线性代数第五章特征值与特征向量自测题Word版
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（C） 与 有相同的特征值和相同的特征向量；
（D） 与 有相同的特征多项式。
5、设 有3个线性无关的特征向量，则 应满足条件（ ）
（A） ；（B） ；（C） ；（D） 。
6、已知 ,其中 , 是属于特征值 的特征向量.
是属于特征值 的特征向量,则矩阵P不能为
三、计算题（共49分）
1、（共15分）
设A为三阶矩阵， ， ， 是线性无关的三维列向量，且满足：
2、（5分）设 是矩阵 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为， ， ，则 ， 线性无关的充分必要条件是： 。
3、（5分）设 为 阶矩阵，且存在向量 ，有 ，令： ， ,
讨论 线性相关性，并加以证明。
自测题参考答案
一、填空题
1、 ； ； 。
2、 ，其中 ， ， ，（ 为不全为零的任意常数）。
3、 。
第五章《特征值与特征向量》自测题（100分钟）
一、填空题：（共18分，每小题3分）
1、设三阶矩阵 的特征值为－1，1，2，则 －1的特征值为（ ）； *的特征值为（ ）；（3 + ）的特征值为（ ）。
2、设三阶矩阵 ＝0，则 的全部特征向量为（ ）。
3、若 ～E，则 ＝（ ）。
4、已知 ＝ 与 相似，则 =（ ）， =（ ）。
3、（共15分）设三阶实对称矩阵 的各行元素之和均为3，向量 ， 是齐次线性方程组 的两个解。
①（5分）求 的特征值与特征向量；
②（5分）求正交矩阵 和对角矩阵 ，使 ；
③（5分）求 及 ，其中 为三阶单位矩阵
4、（共9分）设
。
求 。
四、证明题（共15分，每小题5分）
1、（5分）设 是n阶正交矩阵，且 ，则 是 的一个特征值。
①（5分）求矩阵B，使得： （ ， ， ）=（ ， ， ）B；
②（5分）求矩阵 的特征值；
③（5分）求可逆矩阵 ，使得 为对角形矩阵。
2、（共10分）设三阶实对称矩阵 的秩为2， 是 的二重特征值。若 ， ， 都是 的属于特征值6的特征向量。
①（5分）求 的另一特征值和对应的特征向量；
②（5分）求矩阵 。
…………（ ）
解（ ），得一基础解系为： ，
故 的属于特征值 的全部特征向量为： ，
②令 ,则有：
∴ =
=
=
3、解：①∵
∴ 是 的特征向量。又 都是 的解，说明它们也都是 的特征向量，特征值为0；由于 线性无关，特征值0的重数大于1，于是 的特征值为：3，0，0；属于3的特征向量为： ；属于0的特征向量为： 不全为零）；
，
则
。
由此得 。
于是，
四、证明题：
（1）证明： ∵ 是正交矩阵，
∴
∴
又∵
∴
∴ ，即： 是 的一个特征值。
（2）证明：设有一组数 ， 使
……………………①
即： ………………②
又∵ ，
∴②式为：
…………③
由于已知
∴ 线性无关，③式成立当且仅当：
………………………………④
解齐次线性方程组④，由于其系数行列式为：
②将 单位化，得： ，对 施密特正交化，得： ， ，令： ，则 是正交矩阵，并且
③∵
∴ （ ， ， ）=（3 ， ， ）
即： =
解上面这个矩阵方程，得：
另外，∵
∴
4、解∵
∴A有特征值-2和2（三重）。
对 ，解 得基础解系
故3重特征值有3个线性无关的特征向量，由此得A可对角化。
对 ，解 得基础解系
。
令
（B） 阶矩阵 可对角化的必要条件是 有 个互不相同的特征值；
（C）有相同特征值的两个矩阵一定相似；
（D）相似的矩阵一定有相同的特征值。
4、下述结论正确的有（ ），其中 为 阶矩阵。
（A）方程 的每一个解向量都是对应于特征值 的特征向量；
（B）若 为方程 的一个基础解系，则 （ 为非零常数）是 的属于特征值 的全部的特征向量；
4、
5、 ，（ 为非零常数）。
6、n！
二、选择题
1、C 2、C 3、D 4、D 5、B 6、 D
三、计算题：
1、解：①∵ （ ） （ ）
=（ + + 2 + 2 +3 ）
=（ ）
=（ ）
∴
②∵ （ ） （ ）
又∵ , , ,线性无关，
∴（ ）可逆，
∴（ ） （ ） ，
∴ 与 相似，即 与 有相同的特征值，
（A）矩阵A是不可逆矩阵
（B） 矩阵A的主对角线元素之和为0
（C） 特征值2和-2所对应的特征向量是正交的
（D）AX=0的基础解系由一个向量组成
2、矩阵A 与矩阵（ ）相似。
（A） ； （B） ； （C） ； （D）
3、下述结论正确的有（ ）。
（A） 阶矩阵 可对角化的充分必要条件是 有 个互不相同的特征值；
……………………………④
∵齐次线性方程组④的系数行列式： =1+
∴当 为偶数时， =1+（-1）=0，④有非零解；
当 为奇数时， =1+1=2 0，④仅有零解；
∴由①式有：当 为偶数时， 线性相关，
当 为奇数时， 线性无关。
（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）
而
∴
∴ 的特征值为：1，1，4
③ 当
解之，一个基础解系为：
当
解之，一个基础解系为：
令 （ ， ， ）
则
令 （ ） （ ）
=（2 - 2 - + ）
则
2、解：∵ 是 的二重特征值，
∴ 的属于特征性6的线性无关的特征向量有2个，由题设知： ， 为 的属于特征值6的线性无关的特征向量。
又∵r ，
∴ ，
∴ 的另一特征值 ，设 的所对应的特征向量为： ，则有： 即：
5、设三阶实对称矩阵 的特征值是1，2，3，矩阵 的属于特征值1，2的特征向量分别是 ， ，则 的属于特征值3的特征向量是（ ）。
6、设n阶方阵A有n个特征值分别为2，3，4，…，n，n+1，且方阵B与A相似，则|B-E|=______________
二、选择题（共18分，每小题3分）
1、已知三阶矩阵A的特征值是0，-2，2，则下列结论中不正确的是
，由于当且仅当 ④仅有零解：
故 线性无关的充分必要条件是
（3）证明： ∵ ，
∴ 1，2，…， 是 阶矩阵 的 个不同的特征值，而 是 的分别属于1，2，…， 的线性无关的特征向量。
又∵ …
设有一组数： 使得： ………①
即： …………………②
也即： … ………ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ…③
由于 线性无关，
故③式成立当且仅当：
（D） 与 有相同的特征多项式。
5、设 有3个线性无关的特征向量，则 应满足条件（ ）
（A） ；（B） ；（C） ；（D） 。
6、已知 ,其中 , 是属于特征值 的特征向量.
是属于特征值 的特征向量,则矩阵P不能为
三、计算题（共49分）
1、（共15分）
设A为三阶矩阵， ， ， 是线性无关的三维列向量，且满足：
2、（5分）设 是矩阵 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为， ， ，则 ， 线性无关的充分必要条件是： 。
3、（5分）设 为 阶矩阵，且存在向量 ，有 ，令： ， ,
讨论 线性相关性，并加以证明。
自测题参考答案
一、填空题
1、 ； ； 。
2、 ，其中 ， ， ，（ 为不全为零的任意常数）。
3、 。
第五章《特征值与特征向量》自测题（100分钟）
一、填空题：（共18分，每小题3分）
1、设三阶矩阵 的特征值为－1，1，2，则 －1的特征值为（ ）； *的特征值为（ ）；（3 + ）的特征值为（ ）。
2、设三阶矩阵 ＝0，则 的全部特征向量为（ ）。
3、若 ～E，则 ＝（ ）。
4、已知 ＝ 与 相似，则 =（ ）， =（ ）。
3、（共15分）设三阶实对称矩阵 的各行元素之和均为3，向量 ， 是齐次线性方程组 的两个解。
①（5分）求 的特征值与特征向量；
②（5分）求正交矩阵 和对角矩阵 ，使 ；
③（5分）求 及 ，其中 为三阶单位矩阵
4、（共9分）设
。
求 。
四、证明题（共15分，每小题5分）
1、（5分）设 是n阶正交矩阵，且 ，则 是 的一个特征值。
①（5分）求矩阵B，使得： （ ， ， ）=（ ， ， ）B；
②（5分）求矩阵 的特征值；
③（5分）求可逆矩阵 ，使得 为对角形矩阵。
2、（共10分）设三阶实对称矩阵 的秩为2， 是 的二重特征值。若 ， ， 都是 的属于特征值6的特征向量。
①（5分）求 的另一特征值和对应的特征向量；
②（5分）求矩阵 。
…………（ ）
解（ ），得一基础解系为： ，
故 的属于特征值 的全部特征向量为： ，
②令 ,则有：
∴ =
=
=
3、解：①∵
∴ 是 的特征向量。又 都是 的解，说明它们也都是 的特征向量，特征值为0；由于 线性无关，特征值0的重数大于1，于是 的特征值为：3，0，0；属于3的特征向量为： ；属于0的特征向量为： 不全为零）；
，
则
。
由此得 。
于是，
四、证明题：
（1）证明： ∵ 是正交矩阵，
∴
∴
又∵
∴
∴ ，即： 是 的一个特征值。
（2）证明：设有一组数 ， 使
……………………①
即： ………………②
又∵ ，
∴②式为：
…………③
由于已知
∴ 线性无关，③式成立当且仅当：
………………………………④
解齐次线性方程组④，由于其系数行列式为：
②将 单位化，得： ，对 施密特正交化，得： ， ，令： ，则 是正交矩阵，并且
③∵
∴ （ ， ， ）=（3 ， ， ）
即： =
解上面这个矩阵方程，得：
另外，∵
∴
4、解∵
∴A有特征值-2和2（三重）。
对 ，解 得基础解系
故3重特征值有3个线性无关的特征向量，由此得A可对角化。
对 ，解 得基础解系
。
令
（B） 阶矩阵 可对角化的必要条件是 有 个互不相同的特征值；
（C）有相同特征值的两个矩阵一定相似；
（D）相似的矩阵一定有相同的特征值。
4、下述结论正确的有（ ），其中 为 阶矩阵。
（A）方程 的每一个解向量都是对应于特征值 的特征向量；
（B）若 为方程 的一个基础解系，则 （ 为非零常数）是 的属于特征值 的全部的特征向量；
4、
5、 ，（ 为非零常数）。
6、n！
二、选择题
1、C 2、C 3、D 4、D 5、B 6、 D
三、计算题：
1、解：①∵ （ ） （ ）
=（ + + 2 + 2 +3 ）
=（ ）
=（ ）
∴
②∵ （ ） （ ）
又∵ , , ,线性无关，
∴（ ）可逆，
∴（ ） （ ） ，
∴ 与 相似，即 与 有相同的特征值，
（A）矩阵A是不可逆矩阵
（B） 矩阵A的主对角线元素之和为0
（C） 特征值2和-2所对应的特征向量是正交的
（D）AX=0的基础解系由一个向量组成
2、矩阵A 与矩阵（ ）相似。
（A） ； （B） ； （C） ； （D）
3、下述结论正确的有（ ）。
（A） 阶矩阵 可对角化的充分必要条件是 有 个互不相同的特征值；
……………………………④
∵齐次线性方程组④的系数行列式： =1+
∴当 为偶数时， =1+（-1）=0，④有非零解；
当 为奇数时， =1+1=2 0，④仅有零解；
∴由①式有：当 为偶数时， 线性相关，
当 为奇数时， 线性无关。
（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）
而
∴
∴ 的特征值为：1，1，4
③ 当
解之，一个基础解系为：
当
解之，一个基础解系为：
令 （ ， ， ）
则
令 （ ） （ ）
=（2 - 2 - + ）
则
2、解：∵ 是 的二重特征值，
∴ 的属于特征性6的线性无关的特征向量有2个，由题设知： ， 为 的属于特征值6的线性无关的特征向量。
又∵r ，
∴ ，
∴ 的另一特征值 ，设 的所对应的特征向量为： ，则有： 即：
5、设三阶实对称矩阵 的特征值是1，2，3，矩阵 的属于特征值1，2的特征向量分别是 ， ，则 的属于特征值3的特征向量是（ ）。
6、设n阶方阵A有n个特征值分别为2，3，4，…，n，n+1，且方阵B与A相似，则|B-E|=______________
二、选择题（共18分，每小题3分）
1、已知三阶矩阵A的特征值是0，-2，2，则下列结论中不正确的是
，由于当且仅当 ④仅有零解：
故 线性无关的充分必要条件是
（3）证明： ∵ ，
∴ 1，2，…， 是 阶矩阵 的 个不同的特征值，而 是 的分别属于1，2，…， 的线性无关的特征向量。
又∵ …
设有一组数： 使得： ………①
即： …………………②
也即： … ………ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ…③
由于 线性无关，
故③式成立当且仅当：