5.解析几何中韦达定理的运用

2[( 2m)2 4 m2 2] 4 3 m2
3
33
原点 O 到直线 x y m 0 的距离为 d | m |
2
AOB 的面积为 2 ， 1 4 3 m2 | m | 2
3 23
23
即 m4 3m2 +2 0 ，解得 m 1或 m 2 ，满足（*）
相交于 M , N 两点（1）求实数 k 取值范围；（2）求证： AM AN 为定值
【解析】（1）直线 l 的方程为 y kx 1，即 kx y 1 0 .
又圆心到直线距离d | 2k 3 1| | 2k 2 |
k2 1
k2 1
∴ | 2k 2 | 1 解得 4 7 k 4 7
3 x1x2 2(x1 x2 ) 4

1点 2k 3睛

4k 2 12 4k2 3

3k

8k 2 4k2
3
4k 2 4k 2
12 3

2

8k 2 4k2
3

4k 4


1 k
所以 k·k 为定值 1.
点 睛
点 睛
点 睛
点 睛
点 睛
点 睛
2
【解析】①当直线 AB 的斜率不存在时，设 A(1 t2 , t) ， B(1 t2 , t) .
4
4
kOA kOB
1 2
t 1 t2

t 1 t2
1 ，化简得 t2 2
32 .
44
所以 A(8 ,t) ， B(8 , t) ，此时直线 AB 的方程为 x 8 .
②点当直线 AB 的斜率存在时，设其方程为 y kx b ，
睛
由
y2

4x
消去 x，得 ky2 4 y 4b 0
y kx b
设
A( x1
,
y1) ，
A( x2
,
y2 )
，则
y1

y2

4b k
，
因为直线 OA ， OB 的斜率之积为 1 ，所以 y1 y2 1 ，
6. 涉及到定值的问题
【例
6】已知 F1
， F2 为椭圆
x2 4

y2 3
1
的左、右焦点，过椭圆右焦点 F2 且斜率为 k(k
0)
的直线 l 与椭圆 C 相交于 E ，F 两点， A 为椭圆的右顶点，直线 AE ， AF 分别交直线 x 4
于点 M ， N ，线段 MN 的中点为 P ，记直线 PF2 的斜率为 k ，求证： k·k 为定值．
7 1 k2
AM AN x1x2 (y1 1)( y2 1) x1x2 kx1 kx2
点 睛

(1 k 2 )x1x2

(1

k
2
)

1
7 k
2
7
为定值
3.涉及到线段垂直时 【例 3】是否存在直线 y x m ，使直线与椭圆 x2 y2 1交于 A ， B
(2)证明：将直线 l 的方程 y kx 1代入圆 C : (x 2)2 ( y 3)2 1 ，
得 (1 k 2 )x2 4(1 k)x 7 0 ，设 M (x1 , y1) 、 N (x2 , y2 ) ，则
x1

x2

4(1 k 1 k2
)
，
x1

x2

4
两点，满足 OA OB ？若存在求此直线方程，若不存在说明理由．
【解析】假设存在存在直线 y x m ，满足题意
x2
由

4

y2
1 消去
y
，得
5x2 8mx 4m2 4 0
y x m
（*）
若直线与椭圆有两个交点，则方程（*）要有两个不等实根，
【解析】由题意知过点 F2 1,0 的直线 l 的方程为 y k(x 1) ，
代入椭圆 C 的方程 x2 y2 1 整理，得
43
(4k 2 3)x2 8k 2x 4k 2 12 0
64k 4 4(4k 2 3)(4k 2 12) 0 恒成立，
2
x1 x2
2
即
x1x2 +2 y1 y2

0，
y1 4

y2 4
+2 y1 y2

0，
解得
y1 y2

32 或
y1 y2
0 (舍去)
4b k
32，b 8k ，
所以直线 AB 方程为 y kx 8k ，即 y k(x 8)
综点 睛上所述，直线 AB 过定点 8 , 0 ．
(8m)2 4 5(4m2 4) 0 ，解得 5 m 5
设点 睛A( x1,
y1), B( x2 ,
y2 )
，则
x1

x2

8m 5
x1x2

4m2 4 5
（**）
y1 y2 (m x1)(m x2 ) m2 m(x1 x2 ) x1x2
x2 2
x2 2
所以点 P 的坐标为 P(4 , y1 y2 ) . y1 y2 0 x1 2 x2 2
k x1 2 x2 2 1 ( y1 y2
所以直线 PF2 的斜率为
) 1 x1 y2 x2 y1 2( y1 y2 )
4 1
，则
x1

x2

8m 5
线点段 睛
AB
的中点为
P(4 5
,
1) ， 5
x1

x2

8 5
，
8m 5

8 5
，即 m
1，满足（**）式
所以直线的方程为 y x 1，即 x y 1 0
2．涉及向量的数量积的问题
【例 2】已知：过点 A(0 ,1) 且斜率为 k 的直线与圆C : (x 2)2 (y 3)2 1
3 x1 2 x2 2 3 x1x2 2(x1 x2 ) 4
1 x1(kx2 k) x2 (kx1 k) 2(kx1 k kx2 k) 1 2kx1x2 3k(x1 x2 ) 4k
3
x1x2 2(x1 x2 ) 4
点
5
睛
4.涉及到线段长度的问题
【例 4】已知椭圆 C : x2 y2 1 与直线 l ： x y m 0 有两个
2
不同的交点 A 与 B ，若 AOB 的面积为 2 ，求直线 l 的方程
【解析】由

x
2

y2 2
1
3
，得 3x2 2mx m2 2 0
所点以直线 l 的方程为 x y 1 0 或 x y 2 0
睛
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5. 涉及到定点的问题
【例 5】已知抛物线 C：y4 4x( p 0) ，O 为坐标原点， A ， B 是抛物线 C 上异于
O 的两点，直线 OA ， OB 的斜率之积为 1 ，求证：直线 AB 过 x 轴上一定点．
x y m 0
椭圆 C 与直线 l 有两个不同的交点 (2m)2 4 3(m2 2) 0 解得 3 m 3
（*）
设 A(x1 , y1) ， B(x2 , y2 ) ，则
点 睛
x1

x2


2m 3
，
x1

x2

m2 3
2
| AB | 2[(x1 x2 )2 4x1x2 ]
1
消去 y ，得
5x2 8mx 4m2 4 0
（*），
y x m
若直线与椭圆有两个交点，则方程（*）要有两个不等实根，
(8m)2 4 5(4m2 4) 0 ，解得 5 m 5
（**）
设
A( x1,
y1), B( x2 ,
y2 )
m2 8 m2 4m2 4 m2 4
5
5
5
由 OA OB OAOB 0 ，得
(x1, y1) (x2, y2 ) 0 ， x1x2 y1 y2 0
4m2 4 m2 4 0 ， 解得 m 2 10
5
5
5
由于它满足（**），所在存直线 y x 2 10 满足题意
k2 1
3
3
点 所睛以实数
k
取值范围为
(
4

7 , 4
7)
3
3
2．涉及向量的数量积的问题
【例 2】已知：过点 A(0 , 1) 且斜率为 k 的直线与圆 C : (x 2)2 ( y 3)2 1
相交于 M , N 两点（1）求实数 k 取值范围；（2）求证： AM AN 为定值
设 E(x1 , y1 ) ， F (x2 ，y2 ) ，则
点 睛 x1

x2

8k 2 4k 2
3
x1 x2

4k 2 12 4k 2 3
直线 AE 的方程为 y y1 (x 2) ，令 x 4 ，得点 M (4 , 2 y1 ) ，
x1 2
x1 2
直线 AF 的方程为 y y2 (x 2) ，令 x 4 ，得点 N (4 , 2 y2 ) ，
解析几何中韦达定理的运用
东莞市常平中学 陈洪波
1. 涉及到线段中点的问题 【例 1】已知斜率为1的直线与椭圆 x2 y2 1交于 A ， B 两点，
4
若线段 AB 的中点为 P( 4 , 1) ，求直线的方程 55
【解析】设直线方程为 y x m ，则
由
x2 4

y2