浙江省杭州市2020届高三下学期教学质量检测 数学--带答案
2020杭州市高考数学学业质量监测试题
2019-2020学年高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数11iz i+=-，则z 的虚部是（ ） A ．iB ．i -C ．1-D ．12．函数2|sin |2()61x f x x=-+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．3．(),0F c -为双曲线2222:1x y E a b-=的左焦点，过点F 的直线与圆22234x y c +=交于A 、B 两点，（A在F 、B 之间）与双曲线E 在第一象限的交点为P ，O 为坐标原点，若FA BP =，且23100OA OB c ⋅=-，则双曲线E 的离心率为（ ） A 5B ．52C 5D ．54．设变量,x y 满足约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值是（ ）A ．7B ．5C ．3D ．25．德国数学家莱布尼兹(1646年-1716年)于1674年得到了第一个关于π的级数展开式,该公式于明朝初年传入我国.在我国科技水平业已落后的情况下,我国数学家､天文学家明安图(1692年-1765年)为提高我国的数学研究水平,从乾隆初年(1736年)开始,历时近30年,证明了包括这个公式在内的三个公式,同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式,著有《割圆密率捷法》一书,为我国用级数计算π开创了先河.如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式”计算π的近似值(其中P 表示π的近似值),若输入10n ＝,则输出的结果是( )A ．11114(1)35717P =-+-+⋅⋅⋅+B ．11114(1)35719P =-+-+⋅⋅⋅- C ．11114(1)35721P =-+-+⋅⋅⋅+D ．11114(1)35721P =-+-+⋅⋅⋅-6．已知,a R b R ∈∈，则“直线210ax y +-=与直线(1)210a x ay +-+=垂直”是“3a =”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．在满足04i i x y <<≤，i i y xi i x y =的实数对(),i i x y (1,2,,,)i n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅中，使得1213n n x x x x -++⋅⋅⋅+<成立的正整数n 的最大值为( ) A ．5B ．6C ．7D ．98．如图，平面α与平面β相交于BC ，AB α⊂，CD β⊂，点A BC ∉，点D BC ∉，则下列叙述错误的是（ ）A ．直线AD 与BC 异面B ．过AD 只有唯一平面与BC 平行 C ．过点D 只能作唯一平面与BC 垂直 D ．过AD 一定能作一平面与BC 垂直9．双曲线()221x y m c m-=>的一条渐近线方程为20x y +=，那么它的离心率为（ ）A ．3B ．5C．62D ．5 10．直三棱柱111ABC A B C -中，12CA CC CB ==，AC BC ⊥，则直线1BC 与1AB 所成的角的余弦值为（ ） A ．5 B ．5 C ．25D ．3511．已知椭圆2222:1x y C a b+=的短轴长为2，焦距为1223F F ，、分别是椭圆的左、右焦点，若点P 为C 上的任意一点，则1211PF PF +的取值范围为（ ） A ．[]1,2B ．2,3⎡⎤⎣⎦C ．2,4⎡⎤⎣⎦D ．[]1,412．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1512,90a S ==，则等差数列{}n a 公差d =（ ） A ．2B ．32C ．3D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年浙江杭州高三二模数学试卷
2020年浙江杭州高三二模数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）A.B.C.D.1.已知全集，集合，，则（ ）．A.B.C.D.2.设函数，则（ ）．A.B.C.D.3.若实数，满足约束条件，则的最大值是（ ）．A.B.C.D.4.已知某空几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）．正视图俯视图侧视图5.若，均为实数，则“”是“”的（ ）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.函数的部分图象大致为（ ）．A.B.C.D.7.设，随机变量的分布列是：则当在内增大时（ ）．A.增大B.减小C.先增大后减小D.先减小后增大8.在正方体中，是底面的中心，是棱上的点，且，记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则（ ）．A.B.C.D.9.若表示不超过的最大整数（如，，），已知，，，则（ ）．A.B.C.D.10.已知，是以为直径的圆上的动点，且，则的最大值是（ ）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共7小题，共36分）11.复数（为虚数单位），则的虚部为 ， ．12.已知直线，，若，则的值为 ，若直线与圆交于，两点，则 ．13.已知多项式，则， ．14.在中，内角，，所对的边分别是，，．已知，，的面积为，则的值为 ，．15.若实数，满足，且，则的最大值为 ．16.已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与的两条渐近线分别交于，两点，若，，则的离心率为 ．17.已知函数，，其中，，记为的最小值，则当时，的取值范围为 ．三、解答题（本大题共5小题，共74分）（1）（2）18.已知函数．求的最小正周期．当时，求的最大值和最小值．（1）（2）19.如图，空间四边形中，是正三角形，是直角三角形，点、分别是、的中点，且，．求证：平面．求与平面所成角的正弦值．（1）20.已知数列满足，，正项数列满足（），且是公比为的等比数列．求，，，及的通项公式．【答案】解析:因为，，所以，又因为，所以．故选．解析:由，∴，∴．故选．（2）设为的前项和，若恒成立，求正整数的最小值．（1）（2）21.在平面直角坐标系中，原点为，抛物线的方程为，线段是抛物线的一条动弦．求抛物线的准线方程和焦点坐标．当时，设圆，若存在四条动弦，满足直线与圆相切，求半径的取值范围．（1）（2）22.已知函数的两个零点记为，．求的取值范围．证明：．D1.C2.B3.解析:依题意作出可行域如图所示的三角形区域，由目标函数知，，故表示直线在纵截距，当直线过点时，．故选．解析:由三视图知，该几何体是一个四棱锥，如图所示，则四边形是个矩形，，，则，由三视图可知棱锥高，则，故几何体的体积是．解析:命题，命题，由题意可知：可以推出命题，反之，C 4.B 5.由命题可知：，，中有个正数或个负数一个正数，当，，则，则满足，但是不满足，故命题成立，则无法推出，命题，所以是的必要不充分条件．故选．解析:图象由奇函数向下平移一个单位得到，可知图象关于中心对称，∴排除选项；当无限趋近正无穷时，函数值为正，∴排除，选项．故选．解析:，，所以，∵，∴增大．故选：．解析:如图，取中点，底面的中心，，且（为了得到平面底面），则，，，D 6.A 7.C 8.由图易知，，，，且，所以，，，由，所以，则，（最小角定理：线面角线线角），又，所以，则，（最大角定理：面面角线面角），又，所以，则，所以，故选．解析:，由题可得，，，，则，，，，，，，通过观察可知，则．∴故选．B 9.A10.解析:解析：投影计算：利用投影法解决问题，如图，设， ，则对于给定的，则根据向量数量积的投影几何意义，作直线使得其与垂直，且又与圆相切，设切点为，直线与的交点为，由于，，由此，当且仅当时取等号，综合上述：的最大值为，选．解析：三数平方的应用：．解析：双变量的处理，以为原点建立坐标系，设，，，，则，，则，设，则，则．解析:，所以虚部为，．解析:由可知，直线过定点，与圆相交于，两点，当圆心与定点连线与直线垂直时，所截得弦长最短，圆心与定点的距离为，所以．解析:令得，将原式改写成，;11. ;12. ;13.记，，按照题意求，即求中的一次项系数与中的零次项系数之积和中的零次项系数与中的一次项系数之积，所以可得．解析:，，，，，，解得，∵，故，．解析:方法一：由，得，又，所以，又，设，则，即的最大值为．方法二：,．．．，．;14.15.．当且仅当时，等号成立．此时，．即最大值为．16.解析:方法一：向量坐标计算，由已知得：点在渐近线上，且可计算得点，由计算得点，点在渐近线上，计算可得，即离心率．方法二：坐标计算，设过的直线方程为，由得，由得，因为，所以，即，解得．17.解析:方法一：①当时，，则在上递增，所以，由题意可得当，时，方程有解；②当时，由可得（负根舍去），Ⅰ．当时，，则在上递增，所以，由题意可得当，时，方程有解；Ⅱ．当时，在上递减，在上递增，所以，即，解得，综上所述，．方法二：题可转化为的最小值为，因为，所以令，的最小值为；①当，即时，，即；②当，即时，，即；综上所述，．方法三：（）当时，在上单调递增，所以，即，所以成立，（）当时，若，则，即，所以，若，则，即，（1）（2）（1）解得，所以综合得．解析:或，∴．∵，∴，则，即的最大值为，最小值为．解析:综合法：因为，，，所以≌，故，所以，连接，不妨设正的边长为，∴，，，又因为，（1）．（2）最大值为，最小值为．18.（1）证明见解析．（2）．19.（2）（1）所以，，又因为，，∴平面．方法一：以为轴，以为轴，以为轴建立空间直角坐标系，设平面的法向量，则，，，由，得，不妨令，，设所求角为，所以．方法二：等体积法：不妨设，在中，在中，，可得，在中，，，由中可得，点到平面距离为，∴．解析:∵是公比为的等比数列，又，，，∴，∴，∴，（1），，，，．（2）．20.为正奇数为正偶数（2）（1）（2），，，由移项，得，所以，将以上两式相除，可得，所以数列的奇数项成等比数列，偶数项也成等比数列，公比都是，因为，，所以．当是偶数时，，由，所以，故．解析:有抛物线可得，，准线方程：．设直线，，，联立方程得：，∴，为正奇数为正偶数（1），．（2）．21.（1），∴，即，∴，∵与圆相切，∴，∴，不妨令，，则，令，∴在单调递减，在单调递增，，则若关于的方程有四解，只需关于的方程有两个大于的解，所以．解析:方法一：由得，令得在单增，单减，且，，，，，，，，所以．方法二：由题意可得，则在单调递增，在单调递减，当时，若，则恒成立，有且只有一个零点，不满足题意；当时，恒成立，无零点，不满足题意；当时，有且只有一个零点，当时，有两个零点，（1）．（2）证明见解析．22.（2）此时，，故在之间存在唯一零点；当时，取一点，使得，即，显然，故只需，故取，则在之间存在唯一零点，综上所述：．方法一：先证（极值点偏移），不妨设，由（）可知，构造函数，，，当，，递增，，，所以，即，因为，所以，又，在单增，则，要证明，只需证明，即，，只需证明，，令，，当，，递增，当，，递减，当，，即，故．方法二：由题意可得，则，，为拐点，那么不妨尝试一下割线放缩和拐点问题，且，显然当时，，则，，，，不妨设，当时，两条割线分别为，和，则，，则方向不对，放缩的太小了，无法达到证明的目的：先来证明一个不等式，则，因此当时，则由，因为，由此可解得，那么只需证明，即证，即证，设，，则，即证，显然成立，综上：，∴．方法三：对进行放缩，对任意恒成立，证明由（）可知，，则方程两根，又夹在里面，由图可得．。
2020届浙江省杭州市高三下学期教学质量检测数学试题(解析版)
【解析】 ，设函数，根据单调性得到 ， ，分别计算最值得到答案.
【详解】
，
设 ，则 恒成立，函数单调递增，
故 ；
设 ，则 ，
函数在 上单调递减，在 上单调递增，
，
故 ，
则 ，故 ，当 时等号成立；
且 ，故 ，当 时等号成立.
综上所述： .
故答案为：7.
【点睛】
本题考查了绝对值函数的最值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
【详解】
， ，故 ，故 .
，
即 ，故 ，故 .
故答案为： ； .
【点睛】
本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和应用能力.
三、填空题
15．已知 是等差数列 的前 项和，若 ， ，则 的最大值是______
【答案】
【解析】计算得到 ，代入计算得到答案.
【详解】
， ，
故 .
故答案为：5.
【点睛】
【详解】
先从CDEF中安排两位志愿者照顾乙，有 种选择，
再从剩余的除去A的三位志愿者中选择两位照顾丙，有 种选择，剩余一位和A照顾甲，
故共有 种安排方法.
故答案为：18.
【点睛】
本题考查了组合的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.
17．已知函数 .当 ， 的最大值为 ，则 的最小值为______
（2） ， ，若对任意的正整数 ，都有 恒成立，求实数 的取值范围
【答案】（1） （2）
【解析】（1）设 的公差为 ，计算得到 ，故 ，得到答案.
（2）计算 ， ，根据裂项相消法计算 ，得到 ，根据数列的单调性得到答案.
【详解】
（1）设 的公差为 ， ，由 ，得 .
浙江省杭州市学军中学等五校2020届高三第二学期联考数学试题卷附答案
浙江省杭州市学军中学等五校2020届高三第二学期联考数学试卷选择题部分(共40分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集U=R ，集合{|1,},R A x x x ∈=„集合{|21,R}x B x x ∈=„.则集合A∩B 是 ( )A ．(],1-∞B ．[]0,1C ．[]1,0-D ．[)1,-+∞ 2．已知双曲线221x y a b-=(a>0，b>0)的离心率为2，则其渐近线方程为( )A ．y =B ．y =C ．y =D ．y x =±3某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最短的棱与最长的棱长度之比是 ( )A ．2B ．3C ．4D ．134．已知x ，y 满足约束条件1,2,30x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，若2x y m +≥恒成立，则m 的取值范围是( )A ．3m ≥B ．3m ≤C ．72m ≤D ．73m ≤ 5．在△ABC 中”sin cos A B >”是“△ABC 为锐角三角形”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．函数()|2|122x f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭图象可能是( )7．新冠来袭，湖北告急!有一支援鄂医疗小队由3名医生和6名护士组成，他们全部要分配到三家医院。
每家医院分到医生1名和护士1至3名，其中护士甲和护士乙必须分到同一家医院,则不同的分配方法有( )种A ．252B ．540C ．792D ．6848．如图，矩形ABCD中,1,AB BC E ==是AD 的中点，将△ABE 沿BE 翻折，记为,AB E '∆在翻折过程中，①点A ’在平面BCDE 的射影必在直线AC 上; ②记A ’E 和A ’B 与平面BCDE 所成的角分别为α，β，则tan tan βα-的最大值为0;③设二面角'A BE C --的平面角为θ，则'A BA θπ+∠≥.其中正确命题的个数是()A ．0B ．1C ．2D ．39．已知()f x 是定义域为()0,+∞的单调函数，若对任意的(0,),x ∈+∞都有()134f f x log x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，且方程()32|3|694f x x x x a -=--++在区间(]0,3上有两解，则实数a 的取值范围是( ) A ．05a <≤B ．5a <C ．05a <<D ．5a ≥ 10．已知数列{}+1,(N ),0,n nn n a a n a a ∈+>则当2n ≥时，下列判断不一定．．．正确的是 ( ) A ．n a n ≥ 211..n n n n B a a a a +++-≥-c ．211n n n na a a a +++≤ D ．存在正整数k ，当n≥k 时，1n a n ≤+恒成立. 非选择题部分(共110分)二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．二项式()*N n n ⎛∈ ⎝的展开式中，所有二项式系数之和为256，则n = ▲ ;且此展开式中含x 项的系数是 ▲12．已知复数,(,,R)z x yi x y =+∈若|2|1z i +=，则max ||z = ▲ ;2x y +的取值范围是 ▲。
浙江省杭州市2024届高三下学期4月教学质量检测数学试题含答案
2023学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测数学试题卷（答案在最后）考生须知：1．本试卷分试题卷和答题卷两部分．满分150分，考试时间120分钟.2．请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定的区域（黑色边框）内作答，超出答题区域的作答无效！3．考试结束，只需上交答题卡.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数()sin f x x=的最小正周期是A.4πB.2πC.πD.2π【答案】C 【解析】【详解】sin x 的图象是将sin x 的图象在x 轴下方的部分对称翻折上来所得，所以周期是sin x 周期的一半，即周期为π.2.已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是A.若//,//,m n αα则//m n B.若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C.若m α⊥，m n ⊥，则//n α D.若//m α，m n ⊥，则n α⊥【答案】B 【解析】【详解】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B 正确.考点：空间点线面位置关系．3.已知,a b 是两个单位向量，若向量a 在向量b 上的投影向量为12b，则向量a 与向量a b - 的夹角为（）A.30°B.60°C.90°D.120°【答案】B【解析】【分析】由条件结合投影向量的定义可求,a b，再根据向量夹角余弦公式求结论.【详解】因为向量a 在向量b 上的投影向量为12b ，,a b是两个单位向量，所以1cos ,2a a b b b ⋅= ，所以1cos ,2a b = ，又[],0,πa b ∈ ，所以π,3a b = ，所以()21111122a ab a a b ⋅-=-⋅=-⨯⨯=，又11a a b =-=== ，，所以()1cos ,2a ab a a b a a b ⋅--==⋅- ，又[],0,πa a b -∈ ，所以向量a 与向量a b - 的夹角为π3，即60 .故选：B.4.设甲：“函数()2sin f x x ω=在ππ,34⎡⎤-⎢⎣⎦单调递增”，乙：“02ω<≤”，则甲是乙的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据函数单调性求出ω的范围，即可判断答案.【详解】若“函数()2sin f x x ω=在ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增”，则0ω>，由ππ22x ω-≤≤得ππ22x ωω-≤≤，则ππ23ππ24ωω⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，解得302ω<≤，所以，甲是乙的充分不必要条件.故选：A5.设数列{}{},n n a b 满足11111,2,2nn n n n a b a b n a b ++==+=+=．设n S 为数列{}n n a b +的前n 项的和，则7S =（）A.110B.120C.288D.306【答案】A 【解析】【分析】利用分组求和法，结合已知，可得答案.【详解】711223344556677S a b a b a b a b a b a b a b =+++++++++++++()()()()()()11232345456767a b a b b a a b b a a b b a =+++++++++++++246112222422622448161264110=++⨯++⨯++⨯+=++++++=.故选：A.6.将5名志愿者分配到三个社区协助开展活动，每个志愿者至少去一个社区，每个社区至少1名，则不同的分配方法数是（）A.300B.240C.150D.50【答案】C 【解析】【分析】先分组，人员构成可能为1、1、3或1、2、2，再将3组全排列即可得.【详解】先将5名志愿者分成3组，若这三组的人员构成为1、1、3，则共有35C 种分组方案，若这三组的人员构成为1、2、2，则共有225322C C A 种分组方案，再将这3组志愿者随机分配到三个社区，共有33A 种分配方案，故共有2233535322C C 103C +A 106150A 2⎛⎫⨯⎛⎫⋅=+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭种分配方法.故选：C.7.设集合{1,1}M =-，{|0N x x =>且1}x ≠，函数()xxf x a a λ-=+（0a >且1a ≠），则（）A.(),,M a f x λ∀∈∃∈N 为增函数B.(),,M a f x λ∃∈∀∈N 为减函数C.(),,M a f x λ∀∈∃∈N 为奇函数D.(),,M a f x λ∃∈∀∈N 为偶函数【答案】D 【解析】【分析】结合指数函数的单调性与奇偶性检验各选项即可.【详解】当1λ=时，()x xf x a a -=+，1a >时，()f x 在(,0)-∞上不是增函数，故A 不正确；当1λ=-时，()xxf x a a-=-，1a >时，()f x 在(0,)+∞上为增函数，B 不正确；当1λ=时，()x xf x a a -=+，()()x x f x a a f x --=+=，()f x 为偶函数，故C 不正确；当1λ=时，()x xf x a a -=+，()()x x f x a a f x --=+=，()f x 为偶函数，故D 正确；故选：D.8.在ABC 中，已知sin cos sin ,cos sin cos A A n C n C B B ==．若πtan 34A ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则n =（）A.无解B.2C.3D.4【答案】A 【解析】【分析】由πtan 34A ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭可得tan 2A =，进而得到tan tan tan 2A B C =⋅=，借助三角形内角和与两角和的正切公式可得tan tan 2B C +=，设tan B t =，有2220t t -+=，可得该方程无解，故不存在这样的n .【详解】由π1tan tan 341tan AA A+⎛⎫+==- ⎪-⎝⎭，即tan 2A =，则cos 0A ≠，由sin cos sin ,cos sin cos A An C n C B B ==，知cos 0C ≠，则tan tan tan AC B=，则tan tan tan 2A B C =⋅=，又()()tan tan tan tan πtan tan tan 1tan tan B CA B C B C B C B C+=--=-+=-=+-⋅，故tan tan 2B C +=，设tan B t =，则tan 2C t =-，有()22t t -=，即2220t t -+=，4840∆=-=-<，即该方程无解，故不存在这样三角形，即n 无解.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知关于x 的方程210(22)x tx t ++=-<<的两根为1z 和2z ，则（）A.12z z =B.121z z ⋅=C.12=z zD.1122z z z z ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】ABC 【解析】【分析】求出方程的两根，即可判断A ，利用韦达定理判断B ，计算出两根的模，即可判断C ，利用复数代数形式的除法运算及B 项的结论化简12z z ，即可判断D.【详解】关于x 的方程210(22)x tx t ++=-<<，则240t ∆=-<，4i 2t x -±∴=，不妨设1422t z =-+，24i 22t z =--，12z z ∴=，故A 正确；由韦达定理可得121z z =，故B正确；121z z ==，故C 正确；121z z = ，∴2222111212222z z t t z z z z ⎛⎫-===-+=- ⎪ ⎪⎝⎭，则21222z t z ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，当0t ≠时，12R z z ∉，此时1122z z z z ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，故D 错误．故选：ABC ．10.已知函数()f x 对任意实数x 均满足()()2211f x f x +-=，则（）A.()()f x f x -=B.1f=C.()113f -=D.函数()f x在区间上不单调【答案】ACD 【解析】【分析】令x 等价于x -，则()()2211f x f x -+-=，可推导出()()f x f x -=，进而可判断A ，利用赋值法可判断B ,C ；先算出满足21x x =-的x 值，由此可得1123f f ⎛⎫+==⎪⎪⎝⎭，即可判断D .【详解】对于A ，令x 等价于x -，则()()2211f x f x -+-=，所以()()()2112f x f x f x ---==，故A 正确；对于B ，令1x =，则()()2101f f +=，令0x =，则()()2011f f +=，解得：()()1013f f ==，令x =，()211ff +=，则13f =，故B 错误；对于C ，由A 知，()()f x f x -=，所以()()1113f f -==，故C 正确；对于D ，令21x x =-，所以210x x --=，解得：12x ±=，令12x =，则112122ff ⎛⎫⎛+++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以15123f ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，因为152+∈，15123f f⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在区间上不单调，故D 正确.故选：ACD .11.过点()2,0P 的直线与抛物线C ：24y x =交于,A B 两点．抛物线C 在点A 处的切线与直线2x =-交于点N ，作NM AP ⊥交AB 于点M ，则（）A.直线NB 与抛物线C 有2个公共点B.直线MN 恒过定点C.点M 的轨迹方程是()()22110x y x -+=≠D.3MNAB的最小值为【答案】BCD 【解析】【分析】设出直线AB 的方程为2x ty =+，代入24y x =，然后写出切线方程，结合韦达定理可判断AB ；根据B 可得M 的轨迹方程，从而判断C ；利用弦长公式及点到直线的距离公式表示出3MN AB，然后利用导数的知识求出最值进而判断D.【详解】设直线AB 的方程为2x ty =+，221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭联立224x ty y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得2480y ty --=，则12124,8y y t y y +==-，对于A ：抛物线C 在点A 处的切线为21124y y y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当2x =-时得12112144282222y y y y y yty -=-=+=-=，即()2,2N t -，所以直线NB 的方程为1221222242424y y y y y y x y --⎛⎫-=- ⎪⎝⎭--，整理得1144y y x y =--，联立112444y y x y y x ⎧=--⎪⎨⎪=⎩，消去x 的122116604y y y y ++=，解得18y y =-，即直线NB 与抛物线C 相切，A 错误；对于B ：直线MN 的方程为()122x y t t +=--，整理得y x t=-，此时直线MN 恒过定点()0,0，B 正确；对于C ：又选项B 可得点M 在以线段OP 为直径的圆上，点O 除外，故点M 的轨迹方程是()()22110x y x -+=≠，C 正确；对于D：222t MN +==，AB ===则()()3253222222221t t MN AB t ⎛⎫++==+，,m m =≥则()352221MN m ABm =-，设()()5222,1m f m m m=≥-则()()()()()()()2426242244221018121511m m m m m m mf m m m -----'==--，当>m 时，()0f m '>，()f mm <<时，()0f m '<，()f m 单调递减，所以()()2min 25255851f m f ===-，D 错误.故选：BC.【点睛】方法点睛：直线与抛物线联立问题第一步：设直线方程：有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，都可由点斜式设出直线方程．第二步：联立方程：把所设直线方程与抛物线方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程．第三步：求解判别式Δ：计算一元二次方程根的判别式Δ＞0.第四步：写出根之间的关系，由根与系数的关系可写出．第五步：根据题设条件求解问题中的结论．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.写出与圆221x y +=相切且方向向量为(的一条直线的方程______．【答案】2y =+或2y =-（写出一个即可）【解析】【分析】由条件可设直线方程为y b =+，结合条件列方程求b 即可得结论.【详解】因为切线的方向向量为(，故可设切线方程为y b =+，因为直线y b =+与圆221x y +=相切，又圆221x y +=的圆心坐标为()0,0，半径为1，圆心()0,0到直线y b =+2b =，所以12b =，所以2b =或2b =-，所以与圆221x y +=相切且方向向量为(的直线为2y =+或2y =-，故答案为：2y =+或2y =-（写出一个即可）.13.函数()2f x=______．【答案】【解析】【分析】借助换元法令t =，可得()()325f x h t t t t==-+-，借助导数求取函数()h t 的单调性后，即可得解.【详解】令0t =>，则21x t =-，故()()()2223321125f tt t x t t t-++==-+---，令()()3250h t t t t t=-+->，则()()(242222231235235t t t t t t th t t t '++--++=-++==-，当(t ∈时，()0h t '>，当)t ∈+∞时，()0h t '<，则()h t在(上单调递增，在)+∞时单调递减，故()35h t h≤=-+⨯即函数()2f x =.故答案为：.14.机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示，该纸杯母线长为12cm ，开口直径为8cm ．旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时，椭圆的离心率等于______．【答案】17【解析】【分析】依题意，利用等腰三角形ABC 求得cos α,再由余弦定理求出椭圆长轴长，作出圆锥的轴截面交椭圆于点,P Q ，建立坐标系，利用三角形重心性质和相似三角形求出点P 坐标，代入椭圆方程即可求得半短轴长，利用离心率定义计算即得.【详解】如图，设BCD α∠=,因12,8AB AC BC ===,故41cos 123α==，又6CD =,由余弦定理，22212cos 3664268683BD CD BC CD BC α=+-⋅=+-⨯⨯⨯=，即BD =,设椭圆中心为O ,作圆锥的轴截面AMN ,与底面直径BC 交于E ，与椭圆交于,P Q ，连AE 交BD 于G ，以点O 为原点，DB 为x 轴，建立直角坐标系.则23AG AE =,又由APQ AMN 得216,33PQ MN ==133DG DB ==,从而33OG =-=则得8(,)33P -,不妨设椭圆方程为22221x y a b+=，把a =和点P坐标代入方程，解得b =，则3c ==，故.17c e a ===故答案为：31717.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*4224,21n n S S a a n ==+∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足13b =，令21n n n n a b a b ++⋅=⋅，求证：192nk k b =<∑．【答案】（1）()21n a n n *=-∈N （2）证明见解析【解析】【分析】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由题意可得()()11114684212211a d a da n d a n d +=+⎧⎨+-=+-+⎩，解方程求出1,a d ，即可求出数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）可得12123n n b n b n +-=+，由累乘法可求出{}n b 的通项公式，再由裂项相消法求解即可.【小问1详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ．由4224,21n n S S a a ==+，得()()11114684212211a d a da n d a n d +=+⎧⎨+-=+-+⎩，解得：1a 1,d 2==，所以()()12121n a n n n *=+-=-∈N ．【小问2详解】由（1）知，()()12123n n n b n b +-=+，即12123n n b n b n +-=+，12321n n b n b n --=+，122521n n b n b n ---=-，……，322151,75b b b b ==，利用累乘法可得：1211212325313212175n n n n n b b b n n b b b b b n n -----=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-，12311nkn nk bb b b b b -==+++++∑ ()()9911212122121n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭9111111112335572121n n ⎡⎤⎛⎫=-+-+-++- ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎣⎦ 911221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭所以191912212nk k b n =⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭∑．16.已知函数()()()21ln 22f x a x x a =+-∈R ．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个极值点，（ⅰ）求实数a 的取值范围；（ⅱ）证明：函数()f x 有且只有一个零点．【答案】（1）答案见解析；（2）（ⅰ）10a -<<；（ⅱ）证明见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，再分1a ≤-、10a -<<、0a ≥三种情况，分别求出函数的单调区间；（2）（ⅰ）由（1）直接解得；（ⅱ）结合函数的最值与零点存在性定理证明即可.【小问1详解】函数()()()21ln 22f x a x x a =+-∈R 的定义域为()2,-+∞，且()()21122x a a f x x x x -+++='=-++，当1a ≤-时，()0f x '≤恒成立，所以()f x 在()2,-+∞单调递减；当10a -<<时，令()0f x '=，即()2110x a -+++=，解得11x =，21x =，因为10a -<<，所以011a <+<，则211-<<-，所以当()2,1x ∈-时()0f x '<，当()1x ∈时()0f x ¢>，当)1,x ∈+∞时()0f x '<，所以()f x 在()2,1--上单调递减，在()1上单调递增，在)1,-+∞上单调递减；当0a ≥时，此时12≤-，所以()1x ∈-时()0f x ¢>，当)1,x ∈+∞时()0f x '<，所以()f x 在()1--上单调递增，在)1,-+∞上单调递减．综上可得：当1a ≤-时()f x 在()2,-+∞单调递减；当10a -<<时()f x 在()2,1-上单调递减，在()1-上单调递增，在)1,-+∞上单调递减；当0a ≥时()f x 在()1--上单调递增，在)1,-+∞上单调递减．【小问2详解】（ⅰ）由（1）可知10a -<<．（ⅱ）由（1）()f x 在()2,1-上单调递减，在()1-上单调递增，在)1,-+∞上单调递减，所以()f x 在1x =-处取得极大值，在1x =-处取得极小值，又10a -<<，所以011a <+<，则112<<，又())))211ln1102f x fa =-=+-<极大值，又())110f f<<，所以()f x 在()1,+∞上没有零点，又10a -<<，则44a<-，则440e e a -<<，442e 2e 2a --<-<-，则240e 24a ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭，所以2441e 24e 202a af ⎛⎫⎛⎫-=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在()2,1--上存在一个零点，综上可得函数()f x 有且只有一个零点．17.如图，在多面体ABCDPQ 中，底面ABCD 是平行四边形，60,244,DAB BC PQ AB M ∠=︒===为BC 的中点，,,PQ BC PD DC QB MD ⊥⊥∥．（1）证明：90ABQ ∠=︒；（2）若多面体ABCDPQ 的体积为152，求平面PCD 与平面QAB 夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）10．【解析】【分析】（1）根据余弦定理求解DM =，即可求证DM DC ⊥，进而根据线线垂直可证明线面垂直，即可得线线垂直，（2）根据体积公式，结合棱柱与棱锥的体积关系，结合等体积法可得PM h ==坐标系，求解法向量求解.【小问1详解】在DCM △中，由余弦定理可得DM =，所以222DM DC CM +=，所以90MDC ∠=︒，所以DMDC ⊥．又因为DC PD ⊥，,,DM PD D DM DP ⋂=⊂平面PDM ,所以DC ⊥平面PDM ,PM ⊂平面PDM ．所以DC PM ⊥．由于//,2PQ BM PQ BM ==,所以四边形PQBM 为平行四边形，所以PM QB ∥．又AB DC ，所以AB BQ ⊥，所以90ABQ ∠=︒．【小问2详解】因为QB MD ⊥，所以PM MD ⊥，又PM CD ⊥，,,DC MD D DC MD ⋂=⊂平面ABCD ,所以PM ⊥平面ABCD ．取AD 中点E ，连接PE ，设PM h =．设多面体ABCDPQ 的体积为V ，则33P CDEM A PEM P CDEM P AEM P CDEM ABQ PEM V V V V V V V ------=+=+=+三棱柱四棱锥四棱锥四棱锥112π152212551sin 333323AEM AEM AEM AEM CDEM S h S h S h S h S h h =⨯+⨯=⨯+⨯=⨯=⨯⨯⨯⨯=△△△△四边形．解得PM h ==建立如图所示的空间直角坐标系，则()())2,0,,1,0A B C-，)(((),,,0,0,0DP Q M ．则平面QAB 的一个法向量()1,0,0n =．所以()0,1,0,CD PD ==-，设平面PCD 的一个法向量(),,m x y z =，则0,0,m CD n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,0,y =⎧⎪-=取()3,0,1m = ．所以cos 10m n m n θ⋅==⋅ ．所以平面PAD 与平面PMD夹角的余弦值为10．18.已知,A B 是椭圆22:14xE y +=的左，右顶点，点()(),00M m m >与椭圆上的点的距离的最小值为1.（1）求点M 的坐标.（2）过点M 作直线l 交椭圆E 于,C D 两点（与,A B 不重合），连接AC ，BD 交于点G .（ⅰ）证明：点G 在定直线上；（ⅱ）是否存在点G 使得CG DG ⊥，若存在，求出直线l 的斜率；若不存在，请说明理由.【答案】（1）()3,0；（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）存在，4525±【解析】【分析】（1）设()00,P x y，利用两点距离距离得PM =，然后根据330,22m m ≤分类讨论求解即可；（2）（ⅰ）设直线()()1122:3,,,,l x ty C x y D x y =+，与椭圆方程联立方程，结合韦达定理得121265y y ty y +=-，写出直线AC ，BD 的方程，进而求解即可；（ⅱ）由题意点G 在以AB为直径的圆上，代入圆的方程求得4,33G ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭，写出直线AC 的方程，与椭圆联立，求得点C 的坐标，进而可得答案.【小问1详解】设()00,P x y 是椭圆上一点，则220044x y +=，因为()022PM x ==-≤≤，①若min30,12m PM <≤==，解得0m =（舍去），②若min3,12m PM >==，解得1m =（舍去）或3m =，所以M 点的坐标位()3,0.【小问2详解】（ⅰ）设直线()()1122:3,,,,l x ty C x y D x y =+，由22314x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()224650t y ty +++=，所以12122265,44t y y y y t t +=-=++，所以121265y y ty y +=-，①由216800t ∆=->，得t>或t <，易知直线AC 的方程为()1122y y x x =++，②直线BD 的方程为()2222y y x x =+-，③联立②③，消去y ，得()()()()121212221211212552221x y ty y ty y y x x x y ty y ty y y ++++===--++，④联立①④，消去12ty y ，则()()12212155265526y y y x x y y y-+++==---++，解得43x =，即点G 在直线43x =上；（ⅱ）由图可知，CG DG ⊥，即AG BG ⊥，所以点G 在以AB 为直径的圆上，设4,3G n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则22443n ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以253n =±，即425,33G ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭.故直线AC 的方程为()25y x =±+，直线AC 的方程与椭圆方程联立，得291640x x +-=，解得2A x =-,所以412929C x =-⋅-=，所以9C y =±,故25l MC k k ==±.19.在概率统计中，常常用频率估计概率．已知袋中有若干个红球和白球，有放回地随机摸球n 次，红球出现m 次．假设每次摸出红球的概率为p ，根据频率估计概率的思想，则每次摸出红球的概率p 的估计值为p m n=．（1）若袋中这两种颜色球的个数之比为1:3，不知道哪种颜色的球多．有放回地随机摸取3个球，设摸出的球为红球的次数为Y ，则()3,Y B p ～．注：()p P Y k =表示当每次摸出红球的概率为p 时，摸出红球次数为k 的概率）（ⅰ）完成下表；k0123()14P Y k =2764164()34P Y k =9642764（ⅱ）在统计理论中，把使得．．()p P Y k =的取值达到最大时的．．．．．．．．p ，作为p 的估计值，记为 p ，请写出 p 的值．（2）把（1）中“使得()p P Y k =的取值达到最大时的p 作为p 的估计值 p ”的思想称为最大似然原理．基于最大似然原理的最大似然参数估计方法称为最大似然估计．具体步骤：先对参数θ构建对数似然函数()l θ，再对其关于参数θ求导，得到似然方程()0l θ'=，最后求解参数θ的估计值．已知(),Y B n p ～的参数p 的对数似然函数为()11()ln 1ln(1)nnii i i l p Xp X p ===+--∑∑，其中0,1,i i X i ⎧=⎨⎩第次摸出白球第次摸出红球．求参数p 的估计值，并且说明频率估计概率的合理性．【答案】（1）（ⅰ）表格见解析；（ⅱ）1,0,143,2,3ˆ4y p y ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩；（2）11ni i X n =∑，答案见解析【解析】【分析】（1）（ⅰ）分14p =与34p =计算即可得；（ⅱ）结合题意与所得表格即可得解；（2）求取函数()11()ln 1ln(1)nnii i i l p Xp X p ===+--∑∑的导数，借助导数得到函数的最大值点，即可得解.【小问1详解】因为袋中这两种颜色球的个数之比为1:3，且()3,Y B p ～，所以p 的值为14或34；（ⅰ）当14p =时，()()211134271C 164P Y p p ==-=，()()2213492C 164P Y p p ==-=，当34p =时，()()30033410C 164P Y p p ==-=，()()22334272C 164P Y p p ==-=，表格如下k0123()14P Y k =27642764964164()34P Y k =16496427642764（ⅱ）由上表可知()()33C 1kk kp P Y k p p -==-．当0y =或1时，参数14p =的概率最大；当2y =或3时，参数34p =的概率最大．所以1,0,143,2,3ˆ4y p y ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩；【小问2详解】由()11()ln 1ln(1)nnii i i l p Xp X p ===+--∑∑，则()()111111n ni i i i l p X X p p =='=---∑∑，令()1111101n n i i i i X X p p ==--=-∑∑，即()11111111nniii i nnniiii i i X n X pnpXXX=====---===-∑∑∑∑∑，故11n i i p X n ==∑，即当110,n i i X n p =⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∑时，()0l p '>，当11,1n i i p X n =⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∑时，()0l p '<，故()l p 在110,n i i X n =⎛⎫ ⎪⎝⎭∑上单调递增，在11,1n i i X n =⎛⎫⎪⎝⎭∑上单调递减，即当11n i i p X n ==∑时，()l p 取最大值，故11ˆni i pX n ==∑，因此，用最大似然估计的参数 p 与频率估计概率的 p 是一致的，故用频率估计概率是合理的．【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助导数求取函数()l p 取最大值时的p ，得到11ˆni i pX n ==∑.。
2020届浙江省杭州市高三下学期教学质量检测数学试题
绝密★启用前2019学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测数学试卷注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.设集合A={}2|4x y x =-(){|1},B x y ln x ==+则A∩B=( )()[](][].2,2. 2.2.1,2. 1.2A B C D ----2.设M 为不等式1010x y x y +-<⎧⎨-+>⎩所表示的平面区域,则位于M 内的点是( )()()()0,22,00,2.(20)A B C D --3.某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A 76B ．54C ． 43D ．534,3n n a =是”函数()()R |1|||f x x x a x =-+-∈的最小值等于2”的( )A 充分不必要条件B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件D.充要条件5.在我国古代数学著作《详解九章算法》中,记载着如图所示的一张数表,表中除1以外的每一个数都等于它肩上两个数之和,如:6=3+3则这个表格中第8行第6个数是( ) A.21B.28C.35D.566.函数1(41xye x=--其中e为自然对数的底数)的图象可能是( )7.抛掷一枚质地均匀的硬币,若出现正面朝上则停止抛掷,至多抛掷n i次,设抛掷次数为随机变量,1,2.iiξ=若n1=3n2=5,则( )()()()()()()()12122112.(),.,A E E D DB E DE Dξξξξξξξξ<<＜＜＜()()()()()()()()() 121212212 .,).,,C E ED D DE D DE Dξξξξξξξξξ><>>8.已知函数()sin()(0)cos(),(0)x a xf xx b x+≤⎧=⎨+>⎩是偶函数,则ab的值可能是( ).,33A a bππ==2.,36B a bππ==25.,.,3636C bD a bππππ====9.设a,b,c为非零不共线向量,若|(1)||()a tc tb ac t R-+--∈…则(()().A a b a c+⊥-()().*B a b b c+⊥()().C a c a b-⊥+()().D a c b c-⊥+()*11310.{}.44n nna a naN+=-∈数列满足若存在实数c.使不等式a2n<c<a2n-1对任意n∈N*恒成立,当11a=时,c=( )A．16B．14C．13D．12二、填空题11.设复数1,,)1z a i bi b za i iR =-=+∈+且（为虚数单位则ab= ▲ |z|= ▲ 6112.x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的的展开式的所有二次项系数和为 ▲ 常数项为 ▲13.设双曲线()2222,10,0x y a b a b-=>>的左、右焦点为F,2P 为该双曲线上一点且12|2||3|PF PF =若2160,F F P ︒=∠则该双曲线的离心率为 ▲ 渐近线方程 为 ▲14.在ABC V 中,若()22,22Asin A sin B C cosBsinC =+=. 则_____,_____ACA AB== 15.已知S n 是等差数列{}n a 的前n 项和,若244,16,S S 厔则a 3的最大值是 ▲ 16.安排ABCDEF 共6名志愿者照顾甲、乙、丙三位老人,每两位志愿者照顾一位老人,考虑到志愿者与老人住址距离问题,志愿者A 安排照顾老人甲,志愿者B 不安排照顾老人乙,则安排方法共有 ▲ 种17.已知函数()()3|||3|,.f x x a x R b a b =-+-∈当[]()0,2.,x f x ∈的最大值为(),,M a b 则(),M a b 的最小值为 ▲ 三、解答题18.已知函数()21022f x sin x x s ωωω=+-> (1)若ω=1.求()f x 的单调递增区间2)若 1.3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭求()f x 的最小正周期T 的最大值19.如图,在四棱锥P=ABCD 中,PC ⊥底面ABCD,底面ABCD 是直角梯形.AB AB CD AD ⊥P AB=2AD=2CD=2，E 是PB 上的点(1)求证:平面EAC ⊥PBC;(2)若E 是PB 的中点,且二面角P AC E ︒--的余弦值为3,求直线PA 与平面EAC所成角的正弦值20.(本题满分15分)已知数列{}na的各项均为正数,a1=14，b n=na,{}nb是等差数列,其前n项和为26,81.nSS b=⋅(1)求数列{a n}的通项公式()()()31212123(2)111,,nn n nnccca aa aa a a Tc c=--⋅⋅-=+++L若对任意的正整数n,都有4aT n<c恒成立,求实数a的取值范围21.(本题满分15分)如图,已知M(1,2)为抛物线()220:C y px p=>上一点，过点()2,2D-的直线与抛物线C交于AB两点(AB两点异于M),记直线AM,BM的料率分别为k1,,,,k2(1)求k1k2的值(2)记,BMDAMD VV的面积分别为S1,S2,当[]11,2,k∈L求12SS的取值范围22.(本题满分15分)已知函数()()()ln,0.x af x e x a x-=-+…其中0,a>f x>(1)若a=l.求证:()0.(2)若不等式()1ln2x≥恒成立,试求a的取值范围f x-对0。
浙江省杭州市2020届高三模拟数学试卷及解析答案
【解析】利用平面向量线性运算和数量积运算，将 AC BC 转化为
A．1
B．-2
C．2
D．-2i
【答案（答案仅供参考）】B
【解析】利用复数的除法运算化简 z 的表达式，由此求得 z 的虚部.
【详解】
依题意
z
=
2
+ i
i
=
(2
+ i)(−i) i (−i)
=
1−
2i
，故虚部为
−2
.
故选：B 【画龙点睛】 本小题主要考查复数除法运算，考查复数虚部的求法，属于基础题.
3．已知双曲线 C
浙江省杭州市 2020 届高三模拟数学试卷
一、单选题
1．若集合 A = {x | x2 −1 0}, B = {x | 0 <x<4}，则 A∩B=（ ）
A．(-∞，-1)
B．[0，4)
C．[1，4)
D．(4，+∞)
【答案（答案仅供参考）】C
【解析】解一元二次不等式求得集合 A ，由此求得两个集合的交集.
由
y2 a2
−
x2 b2
= 0 可得
y
=
a b
x ，即为双曲线的渐近线的方程，
又渐近线方程为 y = 1 x ， 2
∴a =1， b2
∴b = 2. a
∴离心率 e = c = a
a2 + b2 = a
1+
b2 a2
=
5．
故选 B．
【画龙点睛】
（1）求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量 a, b, c
V = 14 2 2 = 8，
3
3
浙江省杭州市两校2020届高三下学期第二次联考数学试题 Word版含解析
两校第二次联考数学试题卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分共150分，考试时间为120分钟.选择题部分(共40分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{1,3,5,7,9},{13,5},{3,5,7},U A B ===，则()U A C B =（ ）A. ∅B. {1}C. {3,5}D.{1,3,5,9}【答案】B 【解析】 【分析】根据交集与补集的定义，即可得到本题答案.【详解】因为{1,3,5,7,9},{3,5,7}U B ==，所以{}=1,9U C B ， 又因为{}1,3,5A =，所以(){}1U A C B =.故选：B【点睛】本题主要考查集合的补集与交集的运算，属基础题. 2.复数z 满足()23+,z i i ⋅-=则复数z 的共轭复数的虚部是（ ） A. i B. -iC. 1D. -1【答案】D 【解析】 【分析】由复数的乘除法运算法则，可算得复数z ，从而可得到z 的共轭复数的虚部. 【详解】由题，得3(3)(2)5512(2)(2)5i i i iz i i i i ++++====+--+， 所以z 的共轭复数为1i -，虚部为1-. 故选：D【点睛】本题主要考查了复数的乘除法运算以及复数的相关概念，属基础题.3.双曲线22491x y -=的渐近线方程是（ ） A. 94y x =±B. 49y x =±C. 23y x =±D. 32y x =±【答案】C 【解析】 【分析】令22490x y -=，即可求得双曲线的渐近线方程.【详解】因为双曲线的方程为22491x y -=，令22490x y -=，得2249y x =，即23y x =±， 所以双曲线的渐近线方程为23y x =±. 故选：C【点睛】本题主要考查根据双曲线的方程求渐近线方程，属基础题. 4.设,a R ∈则“”11a -<是23a a <“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C .充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】分别解出两个不等式的解集，由小范围推出大范围，即可得到本题答案. 【详解】由11a -<，得02a <<，又由23a a <，得0<<3a ， 所以“|1|1a ''-<是23a a <“”的充分不必要条件， 故选：A【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，涉及到绝对值不等式和一元二次不等式的解法.5.已知随机变量X 的分布列是：当a 变化时，下列说法正确的是（ ）A. E (X )，D (X )均随着a 的增大而增大B. ()(),E X D X 均随着a 的增大而减小C. E (X )随着a 的增大而增大，D (X )随着a 的增大而减小D. E (X )随着a 的增大而减小(),D X 随着a 的增大而增大 【答案】A 【解析】 【分析】先确定a 的取值范围，然后写出()(),E X D X 关于a 的关系式，即可得到本题答案.【详解】由题，得1020a a ⎧-≥⎪⎨⎪≥⎩，所以102a ≤≤，又()11101231326E X a a a ⎛⎫=⨯+-⨯+⨯+⨯=+ ⎪⎝⎭， ()()()()222221111511232624D X a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=⨯++-⨯+⨯-+⨯-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()(),E X D X 均随着a 的增大而增大. 故选：A【点睛】本题主要考查离散型分布列的期望和方差的求法，其中涉及到函数单调性的判断，必须要在函数的定义域内判断函数的单调性. 6.函数()()()21sin 2,f x x x xππ=+-的图像可能是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性排除A 、B 选项，再由函数在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的符号即可判断. 【详解】()()()21sin 2f x x x f x -=-+=-，f x 是奇函数，排除A 、B 选项；当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2,2x ππ∈，sin 2[1,0)x ∈-，所以()()21sin 20f x x x =+<，排除C 选D. 故选：D【点睛】本题考查函数图象的判别，利用函数的奇偶性、周期性及单调性进行选项排除，属于基础题.7.在三棱锥S -ABC 中，侧棱SA ，SB ，SC 两两成等角，且长度分别为a ，b ，c ，设二面角S -BC -A ，S -AC –B ，S -AB -C 的大小为,,αβγ，若,a b c >>则α，β，γ的大小关系是（ ）A. αβγ>>B. αγβ>>C. r βα>>D.γβα>>【答案】A 【解析】 【分析】不妨设侧棱SA ，SB ，SC 两两互相垂直，由AS ⊥平面SBC 推出AS SD ⊥，由cos sin SO SDO SAO a ∠=∠=可求得α的余弦值，同理可得cos cos SO SOb cβγ==，，根据a b c >>及余弦函数的单调性即可得解.【详解】不妨设侧棱SA ，SB ，SC 两两互相垂直，如图作SO ⊥平面ABC ，易知O 为△ABC 的垂心，连接AO ，延长AO 交BC 于点D ，连接SD ，因为侧棱SA ，SB ，SC 两两互相垂直，所以AS ⊥平面SBC ， 由SD ⊂平面SBC ，AS SD ∴⊥，△ASD 为直角三角形，因为AD BC ⊥，由三垂线定理知SD BC ⊥，所以SDA ∠即为二面角S -BC -A 的平面角记为α，cos sin SO SDO SAO a ∠=∠=，cos SO a α∴=，同理可得cos cos SO SOb cβγ==，，又,a b c >>cos c s s c o o γβα>∴>， 而此时αβγ、、都为锐角，αβγ∴>>. 故选：A【点睛】本题考查二面角的概念、三棱锥的结构特征、三角函数的应用，属于中档题. 8.有来自甲乙丙三个班级的5位同学站成一排照相，其中甲班2人，乙班2人，丙班1人，则仅有一个班级的同学相邻的站法种数有（ ） A. 96 B. 48 C. 36 D. 24【答案】B 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理及插空法即可求解.【详解】由题意知，可以是甲班的2名同学相邻也可以是乙班的2名同学相邻，相邻的2名同学和丙班的1名同学站队，共有122222C A A 种站法，再将另外一个班级的2名同学进行插空，共有23A 种方法，由分步乘法计数原理知，仅有一个班级的同学相邻的站法种数为1222222348C A A A =.故选：B【点睛】本题考查分步乘法计数原理、排列组合的有关知识，属于基础题.9.已知F 1，F 2是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，过右焦点F 2的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，且满足2212,||||,AF F B F B AB ==则该椭圆的离心率是（ ）A.12B.33C.32D.53【答案】B 【解析】 【分析】设2BF m =，用m 表示出2AF 、1BF 、1AF ，由12AF AF =知A 为椭圆的上顶点，直线2AF 的方程与椭圆方程联立求出交点的横坐标，利用222AF F B =列出等式化简即可求得离心率. 【详解】设2BF m =，则212223AF m BF AF BF m ==+=，，由椭圆的定义知1212=2BF BF AF AF a ++=，∴11222AF BF BF AF m =+-=，12AF AF =，∴A 为椭圆的上顶点，设()0,A b ，又()1,0F c ，则直线2:b AF y x b c =-+，直线方程代入椭圆方程22221x y a b+=中得：222221+a a x x c c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得0x =或2222a c a c +， 222AF F B =，22222a c c c a c ⎛⎫∴=- ⎪+⎝⎭，化简得223a c =，222133c e e a ∴==⇒=故选：B【点睛】本题考查椭圆的几何性质、椭圆离心率相关问题、求直线与椭圆的交点，属于中档题.10.设函数()()()||f x g x a a R =-∈在区间[]1,4上的最大值()M a 的最小值为4，则符合条件的()g x 有（ ）①x 2+16x ②22311x x x -+-③322232x x x x -+-A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①③【答案】D 【解析】 【分析】分别求出三个函数的值域，再结合||y x a =-的图象进行分析可得答案.【详解】对于①，216()g x x x =+([1,4])x ∈，322162(8)()2x g x x x x-'=-=， 所以当[1,2)x ∈时，()0g x '<，函数216()g x x x=+递减，当(2,4]x ∈时，()0g x '>，函数216()g x x x=+递增，所以当2x =时，()g x 取得最小值(2)12g =，当4x =时，()g x 取得最大值(4)20g =，所以()[12,20]g x ∈，所以当16a ≤时，()|20|204M a a a =-=-≥，当16a >时，()|12|124M a a a =-=->， 所以()[4,)M a ∈+∞，此时()M a 的最小值为4，符合题意，故①正确；对于②，()g x =22311x x x -+-(21)(1)211x x x x --==--((1,4])x ∈为增函数， 所以()(1,7]g x ∈，所以当4a ≤时，()|7|7M a a a =-=-[3,)∈+∞，不符合题意，故②不正确；对于③，()g x =322232x x x x -+-()233g x x x x '=-， ()''222=-+g x xx x因为[1,4]x ∈，所以()''0>gx ，所以()g x '在[1,4]上递增，所以()(1)233110g x g ''≥=-+-=>，所以()g x 在[1,4]上递增，所以(1)()(4)g g x g ≤≤， 所以0()8g x ≤≤，所以当4a ≤时，()|8|84M a a a =-=-≥，当4a >时，()|0|4M a a a =-=>， 所以()[4,)M a ∈+∞，所以()M a 的最小值为4，符合题意，故③正确. 故选：D【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的最值和值域，属于中档题.非选择题部分(共110分)二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.我国古代著作《庄子天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完.那么，第6天截取之后，剩余木棍的长度是_________尺；要使剩余木棍的长度小于12018尺，需要经过________次截取. 【答案】 (1). 164(2). 11 【解析】 【分析】建立等比数列模型：记第n 天后剩余木棍的长度{}n a ，则{}n a 是首项为12，公比为12的等比数列，利用等比数列的通项公式即可解决.【详解】记第n 天后剩余木棍的长度{}n a ，则{}n a 是首项为12，公比为12的等比数列， 所以12n n a =，所以6611264a ==，由1122018n n a =<得10n >，所以n 的最小值为11. 所以第6天截取之后，剩余木棍的长度是164尺，要使剩余木棍的长度小于12018尺，需要经过11次截取. 故答案为：164；11. 【点睛】本题考查了等比数列的应用，考查了等比数列的通项公式，属于基础题.12.已知2()⎛⎫=- ⎪⎝⎭nf x x x 的展开式中第三项的二项式系数为15，则n =__________，该展开式中常数项为__________. 【答案】 (1). 6 (2). 60 【解析】 【分析】由2(1)152nn n C -==,解得6n =,化简()()36626662()12kkk k k k kk T C x Cxx---=-=-,令3602k-=即可求出k ,即可解得所求. 【详解】2(1)152nn n C -==,所以6n =,()()366626612()2kkk k k k kk T C x Cxx---∴=-=-,令3602k -=,解得4k =,该展开式中常数项为()4466421=60C --. 故答案为: 6;60.【点睛】本题考查了二项式定理的应用,考查了推理能力与计算能力,难度较易. 13.某几何体的三视图如图所示，则其体积为________，外接球的表面积为________【答案】 (1). 3 (2). 12π 【解析】 【分析】根据三视图可知，几何体的直观图是一个三棱锥，把它放在棱长为2的正方体中，即可求得结果.【详解】根据三视图可知，几何体的直观图是一个三棱锥A BCD -，把它放在棱长为2的正方体中，如图所示：其体积为114222323⨯⨯⨯⨯=，其外接球与正方体的外接球相同， 所以外接球半径为222122232R =++= 所以外接球的表面积为2412S R ππ==. 312π.【点睛】本题考查了由三视图还原直观图，考查了棱锥的体积公式，考查了球的表面积公式，属于基础题.14.在ABC ∆中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4,45,a B ︒==若()()()sin sin sin ,a b A B c b C -+=-则A =________，b =________.【答案】 (1). 3π (2). 463【解析】 【分析】由正弦定理角化边以及余弦定理可得2221cos 22b c a A bc +-==，可得3A π=；由正弦定理sin sin a b AB =即可得到46b =【详解】由()()()sin sin sin a b A Bc b C -+=-以及正弦定理得，()()()a b a b c b c -+=-，所以222b c a bc +-=，所以2221cos 22b c a A bc +-==， 因为0A π<<，所以3A π=.由正弦定理得sin sin a b A B =32=，解得46b =故答案为：3π46. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理，属于基础题.15.若实数x ，y 满足2320220,2x y x y y -+⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩|23|x y --的取值范围是________【答案】[4,9] 【解析】 【分析】作出可行域，设23z x y =--，利用线性规划求出z 的取值范围，从而可得||z 的取值范围. 【详解】作出可行域，如图所示：令23z x y =--，化为斜截式得13222zy x =--， 由图可知，2,2x y =-=时，z 取得最小值9-，1,0x y =-=时，z 取得最大值4-， 所以94z -≤≤-，所以||[4,9]z ∈. 故答案为：[4,9].【点睛】本题考查了线性规划求目标函数的取值范围，属于基础题.16.已知函数()321,02,0a x x f x x ax x x ⎧-≤⎪=⎨-+->⎪⎩的图象经过三个象限，则实数a 的取值范围是________.【答案】()221,+∞ 【解析】 【分析】按照0x ≤、02x <<、2x ≥三种情况讨论，结合二次函数的判别式、对称轴、开口、特殊函数值可得答案.【详解】当0x ≤时，3()||11f x a x =-≤-，此时函数图象经过第三象限； 当02x <<时，2()(1)2f x x a x =-++，当0x →时，()2f x →，此时函数图象恒经过第一象限，(1)若()2180a ∆=+->且10a +>，即221a >时，函数图象经过第一、四象限，当2x ≥时，2()(1)2f x x a x =---，()2180a ∆=-+>，()242f a =-的值可正，可负可为零，函数图象经过第一、四象限或只经过第一象限,符合题意；(2)若221a =-时，当02x <<时，2()22f x x x =-+，函数图象只经过第一象限，当2x ≥时，对称轴1212a x -==，()2426420f a =-=->，函数图象只经过第一象限，不符合；(3) 若221a <时，当02x <<时，2()(1)2f x x a x =-++，∆<0， 此时函数图象只经过第一象限，当2x ≥时，对称轴1212a x -=<，()2426420f a =->->，函数图象只经过第一象限，不符合；故答案为：()221,+∞.【点睛】本题主要考查二次函数以及分段函数的图象和性质，涉及分类讨论思想的应用，属于中档题．17.已知P 为边长为2的正ABC ∆所在平面内任一点，满足0,PA PB PB PC PC PA ⋅+⋅+⋅=则PA PB ⋅的取值范围是________ 【答案】2222[ 【解析】 【分析】以AB 的中点为原点，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系：利用坐标进行运算可得答案.【详解】以AB 的中点为原点，AB 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系：则(1,0)A -，(1,0)B ， 3)C ，设(,)P x y ，所以(1,)PA x y =---，(1,)PB x y =--，(3)PC x y =-，所以2(1)(1)(1)(3)(1)3)0x x y x x y y x x y y ---+-------=， 所以2233310x y +--=，所以2232(33x y +-=，所以363633y ≤≤， 所以221PA PB x y ⋅=+-23113+=-22[]33∈-. 故答案为：2222[,33-. 【点睛】本题考查了解析法，考查了平面向量数量积的坐标运算，属于基础题. 三、解答题：本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 18.已知函数()223sin cos 2cos f x x x x a =⋅-+（1）求函数()f x 的最小正周期，单调减区间； （2）若函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为3.锐角a 满足()53f α=，求sin 2α的值. 【答案】（1）函数()f x 的最小正周期为π，函数()f x 的单调递减区间为5[,]36k k ππππ++，k Z ∈，（2322±【解析】 【分析】（1）利用二倍角的正、余弦公式和两角和的正弦公式化简函数解析式，利用正弦型函数的周期公式可得最小正周期，根据正弦函数的单调性可得单调递减区间；（2）根据正弦函数的值域可得()f x 的最大值为1a +，可得2a =，()2sin(2)16f x x π=-+，根据()53fα=可得1sin(2)63πα-=，2cos(2)63πα-=±，再根据sin 2sin(2)66ππαα=-+sin(2)cos cos(2)sin 6666ππππαα=-+-可求得结果.【详解】（1）()223sin cos 2cos f x x x x a =⋅-+32cos 21x x a =--+2sin(2)16x a π=--+, 所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==， 由3222262k x k πππππ+≤-≤+，k Z ∈， 得536k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈， 所以函数()f x 的单调递减区间为5[,]36k k ππππ++k Z ∈. （2）当[0,]2x π∈时，52[,]666x πππ-∈-，1sin(2)[,1]62x π-∈-， 所以()[2,1]f x a a ∈-++，所以13a +=，解得2a =，可得所以()2sin(2)16f x x π=-+，所以5()2sin(2)163f παα=-+=，所以1sin(2)63πα-=， 因为(0,)2πα∈，所以当(0,)3πα∈时，2(,)662πππα-∈-，122cos(2)169πα-=-=， 所以sin 2sin(2)66ππαα=-+sin(2)cos cos(2)sin 6666ππππαα=-+- 1322132232+=+ 当[,)32ππα∈时，52[,)626πππα-∈，22cos(2)63πα-=-，所以sin 2sin(2)66ππαα=-+sin(2)cos cos(2)sin 6666ππππαα=-+- 13221322332-=⨯-⨯=. 【点睛】本题考查了二倍角的正弦、余弦公式，考查了两角和与差的正弦公式，考查了正弦型函数的周期公式，考查了正弦函数的单调区间，考查了三角函数的最值，属于中档题. 19.如图，在三棱锥D -ABC 中,234,AC BC DC ABC ==为锐角三角形，平面ACD ⊥平面,90ABC BCD ∠=.（1）求证：CD ⊥平面ABC（2）若直线BD 与平面ACD 所成角的正弦值为74，求二面角D -AB -C 的余弦值. 【答案】（1）证明见详解；（277【解析】 【分析】（1）过B 作BH AC ⊥，交AC 于点H ，利用面面垂直的性质定理可得BH ⊥平面ACD ，从而证出BH CD ⊥，再由BC CD ⊥，利用线面垂直的判定定理即可证出.（2）过C 作CM AB ⊥，交AB 于点M ，则CMD ∠为二面角D -AB -C 的平面角，在ABC 中，由余弦定理求出AB ，利用三角形面积相等求出CM ，即可求解. 【详解】（1）过B 作BH AC ⊥，交AC 于点H ， 平面ACD ⊥平面ABC ，且平面ACD 平面ABCAC =，则BH ⊥平面ACD ，CD ⊂平面ACD ，BH CD ∴⊥， 又90BCD ︒∠=，BC CD ∴⊥，BH BC B⋂=，CD平面ABC.（2）过C作CM AB⊥，交AB于点M，则CMD∠为二面角D-AB-C的平面角，由（1）可知，BHD∠为直线BD与平面ACD所成角，即7sin BHD∠=设1CD=，由234AC BC DC==，则43BC=，2AC=，所以2245133BD⎛⎫=+=⎪⎝⎭，由7sin4BHBHDBD∠==，解得75574312BH==，所以575712sin4163BHACBBC∠===由ABC锐角三角形，所以2579cos11616ACB⎛⎫∠=-=⎪⎪⎝⎭，在ABC中，由余弦定理，2221649252cos42293169 AB CA CB CA CB ACB=+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=，所以53AB=，由1122ABCS AC BH AB CM=⋅=⋅，解得72CM=，所以2711122DM ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以 77772cos 1111CM CMD DM ∠====【点睛】本题考查了面面垂直的性质定理、线面垂直的判定定理、求面面角，考查了考生的逻辑推理能力，属于中档题.20.已知数列{}{},,n n a b 其中12,1,n n a b a =-=且点()1,n n a a +在函数()()2f x x x =+的图像上*,n N ∈（1）证明：数列{}n lgb 是等比数列，并求数列{}n a 的通项； （2）记T n 为数列{}n b 的前n 项积，S n 为数列{}n c 的前n 项和，1111n n n c b b =+-+，试比较S n 与213nT -大小.【答案】（1）证明见详解；1231n n a -=-；（2）213n nS T >-【解析】 【分析】（1）由题意可得21n n b b +=，再两边取对数化简后，由等比数列的定义即可证明，根据等比数列的通项公式可得数列{}n b 的通项公式，进而可得数列{}n a 的通项.（2）首先利用等比数列的前n 项和公式求出n T ，再利用裂项相消法求出n S ，两式作差即可比较大小.【详解】（1）由1n n b a -=，1n n a b ∴=-，12a =，则13b =，点()1,n n a a +在函数()()2f x x x =+的图像上， 则()12n n n a a a +=+，()()2111121n n n n b b b b +∴-=--+=-，21n n b b +∴=，21lg lg 2lg n n n b b b +∴==，即1lg 2lg n nb b +=， ∴数列{}n lgb 是等比数列，又1lg lg 3b =，1lg 2lg 3n n b -∴=⋅，112lg32103n n n b --⋅∴==，1231n n a -∴=-.（2）由（1）可知112lg32103n n n b --⋅==，所以02122221233333n n n T b b b b -=⋅⋅=⋅⋅()02111222222112333nn n -⨯-+++--===所以2122221313313n n n T -==--⋅-.由1111n n n c b b =+-+，即1122113131n n n c --=+-+， 所以1223131112n nn c -⎛⎫=--⎝-⎪⎭， 所以123n n S c c c c =+++0212222221111112313131313131n n-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦02222112221131313113n n n⎛⎫=-=-=+ ⎪----⎝⎭， 所以2222111313213n nn n S T -=+-=---，所以213n nS T >-.【点睛】本题考查了等比数列的定义、等比数列的通项公式、等比数列的前n 项和公式、裂项相消法求和，此题综合性比较强，属于难题. 21.已知(),0,02p F p ⎛⎫>⎪⎝⎭，点M 在x 轴上，点L 在y 轴上，且2MN ML =，LM LF ⊥，当点L 在y 轴上运动时，动点N 的轨迹为曲线C .过x 轴上一点K 的直线交曲线C 于P ，Q 两点.（1）求曲线C 的轨迹方程； （2）证明：存在唯一的一点K ，使得2211PKQK+为常数，并确定K 点的坐标.【答案】（1）()22,0y px p => （2）证明见解析；(),0K p . 【解析】 【分析】（1）根据题意，画出几何图形，设(),N x y ，由几何关系可知FM FN =，结合点的坐标即可求得,x y 的关系，化简即可求得曲线C 的轨迹方程；（2）由K 点在x 轴上，可设(),0K a ，设出过点K 的直线方程为()y k x a =-，联立抛物线方程，并由两点间距离公式表示出22,PK QK ，并代入2211PKQK+中化简即可求得常数a 的值，即可确定点K 的坐标.【详解】（1）根据题意可知，(),0,02p F p ⎛⎫>⎪⎝⎭，点M 在x 轴上，点L 在y 轴上，且2MN ML =，LM LF ⊥，画出几何关系如下图所示：设(),N x y ，L 为MN 中点，因为L 在y 轴上，所以点M 的横坐标为x -， 由等腰三角形三线合一可知FM FN =，即2222p p x x y ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭22y px =， 所以曲线C 的轨迹方程为()22,0y px p =>. （2）证明：点K 为x 轴上一点，设(),0K a ，则过点K 的直线方程为()y k x a =-，交抛物线()22,0y px p =>于()11,P x y ，()22,Q x y 两点.则()22y k x a y px⎧=-⎨=⎩，化简变形可得()22222220k x ak p x k a -++=， 所以221212222222,ak pp x x a x x a k k ++==+=，由两点间距离公式可得()()222211112PKx a y x a px =-+=-+，()()222222222QKx a y x a px =-+=-+，所以2211PKQK+()()2211221122x a px x a px =+-+-+()()22221122112222x p a x a x p a x a =++-++-+()()()()2221212222211222222222x x p a x x a x p a x a x p a x a ++-++=⎡⎤⎡⎤+-++-+⎣⎦⎣⎦()()()()()()()()()()2212121222222241212121212122222222222x x x x p a x x a x x p a x x x x a x x p a x x a p a x x a +-+-++=+-++++-+-++将21212222,p x x a x x a k +=+=代入化简可得()22222111p ak a p k PKQK++=+， 所以当a p =时2211PKQK+为常数，且222111p PKQK+=， 此时(),0K p .【点睛】本题考查了轨迹方程的求法，抛物线中直线过定点问题的解法，直线与抛物线位置关系的综合应用，计算量大，是高考的常考点和难点，属于难题. 22.已知函数()()()ln ,1f x x g x ax a R ==-∈ （1）讨论函数()()()h x f x g x =-的单调性；（2）若函数()f x 与()g x 的图象有两个不同的交点()()112212),(,, A x y B x y x x < （i ）求实数a 的取值范围（ii ）求证：110,y -<<且122(y ye e e +>为自然对数的底数).【答案】(1) 当0a ≤时,函数()h x 在(0,)+∞上单调递增;当0a >时, 函数()h x 的单调递增区间为1(0,)a ,单调递减区间为1(,)a+∞. (2)(i)(0,1) (ii)证明见解析. 【解析】 【分析】 (1)1(),(0)h x a x x'=->,对a 分类讨论：0,0a a ≤>,利用导数的正负号研究函数的单调性; (2)(i)由(1)可知，当0a ≤时()f x 单调,不存在两个零点,当0a >时,可求得()f x 有唯一极大值,令其大于零,可得到a 的范围,再判断极大值点左右两侧附近的函数值小于零即可;高考资源网（ ） 您身边的高考专家(ii)构造函数2221()()()ln()()1(ln 1),(0)G x h x h x x a x x ax x aa a a=--=---+--+<≤,根据函数的单调性证明即可.【详解】由题意知()()()=ln 1h x f x g x x ax =--+,所以1(),(0)h x a x x'=->. 当0a ≤时, ()0h x '>,函数()h x 在(0,)+∞上单调递增; 当0a >时,令1()0h x a x '=->，解得10x a<<； 令1()0h x a x '=-<，解得1x a>； 所以函数()h x 在1(0,)a上单调递增,在1(,)a+∞上单调递减. 综上所述：当0a ≤时,函数()h x 在(0,)+∞上单调递增;当0a >时, 函数()h x 的单调递增区间为1(0,)a ,单调递减区间为1(,)a+∞.(2)(i) 函数()f x 与()g x 的图象有两个不同的交点()()112212),(,, A x y B x y x x <等价于函数()h x 有两个不同的零点12,x x ,其中12x x <.由(1)知, 当0a ≤时,函数()h x 在(0,)+∞上单调递增;不可能有两个零点.当0a >时, 函数()h x 在1(0,)a 上单调递增,在1(,)a +∞上单调递减,此时1()h a为函数()h x 的最大值.当1()0h a≤时,()h x 最多有一个零点, 所以11()=ln0h a a>,解得01a <<， 此时,2211e e a a<<,且1()110a a h e e e =--+=-<，2222()22ln 132ln (01)e e e h a a a a a a=--+=--<<，.令2()32ln ,(01)e F a a a a =--<<,则222222()0,(01)e e aF a a a a a-'=-+=><<, 所以()F a 在(0,1)上单调递增,所以2()(1)30,F a F e <=-<即22()0e h a<,所以a 的取值范围是(0,1).(ii)因为()ln 1h x x ax =-+在1(0,)a 上单调递增,在1(,)a+∞上单调递减, 所以1()110a ah e e e=--+=-<,(1)10h a =->, 所以111x e<<,即11()0f x -<<,所以110y -<<. 构造函数222()()()ln()()1(ln 1)G x h x h x x a x x ax a a a=--=---+--+2ln()ln 22x x ax a =--+-,1(0)x a<<则212()11()2)022()a x a G x a x x x x a a-'=-+=<--, 所以()G x 1(0,)a上单调递减, 又因为110x a <<, 所以11()()0G x G a>=,因为2()0,h x =所以11122()()()()G x h x h x h x a=-->,又1()0,h x = 所以122()()h x h x a->由(1)知()h x 在1(,)a +∞上单调递减得：122,x x a -<即122+,x x a>又因为1122ln ,ln y x y x ==,所以1212,y yx e x e ==即122yy e ea+>, 又因为01a <<，所以22a> 所以122y y e e +>.【点睛】本题综合考查了运用导数解决函数的单调性,证明不等式.属于难题.讨论函数的单调性一定要思路清晰，再结合函数的图像解决函数的零点问题.本题的难点在于找到1()0h e <与22()0e h a<及构造函数()G x .。
杭州市两校2020届高三数学下学期第二次联考试题含解析
【答案】
【解析】
【分析】
作出可行域，设 ，利用线性规划求出 的取值范围，从而可得 的取值范围。
【详解】作出可行域，如图所示:
令 ,化为斜截式得 ，
由图可知， 时， 取得最小值 , 时, 取得最大值 ，
所以 ，所以 .
故答案为： 。
【点睛】本题考查了线性规划求目标函数的取值范围，属于基础题。
16。已知函数 的图象经过三个象限，则实数a的取值范围是________。
【答案】
【解析】
【分析】
按照 、 、 三种情况讨论，结合二次函数的判别式、对称轴、开口、特殊函数值可得答案.
【详解】当 时, ，此时函数图象经过第三象限；
当 时, ，
当 时， ，此时函数图象恒经过第一象限，
（1）若 且 ，即 时,函数图象经过第一、四象限，
当 时, , , 的值可正，可负可为零,函数图象经过第一、四象限或只经过第一象限，符合题意;
因为侧棱SA,SB，SC两两互相垂直，所以 平面SBC，
由 平面SBC， ，△ASD为直角三角形，
因为 ，由三垂线定理知 ，所以 即为二面角S—BC—A的平面角记为α，
， ，同理可得 ,
又 ，
而此时 都为锐角， .
故选：A
【点睛】本题考查二面角的概念、三棱锥的结构特征、三角函数的应用，属于中档题。
8.有来自甲乙丙三个班级的5位同学站成一排照相，其中甲班2人，乙班2人,丙班1人,则仅有一个班级的同学相邻的站法种数有（ ）
17。已知P为边长为2的正 所在平面内任一点，满足 则 的取值范围是________
【答案】
【解析】
【分析】
以 的中点为原点， 的垂直平分线为 轴，建立平面直角坐标系:利用坐标进行运算可得答案。
2020届浙江省杭州市高级中学高三下学期教学质量检测数学试题(解析版)
2020届浙江省杭州市高级中学高三下学期教学质量检测数学试题一、单选题1．已知集合{}|11x R x P ∈-<<=，{}|02R x Q x =∈≤<那么()R P C Q =（ ）A ．（-1，2）B ．（0，1）C ．（-1，0）D ．（1，2）【答案】C【解析】先求出集合Q 的补集，然后求()R P C Q 即可.【详解】解：因为{}|02R x Q x =∈≤<，所以{0R C Q x x =<或x ≥}2， 所以(){}10R P C Q x x ⋂=-<<， 故选：C 【点睛】此题考查了集合的交集、补集运算，属于基础题.2．双曲线221916x y -=的左顶点到其渐近线的距离为（ ）A ．2B ．95C ．125D ．3【答案】C【解析】先求左顶点坐标以及渐近线方程，再根据点到直线距离公式求结果. 【详解】因为双曲线221916x y -=的左顶点为(3,0)-，渐近线方程为220,430916x y x y -=±=所以双曲线221916x y -=的左顶点到其渐近线的距离为|4(3)30|1255⨯-±⨯= 故选：C 【点睛】本题考查双曲线渐近线以及点到直线的距离公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 3．已知一个四棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由正视图和俯视图可知，则该几何体P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，P A⊥面ABCD，其直观图如图所示，由三视图知识知，其侧视图如A所示，故选A．4．若x,y满足约束条件x0x+y-30z2x-2y0x y≥⎧⎪≥=+⎨⎪≤⎩，则的取值范围是A．[0,6]B．[0,4]C．[6, +∞）D．[4, +∞）【答案】D【解析】解：x、y满足约束条件，表示的可行域如图：目标函数z=x+2y经过C点时，函数取得最小值，由解得C（2，1），目标函数的最小值为：4目标函数的范围是[4，+∞）．故选D．5．若函数()2()4mx f x n=-的大致图象如下图所示，则（ ）A ．0,01m n ><<B ．0,1m n >>C ．0,01m n <<<D ．0,1m n <>【答案】B【解析】利用()0f x =时，0x >和x →+∞时()f x →+∞进行逐项排除即可. 【详解】令()0f x =，即4mx n =，则4log mx n =，即41log x n m=， 由图可知，41log 0n m>， 故0m >时1n >，0m <时01n <<，排除A 、D ； 当0m <时，易知4mx y =是减函数，且当x →+∞时，0y →则2()f x n →，C 明显不合题意，排除C ； 故选：B 【点睛】本题考查指数函数的性质和解析式较复杂的函数图象的判断；考查学生分析问题、解决问题的能力和运算求解能力；通过观察图象，选取合适的特殊值点进行排除是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.6．对于任意实数,x x 表示不小于x 的最小整数，例如1.12,1,11=-=-,那么“||1x y -<”是“x y =”（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】通过给x y ，取特值得到前者推不出后者，通过推导判断出后者可以推出前者，根据必要不充分条件的定义判断出结论 【详解】由已知可得令 1.80.9x y ==，，满足1x y -<， 但1.82=，0.91= x y ≠，而x y =时，必有1x y -<∴“1x y -<”是“x y =” 必要不充分条件故选B 【点睛】本题主要考查了充要条件的判断，说明一个命题不成立常用举反例的方法，考查利用充要条件的定义判断一个命题是另一个命题的什么条件． 7．已知随机变量ξ的分布列如下：则当a 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内増大吋（ ） A ．D ξ増大 B ．D ξ減小C ．D ξ先増大后減小 D ．D ξ先減小后増大 【答案】C【解析】由随机变量ξ的分布列得：0101011b a b a b a b a -⎧⎪⎪⎨⎪⎪-++=⎩，解得0.5b =，00.5a ，可得E ξ．D ξ，利用二次函数的单调性即可得出． 【详解】解：由随机变量ξ的分布列得：0101011b a b a b a b a -⎧⎪⎪⎨⎪⎪-++=⎩，解得0.5b =，00.5a ， 0.52E a ξ∴=+，00.5a ．22222111(20.5)(0.5)(0.52)0.5(1.52)424442D a a a a a a a a ξ⎛⎫=---+-⨯+-=-++=--+⎪⎝⎭， 所以10,4a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时D ξ单调递增，11,42a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时D ξ单调递减，故选：C ． 【点睛】本题考查了随机变量的分布列期望与方差、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．己知1e ，2e ，3e 是空向单位向量，且满足122312e e e e ⋅=⋅=，若向量()1231b e e λλ=+-，R λ∈.则3e 在b 方向上的投影的最大值为（ ）A．B．3C．2D．3【答案】D【解析】由题意得123,,e e e 是空间中两两夹角为60°的单位向量，构造棱长为1的正四面体O ABC -，使得123,,OA e OB e OC e ===，在射线OA 上取点D ，使得133OD OA e ==，由三点共线定理可得P 在直线BD 上，根据投影定理可得3e 在b 方向上的投影33cos ,e b e =3cos ,cos ,b e OP OC =，当COP ∠最小时，余弦值最大，结合图示，即可求解. 【详解】易得123,,e e e 是空间中两两夹角为60°的单位向量. 如下图，构造棱长为1的正四面体O ABC -，使得123,,OA e OB e OC e ===， 在射线OA 上取点D ，使得133OD OA e ==设b OP =，则()1,b OP tOD t OB t R ==+-∈，由三点共线知P 在直线BD 上. 由定义知3e 在b 方向上的投影33cos ,e b e =3cos ,cos ,b e OP OC =作点C 在平面OAB 上的射影G .由最小角定理，当且仅当向量OP 与向量OG 同向时，,OP OC 最小，cos ,OP OC 最大.即max3cos ,cos ,3OP OC OG OC ==. 故选：D. 【点睛】本题考查向量的三点共线定理、向量的投影，解题的关键是根据共线定理得到P 在BD 上，结合图示，分析求解即可，对基础知识要求较高，考试分析化简，计算求值的能力，属中档题.9．已知k ∈R ，函数()()2322,11,1x x kx k x f x x k e e x ⎧-+≤⎪=⎨--+>⎪⎩，若关于x 的不等式()0f x ≥在x ∈R 上恒成立，则k 的取值范围为（ ）A ．20,e ⎡⎤⎣⎦B ．22,e ⎡⎤⎣⎦C ．[]0,4D ．[]0,3【答案】D【解析】首先对函数分段考虑，对k 进行分类讨论，求得函数在相应区间上的最小值满足条件，从而求得结果. 【详解】1x ≤时，2()22f x x x k =-+，所以其对称轴为x k =，开口向上，当1k <时，()f x 在(,)k -∞上递减，在(,1)k 上递增， 所以x k =时，()f x 有最小值()0f k ≥，解得01k ≤<， 当1k时，()f x 在(,1)-∞上递减，所以当1x =时，()f x 有最小值(1)10f =≥，综上得0k ≥， 当1x >时，3()(1)xf x x k e e =--+，'()()k f x x k e =-，当1k ≤时，()f x 在(1,)+∞上递增，所以3()(1)0f x f ke e >=-+≥，解得2k e ≤，所以此时1k ≤， 当1k >时，()f x 在(1,)k 上递减，在(,)k +∞上递增，所以3min ()()0k f x f k e e ==-+≥，解得3k ≤，此时13k <≤，综上0k ≤≤3，即k 的取值范围是[0,3]， 故选：D. 【点睛】该题主要考查分段函数及不等式恒成立问题，考查学生推理论证能力及运算求解能力，将恒成立问题转化为求最值问题，考查了学生转化与化归思想及分类讨论思想.10．已知数列{}n a 满足：0n a >，且()22*1132n n n a a a n N ++=-∈，下列说法正确的是（ ）A ．若112a >，则1n n a a +>B ．若12a >，则1317n n a -⎛⎫>+ ⎪⎝⎭C ．1532a a a +≤ D．211n n n n a a a +++-≥- 【答案】B【解析】由已知条件0n a >，且()22*1132n n n a a a n N ++=-∈分析可得1(1)(1)0n n a a +-->，然后构造函数y =即可. 【详解】由于()22*1132n n n a a a n N++=-∈得22111321n n n a a a ++-=--，11(1)(1)(1)(31)n n n n a a a a ++-+=-+，因为0n a >，所以1(1)(1)0n n a a +-->，对于A ，222111112()2(1)n n n n n n a a a a a a +++++-=-=-，因为112a >，所以1112a ->-，当11012a >->-时，210a -<，……，110,10n n a a +-<-<， 所以 2210n n a a +-<，所以1n n a a +<，故A 不正确；对于C ，考虑函数 232y x x =- ，如图所示，由图可知当0n a >时，数列{}1n n a a +-递减，所以1335a a a a ->-，即153+2a a a >，所以C 不正确； 对于D ，设1n a x +=，则22211332,n n x a x x a +++=-=由上图可知，21133n n n n a a a +++-≥-x x -≥-，等价于21)x +≥-， 等价于2210x x -+≤，而2210x x -+≤显然不成立，所以D 不正确； 由排除法可知B 正确. 故选：B 【点睛】此题考查数列的递推关系，考查函数与数列的给综合运用，考查逻辑推理能力和运算能力，属于难题.二、双空题 11．设121iz i-=++（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z =______，z =______【答案】2i +【解析】先化简得2z i =-，再求共轭复数和模长即可. 【详解】∵()()()211222221112i i iz i i i i ---=+=+=+=-++-∴2+z i =，z ==故答案为：2i +【点睛】本题主要考查复数的基本概念和四则运算，属于基础题.12．在二项式61x ⎫⎪⎭的展开式中，常数项是______，有理项的个数是______.【答案】15 4【解析】先求出通项公式，再令x 的指数为0求出常数项，令x 的指数为整数，求出r 的值，判断出展开式中有理项的个数． 【详解】因为二项式61)x的展开式的通项公式为：33621661()(1)r r rr r rr T C C x x--+=⋅⋅-=-⋅；其中0r =，1，2，3，4，5，6．令3302r -=可得2r ；故其常数项为：226(1)15C -=； 有理项需要x 的指数为整数r ∴是2的倍数0r ∴=，2，4，6．故展开式中有理项的个数是4； 故答案为：15；4． 【点睛】本题主要考查二项式定理的运用，解决二项展开式的特定项问题，应该利用的工具是二项展开式的通项公式．13．已知方程为2220x y x ay a ++-+=的圆关于直线40x y +=对称，则圆的半径r =______.若过点()1,0M 作该圆的切线，切点为A ，则线段MA 长度为______.【答案】3【解析】将圆方程整理成标准形式得到圆心与半径,由圆关于直线对称,得到直线过圆心,从而解出a ,求出半径,再根据MA AC ⊥,利用勾股定理求解即可. 【详解】圆的标准方程为:222(1)()124a a x y a ++-=+-,因为圆关于直线40x y +=对称, 所以圆心(1,)2a -在直线40x y +=上,所以8a =,圆半径3r ==,设圆心为C ,则(1,4)C -,所以MC =所以MA ==故答案为. 【点睛】本题考查圆的标准方程,利用其求半径,切线长等,属于基础题.此类题一般会利用圆的一些基本性质,例如:过圆心的直线平分圆,切点与圆心的连线与该切点处的切线垂直等,要求学生对圆的知识掌握熟练.14．在ABC ∆中，4BC =，135B ∠=︒，点D 在线段AC 上，满足BD BC ⊥，且2BD =，则cos A =______，AD =______.【答案】31025【解析】先求出cos ,sin BDC BDC ∠∠，然后由三角形内角和外角的关系得cos cos()A BDC DBA =∠-∠，利用两个差的余弦公式代入角的三角函数值计算即可；在ADB △中，利用正弦定理即可求得AD 【详解】解：在Rt BCD 中，22224225DC BC BD =+=+=，cos ,sin 2525BDC BDC ∴∠=∠=，cos cos()cos cos sin sin A BDC DBA BDC DBA BDC DBA ∴=∠-∠=∠∠+∠∠22222525=⨯+⨯31010=， 在ADB △中，sin sin AD BDABD A=∠，22sin 251sin 10BD AD ABD A ∴=⋅∠=⨯=，310；5【点睛】本题考查求解三角形的边与角，关键是对公式要熟悉，并能灵活应用，考查了计算能力，难度不大.三、填空题15．某地为提高社区居民身体素质和保健意识，从5名医生和2名护士共7名医务工作者中选出队长1人、副队长1人普通医务工作者2人组成4人医疗服务队轮流到社区为居民进行医疗保健服务，要求医疗服务队中至少有1名护士，则共有______种不同的选法（用数字作答） 【答案】360【解析】由于7名医务工作者中护士只有2名，而要从7名医务工作者中选4人至少有1名护士有两种情况，一是只有1名护士，另一个是有2名护士，然后由分类加法原理可得结果. 【详解】 解：分两类：①只有1名护士，共有：132254240C C A =种选法； ②有2名护士，共有：2254120C A =种； 故共有240+120=360种选法. 故答案为：360 【点睛】此题考查排列组合的应用，分类讨论方法，考查了推理能力和计算能力，属于基础题. 16．已知0a >，若集合{}22222220A x Z x x a x x a a =∈---+-+--=中的元素有且仅有2个，则实数a 的取值范围为________． 【答案】[)1,2【解析】由绝对值三角不等式知2222222x x a x x a a ---+-+-≥，进而得到集合A 中有且仅有两个元素等价于222a x x a -≤--≤有且仅有两个整数解，构造函数，并通过图象，即可得解. 【详解】222222x x a x x a ---+-+-≥()()2222222x x a x x a a -----+-=，当且仅当222a x x a -≤--≤时等号成立，∴22222220x x a x x a a ---+-+--≥，当且仅当222a x x a -≤--≤时等号成立，∴集合A 中有且仅有两个元素等价于不等式222a x x a -≤--≤有且仅有两个整数解，函数2()22f x x x =--=2117248x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的图象关于直线14x =对称， 又(2)8f -=，()11f -=，(0)2f =-，(1)1f =-，(2)4f =，作出函数()y f x =的图象，如图所示，由图知，要使222a x x a -≤--≤有两个整数解，则12a ≤<.故答案为：[)1,2. 【点睛】本题考查了绝对值三角不等式、集合问题及函数图象的应用，考查转化与化归的思想，合理运用绝对值三角不等式是本题的解题关键，属于中档题.17．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率是22，若以(0,2)N 为圆心且与椭圆C 26，此时椭圆C 的方程是____.【答案】221189x y +=【解析】根据题意设()00,P x y 为椭圆上任意一点,表达出2PN ,再根据二次函数的对称轴与求解的关系分析最值求解即可. 【详解】2,222a b c =+,所以222a b =,故椭圆方程为222212x y b b +=. 因为以(0,2)N 为圆心且与椭圆C 26,所以椭圆C 上的点到点(0,2)N 26.设()00,P x y 为椭圆上任意一点,则22002212x y b b+=.所以()()222222000022212y PNx y b y b ⎛⎫=+-=-+- ⎪⎝⎭()22000424y y b b y b =--++-≤≤因为()()220000424f y y y b b y b =--++-≤≤的对称轴为02y =-.(i)当2b >时,()0f y 在[],2b --上单调递增,在[]2,b -上单调递减. 此时()()2max 028226f y f b =-=+=,解得29b =.(ii)当02b <≤时, ()0f y 在[],b b -上单调递减. 此时()()2max 04426f y f b b b =-=++=,解得2622b =->舍去.综上29b =,椭圆方程为221189x y +=.故答案为：221189x y +=【点睛】本题主要考查了椭圆上的点到定点的距离最值问题,需要根据题意设椭圆上的点,再求出距离,根据二次函数的对称轴与区间的关系分析最值的取值点分类讨论求解.属于中档题.四、解答题18．已知函数()()sin ,0,02f x A x x R A πωϕϕ⎛⎫=+∈><<⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()1212g x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在13,424ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.【答案】（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）[]1,2. 【解析】（1）由图可知，115212122T πππ=-=，所以T π=，22T πω==，再把点(0,1)和5(,0)12π均代入函数()f x 中，结合0A >，02πϕ<<，可求得函数解析式为()2sin(2)6f x x π=+；（2）先根据（1）中函数()f x 的解析式分别求得()2sin 212f x x π-=，()2sin(2)123f x x ππ+=+，再结合正弦的两角和公式与辅助角公式可将函数()g x 化简为()2sin(2)3g x x π=-，最后结合正弦函数的图象即可求出其值域．【详解】 （1）∵11521212T ππ=-，∴T π=，2ω= sin 12,56212A A ϕπϕπϕπ=⎧⎪⇒==⎨⨯+=⎪⎩∴()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（2）2sin 212f x x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2sin 2123f x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴()1212g x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin 22sin 23x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭=2sin 2sin 22x x x -2sin 23x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭∵13,424x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ∴32,364x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦∴1sin 2,132x π⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∴[]2sin 21,23x π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭函数()g x 在13,424ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域[]1,2 【点睛】本题考查利用图象求函数的解析式、正弦函数的值域和三角恒等变换公式，属于基础题． 19．如图，四棱台1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，1CC ⊥底面ABCD ，且BAD ∠=60°，1114CD CC C D ===，E 是棱1BB 的中点.（1）求证：1AA BD ⊥；（2）求直线1AA 与平面11A EC 所成线面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）6735. 【解析】（1）由1C C ⊥底面ABCD ，得1C C BD ⊥，再由底面ABCD 是菱形，得BD AC ⊥，利用直线与平面垂直的判定可得BD ⊥平面1AC C ，进一步得到1BD AA ⊥；（2）设AC 交BD 于点O ，依题意，11//AC OC 且11AC OC =，得到1A O ⊥底面ABCD ．以O 为原点，OA 、OB 、1OA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．求出平面11EA C 的一个法向量与1AA 的坐标，再由两向量所成角的余弦值求解直线1AA 与平面11A EC 所成线面角的正弦值． 【详解】（1）因为1CC ⊥底面ABCD ，所以1CC BD ⊥ 因为底面ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥又1ACCC C =，所以BD ⊥平面1AC C又由四棱台1111ABCD A B C D -知，1A ，A ，1C ，C 四点共面 所以1BD AA ⊥（2）如图，设AC 交BD 于点O ，依题意，11//AC OC 且11AC OC =， 11//AO CC ∴，且11AO CC =， 又由已知1CC ⊥底面ABCD ，得1A O ⊥底面ABCD ．以O 为原点，OA 、OB 、1OA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图设AC 交BD 于点O ，依题意，11//AC OC 且11=AC OC ，所以11=AO CC 则()23,0,0A =，()10,0,4A =，()123,0,4C =-，()0,2,0B =， 由1112A B AB =，得()13,1,4B - 因为E 是棱1BB 中点，所以33,,222E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭所以133,222EA ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()1123,0,0AC=-，()123,0,4AA =- 设(),,n x y z =为平面11EA C 的法向量则11123033202n AC x n EA x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取3z =，得()0,4,3n = 设直线1AA 与平面11A EC 所成线面角为θ，则1167sin 35AA n AA nθ⋅==⋅ 所以直线1AA 与平面11A EC 所成线面角的正弦值6735【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，考查利用空间向量求解空间角，是中档题． 20．已知公差非零的等差数列{}n a 的前n 项和为()*n S n N∈，且1a ，2a ，4a 成等比数列，且410S =，数列{}n b 满足12b =，()1*122,n n n b b n n N ---=≥∈. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设数列{}n c 满足()ln ,nn na c n Nb +=∈，求证：()21131......,224n n c c n N n +-⎛⎫-⋅≤++≤∈≥ ⎪⎝⎭【答案】（1）n a n =；2nn b =；（2）证明见解析.【解析】（1）1a ，2a ，4a 成等比数列，且410S =，求出1a ，公差d ，求得{}n a 的通项公式；由12b =，()1*122,n n n b b n n N ---=≥∈，用累加法，求出{}n b 的通项公式；（2）由（1）先求出ln 2n n n c =，根据不等式左右的特点，分析可得应将ln 2n nnc =进行适当放缩使之能求和化简，2n ≥，由ln 22nnc ≥，左边部分可证得，右边部分分析可得3n ≥，()1ln 132ln 4n n n c c n ++=<，再用累乘法，等比数列的前n 项和公式，可证得右边. 【详解】解：（1）设数列{}n a 公差为d ，则2141,3a a d a a d =+=+，由题有2214410a a a S ⎧=⎨=⎩，则()()211113434102a d a a d a d ⎧+=+⎪⎨⨯+=⎪⎩，又0d ≠，得11,1d a ==，∴n a n = ∵()1*122,n n n b b n n N ---=≥∈，∴()()()112211...n nn n n b bb b b b b b ---=-+-++-+∴()12122212n n nb --=+=-（2）由（1）知ln 2n n n c =，()*n N ∈∵2n ≥，∴ln 22nnc ≥，∴12311ln211111421ln21ln2122212nn n nc c c---⎛⎫-⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭++⋅⋅⋅+=-⋅=-⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-≥，又()()1ln12ln2nnncnc n++=≥，又()231n n-+=()()()3222121121n n n n n n n n n---=---=+--当3n≥时，()()()12112n n n nn+-+≥≥，∴()231n n>+，∴()3ln2ln1n n>+，∴3n≥，()1ln132ln4nnncc n++=<，则564345333,,444c ccc c c<<<，…，134nncc-<，累乘得3334nnc c-⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭，3n≥∴2322314ln2ln3ln1833424414nncc c c-⎛⎫⎛⎫⋅-⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭+⋅⋅⋅+<+<+=<-，()*2,n N n∈≥即不等式()21131ln2......,224nnc c n N n+-⎛⎫-⋅≤++≤∈≥⎪⎝⎭成立.【点睛】本题考查了等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式，考查了放缩法的应用，应根据题目的特点，适当放缩，即ln ln222n n nnc=≥，2n≥和()1ln132ln4nnncc n++=<，3n≥是解决本题的关键，还考查了分析推理能力，运算能力，难度较大.21．已知O是坐标系的原点，F是抛物线2:4C x y=的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点，弦AB的中点为M，OAB的重心为G．（1）求动点G的轨迹方程；（2）设（1）中的轨迹与y 轴的交点为D ，当直线AB 与x 轴相交时，令交点为E ，求四边形DEMG 的面积最小时直线AB 的方程. 【答案】（1）；（2）301y x =±+. 【解析】 （1）设:AB ，根据题意列出k 所满足的式子，再消去参数k 即可求解；（2）联立直线方程与抛物线方程，将四边形DEMG 的面积用含k 的代数式表示出来，求得其最小值以及对应的k 值即可求解. 【详解】（1）焦点(0,1)F ，显然直线AB 的斜率存在，设:1AB y kx =+联立24x y =，消去y 得，2440x kx --=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，()G x y ,，则124x x k +=，124x x =-，∴212121142y y kx kx k +=+++=+，∴243{423k x k y =+=，消去k ，得重心G 的轨迹方程为23243y x =+；（2）由已知及（1）知，2(0,)3D ，1(,0)E k -，0k ≠，2M x k =，43Gk x =，∵23OD OG OF OM ==，∴//DG ME ， (注：也可根据斜率相等得到)，2413k DG k =+，22111()1(2)ME k k k k k k =+--=++，，D 点到直线AB的距离2213131d k k ==++∴四边形DEMG 的面积 221411*********(2)()2236363931k S k k k k k k =+++=+≥⋅=+，当且仅当101||3||k k =，即30k =DEMG 的面积最小，所求的直线AB 的方程为30110y x =±+.【考点】1.抛物线的标准方程及其性质；2.直线与抛物线的位置关系．22．已知函数()()()x f x x a ea R =-∈. （1）讨论()f x 的单调性；（2）当2a =时，设函数()()ln ,g x f x x x b b Z =+--∈，若()0g x ≥对任意的1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，求b 的最小值. 【答案】（1）单调递减区间为(),1a -∞-，单调递增区间为()1,a -+∞；（2）b 的最小值为-3.【解析】（1）由()()x f x x a e =-，可得()()1xf x x a e '=-+，根据导数与单调性的关系，即判断()f x 单调性；（2）由()()2ln x g x x e x x b =-+--，因为()0g x ≤对任意的1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，()2ln x b x e x x ≥-+-对任意的1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，构造函数()()2ln x h x x e x x =-+-，可得()()11x h x x e x ⎛⎫=-- ⎝'⎪⎭，由1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，对()h x '进行分析，利用函数零点存在定理，可知一定存在唯一的01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得001x e x =，进而求出()h x 的单调性，由此即可求出结果．【详解】（1）由题意，函数()()x f x x a e =-，可得()()1xf x x a e '=-+， 当(),1x a ∈-∞-时，()0f x '<；当()1,x a ∈-+∞时，()0f x '>，故()f x 的单调递减区间为(),1a -∞-，单调递增区间为()1,a -+∞（2）由()()()ln 2ln xg x f x x x b x e x x b =+--=-+--， 因为()0g x ≤对任意的1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立， 即()2ln x b x e x x ≥-+-对任意的1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立， 令()()2ln x h x x e x x =-+-，则()()()11111x x h x x e x e x x ⎛⎫'=-+-=-- ⎪⎝⎭， 因为1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以10x -<.又由函数()1x t x e x =-，可得()210x t x e x'=+>，所以函数()t x 单调递增， 因为121202t e ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()110t e =->， 所以一定存在唯一的01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00t x =，即001x e x =，即00ln x x =-， 所以()h x 在01,3x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在()0,1x 上单调递减， 所以()()()()000000max 012ln 124,3x h x h x x e x x x x ⎛⎫==-+-=-+∈-- ⎪⎝⎭. 因为b Z ∈，所以b 的最小值为-3.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、函数零点、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
2020届浙江省杭州市高三下学期4月统测模拟数学试题(解析版)
2020年4月杭州市统测模拟数学一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.已知R 实数集，集合{|lg(3)}A x y x ==+，{|2}B x x =≥，则()R C A B ⋃=（ ）A. {|3}x x >-B. {|3}x x <-C. {|3}x x ≤-D. {|23}x x ≤< 【答案】C【解析】【分析】化简集合，根据集合的并集补集运算即可.【详解】因为{|lg(3)}{|3}A x y x x x ==+=>-，所以A B U {|3}x x =>-，()R C A B ⋃={|3}x x ≤-，故选C.【点睛】本题主要考查了集合的并集、补集运算，属于中档题.2.复数5i z i =+上的虚部为（ ） A. 526 B. 526i C. 526- D. 526i - 【答案】A【解析】【分析】 化简得到152626z i =+计算虚部得到答案. 【详解】()515262626i i z i -==+，所以5i z i =+的虚部为526. 故选：A 【点睛】本题考查了复数虚部的计算，属于简单题.3.已知实数x ，y 满足线性约束条件10+20x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩，则2z x y =+的最小值为（ ）A. 1-B. 1C. 5-D. 5【答案】B【解析】【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定函数的最值即可.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：2y x z =-+，其中z 取得最小值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最小， 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最小值，联立直线方程：11x x y =⎧⎨+=⎩，可得点的坐标为：()1,1A -， 据此可知目标函数的最小值为：min 2211z x y =+=-=.故选B .【点睛】本题考查了线性规划的问题，关键是画出可行域并理解目标函数的几何意义，属于基础题. 4.已知公比为q 的等比数列{}n a 的首项10a >，则“1q >”是“53a a >”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据等比数列的性质可得530,0a a >>，若53a a >，可得21q >，然后再根据充分条件和必要条件的判断方法即可得到结果．【详解】由于公比为q 的等比数列{}n a 的首项10a >，所以530,0a a >>，若53a a >，则233a q a >，所以21q >，即1q >或1q <-，所以公比为q 的等比数列{}n a 的首项10a >，则“1q >”是“53a a >”的充分不必要条件，故选：A.【点睛】本题主要考查了等比数列的相关性质和充分必要条件的判断方法，熟练掌握等比数列的性质是解题的关键.5.一个正方体被截去一部分后所剩的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 6B. 203C. 7D. 223【答案】D【解析】【分析】 根据三视图还原几何体，根据其几何特征，即可求得结果.【详解】根据三视图还原几何体如下所示：由题意，该几何体是由一个边长为2的正方体截去一个底面积为1，高为2的一个三棱锥所得的组合体， 所以312221233V =-⨯⨯=， 故选：D，【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.6.已知函数f （x ）＝sin x x ωω（0ω＞，x ，R ）的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，把函数f （x ）的图象沿x 轴向左平移3π个单位，横坐标伸长到原来的2倍得到函数g （x ）的图象，则下列关于函数g （x ）的命题中正确的是（ ）A. 函数g （x ）是奇函数B. g （x ）的图象关于直线6x π=对称 C. g （x ）在33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上是增函数 D. 当66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，函数g （x ）的值域是[0，2] 【答案】B【解析】【分析】 先根据题意化简函数，然后根据题意求出周期，再根据变换求出g （x ），然后判断选项即可．【详解】()f x ＝sin ωx x ω=2sin (3x πω-)， 由题意知函数周期为π， 则2T ππω==，ω＝2，从而()f x ＝2sin (23x π-），把函数()f x 的图象沿x 轴向左平移3π个单位， 横坐标伸长到原来的2倍得到函数()g x ＝2sin (3x π+)，()g x 不是奇函数，A 错；()g x 在[36ππ-，]是单调递增，C 错； 66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，函数()g x 的值域是[1,2]，D 错； ()g x 的图象关于直线6x π=对称，B 对；只有选项B 正确，故选：B．【点睛】本题考查三角函数，图象的变换，以及图象的性质，属于中档题．7.如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则,A C区域涂色不相同的概率为()A. 17B.27C.37D.47【答案】D【解析】【分析】利用分步计数原理求出不同的涂色方案有420种，其中，,A C区域涂色不相同的情况有120种，由此根据古典概型概率公式能求出,A C区域涂色不相同的概率．【详解】提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，根据题意，如图，设5个区域依次为,,,,A B C D E,分4步进行分析：①，对于区域A，有5种颜色可选；②，对于区域B与A区域相邻，有4种颜色可选；③，对于区域E，与,A B区域相邻，有3种颜色可选；④，对于区域,D C，若D与B颜色相同，C区域有3种颜色可选，若D与B颜色不相同，D区域有2种颜色可选，C区域有2种颜色可选，则区域,D C有3227+⨯=种选择，则不同的涂色方案有5437420⨯⨯⨯=种，其中，,A C 区域涂色不相同的情况有：①，对于区域A ，有5种颜色可选；②，对于区域B 与A 区域相邻，有4种颜色可选；③，对于区域E 与,,A B C 区域相邻，有2种颜色可选；④，对于区域,D C ，若D 与B 颜色相同，C 区域有2种颜色可选，若D 与B 颜色不相同，D 区域有2种颜色可选，C 区域有1种颜色可选，则区域,D C 有2214+⨯=种选择，不同的涂色方案有5434240⨯⨯⨯=种，,A C ∴区域涂色不相同的概率为24044207p == ,故选D ． 【点睛】本题考查古典概型概率公式的应用，考查分步计数原理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．在求解有关古典概型概率的问题时，首先求出样本空间中基本事件的总数n ，其次求出概率事件中含有多少个基本事件m ，然后根据公式m P n =求得概率. 8.下列函数图象中，函数()()||x f x x e Z αα=∈图象不可能的是（ ） A.B. C.D. 【答案】C【解析】【分析】当2α=时，验证A 正确. 当2α=-时，验证B 正确. 当1α=时，验证D 正确.【详解】当2α=时，()2x f x x e =，定义域为R 关于原点对称. 的()()()22x x f x x e x e f x --=-==，则()f x 为偶函数.当0x >时，()2xf x x e =. 则()()()()22222(2)0x x x x x x f x x e x e e x xe x e xe x '''==+=+=+>' 即函数()f x 在()0,∞+上单调递增，则函数()f x 在(],0-∞上单调递减.此时函数()f x 的图象可能为A 选项.当2α=-时，()2xe f x x =，定义为{|x x R ∈且}0x ≠关于原点对称. ()()()22xxe ef x f x x x --===-，则()f x 为偶函数. 当0x >时，()2xe f x x=. 则()()()()222224322(2)x x x x x x e x x e e x e xe e x f x x x x x '''-⎛⎫--==== ⎪⎝⎭' 当02x <<时()0f x '<，即函数()f x 在()0,2上单调递减当2x ≥时()0f x '≥，即则函数()f x 在[)2,+∞上单调递增.根据对称性可知，此时函数()f x 的图象可能为B 选项.当1α=时，()x f x xe =，定义为R 关于原点对称.()()()x x f x x e xe f x --=-=-=-，则()f x 为奇函数.当0x >时，()x f x xe =.则()()()()(1)0xx x x x x f x xe x e e x e xe e x '''==+=+=+>' 令()()1x g x e x =+，则()()()()()()111(2)0x x x x g x e x e x e x e x '''⎡⎤=+=+++=+'>⎣⎦ 即()0f x '>并且在()0,∞+上单调递增，并且()f x 在()0,∞+上单调递增.根据对称性可知，此时函数()f x 的图象可能为D 选项.故选：C【点睛】本题考查函数的图象，判断函数的奇偶性，利用导数判断函数的单调性，属于较难的题.9.设点M 是棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱AD 的中点，点P 在面BCC 1B 1所在的平面内，若平面D 1PM 分别与平面ABCD 和平面BCC 1B 1所成的锐二面角相等，则点P 到点C 1的最短距离是（ ）A. B. C. 1 D. 【答案】A【解析】【分析】过点P 作1D M 的平行线交BC 于点Q 、交11B C 于点E ，连接MQ ，则PN 是平面1D PM 与平面11BCC B 的交线，MN 是平面1D PM 与平面ABCD 的交线，EF 与1BB 平行，交BC 于点F ，过点F 作FG 垂直MQ 于点G ，推导出点E 一定是11B C 的中点，从而点P 到点1C 的最短距离是点1C 到直线BE 的距离，以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点P 到点1C 的最短距离．【详解】如图，过点P 作1D M 的平行线交BC 于点Q 、交11B C 于点E ，连接MQ ，则PQ 是平面1D PM 与平面11BCC B 的交线，MQ 是平面1D PM 与平面ABCD 的交线．EF 与1BB 平行，交BC 于点F ，过点F 作FG 垂直MQ 于点G ，则有，MQ 与平面EFG 垂直， 所以，EG 与MQ 垂直，即角EGF 是平面1D PM 与平面ABCD 的夹角的平面角，且sin EF EGF EG ∠=， MN 与CD 平行交BC 于点N ，过点N 作NH 垂直EQ 于点H ， 同上有：sin MN MHN MH∠=，且有EGF MHN ∠=∠，又因为EF MN AB ==，故EG MH =， 而2EMQ S EG MQ MH EQ ∆=⨯=⨯，故MQ EQ =，而四边形1EQMD 一定是平行四边形，故它还是菱形，即点E 一定是11B C 的中点，点P 到点1C 的最短距离是点1C 到直线BE 的距离，以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，()2,1,2E ，()2,0,0B ， ()12,2,2C ，()0,1,2BE =u u u r ， ()10,2,2BC =u u u u r ，∴点P到点1C的最短距离：1||d BC===u u u u r．故选：A．【点睛】本题考查空间中两点间最小距离的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．10.函数()4ln3f x x ax=-+在两个不同的零点12,,x x函数2()2g x x ax=-+存在两个不同的零点34,,x x且满足3124,x x x x<<<则实数a的取值范围是（）A. (0,3)B.C.144)e- D.14(3,4)e-【答案】D【解析】【分析】先求出()f x有两个不同零点时a的范围,再求出()g x有两个不同零点时a的范围,再画出4ln3y x=+与22y x=+的图象,可得一交点为()1,3,进而由图象得到a的范围,使之满足3124,x x x x<<<再与之前所求得交集即可【详解】由题,()4f x ax'=-,当0a≤时,()0f x'>恒成立,即()f x在()0,∞+上单调递增,无法满足题意,故舍去；当0a>时,令()0f x'=,可得4xa=,则()f x在40,a⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,4,a⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减,且0x→时,()0f x<,故由题需满足4fa⎛⎫>⎪⎝⎭,即144a e-<；由上式可得0a >,因为2()2g x x ax =-+存在两个不同的零点,则()280a ∆=-->,即a > 令()0f x =,()0g x =,则4ln 3x ax +=,22x ax +=,可得当24ln 32x x +=+时,易得一解为1x =,此时3a =,另一解设为0x x =,则当()01,x x ∈时,4ln 3y x =+在22y x =+的上方.只有当3a >时,由图象可得203141x x x x x <<<<<,综上,143,4a e -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故选D【点睛】本题考查由零点个数求参问题,考查利用导数判断单调性的应用,考查运算能力二、填空题：（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.）11.已知直线l 1：ax +2y ﹣3＝0和直线l 2：（1﹣a ）x +y +1＝0．若l 1⊥l 2，则实数a 的值为_____；若l 1∥l 2，则实数a 的值为_____．【答案】 (1). ﹣1或2 (2).23 【解析】【分析】根据两直线垂直和平行时的条件，列方程求出a 的值即可．【详解】直线l 1：ax +2y ﹣3＝0和直线l 2：（1﹣a ）x +y +1＝0；当l 1⊥l 2时，a （1﹣a ）+2×1＝0，化简得a 2﹣a ﹣2＝0，解得a ＝﹣1或a ＝2；当l 1∥l 2时，a ﹣2（1﹣a ）＝0，解得a 23=． 故答案为：﹣1或2；23． 【点睛】本题考查了利用直线的位置关系求参数值的问题，是基础题．12.随机变量X 的取值为0、1、2，P （X ＝0）＝0.2，DX ＝0.4，则P （X ＝1）＝_____；若Y ＝2X ，则DY ＝_____．【答案】 (1). 0.6 (2). 1.6 【解析】 【分析】设P （X ＝1）＝x ，则P （X ＝2）＝0.8﹣x ，0≤x ≤0.8，则EX ＝0×0.2+x +2（0.8﹣x ）＝1.6﹣x ，通过DX ，解得x ，由此能求出P （X ＝1）以及DY ．【详解】∵随机变量X 的取值为0、1、2，P （X ＝0）＝0.2，DX ＝0.4， ∴设P （X ＝1）＝x ，则P （X ＝2）＝0.8﹣x ，0≤x ≤0.8， 则EX ＝0×0.2+x +2（0.8﹣x ）＝1.6﹣x ，DX ＝（x ﹣1.6）2×0.2+（x ﹣0.6）2x +（x +0.4）2（0.8﹣x ）＝0.4， 整理，得：x 2﹣0.2x ﹣0.24＝0，解得x ＝0.6或x ＝﹣0.4（舍），P （X ＝1）＝0.6，∴EX ＝1.6﹣x ＝1.6﹣0.6＝1．D （Y ）＝D （2X ）＝4D （X ）＝1.6 故答案为：0.6；1.6．【点睛】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查随机变量的分布列、数学期望、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 13.已知()()51210ax x a x ⎛⎫++≠ ⎪⎝⎭，若展开式中各项的系数和为81，则a =______，展开式中常数项为______．【答案】 (1). 23- (2). 10 【解析】 【分析】令1x =，可得出()51381a +⋅=，可求出实数23a =-，然后将二项式变形为()()551221213x x x x +-+，结合二项展开式通项可求出展开式中的常数项. 【详解】令1x =，可得出()51381a +⋅=，则113a +=，得23a =-， ()()()555211221212133x x x x x x x ⎛⎫-++=+-+ ⎪⎝⎭，展开式通项为()()5554565555122222233r kr k r r r k k k C x xC x C x C x x ------⋅-⋅=⋅⋅-⋅⋅， 其中05r ≤≤，05k ≤≤，且r 、k ∈N ，则60k -≠，令40-=r ，得4r =.因此，展开式中的常数项为45210C ⨯=.故答案为：23-；10. 【点睛】本题考查利用各项系数和求参数，同时也考查了指定项系数的求解，考查计算能力，属于中等题.14.已知椭圆22221(0)x y M a b a b+=>>：，双曲线22221x y N m n -=：，若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________，双曲线N 的离心率为__________，【答案】 (1). 1 (2). 2【解析】分析：由正六边形性质得渐近线的倾斜角，解得双曲线中22,m n 关系，即得双曲线N 的离心率，由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c ，再根据椭圆定义得2c a +=，解得椭圆M 的离心率.详解：由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c ，再根据椭圆定义得2c a +=，所以椭圆M 的离心率为1.c a == 双曲线N 的渐近线方程为n y x m =±，由题意得双曲线N 的一条渐近线的倾斜角为222ππtan 333n m ∴==，，222222234 2.m n m m e e m m++∴===∴=， 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.15.已知单位向量,,i j k r r r 两两的夹角均为(0θθπ<<，且2πθ≠），若空间向量a r满足(,,)a xi yj zk x y z R =++∈r r r r，则有序实数组(,,)x y z 称为向量a r 在“仿射”坐标系O-xyz （O 为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作(,,)a x y z θ=r有下列命题：①已知(1,3,2),(4,0,2)a b θθ=-=r r，则a r ·b r =0；②已知33(,,0),(0,0,)a x y b z ππ==r r 其中xyz≠0，则当且仅当x=y 时，向量a r ，b r 的夹角取得最小值； ③已知111222121212(,,),(,,),(,,);a x y z b x y z a b x x y y z z θθθ==+=+++r rr r 则④已知333(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),OA OB OC πππ===u u u r u u u r u u u r则三棱锥O —ABC 的表面积S =其中真命题有 （写出所有真命题的序号） 【答案】②③ 【解析】 试题分析：①由定义可得()()(1,3,2)(4,0,2)222323cos 0,02a b i k i k i k a b θθπθθπθ⋅=-⋅=-+=+⋅-=<<≠∴⋅≠rr r r r r r r r r Q ，故①错；②由33(,,0),(0,0,)a x y b z ππ==r r ，则a b λ=r r，而0xyz ≠，根据仿射”坐标的定义可知②正确；③根据仿射”坐标的定义可得111222111222(,,)(,,)()()a b x y z x y z x i y j z k x i y j z k θθ+=+=+++++rr r r r r r r ()()()()121212121212,,x x i y y j z z k x x y y z z θ=+++++=+++r r r，故③正确；④由已知可知三棱锥O —ABC 为正四面体，棱长为1，其表面积为1422S =⨯⨯=，即④不正确 考点：新定义概念16.已知a v 、b v 、2c v 是平面内三个单位向量，若a b ⊥v v ，则4232a c a b c +++-v v v v v 的最小值是________【答案】【解析】 【分析】设2(,)c e x y ==r r ，(1,0)a =r ，(0,1)b =r ，将问题转化为求|2||64|a e a b e +++-r r r r r的最小值，再证明|2||2|a e a e +=+r r r r ，从而将原问题转化为求|2||64|a e a b e +++-r r r r r的最小值.【详解】令2c e =r r，设(1,0)a =r ，(0,1)b =r ，e r 对应的点C 在单位圆上，所以问题转化为求|2||64|a e a b e +++-r r r r r的最小值.因为2222(2)(2)330a e a e e a +-+=-=r r r r r r ，所以|2||2|a e a e +=+r r r r ，所以|64||2|a e a b e ++-=+r r r rr表示C 点到点(2,0)-和(6,4)的距离之和， 过点(2,0)-和(6,4)的直线为220x y -+=，原点到直线220x y -+=1=<，所以与单位圆相交， 所以|2||64|a e a b e +++-r r r r r最小值为：点(2,0)-和(6,4)之间的距离，即故答案为：【点睛】本题考查平面向量的坐标运算与解析几何中直线与圆的位置关系的交会，求解的关键在于问题的等价转化，即将最小值转化为两点问的距离，考查数形结合思想、转化与化归思想的灵活运用，综合性很强．17.设a ，R ，若不等式331148x x ax x x x++-+≥-恒成立，则实数a 的取值范围是_____． 【答案】[4﹣] 【解析】 【分析】 由题意可得|x 31+x |+|x 31-x|+8≥（4﹣a ）x 恒成立，讨论x ＞0，x ＜0，运用基本不等式，可得最值，进而得到所求范围． 【详解】|x 31+x |+|x 31-x |+ax ≥4x ﹣8恒成立， 即为|x 31+x |+|x 31-x|+8≥（4﹣a ）x 恒成立，当x ＞0时，可得4﹣a ≤|x 221+x |+|x 221-x |8+x的最小值，由|x 221+x |+|x 221-x |8+≥x |x 221++x x 221-x |8+=x 2x 28+=x 2x 244++≥x x=当且仅当x 3＝2即x =4﹣a ≤，则a ≥4﹣；当x ＜0时，可得4﹣a ≥﹣[|x 221+x |+|x 221-x |8-x]的最大值， 由|x 221+x |+|x 221-x |8-≥x 2x 28+=-x 2x 244++≥--x x=， 当且仅当x 3＝﹣2即x =取得最大值﹣4﹣a ≥﹣a ≤的综上可得4﹣≤a ≤，故答案为：[4﹣]．【点睛】本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和分类讨论思想，以及基本不等式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．三、解答题：（本大题共5小题，共74分.）18.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin B ＝b sin （A 3π-）． （1）求A ；（2）D 是线段BC 上的点，若AD ＝BD ＝2，CD ＝3，求△ADC 的面积．【答案】（1）A 23π=；（2. 【解析】 【分析】（1）首先利用正弦定理可得a sin B ＝b sin A ，然后利用两角差的正弦公式展开化简即可求解.（2）设∠B ＝θ，πθ0,3骣琪Î琪桫，由题意可得∠BAD ＝θ，∠ADC ＝2θ，∠DAC 23π=-θ，在△ADC 中，利用正弦定理可得sin θ=θ，根据同角三角函数的基本关系求出sin2θ，再利用三角形的面积公式即可求解.【详解】（1）由正弦定理可得a sin B ＝b sin A ，则有b sin A ＝b （12sin A cos A ），化简可得12sin A 2=-cos A ，可得tan A = 因为A ∈（0,π）， 所以A 23π=． （2）设∠B ＝θ，03θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π，由题意可得∠BAD ＝θ，∠ADC ＝2θ， ∠DAC 23π=-θ，∠ACD 3π=-θ，在△ADC 中，CD ADDAC ACD =∠∠sin sin ，则32233=⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππsin θsin θ，2222=sinθ=θ， 又因为sin 2θ+cos 2θ＝1，可得sinθ14=，cosθ14=，则sin2θ＝2sin θcosθ=， 所以S △ADC 12AD CD =⋅⋅sin ∠ADC 1232=⨯⨯=． 【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19.如图，在长方形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，点E 是DC 的中点，将△ADE 沿AE 折起，使平面ADE ⊥平面ABCE ，连结DB 、DC 、EB ．（1）求证：平面ADE ⊥平面BDE ； （2）求AD 与平面BDC 所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2. 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理可得：AE ⊥EB ，再利用面面垂直的判定定理即可得出：BE ⊥平面ADE ，进而证明结论．（2）建立空间直角坐标系．设平面BDC 的法向量为(),,n x y z =r ，可得0n CB n DB ⋅=⋅=r u u u r r u u u r 求出n r，可得AD 与平面BDC 所成角的正弦值n ADn AD⋅⋅r u u u r r u u u r . 【详解】（1）证明：AE 2+BE222=+=16＝AB 2，∴AE ⊥EB ， 又平面ADE ⊥平面ABCE ，平面ADE ∩平面ABCE ＝AE ， ∴BE ⊥平面ADE ，又BE ⊂平面BDE ， ∴平面ADE ⊥平面BDE ；（2）解：如图所示，建立空间直角坐标系．E （0,0,0），A （,0,0），B （0,,0），D,0），C（,0）．CB u u u r =(,0)．DB =u u u r(,,)，AD =u u u r(,0)，设平面BDC 的法向量为(),,n x y z =r则0n CB n DB ⋅=⋅=r u u u r r u u u r，0-=，x＝0，取()1,1,3n =-r．∴AD 与平面BDC 所成角的正弦值n AD n AD ⋅⋅r u u u r r u u ur 11==．【点睛】本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理、法向量的应用、向量夹角公式、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n 2+2a n ＝4S n ﹣1（n ，N *）． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）若b n 21211n n n a S S -++=⋅，数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n 的取值范围．【答案】（1）a n ＝2n ﹣1，n ∈N *；（2）[29，14）.【解析】 【分析】（1）题先利用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩进行转化计算可发现数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，即可计算出数列{a n }的通项公式；（2）题先根据第（1）题的结果计算出S n 的表达式，以及数列{b n }的通项公式，然后运用裂项相消法计算出前n 项和T n ，最后运用放缩法即可计算得到T n 的取值范围． 【详解】（1）由题意，当n ＝1时，a 12+2a 1＝4S 1﹣1＝4a 1﹣1， 整理，得a 12﹣2a 1+1＝0， 解得a 1＝1．当n ≥2时，由a n 2+2a n ＝4S n ﹣1，可得2111241n n n a a S ---+=-，两式相减，可得22111224141n n n n n n a a a a S S ---+--=--+，即a n 2﹣a n ﹣12＝2a n +2a n ﹣1，∴（a n +a n ﹣1）（a n ﹣a n ﹣1）＝2（a n +a n ﹣1）， ∵a n +a n ﹣1＞0， ∴a n ﹣a n ﹣1＝2，∴数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列． ∴a n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1，n ∈N *． （2）由（1）知，S n ＝n ()12-+⋅n n 2＝n 2，则b n 2221211211(21)(21)n S n n a S -++-+==⋅-⋅+n n n221814(21)(21)4n n n =⋅=-⋅+[2211(21)(21)n n --+]， ∴T n ＝b 1+b 2+…+b n14=（1213-）14+（221135-）14++L [2211(21)(21)n n --+]14=[12222211111335(21)(21)n n -+-++--+L ] 14=[121(21)n -+]14＜，又∵a n ＞0，n ∈N *，∴b n ＞0， ∴T n ≥T 1＝b 114=（1213-）29=， ∴29≤T n 14＜． ∴T n 的取值范围为[29，14）． 【点睛】本题主要考查数列求通项公式，以及运用裂项相消法求前n 项和．考查了转化与化归思想，分类讨论思想，放缩法，不等式的计算能力，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．21.已知直线x ＝﹣2上有一动点Q ，过点Q 作直线l ，垂直于y 轴，动点P 在l 1上，且满足OP OQ 0⋅=u u u v u u u v(O 为坐标原点)，记点P 的轨迹为C ． （1）求曲线C 的方程； （2）已知定点M(12-，0)，N (12，0)，点A 为曲线C 上一点，直线AM 交曲线C 于另一点B ，且点A 在线段MB 上，直线AN 交曲线C 于另一点D ，求△MBD 的内切圆半径r 的取值范围． 【答案】（1）22y x =；（2）1,)+∞ 【解析】 分析】（1）设点P 的坐标为（x ，y ），结合题意得出点Q 的坐标，再利用向量数量积的运算可得出点P 的轨迹方程；（2）设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）、D （x 3，y 3），设直线AM 的方程为12y k x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，将该直线方程与曲线C 的方程联立，结合韦达定理进行计算得出点B 和点D 的横坐标相等，于是得出BD ⊥x 轴，根据几何性质得出△MBD 的内切圆圆心H 在x 轴上，且该点与切点的连线与AB 垂直．方法一是计算出△MBD 的面积和周长，利用等面积法可得出其内切圆的半径的表达式；方法二是设H （x 2﹣r ，0），直线BD 的方程为x ＝x 2，写出直线AM 的方程，利用点H 到直线AB 和AM 的距离相等得出r 的表达式；方法三是利用△MTH ∽△MEB ，得出MH HTMB BE=，然后通过计算得出△MBD 内切圆半径r 的表达式． 【通过化简得到r 关于x 2的函数表达式，并换元2112t x =+＞，将函数关系式转化为r 关于t 的函数关系式，然后利用单调性可求出r 的取值范围．详解】（1）设点(),P x y ，则()2,Q y - ∴(),OP x y u u u v =，()2,OQ y =-u u u v∵0OP OQ ⋅=u u u v u u u v ∴220OP OQ x y u u u v u u u v⋅=-+=，即22y x =（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,D x y ，直线BD 与x 轴交点为E ，内切圆与AB 的切点为T ．设直线AM 的方程为：12y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则联立方程2122y k x y x⎧⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，得：()2222204k k x k x +-+= ∴1214x x =且120x x << ∴1212x x << ∴直线AN 的方程为：111122y y x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-， 与方程22y x =联立得：22222111111122024y x y x x x y ⎛⎫-+-++= ⎪⎝⎭，化简得：221111122022x x x x x ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭解得：114x x =或1x x = ∵32114x x x == ∴BD x ⊥轴 ，MBD ∆，，，，，，，H ，，H ，x ，，，HT AB ⊥ 方法（一）∴2211222MBDS x y ∆⎛⎫=⋅+⋅ ⎪⎝⎭，且MBD ∆的周长为：22y∴22211122222MBDS y r x y ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=⋅=⋅+⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦V∴221x y r ⎛⎫+ ⎪===.方法（二）设()2,0H x r -，直线BD 的方程为：2x x =，其中2222y x =直线AM 的方程为：221122y y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+，即22211022y x x y y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，且点H 与点O 在直线AB 的同【侧，∴()2221x r y y r -+==，，，，2221x y y r +==方法（三）∵MTH MEB ∆~∆ ∴MHHT MB BE =221x r r y +-=，解得：22211x y x r ⎛⎫++⎪==21x +==令212t x =+，则1t> ∴r =()1,+∞上单调增，则r >，即r 的取值范围为)1,+∞．【点睛】本题考查轨迹方程以及直线与抛物线的综合问题，考查计算能力与化简变形能力，属于难题． 22.已知函数()ln f x x x =. （1）求()f x 的单调区间与极值；（2）若不等式23ln 0322x x x e x λλ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭+对任意[]1,3x ∈恒成立，求正实数λ的取值范围. 【答案】（1）单减区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,()f x 的单增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭,()1e f x =-极小值,无极大值.（2）127ln 32λ≤ 【解析】 【分析】（1）因为()ln f x x x =,定义域为()0,∞+,则()1ln f x x '=+,即可求得()f x 的单调区间与极值;（2）223e ln 0322xx x x x x λλ⋅⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭+,故2302x x +>,将其化简可得2233ln e 22x x x x x x λλ⎛⎫⎛⎫+⋅+≥⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()23e 2x f x x f λ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭,由（1）知()f x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单增,23e 2x x x λ+≥,23ln 2x x xλ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤,即可求得正实数λ的取值范围.【详解】（1）Q ()ln f x x x =∴ ()1ln f x x '=+,定义域为()0,∞+,又∴()0f x '>,1e x >,()0f x '<,10ex <<. ∴()f x 的单减区间为10,e ⎛⎫⎪⎝⎭,()f x 的单增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭∴()1111ln e e ee f x f ⎛⎫===- ⎪⎝⎭极小值,无极大值.（2）Q 223e ln 0322xx x x x x λλ⋅⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭+,故2302x x +> ∴将223e ln 0322xx x x x x λλ⋅⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭+化简可得: 2233ln e 22xx x x x x λλ⎛⎫⎛⎫+⋅+≥⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ∴()23e 2x f x x f λ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭.Q 2322x x +≥,0e e 1x λ>=, ∴由（1）知()f x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单增,∴23e 2x x x λ+≥, ∴23ln 2x x x λ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭,即23ln 2x x xλ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤.令()23ln 2x x h x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=, ()223232ln 322x x x x h x x +⎛⎫-+ ⎪⎝⎭+'∴=令()23232ln 322x k x x x x +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭+, 则()22332223322x k x x x x +'=-⎛⎫++ ⎪⎝⎭3321223322x x x x ⎛⎫+ ⎪=- ⎪ ⎪++⎝⎭29231403322x x x x x ---=⋅<⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭, ∴ ()k x 在[]1,3上单减,()751ln 052k =->,()5273ln 032k =-<, ∴()01,3x ∃∈,()00k x =且在()01,x 上,()0k x >,()0h x '>,()h x 单增,在()0,3x 上,()0k x <,()0h x '<,()h x 单减.()()(){}()()min 27ln52min 1,3,1ln ,323h x h h h h ===∴=∴()()13h h >∴127ln 32λ≤.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用和不等式恒成立问题.对于恒成立问题,通常利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的不等关系式.着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.。
2020年杭州市高三下学期教学质检-数学
2020年杭州市高三下学期教学质量检测数学一、选择题1.设集合A={|x y =(){|1},B x y ln x ==+则A∩B=( )()[](][].2,2. 2.2.1,2. 1.2A B C D ----2.设M 为不等式1010x y x y +-<⎧⎨-+>⎩所表示的平面区域,则位于M 内的点是( )()()()0,22,00,2.(20)A B C D --3.某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A 76B ．54C ． 43D ．534,3n n a =是”函数()()R |1|||f x x x a x =-+-∈的最小值等于2”的( )A 充分不必要条件B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件D.充要条件5.在我国古代数学著作《详解九章算法》中,记载着如图所示的一张数表,表中除1以外的每一个数都等于它肩上两个数之和,如:6=3+3则这个表格中第8行第6个数是( ) A.21 B.28 C.35 D.566.函数1(41xy e x =--其中e 为自然对数的底数)的图象可能是( )7.抛掷一枚质地均匀的硬币,若出现正面朝上则停止抛掷,至多抛掷n i 次,设抛掷次数为随机变量,1,2.i i ξ=若n 1=3n 2=5,则( )()()()()()()()12122112.(),.,A E E D D B E D E D ξξξξξξξξ<<＜＜＜ ()()()()()()()()()121212212.,).,,C E E D D D E D D E D ξξξξξξξξξ><>>8.已知函数()sin()(0)cos(),(0)x a x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩是偶函数,则ab 的值可能是( ).,33A a b ππ==2.,36B a b ππ==25.,.,3636C b D a b ππππ====9.设a,b,c 为非零不共线向量,若|(1)||()a tc t b a c t R -+--∈…则(()().A a b a c +⊥-()().*B a b b c +⊥ ()().C a c a b -⊥+()().D a c b c -⊥+()*11310.{}.44n n n a a n a N +=-∈数列满足若存在实数c.使不等式a 2n <c<a 2n-1 对任意n ∈N *恒成立,当11a =时,c=( ) A ．16B ．14 C ．13 D ．1211.设复数1,,)1z a i bi b za i iR =-=+∈+且（为虚数单位则ab= ▲ |z|= ▲ 6112.x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的的展开式的所有二次项系数和为 ▲ 常数项为 ▲13.设双曲线()2222,10,0x y a b a b-=>>的左、右焦点为F,2P 为该双曲线上一点且12|2||3|PF PF =若2160,F F P ︒=∠则该双曲线的离心率为 ▲ 渐近线方程 为 ▲14.在ABC V 中,若()22,22Asin A sin B C cosBsinC =+=. 则_____,_____ACA AB== 15.已知S n 是等差数列{}n a 的前n 项和,若244,16,S S 厔则a 3的最大值是 ▲ 16.安排ABCDEF 共6名志愿者照顾甲、乙、丙三位老人,每两位志愿者照顾一位老人,考虑到志愿者与老人住址距离问题,志愿者A 安排照顾老人甲,志愿者B 不安排照顾老人乙,则安排方法共有 ▲ 种17.已知函数()()3|||3|,.f x x a x R b a b =-+-∈当[]()0,2.,x f x ∈的最大值为(),,M a b 则(),M a b 的最小值为 ▲18.已知函数()21,0222f x sin x x s ωωω=+-> (1)若ω=1.求()f x 的单调递增区间2)若 1.3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭求()f x 的最小正周期T 的最大值19.如图,在四棱锥P=ABCD 中,PC ⊥底面ABCD,底面ABCD 是直角梯形.AB AB CD AD ⊥P AB=2AD=2CD=2，E 是PB 上的点(1)求证:平面EAC ⊥PBC;(2)若E 是PB 的中点,且二面角P AC E ︒--的余弦值为3,求直线PA 与平 面EAC 所成角的正弦值20.(本题满分15分)已知数列{}n a 的各项均为正数,a 1=14，b n ,{}n b 是等差数列,其前n项和为26,81.n S S b =⋅ (1)求数列{a n }的通项公式()()()31212123(2)111,,n n n n nc c c a a a a a a a T c c =--⋅⋅-=+++L 若对任意的正整数n,都有4aT n <c 恒成立,求实数a 的取值范围21.(本题满分15分)如图,已知M(1,2)为抛物线()220:C y px p =>上一点，过点()2,2D -的直线与抛物线C 交于AB 两点(AB 两点异于M),记直线AM,BM 的料率分别为k 1,,,,k 2 (1)求k 1k 2的值(2)记,BMD AMD V V 的面积分别为S 1,S 2,当[]11,2,k ∈L 求12S S 的取值范围22.(本题满分15分)已知函数()()()ln ,0.x a f x e x a x -=-+…其中0,a > (1)若a=l.求证:()0.f x >(2)若不等式()1ln 2f x -对0x ≥恒成立,试求a 的取值范围。
2020年浙江省杭州高中高考数学质检试卷(5月份) (含解析)
2020年浙江省杭州高中高考数学质检试卷(5月份)一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知集合P ={x|x −1≤0}，Q ={x|0<x ≤2}，则(∁R P)∩Q =( )A. (0,1)B. (0.2]C. [1,2]D. (1,2]2. 双曲线x 22−y 24=1的顶点到其渐近线的距离为( )．A. √33B. 2√33C. √63D. 2√633. 已知一个四棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为( )A.B.C.D.4. 若实数x,y 满足约束条件{x −2y −2⩽0x −y +1⩾0x ⩾0，则z =x +y 的取值范围是( )A. [−7,2]B. [−1,2]C. [−1,+∞)D. [2,+∞)5. 函数f(x)=2x −5−ln x 的零点个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 46. “x ≠0”是“x <0”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件7. 设离散型随机变量ξ的分布列如表，则p =( )ξ012p1−2p 12p2A. 1B. 1−√22C. 1+√22D. 1±√228.已知向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=2，a⃗⋅(b⃗ −a⃗ )=−3，则b⃗ 在a⃗方向上的投影为()A. 23B. −23C. 12D. −129.已知函数f(x)=e x−e−x，若对任意的x∈(0,+∞)，f(x)>mx恒成立，则m的取值范围为()A. (−∞,1)B. (−∞,1]C. (−∞,2)D. (−∞,2]10.已知数列{a n}满足a1=3，且a n+1=4a n+3(n∈N∗)，则数列{a n}的通项公式为()A. 22n−1+1B. 22n−1−1C. 22n+1D. 22n−1二、填空题（本大题共7小题，共42.0分）11.若z=4+3i，则z|z|=________．12.若(2x2−1√x)n的展开式的所有二项式系数之和为32，则展开式中的常数项为．13.过点P(2,3)作圆(x−1)2+y2=1的两条切线，与圆相切于A，B，则直线AB的方程为______．14.如图，在△ABC中，D是BC上的一点．已知B=60°，AD=2，AC=√10，DC=√2，那么AB=________．15.从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有__________种不同的选法．(用数字作答)16.已知集合A={x∈R||x−55|≤112}，则集合A中的最大整数为______．17.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率是√22，若以N(0,2)为圆心且与椭圆C有公共点的圆的最大半径为√26，此时椭圆C的方程是______________．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求使得f(x)>1的x取值集合．19.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，D是AC的中点，A1D与AC1交于点E，AA1=1，AB=2，AC=1，BC=√3．(1)求证：BC⊥平面AA1C1C；((2)求直线BC与平面A1BD所成的角的正弦值．20.已知数列{a n}满足a1=3，a n+1−3a n=3n(n∈N∗)，数列{b n}满足b n=a n．3n(1)证明数列{b n}是等差数列并求数列{b n}的通项公式；(2)求数列{a n}的前n项和S n．21. F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过点F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，C 的准线与x 轴的交点为E ，动点P 满足EP ⃗⃗⃗⃗⃗ =EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ． (Ⅰ)求点P 的轨迹方程；(Ⅱ)当四边形EAPB 的面积最小时，求直线l 的方程．22. 已知函数f(x)=e x−1−ax ，g(x)=x(lnx −3)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)对于任意x 1，x 2∈(0,+∞)且x 1<x 2时，不等式f(x 1)−f(x 2)<g(x 1)−g(x 2)恒成立，求实数a 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题考查集合的运算：交集和补集，考查运算能力，属于基础题．求得P的补集，再由交集的定义，即可得到所求集合．解：集合P={x|x−1≤0}={x|x≤1}，∁R P={x|x>1}，Q={x|0<x≤2}，则(∁R P)∩Q={x|1<x≤2}．故选：D．2.答案：B解析：解：双曲线x22−y24=1的顶点(±√2,0)，渐近线方程为：y=±√2x，由两个顶点到两条渐近线的距离都相等，设双曲线x22−y24=1的顶点(√2,0)到其渐近线y=√2x的距离为d，d=√2×√2|√1+(√2)2=2√33．故选：B．求出双曲线的一条渐近线方程，一个顶点坐标，然后求解所求即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离个数的应用，考查计算能力．3.答案：A解析：本题考查空间几何体的三视图，关键是由三视图还原原几何体，是基础题．结合正视图和左视图，可得原几何体，则侧视图可求．解：∵结合正视图和俯视图，可得原几何体为如图：故可得该几何体的侧视图为：故选A．4.答案：C解析：本题考查线性规划的简单应用，目标函数的最优解以及可行域的作法是解题的关键，属于基础题．画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的范围即可．解：由实数x,y满足约束条件作出其对应的可行域，如图中阴影部分所示，可知z=x+y在(0,−1)处取得最小值，故z=x+y的取值范围是[−1,+∞)．故选C．5.答案：B解析：本题考查的知识点是函数零点的存在性及个数判断，数形结合思想，转化思想，难度中档．由2x−5−lnx=0，得lnx=2x−5，分别作出y=lnx，与y=2x−5的图象，由图知，零点个数．解析：解：令函数f(x)=2x−5−lnx=0，得lnx=2x−5，分别作出y=lnx，与y=2x−5的图象，如图所示：由图可得：两函数图象有2个交点，即函数f(x)=2x−5−lnx的零点个数为2个，故选：B．6.答案：B解析：解：若“x≠0”成立推不出“x<0”成立反之，若“x<0”成立推出“x≠0”所以“x≠0”是“x<0”的必要不充分条件故选B判断由前者是否能推出后者成立；判断后者是否能推出前者成立；利用各种条件的定义判断出“x≠0”是“x<0”的什么条件．本题考查如何判断一个命题是另一个命题的什么条件．考查判断分析能力．7.答案：B解析：解：由离散型随机变量ξ的分布列，知：+p2=1，且0<p<1，(1−2p)+12．解得p=1−√22故选：B．由离散型随机变量ξ的分布列的性质列出方程，能求出p的值．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.答案：C解析：根据平面向量数量积的定义与投影的定义，进行计算即可．本题考查了平面向量数量积的定义与投影的计算问题，是基础题目．解：∵|a⃗|=2，a⃗⋅(b⃗ −a⃗ )=−3，∴a⃗⋅b⃗ −a⃗2=a⃗⋅b⃗ −22=−3，∴a⃗⋅b⃗ =1，∴向量b⃗ 在a⃗方向上的投影为a⃗ ⋅b⃗|a⃗ |=12．故选：C．9.答案：D解析：本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．求出函数的导数，通过讨论m的范围，结合函数的单调性确定m的范围即可．解：令g(x)=e x−e−x−mx，x∈(0,+∞)，则g′(x)=e x−e−x−m，x∈(0,+∞)，易得函数y=e x−e−x>2在x∈(0,+∞)恒成立，故当m≤2时，g′(x)≥0在x∈(0,+∞)恒成立，故g(x)在(0,+∞)递增，又g(0)=0，故f(x)<mx恒成立，当m>2时，∵g′(x)在x∈(0,+∞)递增，故存在x0∈(0,+∞)恒成立，使得g′(x0)=0，故g(x)在(0,x0)递减，在(x0,+∞)递增，又g(0)=0，则g(x0)<0，这与g(x)>0恒成立矛盾，故m≤2，即m的范围是(−∞,2]，故选：D．10.答案：D解析：解：由a n+1=4a n+3(n∈N∗)，得a n+1+1=4(a n+1)，∵a1=3，∴a1+1=3+1=4≠0，则数列{a n+1}是以4为首项，以4为公比的等比数列，∴a n+1=4×4n−1=4n=22n，则a n=22n−1．故选：D．由数列递推式构造等比数列{a n+1}，求其通项公式后可得数列{a n}的通项公式．本题考查了数列递推式，考查了构造等比数列求数列的通项公式，是中档题．11.答案：45−35i解析：本题考查复数的模及复数的共轭复数，根据条件直接计算即可，属基础题．解：若z=4+3i，则|z|=2+32=5,z=4−3i，故z|z|=4−3i5=45−35i．故答案为45−35i．12.答案：10解析：【试题解析】解：∵(2x2√x)n的展开式的所有二项式系数之和为2n=32，∴n=5，故展开式中的通项公式为Tr+1=C5r⋅25−r⋅(−1)r x10−5r2，令10−5r2=0，求得r=4，可得展开式的常数项为C54⋅2=10，故答案为：10．先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项。
浙江省杭州市两校2020届高三下学期第二次联考数学试题
两校第二次联考数学试题卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分共150分，考试时间为120分钟.选择题部分(共40分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{1,3,5,7,9},{13,5},{3,5,7},U A B ===，则()U A C B =（ ）A. ∅B. {1}C. {3,5}D.{1,3,5,9}【★★答案★★】B 【解析】 【分析】根据交集与补集的定义，即可得到本题★★答案★★.【详解】因为{1,3,5,7,9},{3,5,7}U B ==，所以{}=1,9U C B ， 又因为{}1,3,5A =，所以(){}1U A C B =.故选：B【点睛】本题主要考查集合的补集与交集的运算，属基础题. 2.复数z 满足()23+,z i i ⋅-=则复数z 的共轭复数的虚部是（ ） A. iB. -iC. 1D. -1【★★答案★★】D 【解析】 【分析】由复数的乘除法运算法则，可算得复数z ，从而可得到z 的共轭复数的虚部. 【详解】由题，得3(3)(2)5512(2)(2)5i i i iz i i i i ++++====+--+， 所以z 的共轭复数为1i -，虚部为1-. 故选：D【点睛】本题主要考查了复数的乘除法运算以及复数的相关概念，属基础题.3.双曲线22491x y -=的渐近线方程是（ ） A. 94y x =±B. 49y x =±C. 23y x =±D. 32y x =±【★★答案★★】C 【解析】 【分析】令22490x y -=，即可求得双曲线的渐近线方程.【详解】因为双曲线的方程为22491x y -=，令22490x y -=，得2249y x =，即23y x =±， 所以双曲线的渐近线方程为23y x =±. 故选：C【点睛】本题主要考查根据双曲线的方程求渐近线方程，属基础题. 4.设,a R ∈则“”11a -<是23a a <“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C .充要条件D. 既不充分也不必要条件【★★答案★★】A 【解析】 【分析】分别解出两个不等式的解集，由小范围推出大范围，即可得到本题★★答案★★. 【详解】由11a -<，得02a <<，又由23a a <，得0<<3a ， 所以“|1|1a ''-<是23a a <“”的充分不必要条件， 故选：A【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，涉及到绝对值不等式和一元二次不等式的解法.5.已知随机变量X 的分布列是：当a 变化时，下列说法正确的是（ ）A. E (X )，D (X )均随着a 的增大而增大B. ()(),E X D X 均随着a 的增大而减小C. E (X )随着a 的增大而增大，D (X )随着a 的增大而减小D. E (X )随着a 的增大而减小(),D X 随着a 的增大而增大 【★★答案★★】A 【解析】 【分析】先确定a 的取值范围，然后写出()(),E X D X 关于a 的关系式，即可得到本题★★答案★★.【详解】由题，得1020a a ⎧-≥⎪⎨⎪≥⎩，所以102a ≤≤，又()11101231326E X a a a ⎛⎫=⨯+-⨯+⨯+⨯=+ ⎪⎝⎭， ()()()()222221111511232624D X a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=⨯++-⨯+⨯-+⨯-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()(),E X D X 均随着a 的增大而增大. 故选：A【点睛】本题主要考查离散型分布列的期望和方差的求法，其中涉及到函数单调性的判断，必须要在函数的定义域内判断函数的单调性. 6.函数()()()21sin 2,f x x x xππ=+-的图像可能是（ ）A. B.C. D.【★★答案★★】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性排除A 、B 选项，再由函数在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的符号即可判断. 【详解】()()()21sin 2f x x x f x -=-+=-，f x 是奇函数，排除A 、B 选项；当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2,2x ππ∈，sin 2[1,0)x ∈-，所以()()21sin 20f x x x =+<，排除C 选D. 故选：D【点睛】本题考查函数图象的判别，利用函数的奇偶性、周期性及单调性进行选项排除，属于基础题.7.在三棱锥S -ABC 中，侧棱SA ，SB ，SC 两两成等角，且长度分别为a ，b ，c ，设二面角S -BC -A ，S -AC –B ，S -AB -C 的大小为,,αβγ，若,a b c >>则α，β，γ的大小关系是（ ）A. αβγ>>B. αγβ>>C. r βα>>D.γβα>>【★★答案★★】A 【解析】 【分析】不妨设侧棱SA ，SB ，SC 两两互相垂直，由AS ⊥平面SBC 推出AS SD ⊥，由cos sin SO SDO SAO a ∠=∠=可求得α的余弦值，同理可得cos cos SO SOb cβγ==，，根据a b c >>及余弦函数的单调性即可得解.【详解】不妨设侧棱SA ，SB ，SC 两两互相垂直，如图作SO ⊥平面ABC ，易知O 为△ABC 的垂心，连接AO ，延长AO 交BC 于点D ，连接SD ，因为侧棱SA ，SB ，SC 两两互相垂直，所以AS ⊥平面SBC ， 由SD ⊂平面SBC ，AS SD ∴⊥，△ASD 为直角三角形，因为AD BC ⊥，由三垂线定理知SD BC ⊥，所以SDA ∠即为二面角S -BC -A 的平面角记为α，cos sin SO SDO SAO a ∠=∠=，cos SO a α∴=，同理可得cos cos SO SOb cβγ==，，又,a b c >>cos c s s c o o γβα>∴>， 而此时αβγ、、都为锐角，αβγ∴>>. 故选：A【点睛】本题考查二面角的概念、三棱锥的结构特征、三角函数的应用，属于中档题. 8.有来自甲乙丙三个班级的5位同学站成一排照相，其中甲班2人，乙班2人，丙班1人，则仅有一个班级的同学相邻的站法种数有（ ） A. 96B. 48C. 36D. 24【★★答案★★】B 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理及插空法即可求解.【详解】由题意知，可以是甲班的2名同学相邻也可以是乙班的2名同学相邻，相邻的2名同学和丙班的1名同学站队，共有122222C A A 种站法，再将另外一个班级的2名同学进行插空，共有23A 种方法，由分步乘法计数原理知，仅有一个班级的同学相邻的站法种数为1222222348C A A A =.故选：B【点睛】本题考查分步乘法计数原理、排列组合的有关知识，属于基础题.9.已知F 1，F 2是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，过右焦点F 2的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，且满足2212,||||,AF F B F B AB ==则该椭圆的离心率是（ ）A.12B.3 C.3 D.5 【★★答案★★】B 【解析】 【分析】设2BF m =，用m 表示出2AF 、1BF 、1AF ，由12AF AF =知A 为椭圆的上顶点，直线2AF 的方程与椭圆方程联立求出交点的横坐标，利用222AF F B =列出等式化简即可求得离心率. 【详解】设2BF m =，则212223AF m BF AF BF m ==+=，，由椭圆的定义知1212=2BF BF AF AF a ++=，∴11222AF BF BF AF m =+-=，12AF AF =，∴A 为椭圆的上顶点，设()0,A b ，又()1,0F c ，则直线2:b AF y x b c =-+，直线方程代入椭圆方程22221x y a b+=中得：222221+a a x x c c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得0x =或2222a c a c +， 222AF F B =，22222a c c c a c ⎛⎫∴=- ⎪+⎝⎭，化简得223a c =，2221333c e e a ∴==⇒=.故选：B【点睛】本题考查椭圆的几何性质、椭圆离心率相关问题、求直线与椭圆的交点，属于中档题.10.设函数()()()||f x g x a a R =-∈在区间[]1,4上的最大值()M a 的最小值为4，则符合条件的()g x 有（ ）①x 2+16x ②22311x x x -+-③32223x x x -+-A. ①②B. ②③C. ①②③D. ①③【★★答案★★】D 【解析】 【分析】分别求出三个函数的值域，再结合||y x a =-的图象进行分析可得★★答案★★.【详解】对于①，216()g x x x =+([1,4])x ∈，322162(8)()2x g x x x x -'=-=， 所以当[1,2)x ∈时，()0g x '<，函数216()g x x x=+递减，当(2,4]x ∈时，()0g x '>，函数216()g x x x=+递增，所以当2x =时，()g x 取得最小值(2)12g =，当4x =时，()g x 取得最大值(4)20g =，所以()[12,20]g x ∈，所以当16a ≤时，()|20|204M a a a =-=-≥，当16a >时，()|12|124M a a a =-=->， 所以()[4,)M a ∈+∞，此时()M a 的最小值为4，符合题意，故①正确；对于②，()g x =22311x x x -+-(21)(1)211x x x x --==--((1,4])x ∈为增函数， 所以()(1,7]g x ∈，所以当4a ≤时，()|7|7M a a a =-=-[3,)∈+∞，不符合题意，故②不正确；对于③，()g x =32223x x x -+-()23g x x '=-，()''2=-+g x 因为[1,4]x ∈，所以()''0>gx ，所以()g x '在[1,4]上递增，所以()(1)233110g x g ''≥=-+-=>，所以()g x 在[1,4]上递增，所以(1)()(4)g g x g ≤≤， 所以0()8g x ≤≤，所以当4a ≤时，()|8|84M a a a =-=-≥，当4a >时，()|0|4M a a a =-=>， 所以()[4,)M a ∈+∞，所以()M a 的最小值为4，符合题意，故③正确. 故选：D【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的最值和值域，属于中档题.非选择题部分(共110分)二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.我国古代著作《庄子天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完.那么，第6天截取之后，剩余木棍的长度是_________尺；要使剩余木棍的长度小于12018尺，需要经过________次截取. 【★★答案★★】 (1). 164(2). 11 【解析】 【分析】建立等比数列模型：记第n 天后剩余木棍的长度{}n a ，则{}n a 是首项为12，公比为12的等比数列，利用等比数列的通项公式即可解决.【详解】记第n 天后剩余木棍的长度{}n a ，则{}n a 是首项为12，公比为12的等比数列， 所以12n n a =，所以6611264a ==， 由1122018n n a =<得10n >，所以n 的最小值为11.所以第6天截取之后，剩余木棍的长度是164尺，要使剩余木棍的长度小于12018尺，需要经过11次截取.故★★答案★★为：164；11.【点睛】本题考查了等比数列的应用，考查了等比数列的通项公式，属于基础题.12.已知2()⎛⎫=-⎪⎝⎭nf x xx的展开式中第三项的二项式系数为15，则n=__________，该展开式中常数项为__________.【★★答案★★】 (1). 6 (2). 60【解析】【分析】由2(1)152nn nC-==,解得6n=,化简()()36626662()12k kkkk k kkT C x C xx---=-=-,令3602k-=即可求出k,即可解得所求.【详解】2(1)152nn nC-==,所以6n=,()()366626612()2k kkkkkkkT C x C xx---∴=-=-, 令3602k-=,解得4k=,该展开式中常数项为()4466421=60C--.故★★答案★★为: 6;60.【点睛】本题考查了二项式定理的应用,考查了推理能力与计算能力,难度较易.13.某几何体的三视图如图所示，则其体积为________，外接球的表面积为________【★★答案★★】312π【解析】【分析】根据三视图可知，几何体的直观图是一个三棱锥，把它放在棱长为2的正方体中，即可求得结果.【详解】根据三视图可知，几何体的直观图是一个三棱锥A BCD -，把它放在棱长为2的正方体中，如图所示：其体积为114222323⨯⨯⨯⨯=，其外接球与正方体的外接球相同， 所以外接球半径为222122232R =++= 所以外接球的表面积为2412S R ππ==. 312π.【点睛】本题考查了由三视图还原直观图，考查了棱锥的体积公式，考查了球的表面积公式，属于基础题.14.在ABC ∆中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4,45,a B ︒==若()()()sin sin sin ,a b A B c b C -+=-则A =________，b =________.【★★答案★★】 (1). 3π (2). 463【解析】 【分析】由正弦定理角化边以及余弦定理可得2221cos 22b c a A bc +-==，可得3A π=；由正弦定理sin sin a b AB =即可得到46b =【详解】由()()()sin sin sin a b A B c b C -+=-以及正弦定理得，()()()a b a b c b c -+=-，所以222b c a bc +-=，所以2221cos 22b c a A bc +-==， 因为0A π<<，所以3A π=.由正弦定理得sin sin a b A B ==，解得b =故★★答案★★为：3π. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理，属于基础题.15.若实数x ，y 满足2320220,2x y x y y -+⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩|23|x y --的取值范围是________【★★答案★★】[4,9] 【解析】 【分析】作出可行域，设23z x y =--，利用线性规划求出z 的取值范围，从而可得||z 的取值范围. 【详解】作出可行域，如图所示：令23z x y =--，化为斜截式得13222zy x =--， 由图可知，2,2x y =-=时，z 取得最小值9-，1,0x y =-=时，z 取得最大值4-， 所以94z -≤≤-，所以||[4,9]z ∈. 故★★答案★★为：[4,9].【点睛】本题考查了线性规划求目标函数的取值范围，属于基础题.16.已知函数()321,02,0a x x f x x ax x x ⎧-≤⎪=⎨-+->⎪⎩的图象经过三个象限，则实数a 的取值范围是________.【★★答案★★】()221,+∞ 【解析】 【分析】按照0x ≤、02x <<、2x ≥三种情况讨论，结合二次函数的判别式、对称轴、开口、特殊函数值可得★★答案★★.【详解】当0x ≤时，3()||11f x a x =-≤-，此时函数图象经过第三象限； 当02x <<时，2()(1)2f x x a x =-++，当0x →时，()2f x →，此时函数图象恒经过第一象限，(1)若()2180a ∆=+->且10a +>，即1a >时，函数图象经过第一、四象限，当2x ≥时，2()(1)2f x x a x =---，()2180a ∆=-+>，()242f a =-的值可正，可负可为零，函数图象经过第一、四象限或只经过第一象限,符合题意；(2)若1a =-时，当02x <<时，2()2f x x =-+，函数图象只经过第一象限，当2x ≥时，对称轴112a x -==，()24260f a =-=->，函数图象只经过第一象限，不符合；(3) 若1a <时，当02x <<时，2()(1)2f x x a x =-++，∆<0，此时函数图象只经过第一象限，当2x ≥时，对称轴112a x -=<，()24260f a =->->，函数图象只经过第一象限，不符合；故★★答案★★为：()1,+∞.【点睛】本题主要考查二次函数以及分段函数的图象和性质，涉及分类讨论思想的应用，属于中档题．17.已知P 为边长为2的正ABC ∆所在平面内任一点，满足0,PA PB PB PC PC PA ⋅+⋅+⋅=则PA PB ⋅的取值范围是________【★★答案★★】[ 【解析】 【分析】以AB 的中点为原点，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系：利用坐标进行运算可得★★答案★★.【详解】以AB 的中点为原点，AB 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系：则(1,0)A -，(1,0)B ， 3)C ，设(,)P x y ，所以(1,)PA x y =---，(1,)PB x y =--，(3)PC x y =-，所以2(1)(1)(1)(3)(1)3)0x x y x x y y x x y y ---+-------=， 所以2233310x y +--=，所以2232(33x y +-=，所以363633y ≤≤， 所以221PA PB x y ⋅=+-23113+=-22[]33∈-. 故★★答案★★为：2222[,33-. 【点睛】本题考查了解析法，考查了平面向量数量积的坐标运算，属于基础题. 三、解答题：本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 18.已知函数()223sin cos 2cos f x x x x a =⋅-+（1）求函数()f x 的最小正周期，单调减区间； （2）若函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为3.锐角a 满足()53f α=，求sin 2α的值. 【★★答案★★】（1）函数()f x 的最小正周期为π，函数()f x 的单调递减区间为5[,]36k k ππππ++，k Z ∈，（2322±. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角的正、余弦公式和两角和的正弦公式化简函数解析式，利用正弦型函数的周期公式可得最小正周期，根据正弦函数的单调性可得单调递减区间；（2）根据正弦函数的值域可得()f x 的最大值为1a +，可得2a =，()2sin(2)16f x x π=-+，根据()53fα=可得1sin(2)63πα-=，cos(2)63πα-=±，再根据sin 2sin(2)66ππαα=-+sin(2)cos cos(2)sin 6666ππππαα=-+-可求得结果.【详解】（1）()2cos 2cos f x x x x a =⋅-+2cos 21x x a =--+2sin(2)16x a π=--+, 所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==， 由3222262k x k πππππ+≤-≤+，k Z ∈， 得536k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈， 所以函数()f x 的单调递减区间为5[,]36k k ππππ++k Z ∈. （2）当[0,]2x π∈时，52[,]666x πππ-∈-，1sin(2)[,1]62x π-∈-， 所以()[2,1]f x a a ∈-++，所以13a +=，解得2a =，可得所以()2sin(2)16f x x π=-+，所以5()2sin(2)163f παα=-+=，所以1sin(2)63πα-=， 因为(0,)2πα∈，所以当(0,)3πα∈时，2(,)662πππα-∈-，cos(2)6πα-==， 所以sin 2sin(2)66ππαα=-+sin(2)cos cos(2)sin 6666ππππαα=-+-1132=+当[,)32ππα∈时，52[,)626πππα-∈，cos(2)63πα-=-，所以sin 2sin(2)66ππαα=-+sin(2)cos cos(2)sin 6666ππππαα=-+- 13221322332-=⨯-⨯=. 【点睛】本题考查了二倍角的正弦、余弦公式，考查了两角和与差的正弦公式，考查了正弦型函数的周期公式，考查了正弦函数的单调区间，考查了三角函数的最值，属于中档题. 19.如图，在三棱锥D -ABC 中,234,AC BC DC ABC ==为锐角三角形，平面ACD ⊥平面,90ABC BCD ∠=.（1）求证：CD ⊥平面ABC（2）若直线BD 与平面ACD 所成角的正弦值为74，求二面角D -AB -C 的余弦值. 【★★答案★★】（1）证明见详解；（277【解析】 【分析】（1）过B 作BH AC ⊥，交AC 于点H ，利用面面垂直的性质定理可得BH ⊥平面ACD ，从而证出BH CD ⊥，再由BC CD ⊥，利用线面垂直的判定定理即可证出.（2）过C 作CM AB ⊥，交AB 于点M ，则CMD ∠为二面角D -AB -C 的平面角，在ABC 中，由余弦定理求出AB ，利用三角形面积相等求出CM ，即可求解. 【详解】（1）过B 作BH AC ⊥，交AC 于点H ， 平面ACD ⊥平面ABC ，且平面ACD 平面ABCAC =，则BH ⊥平面ACD ，CD ⊂平面ACD ，BH CD ∴⊥， 又90BCD ︒∠=，BC CD ∴⊥，BH BC B⋂=，CD平面ABC.（2）过C作CM AB⊥，交AB于点M，则CMD∠为二面角D-AB-C的平面角，由（1）可知，BHD∠为直线BD与平面ACD所成角，即7sin BHD∠=设1CD=，由234AC BC DC==，则43BC=，2AC=，所以2245133BD⎛⎫=+=⎪⎝⎭，由7sin4BHBHDBD∠==，解得75574312BH==，所以575712sin4163BHACBBC∠===由ABC锐角三角形，所以2579cos11616ACB⎛⎫∠=-=⎪⎪⎝⎭，在ABC中，由余弦定理，2221649252cos42293169 AB CA CB CA CB ACB=+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=，所以53AB=，由1122ABCS AC BH AB CM=⋅=⋅，解得72CM=，所以2DM ==， 所以cos CM CMD DM ∠====【点睛】本题考查了面面垂直的性质定理、线面垂直的判定定理、求面面角，考查了考生的逻辑推理能力，属于中档题.20.已知数列{}{},,n n a b 其中12,1,n n a b a =-=且点()1,n n a a +在函数()()2f x x x =+的图像上*,n N ∈（1）证明：数列{}n lgb 是等比数列，并求数列{}n a 的通项； （2）记T n 为数列{}n b 的前n 项积，S n 为数列{}n c 的前n 项和，1111n n n c b b =+-+，试比较S n 与213nT -大小.【★★答案★★】（1）证明见详解；1231n n a -=-；（2）213n nS T >-【解析】 【分析】（1）由题意可得21n n b b +=，再两边取对数化简后，由等比数列的定义即可证明，根据等比数列的通项公式可得数列{}n b 的通项公式，进而可得数列{}n a 的通项.（2）首先利用等比数列的前n 项和公式求出n T ，再利用裂项相消法求出n S ，两式作差即可比较大小.【详解】（1）由1n n b a -=，1n n a b ∴=-，12a =，则13b =，点()1,n n a a +在函数()()2f x x x =+的图像上， 则()12n n n a a a +=+，()()2111121n n n n b b b b +∴-=--+=-，21n n b b +∴=，21lg lg 2lg n n n b b b +∴==，即1lg 2lg n nb b +=， ∴数列{}n lgb 是等比数列，又1lg lg 3b =，1lg 2lg 3n n b -∴=⋅，112lg32103n n n b --⋅∴==，1231n n a -∴=-.（2）由（1）可知112lg32103n n n b --⋅==，所以02122221233333n n n T b b b b -=⋅⋅=⋅⋅()02111222222112333nn n -⨯-+++--===所以2122221313313n n n T -==--⋅-.由1111n n n c b b =+-+，即1122113131n n n c --=+-+， 所以1223131112n nn c -⎛⎫=--⎝-⎪⎭， 所以123n n S c c c c =+++0212222221111112313131313131n n-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦02222112221131313113n n n⎛⎫=-=-=+ ⎪----⎝⎭， 所以2222111313213n nn n S T -=+-=---，所以213n nS T >-.【点睛】本题考查了等比数列的定义、等比数列的通项公式、等比数列的前n 项和公式、裂项相消法求和，此题综合性比较强，属于难题. 21.已知(),0,02p F p ⎛⎫>⎪⎝⎭，点M 在x 轴上，点L 在y 轴上，且2MN ML =，LM LF ⊥，当点L 在y 轴上运动时，动点N 的轨迹为曲线C .过x 轴上一点K 的直线交曲线C 于P ，Q 两点.（1）求曲线C 的轨迹方程； （2）证明：存在唯一的一点K ，使得2211PKQK+为常数，并确定K 点的坐标.【★★答案★★】（1）()22,0y px p => （2）证明见解析；(),0K p . 【解析】 【分析】（1）根据题意，画出几何图形，设(),N x y ，由几何关系可知FM FN =，结合点的坐标即可求得,x y 的关系，化简即可求得曲线C 的轨迹方程；（2）由K 点在x 轴上，可设(),0K a ，设出过点K 的直线方程为()y k x a =-，联立抛物线方程，并由两点间距离公式表示出22,PK QK ，并代入2211PKQK+中化简即可求得常数a 的值，即可确定点K 的坐标.【详解】（1）根据题意可知，(),0,02p F p ⎛⎫>⎪⎝⎭，点M 在x 轴上，点L 在y 轴上，且2MN ML =，LM LF ⊥，画出几何关系如下图所示：设(),N x y ，L 为MN 中点，因为L 在y 轴上，所以点M 的横坐标为x -， 由等腰三角形三线合一可知FM FN =，即2222p p x x y ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭22y px =， 所以曲线C 的轨迹方程为()22,0y px p =>. （2）证明：点K 为x 轴上一点，设(),0K a ，则过点K 的直线方程为()y k x a =-，交抛物线()22,0y px p =>于()11,P x y ，()22,Q x y 两点.则()22y k x a y px⎧=-⎨=⎩，化简变形可得()22222220k x ak p x k a -++=， 所以221212222222,ak pp x x a x x a k k ++==+=，由两点间距离公式可得()()222211112PKx a y x a px =-+=-+，()()222222222QKx a y x a px =-+=-+，所以2211PKQK+()()2211221122x a px x a px =+-+-+()()22221122112222x p a x a x p a x a =++-++-+()()()()2221212222211222222222x x p a x x a x p a x a x p a x a ++-++=⎡⎤⎡⎤+-++-+⎣⎦⎣⎦()()()()()()()()()()2212121222222241212121212122222222222x x x x p a x x a x x p a x x x x a x x p a x x a p a x x a +-+-++=+-++++-+-++将21212222,p x x a x x a k +=+=代入化简可得()22222111p ak a p k PKQK++=+， 所以当a p =时2211PKQK+为常数，且222111p PKQK+=， 此时(),0K p .【点睛】本题考查了轨迹方程的求法，抛物线中直线过定点问题的解法，直线与抛物线位置关系的综合应用，计算量大，是高考的常考点和难点，属于难题. 22.已知函数()()()ln ,1f x x g x ax a R ==-∈ （1）讨论函数()()()h x f x g x =-的单调性；（2）若函数()f x 与()g x 的图象有两个不同的交点()()112212),(,, A x y B x y x x < （i ）求实数a 的取值范围（ii ）求证：110,y -<<且122(y ye e e +>为自然对数的底数).【★★答案★★】(1) 当0a ≤时,函数()h x 在(0,)+∞上单调递增;当0a >时, 函数()h x 的单调递增区间为1(0,)a ,单调递减区间为1(,)a+∞. (2)(i)(0,1) (ii)证明见解析. 【解析】 【分析】 (1)1(),(0)h x a x x'=->,对a 分类讨论：0,0a a ≤>,利用导数的正负号研究函数的单调性; (2)(i)由(1)可知，当0a ≤时()f x 单调,不存在两个零点,当0a >时,可求得()f x 有唯一极大值,令其大于零,可得到a 的范围,再判断极大值点左右两侧附近的函数值小于零即可;(ii)构造函数2221()()()ln()()1(ln 1),(0)G x h x h x x a x x ax x aa a a=--=---+--+<≤,根据函数的单调性证明即可.【详解】由题意知()()()=ln 1h x f x g x x ax =--+,所以1(),(0)h x a x x'=->. 当0a ≤时, ()0h x '>,函数()h x 在(0,)+∞上单调递增; 当0a >时,令1()0h x a x '=->，解得10x a<<； 令1()0h x a x '=-<，解得1x a>； 所以函数()h x 在1(0,)a上单调递增,在1(,)a+∞上单调递减. 综上所述：当0a ≤时,函数()h x 在(0,)+∞上单调递增;当0a >时, 函数()h x 的单调递增区间为1(0,)a ,单调递减区间为1(,)a+∞.(2)(i) 函数()f x 与()g x 的图象有两个不同的交点()()112212),(,, A x y B x y x x <等价于函数()h x 有两个不同的零点12,x x ,其中12x x <.由(1)知, 当0a ≤时,函数()h x 在(0,)+∞上单调递增;不可能有两个零点.当0a >时, 函数()h x 在1(0,)a 上单调递增,在1(,)a +∞上单调递减,此时1()h a为函数()h x 的最大值.当1()0h a≤时,()h x 最多有一个零点, 所以11()=ln0h a a>,解得01a <<， 此时,2211e e a a<<,且1()110a a h e e e =--+=-<，2222()22ln 132ln (01)e e e h a a a a a a=--+=--<<，.令2()32ln ,(01)e F a a a a =--<<,则222222()0,(01)e e aF a a a a a-'=-+=><<, 所以()F a 在(0,1)上单调递增,所以2()(1)30,F a F e <=-<即22()0e h a<,所以a 的取值范围是(0,1).(ii)因为()ln 1h x x ax =-+在1(0,)a 上单调递增,在1(,)a+∞上单调递减, 所以1()110a ah e e e=--+=-<,(1)10h a =->, 所以111x e<<,即11()0f x -<<,所以110y -<<. 构造函数222()()()ln()()1(ln 1)G x h x h x x a x x ax a a a=--=---+--+2ln()ln 22x x ax a =--+-,1(0)x a<<则212()11()2)022()a x a G x a x x x x a a-'=-+=<--, 所以()G x 1(0,)a上单调递减, 又因为110x a <<, 所以11()()0G x G a>=,因为2()0,h x =所以11122()()()()G x h x h x h x a=-->,又1()0,h x = 所以122()()h x h x a->由(1)知()h x 在1(,)a +∞上单调递减得：122,x x a -<即122+,x x a>又因为1122ln ,ln y x y x ==,所以1212,y yx e x e ==即122yy e ea+>, 又因为01a <<，所以22a> 所以122y y e e +>.【点睛】本题综合考查了运用导数解决函数的单调性,证明不等式.属于难题.讨论函数的单调性一定要思路清晰，再结合函数的图像解决函数的零点问题.本题的难点在于找到1()0h e <与22()0e h a<及构造函数()G x .感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。
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2019学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测
数学试卷
一、选择题
1.设集合A={}
2
|4x y x =-(){|1},B x y ln x ==+则A∩B=( )
()[](][].2,2. 2.2.1,2. 1.2A B C D ----
2.设M 为不等式10
10x y x y +-<⎧⎨-+>⎩
所表示的平面区域,则位于M 内的点是( )
()()()0,22,00,2.(20)A B C D --
3.某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A 76
B ．54
C ． 43
D ．5
3
4,3n n a =是”函数()()R |1|||f x x x a x =-+-∈的最小值等于2”的( )
A 充分不必要条件B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件D.充要条件
5.在我国古代数学著作《详解九章算法》中,记载着如图所示的一张数表,表中除1以外的每一个数都等于它肩上两个数之和,如:6=3+3则这个表格中第8行第6个数是( ) A.21 B.28 C.35 D.56
6.函数1
(41
x
y e x =
--其中e 为自然对数的底数)的图象可能是( )
7.抛掷一枚质地均匀的硬币,若出现正面朝上则停止抛掷,至多抛掷n i 次,设抛掷次数为随机变量,1,2.i i ξ=若n 1=3n 2=5,则( )
()()()()()()()12122112.(),.,A E E D D B E D E D ξξξξξξξξ<<＜＜＜ ()()()()()()()()()121212212.,).,,C E E D D D E D D E D ξξξξξξξξξ><>>
8.已知函数()sin()(0)
cos(),(0)x a x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩是偶函数,则ab 的值可能是( )
.,33A a b π
π
=
=
2.,36B a b ππ=
=
25.,.,3636C b D a b ππππ
====
9.设a,b,c 为非零不共线向量,若|(1)||()a tc t b a c t R -+--∈…则(
()().A a b a c +⊥-()().*B a b b c +⊥ ()().C a c a b -⊥+()().D a c b c -⊥+
()
*113
10.{}.44
n n n a a n a N +=
-∈数列满足若存在实数c.使不等式a 2n <c<a 2n-1 对任意n ∈N *恒成立,当11a =时,c=( ) A ．16B ．14 C ．13
D ．12
11.设复数1,,)1z a i bi b z
a i i
R =-=+∈+且
（为虚数单位则ab= ▲ |z|= ▲ 6
112.x x ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的的展开式的所有二次项系数和为 ▲ 常数项为 ▲
13.设双曲线()22
22,10,0x y a b a b
-=>>的左、右焦点为F,2P 为该双曲线上一点
且12|2||3|PF PF =若2160,F F P ︒=∠则该双曲线的离心率为 ▲ 渐近线方程 为 ▲
14.在ABC V 中,若()22,22
A
sin A sin B C cosBsinC =+=. 则_____,
_____AC
A AB
== 15.已知S n 是等差数列{}n a 的前n 项和,若244,16,S S 厔
则a 3的最大值是 ▲ 16.安排ABCDEF 共6名志愿者照顾甲、乙、丙三位老人,每两位志愿者照顾一位老人,
考虑到志愿者与老人住址距离问题,志愿者A 安排照顾老人甲,志愿者B 不安排照顾老人乙,则安排方法共有 ▲ 种
17.已知函数()()3|||3|,.f x x a x R b a b =-+-∈当[]()0,2.,x f x ∈的最大值为(),,M a b 则
(),M a b 的最小值为 ▲
18.已知函数()2133,022f x sin x co x s ωωω=
+-> (1)若ω=1.求()f x 的单调递增区间
2)若 1.3f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
求()f x 的最小正周期T 的最大值
19.如图,在四棱锥P=ABCD 中,PC ⊥底面ABCD,底面ABCD 是直角梯形
.AB AB CD AD ⊥P AB=2AD=2CD=2，E 是PB 上的点
(1)求证:平面EAC ⊥PBC;
(2)若E 是PB 的中点,且二面角P AC E ︒--的余弦值为6
,求直线PA 与平 面EAC 所成角的正弦值
20.(本题满分15分)已知数列{}n a 的各项均为正数,a 1=14，b n n a ,{}n b 是等差数列,其前n
项和为26,81.n S S b =⋅ (1)求数列{a n }的通项公式
()()()3
1212123(2)111,,n n n n n
c c c a a a a a a a T c c =--⋅⋅-=
+++L 若对任意的正整数n,都有4aT n <c 恒成立,求实数a 的取值范围
21.(本题满分15分)如图,已知M(1,2)为抛物线()220:C y px p =>上一点，过点()2,2D -的直线与抛物线C 交于AB 两点(AB 两点异于M),记直线AM,BM 的料率分别为k 1,,,,k 2 (1)求k 1k 2的值
(2)记,BMD AMD V V 的面积分别为S 1,S 2,当[]11,2,k ∈L
求
1
2
S S 的取值范围
22.(本题满分15分)已知函数()()()ln ,0.x a f x e x a x -=-+…其中0,a > (1)若a=l.求证:()0.f x >
(2)若不等式()211ln 2f x x a ++-…对0x ≥恒成立,试求a 的取值范围。