2018学年高中数学选修1-1课件：第2章 圆锥曲线与方程 2.5 精品
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【精彩点拨】 因为椭圆离心率为13，∴PdF＝13(d 为 P 到相应准线的距离)，∴ 3PF＝d，将 MP＋3PF 转化为 MP＋d.
【自主解答】 设 P 点坐标为(x0，y0)，P 到 F 对应准线的距离为 d，
由方程知 a2＝9，a＝3，b2＝8，c2＝1，∴e＝13， ∴PdF＝13，∴3PF＝d，∴MP＋3PF＝MP＋d. 当 MP 与准线 l 垂直时 MP＋d 最小. 此时 P 点的横坐标为 x0＝1，将 x0＝1 代入椭圆方程x820＋y902＝1，得 y0＝34 14. ∴P 点坐标为1，34 14，最小距离为ac2－2＝9－2＝7.即 MP＋3PF 的最小值为 7.
4.椭圆x42＋y32＝1 上一点 P 到其焦点的距离为 2，则点 P 到对应的准线的距离 为________.
【解析】 由题意知 a＝2，c＝1，∴e＝12，所以 p 到准线的距离为 2÷12＝4. 【答案】 4
5.椭圆1x020＋3y62 ＝1 上有一点 P，它到椭圆的左准线的距离为 10，求点 P 到椭 圆的右焦点的距离.
1.椭圆x32＋y22＝1 的准线方程是________. 【解析】 由方程可知 a2＝3，b2＝2，c2＝1，∴c＝1，则准线方程为 x＝±ac2＝ ±3.
【答案】 x＝±3
2.双曲线 y2－x2＝－4 的准线方程是________.
【解析】 把双曲线方程化为x42－y42＝1，∴a2＝4，b2＝4，c2＝8，即 c＝2 2， 故准线方程是 x＝±ac2＝±242＝± 2.
【提示】 易知椭圆的离心率是 e＝12，由PPDF＝12，得 PF＝12PD，故 PA＋12PD ＝PA＋PF≥AF＝3.即 PA＋12PD 的最小值是 3.
已知椭圆x82＋y92＝1 内有一点 M(1,2)，F 是椭圆在 y 轴正半轴上的一 个焦点，在椭圆上求一点 P，使得 MP＋3PF 的值最小.
【导学号：24830055】 【解析】 椭圆1x020＋3y62 ＝1 中，a2＝100，b2＝36，则 a＝10，c＝ a2－b2＝8， 故离心率为 e＝45. 根据圆锥曲线的统一定义得，点 P 到椭圆的左焦点的距离为 10e＝8. 再根据椭圆的定义得，点 P 到椭圆的右焦点的距离为 20－8＝12.
即点 P 到左焦点的距离为239.
解决这类圆锥曲线上点到焦点和准线的距离问题的一般思路有两种：(1)先利 用统一定义进行曲线上点到焦点与相应准线距离之间的相互转化，再利用对应的 圆锥曲线定义进行曲线上点到两不同焦点距离之间的转化来解决；(2)把思路(1)的 两步过程交换先后顺序来解决.
[再练一题]
【自主解答】 双曲线x92－1y62 ＝1 的左准线和右准线分别为 x＝－95和 x＝95，若 点 P 在双曲线的左支上，则点 P 到右准线的最小距离为95－(－3)＝254＞151，故点 P 不可能在左支上，而在右支上，所以点 P 到右焦点的距离为151e＝131，再根据双曲 线的定义知 PF1－PF2＝6，即 PF1＝6＋PF2＝6＋131＝239.
【答案】 x＝± 2
3.若椭圆的焦点坐标为(1,0)，准线方程是 x＝12，则该椭圆的方程是________.
【解析】 易知椭圆的焦点在 x 轴上，且 c＝1，故准线方程是 x＝ac2＝a2＝12， 则 b2＝a2－c2＝11，故椭圆方程是1x22 ＋1y12 ＝1.
【答案】 1x22 ＋1y12 ＝1
学业分层测评(十二) 点击图标进入…
探究 2 设椭圆x42＋y32＝1 内一点 A(1,1)，P 为椭圆上一点，过 P 作椭圆的准线 x＝4 的垂线，垂足为 D，则 PA＋PD 的最小值是什么？
【提示】 过 A 作直线 x＝4 的垂线交椭圆于 P，垂足为 D，则 PA＋PD 最小， 最小值为 AD＝4－1＝3.
探究 3 设椭圆x42＋y32＝1 外一点 M(1,3)，F 为其右焦点，P 为椭圆上一点，P 到椭圆的准线 x＝4 的距离为 PD，则 PA＋12PD 的最小值是什么？
[小组合作型] 求焦点坐标及准线方程
求下列曲线的焦点坐标和准线方程： (1)x2－y2＝2； (2)4y2＋9x2＝36； (3)x2＋4y＝0； (4)3x2－3y2＝－2.
【导学号：24830053】
【精彩点拨】 把方程化为标准形式后，确定焦点的位置、利用公式求解. 【自主解答】 (1)化方程为标准形式：x22－y22＝1. 焦点在 x 轴上，a2＝2，b2＝2，c2＝4，c＝2.
我还有这些不足： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________ 我的课下提升方案： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________
【答案】 (1)× (2)× (3)×
2.离心率为12，准线为 x＝±4 的椭圆方程为________. 【解析】 由题意知 a＝2，c＝1，b2＝3，∴椭圆方程为x42＋y32＝1. 【答案】 x42＋y32＝1
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1：________________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________________ 疑问 2：________________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________________ 疑问 3：________________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________________
求距离和的最小值的关键在于把折线变成直线，此过程需借助于圆锥曲线的 统一定义进行等价转化，体现了数形结合与等价转化的数学思想.
[再练一题] 3.如图 2-5-1 所示，已知 F 是双曲线x42－1y22 ＝1 的左焦点，定点 A 的坐标为(3,1)， P 是双曲线右支上的动点，则12PF＋PA 的最小值为多少？
义得，P 到右焦点的距离为 2a－258＝10－258＝252.
[探究共研型] 利用圆锥曲线的定义求最值
探究 1 根据椭圆(双曲线)的共同性质，椭圆(双曲线)上一点 P 到其焦点 F 的 距离 PF，与点 P 到对应准线的距离 d 有什么关系？
【提示】 PdF＝e，即 PF＝de(e 为椭圆或双曲线的离心率).
(2)化方程为标准形式：x22－y42＝1.
焦点在 x 轴上，a2＝2，b2＝4，c2＝6，c＝ 6.
∴焦点坐标为(±
6，0)，准线方程为
x＝±ac2＝±
26＝±
6 3.
利用圆锥曲线的定义求距离
点的距离.
双曲线x92－1y62 ＝1 上有一点 P，它到右准线的距离为151，求它到左焦
【精彩点拨】 首先判定点 P 在双曲线的左支还是右支上，然后利用性质把 到准线的距离转化为到焦点的距离求解.
1.判断正误： (1)到定点 F 与定直线 l 的距离之比为常数的点的轨迹是圆锥曲线.( ) (2)离心率 e＝1 时不表示圆锥曲线.( ) (3)椭圆的准线为 x＝±ac2(焦点在 x 轴上)，双曲线的准线为 x＝±ca2(焦点在 x 轴 上).( )
【解析】 (1)×.定点 F 不在定直线 l 上时才是圆锥曲线. (2)×.当 e＝1 时表示抛物线是圆锥曲线. (3)×.双曲线的准线也是 x＝±ac2.
∴焦点为(±2,0)，准线方程为 x＝±22＝±1.
(2)化方程为标准形式：y92＋x42＝1. 焦点在 y 轴上，a2＝9，b2＝4，c＝ 5. ∴焦点坐标为(0，± 5)，准线方程为 y＝± 95＝±95 5.
(3)由方程 x2＝－4y 知，曲线为抛物线，p＝2，
开口向下，焦点为(0，－1)，准线为 y＝1.
(4)化方程为标准形式y22－x22＝1，a2＝23，b2＝23，c＝ 33
0，±23
3.
2
准线方程为
y＝±ac2＝±2
3
3＝±
3 3.
3
23＋23＝2 3 3，故焦点为
1.已知圆锥曲线方程求焦点坐标、准线方程的一般思路是：首先确定圆锥曲线 的类型，其次确定其标准方程的形式，然后确定相关的参数值 a，b，c 或 p，最后 根据方程的特征写出相应的焦点坐标、准线方程.
阶
阶
Leabharlann Baidu
段
段
一
三
2.5 圆锥曲线的共同性质
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
1.了解圆锥曲线的共同性质.(重点) 2.能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题.(难点)
[基础·初探]
教材整理 圆锥曲线的共同性质
阅读教材 P53 至思考以上部分，完成下列问题. 1.圆锥曲线的共同性质：
圆锥曲线上的点到一个定点 F 和到一条定直线 l(F 不在定直线 l 上)的距离之比
图 2-5-1
【解】 由x42－1y22 ＝1 知 a＝2，c＝4，e＝2.设点 M 是点 P 在左准线上的射影. 则 PM 是 P 到左准线 x＝－1 的距离，则PPMF ＝2. 所以12PF＝PM，所以12PF＋PA＝PM＋PA. 显然当 A，P，M 三点共线时，12PF＋PA 的值最小， 即12PF＋PA 的最小值为点 A 到双曲线左准线的距离：3＋ac2＝3＋44＝4.故12PF ＋PA 的最小值为 4.
是一个 常数e .
这个 常数e 叫做圆锥曲线的离心率， 定点F
就是圆锥曲线的焦
点， 定直线l 就是该圆锥曲线的准线.
2.圆锥曲线离心率的范围： (1)椭圆的离心率满足 0＜e＜1 ， (2)双曲线的离心率满足 e＞1 ， (3)抛物线的离心率满足 e＝1 . 3.椭圆和双曲线的准线方程： 根据图形的对称性可知，椭圆和双曲线都有两条准线，对于中心在原点，焦点 在 x 轴上的椭圆或双曲线，准线方程都是 x＝±ac2.
2.椭圆2x52 ＋1y62 ＝1 上有一点 P，它到椭圆的左准线的距离为238，求点 P 到椭圆
的右焦点的距离.
【解】
椭圆2x52 ＋1y62 ＝1
中，a2＝25，b2＝16，则
【导学号：24830054】 a＝5，c＝3，故离心率为 e
＝35.
由圆锥曲线的性质得点 P 到椭圆的左焦点的距离为238e＝258，再根据椭圆的定
2.注意：椭圆、双曲线有两条准线，而抛物线只有一条准线，应区别对待.
[再练一题] 1.求下列圆锥曲线的焦点坐标和准线方程： (1)3x2＋4y2＝12；(2)2x2－y2＝4. 【解】 (1)化方程为标准形式：x42＋y32＝1. 焦点在 x 轴上，a2＝4，b2＝3，c2＝1，c＝1. ∴焦点坐标为(±1,0)，准线方程为 x＝±ac2＝±4.
【自主解答】 设 P 点坐标为(x0，y0)，P 到 F 对应准线的距离为 d，
由方程知 a2＝9，a＝3，b2＝8，c2＝1，∴e＝13， ∴PdF＝13，∴3PF＝d，∴MP＋3PF＝MP＋d. 当 MP 与准线 l 垂直时 MP＋d 最小. 此时 P 点的横坐标为 x0＝1，将 x0＝1 代入椭圆方程x820＋y902＝1，得 y0＝34 14. ∴P 点坐标为1，34 14，最小距离为ac2－2＝9－2＝7.即 MP＋3PF 的最小值为 7.
4.椭圆x42＋y32＝1 上一点 P 到其焦点的距离为 2，则点 P 到对应的准线的距离 为________.
【解析】 由题意知 a＝2，c＝1，∴e＝12，所以 p 到准线的距离为 2÷12＝4. 【答案】 4
5.椭圆1x020＋3y62 ＝1 上有一点 P，它到椭圆的左准线的距离为 10，求点 P 到椭 圆的右焦点的距离.
1.椭圆x32＋y22＝1 的准线方程是________. 【解析】 由方程可知 a2＝3，b2＝2，c2＝1，∴c＝1，则准线方程为 x＝±ac2＝ ±3.
【答案】 x＝±3
2.双曲线 y2－x2＝－4 的准线方程是________.
【解析】 把双曲线方程化为x42－y42＝1，∴a2＝4，b2＝4，c2＝8，即 c＝2 2， 故准线方程是 x＝±ac2＝±242＝± 2.
【提示】 易知椭圆的离心率是 e＝12，由PPDF＝12，得 PF＝12PD，故 PA＋12PD ＝PA＋PF≥AF＝3.即 PA＋12PD 的最小值是 3.
已知椭圆x82＋y92＝1 内有一点 M(1,2)，F 是椭圆在 y 轴正半轴上的一 个焦点，在椭圆上求一点 P，使得 MP＋3PF 的值最小.
【导学号：24830055】 【解析】 椭圆1x020＋3y62 ＝1 中，a2＝100，b2＝36，则 a＝10，c＝ a2－b2＝8， 故离心率为 e＝45. 根据圆锥曲线的统一定义得，点 P 到椭圆的左焦点的距离为 10e＝8. 再根据椭圆的定义得，点 P 到椭圆的右焦点的距离为 20－8＝12.
即点 P 到左焦点的距离为239.
解决这类圆锥曲线上点到焦点和准线的距离问题的一般思路有两种：(1)先利 用统一定义进行曲线上点到焦点与相应准线距离之间的相互转化，再利用对应的 圆锥曲线定义进行曲线上点到两不同焦点距离之间的转化来解决；(2)把思路(1)的 两步过程交换先后顺序来解决.
[再练一题]
【自主解答】 双曲线x92－1y62 ＝1 的左准线和右准线分别为 x＝－95和 x＝95，若 点 P 在双曲线的左支上，则点 P 到右准线的最小距离为95－(－3)＝254＞151，故点 P 不可能在左支上，而在右支上，所以点 P 到右焦点的距离为151e＝131，再根据双曲 线的定义知 PF1－PF2＝6，即 PF1＝6＋PF2＝6＋131＝239.
【答案】 x＝± 2
3.若椭圆的焦点坐标为(1,0)，准线方程是 x＝12，则该椭圆的方程是________.
【解析】 易知椭圆的焦点在 x 轴上，且 c＝1，故准线方程是 x＝ac2＝a2＝12， 则 b2＝a2－c2＝11，故椭圆方程是1x22 ＋1y12 ＝1.
【答案】 1x22 ＋1y12 ＝1
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探究 2 设椭圆x42＋y32＝1 内一点 A(1,1)，P 为椭圆上一点，过 P 作椭圆的准线 x＝4 的垂线，垂足为 D，则 PA＋PD 的最小值是什么？
【提示】 过 A 作直线 x＝4 的垂线交椭圆于 P，垂足为 D，则 PA＋PD 最小， 最小值为 AD＝4－1＝3.
探究 3 设椭圆x42＋y32＝1 外一点 M(1,3)，F 为其右焦点，P 为椭圆上一点，P 到椭圆的准线 x＝4 的距离为 PD，则 PA＋12PD 的最小值是什么？
[小组合作型] 求焦点坐标及准线方程
求下列曲线的焦点坐标和准线方程： (1)x2－y2＝2； (2)4y2＋9x2＝36； (3)x2＋4y＝0； (4)3x2－3y2＝－2.
【导学号：24830053】
【精彩点拨】 把方程化为标准形式后，确定焦点的位置、利用公式求解. 【自主解答】 (1)化方程为标准形式：x22－y22＝1. 焦点在 x 轴上，a2＝2，b2＝2，c2＝4，c＝2.
我还有这些不足： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________ 我的课下提升方案： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________
【答案】 (1)× (2)× (3)×
2.离心率为12，准线为 x＝±4 的椭圆方程为________. 【解析】 由题意知 a＝2，c＝1，b2＝3，∴椭圆方程为x42＋y32＝1. 【答案】 x42＋y32＝1
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1：________________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________________ 疑问 2：________________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________________ 疑问 3：________________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________________
求距离和的最小值的关键在于把折线变成直线，此过程需借助于圆锥曲线的 统一定义进行等价转化，体现了数形结合与等价转化的数学思想.
[再练一题] 3.如图 2-5-1 所示，已知 F 是双曲线x42－1y22 ＝1 的左焦点，定点 A 的坐标为(3,1)， P 是双曲线右支上的动点，则12PF＋PA 的最小值为多少？
义得，P 到右焦点的距离为 2a－258＝10－258＝252.
[探究共研型] 利用圆锥曲线的定义求最值
探究 1 根据椭圆(双曲线)的共同性质，椭圆(双曲线)上一点 P 到其焦点 F 的 距离 PF，与点 P 到对应准线的距离 d 有什么关系？
【提示】 PdF＝e，即 PF＝de(e 为椭圆或双曲线的离心率).
(2)化方程为标准形式：x22－y42＝1.
焦点在 x 轴上，a2＝2，b2＝4，c2＝6，c＝ 6.
∴焦点坐标为(±
6，0)，准线方程为
x＝±ac2＝±
26＝±
6 3.
利用圆锥曲线的定义求距离
点的距离.
双曲线x92－1y62 ＝1 上有一点 P，它到右准线的距离为151，求它到左焦
【精彩点拨】 首先判定点 P 在双曲线的左支还是右支上，然后利用性质把 到准线的距离转化为到焦点的距离求解.
1.判断正误： (1)到定点 F 与定直线 l 的距离之比为常数的点的轨迹是圆锥曲线.( ) (2)离心率 e＝1 时不表示圆锥曲线.( ) (3)椭圆的准线为 x＝±ac2(焦点在 x 轴上)，双曲线的准线为 x＝±ca2(焦点在 x 轴 上).( )
【解析】 (1)×.定点 F 不在定直线 l 上时才是圆锥曲线. (2)×.当 e＝1 时表示抛物线是圆锥曲线. (3)×.双曲线的准线也是 x＝±ac2.
∴焦点为(±2,0)，准线方程为 x＝±22＝±1.
(2)化方程为标准形式：y92＋x42＝1. 焦点在 y 轴上，a2＝9，b2＝4，c＝ 5. ∴焦点坐标为(0，± 5)，准线方程为 y＝± 95＝±95 5.
(3)由方程 x2＝－4y 知，曲线为抛物线，p＝2，
开口向下，焦点为(0，－1)，准线为 y＝1.
(4)化方程为标准形式y22－x22＝1，a2＝23，b2＝23，c＝ 33
0，±23
3.
2
准线方程为
y＝±ac2＝±2
3
3＝±
3 3.
3
23＋23＝2 3 3，故焦点为
1.已知圆锥曲线方程求焦点坐标、准线方程的一般思路是：首先确定圆锥曲线 的类型，其次确定其标准方程的形式，然后确定相关的参数值 a，b，c 或 p，最后 根据方程的特征写出相应的焦点坐标、准线方程.
阶
阶
Leabharlann Baidu
段
段
一
三
2.5 圆锥曲线的共同性质
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
1.了解圆锥曲线的共同性质.(重点) 2.能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题.(难点)
[基础·初探]
教材整理 圆锥曲线的共同性质
阅读教材 P53 至思考以上部分，完成下列问题. 1.圆锥曲线的共同性质：
圆锥曲线上的点到一个定点 F 和到一条定直线 l(F 不在定直线 l 上)的距离之比
图 2-5-1
【解】 由x42－1y22 ＝1 知 a＝2，c＝4，e＝2.设点 M 是点 P 在左准线上的射影. 则 PM 是 P 到左准线 x＝－1 的距离，则PPMF ＝2. 所以12PF＝PM，所以12PF＋PA＝PM＋PA. 显然当 A，P，M 三点共线时，12PF＋PA 的值最小， 即12PF＋PA 的最小值为点 A 到双曲线左准线的距离：3＋ac2＝3＋44＝4.故12PF ＋PA 的最小值为 4.
是一个 常数e .
这个 常数e 叫做圆锥曲线的离心率， 定点F
就是圆锥曲线的焦
点， 定直线l 就是该圆锥曲线的准线.
2.圆锥曲线离心率的范围： (1)椭圆的离心率满足 0＜e＜1 ， (2)双曲线的离心率满足 e＞1 ， (3)抛物线的离心率满足 e＝1 . 3.椭圆和双曲线的准线方程： 根据图形的对称性可知，椭圆和双曲线都有两条准线，对于中心在原点，焦点 在 x 轴上的椭圆或双曲线，准线方程都是 x＝±ac2.
2.椭圆2x52 ＋1y62 ＝1 上有一点 P，它到椭圆的左准线的距离为238，求点 P 到椭圆
的右焦点的距离.
【解】
椭圆2x52 ＋1y62 ＝1
中，a2＝25，b2＝16，则
【导学号：24830054】 a＝5，c＝3，故离心率为 e
＝35.
由圆锥曲线的性质得点 P 到椭圆的左焦点的距离为238e＝258，再根据椭圆的定
2.注意：椭圆、双曲线有两条准线，而抛物线只有一条准线，应区别对待.
[再练一题] 1.求下列圆锥曲线的焦点坐标和准线方程： (1)3x2＋4y2＝12；(2)2x2－y2＝4. 【解】 (1)化方程为标准形式：x42＋y32＝1. 焦点在 x 轴上，a2＝4，b2＝3，c2＝1，c＝1. ∴焦点坐标为(±1,0)，准线方程为 x＝±ac2＝±4.