1-3 纠缠态(Entangled state)

将 00 1M (M 0,1) 用非耦合表象的基矢做展开
|A|B , |A|B , |A|B , |A|B
1 1．00 [ |A|B |A|B ] 2
M0 M0
S=0 S=1 S=1 S=1
2.
3.
1 10 [ |A|B |A|B ] 2
2
0
1
混和态的密度矩阵
同理，
1 2 A ( 10 ) I A , A ( 10 ) A ( 10 ) 2
混和态的密度矩阵
1 0 2 (11 ) A (11 ) 纯态的密度矩阵 A ( 11 ) A 0 0 A 0 0 2 A ( 11 ) (11 ) A (11 )纯态的密度矩阵 0 1 A A
|A|B
以上四个本征态都是两个单粒子自旋态的直积形式， 是可分离态，不是纠缠态。 1.分离态：能够表示为两个单粒子自旋态的直积形式。
ˆS ˆ S ˆ S ˆ S ˆA S ˆB 耦合表象：A,B耦合的角动量S z z A B
2 { S , S , S , Sz } 为基矢的表象,用 SM表示 本征态取 A B 2 2
薛定谔将这样的量子态称为纠缠态。爱因斯坦等人提 出纠缠态的目的意在说明在承认定域性和实在性的前
体下，量子力学的描述是不完备的。
3.1951年Bohm将爱因斯坦等人的EPR问题简
化，研究了自旋S=1/2的两粒子之间的自旋纠 缠态：
1 x00 ( ) 2
指出：当两个粒子无限远离时，对其中一个粒子的 测量结果，不会影响到对另一个粒子的测量。而量 子理论表明二者之间存在着非定域的纠缠关联，从 而证明量子力学理论是不完备的。

三、纠缠态的本质、特征与重要性
2.特征： 关联塌缩，对各个粒子分别做测量时表现为各个粒子状态 塌缩结果存在关联。 3.重要性： 1）在测量塌缩中，它们表现出一种非定域的超空间的关联， 并且成为调控和传递量子信息的重要手段。 2）量子系统和环境之间发生的难以避免的量子纠缠造成量子 态的退想干，这是量子信息丧失的主要方式。
两个自旋为1/2的粒子组成的体系的自旋态可以用 自旋角动量的耦合表象与非耦合表象描述： 非耦合表象：
2 A { S , S A粒子的本征态 A z }
B粒子的本征态
{S , S }
2 2
2 B
B z
A B { S , S , S A+B体系的本征态 A B z , Sz }
1 1 1 1 1 1 | mAmB | m A | m B | A | B , | A | B , | A | B , 2 2 2 2 2 2
《卜算子》
李之仪 （北宋）
我住长江头， 君住长江尾。 日日思君不见君， 共饮长江水。 此水几时休， 此恨何时已。 只愿君心似我心， 定不负思量意。 --纠缠的非定域性
1-3 纠缠态（entangled state） 纠缠态是近几年来在量子力学文献中经常出现的一
个词汇，是比较热门的课题。量子纠缠是存在于多粒 子系量子系统的一种奇妙现象，即对一个子系统的 测量结果无法独立于其它子系统的测量参数。
4个Bell基都是纠缠态，如果让两个粒子分离，分别处于 空间不同地点，并对其中一个粒子进行局域性测量自旋，
1 I ，这是一个混和态。测量该粒子的自旋沿任何方向 2 分量时， 1 / 2 值均可出现，而且概率相同（均为1/2）。
因此可以用来解释EPR佯（yang）谬。
则是一个非完备测量，对其测量的结果应该用约化矩阵，
二、可分离态、纠缠态、Bell基 以两个自旋为1/2的粒子组成的体系为例进行讨论
自旋为1/2的粒子，它的两个自旋态可用Sz的本征值表示：
1 1 | | , | | （ms 1 ）来标记。 2 2 2
两个自旋为1/2的粒子组成的体系的自旋态可以用 自旋角动量的耦合表象与非耦合表象描述：
3.
4.
11 |A|B
11 |A|B
M 1
M 1
若把
11 11 线性叠加，可以构成两粒子体系的另外的两个
| 1 2 | 11 11 1 2 [ | A |B | A |B ]
纠缠态:
3，4
四个纠缠态:
1 1．00 [ |A|B |A|B ] 2
三、纠缠态的本质、特征与重要性
1.本质： 对量子纠缠本质的理解，可以从以下几个方面综合考虑： 1）从量子信息的角度：纠缠的本质是关联的量子信息。 2）从实验观测角度：纠缠的本质是超空间的关联塌缩。 3）从理论分析的角度：纠缠的精髓是和关联空间非定域性的 等价性。 4）从隐变数角度：两体存在纠缠的充要条件是两个粒子之间 不容许存在任意的相对位相差而不改变系统的状态。 －－纠缠关联的存在使隐变量理论不能成立。
Z
S SM S (S 1)SM
2
S 0,1
Sz SM M SM
S 0, M 0; S 1, M 0, 1,-1
00
――自旋单态
1M (M 0,1)――自旋三重态
将 00 1M (M 0,1) 用非耦合表象的基矢做展开
（表示成非耦合表象基矢的线性组合）

4. 1964年Bell用基于EPR观点而发展的定域 隐变量理论研究了S=1/2二粒子系的自旋沿空 的纠缠 间任意两个方向a和b 的投影 1 a, 2 b 关联，提出了著名的Bell不等式： | P(a, b ) P(a, c ) | 1 P(b , c ) 其中：
矩阵的性质给出纠缠态的定义。 对于(A+B)组成的复合体系，与子体系A对应的约化密度矩
阵：
A trB ( AB )
若
2 A
A
A
，则该体系对应的态是纯态；
2 A ，则该体系对应的态是混和态（纠缠态）。 若
以自旋单态
00为例，相应的密度算符为 AB | 00 00 |
(a, b ) 00 | (1 a)( 2 b ) | 00
P是交换算符： P(a, b ) a b
Bell不等式并不是对所有的方向都是成立的， 这说明量子力学结果与隐变量理论是不相容
的。哪种理论正确呢？ 1982年阿斯普克特（Aspect)通过对两光子 偏振态的实验测量证实了它们的相关程度， 确实超出了贝尔不等式容许的范围，表明量 子非局域纠缠确实是存在的。
00
1 [ |A |B |A |B ] 2 M0
1 0 ( | n B |B , |B是粒子B的本征态， |B ,|B )
1 A ( 00 ) I A A ( 00 ) 4
11 |A|B
M 1
M 1
4. 11 |A|B
1 1．00 2 [ |A|B |A|B ]
M0 M0
S=0 S=1
2.
10
1 [ |A |B |A |B ] 2
3. 11 |A|B 4.
11 |A|B
1-3 纠缠态（Entangled state） 《我侬词》 你侬我侬，忒煞情多； 情多处，热如火： 把一块泥，捻一个你，塑一个我。 将咱两个一齐打破，用水调和； 再捻一个你，再塑一个我。 我泥中有你，你泥中有我： 我与你生同一个衾，死同一个椁。
元初的中国书画大家赵孟頫的妻子管道升做词
--纠缠的强烈关联性
对于A+B体系，是一个纯态的密度矩阵。对于复合体系的 子体系（A体系），其约化密度矩阵为：
A trB ( AB ) B n | AB | n B
n
B | 00 00 |B B | 00 00 |B
1 1 0 1 IA 2 0 1 A 2
1 1 | A| B 2 2
| mAmB | m A | m B |
1 1 1 1 1 1 A| B , | A| B , | A| B , 2 2 2 2 2 2
|
1 1 A| B 2 2
或形象的表示为：
|A|B , |A|B , |A|B ,


薛定谔猫态：
EPR 佯谬：
爱因斯坦等人在论文中提出如下一个量子态：
( x1 , x 2 ) e


i ( x1 x2 x0 ) p
dp
其中x1, x2 分别表示2 个粒子的坐标，这样一个量子态
基本特征是它不可以写成两个子系统量子态的直积形式：
( x1 , x2 ) ( x1 ) ( x2 )
M 1
M 1
S=1
S=1
11 子自旋态直积形式的线性组合，纠缠态；
00 10 可以看作是两个单粒 从波函数的直观形式上看，
11
可以看作
是两个单粒子自旋态的直积形式，非纠缠态。
2.纠缠态：不能够表示为两个单粒子自旋态的直积形式。
因此，角动量耦合并不等同于纠缠，这只是从形式上看出
的，并没有给出纠缠态的严格定义。下面，利用约化密度
5. 1993年Bernett等人提出了利用纠缠态远程传送 一个量子信息的方案； 6.1996年物理学家在介观尺度上成功实现了 Schrödinger猫态；不久奥地利的Zeilinger研究组 和意大利的一个研究组分别在实验上利用孪生光子， 对偏振纠缠态成功的实现了一个光子纠缠态的远程 传送。 7.在1999 年，Aspect 在著名杂志《Nature》上发 表文章，对近几十年的实验进展专门做了回顾，奥 地利的Zeilinger 小组以及旅美华人科学家史砚华、 区哲宇等人，在Bell 不等式的实验检测方面都开展 了卓有成效的工作。
在量子信息学中，量子纠缠态扮演着极为重要的作用。
一、纠缠态与EPR佯谬

1.1935年Schrodinger在“薛定谔猫态”一文中最 先给出纠缠态的概念。 2.1935 年爱因斯坦(Einstein),波多尔斯基 (Podolsky)，罗森(Rosen)为了说明量子力学波函 数描述物理现象时的不完备性提出了著名爱因斯坦 －波多尔斯基－罗森佯谬，即EPR 佯谬。


8.近年来，我国科学家潘建伟教授领导的实验小组 成功实现了三光子，四光子纠缠态，并利用多粒子 纠缠态成功实现了GHZ定理的实验验证，短短几年 间该实验小组取得了六个世界首次，为我国在量子 信息研究方面做出了杰出的贡献。
纠缠态的成功应用不仅仅在于检测基本理论的完备 性。以后的科学家围绕EPR佯谬做出了许多工作，将 它推广为说明客观事物同时既在此又在彼，或者你中 有我，我中有你的纠缠性，从而提出量子纠缠是量子 力学现象所特有的特性之一，将其发展成为量子信息、 量子计算等学科建立和发展的最基本的概念。
M0 M0
纠缠态
纠缠态
2.
1 10 [ |A|B |A|B ] 2
这四个纠缠态，叫做Bell基，和耦合表象 的基矢不完全相同。P37
把
00 ， 10 两个态用
表示，则4个Bell基可以表示为：
1 | [ | A |B | A |B ] 2 1 | [ | A |B | A |B ] 2
纠缠态的定义P37
对一个多粒子体系的量子态，若它的子体系相应的约化密 度矩阵是混和态密度矩阵，则为纠缠态；若它的子体系相 应的约化密度矩阵是纯态密度矩阵，则为非纠缠态。
1 1．00 [ |A|B |A|B ] 2
M0 M0
纠缠态
纠缠态 纯态 纯态
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2.
1 10 [ |A|B |A|B ] 2