地图投影转换

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中国地图投影系统
我国常用的地图投影的情况为： 1)、我国基本比例尺地形图(1：100万、1：50万、1：25万、1： 10万、1：5万、1：2.5万、1：1万、1：5000),除1：100万外均 采用高斯—克吕格投影为地理基础； 2)、我国1：100万地形图采用了Lambert投影，其分幅原则与国 际地理学会规定的全球统一使用的国际百万分之一地图投影保 持一致。 3)、我国大部分省区图以及大多数这一比例尺的地图也多采用 Lambert投影和属于同一投影系统的Albers投影(正轴等面积割 圆锥投影)；
当要求转换精度精确至0.00lm时，用下式计算
xX N N sin Bl 2 sin B cos3 B (5 t 2 9 2 4 4 )l 4 2 2 24 4 N sin B cos5 B (61 58t 2 t 4 )l 6 720 6 N N y cos Bl cos3 B(1 t 2 2 )l 3 3 6 N 5 2 4 2 2 2 5 cos B (5 18t t 14 58 t )l 5 720
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计算过程： 把椭球面上的大地坐标作为过渡坐标。首先把 某投影带（比如Ⅰ带）内有关点的平面坐标 ( x, y ) I ， 利用高斯投影反算公式换算成椭球面上的大地坐 标 (l , B) ，进而得到 L LI0 l ；然后再由大地坐标
( B, L) 利用投影正算公式换算成相邻带的（第Ⅱ带）
当要求转换精度至0.01 时，可简化为下式：
(5 3t 2 2 9 2 t 2 ) y 4 f f f f 2M f N f 24M f N 3 f 1 1 2 2 3 l y (1 2t f f ) y N f cos B f 6 N 3 cos B f f 1 2 4 5 (5 28t f 24t f ) y 120N 5 cos B f f B Bf tf y2 tf
1、地理坐标为球面坐标，不方便进行距离、 方位、面积等参数的量算。 2、地球椭球体为不可展曲面。
3、地图为平面，符合视觉心理，并易于进行 距离、方位、面积等量算和各种空间分析。
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（1）什么是地图投影？
简单地讲：地图投影的实质是将地球椭球面上的经 纬网按照一定的数学法则转移到平面上。
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高斯投影坐标反算公式
高斯投影反算：已知某点的高斯投影平面 上直角坐标 x, y ，求该点在椭球面上的大地坐 标 L, B ，即 x, y ( L, B) 的坐标变换。
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计算公式
(5 3t 3 2 9 2 t 2 ) y 4 f f f f 2M f N f 2 4M f N 3 f tf 2 4 6 (6 1 9 0t f 4 5t f ) y 7 2 0M f N 5 f 1 1 2 2 3 l y (1 2t f f ) y 3 N f co s B f 6 N f co s B f 1 (5 2 8t 2 2 4t 4 6 2 8 2 t 2 ) y 5 f f f f f 5 1 2 0N f co s B f B Bf tf y2 tf
的平面坐标 ( x, y) II 。
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算例 在中央子午线 LI0 123 的Ⅰ带中，有某一点的平面直角坐 . . ， 标 x1 5728374726m y1 210198193m ，现要求计算该点在中央子午线
LII 129 的第Ⅱ带的平面直角坐标。 0
计算步骤： 根据 x1 , y1 利用高斯反算公计算换算B1 , L1，得到 L1 126 0213.1362 ，B1 51 3843.9024 。 采用已求得的 B1 , L1，并顾及到第Ⅱ带的中央子午线 LII 129 ， 0
分类3：投影面的形状；
分类4：投影面与球面的空间逻辑关系
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基于投影面与球面的分类
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1 投影与变形
投影变形：椭球面是一个凸起的、不可展平的 曲面。将这个曲面上的元素（距离、角度、图 形）投影到平面上，就会和原来的距离、角度、 图形呈现差异，这一差异称为投影变形。
二、地图投影及其转换
为了确定地理要素的位置，需要确定其定位系统：
1、球面定位系统——地理坐标(L、B)
大地原点
2、平面定位系统
现实世界是三维
水准原点 ①为什么要把球面的转换为平面的？ ②怎么把球面的转换为平面的？
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为什么要进行地图投影？
☺将地球椭球面上的点映射到平面上的方法， 称为地图投影。
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（4 ）地图投影转换

依据转换过程分类：

①正解变换 ②反解变换 ①解析变换 ②数值变换 ③解析－数值变换

根据转换方法分类：

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7－3 栅格与矢量数据结构的 选择与转换
投影变形的形式：角度变形、 长度变形和面积变形。
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变形性质分类
角度不变
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常见变形性质的确定
●同纬度带内梯形面积不等的投影肯定不是 等积投影；
●经纬网不是处处正交的投影肯定不是等角 投影； ●投影为直线的经线(中央经线)上纬距不等 的投影肯定不是等距投影。
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（2）高斯平面直角坐标系
在投影面上，中央子午线和赤道的投影都是直线，并且以中央子午 线和赤道的交点 O 作为坐标原点，以中央子午线的投影为纵坐标 x 轴，以赤道的投影为横坐标 y 轴。 x x
500Km
B
xB
xA
y
xB
xA
yB
yA
A
B
yB
yA
A
y
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（3）高斯平面直角坐标系 在我国 x 坐标都是正的， y 坐标的最大值（在赤 道上）约为330km。为了避免出现负的横坐标， 可在横坐标上加上500 000m。此外还应在坐标前 面再冠以带号。这种坐标称为国家统一坐标。例 如，有一点 Y =19 123 456.789m，该点位在带内， 其相对于中央子午线而言的横坐标则是：首先去 y 掉带号，再减去500000m,最后得 =-376 543.211m。
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五 坐标计算转换
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1 换带计算 高斯投影为了限制高斯投影的长度变形，以中央子午线进行分带， 把投影范围限制在中央子午线东、西两侧一定的范围内。因而，使 得统一的坐标系分割成各带的独立坐标系。在工程应用中，往往要 1 .5 用到相邻带中的点坐标，有时工程测量中要求采用 带、 3 带或任意 带，而国家控制点通常只有 带坐标，这时就产生了 带同 6 带（或 3 6 1 .5 带、任意带）之间的相互坐标换算问题，如下图所示：
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与投影有关的地球模型
水准面
铅垂线
地球表面
大地水准面
地球椭球体
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中国曾经用过的椭球体
●我国1952年以前采用Hayford(海福特)椭 球体； ●1953年开始采用克拉索夫斯基椭球体；
●上世纪70年代末建立新的80坐标系时，采 用IUGG（国际大地测量与地球物理联合会） 椭球体；
●1984年定义的世界大地坐标系（WGS84） 使用的椭球体长、短半径则分别为6378.137 和6356.7523，扁率为1：298.26。
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（2）地图投影的分类
根据美国著名地图投影学家J.P.Snyder统计， 全世界地图投影种类现有256种，依据不同的目的和 要求，可以采用不同的分类指标对如此繁多的地图 投影进行分类。P73 分类1：基于投影变形的性质； 分类2：基于投影面与球面相关位置；
具体来说：由于球面上一点的位置是用地理坐标 (经度？纬度？)表示，而平面上是用直角坐标(纵坐标？ 横座标？)或者极坐标(极径？极角？)表示，所以要想 将地球表面上的点转移到平面上，必须采用一定的数 学方法来确定地理坐标与平面直角坐标或极坐标之间 的关系。
这种在球面和平面之间建立点与点之间函数关系的 数学方法，称为地图投影。 2013-12-4 3
国外出版：摩尔威特投影
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（3）GIS常用的地图投影
1 2 3 4 5 Gauss投影 Mercatour投影 UTM Lambert投影 Albers投影

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高斯投影 （1）基本概念：
如下图所示，假想有一个椭圆柱面横套在地球椭球体外面，并与某一 条子午线（此子午线称为中央子午线或轴子午线）相切，椭圆柱的中 心轴通过椭球体中心，然后用一定投影方法，将中央子午线两侧各一 定经差范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将此柱面展开即成为投影 面，此投影为高斯投影。高斯投影是正形投影的一种。
求得 l 2 5746.864 ，利用高斯正算公式计算第Ⅱ带的直角坐
标 xII , yII 。 为了检核计算的正确性，要求每步都应进行往返计算
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投影变形的处理方法
通过改变H m 从而选择合适的高程参考面，将 抵偿分带投影变形，这种方法通常称为抵偿投 影面的高斯正形投影； 通过改变 ym ，从而对中央子午线作适当移动， 来抵偿归算到参考椭球面上的投影变形，这就 是通常所说的任意带高斯正形投影；
控制测量对地图投影的要求
应当采用等角投影（又称为正形投影）
采用正形投影时，在三角测量中大量的角度观测元 素在投影前后保持不变；在测制的地图时，采用等角 投影可以保证在有限的范围内使得地图上图形同椭球 上原形保持相似。
在采用的正形投影中，要求长度和面积变形不大， 并能够应用简单公式计算由于这些变形而带来的改正 数。 能按分带投影
通过既改变 H m（选择高程参考面），又改 变 ym（移动中央子午线），来共同抵偿两项归 算改正变形，这就是所谓的具有高程抵偿面的 任意带高斯正形投影。
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当测区平均高程在l00m以下，且ym 值不 大于40km时，其投影变形值小于2.5cm， 可以满足大比例尺测图和工程放样的精度 要求。在偏离中央子午线不远和地面平均 高程不大的地区，不需考虑投影变形问题， 直接采用国家统一的带高斯正形投影平面 直角坐标系作为工程测量的坐标系。
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高斯投影的分带规定
①比例尺为1∶1万和大于1∶1万的地形图 采用3度分带的高斯克吕格投影，投影的最 大长度变形为0.0345％，最大面积变形为 0.069％ ②1∶2.5万～1∶50万地形图规定采用6度 分带的高斯克吕格投影。投影的最大长度 变形为0.138％，最大面积变形为0.276％
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常见的地图投影
全国图：正轴圆锥投影
●
中国图
海 图：墨卡托投影 地形图：高斯－克吕格投影（分带）
●大洲图
亚洲图：斜轴方位投影
欧洲图：彭纳投影 南北半球（或两极）图：正轴方位投影、 东西半球图：横轴方位投影 国内出版：等差分纬线多圆锥投影 地球仪： 普通多圆 锥投影
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●
半球图
●世界图
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四 地图投影转换
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正解变换：高斯投影计算公式
xX N N sin Bl 2 sin B cos3 B(5 t 2 9 2 )l 4 2 2 2 4 N N N y cos Bl B(1 t 2 2 )l 3 cos5 B(5 18t 2 t 4 )l 5 3 5 6 120