第四章 人寿保险的精算现值(2013327)

bt 1,t n
2）按年度实际贴现率复利计息，则 vt v n , t 0 3.赔付现值变量
Zt bt .vt
寿险精算
0,t n vn ,t n
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4.趸缴纯保费的厘定 记 Ax:n 为n年期生存保险的趸缴纯保费 在n年定期生存保险情况下，赔付事件发生 的概率就等于剩余寿命大于等于n年的概率
寿险精算
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二、人寿保险的分类
1.受益金额是否恒定 ——定额受益保险和变额受益保险 2.保障期是否有限 ——定期寿险和终身寿险 3.保单签约日与保障期起始日是否同时进行 ——非延期寿险和延期寿险 4.保险事故不同 ——死亡保险、生存保险和两全保险
寿险精算 2
三、人寿保险的性质
保障的长期性
这使得从投保到赔付期间的投资收益（利息）成为 不容忽视的因素
3
四、人寿保险精算现值的概念
——也称为趸缴纯保费，是指在保单生效日 被保险人或投保人一次性缴付的，恰好覆盖 保险人将来赔付风险的费用。
就是投保人或被保险人在保单签发之日一 次性交付的纯保险费。 精算现值＝毛保费－附加保费
寿险精算
4
五、厘定原理——保费净均衡原 则
保险人收取的净保费应该恰好等于未来支出 的保险赔付金，即保费收入的期望现值正好 等于将来的保险赔付金的期望现值。它的实 质是在统计意义下的收支平衡，是在大数场 合下，收费期望现值等于支出期望现值
m
( 为常数时)
0
e
t
t px xt dt e t t px xt dt
0
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例
• 假设（x）投保延期10年的终身寿险，保额 1元。 • 保险金在死亡即刻赔付。 • 已知
0.06，S( x ) e
(1)
10
0.04 x
,x0
• 求：
保险赔付时间与赔付金额的不确定性
人寿保险的赔付金额与赔付时间依赖于被保险人的 生命状况。被保险人的死亡是一个随机变量，这就 意味着保险公司的赔付额也是一个随机变量，它依 赖于被保险人剩余寿命分布
被保障人群的大数性
这就意味着，保险公司可以依靠概率统计原理计算 出平均赔付并可预测将来的风险 寿险精算
寿险精算 11
主要险种的精算现值（趸缴纯保费）的厘定 1.n年定期保险 2.终身保险 3.生存保险 4.n年期两全保险 5.延期寿险 ——延期m年的终身保险 ——延期m年的n年定期保险 ——延期m年的n年期两全保险
寿险精算 12
一、n年定期保险的精算现值 1.定义——什么是定期保险 2.基础模型假定条件 1）投保年龄为x岁，保额为1单位元，保险期 1,t n 限n年，则
寿险精算
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• 为了解决以上问题，趸缴净保费的厘定给 出了以下三条假设： 假定一：同性别、同年龄、同时参保的被保 险人的剩余寿命独立同分布 假定二：被保险人的剩余寿命分布可以用经 验生命表进行拟合 假定三：保险人可以预测将来的投资收益
这三条假定将单个被保险人的风险事故转 化为一个同质总体的风险事故
寿险精算 24
三、延期终身寿险
• 定义 –保险人对被保险人在投保m年后发生的保险责任范 围内的死亡均给付保险金的险种。 • 假定：( x ) 岁的人，保额1元，延期m年的终身寿险 • 基本函数关系
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延期寿险趸缴纯保费的厘定
• 符号： m Ax • 厘定：
m
Ax E ( zt ) zt fT (t )dt
寿险精算 8
余命有两种形式，所以 K 1 Zt bK 1v ——死亡年末给付
Zt＝bT v ——死亡时立即给付
已知未来给付的现值，再考虑该给付发生的概 率，就可以得出期望给付额
T
E (Zt ) E (bK 1v
K 1
)＝ Zt . k qx
E (Zt ) E (bT vT ) Zt . fT (t )dt
t 0 1 1.1 10 1.1 t dt 1 0.092 70 70 ln1.1
1 1 （） 2 Var ( zt ) 2 A30:10 ( A30:10 )2
t 0 1.21 1 10 0.0922 0.055 70 ln1.21
寿险精算
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二、终身寿险的精算现值 1.定义——什么是终身寿险 2.基础模型假定条件 1）投保年龄为x岁，保额为1单位元，则
1 , 0 t 60 fT (t) 60 , 其它 0
• 计算
（） 1 Ax (2)Var ( zt ) (3) Pr( z 0.9 ) 0.9的0.9 .
寿险精算 21
(1) Ax e
0
60 0

t
fT ( t )dt e
0
60
t
2 m
Ax e 2 t fT (t )dt
m

• 所以方差等价于
Var ( zt )
2 m
Ax ( m Ax )
2
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• 延期m年的n年定期寿险：
m| Ax:n mn m
vt fT t dt


mn
m
mn
e
t
t px xt dt
寿险精算 7
六、基本符号约定
在以上三个假定条件满足的情况下，趸缴净 保费是这样厘定的：
假定风险事故会在t时刻发生（t为余命），则 bt ——给付额 ——折现因子或贴现因子 t Zt ——给付额在保单签发之日的现值 那么给付额的现值函数为：
v
Zt bt vt
t取不同的值，现值函数有不同的表达式
• 假设有100个相互独立的年龄为x岁的被保 险人都投了保险金额10元的终身保险，随 t f e ( 0.04, t 0) 机变量T的概率密度是 T (t ) 保险金于被保险人死亡时给付，保险金给 付是从某项基金中按利息强度为 0.06 计息支付。试计算这项基金在最初（即t=0) 时的数额至少为多少时，才能保证从这项 基金中足以支付每个被保险人的死亡给付 的概率达到95%?
2 0

v 2t t px x t d t
0

e 2 t t px x t dt
0

记 Ax e2 t t px xt dt ，则 0
2

Var(Z ) Ax ( Ax )
2
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2
源自文库
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例
• 设(x)投保终身寿险，保险金额为1元 • 保险金在死亡即刻赔付 • 签单时，(x)的剩余寿命的密度函数为
t
ln 0.9 = Pr( t ln v ln 0.9 ) P ( t ) ln v
ln 0.9
ln v
60
ln 0.9 60 ln v 0.9 fT ( t )dt 60
ln 0.9 6ln v 0.9 v6 e 6
寿险精算
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例
x:n t

0 t T
t
v t px x t dt
t 0
n
e
0
n
t
t x x t t
寿险精算 14
p d
5.赔付现值变量的方差
Var(Z ) E(Z ) [ E( Z)] E( Z ) ( A )
2 2 2
E ( Z ) zt2 fT (t )dt
m

zt fT (t )dt zt fT (t )dt
0 0

m
Ax A
1 x:m
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现值随机变量的方差
• 方差公式
Var ( zt ) E ( z ) E ( zt ) e 2 t fT (t )dt E ( zt )2
2 t 2 m

• 记
2 0
n
1 2 x:n
v 2 t t px x t d t
0
n
e 2 t t px x t dt
0
n
记 A e2 t t px x t dt ，则 0
2 1 x:n
n
Var(Z ) A ( A )
2 1 x:n
寿险精算
1 2 x:n
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例
•设
第四章 人寿保险的精算现值 人寿保险精算现值概述
一、什么是人寿保险？ 狭义——是以被保险人在保障期内是否死亡 作为保险事故的一种保险 广义——是以被保险人的生命作为保险事故 的一种保险。它包括以保障期内被保险人死 亡为保险事故的狭义寿险，也包括以保障期 内被保险人生存为保险事故的生存保险和两 全保险 本章主要介绍狭义的人寿保险的精算现值
bt 0,t n
2）按年度实际贴现率复利计息，则 vt vt , t 0 3.赔付现值变量
Z t bt .vt
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v t ,t n 0,t n
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4.趸缴纯保费的厘定 1 记 Ax:n 为n年定期保险即刻赔付的趸缴纯保费 赔付事故发生等于死亡事故发生，所以赔付 发生的概率就等于剩余寿命的密度函数 n 1 所以 A E ( Z ) z f (t ) d
x S( x) 1 100 i 0.1 , 0 x 100
• 计算
1 （） 1 A30:10
(2)Var ( zt )
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(1) A
1 30:10
v t f30 ( t )dt
0
10

10
0
S ( x t ) 1 fT ( t ) S( x) 100 x
1 dt 60
e
2 t
60 1 2 1e dt ( Ax ) 60 60
（） 2 Var( zt ) Ax ( Ax )
2
120
2
60
1e 1e ( )2 120 60
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(3)Pr( zt 0.9 ) Pr(v 0.9 )
寿险精算 9
这个期望给付就等于被保险人的趸缴纯保费 也就是精算现值，即 精算现值＝ E(Zt )
净均衡原理并不是指每个被保险人个人缴 纳的净保费恰好等于他个人得到的保险给 付金额。它的实质是把相同风险的人视作 一个总体，这个总体在统计意义上的收支 平衡
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§4.1
死亡即付的人寿保险
• 死亡即刻赔付就是指如果被保险人在保障 期内发生保险责任范围内的死亡，保险公 司将在死亡事件发生之后，立刻给予保险 赔付。它是在实际应用场合，保险公司通 常采用的理赔方式。 • 由于死亡可能发生在被保险人投保之后的 任意时刻，所以死亡即刻赔付时刻是一个 连续随机变量，它距保单生效日的时期长 度就等于被保险人签约时的剩余寿命。 连续型寿险
bt 1, t 0
2）按年度实际贴现率复利计息，则 vt vt , t 0 3.赔付现值变量
Zt bt .vt v , t 0
t
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4.趸缴纯保费的厘定 记 Ax 为终身寿险即刻赔付的趸缴纯保费 赔付事故发生等于死亡事故发生，所以赔付 发生的概率就等于剩余寿命的密度函数 所以 A E (Z ) z f (t )d
2 m 10

0.04 e 0.16 t dt 0.147
10

Var ( zt )
2 m
Ax ( m Ax ) 2 0.0288
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四、n年期纯生存保险的精算现值 1.定义——什么是纯生存保险 2.基础模型假定条件 1）投保年龄为x岁，保额为1单位元，保险期 0,t n 限n年，则
x t

0
t T
t
v t p x x t d t
t 0

e
0

t
t x x t t
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p d
5.赔付现值变量的方差
Var (Z ) E(Z ) [E(Z )] E(Z ) ( Ax )
2 2 2
2
E ( Z ) zt2 fT (t )d t
对于保险公司来说，各种类型的保险产品， 无论采用何种缴费方式，在厘定净保费时 都应遵循这条基本原则。
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• 保费净均衡原理的思想很好理解，但在保 险经营过程中要落实这条原理，保险公司 必须要解决以下几个问题： 1.什么时候会发生索赔事件？ 2.发生索赔的概率有多大？ 3.发生的索赔额等于多少？ 4.钱的时间价值如何测量？
Ax
(2)Var( zt )
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S ( x t ) (1) fT ( t ) 0.04e 0.04 t S( x)
0.06 t 0.04 t A e 0.04 e dt x m 10
0.04e 0.16 t 0.16
10
0.05047
(2) Ax e 0.12 t 0.04e 0.04 t dt