第三讲 间接效用函数与支出函数

• 最大值函数(Maximum Value Function) • 最优规划问题max f ( x), x x g ( x) c 中， x 我们知道最优解是与参数有关的函数， 即 x x(c) ，因此在最优解处，目标函数的值 为：
பைடு நூலகம்
f ( x ) f ( x(c)) V (c)
x ( a ), ( a )
性质3证明
由 max s.t u v ( p, y ) px y 得，L ( ) u( + x, = x)
( y-
px)
L ( x , ) u ( x*) pi 0 x x v ( p , y ) L ( x , ) |x x ( p , y ) y y u ( x*) pi * x 由于u (.) 格 增 x1 x2 , u1 u 2 x 0, u 0 u ( x*) 0 x n p R
x 1 x2
1
v( p, y ) [ x1 ( p, y ) x2 ( p, y ) ]
1
yp yp ( r ) ( r ) r r p1 p2 p1 p2
r 1 1 r 1 2 ( y ( p1( r 1) p2r 1) ) r ( p1r p2 ) r p1r p2 y r r ( p1 p2 ) r y ( p1r p2 ) 1 r 1 1
x ( a ), ( a )
f ( x ( a ), a ) g ( x ( a ), a ) (a) ....(2) a j a j
对最大值函数v(a )求关于a j的偏导数： v(a ) n f ( x(a ), a) xi (a ) f ( x(a), a) a j xi a j i 1 a j 返回一阶条件公式（），将第一个式子移项得： 1 f ( x(a ), a) g ( x(a ), a ) ( a ) xi xi 将此式代入求和项的方括中，并将v(a )的偏导数改写成：
n v(a ) g ( x(a ), a ) xi (a) f ( x(a), a) (a ) － ....(3) a j xi a j a j i 1
再返回一阶条件公式(1), 并对方程组的第二个恒等式g ( x(a), a) 0 求关于a j的微分 : g ( x(a), a) xi (a) g ( x(a), a) 0 x a j a j i 1 i 再整理得到 :
) • 包络定理：包络曲线 V ( 与曲线 于A点，即两曲线在A点的斜率相等，用代 数表达为：
f ( x1 , ) 相切
V f ( x , )
1
• 在
1
处取值。此等式即为包络定理。
• 更加一般的，对于最优规划问题：
max
x
f ( x, ) g ( x, ) 0
两式相除，就可以得到罗伊恒等式
• 例:从直接效用函数
1
u( x1 , x2 ) ( x1 x2 ) ,0 1, 推出 接效用函
v( p, y),
• 并验证性质5。
x1 x2 y y
p1 p1 ,x1 x2 p2 p2 p1 x1 p2 x2 x2 p
s.t.
• 其中选择变量x为n维向量，参数 为m维向 量，包络定理为：
V L j a j
x ( a ), ( a )
• 即参数 a j 对最大值函数（目标函数的最大 值）的影响，就等于拉格朗日函数直接对 参数 a 求偏导数，并在最优解 x 处取值。
j
包络定理证明
首先, 构建最优化问题的拉格朗日函数,即有: L f ( x, a ) [ g ( x, a )] 如果x(a)是方程的解，那么存在(a)满足详尽的一阶 库恩-塔克条件。 如果则有： f ( x ( a ), a ) g ( x ( a ), a ) (a) 0......(1) xi xi g ( x ( a ), a ) 0 由于这些条件用于定义解x ( a )与 ( a ), 我们可将 它们写成恒等式。 L关于参数a j的偏导数将为： L f ( x ( a ), a ) g ( x ( a ), a ) (a) a j a j a j 如果我们在( x ( a ), ( a ))处给这个导数取值, 将有 : L a j
x( p0 , w0 )

x( p1 , w1 )

x R : u ( x) v
2


5、罗伊恒等关系
• 如果间接效用函数 v( p, w) 在点上 ( p , w ) 是可导的且 v( p, w) 0 ， w • 一定存在
v( p, w) x j ( p, w) p j
n n g ( x(a), a) g ( x(a), a) xi (a) a j xi a j i 1
将该式的减号移入方括号内, 再用该恒等式的右边 替代公式(3)中的整个求和式,从而得: v(a) g ( x(a), a) f ( x(a), a) (a) ....(4) a j xi a j 所以公式(2)和公式(4)右边相等, 故有 : v(a ) L a j a j

• • • •
验证（略） 性质3 性质4 性质5
三、间接效用函数的应用
• 间接效用函数的存在对于说明政府政策的福利影响有比较便利的 条件。 • 控制消费者行为实质上可以由控制价格与控制收入来实现。控 制价格 ，实质就是价格改革和价格政策；控制收入 ，实质 便是收入政策的内容。如：最低生活保障制度。 • 这项制度有利于社会稳定，有利于促进经济均衡。现在，我们先 从预算集合角度，考察一下最低生活保障制度的含义。 • 最低生活保障制度。为了保证消费者在收入限制下选择到生活 需要品，消费者收入就应不低于最低收入标准。所谓最低收入 标准，是指在既定价格体系 p 下消费集合X 中的最低支出 I( p) = inf { p x: xX }。 • 最低生活保障制度是一种保证收入 y不低于 I( p) 的制度。 条件 y I( p) 就叫做最低生活保障或最低收入条件或最低支出 条件。
第一节 间接效用函数
• 一、间接效用函数的定义 • 直接效用函数：效用u ( x) 是消费计划 x x , x ,...x • 的函数。 v ( p, y ) u x ( p, y ) • 若 成立，则 v( p, y ) 就为间接效 用函数。
1 2 n

二、使用间接效用函数的原因：
性质2的证明
v(tp, ty ) [max u ( x), 受约束于tpx ty ]， 它显然等价于[max u ( x), px y ] 用t>0去除约束条件两边， 得到v(tp, ty ) [max u ( x), tpx ty ] v( p, y )
B0 B2 B1
• 即目标函数在最优解处的解也是与参数c有 关的函数，我们定义为 V (c) ，称之为最大 值函数。 • 更一般的，如果参数不仅出现在约束，而 且也出现在目标函数，我们有：
V ( ) max f ( x, ) g ( x, ) 0 f ( x( ), )
x
• 其中x x( )为参数为 时的选择变量的最优 解，或者称最优反应。因此，根据定义， 如果对一任意 x' ， 则有 f ( x( ), ) f ( x' , ) ， 等号当且仅当 x' x x( ) 时取得。因此， 最大值函数 V ( ) f (x( ), ) 与函数 f ( x, ) 是有 区别的，一般而言， V ( ) f ( x, ) ，当且仅当 x x( ) V( 时， ) f ( x, ) ，即 x为参数 的最优反应时 取得等号。我们用一简单的图示来说明这 一关系。
v( p, w) , j 1, 2,, n w
• 这个证明要用到包络定理
包络定理(Envelope Theorem)
• 与比较静态分析相关的一个重要工具是包络定理。 比较静态分析的思想是在其它条件（参数）不变 得前提下，研究单个参数的变化对均衡解的影响， 以此来表达决策者的行为。而另一类重要的问题 是，我们常常要考虑此参数的变化对目标函数 （最大值）的影响，如一商品价格的变化对消费 者的效用的影响，一投入要素价格的变化（或要 素禀赋的变动）对厂商收入（或利润）的影响， 都属此类情形。在进入正式的讨论之前，我们先 介绍一个概念：最大值函数
*
pi 0
0 v ( p , y ) 0 y
性质4证明
• 多加一个假设条件 xi 0,用与性质3同样的方 法,可证
v( p, w) L( x , ) |x x ( p , w) x p p
• 由于
0, xi * 0
v( p, w) 所以 0 p
性质1说明和证明
n R 表示价格的定义域，下标＋＋是指严格为正，
没有一维价格为零，n表示n维价格。R 表示收入的定义域，
n 收入可以为零。R R 表示预算集的定义域。性质1说明
当收入与价格有微量的变化时，极大化了的效用函数也是 会有微量的变化的。理由是，如果效用u(x)是连续的，那么其极大 化了的值一定也是连续的。
p
y
• 现在应用效用最大化理论来分析两个实际问题：所得税与 销售税的比较，价格补贴发放办法比较。 • 问题1：所得税与销售税哪一种对消费者更为有利？ • 国家向居民征税有两种办法，一种是征收所得税，另一种 是征收销售税。假定不论采取哪种办法，居民缴纳的税额 是一样的。那么，哪一种征税办法对居民更为有利些? • 问题2：涨价补贴对消费者是否有利？ • 商品涨价，国家要发放价格补贴。一种办法是控制价格， 不许涨价，把价格补贴发给生产者。另一种办法是允许涨 价，把价格补贴发给消费者。那么，哪一种补贴办法对消 费者更为有利？ • 为了分析这两个问题，设当前的市场价格体系为 p，消费 者收入为 r，消费者的选择为 xD( p, r)。
1 1 2
1
1 1
1 1 p2 p1
1 1 2
x2
yp p1
1
p2
1 1 1
1
x1
yp p1
1
p2
1
令
r
1
yp r r p1 p2
r yp2 1 r r p1 p2 r 1 1
• 间接效用函数使用收入和价格两个变量 来描述的消费者的最优消费均衡。
ICC
PCC
三、间接效用函数的性质
• 1、在价格和财富上是连续的。 • 2、它对于价格和财富是零次齐次的，即价格 和财富的同比例变化并不影响效用水平。 • 3、在财富上是严格递增的。 • 4、而在价格上则是严格递减的。 • 5、满足罗伊恒等式。
性质5证明
由 max u f ( p, y ) s.t px y 得，L(x, )= u(x)+ (y- px) v ( p, y ) L( x , ) |x x ( p , y ) y y v ( p, y ) L( x , ) |x x ( p , y ) x p p