=16|e1|2+|e2|2-8e1·e2=12,故有cosθ===-,所以θ=120°,故选B.4.B 由题意得⇒-2a2+b2=0,即-2|a|2+|b|2=0,又|a|=1,∴|b|=.故选B.5.D 如图,在△ABC中取BC的中点D,AB的中点E,连结CE,DP0.故·=(-)·(-)=·-·(+)+=·+,同理,·=·+.由·≥·得≥,故DP0⊥AB.由作图知CE∥DP0,所以CE⊥AB,又E为AB的中点,所以AC=BC.选D.6.B 设BC边上的中点为D,则+=2,所以=+λ+,即=λ+,因为·=λ+·=λ+=0,所以⊥,所以点P在BC的垂直平分线上,所以点P的轨迹一定经过△ABC的外心,故选B.7.答案9解析∵⊥,∴·=0,即·(-)=0,∴·==9.8.答案;1解析|2a-b|2=4a2-4a·b+b2=4×22-4a·b+32=13,解得a·b=3.因为|2a+b|2=4a2+4a·b+b2=4×22+4×3+32=37,所以|2a+b|=.向量a在向量b方向上的投影为==1.9.答案解析a·b=(3e1-2e2)·(3e1-e2)=9+2-9×1×1×=8.∵|a|2=(3e1-2e2)2=9+4-12×1×1×=9,∴|a|=3.∵|b|2=(3e1-e2)2=9+1-6×1×1×=8,∴|b|=2,∴cosβ===.10.答案 3解析由(2-)·(-2)=0得2+2-5·=0,即+=.因为=-,所以====9,所以=3.11.答案;解析根据题意得|a|cos<a,b>=|b|cos<a,b>,因为|a|=2,|b|=1,所以cos<a,b>=0,所以a⊥b,则a,b的夹角为,则|a+b|==.12.答案8解析·=(+)·(+)=-=8.13.答案解析由|a-2b|≤2得a2+4b2-4a·b≤4,所以4+4-4a·b≤4,即a·b≥1.又b在a上的投影为=≥,=|b|cos<a,b>≤1,所以b在a上的投影的取值范围是.14.答案2;-解析如图所示,设AB的中点为O,连结CO.当P在线段AO上时,·=||||=||(||+1),容易得到当||=1时,(·)max=2,当点P与点O重合时,(·)min=0.当点P在线段OB上时,·=-||||=-||(1-||),而||(1-||)=||-||2=-+≤,∴当P为线段OB的中点时,(·)min=-,当点P与点O或B重合时,(·)max=0.综上,·的最大值是2,最小值是-.15.答案+1解析解法一:设D(x,y),则由||=1,得(x-3)2+y2=1,从而可设x=3+cosα,y=sinα,α∈R.而++=(x-1,y+),则|++|====,其中sinφ=,cosφ=.显然当sin(α+φ)=1时,|++|有最大值=+1.解法二:++=+++,设a=++=(2,),则|a|=,从而++=a+,则|++|=|a+|≤|a|+||=+1,当a与同向时,|++|有最大值+1.16.答案∪解析因为·=||·||cos∠AOB=1×1×=-,所以|+|====1.·=(-)·(-)=-·-+·(+)=-1+||·|+|·cosθ=-+cosθ,θ为与+的夹角.因为当C 与A(或B)重合时,θ=,所以由-1≤cosθ≤1且cosθ≠,得-≤-+cosθ<0或0<-+cosθ≤,则·的取值范围为∪.17.解析(1)由(2a-3b)·(2a+b)=4|a|2-4a·b-3|b|2=61及|a|=4,|b|=3得a·b=-6,∴cosθ===-.又θ∈[0,π],∴θ=.(2)|a+b|====.同理,|a-b|==.B组提升题组1.D ·=(+)·=·+=a2+a2=a2.2.B |a·b|=|a|·|b|·|cos<a,b>|≤|a|·|b|,故A正确;由向量的运算法则知C,D也正确; 当b=-a≠0时,|a-b|>||a|-|b||,B错误.故选B.3.D 设a与b的夹角是θ,∵|a|=1,|b|=2,a·(a+b)=0,∴a·a+a·b=0,即|a|2+|a||b|cosθ=0,也即12+1×2×cosθ=0,∴cosθ=-,故θ=120°.故选D.4.A ∵||=||=2,<,>=60°,∴·=||·||cos60°=2.∵=-=(1-λ)-,=-=λ-,且·=-,∴[(1-λ)-]·(λ-)=-,即λ||2+(λ2-λ-1)·+(1-λ)||2=,∴4λ+2(λ2-λ-1)+4(1-λ)=,解得λ=.5.C 设角A,B,C的对边分别为a,b,c,由题意得(4-)·(-)=0,∴4+-5·=0,∴4c2+b2-5bccosA=0,∴cosA=≥=(当且仅当b=2c时取等号),又A∈(0,π),∴sinA=≤,故sinA的最大值为.6.B 因为菱形ABCD的边长为a,且∠BAD=,所以BD=a,∠ABD=.因为BE=ED,所以=+,所以·=·=·+=a·acos+(a)2=-a2=-2,得a=2.7.C 依题意有=λ,则·=λ=λ+=×-+.而在△ABC中,由正弦定理得||×sinB=||sinC,则·=0,故选C.8.D 解法一:设=a,=b,=a+b,则四边形ABCD是边长为1的菱形,设其对角线AC,BD交于点O.由AC⊥BD,得(a+b)⊥(a-b),故①正确.由||+||>||=1,得+>1,即|a+b|+|a-b|>2.又≤==,∴|a+b|+|a-b|≤2,故②正确.由菱形ABCD可知a与b在a+b方向上的投影都为||,即③正确.由菱形ABCD可知m=||,n=||,由||2+||2=||2=1,得m2+n2=1.故④正确.故选D.解法二:∵|a|=|b|=1,∴(a+b)·(a-b)=a2-b2=0,故①正确.设a与b的夹角为θ,因为a与b是不共线向量,所以θ∈(0,π).从而有|a+b|===2cos,|a-b|===2sin,则|a+b|+|a-b|=2cos+2sin=2sin,而0<<,则<+<,从而有<sin≤1,故2<|a+b|+|a-b|≤2,故②正确.∵a·(a+b)=a2+a·b=1+a·b,b·(a+b)=a·b+b2=a·b+1,∴a·(a+b)=b·(a+b).而a在a+b方向上的投影为,b在a+b方向上的投影为,由上知=,故③正确.m2===,n2===,则m2+n2=1,故④正确.故选D.9.答案;解析因为(a-b)⊥a,所以(a-b)·a=a2-a·b=0,所以a·b=2,所以cos<a,b>===,所以<a,b>=.因为|a+b|2=a2+2a·b+b2=2+2×2+4=10,所以|a+b|=.10.答案 2解析=(λ+μ)2=λ2+2λμ·+μ2=4λ2+4λμ+12μ2,由λ+μ=2,得λ=2-μ,所以=12μ2-8μ+16=12+12,最小值为12,所以||的最小值为2.11.答案[0,6]解析∵正三角形ABC内接于半径为2的圆O,∴△ABC的边长为2.过点C作CD⊥AB于点D,∵△ABC为正三角形,∴D为AB的中点.·===-3,又=(+)2∈[3,9],∴·∈[0,6].12.答案;解析∵e1·e2=,且e1,e2均为单位向量,∴向量e1与e2的夹角为30°,∴f(e1,e2)=e1cos30°-e2sin30°=e1-e2,∴|f(e1,e2)|===.∵向量e1与e2的夹角为30°,∴向量e2与-e1的夹角为150°,∴f(e2,-e1)=e2cos150°+e1sin150°=e1-e2,∴f(e1,e2)·f(e2,-e1)=·=-e1·e2+=0,故向量f(e1,e2)与f(e2,-e1)的夹角为.13.答案 22+y2+xy(x、y不全为0),∴=.解析∵|b|2=x2+y2+2xy e当x=0时,=0.当x≠0时,==≤=4,当=-时取等号.故的最大值为2.14.答案 3解析由题意可得,圆O的半径R=××2=2,且当点M为一边的中点时,OM垂直于此边,此时||min=1.·=(+)·(+)=(-)·(+)=||2-||2=R2-||2≤4-1=3,即·的最大值为3.15.答案1;2;2解析∵e1,e2是单位向量,e1·e2=,∴cos<e1,e2>=,又∵0°≤<e1,e2>≤180°,∴<e1,e2>=60°.不妨把e1,e2放到空间直角坐标系O-xyz的平面xOy中,设e1=(1,0,0),则e2=,再设=b=(m,n,r),由b·e1=2,b·e2=,得m=2,n=,则b=(2,,r).而x e1+y e2是平面xOy上任一向量,由|b-(x e1+y e2)|≥1知点B(2,,r)到平面xOy的距离为1,故可得r=1.则b=(2,,1),∴|b|=2.又由|b-(x e1+y e2)|≥|b-(x0e1+y0e2)|=1知x0e1+y0e2=(2,,0),解得x0=1,y0=2.。
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6，则 a·b 的最大值是________．
20．(2015·安徽)△ABC
是边长为
2
的等边三角形，已知向量
a，b
→ 满足AB＝2a，
→ AC＝2a＋b，则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．
A．I1＜I2＜I3 B．I1＜I3＜I2 C．I3＜I1＜I2 D．I2＜I1＜I3 3．(2017·全国Ⅲ)已知向量 a＝(－2，3)，b＝(3，m)，且 a⊥b，则 m＝________．
4．(2017·山东)已知向量 a＝(2，6)，b＝(－1，λ)，若 a∥b，则 λ＝________．
5．(2017·全国Ⅰ)已知向量 a，b 的夹角为 60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________．
13．(2015·重庆)已知非零向量 a，b 满足|b|＝4|a|，且 a⊥(2a＋b)，则 a 与 b 的夹
角为( )
ππ A. B.
32
2π 5π
C. D.
3
6
14．(2016·北京)已知向量 a＝(1， 3)，b＝( 3，1)，则 a 与 b 夹角的大小为________．
考点 4 平面向量的模
第四章 平面向量 16．平面向量的概念与运算
1．(2017·全国Ⅱ)设非零向量 a，b 满足|a＋b|＝|a－b|，则( )
A．a⊥b B．|a|＝|b| C．a∥b D．|a|>|b|
2．(2017·浙江)如图，已知平面四边形 ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，
→→
→→
→→
AC 与 BD 交于点 O，记 I1＝OA·OB，I2＝OB·OC，I3＝OC·OD，则( )
6．(2017·山东)已知 e1，e2 是互相垂直的单位向量，若 3e1－e2 与 e1＋λe2 的夹角 为 60°，则实数 λ 的值是________．
7．(2017·浙江)已知向量 a，b 满足|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|＋|a－b|的最小值是
________，最大值是________．
→ A(0，1)，B(3，2)，向量AC＝(－4，－3)，则向量
→ BC＝( )
A．(－7，－4) B．(7，4) C．(－1，4) D．(1，4) 2．(2015·四川)设向量 a＝(2，4)与向量 b＝(x，6)共线，则实数 x＝( )
A．2 B．3 C．4 D．6 3．(2016·全国Ⅱ)已知向量 a＝(m，4)，b＝(3，－2)，且 a∥b，则 m＝________．
9．(2016·江苏)如图，在△ABC 中，D 是 BC 的中点，E，F 是 AD 上的两个三等
→→ →→
→→
分点，BA·CA＝4，BF·CF＝－1，则BE·CE的值是________．
10．(2015·湖北)已知向量O→A⊥A→B，|O→A|＝3，则O→A·O→B＝________．
11．(2015·天津)在等腰梯形 ABCD 中，已知 AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝
A．|a·b|≤|a||b| B．|a－b|≤||a|－|b|| C．(a＋b)2＝|a＋b|2 D．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2 17．(2016·浙江)已知平面向量 a，b，|a|＝1，|b|＝2，a·b＝1，若 e 为平面单位向
量，则|a·e|＋|b·e|的最大值是________． 1
8．(2017·天津)在△ABC
→ →→ → 中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2，若BD＝2DC，AE＝λAC－
→
→→
AB(λ∈R)，且AD·AE＝－4，则 λ 的值为________．
9．(2017·北京)已知点 P 在圆 x2＋y2＝1 上，点 A 的坐标为(－2，0)，O 为原点，
→→ 则AO·AP的最大值为________．
4．(2015·江苏)已知向量 a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若 ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)， 则 m－n 的值为________． 考点 2 平面向量的数量积及其几何意义 5．(2016·全国Ⅱ)已知向量 a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则 m＝( ) A．－8 B．－6
C．6 D．8 6．(2015·新课标全国Ⅱ)已知 a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，则(2a＋b)·a＝( ) A．－1 B．0 C．1 D．2 7．(2015·北京)设 a，b 是非零向量，“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．(2016·全国Ⅰ)设向量 a＝(x，x＋1)，b＝(1，2)，且 a⊥b，则 x＝________．
15．(2016·四川)已知正三角形 ABC 的边长为 2 3，平面 ABC 内的动点 P，M 满
足|A→P|＝1，P→M＝M→C，则|B→M|2 的最大值是( )
43 49 A. B.
44
37＋6 3 37＋2 33
C.
D.
4
4
16．(2015·陕西)对任意平面向量 a，b，下列关系式中不恒成立的是( )
10．(2017·江苏)如图，在同一个平面内，向量O→A，O→B，O→C的模分别为
→ 1，1，2，OA
→
→→
→ →→
与OC的夹角为 α，且 tan α＝7，OB与OC的夹角为 45°.若OC＝mOA＋nOB(m，n∈
R)，则 m＋n＝________．
考点 1 平面向量的线性运算及其几何意义
1．(2015·新课标全国Ⅰ)已知点
→ 2→ → 1→ → →
60°.点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上，且BE＝ BC，DF＝ DC，则AE·AF的值
3
6
为________．
考点 3 两平面向量的夹角
( ) ( ) 12．(2016·全国Ⅲ)已知向量B→A＝
1 ，
3
→ ，BC＝
31 ， ，则∠ABC＝( )
22
22
A．30° B．45° C．60° D．120°