1-3 纠缠态(Entangled state)

3.
4.
11 |A|B
11 |A|B
M 1
M 1
若把
11 11 线性叠加，可以构成两粒子体系的另外的两个
| 1 2 | 11 11 1 2 [ | A |B | A |B ]
纠缠态:
3，4
四个纠缠态:
1 1．00 [ |A|B |A|B ] 2
1-3 纠缠态（Entangled state） 《我侬词》 你侬我侬，忒煞情多； 情多处，热如火： 把一块泥，捻一个你，塑一个我。 将咱两个一齐打破，用水调和； 再捻一个你，再塑一个我。 我泥中有你，你泥中有我： 我与你生同一个衾，死同一个椁。
元初的中国书画大家赵孟頫的妻子管道升做词
--纠缠的强烈关联性

三、纠缠态的本质、特征与重要性
2.特征： 关联塌缩，对各个粒子分别做测量时表现为各个粒子状态 塌缩结果存在关联。 3.重要性： 1）在测量塌缩中，它们表现出一种非定域的超空间的关联， 并且成为调控和传递量子信息的重要手段。 2）量子系统和环境之间发生的难以避免的量子纠缠造成量子 态的退想干，这是量子信息丧失的主要方式。
2
0
1
混和态的密度矩阵
同理，
1 2 A ( 10 ) I A , A ( 10 ) A ( 10 ) 2
混和态的密度矩阵
1 0 2 (11 ) A (11 ) 纯态的密度矩阵 A ( 11 ) A 0 0 A 0 0 2 A ( 11 ) (11 ) A (11 )纯态的密度矩阵 0 1 A A
薛定谔将这样的量子态称为纠缠态。爱因斯坦等人提 出纠缠态的目的意在说明在承认定域性和实在性的前
体下，量子力学的描述是不完备的。
3.1951年Bohm将爱因斯坦等人的EPR问题简
化，研究了自旋S=1/2的两粒子之间的自旋纠 缠态：
1 x00 ( ) 2
指出：当两个粒子无限远离时，对其中一个粒子的 测量结果，不会影响到对另一个粒子的测量。而量 子理论表明二者之间存在着非定域的纠缠关联，从 而证明量子力学理论是不完备的。
矩阵的性质给出纠缠态的定义。 对于(A+B)组成的复合体系，与子体系A对应的约化密度矩
阵：
A trB ( AB )
若
2 A
A
A
，则该体系对应的态是纯态；
2 A ，则该体系对应的态是混和态（纠缠态）。 若
以自旋单态
00为例，相应的密度算符为 AB | 00 00 |
M 1
M 1
S=1
S=1
11 子自旋态直积形式的线性组合，纠缠态；
00 10 可以看作是两个单粒 从波函数的直观形式上看，
11
可以看作
是两个单粒子自旋态的直积形式，非纠缠态。
2.纠缠态：不能够表示为两个单粒子自旋态的直积形式。
因此，角动量耦合并不等同于纠缠，这只是从形式上看出
的，并没有给出纠缠态的严格定义。下面，利用约化密度
|A|B
以上四个本征态都是两个单粒子自旋态的直积形式， 是可分离态，不是纠缠态。 1.分离态：能够表示为两个单粒子自旋态的直积形式。
ˆS ˆ S ˆ S ˆ S ˆA S ˆB 耦合表象：A,B耦合的角动量S z z A B
2 { S , S , S , Sz } 为基矢的表象,用 SM表示 本征态取 A B 2 2

4. 1964年Bell用基于EPR观点而发展的定域 隐变量理论研究了S=1/2二粒子系的自旋沿空 的纠缠 间任意两个方向a和b 的投影 1 a, 2 b 关联，提出了著名的Bell不等式： | P(a, b ) P(a, c ) | 1 P(b , c ) 其中：
在量子信息学中，量子纠缠态扮演着极为重要的作用。
一、纠缠态与EPR佯谬

1.1935年Schrodinger在“薛定谔猫态”一文中最 先给出纠缠态的概念。 2.1935 年爱因斯坦(Einstein),波多尔斯基 (Podolsky)，罗森(Rosen)为了说明量子力学波函 数描述物理现象时的不完备性提出了著名爱因斯坦 －波多尔斯基－罗森佯谬，即EPR 佯谬。
11 |A|B
M 1
M 1
4. 11 |A|B
1 1．00 2 [ |A|B |A|B ]
M0 M0
S=0 S=1
2.
10
1 [ |A |B |A |B ] |A|B
1 1 | A| B 2 2
| mAmB | m A | m B |
1 1 1 1 1 1 A| B , | A| B , | A| B , 2 2 2 2 2 2
|
1 1 A| B 2 2
或形象的表示为：
|A|B , |A|B , |A|B ,
纠缠态的定义P37
对一个多粒子体系的量子态，若它的子体系相应的约化密 度矩阵是混和态密度矩阵，则为纠缠态；若它的子体系相 应的约化密度矩阵是纯态密度矩阵，则为非纠缠态。
1 1．00 [ |A|B |A|B ] 2
M0 M0
纠缠态
纠缠态 纯态 纯态
2.
1 10 [ |A|B |A|B ] 2
将 00 1M (M 0,1) 用非耦合表象的基矢做展开
|A|B , |A|B , |A|B , |A|B
1 1．00 [ |A|B |A|B ] 2
M0 M0
S=0 S=1 S=1 S=1
2.
3.
1 10 [ |A|B |A|B ] 2
《卜算子》
李之仪 （北宋）
我住长江头， 君住长江尾。 日日思君不见君， 共饮长江水。 此水几时休， 此恨何时已。 只愿君心似我心， 定不负思量意。 --纠缠的非定域性
1-3 纠缠态（entangled state） 纠缠态是近几年来在量子力学文献中经常出现的一
个词汇，是比较热门的课题。量子纠缠是存在于多粒 子系量子系统的一种奇妙现象，即对一个子系统的 测量结果无法独立于其它子系统的测量参数。
(a, b ) 00 | (1 a)( 2 b ) | 00
P是交换算符： P(a, b ) a b
Bell不等式并不是对所有的方向都是成立的， 这说明量子力学结果与隐变量理论是不相容
的。哪种理论正确呢？ 1982年阿斯普克特（Aspect)通过对两光子 偏振态的实验测量证实了它们的相关程度， 确实超出了贝尔不等式容许的范围，表明量 子非局域纠缠确实是存在的。
对于A+B体系，是一个纯态的密度矩阵。对于复合体系的 子体系（A体系），其约化密度矩阵为：
A trB ( AB ) B n | AB | n B
n
B | 00 00 |B B | 00 00 |B
1 1 0 1 IA 2 0 1 A 2
两个自旋为1/2的粒子组成的体系的自旋态可以用 自旋角动量的耦合表象与非耦合表象描述： 非耦合表象：
2 A { S , S A粒子的本征态 A z }
B粒子的本征态
{S , S }
2 2
2 B
B z
A B { S , S , S A+B体系的本征态 A B z , Sz }
1 1 1 1 1 1 | mAmB | m A | m B | A | B , | A | B , | A | B , 2 2 2 2 2 2
三、纠缠态的本质、特征与重要性
1.本质： 对量子纠缠本质的理解，可以从以下几个方面综合考虑： 1）从量子信息的角度：纠缠的本质是关联的量子信息。 2）从实验观测角度：纠缠的本质是超空间的关联塌缩。 3）从理论分析的角度：纠缠的精髓是和关联空间非定域性的 等价性。 4）从隐变数角度：两体存在纠缠的充要条件是两个粒子之间 不容许存在任意的相对位相差而不改变系统的状态。 －－纠缠关联的存在使隐变量理论不能成立。
4个Bell基都是纠缠态，如果让两个粒子分离，分别处于 空间不同地点，并对其中一个粒子进行局域性测量自旋，
1 I ，这是一个混和态。测量该粒子的自旋沿任何方向 2 分量时， 1 / 2 值均可出现，而且概率相同（均为1/2）。
因此可以用来解释EPR佯（yang）谬。
则是一个非完备测量，对其测量的结果应该用约化矩阵，
二、可分离态、纠缠态、Bell基 以两个自旋为1/2的粒子组成的体系为例进行讨论
自旋为1/2的粒子，它的两个自旋态可用Sz的本征值表示：
1 1 | | , | | （ms 1 ）来标记。 2 2 2
两个自旋为1/2的粒子组成的体系的自旋态可以用 自旋角动量的耦合表象与非耦合表象描述：
Z
S SM S (S 1)SM
2
S 0,1
Sz SM M SM
S 0, M 0; S 1, M 0, 1,-1
00
――自旋单态
1M (M 0,1)――自旋三重态
将 00 1M (M 0,1) 用非耦合表象的基矢做展开
（表示成非耦合表象基矢的线性组合）


8.近年来，我国科学家潘建伟教授领导的实验小组 成功实现了三光子，四光子纠缠态，并利用多粒子 纠缠态成功实现了GHZ定理的实验验证，短短几年 间该实验小组取得了六个世界首次，为我国在量子 信息研究方面做出了杰出的贡献。
纠缠态的成功应用不仅仅在于检测基本理论的完备 性。以后的科学家围绕EPR佯谬做出了许多工作，将 它推广为说明客观事物同时既在此又在彼，或者你中 有我，我中有你的纠缠性，从而提出量子纠缠是量子 力学现象所特有的特性之一，将其发展成为量子信息、 量子计算等学科建立和发展的最基本的概念。