函数图象的三种变换(可编辑修改word版)

函数图象的三种变换

函数的图象变换是高考中的考查热点之一，常见变换有以下 3 种：

一、平移变换

例1 设f(x)＝x2，在同一坐标系中画出：

(1)y＝f(x)，y＝f(x＋1)和y＝f(x－1)的图象，并观察三个函数图象的关系；

(2)y＝f(x)，y＝f(x)＋1 和y＝f(x)－1 的图象，并观察三个函数图象的关

系．解(1)如图

(2)如图

点评观察图象得：y＝f(x＋1)的图象可由y＝f(x)的图象向左平移 1 个单位长度得到；

y＝f(x－1)的图象可由y＝f(x)的图象向右平移1 个单位长度得到；

y＝f(x)＋1 的图象可由y＝f(x)的图象向上平移1 个单位长度得到；

y＝f(x)－1 的图象可由y＝f(x)的图象向下平移1 个单位长度得到．

小结：

二、对称变换

例2 设f(x)＝x＋1，在同一坐标系中画出y＝f(x)和y＝f(－x)的图象，并观察两个函数图象的关系．

解画出y＝f(x)＝x＋1 与y＝f(－x)＝－x＋1 的图象如图所示．

由图象可得函数y＝x＋1 与y＝－x＋1 的图象关于y 轴对

称．点评函数y＝f(x)的图象与y＝f(－x)的图象关于y 轴

对称；函数y＝f(x)的图象与y＝－f(x)的图象关于x 轴对称；

函数y＝f(x)的图象与y＝－f(－x)的图象关于原点对称．

三、翻折变换

例 3 设f(x)＝x＋1，在不同的坐标系中画出y＝f(x)和y＝|f(x)|的图象，并观察两个函数

将x 轴下方图象翻折上去

并作其关于y 轴对称的图象 图象的关系．

解 y ＝f (x )的图象如图 1 所示，y ＝|f (x )|的图象如图 2 所示．

点评 要得到 y ＝|f (x )|的图象，把 y ＝f (x )的图象中 x 轴下方图象翻折到 x 轴上方，其余部分不变．

例 4 设 f (x )＝x ＋1，在不同的坐标系中画出 y ＝f (x )和 y ＝f (|x |)的图象，并观察两个函数图象的关系．

解 如下图所示．

点评 要得到 y ＝f (|x |)的图象，先把 y ＝f (x )图象在 y 轴左方的部分去掉，然后把 y 轴右边的对称图象补到左方即可．

小结：

y = f (x ) −−保−留x −轴上−方图−象−→ y ＝|f (x )|. y = f (x ) −−−保留−y 轴右−侧−图象−−→ y

＝f (|x |).

如图：

四 函数图象自身的对称性

1. 函数 y = f (x ) 的图象关于直 x =

a +

b 对称⇔ f (a + x ) = f (b - x ) ⇔ f (a + b - x ) = f (x )

2 2. 函数 y =

f (x ) 的图象关于点(a , b ) 对称⇔ 2b - f (x ) = f (2a - x )

⇔ f (x ) = 2b - f (2a - x ) ⇔ f (a + x ) + f (a - x ) = 2b

3.若 f (x ) = - f (-x ) ，则 f (x ) 的图象关于原点对称，若 f (x ) = f (-x )

，则 f (x ) 的图象

关于 y 轴对称。

基础训练

1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)当 x ∈(0，＋∞)时，函数 y ＝|f (x )|与 y ＝f (|x |)的图象相同.

( × ) y

y=f(|x|)

a o

b

c x

y y=|f(x)| a o

b c x y y=f(x) a o b c x

(2)函数 y ＝f (x )与 y ＝－f (x )的图象关于原点对称. ( × )

(3)若函数 y ＝f (x )满足 f (1＋x )＝f (1－x )，则函数 f (x )的图象关于直线 x ＝1 对称. ( √ )

(4)将函数 y ＝f (－x )的图象向右平移 1 个单位得到函数 y ＝f (－x －1)的图象. ( × ) 2. 如图所示的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象显示该容器中水面的高度 h 和时间 t 之间的关系，其中不正确的有( )

A ．1 个

B ．2 个

C ．3 个

D ．4 个

解析 对于一个选择题而言，求出每一幅图中水面的高度 h 和时间 t 之间的函数关系式既无必要也不可能，因此可结合相应的两幅图作定性分析，即充分利用数形结合．

对于第一幅图，不难得知水面高度的增加应是均匀的，因此不正确；

对于第二幅图，随着时间的增加，越往上，增加同一个高度，需要的水越多，因此趋势愈加平缓，因此正确；

同理可分析第三幅图、第四幅图都是正确

的． 故只有第一幅图不正确，因此选 A.

答案 A

点评 本题考查函数的对应关系．由容器的形状识别函数模型，是典型的数形结合问题， “只想不算”有利于克服死记硬背，更突出了思维能力的考查．近两年的高考越来越注重对理性思维能力的考查．

3. 向高为 H 的水瓶中注水，注满为止．如果注水量 V 与水深 h 的函数关系的图象如图所示， 那么水瓶的形状是( )

H V 0 解析 取水深 h ＝ 2 ，此时注水量 V ′> 2 ，即水深至一半时，实际注水量大于水瓶总水 量的一半． V 0 V 0 A 中 V ′< 2 ，C 、D 中 V ′＝ 2

，故排除 A 、C 、D ，选 B. 1 4．函数 y ＝1－ － 的图象是( )．

x 1