函数图象的三种变换(可编辑修改word版)
函数图像变换(整理)
函数的图象变换函数图象的基本变换：(1)平移；(2)对称；(3)伸缩。
由函数y = f (x)可得到如下函数的图象1． 平移：(1)y = f (x + m) (m>0)：把函数y =f (x)的图象向左平移m 的单位（如m<0则向右平移-m 个单位）。
(2)y = f (x) + m (m>0)：把函数y =f (x)的图象向上平移m 的单位（如m<0则向下平移-m 个单位）。
2． 对称：✧ 关于直线对称(Ⅰ) (1)函数y = f (-x)与y = f (x)的图象关于y 轴对称。
(2)函数y = -f (x)与y = f (x)的图象关于x 轴对称。
(3)函数y = f (2a -x)与y = f (x)的图象关于直线x = a 对称。
(4)函数y = 2b -f (x)与y = f (x)的图象关于直线y = b 对称。
(5)函数)x (f y 1-=与y = f (x)的图象关于直线y = x 对称。
(6)函数)x (f y 1--=-与y = f (x)的图象关于直线y = -x 对称。
(Ⅱ)(7)函数y = f (|x|)的图象则是将y = f (x)的y 轴右侧的图象保留，并将y =f (x)右侧的图象沿y 轴翻折至左侧。
（留正去负，正左翻（关于y 轴对称））；(8)函数y = |f (x)|的图象则是将y = f (x)在x 轴上侧的图象保留，并将y = f (x)在x 轴下侧的图象沿x 轴翻折至上侧。
(留正去负，负上翻；)一般地：函数y = f (a+mx)与y = f (b -mx)的图象关于直线m2a b x -=对称。
✧ 关于点对称(1) 函数y = - f (-x)与y = f (x)的图象关于原点对称。
(2) 函数y = 2b -f (2a -x)与y = f (x)的图象关于点(a,b)对称。
3． 伸缩(1) 函数y = f (mx) (m>0)的图象可将y = f (x)图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的m 1倍得到。
分式函数图象(可编辑修改word版)
分式函数在我们的学习中常见到复杂的分式结构的函数式，通常采取“分离”的方法转化成两种主要类型：（1）一次分式型 f (x ) =ax + b cx + d (ad ≠ cb ) ；（2）倒数结构型 f (x ) = ax + b 。
x下面画出两种类型函数的示意图，以便从中看出函数的性质。
一、一次分式型 f (x ) = ax + b(ad ≠ cb )cx + d d a d a图象是以直线 x = - , y = c c （恰为系数之比）为渐近线的双曲线，对称中心(- 2x -1, ) ， 通c c常用代点法确定两支双曲线的位置。
例如： y = y3x + 5的图象如图所示：2 3O- 5 - 1 35y = 23x二、倒数结构型 f (x ) = ax + bx（1） a > 0 且b < 0 时，示意图如下：y- -b- b aaOx此时 f (x ) 为奇函数，分段递增， 当 x > 0(或x < 0) 时， y ∈ R（2） a > 0, b > 0 时，示意图如下：y2 aby = ax可看成以直线 y = ax 与 y 轴为渐近线的双曲线， 两个顶点 A 、B 可由不等式中的均值定理确定， 此时 f (x ) 的单调性、奇偶性、定义域与值域、 对称性可从图中看出结论。
Ob xaB注意：当 a < 0, b > 0 时或 a < 0, b < 0 时，可转化为上述两种。
函数图象的四大变换
y y
x
x
x
x
A
B
C
D
解析：由f(x)g(x)是偶函数否定A、D， 当x→±∞时，f(x)g(x) →－∞，故选C.
2、画函数图象，由图象求解析式
例2 已知函数y=f (x)是在R上以2为周期的奇函数，在区 间［0,1）上的图象如下图所示，并已知该区间上图象是 一个二次函数的图象的一部分，点(1,1)是其顶点.试作出 y=f (x)在区间［－2,2］上的图象，并求该区间上的解析式.
. .
-1
-1
-1
.
1
2
.
X
-2
. . . . .
1 -1 1 -1
2
2
X
C
D
分析：根据y=F(x)= xf `(x)的图象，得F(1)＝ f `(1)＝0， F（－1）＝ － f `(－ 1)＝0， ∴ f `(1)＝ f `(－ 1)＝0， ∴ x＝1和x= － 1是f (x)的极值点.故选C. Y 提问：本例除了从图形获取有效信息： 2 .1 f `(1)＝ f `(－ 1)＝0之外， .-2 -1. .1 还能获取什么有效信息？ -1. ［注：如1＜x<2时，xf `(x)＞0，∴ f `(x) ＞0，
（1）f(x-1)=(x-1)2 （2）f(x+1)=(x+1)2 （3）f(x)+1=x2+1 （4）f(x) -1=x2-1
y=f(x+1) 1 -1 O y=f(x)-1-1 1 y=f(x-1)
x
函数图象的平移变换：
左右平移 （a>0） 上下平移 (a>0)
y=f(x) y=f(x) y=f(x) y=f(x)
函数图像的变换法则
（ 0,1 ）和（ 0,1 ） （ 2,0 ）和（ 2， 2 ）
三﹑对称变换
y
(-x,y) .
(-x,-y) .
(y,x) . .(x,y)
x
.(x,-y)
函数图象对称变换的规律:
1. y f ( x) y f ( x)
关于x轴对称
2. y f ( x) y f ( x)
函数图象变换的应用:
①作图﹑② 识图﹑ ③用图
(2)方程 f(x)－a＝x 的根的个数等价于 y＝f(x)与 y＝x－a 的交点的个数，所以可以借助图像进行分析．
规范解答 解
2 x－2 －1， x∈－∞，1]∪[3，＋∞ f(x)＝ 2 －x－2 ＋1， x∈1，3
作出图像如图所示．
[2 分]
(1)递增区间为[1,2]，[3，＋∞)， 递减区间为(－∞，1]，[2,3]． [4 分] (2)原方程变形为 |x2－4x＋3|＝x＋a， 于是，设 y＝x＋a，在同一坐标系下再作出 y＝x＋a 的图 像．如图． 则当直线 y＝x＋a 过点(1,0)时，a＝－1； [6 分]
a a
1 x
a
a ax a a a
x
ax a ax
1 y 1
a a a
x
a
x
x
a a
f (1 x)
所以，函数y=f(x)的图象关于点（1/2,1/2）对称
（2）由对称性知f(1-x)+f(x)=1,所以 f(-2)+ f(-1)+ f(0)+ f(1)+ f(2)+ f(3)=3。
对称变换是指两个函数图象之间的对称关系,而”满足 f(x)= f(2a-x)或f(a+x)= f(a-x)有y=f(x)关于直线x=a对称”是 指一个函数自身的性质属性,两者不可混为一谈.
函数图像的变换(周期,平移,对称)
函数的变换（平移，对称，翻折，周期）【自主梳理】1．() (0)y f x a a =+>的图象可由()y f x =的图象向 平移单位而得到．() (0)y f x a a =->的图象可由()y f x =的图象向 平移单位而得到． 2．() (0)y f x b b =+>的图象可由()y f x =的图象向 平移单位而得到．() (0)y f x b b =->的图象可由()y f x =的图象向 平移单位而得到． 3．() (0)y Af x A =>的图象可由()y f x =图象上所有点的纵坐标变为 ，不变而得到．4．() (0)y f ax a =>的图象可由()y f x =图象上所有点的横坐标变为 ，不变而得到． 【自我检测】1．若()f x 的图象过(0,1)点，则(1)f x +的图象过点 ． 2．函数2xy =的图象向右平移2个单位所得函数解析式为 ． 3．将函数lg()y x =-的图象 可得函数lg(1)y x =-+的图象．4．函数xy x a =-+的图象的对称中心为(1,1)--，则a = ． 5．将函数1cos 2y x =图象的横坐标缩短到原来的21倍，纵坐标扩大为原来的2倍，所得函数解析式为 ． 6．为了得到函数3lg10x y +=的图象，只需把函数lg y x =的图象上所有的点向左平移 个单位长度，再向 平移个单位长度． 二、课堂活动： 【例1】填空题：（1）设函数()y f x =图象进行平移变换得到曲线C ，这时()y f x =图象上一点(2,1)A -变为曲线C 上点(3,3)A '-，则曲线C 的函数解析式为．（2）如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是．（3）要得到函数sin(2)3y x π=-的图象，只需将函数cos2y x =的图象． （4）若函数()2sin y x θ=+的图象按向量(,2)6π平移后，它的一条对称轴是4x π=，则θ的一个可能的值是．【例2】作出下列函数的图象．（1）12x y -= （2）211x y x +=-【例3】（1）函数()24log 12y x x =-+的图象经过怎样的变换可得到函数2log y x =的图象？（2）函数21cos cos 12y x x x =+⋅+的图象可由sin y x =的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？【自主梳理】1．（1）函数()y f x =-与()y f x =的图像关于 对称； （2）函数()y f x =-与()y f x =的图像关于对称；（3）函数()y f x =--与()y f x =的图像关于 对称． 2．奇函数的图像关于对称，偶函数图像关于对称．3．若对于函数()y f x =定义域内的任意x 都有()()f a x f b x +=-，则()y f x =的图像关于直线 对称． 4．对0a >且1a ≠，函数xy a =和函数log a y x =的图象关于直线对称．5．要得到()y f x =的图像，可将()y f x =的图像在x 轴下方的部分以为轴翻折到x 轴上方，其余部分不变．6．要得到()y f x =的图像，可将()y f x =，[)0,x ∈+∞的部分作出，再利用偶函数的图像关于的对称性，作出(),0x ∈-∞时的图像．3．函数y e =-的图象与函数 的图象关于坐标原点对称．4．将函数1()2x f x +=的图象向右平移一个单位得曲线C ，曲线C '与曲线C 关于直线y x =对称，则C '的解析式为 ．5．设函数()y f x =的定义域为R ，则函数(1)y f x =-与(1)y f x =-的图像的关系为关 于 对称． 6．若函数()f x 对一切实数x 都有(2)(2)f x f x +=-，且方程()0f x =恰好有四个不同实根，求这些实根之和为 ． 二、课堂活动：（1（2）对于定义在R 上的函数()f x ，有下列命题，其中正确的序号为．①若函数()f x 是奇函数，则(1)f x -的图象关于点(1,0)A 对称；②若对x R ∈，有(1)(1)f x f x +=-，则()y f x =的图象关于直线1x =对称；③若函数(1)f x -的图象关于直线1x =对称，则函数()f x 是偶函数；④函数(1)y f x =+与函数(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称．（3）将曲线lg y x =向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到曲线C ．如果曲线C '与C 关于原点对称，则曲线C '所对应的函数式是．【例2】作出下列函数的图象：（1）12log ()y x =-；（2）12xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（3）2log y x =；（4）21y x =-．【例3】（1）将函数12log y x =的图象沿x 轴向右平移1个单位，得图象C ，图象C '与C 关于原点对称，图象C ''与C '关于直线y x =对称，求C ''对应的函数解析式； （2）已知函数()y f x =的定义域为R ，并且满足(2)(2)f x f x +=-．①证明函数()y f x =的图象关于直线2x =对称；②若()f x 又是偶函数，且[]0,2x ∈时，()21f x x =-,求[]4,0x ∈-时()f x 的表达式．一.周期函数的定义：设函数y=f(x)的定义域为D ，若存在常数T ≠0，使得对一切x ∈D ，且x+T ∈D 时都有f(x+T)=f(x)，则称y=f(x)为D 上的周期函数，非零常数T 叫这个函数的周期。
函数图像变换公式大全
函数图像变换公式大全(总5页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--蕾博士函数图像变换公式大全一、点的变换.设),(00y x P ，则它（1）关于x 轴对称的点为),(00y x -；（2）关于y 轴对称的点为),(00y x -；（3）关于原点对称的点为),(00y x --；（4）关于直线x y =对称的点为),(00x y ；（5）关于直线x y -=对称的点为),(00x y --；（6）关于直线b y =对称的点为)2,(00y b x -；（7）关于直线a x =对称的点为),2(00y x a -；（8）关于直线a x y +=对称的点为),(00a x a y +-;（9）关于直线a x y +-=对称的点为),(00x a a y -+-;（10）关于点),(b a 对称的点为)2,2(00y b x a --；（11）按向量),(b a 平移得到的点为),(00b y a x ++.二、曲线的变换.曲线0),(=y x F 按下列变换后所得的方程：(1)按向量),(b a 平移，得到0),(=--b y a x F ；(2)关于x 轴对称，得到0),(=-y x F ；(3)关于y 轴对称，得到0),(=-y x F ；(4)关于原点对称，得到0),(=--y x F ；(5)关于直线a x =对称，得到0),2(=-y x a F ；(6)关于直线b y =对称，得到0)2,(=-y b x F ；(7)关于点),(b a 对称，得到0)2,2(=--y b x a F ；(8)关于直线x y =对称，得到0),(=x y F ；(9)关于直线a x y +=对称，得到0),(=+-a x a y F ；(10)关于直线a x y +-=对称，得到0),(=-+-y a a x F ；(11)纵坐标不变横坐标变为原来的a 倍，得到方程0),(=y ax F ； (12)横坐标不变纵坐标变为原来的b 倍，得到方程0),(=by x F三、两个函数的图象对称性1:左右平移:)(a x f y ±=（0>a ）的图像可由)(x f y =的图像向左（+）或向右（—）平移a 个单位而得到；)(a mx f y ±=（0,0>>a m ）的图像可由)(mx f y =的图像向左（+）或向右（—）平移ma 个单位而得到; 2.上下平移：）（0)(>±=b b x f y 的图像可由)(x f y =的图像向上（+）或向下（—）平移b 个单位而得到；3. )(x f y -=的图像与)(x f y =的图像关于y 轴对称；换句话说：)(x f y =与)(x g y =若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=x 对称。
函数图像的变换规律
函数图像的变换规律函数图像的变换是数学中的重要概念，它描述了函数在坐标平面上的图像如何发生移动、伸缩和翻转等变化。
这些变换规律不仅在数学中有广泛应用，也在物理、经济等其他领域有着重要的意义。
本文将从平移、伸缩和翻转三个方面介绍函数图像的变换规律，并通过实例加以说明。
一、平移变换平移变换是指函数图像在坐标平面上沿着横轴或纵轴方向移动的操作。
对于一般的函数y=f(x)，如果将x坐标增加或减少一个常数a，那么对应的函数图像将向左平移a个单位；类似地，如果将y坐标增加或减少一个常数b，函数图像将向上或向下平移b个单位。
例如，考虑函数y=x^2的图像。
如果将x坐标增加2个单位，那么函数图像将向左平移2个单位；如果将y坐标减少3个单位，函数图像将向下平移3个单位。
这种平移变换可以用以下公式描述：平移后的函数图像：y=f(x-a)或y-a=f(x)二、伸缩变换伸缩变换是指函数图像在坐标平面上沿着横轴或纵轴方向发生扩张或压缩的操作。
对于一般的函数y=f(x)，如果将x坐标乘以一个常数m，那么对应的函数图像将在横轴方向上缩放为原来的1/m倍；类似地，如果将y坐标乘以一个常数n，函数图像将在纵轴方向上缩放为原来的1/n倍。
例如，考虑函数y=sin(x)的图像。
如果将x坐标乘以2，那么函数图像在横轴方向上缩放为原来的1/2倍；如果将y坐标乘以3，函数图像在纵轴方向上扩张为原来的3倍。
这种伸缩变换可以用以下公式描述：伸缩后的函数图像：y=f(mx)或y=1/n*f(x)三、翻转变换翻转变换是指函数图像在坐标平面上关于某一直线对称的操作。
对于一般的函数y=f(x)，如果将x关于直线x=a进行对称，那么对应的函数图像将在直线x=a处翻转；类似地，如果将y关于直线y=b进行对称，函数图像将在直线y=b处翻转。
例如，考虑函数y=1/x的图像。
如果将x关于直线x=1进行对称，那么函数图像将在直线x=1处翻转；如果将y关于直线y=2进行对称，函数图像将在直线y=2处翻转。
函数图像的变换Microsoft Word 文档
函数图像的变换的基本方
法
1、平移变换：
（1）将函数y=f(x)的图象向左平移a个单位得
函数y=f(x+a)的图象；（2）将函数y=f(x)的图象向右平移a个单位得
函数y=f(x－a)的图象；（3）将函数y=f(x)的图象向上平移b个单位得
函数y=f(x)+b的图象；（4）将函数y=f(x)的图象向下平移b个单位得
函数y=f(x)－b的图象；简记为“左加（+）右减（－），上加（+）下减（－）”
2、对称变换
（1）函数y=f(x)与函数y=f(－x)的图象关于
x=0直线即y轴对称；（2）函数y=f(x)与函数y=－f(x)的图象关于直
线Y=0即X轴对称；（3）函数y=f(x)与函数y=－f(－x)的图象关于
原点对称；
3、翻折变换
（1）函数y=︱f(x)︱的图象可以将函数y=f(x)
的图象位于X轴下方的
部分沿X轴翻折到X轴
上方，去掉原X轴下方
部分，并保留y=f(x)上
方部分的图象即可得
到；
（2）函数y=f(︱x︱)的图象可以将函数y=f(x)
的图象Y轴右边的部分
翻折到Y轴左边替代原
来Y轴左边部分并保留
y=f(x)在Y轴右边部分
图象即可得到；。
函数的图像及其变换
的图像可由y＝f(x)的图像向上平移b个单位 而得到．总之， 对于平移变换，记忆口诀为：左加右减，上加下减．
(2)对称变换 y＝f(－x)与y＝f(x)的图像关于 y轴 y＝－f(x)与y＝f(x)的图像关于 x轴 对称； 对称； 对称；
y＝－f(－x)与y＝f(x)的图像关于 原点
y＝|f(x)|的图像可将y＝f(x)的图像在x轴下方的部分
AD，当点C落在X轴上时，h′＝CF，显然AD＝CF，即 当“中心点”M位于最高处时，“最高点”与X轴的距离 相等，选项B不符，故选A.
【答案】 A
·高中总复习（第1轮）·理科数学 ·全国版
立足教育 开创未来
► 探究点3 判断、证明函数的单调性 题型三：函数图象的应用及对称问题 3. 已知f(x)=| x2 -4x+3|. (1)求f(x)的单调区间; (2)求m的取值范围， 使方程f(x)=mx有4个不同实根.
方法二 y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图像分别由y＝f(x) 与y＝f(－x)的图像同时向右平移一个单位而得，又y＝f(x) 与y＝f(－x)的图像关于y轴对称． ∴y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图像关于直线x＝1对 称．
【答案】 (1)g(x)＝－ln(x－1) (2)D
变式
(1)已知函数 f(2x＋1)是奇函数， 则函数 y＝f(2x) )
【解析】 如图所示，不妨设正三角形ABC的边长 为a，记“中心点”M与X轴的距离为h，记“最高点”与 X轴的距离为h′.由图可知，当三段弧的中点落在X轴上 时，h最小，此时h＝MD；当点A、B、C落在X轴上时， h最大，h＝MC，故“中心点”M的位置先低后高，呈周 期性变化，排除选项C与D.当点D落在X轴上时，h′＝
(完整版)三角函数公式和图像大全(可编辑修改word版)
初等函数的图形幂函数的图形指数函数的图形各三角函数值在各象限的符号sinα·cscαcosα·secαtanα·cotα三角函数的性质x≠kπ+,k ∈2［-1，1］x=2kπ+2时 y max =1x=2kπ-时 y min =-12在［2kπ-,2kπ+2 2 ］上都是增函数；在［2kπ+ ,2kπ+ 2π］2 3上都是减函数(k ∈Z)在(kπ-，kπ+ 2)内都是增函 2数(k ∈Z)反三角函数的图形反三角函数的性质y=sinx(x∈〔-,2〕的反函数，2叫做反正弦函数，记作x=arsiny y=tanx(x∈(- ,2 )的反函数，叫2做反正切函数，记作x=arctanyarcsinx 表示属于［-,］2 2且正弦值等于x 的角arctanx 表示属于(-,)，且正切2 2值等于x 的角［-，］2 2 (-，) 2 2sin(arcsinx)=x(x ∈［-1，1］)arcsin(sinx)= x(x∈［-,］)2 2 tan(arctanx)=x(x ∈R)arctan(tanx)=x （x∈(-,)）2 2arcsinx+arccosx=(x∈［-1,1］)2arctanx+arccotx=(X∈R)2三角函数公式两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B) = tanA + tanB1- tanAtanBtan(A-B) = tanA - tanB1+ tanAtanBcot(A+B) = cotAcotB-1cotB +c otAcot(A-B) = cotAcotB +1 cotB - cotA倍角公式tan2A = 2tanA1- tan 2ASin2A=2SinA•CosACos2A = Cos2A-Sin2A=2Cos2A-1=1-2sin2A 三倍角公式sin3A = 3sinA-4(sinA)3cos3A = 4(cosA)3-3cosAtan3a = tana··tan( +a)3tan( -a)3sin( A )= 2cos( A)= 2tan( A )= 2 cot( A)= 2 tan( A )= 1- c os A =sin A2 sin A 1+ cos A和差化积sina+sinb=2sin a + bcosa - b22 sina-sinb=2cosa + bsin a - b2 2 cosa+cosb = 2cos a + b cos a - b2 2 cosa-cosb = -2sin a + b sin a - b2 2tana+tanb= sin(a + b )cos a cos b积化和差1sinasinb = - [cos(a+b)-cos(a-b)]2 cosacosb = sinacosb = cosasinb = 1[cos(a+b)+cos(a-b)]2 1[sin(a+b)+sin(a-b)]2 1[sin(a+b)-sin(a-b)]21- cos A2 1+ cos A 2 1- cos A 1+ cos A 1+ cos A 1- cos Asin(-a) = -sina cos(-a) = cosa s i n ( -a) = cosa 2 c o s ( -a) = sina 2 s i n ( +a) = cosa2c o s ( +a) = -sina 2sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosatgA=tanA = sin acos a万能公式2 tan asina=2 1+ (tan a )22 1- (tan a )2cosa=2 1+ (tan a )22 2 tan atana=2 1- (tan a )22(a 2+ b2 )(a 2+ b2 ) tanc= ]tan(c)= ]其它公式a•sina+b•cosa=×sin(a+c) [其中b aa•sin(a)-b•cos(a) =×cos(a-c) [其中a ba a21+sin(a) =(sin +cos )2 2a a21-sin(a) = (sin -cos )2 2其他非重点三角函数csc(a) = sec(a) = 1sin a1cos a 双曲函数sinh(a)= e a - e-a 2cosh(a)= e a + e-a2tg h(a)= sinh(a)cosh(a)公式一设α 为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）= sinαcos（2kπ＋α）= cosαtan（2kπ＋α）= tanαcot（2kπ＋α）= cotα设α 为任意角，π+α 的三角函数值与α 的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）= -sinαcos（π＋α）= -cosαtan（π＋α）= tanαcot（π＋α）= cotα公式三任意角α 与-α 的三角函数值之间的关系：sin（-α）= -sinαcos（-α）= cosαtan（-α）= -tanαcot（-α）= -cotα公式四利用公式二和公式三可以得到π-α 与α 的三角函数值之间的关系：sin（π-α）= sinαcos（π-α）= -cosαtan（π-α）= -tanαcot（π-α）= -cotα公式五利用公式-和公式三可以得到2π-α 与α 的三角函数值之间的关系：sin（2π-α）= -sinαcos（2π-α）= cosαtan（2π-α）= -tanαcot（2π-α）= -cotαA 2 +B 2 + 2 A B cos(⋅) t + arcsin[(Asin + Bsin )A 2 +B 2 + 2 A B c os(⋅)±α 及 3±α 与 α 的三角函数值之间的关系：2 2sin （ +α）= cosα 2cos （ +α）= -sinα 2tan （ +α）= -cotα 2cot （ +α）= -tanα 2sin （ -α）= cosα 2cos （ -α）= sinα 2tan （ -α）= cotα 2cot （ -α）= tanα 2 sin （ 3+α）= -cosα 2 cos （ 3+α）= sinα 2 tan （ 3+α）= -cotα 2 cot （ 3+α）= -tanα 2 sin （ 3-α）= -cosα 2 cos （ 3-α）= -sinα 2 tan （ 3-α）= cotα 2 cot （ 3-α）= tanα2(以上 k ∈Z)这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 A•sin(ωt+θ)+ B•sin(ωt+φ) = ×sin三角函数公式证明（全部）公式表达式乘法与因式分解a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 三角不等式|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a|≤b<=>-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a -b-b+√(b2-4ac)/2a根与系数的关系X1+X2=-b/aX1*X2=c/a注：韦达定理判别式b2-4a=0 注：方程有相等的两实根b2-4ac>0 注：方程有一个实根b2-4ac<0 注：方程有共轭复数根三角函数公式两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB某些数列前 n 项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：其中R 表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB注：角B 是边 a 和边 c 的夹角正切定理[(a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]}圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0抛物线标准方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py直棱柱侧面积S=c*h斜棱柱侧面积S=c'*h正棱锥侧面积S=1/2c*h'正棱台侧面积S=1/2(c+c')h'圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l球的表面积S=4pi*r2圆柱侧面积S=c*h=2pi*h圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式l=a*ra 是圆心角的弧度数r >0扇形面积公式s=1/2*l*r锥体体积公式V=1/3*S*H圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积V=S'L注：其中,S'是直截面面积，L 是侧棱长柱体体积公式V=s*h圆柱体V=pi*r2h。
三角函数图像变换总结
三角函数图像变换总结三角函数是高中数学中非常重要的一个概念，它在几何、物理、工程等领域中有着广泛的应用。
在学习三角函数时，我们经常会接触到三角函数的图像变换。
图像变换是指通过对原始函数的一系列操作，得到一个新的函数的过程。
一、平移变换平移变换是指将函数的图像沿着横轴或纵轴方向平移一定的距离。
当我们将函数沿着横轴平移时，可以通过将自变量加上一个常数来实现。
例如，若将函数f(x)沿着横轴向右平移a个单位，则新函数为f(x-a)。
同样，当我们将函数沿着纵轴平移时，可以通过将因变量加上一个常数来实现。
二、伸缩变换伸缩变换是指通过改变函数的自变量或因变量的取值范围来改变函数的图像形状。
当我们将函数的自变量进行伸缩时，可以通过改变自变量的比例系数来实现。
例如，若将函数f(x)的自变量x进行伸缩，新函数为f(kx)，其中k是一个正常数。
当k 大于1时，函数图像会水平压缩；当0<k<1时，函数图像会水平拉伸。
同样，我们可以将函数的因变量进行伸缩，通过改变因变量的比例系数来实现。
三、翻折变换翻折变换是指通过改变函数的自变量或因变量的正负号来改变函数的图像形状。
当我们将函数的自变量进行翻折时，可以通过将自变量取相反数来实现。
例如，若将函数f(x)的自变量进行翻折，新函数为f(-x)。
同样，我们可以将函数的因变量进行翻折，通过将因变量取相反数来实现。
四、迭加变换迭加变换是指将多个变换效果叠加在一起，从而得到一个新的函数的图像。
例如，我们可以将平移、伸缩和翻折等变换操作应用于原始函数，得到一个经过多次变换的新函数的图像。
通过迭加变换，我们可以获得更加丰富多样的函数图像。
总结起来，三角函数的图像变换是通过对函数的自变量和因变量进行平移、伸缩、翻折等操作来改变函数的图像形状。
通过合理地应用这些图像变换，我们可以更好地理解和应用三角函数，并在解决实际问题时提供便利。
因此，掌握三角函数的图像变换是非常重要的数学技能之一，也是我们在数学学习中需要重点关注和掌握的内容之一。
函数图像变换知识点总结
函数图像变换知识点总结一、基本概念1. 函数图像的平移函数图像的平移是指将原函数图像沿横轴或纵轴方向平移一定的距离。
平移的方向和距离可以是正数也可以是负数。
- 沿横轴方向平移：对于函数y=f(x)，如果在横轴方向上平移了a个单位，新函数表示为y=f(x-a)。
- 沿纵轴方向平移：对于函数y=f(x)，如果在纵轴方向上平移了b个单位，新函数表示为y=f(x)+b。
2. 函数图像的伸缩函数图像的伸缩是指将原函数图像沿横轴或纵轴方向进行拉伸或压缩。
伸缩的方向和比例可以是正数也可以是负数。
- 沿横轴方向伸缩：对于函数y=f(x)，如果在横轴方向上进行了伸缩，新函数表示为y=f(kx)。
- 沿纵轴方向伸缩：对于函数y=f(x)，如果在纵轴方向上进行了伸缩，新函数表示为y=kf(x)。
3. 函数图像的翻转函数图像的翻转是指对原函数图像进行镜像操作，可以分为关于横轴翻转和关于纵轴翻转两种情况。
- 关于横轴翻转：对于函数y=f(x)，进行横轴翻转后，新函数表示为y=-f(x)。
- 关于纵轴翻转：对于函数y=f(x)，进行纵轴翻转后，新函数表示为y=f(-x)。
二、函数图像变换的特点1. 平移：平移不改变函数的基本形状，只是改变了函数的位置；2. 伸缩：伸缩可以改变函数的斜率和幅度，但不改变函数的形状；3. 翻转：翻转改变了函数的整体形状，使得原函数变为其镜像；4. 组合变换：可以将多种变换进行组合，得到更复杂的函数图像变换。
三、函数图像变换的应用函数图像变换不仅仅是数学中的一种抽象概念，还可以应用到具体的问题中，如物理、经济等领域。
1. 物理问题：在物理学中，函数图像变换可以用来描述物体的运动、变形等。
例如，对于速度-时间图像，进行平移可表示物体的起始位置不同；进行伸缩则可以描述加速度的变化；进行翻转可以描述反向运动等情况。
2. 经济问题：在经济学中，函数图像变换可以用来描述经济模型的变化。
例如，对于需求-价格图像，进行平移可以表示需求量或价格的变化；进行伸缩可以描述需求的弹性；进行翻转可以描述替代品或补充品的关系等情况。
函数图像的三种变换
函数图像的三种变换函数在中学数学及大学数学中都是极其重要的内容，函数思想是解决函数问题的理论源泉; 函数的性质是解决函数问题的基础，而函数的图象则是函数性质的具体的直观的反应。
在高中阶段函数图象的变化方式主要有以下三种：一 、平移变换函数图象的平移变换，表现在函数图象的形状不变，只是函数图象的相对位置在变化，其平移方式可分为以下两种：1、 沿水平方向左右平行移动比如函数)(x f y =与函数)0)((>-=a a x f y ，由于两函数的对应法则相同，x a x 与-取值范围一样，函数的值域一样。
以上三条决定了函数的形状相同，只是函数的图象在水平方向的相对位置不同，如何将函数)(x f y =的图象水平移动才能得到函数)0)((>-=a a x f y 的图象呢？因为对于函数)(x f y =上的任意一点（11,y x ），在)(a x f y -=上对应的点为),(11y a x +，因此若将)(x f y =沿水平方向向右平移a 个单位即可得到)0)((>-=a a x f y 的图象。
同样，将)(x f y =沿水平方向向左平移a 个单位即可得到)0)((>+=a a x f y 的图象。
2、沿竖直方向上下平行移动比如函数)(x f y =与函数)0()(>+=b b x f y ，由于函数)(x f y =函数)0)((>=-b x f b y 中函数y 与b y -的对应法则相同，定义域和值域一样，因此两函数形状相同，如何将函数)(x f y =的图象上下移动得到函数)(x f b y =-的图象呢？因为对于函数)(x f y =上的任意一点（11,y x ），在)0)((>=-b x f b y 上对应的点为),(11b y x +，因此若将)(x f y =沿竖直方向向上平移a 个单位即可得到)0)((>=-b x f b y 的图象。
函数图像的变换及应用
函数图像的变换及应用函数图像的变换指的是通过对函数图像进行一系列的操作，使得原函数图像在坐标系中发生平移、伸缩、翻折等变化，从而得到新的函数图像。
这些变换可以通过改变函数的参数或者利用一些特定的变换公式来实现。
函数图像的变换有很多种，下面列举几种常见的变换及其应用：1. 平移变换：平移变换是将函数图像在坐标系上沿着横轴或者纵轴方向进行移动。
对于函数y=f(x)，平移变换可以表示为y=f(x-a)+b，其中a表示横向平移的距离，b表示纵向平移的距离。
平移变换的应用场景有很多，例如对于温度变化的曲线图，可以通过平移变换来调整图像在时间轴上的位置，实现对曲线的观察和比较。
2. 伸缩变换：伸缩变换是改变函数图像的尺度，使得函数图像的宽度或者高度发生变化。
对于函数y=f(x)，伸缩变换可以表示为y=a*f(bx)，其中a控制纵向的伸缩比例，b控制横向的伸缩比例。
伸缩变换可以用来调整图像的大小，使得函数曲线更加清晰或者适应特定的分析需求。
3. 翻折变换：翻折变换是将函数图像沿着坐标轴进行翻转。
对于函数y=f(x)，翻折变换可以表示为y=-f(x)（沿着x轴翻折）或者y=f(-x)（沿着y轴翻折）。
翻折变换可以用来分析函数的对称性质，例如判断函数是否关于x轴或者y轴对称。
4. 拉伸变换：拉伸变换是通过改变函数图像的形状来实现对函数的变换。
拉伸变换可以是横向拉伸或者纵向拉伸。
对于函数y=f(x)，横向拉伸可以表示为y=f(cx)，纵向拉伸可以表示为y=c*f(x)，其中c是大于1的常数。
拉伸变换可以用来调整图像的形状，使得函数曲线更加符合实际情况或者更容易进行分析。
5. 压缩变换：压缩变换与拉伸变换相反，是通过改变函数图像的形状来实现对函数的变换。
压缩变换可以是横向压缩或者纵向压缩。
对于函数y=f(x)，横向压缩可以表示为y=f(x/c)，纵向压缩可以表示为y=(1/c)*f(x)，其中c是大于1的常数。
压缩变换可以用来调整图像的形状，使得函数曲线更加符合实际情况或者更容易进行分析。
函数图象的变换PPT
水平平移是指函数图像在水平方向上移动一定的距离。
详细描述
水平平移不改变函数的值，只是改变了图像的位置。对于函数y=f(x)，若图像向 右平移a个单位，则新的函数为y=f(x-a)；若图像向左平移a个单位，则新的函 数为y=f(x+a)。
垂直平移
总结词
垂直平移是指函数图像在垂直方向上移动一定的距离。
函数图象的变换
• 函数图象变换概述 • 平移变换 • 伸缩变换 • 翻折变换 • 旋转变换 • 应用实例
01
函数图象变换概述
函数图象变换的定义
01
函数图象变换是指通过平移、伸 缩、翻转等几何变换操作，改变 函数图象的位置、形状和大小。
02
这些变换操作可以通过代数表达 式或矩阵变换来实现，使得函数 图象在坐标系中按照特定的规则 进行移动、旋转和缩放。
详细描述
当函数图像在y轴方向上伸缩时，其形状和大小会发生变化，但x轴上的比例保持不变。例如，将函数y=f(x)的图 像在y轴方向上放大2倍，得到新的函数y=2f(x)。
斜向伸缩
要点一
总结词
斜向伸缩是指同时沿x轴和y轴方向对函数图像进行放大或 缩小。
要点二
详细描述
当函数图像在x轴和y轴方向上同时伸缩时，其形状和大小 会发生变化，x轴和y轴上的比例都会改变。例如，将函数 y=f(x)的图像在x轴方向上放大2倍，在y轴方向上放大3倍 ，得到新的函数y=3f(2x)。
逆时针旋转
总结词
当函数图像按照逆时针方向旋转时，其形状和大小也不会发生变化，同样只是位置发生 了移动。
详细描述
与顺时针旋转相反，当函数图像按照逆时针方向旋转一定的角度时，每个点的坐标同样 会发生变化，但方向是远离原点。同样地，这种变化也可以用三角函数的性质来描述。
函数图像的变换课件
向右平移
总结词
图像沿x轴正方向移动
数学表达式
y=f(x-a)
详细描述
对于函数y=f(x)，若图像向右平移a个单位，则新的函数 解析式为y=f(x-a)。
举例
函数y=cos(x)的图像向右平移π/2个单位后，得到新的函 数y=cos(x-π/2)，其图像与原图像相比沿x轴正方向移动 了π/2个单位。
双向伸缩
总结词
同时改变x轴和y轴的长度。
详细描述
当函数图像在x轴和y轴方向上都发生伸缩时，x轴和y轴的长度都会发生变化。这 种变换可以通过将函数中的x和y都替换为其倍数来实现，例如将f(2x)/3替换为 f(x)会使x轴压缩为原来的一半，同时y轴拉伸为原来的三倍。
04
函数图像的旋转变换
逆时针旋转
关于y轴对称
总结词
函数图像关于y轴对称时，图像在y轴两侧对称分布，x值 不变，y值相反。
详细描述
当一个函数图像关于y轴对称时，图像在y轴两侧呈现出 对称分布的特点。这意味着对于任意一个点$(x, y)$在图 像上，关于y轴对称的点$(x, -y)$也在图像上。这种对称 变换不会改变x值，只是将y值取反。例如，函数$f(x) = x^3$的图像关于y轴对称，因为$f(-y) = (-y)^3 = -y^3 = -f(y)$。
任意角度旋转
总结词
任意角度旋转是指将函数图像按照任意角度进行旋转。
详细描述
任意角度旋转函数图像是指将图像上的每个点都按照任意指定的角度进行旋转。这种旋转可以通过参数方程或极 坐标系来实现，其中参数方程为$x = x cos theta - y sin theta$，$y = x sin theta + y cos theta$，极坐标系 下的表示为$x = r cos theta$，$y = r sin theta$。
高中数学课程内容主线——函数(可编辑修改word版)
高中数学课程内容主线（一）——函数主线20 世纪初，在英国数学家贝利和德国数学家克莱因等人的大力倡导和推动下，函数进入了中学数学。
克莱因提出了一个重要的思想——以函数概念和思想统一数学教育的内容，他认为：“函数概念，应该成为数学教育的灵魂。
以函数概念为中心，将全部数学教材集中在它周围，进行充分地综合。
”高中数学课程设计中，把函数作为贯穿整个高中数学课程始终的主线，这条线将延续到大学的数学中，我们知道，大学几乎所有的专业都开设了高等数学，有文科的高等数学，有工科的高等数学，在数学系中，有数学与应用数学专业、信息与计算专业、统计数学专业，这些专业开设了不同高等数学内容的课程，虽然，不同的专业开设不同的高等数学课程，但是，函数是这些高等数学课程的一条主线，在数学系课程中，尤显突出，例如，数学分析、复变函数、实变函数、常微分方程、偏微分方程、泛函分析等等，这些课程都是把函数作为研究对象。
函数、映射不仅是数学的基本研究对象，它们的思想渗透到几乎每一个数学分支。
在高中阶段，如何认识函数的作用？如何把握函数的内容？如何进行函数的教学？学生学完高中课程，在函数的学习中，应留下什么？每一个高中数学教师都应该认真思考这些问题。
1.对函数的认识（1）函数是刻画变量与变量之间依赖关系的模型把函数看作是刻画变量与变量之间依赖关系的模型，通过探索，理解可以用变量与变量之间的依赖关系反映自然规律，这是我们认识现实世界的重要视角。
在现实生活中，在其他学科中，有些变量和变量之间没有依赖关系，例如，一般地说，速度和湿度就没有依赖关系；有些变量和变量之间存在着依赖关系，一个量的变化引起另一个变量的变化。
例如，在物理中刻画物体运动时，路程随着时间的变化而变化。
又如，世界人口数量是随着时间的变化而变化的。
这些对象的变量之间都有着密切的依赖关系，而且，这种变量之间的依赖关系具有一个突出的特征，即当一个变量取定一个值时，依赖于这个变量的另一个变量具有唯一确定的值。
(完整word版)函数y=Asin(ωx+φ)的图象及性质
函数y＝A sin（ωx＋φ）的图象及性质韩忠刚考试目标1．考查正弦函数y＝A sin（ωx＋φ）的图象变换．2．考查y＝A sin（ωx＋φ)的性质及应用．考点梳理1．“五点法”作函数y＝A sin(ωx＋φ)（A>0，ω〉0)的简图“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个交点，作图时的一般步骤为：(1)定点：先确定五点．即令ωx＋φ分别等于0，错误!,π,错误!,2π，得对应的五点为－错误!，错误!，错误!，错误!，错误!.(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y＝A sin(ωx＋φ）在一个周期内的图象．（3)扩展：1、将所得图象，按周期向两侧扩展可得y＝A sin(ωx＋φ）在R上的图象．2、定区间的“五点法”作图。
2．三角函数图象的变换3．函数y＝A sin(ωx＋φ）的物理意义当函数y＝A sin(ωx＋φ)(A〉0，ω>0,x∈［0，＋∞）)表示一个振动时，A叫做振幅，T＝错误!叫做周期，f＝错误!叫做频率，ωx＋φ叫做相位，φ叫做初相．注意点:1、（1）列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为错误!，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标．（2）定区间的“五点法”作图要注意范围内的特殊角的取值和端点值2、图象变换有两条路径，在解题中,一般采用先平移后伸缩的方法．3、(1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象;(2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致,应先利用诱导公式化为同名函数；(3）由y＝A sin ωx的图象得到y＝A sin(ωx＋φ）的图象时，需平移的单位数应为错误!，而不是|φ|.考点自测1．函数y＝（sin x＋cos x）2＋1的最小正周期是（)．A.错误! B．π C.错误! D．2π2。
已知简谐运动f（x）＝A sin(ωx＋φ）错误!的部分图象如图所示，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为（）．A．T＝6π，φ＝π6B．T＝6π，φ＝错误!C．T＝6，φ＝错误! D．T＝6，φ＝错误!3．要得到函数y＝cos(2x＋1）的图象，只要将函数y＝cos 2x的图象（）．A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位C．向左平移12个单位 D．向右平移错误!个单位4．将函数y＝sin错误!的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移错误!个单位,得到的函数的一个对称中心是( ）．A。
函数图象的三种变换
函数图象的三种变换函数的图象变换是高考中的考查热点之一，常见变换有以下3种：一、平移变换例1 设f(x)＝x2，在同一坐标系中画出：(1)y＝f(x)，y＝f(x＋1)和y＝f(x－1)的图象，并观察三个函数图象的关系；(2)y＝f(x)，y＝f(x)＋1和y＝f(x)－1的图象，并观察三个函数图象的关系．解(1)如图(2)如图点评观察图象得：y＝f(x＋1)的图象可由y＝f(x)的图象向左平移1个单位长度得到；y＝f(x－1)的图象可由y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度得到；y＝f(x)＋1的图象可由y＝f(x)的图象向上平移1个单位长度得到；y＝f(x)－1的图象可由y＝f(x)的图象向下平移1个单位长度得到．小结：二、对称变换例2设f(x)＝x＋1，在同一坐标系中画出y＝f(x)和y＝f(－x)的图象，并观察两个函数图象的关系．解画出y＝f(x)＝x＋1与y＝f(－x)＝－x＋1的图象如图所示．由图象可得函数y＝x＋1与y＝－x＋1的图象关于y轴对称．点评函数y＝f(x)的图象与y＝f(－x)的图象关于y轴对称；函数y＝f(x)的图象与y＝－f(x)的图象关于x轴对称；函数y＝f(x)的图象与y＝－f(－x)的图象关于原点对称．三、翻折变换例3 设f (x )＝x ＋1，在不同的坐标系中画出y ＝f (x )和y ＝|f (x )|的图象，并观察两个函数图象的关系．解 y ＝f (x )的图象如图1所示，y ＝|f (x )|的图象如图2所示．点评 要得到y ＝|f (x )|的图象，把y ＝f (x )的图象中x 轴下方图象翻折到x 轴上方，其余部分不变．例4 设f (x )＝x ＋1，在不同的坐标系中画出y ＝f (x )和y ＝f (|x |)的图象，并观察两个函数图象的关系．解 如下图所示．点评 要得到y ＝f (|x |)的图象，先把y ＝f (x )图象在y 轴左方的部分去掉，然后把y 轴右边的对称图象补到左方即可． 小结：()x x y f x =−−−−−−−→保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|. ()y y y f x =−−−−−−−−→保留轴右侧图象并作其关于轴对称的图象y ＝f (|x |). 如图：四 函数图象自身的对称性 1.函数()y f x =的图象关于直2a bx +=对称()()f a x f b x ⇔+=-()()f a b x f x ⇔+-= 2.函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称2()(2)b f x f a x ⇔-=-()2(2)f x b f a x ⇔=--⇔b x a f x a f 2)()(=-++3.若()()f x f x =-- ，则()f x 的图象关于原点对称，若()()f x f x =- ，则()f x 的图象关于y 轴对称。
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函数图象的三种变换函数的图象变换是高考中的考查热点之一，常见变换有以下 3 种：一、平移变换例1 设f(x)＝x2，在同一坐标系中画出：(1)y＝f(x)，y＝f(x＋1)和y＝f(x－1)的图象，并观察三个函数图象的关系；(2)y＝f(x)，y＝f(x)＋1 和y＝f(x)－1 的图象，并观察三个函数图象的关系．解(1)如图(2)如图点评观察图象得：y＝f(x＋1)的图象可由y＝f(x)的图象向左平移 1 个单位长度得到；y＝f(x－1)的图象可由y＝f(x)的图象向右平移1 个单位长度得到；y＝f(x)＋1 的图象可由y＝f(x)的图象向上平移1 个单位长度得到；y＝f(x)－1 的图象可由y＝f(x)的图象向下平移1 个单位长度得到．小结：二、对称变换例2 设f(x)＝x＋1，在同一坐标系中画出y＝f(x)和y＝f(－x)的图象，并观察两个函数图象的关系．解画出y＝f(x)＝x＋1 与y＝f(－x)＝－x＋1 的图象如图所示．由图象可得函数y＝x＋1 与y＝－x＋1 的图象关于y 轴对称．点评函数y＝f(x)的图象与y＝f(－x)的图象关于y 轴对称；函数y＝f(x)的图象与y＝－f(x)的图象关于x 轴对称；函数y＝f(x)的图象与y＝－f(－x)的图象关于原点对称．三、翻折变换例 3 设f(x)＝x＋1，在不同的坐标系中画出y＝f(x)和y＝|f(x)|的图象，并观察两个函数将x 轴下方图象翻折上去并作其关于y 轴对称的图象 图象的关系．解 y ＝f (x )的图象如图 1 所示，y ＝|f (x )|的图象如图 2 所示．点评 要得到 y ＝|f (x )|的图象，把 y ＝f (x )的图象中 x 轴下方图象翻折到 x 轴上方，其余部分不变．例 4 设 f (x )＝x ＋1，在不同的坐标系中画出 y ＝f (x )和 y ＝f (|x |)的图象，并观察两个函数图象的关系．解 如下图所示．点评 要得到 y ＝f (|x |)的图象，先把 y ＝f (x )图象在 y 轴左方的部分去掉，然后把 y 轴右边的对称图象补到左方即可．小结：y = f (x ) −−保−留x −轴上−方图−象−→ y ＝|f (x )|. y = f (x ) −−−保留−y 轴右−侧−图象−−→ y＝f (|x |).如图：四 函数图象自身的对称性1. 函数 y = f (x ) 的图象关于直 x =a +b 对称⇔ f (a + x ) = f (b - x ) ⇔ f (a + b - x ) = f (x )2 2. 函数 y =f (x ) 的图象关于点(a , b ) 对称⇔ 2b - f (x ) = f (2a - x )⇔ f (x ) = 2b - f (2a - x ) ⇔ f (a + x ) + f (a - x ) = 2b3.若 f (x ) = - f (-x ) ，则 f (x ) 的图象关于原点对称，若 f (x ) = f (-x )，则 f (x ) 的图象关于 y 轴对称。
基础训练1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)当 x ∈(0，＋∞)时，函数 y ＝|f (x )|与 y ＝f (|x |)的图象相同.( × ) yy=f(|x|)a obc xy y=|f(x)| a ob c x y y=f(x) a o b c x(2)函数 y ＝f (x )与 y ＝－f (x )的图象关于原点对称. ( × )(3)若函数 y ＝f (x )满足 f (1＋x )＝f (1－x )，则函数 f (x )的图象关于直线 x ＝1 对称. ( √ )(4)将函数 y ＝f (－x )的图象向右平移 1 个单位得到函数 y ＝f (－x －1)的图象. ( × ) 2. 如图所示的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象显示该容器中水面的高度 h 和时间 t 之间的关系，其中不正确的有( )A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个解析 对于一个选择题而言，求出每一幅图中水面的高度 h 和时间 t 之间的函数关系式既无必要也不可能，因此可结合相应的两幅图作定性分析，即充分利用数形结合．对于第一幅图，不难得知水面高度的增加应是均匀的，因此不正确；对于第二幅图，随着时间的增加，越往上，增加同一个高度，需要的水越多，因此趋势愈加平缓，因此正确；同理可分析第三幅图、第四幅图都是正确的． 故只有第一幅图不正确，因此选 A.答案 A点评 本题考查函数的对应关系．由容器的形状识别函数模型，是典型的数形结合问题， “只想不算”有利于克服死记硬背，更突出了思维能力的考查．近两年的高考越来越注重对理性思维能力的考查．3. 向高为 H 的水瓶中注水，注满为止．如果注水量 V 与水深 h 的函数关系的图象如图所示， 那么水瓶的形状是( )H V 0 解析 取水深 h ＝ 2 ，此时注水量 V ′> 2 ，即水深至一半时，实际注水量大于水瓶总水 量的一半． V 0 V 0 A 中 V ′< 2 ，C 、D 中 V ′＝ 2，故排除 A 、C 、D ，选 B. 1 4．函数 y ＝1－ － 的图象是( )．x 1－1 1 解析 将 y ＝ x 的图象向右平移 1 个单位，再向上平移一个单位，即可得到函数 y ＝1－ － x1 的图象．答案 B 5. 已知图①中的图象对应的函数为 y ＝f (x )，则图②的图象对应的函数为()．A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝|f (x )|C ．y ＝f (－|x |)D ．y ＝－f (|x |) 解析 y ＝f (－|x |)＝Error!答案 C 6. 直线 y ＝1 与曲线 y = x 2 - x + a 有四个交点，则 a 的取值范围是 ．如图所示， y = x 2 - x + a 是偶函数a - 1 < 1 < a ⇒ 1 < a < 54 47. 已知 f (x ) 是偶函数，则 f (x + 2) 的图像关于 对称；已知 f (x + 2) 是偶函数，则函数 f (x ) 的图像关于对称.8. 已知 y ＝f (x )的图象如图所示，则 y ＝f (1－x )的图象为 ( )解析: A ［因为 f (1-x )=f （-(x -1)）,故 y =f (1-x )的图象可以由 y =f (x )的图象按照如下变换得到：先将 y =f (x )的图象关于 y 轴翻折，得 y =f (-x )的图象，然后将 y =f (-x )的图象向右平移一个单位， 即得 y =f (-x +1)的图象.］9. 分别画出下列函数的图象：x ＋2 (1)y ＝x2－2|x |－1；(2)y ＝ . （3）(1) y x －1 x - 2 (x + 1) (1) y ＝Error!.图象如图③.3 3 (2) 因 y ＝1＋ － ，先作出 y ＝ 的图象，将其图象向右平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位， x 1 xx ＋2 即得 y ＝ － 的图象，如图④. x 110. 若函数 y ＝f (x )的图象如图所示，则函数 y ＝－f (x ＋1)的图象大致为 .思维启迪 从 y ＝f (x )的图象可先得到 y ＝－f (x )的图象，再得到 y ＝－f (x ＋1)的图象.解析 要想由 y ＝f (x )的图象得到 y ＝－f (x ＋1)的图象，需要先将 y ＝f (x )的图象关于 x 轴对称得到 y ＝－f (x )的图象，然后再向左平移一个单位得到 y ＝－f (x ＋1)的图象，根据上述步骤可知③正确. 答案 ③11. 已知函数 f (x )＝|x 2－4x ＋3|.(1)求函数 f (x )的单调区间，并指出其增减性；(2)求集合 M ＝{m |使方程 f (x )＝m 有四个不相等的实根}．解 f (x )＝Error!=作出函数图象如图．(1)函数的增区间为[1,2]，[3，＋∞)；函数的减区间为(－∞，1]，[2,3]． (2)在同一坐标系中作出 y ＝f (x )和 y ＝m 的图象，使两函数图象有四个不同的交点(如图)． 由图知 0<m <1，∴M ＝{m |0<m <1}． 1 12. 已知函数 f (x )的图象与函数 h (x )＝x ＋x＋2 的图象关于点 A (0,1)对称.求 f (x )的解析式；(2) 解析： (1)设 f (x )图象上任一点 P (x ，y )，则点 P 关于(0,1)点的对称点 P ′(－x,2－y )在 h (x )1 1的图象上，即 2－y ＝－x －x ＋2，∴y ＝f (x )＝x ＋x(x ≠0). 13. 已知函数 y ＝f (x )的图象关于原点对称，且 x >0 时，f (x )＝x 2－2x ＋3，试求 f (x )在 R 上的表达式，并画出它的图象，根据图象写出它的单调区间．解：∵f (x )的图象关于原点对称，∴f (－x )＝－f (x )，∴当 x ＝0 时，f (x )＝0.又当 x >0 时， f (x )＝x 2－2x ＋3，∴当 x <0 时，f (x )＝－x 2－2x －3.∴函数的解析式为 f (x )＝Error!作出函数的图象如图．根据图象可以得函数的增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)；函数的减区间为(－1,0)，(0,1)．。