控制系统的性能分析

一、实验名称：控制系统的性能分析
二、实验目的：熟悉控制系统性能分析常用的几个CAD函数，绘制二阶系统在不同阻尼比取值下的单位阶跃响应曲线，绘制根轨迹图、Bode图和Nyquist图，并对其进行稳定性的分析。

三、实验原理：
二阶系统的阶跃响应及阶跃响应指标：
假设系统的开环模型G0（s)=w n²/s(s+2*ζ*w n)，并假设由单位负反馈构造出这个闭环控制系统模型，则定义ζ为系统的阻尼比，w n为系统的自然震荡频率，这时闭环系统模型可以写成G(s)=w n²/(s²+2*ζ*w n*s+w n²)，并利用matlab绘制出起阶跃响应曲线。

线性系统的阶跃响应可以通过step()函数直接求取。

根轨迹图的绘制：
假设单变量系统的开环传递函数为G(s)，并且控制器为增益K，整个系统是由单位负反馈构成的闭环系统，这样就可以求出闭环系统的数学模型Gc(s)=KG(s)/(1+KG(s）），可见，闭环系统的特征根可以由下面的方程求出
1+KG(s)=0
并可以化成多项式方程求根的问题。

对K的不同取值，则坑能绘制出每个特征根变化的曲线，这样的曲线称为根轨迹。

在matlab中提供了rlocus()函数，可直接用于系统的根轨迹的绘制，根轨迹函数的调用方法也很直观，用rlocus()就可以直接绘制出来。

Matlab中对线性系统的频域分析可以利用bode()和nyquist()函数绘制bode图和nyquist 图进行分析，bode图可以同时分析系统的幅值、相位与频率之间的关系。

四、实验内容：
1、时域分析
绘制二阶系统在不同阻尼比取值下的单位阶跃响应曲线，并说明阻尼比对系统性能的影响。

（1）绘制二阶系统在不同阻尼比取值下的单位阶跃响应图可有两种方式
程序一
for zet=1:6;den=[1,zet*.2,1];
sys(zet)=tf(1,den);end
step(sys(1),sys(2),sys(3),sys(4),sys(5),sys(6),14),grid
程序二
sys1=tf(1,[1,.2,1]);
sys2=tf(1,[1,.4,1]);
sys3=tf(1,[1,.6,1]);
sys4=tf(1,[1,.8,1]);
sys5=tf(1,[1,1,1]);
Sys6=tf(1,[1,1.2,1]);
step(sys1,sys2,sys3,sys4,sys5,sys6,14),grid
绘制出的图形如下图
0246
810121400.2
0.4
0.6
0.8
11.2
1.4
1.6
1.8
Step Response
Time (sec)A m p l i t u d e
通过程序对比可以看出程序一的书写较为简单，通过图形可以看出阻尼比的值越小则系统表现出较强的振荡，随着阻尼比的增大系统的相应速度也较慢。

当阻尼比大于等于1时将消除震荡。

（2）取其中一条进行分析其程序如下：
sys1=tf(1,[1,1,1]);
step(sys1,14),grid
图形显示
Step Response
Time (sec)A m p l i t u d e 0246
810121400.2
0.4
0.6
0.81
1.2
1.4
System: sys1Rise Time (sec): 1.64System: sys1
P eak amplitude: 1.16
Overshoot (%): 16.3
At time (sec): 3.64System: sys1Settling Time (sec): 8.08System: sys1Final Value: 1
上图分别显示出了该阶跃响应的指标：系统峰值、系统的调节时间、系统的上升时间以及系统的稳态值
2、频域分析
根轨迹图绘制：给定系统函数为G=(s+3)/(s*(s+2)*(s+4)*(s^2+3*s+5));
（1）根轨迹图绘制的程序如下：
s=tf('s');
G=(s+3)/(s*(s+2)*(s+4)*(s^2+3*s+5));
rlocus(G),grid
-8-6-4-2
024-6-4
-2
02
4
6
0.160.340.50.640.760.86
0.94
0.9850.160.340.50.640.76
0.86
0.94
0.985
12345678Root Locus
Real Axis I m a g i n a r y A x i s
（2）Bode 图的绘制程序如下：
s=tf('s');
G=(s+3)/(s*(s+2)*(s+4)*(s^2+3*s+5));
bode(G);grid
-200-150-100-500
50
M a g n i t u d e (d B )
10
-210-1100101102
-360
-270
-180
-90P h a s e (d e g )Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)10-210-1100101102
-360
-270
-180-90System: G P hase Margin (deg): 85.6Delay Margin (sec): 19.9At frequency (rad/sec): 0.075Closed Loop Stable? Yes
P h a s e (d e g )-200
-150
-100
-50050
System: G Gain Margin (dB): 28.1At frequency (rad/sec): 1.51Closed Loop Stable? Yes
System: G
P eak gain (dB): 245
At frequency (rad/sec): 4e-014
M a g n i t u d e (d B )
由图可知：系统的峰值增益为245dB 、反馈系统中的增益余量为28.1时滞稳定裕度为19.9 图中横轴表示频率纵轴表示幅值，表现出相位与频率的关系以及幅值与频率的关系。

（3）Nyquist 图的绘制程序如下：
s=tf('s');
G=(s+3)/(s*(s+2)*(s+4)*(s^2+3*s+5));
Nyquist(G);grid -1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.4
-1-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
00.20.40.60.81
0 dB -20 dB -10 dB
-6 dB
-4 dB
-2 dB 20 dB 10 dB 6 dB
4 dB 2 dB Nyquist Diagram
Real Axis I m a g i n a r y A x i s
Nyquist 的分析图
Nyquist Diagram
Real Axis I m a g i n a r y A x i s -1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.4
-1-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
00.20.40.60.81
0 dB -20 dB -10 dB -6 dB
-4 dB
-2 dB 20 dB 10 dB
6 dB
4 dB 2 dB System: G P eak gain (dB): 245Frequency (rad/sec): 4e-014System: G Gain Margin (dB): 28.1At frequency (rad/sec): 1.51Closed Loop Stable? Yes
由分析可知：峰值增益为245dB ，图中横轴表示实部纵轴表示虚部。

五、实验总结：本次实验中我能够熟练的使用matlab 程序，并能够熟练的使用控制系统常用的几种函数，并对某些曲线的了解进一步加深了，并了解到绘制出单位阶跃响应曲线、根轨迹图、Bode 图和Nyquist 图分别要用到命令step()、rlocus()、bode()和nyquist()等，并学会了利用阶跃响应曲线了解阶跃响应指标，利用Bode 图和Nyquist 图对闭环线性系统稳定性的频域分析等。