高中数学必修2《空间几何体》知识点

第1讲空间几何体
一、空间几何体
1、空间几何体
在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分。

如果我们只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体。

2、多面体和旋转体
多面体：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。

围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。

旋转体：由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的圭寸闭几何体，叫做旋转几何体。

这条定直线叫做旋转体的轴。

圆台+大圆锥-小圆锥
多面体
旋转体
圆台圆柱-圆锥
圆柱+圆锥
二、柱、锥、台、球的结构特征
于底面的棱柱叫
做直棱柱
正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做
正棱柱
四棱柱
三棱柱
斜棱柱直棱柱正棱柱
左边那平是正四面体.右边那亍不是正四両萍 两于都是正三棱锥
正四面悴是四千面祁是正三帝形I
正三磧链只雯底面是正三甬港，具啊面是驴嗟三角托
四棱锥 五棱锥
三棱锥
实用标准
正棱台
定义图形表示性质
定义：以矩形的一边 所在直
线为旋转轴， 其余三边旋转
形成的 曲面所围成的几何体
叫做圆柱。

定义
图形
表示
性质
以直角三角形的一条直角 边所在
直线为旋转轴，其余 两边旋转而
成的曲面所围 成的几何体叫做圆
锥。

A
用表示它的轴的字母表
示，如圆锥S0。

用表示它的轴的字母
表示，如圆柱00 1。

定义图形表示性质
用一个平行于圆锥底面的
平面去截圆锥，底面与截面之间的部分，这样的几何体叫做圆台。

用表示它的轴的字母表示，如圆台00 '
7.球的结构特征
1、球的定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称球。

（1 ）半圆的半径叫做球的半径。

（2 ）半圆的圆心叫做球心。

（3）半圆的直径叫做球的直径。

2、球的表示：用表示球心的字母表示，如球0
3、球的性质
(1)用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去截球面，截线是圆。

大圆---截面过圆心，半径等于球半径；小圆---截面不过圆心。

(2)球心和截面的圆心的连线垂直于截面。

r ' R d
(3)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r，有下面的关系：
解题方法：将立体中相关问题转化为平面几何问题
棱锥内由某些线段组成的直角三角形，在计算有关问题时很重要，它是将立体中相关问题转化为平面几何问题
的根据，如图2-7中的△AOE，△AOC，△ACE及△OCE •这四个直角三角形中，若知道AE、AC、AO、OE、OC 及CE这六条线段中的若干条时，则可以通过这些直角三角形间的关系求出其他线段.
C
圉2-7
实用标准总结
三、空间几何体的三视图和直观图
棱柱1
—棱锥1
棱台
圆柱
圆锥J
圆台
球1
L多面体
旋转体
1、中心投影与平行投影
文档
2、三视图
正视图——从正面看到的图
侧视图一一从左面看到的图
俯视图一一从上面看到的图
画物体的三视图时，要符合如下原则位置：正视图侧视图
俯视图
大小：长对正，高平齐，宽相等提亀：筒車几何体的三视闿可就括如
下：
(1XU：两择瘻和-多述黔F
(的轨台：两梆母樹两昜边形｛多边筋
相似恵顶点相连“
(4】議粒’两拯形和一叫丨
(刖U惟：两三角幣和一个诸有圖心的
圓卜
&〕圈台；荫梯形和两岡心虧*
(7)球=三牛丸小柚琴的趾
1.技巧：涨堀几何体的工视固想象体
直魄團时丫可以从熟知的峯-飙團出
嵐’想乳出直現團，再验证算他魂用
是蕎正稱.
2.技巧：崔攝兀何体的直爛團扭拿其
三视圈时*若九忖体是某一鹅卷的兀
何图母逋过分割形成的+可以将凡何
怖还原后現解.
3■技巧：同-凡何体昭三观圈•由于
/L何休就JL住亶不同*凡何悴的三视
團也不一致.
4.技巧：本题中樺料正视阳和侧褪
图知，三枚锥一条侧植与虚阳老宜・
誠合算比靦團料斯三規囹的數播徒直
观團申对应的兀啊量. 廉法«1郸二：将
三视图还廉成直观圈杲解决透类问题
的关er苴解吨技巧星豹练拿握一些简
犖几何体的三视图，想象该几何体的
构応或将三个方向获得的信息馀舍•
绘制几何图賂，然后检验其三视图是
否与已知相符合•确保无澳后再进行
计算.
提理：以三视田为我体才左兀傅体的
表面积、体技"売悅是葩够曲绘出的三
祝图連甘皓窖的分析. 賦王视脂中发
现凡何体中齐元素间的住賈黑桑及数
量关扎
重点：用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，步骤如下:
⑴在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画对应的x'轴与y'轴,
两轴交于点O',且使/x'O'y' = 45o （或135 0），它们确定的平面表示水平面•
⑵ 已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴的线段；
⑶ 已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半.
例1用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图
⑵以。

为中心，在* 在y1轴上取“职斗畑
以点M为中心M'C f平行丁*轴，并且誓J BG再以M'为中心,画
段尸T行丁火轴‘并且等丁证F-
3、直观图斜二测画法
画法：＜1）在六边形ABCDEF^*取AD所在的直线灿
轴”対称轴所在貝线环眦两轴空于点。

画相应的”
轴和轴.两轴相交尸点0：便Zx'tTy'=45\
⑶连接A'H\ W E l
F\ F*A\井撩去辅助线^轴和尸轴, 便我得止川边形AHCDEP 水平放置
的宜观图A^CIVE^'1
.
说明：1•保持平行关系不变.
2•水平长度保持不变；纵向长度取其一半.
例3用斜二测画法画长、宽、高分别是
4cm 、3cm 、2cm 的长方体 ABCD-A'BCD'
的直观图.
(1)啊轴*闹x轴,y轴，乂轴，壬轴交于点0,便厶伽-45 , 厶
少= 90*
(2)画底面.以0为中心，在兀轴上联线段\1、，使M N= 4 cm注
轴匕取线段PQ’便PQ=吊an分别过点M和N作卿|的平行线过
点P和酬区轴的半疔线股它们的交点分别为Ab C』，四边形
ABCD就是氏方形的底fflABCD
刪h光祖地何上HJ斜一團筐
怯做出拴方丼的-个嵯何
(4)成图.顺次连接丄乩C； D；井加以整理 (去掉辅助
线，將被遮描住的部分改为虚线丄就町得到长方体的直观
图.
四、空间几何体的表面积与体积
(一)空间几何体的表面积
1棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和
2圆柱的表面积S 2 r l 2 r
3圆锥的表面积S rl r2
Z
D r C
说虬平打于那的丘度和平打的
性
4圆台的表面积S rl r2 Rl R2
(町画侧棱.过儿必齐点分别作端的平行线,并在这些平疔线上分别截取2
师长的线段AA： BB；CC, DD；
2
文档
5球的表面积S 4 R
（二）空间几何体的体积
1柱体的体积V S 底h
1
2锥体的体积 V
S 底 h 3
1 ____________ 3 台体的体积
V —（ S 上 S 上 S 下 S 下 ） h
3
4
3
6扇形的面积公式S 扇形
n R 2 360
（其中I 表示弧长,
r 表示半径）
4球体的体积V R
3
2
文档
第二讲 点、直线、平面之间的位置关系
空间点、直线、平面之间的位置关系
一、平面
2、平面的基本性质
① 公理1 :
A l
B l l
A B
② 公理2 :不共线的三点确定一个平面
③ 公理3 :
P P
、点与面、直线位置关系
1、A I
2、点与直线有2种位置关系 2、B 1
三、空间中直线与直线之间的位置关系
1
、异面直线
1、A
1、点与平面有2种位置关系
2、B
定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

4、求异面直线所成角的步骤：
① 作：作平行线得到相交直线；
② 证：证明作出的角即为所求的异面直线所成的角；
③ 构造三角形求出该角。

提示：1、作平行线常见方法有：直接平移，中位线，平行四边形。

共面 异面 相交 平行
3、公理4和定理 公理4 : 1旧2
五、空间中平面与平面之间的位置关系
宀护¥方位置大糸两个平面平行两个平面相交公共点没有公共点有一条公共直线
付号表示P I a
图形表示Z0
2、异面直线所的角的范围是00,900。

直线、平面平行的判定及其性质
一、线面平行
1、判定：
b
a bP
bPa
（线线平行，则线面平行）
2、性质：
a P
a a Pb
b
（线面平行，则线线平行）
二、面面平行
1、判定：
a
b
a b P P
a P
bP
（线面平行，则面面平行）
2、性质1 :
P
I a a Pb
I b
（面面平行，则线面平行）
性质2 :
P mP m
（面面平行，则线面平行）
说明（1）判定直线与平面平行的方法：
①利用定义：证明直线与平面无公共点。

②利用判定定理：从直线与直线平行等到直线与平面平行。

③利用面面平行的性质：两个平面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。

（2）证明面面平行的常用方法
①利用面面平行的定义：此法一般与反证法结合。

②利用判定定理。

③证明两个平面垂直于同一个平面。

④证明两个平面同时平行于第三个平面。

三、线线平行、面面平行、面面平行间的关系
直线与平面垂直的判定及其性质直线与平面所成的角00 ,900
证明过程Q PO ,
A0为PA在平面上的投影，为直线I与平面所
成的角
证明过程Q BO I, AO I,
BOA是二面角-I-的平面角
三、线面垂直
1、判定：
a
b
a b A I
I a
I b
2、性质1 :
a
aPb
b
3、性质2:
a
b
四、面面垂直
1、判定：
l
l
文字表达：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

2、性质：
AB AB
AB CD
说明：（1）判定直线与平面垂直的方法:
①利用定义（可用反证法）。

②利用判定定理。

③利用性质定理。

a Pb,a b
④结合平行关系：
2）判定平面与平面垂直的方法：
①利用定义判断（证）二面角的平面角是直角。

②利用平面与平面垂直的判定定理。