分式经典例题及答案
分式方程计算题100道及答案
分式方程计算题100道及答案篇1：分式方程练习题及答案分式方程练习题及答案分式方程练习题及答案一选择1.下面是分式方程的是（）a. b.c. d.2.若得值为-1，则x等于( )a. b. c. d.3.一列客车已晚点6分钟，如果将速度每小时加快10千米，那么继续行驶20千米便可正点运行，如果设客车原来行驶的速度是x千米/小时，可列出分式方程为（）a. b.c. d.4.分式方程的解为（）a.2b.1c.-1d.-25.若分式方程的解为2，则a的值为（）a.4b.1c.0d.26.分式方程的解是（）a.无解b.x=2c. x=-2d. x=2或x=-27.如果关于x的方程无解，则m等于（）a.3b. 4c.-3d.58.解方程时，去分母得( )a.（x-1）（x-3）+2=x+5b. 1+2（x-3）=（x-5）(x-1)c. (x-1)(x-3)+2(x-3)=(x-5)(x-1)d.(x-3)+2(x-3)=x-5二、填空9.已知关于的分式方程的根大于零，那么a的取值范围是 .10.关于的分式方程有增根 =-2，那么k= .11.若关于的方程产生增根，那么m的值是 .12.当m= 时，方程的解与方程的解互为相反数.13.为改善生态环境，防止水土流失，某村拟定在荒坡地上种植960棵树，由于青年团员的支援，每日比原计划多种20课，结果提前4天完成任务，原计划每天种植多少棵树？设原计划每天种植x棵树，根据题意列方程为 .14.如果，则a= ；b= .三、解答题15.解分式方程16.已知关于的方程无解，求a的值？17.已知与的.解相同，求m的值？18.近年来，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上涨．下面是小明与爸爸的对话：小明：“爸爸，听说今年5月份的汽油价格上涨了不少啊！”爸爸：“是啊，今年5月份每升汽油的价格是去年5月份的倍，用元给汽车加的油量比去年少升.”小明：“今年5月份每升汽油的价格是多少呢？”聪明的你，根据上面的对话帮小明计算一下今年5月份每升汽油的价格？19.武汉一桥维修工程中，拟由甲、乙两各工程队共同完成某项目，从两个工程队的资料可以知道，若两个工程队合作24天恰好完成，若两个工程队合作18天后，甲工程队再单独做10天，也恰好完成，请问：⑴甲、乙两工程队完成此项目各需多少天？⑵又已知甲工程队每天的施工费用是0.6万元，乙工程队每天的施工费用是0.35万元，要使该项目总的施工费用不超过22万元，则乙工程队至少施工多少天？参考答案一、选择1.d2.c3.b4.a5.a6.b7.a8.c二、填空9.a<2 10.1 11.1 12.m=-3 13. 14.3， 2三、解答题15.⑴ 解：方程变形为两边同时乘以(x2-9)得,x-3+2x+6=12,x=3,经检验x=3是原方程的增根，故原方程无解.⑵ 解：两边同时乘以（x2-4）得x(x+2)-(x+14)=2x(x-2)-(x2-4)；整理得，5x=18, ,经检验是原方程的解.（3）解：方程两边同时乘以想x(x2-1)得，5x-2=3x,x=1,经检验x=1是原方程的增根,故原方程无解.（4）.解：两边同乘以（2x+3）（2x-3）得2x(2x+3)-(2x-3)=(2x-3)(2x+3)整理得4x=-12,x=-3，经检验x=-3是原方程的根.16.解：因为原方程无解，所以最简公分母x(x-2)=0,x=2或x=0；原方程去分母并整理得a(x-2)-4=0;将x=0代入得a(0-2)-4=0,a=-2;将x=2代入得a0-4 =0,a无解，故综上所述a=-2.17. 解：，x=2,经检验x=2是原方程的解，由题意可知两个方程的解相同，所以把x=2代入第二个方程得，故m=10.18. 解：设去年5月份汽油的价格为x元/升，则今年5月份的价格为1.6x元/升，依题意可列方程为，解得x=3，经检验x=3是原方程的解也符合题意，所以1.6x=4.8，故今年5月份汽油的价格是4.8元/升.19.解：⑴设甲工程队单独完成该项目需要天，乙单独完成该项目需要天，依题意可列方程组为解得，经检验是原方程组的解，也符合题意.⑵设甲、乙两工程队分别施工a天、b天，由于总施工费用不超过22万元，可得，解得，b取最小值为40.故⑴甲、乙两工程队单独完成此项目分别需40天、60天.⑵乙工程度至少要施工40天.篇2：分式方程应用题及答案分式方程应用题及答案一、a、b两地相距48千米，一艘轮船从a地顺流航行至b 地，又立即从b地逆流返回a地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程求解。
解分式方程的典型例题
解分式方程的典型例题
例1、解方程x 5=2
7-x 解：即7x =5（x －2）解得x =－5
检验略，下同
例2、解方程5-x x =6
2--x x 解：原方程交叉相乘，得x （x －6）=（x －5）（x －2） 解得x =10，检验略，下同．
例3、解方程21-x =x
x --21－3 解：设y =x －2，则x =y +2, 原方程变为y 1=y
1－2 亦即0=－2矛盾．故原方程无解．
例4、解关于x 的方程
a 1+x a =
b 1+x
b （a ≠b ） 解：原方程化为x a b -=ab a b - 由于分子相等，那么分母必相等，得x =ab ．
例5、解方程
3-x x =2+3
3-x 解：原方程可化为33--x x =2，即1=2矛盾． 故原方程无解．
例6、解方程
78--x x －x
-71=8 解：原方程可化为1－71-x +71-x =8 即1=8矛盾．
故原方程无解．
例7、解方程
52-x x +x
255-=1 解：通分，得52--x x =0, 故x =0
例8、解方程x －2+11+x =2x +1
1+x
解：分式相消，得x －2=2x , 故x =－2
尝试练习：
1. 解方程：（1）
22231--=-x x x ． （2） 44214252-=--+x x x ．
（3）
n)(m 01≠=+- x n x m ．
2. 关于x 的分式方程432212-=++-x x k x 有增根，求k 的值．
3．若关于x 的方程
21x x x +--13x =33x k x +-有增根，求增根和k 的值．。
初二分式方程练习题含答案
初二分式方程练习题含答案问题一：求方程3x + 5 = 17的解。
解：根据题目所给的方程3x + 5 = 17，我们可以通过移项和合并同类项的方法求解。
首先我们将5从等式左边移到右边，得到3x = 17 - 5，即3x = 12。
然后我们将等式两边都除以3，得到x = 12 ÷ 3，即x = 4。
所以方程3x + 5 = 17的解为x = 4。
问题二：求方程2(3x - 1) = 4x + 3的解。
解：根据题目所给的方程2(3x - 1) = 4x + 3，我们可以通过分配律、移项和合并同类项的方法求解。
首先我们将分配律运用到方程的左边，得到6x - 2 = 4x + 3。
然后我们将2从等式左边移到右边，得到6x - 2 + 2 = 4x + 3 + 2，即6x = 4x + 5。
接下来我们将4x从等式右边移到左边，得到6x - 4x = 5，即2x = 5。
最后我们将等式两边都除以2，得到x = 5 ÷ 2，即x = 2.5。
所以方程2(3x - 1) = 4x + 3的解为x = 2.5。
问题三：求方程4(x + 1) - 2(x - 3) = 10的解。
解：根据题目所给的方程4(x + 1) - 2(x - 3) = 10，我们可以通过分配律、移项和合并同类项的方法求解。
首先我们将分配律运用到方程的左边，得到4x + 4 - 2x + 6 = 10。
然后我们将4x和-2x合并，4x - 2x = 2x，并将4和6合并，4 + 6 = 10。
接下来得到2x + 10 = 10。
然后我们将10从等式左边移到右边，得到2x = 10 - 10，即2x = 0。
最后我们将等式两边都除以2，得到x = 0 ÷ 2，即x = 0。
所以方程4(x + 1) - 2(x - 3) = 10的解为x = 0。
问题四：求方程5(2x - 1) + 3(4x + 2) = 2(7x - 1) - 2x的解。
分式方程计算题50道及答案
分式方程计算题50道及答案1、计算：1/2 + 1/3答案：5/62、计算：2/3 + 3/6答案：13、计算：3/6 + 2/6答案：1/24、计算：3/5 - 2/5答案：1/55、计算：1/2 - 1/4答案：1/46、计算：3/8 - 1/4答案：1/47、计算：2/9 - 1/9答案：1/98、计算：3/4 x 1/3答案：1/49、计算：2/3 x 2/3答案：4/910、计算：5/6 x 1/5答案：1/611、计算：3/7 x 1/5答案：3/3512、计算：2/3 ÷ 1/2答案：4/313、计算：3/4 ÷ 1/2答案：3/214、计算：2/9 ÷ 2/3答案：1/315、计算：1/6 ÷ 1/2答案：1/316、计算：1/3 + 1/3 - 1/3答案：1/317、计算：2/3 x 2/3 - 2/3答案：2/918、计算：1/4 x 2/3 ÷ 1/2答案：1/319、计算：1/3 + 1/4 ÷ 2/3答案：7/1220、计算：2/5 - 1/5 ÷ 1/3答案：3/1521、计算：1/5 x 1/5 ÷ 1/2答案：1/2022、计算：1/3 x 1/3 - 1/3答案：1/923、计算：2/3 - 3/6 + 1/6答案：1/224、计算：1/4 + 2/3 - 1/3答案：3/425、计算：1/3 - 1/4 + 1/4答案：1/426、计算：1/2 x 3/4 ÷ 1/3答案：127、计算：1/2 ÷ 1/5 + 5/6答案：11/628、计算：2/3 x 2/3 ÷ 1/3答案：4/329、计算：1/6 + 2/3 - 1/2答案：1/330、计算：2/5 - 3/4 + 1/4答案：-3/2031、计算：1/4 x 1/5 ÷ 2/3答案：2/1532、计算：1/3 - 1/4 + 2/9答案：1/1233、计算：2/3 x 3/4 - 1/3答案：5/1234、计算：1/6 + 1/6 - 2/6答案：1/635、计算：1/5 x 5/6 ÷ 1/3答案：5/636、计算：2/3 - 1/5 + 5/6答案：11/1537、计算：1/4 x 1/4 ÷ 4/3答案：1/1238、计算：1/2 - 2/3 + 3/4答案：1/439、计算：2/3 x 3/4 ÷ 1/3答案：4/340、计算：2/9 - 1/4 + 3/4答案：5/641、计算：1/5 x 5/6 - 1/3答案：1/6答案：3/243、计算：1/8 - 1/4 + 1/2答案：3/844、计算：2/3 x 1/2 ÷ 5/6答案：2/945、计算：1/6 + 2/3 ÷ 1/2答案：5/346、计算：2/5 - 1/5 ÷ 3/4答案：5/1247、计算：1/5 x 1/5 ÷ 4/3答案：1/2048、计算：1/3 x 1/3 - 1/4答案：1/1249、计算：1/2 - 1/3 + 2/3答案：1/2答案：4/9。
分式专题(含答案)
.分式专题一、分式定义，注意：判别分式的依据是分母中还有字母，分母不等于零。
1、在式子y x y x x c ab y a 109,87,65,43,20,13+++π中，分式的个数是（ ）个2.下列式子:x y a y x ab x 73),(51,89,97222++-，yx 2915-中，是分式的有（ ）个 二、分式基本性质1、填空：()yx xy ba -=---..............；2．在括号内填入适当的代数式，使下列等式成立：2xy =22()2ax y； 322()x xy x y --=()x x y -． 3、把分式xyyx -中的x 、y 的值都扩大2倍，则分式的值（ ）A 不变B 扩大2倍C 扩大4倍D 缩小一半4、已知31=b a ，分式ba ba 52-+的值为 ；5、若32,234a b c a b ca b c-+==++则=_______． 6、不改变分式52223x y x y -+的值，把分子、分母中各项系数化为整数，结果是（ ） 三、分式无意义与有意义，1、当x 时，分式3213+-x x 无意义；2．在分式2242x x x ---中，当x ______时有意义．3．当x____时，分式||2x x -有意义．4.2(3)--x 的取值范围是_______．5. 当x_____________时，式子23+x x ÷322--x x 有意义 四、分式值为零，1、当x 时，分式392--x x 的值为0；2．使分式234x ax +-的值等于零的条件是x____．3．在分式2242x x x ---中，当x ____时分式值为零．.__01||87.42=---x x x x ，则的值为若分式五、分式约分1．约分：34522748a bx a b x , 532164abc bc a - 22923a a a ---, xx x 52522--2．分式：①223a a ++，②22a b a b --，③412()a a b -，④12x -中，最简分式有（ ）个六、通分 1、分式222439xx x x --与的最简公分母是___ ___________. 2、分式yx 21，323x y，232xy x +的最简公分母是（ ） 3、把下列各组分式通分 （1）243,2bac bd c （2）,412-a 21-a七、分式运算 1、化简xy x x 1⋅÷的结果是（ ） 2、22332p mn p n nm÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅； 3、aa a -+-21422； 4、112---x x x ； 5、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--÷-x y xy x x y x 2222, 6．339322++--m m m m7 、先化简，再对a 取一个你喜欢的数，代入求值．221369324a a a a a a a +--+-÷-+-．8、先化简：⎪⎭⎫ ⎝⎛--÷-aa a aa 121 并任选一个你喜欢的数a 代入求值．9、先化简，再求值：1312-÷+x xx x ，其中31+=x ．10、已知220x -=，求代数式222(1)11x x x x -+-+的值．11、 先化简，再求值： 3x ＋3 x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫ 1 x －1 ＋ 1 x ＋1 ÷ 6x ，其中x ＝1．12、先化简，再求值：232224xx x x x x ⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭，其中3x =．八、分式方程，易错点：分式方程检验 1、解方程： （1）256x x x x -=--． （2）21411x x x +---=1． （3）12212+=++-x xxx x ，（4）6122x x x +=-+． （5）14143=-+--x x x ，（6）22333x x x -+=--，2、已知23(1)(2)12x A Bx x x x -=+-+-+，求A ，B 的值．3、已知分式方程21x ax +-=1的解为非负数，求a 的范围．4、已知关于x 的方程12-=-+x ax 的根是正数，求a 的取值范围。
初二分式考试题及答案
初二分式考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列分式中，分母为零的分式是（）A. \frac{2}{x-1}B. \frac{3}{x+2}C. \frac{4}{0}D.\frac{5}{x}2. 计算分式 \frac{1}{x} + \frac{1}{y} 的结果为（）A. \frac{y+x}{xy}B. \frac{x+y}{x}C. \frac{x+y}{xy}D.\frac{y-x}{xy}3. 若分式 \frac{2}{x} = \frac{3}{y}，则x与y的关系是（）A. x = \frac{2}{3}yB. x = 3yC. y = \frac{2}{3}xD. y = 3x4. 将分式 \frac{a+b}{c+d} 化简为最简形式，正确的做法是（）A. 直接约分B. 先通分再约分C. 先约分再通分D. 不能约分5. 已知 \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2}，求\frac{2x+2y}{x+y} 的值是（）A. 2B. 4C. 6D. 86. 计算分式 \frac{3x-2}{2x+1} \cdot \frac{2x-1}{3x+2} 的结果为（）A. \frac{1}{2}B. \frac{1}{3}C. \frac{1}{4}D. \frac{1}{5}7. 将分式 \frac{a^2-1}{a^2-2a+1} 化简，正确的结果为（）A. \frac{a+1}{a-1}B. \frac{a-1}{a+1}C. \frac{a+1}{a}D. \frac{a-1}{a}8. 已知 \frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 5，求 \frac{x+y}{xy} 的值是（）A. \frac{1}{5}B. \frac{1}{10}C. \frac{1}{15}D. \frac{1}{20}9. 计算分式 \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} 的结果为（）A. \frac{2}{x^2-1}B. \frac{2}{x^2+1}C. \frac{2x}{x^2-1}D.\frac{2x}{x^2+1}10. 将分式 \frac{x^2-1}{x^2-4} 化简，正确的结果为（）A. \frac{x+1}{x-2}B. \frac{x-1}{x-2}C. \frac{x+1}{x+2}D.\frac{x-1}{x+2}二、填空题（每题4分，共20分）1. 计算 \frac{2x}{3} \div \frac{x}{2} 的结果为\frac{4x}{3} 。
分式测试题及答案
分式测试题及答案一、选择题1. 已知分式\( \frac{a}{b} \)，若\( a \)和\( b \)同号，则该分式的值为（）A. 正数B. 负数C. 0D. 无法确定2. 下列分式中，哪个分式的值是负数？A. \( \frac{-3}{4} \)B. \( \frac{-3}{-4} \)C. \( \frac{3}{-4} \)D. \( \frac{3}{4} \)3. 如果\( \frac{x}{y} = 2 \)，当\( y \)增加时，分式的值会（）A. 变大B. 变小C. 不变D. 无法确定二、填空题4. 将分式\( \frac{2x^2}{3x} \)化简为\( \frac{x}{\_\_\_} \)。
5. 若\( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \)，且\( b \)和\( d \)不为0，则\( a \)和\( c \)成______比例。
三、解答题6. 已知\( \frac{2}{x+1} = \frac{3}{y+1} \)，求\( \frac{x}{y} \)的值。
7. 计算下列分式的和：\( \frac{1}{2x+1} + \frac{2}{3x-1} \)。
四、应用题8. 一个水池的容积是\( 2000 \)升，水管A每秒可以注入\( 5 \)升水，水管B每秒可以排出\( 3 \)升水。
如果同时打开水管A和B，求水池注满需要的时间。
答案：一、选择题1. A2. C3. B二、填空题4. 35. 正三、解答题6. 由题意可得\( 2y+2 = 3x+3 \)，化简得\( 2y = 3x+1 \)，所以\( \frac{x}{y} = \frac{2}{3} \)。
7. 通分后计算得：\( \frac{1}{2x+1} + \frac{2}{3x-1} = \frac{3x-1}{(2x+1)(3x-1)} + \frac{4(2x+1)}{(2x+1)(3x-1)} = \frac{3x-1+8x+4}{(2x+1)(3x-1)} = \frac{11x+3}{(2x+1)(3x-1)} \)。
分式知识点及典型例题
分式知识点及典型例题一、分式的定义如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 A/B 就叫做分式。
其中 A 叫做分子，B 叫做分母。
需要注意的是：分式的分母不能为 0，因为分母为 0 时，分式无意义。
例如：1/x ，（x ＋ 1）／（x 2）都是分式，而 1/2 就不是分式，因为它的分母 2 不含字母。
二、分式有意义的条件分式有意义的条件是分母不为 0。
即：对于分式 A/B，B ≠ 0 时，分式有意义。
例如：对于分式 1/（x 1) ，要使其有意义，则x 1 ≠ 0，即x ≠ 1。
三、分式的值为 0 的条件分式的值为 0 时，要同时满足两个条件：1、分子为 0 ，即 A ＝ 0 。
2、分母不为 0 ，即B ≠ 0 。
例如：若分式（x 1）／（x ＋ 2）的值为 0，则 x 1 ＝ 0 且 x ＋2 ≠0 ，解得 x ＝ 1 。
四、分式的基本性质分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为 0 的整式，分式的值不变。
即：A/B ＝（A×C）／（B×C）， A/B ＝（A÷C）／（B÷C）（C ≠ 0 ）例如：将分式 2x/3y 的分子分母同时乘以 2 ，得到 4x/6y ，分式的值不变。
五、约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做约分。
约分的关键是确定分子和分母的公因式。
确定公因式的方法：1、系数：取分子和分母系数的最大公因数。
2、字母：取相同字母的最低次幂。
例如：对分式（6xy）／（9x²y）进行约分，分子分母的系数 6 和 9 的最大公因数是 3 ，字母部分 x 的最低次幂是 1 ，y 的最低次幂是 1 ，所以公因式是 3xy ，约分后得到 2/（3x) 。
六、通分把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做通分。
通分的关键是确定几个分式的最简公分母。
确定最简公分母的方法：1、取各分母系数的最小公倍数。
2、凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式。
中考分式方程经典例题
中考分式方程经典例题今天咱们来聊一聊分式方程。
分式方程就像一个小谜题，不过只要咱们掌握了方法，就很容易解开它。
我给你们讲个小故事吧。
有一次，小明去商店买糖果。
他带了一些钱，如果他用这些钱去买那种每包5元的糖果，可以比买每包8元的糖果多买6包。
那咱们来看看小明带了多少钱呢？咱们可以设小明带了x元钱。
那么买5元一包的糖果能买的包数就是x÷5，买8元一包的糖果能买的包数就是x÷8。
根据能多买6包这个条件，咱们就可以列出一个分式方程：x÷5 - x÷8 = 6。
咱们来解这个方程。
为了方便计算，先把除法变成乘法，x÷5就变成x乘以1/5，x÷8就变成x乘以1/8。
那方程就变成了1/5x - 1/8x = 6。
通分一下，8/40x - 5/40x = 6，3/40x = 6。
然后x = 6除以3/40，x = 6乘以40/3，算出来x = 80。
所以小明带了80元钱。
还有一个例子呢。
小红和小蓝一起做手工。
小红做一个手工需要x小时，小蓝做一个手工需要比小红多2小时。
如果小红做12个手工的时间和小蓝做8个手工的时间一样，那小红做一个手工需要多久呢？根据这个情况，咱们列出方程：12÷x = 8÷(x + 2)。
同样把除法变乘法，12乘以1/x = 8乘以1/(x + 2)。
交叉相乘就得到12(x + 2)=8x。
展开式子12x+24 =8x。
移项得到12x - 8x=-24，4x=-24，x=-6。
但是做手工的时间不能是负数呀，所以这个答案不符合实际情况，我们就要检查一下解题过程，发现原来是在移项的时候出了错，正确的应该是12x - 8x = 24，4x = 24，x = 6。
所以小红做一个手工需要6小时。
分式方程就像这样，从生活中的小事情里就可以找到它的影子。
咱们只要认真读题，把关系找对，再按照步骤去解，就能够解开这个小谜题啦。
希望你们以后遇到分式方程的时候，也能像这样轻松解决哦。
《分式》典型例题及解析
《分式》典型例题及解析例1．分式中，当x = a时，下列说法正确的是( )A．分式的值为零 B．分式无意义C．当a≠时，分式的值为零D．当a≠−时，分式无意义答案：C说明：当x = a时，分子x−a = 0，但需满足分式有意义，即分母2x−3≠0，x≠∴当a≠时，分式值为0，因此，答案为C．例2．分式有意义，则x的值为( )A．x≠−1 B．x≠−2 C．x≠1 D．x ≠−1，x≠−2且x≠1答案：D说明：有意义，需满足x+1≠0且x−≠0，得x≠−1且≠0，即，所以当x≠−1，x≠−2且x≠1时分式有意义，答案为D．例3．下列各式从左到右变形错误的是( )A．=B．=C．=D．=答案：D说明：选项A、B中的变形都是将左边的分式分子、分母同乘以−1，即得到右边的分式，变形过程都是正确的；选项C左边的分式隐含条件a≠0，因此，分子、分母可以同时除以a，即得到右边的分式，变形过程也是正确的；只有选项D中的变形需附加条件b ≠0，因此，答案为D．例4．当=时，A应为( )A．x−1 B．x+1 C．3(x+1)D．3(x−1)答案：D说明：由=得=，因为分式的分母x+2乘以(x−1)才能化为x2+x−2，所以根据分式的基本性质，分子3也应乘以(x−1)得3(x−1)，所以A = 3(x−1)，答案为D．例5．下列命题中不正确的是( )A．不论x取任何实数时，分式都有意义B．x = 0时，分式的值为0C．(2x+y)÷(y−x) =D．当x<0时，分式<0答案：B说明：不论x取任何实数，x2+1始终不会为0，所以分式有意义，选项A命题成立；选项B中命题显然错误；选项C、D中的命题不难看出都是正确的，所以答案为B．例6．分式与是同一个分式吗？分析：分式=它有意义的条件是(x+2)(x−3)≠0即x≠−2且x≠3，而分式有意义的条件是x−3≠0即x≠3，当x = −2时，分式有意义．答：由于两分式有意义的条件不同，所以与不是同一个分式．。
分式典型易错题难题
分式典型易错题难题【例3】时，分式1122x x+-+有意义？【例4】若分式25011250x x-++有意义，则x ；若分式25011250x x-++无意义，则x ；【例5】⑴ 若分式216(3)(4)x x x --+有意义，则x ;⑵ 若分式216(3)(4)x x x --+无意义，则x; 练习：当x 有何值时，下列分式有意义1、（1）44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x（5）xx 11-2、要使分式23x x -有意义，则x 须满足的条件为 ．3、若33a a -有意义，则33aa-( ). A. 无意义 B. 有意义 C. 值为0 D. 以上答案都不对4、x 为何值时，分式29113x x-++有意义？三、分式值为零的条件【例6】当x 为何值时，下列分式的值为0？⑴1x x + ⑵211x x -+ ⑶33x x -- ⑷237x x ++⑸2231xx x +-- ⑹2242x x x-+ （7）4|1|5+--x x（8）223(1)(2)x x x x --++【例7】如果分式2321x x x -+-的值是零，那么x 的取值是 ．【例8】 x为何值时，分式29113x x-++分式值为零？练习：1、若分式41x x +-的值为0，则x 的值为 ． 2、当x 取何值时，下列分式的值为0.（1）31+-x x （2）42||2--xx （3）653222----x x x x （4）562522+--x x x（5）213x x -+ （6）2656x xx --- （7）221634x x x -+-（8）288xx + （9）2225(5)x x -- （10）(8)(1)1x x x -+-四、关于分式方程的增根与无解它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解．现举例说明如下：【例9】解方程2344222+=---x x x x 【例10】解方程22321++-=+-xxx x ．【例11】例3若方程32x x --=2m x-无解，则m=——．【例12】（1）当a 为何值时，关于x 的方程223242ax x x x +=--+会产生增根（2）若将此题“会产生增根”改为“无解”，即：a 为何值时，关于x 的方程223242ax x x x +=--+无解？练习：1、当k 为何值时，方程x x kx --=-133会出现增根？2、已知分式方程3312x ax x +++=有增根，求a 的值。
分式的运算(含例题)
1．分式的乘除（1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的__________，分母的积作为积的__________． （2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式__________． 用式子表示为a c a c a c a d a db d b d b d bc b c⋅⋅⋅=÷=⋅=⋅⋅， 【归纳】分式的乘法与分数的乘法类似，可类比分数的乘法学习．（1）分式与分式相乘时，①若分子、分母是单项式，可先将分子、分母分别相乘，然后约去公因式，化为最简分式；②若分子、分母是多项式，先分解因式，看能否约分，然后再相乘．（2）当整式与分式相乘时，要把整式（看作是分母为1的式子）与分式的分子相乘作为积的分子，分式的分母作为积的分母．当整式是多项式时，同样要先分解因式，看能否约分，然后再相乘． （3）分式除以分式，可以先确定商的符号，再转化为分式的乘法．也可先转化为分式的乘法后，再确定符号，这与实数的除法运算法则是一致的．当除式（或被除式）是整式时，可以看作是分母是“1”的式子，然后依照分式除法法则计算．（4）分式的乘除运算结果要通过约分化为最简分式（分式的分子、分母没有公因式）或整式的形式． （5）分式的乘除混合运算，如果没有其他附加条件（如括号等），则应按照由左到右的顺序进行计算．2．分式的乘方分式乘方的法则：分式乘方要把分子、分母分别__________．【注意】（1）进行分式的乘方运算时，一定要把分子、分母分别乘方，不要把()n n n a a b b =写成()nn a a b b=．（2）分式乘方时，先确定乘方结果的符号，它和实数乘方确定符号的方法相同：正数的任何次方都是正数；负数的偶次方为正数，负数的奇次方为负数． （3）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体．3．分式的加减（1）同分母分式相加减法则：同分母分式相加减，分母__________，把分子相加减．用式子表示为a bc c±=__________． （2）异分母分式相加减法则：异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减． 用式子表示为a c ad bcb d bb bd±=±=__________． 【注意】（1）分式加减运算的结果要化成最简分式或整式．（2）同分母分式相加减时要注意：“把分子相加减”就是把各个分式的分子“整体”相加减，“分母不支”就是加减后所得分母是原分式中的分母． （3）异分母分式相加减的一般步骤： ①通分：将异分母分式转化成同分母分式； ②加减：写成分母不变，分子相加减的形式； ③合并：分子去括号，合并同类项；④约分：分子、分母约分，将结果化成最简分式或整式．因此，异分母分式加减运算的关键是通分．4．分式的混合运算（1）分式的混合运算，关键是弄清运算顺序，与分数的加、减、乘、除及乘方的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算__________，有括号要先算括号里面的，在运算过程中要注意正确地运用运算法则，灵活地运用运算律，使运算尽量简便．（2）分式的混合运算中要注意各分式中分子、分母符号的处理，结果中分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式的前边．5．整数指数幂与科学记数法（1）整数指数幂：若m ，n 为正整数，a ≠0，则1=m mm nm n n a a aa a a+÷=⋅． 又因为()=m m n m m n n a a a a +-+-÷=，所以n a -=__________． 一般地，当n 是正整数时，1(0)nn a a a-=≠，这就是说，(0)n a a -≠是n a 的倒数． 整数指数幂的运算性质①m n m n a a a +⋅=；②()m n mn a a =；③()n n n ab a b =； ④(0)mnm na a aa -÷=≠；⑤()nn n a a b b=．上述式子中，m ，n 均为任意整数． （2）科学记数法用科学记数法表示小于1的正数时，可表示为a ×10-n 的形式，其中n 为原数左起第1个不为0的数字前面所有0的个数（包括小数点前的那个0），1≤a <10．K 知识参考答案：1．分子，分母，相乘2．乘方3．不变，a b c ±，ad bc bd ±4．加减5．1n aK —重点 分式的加减乘除的运算，整数指数幂的运算，科学记数法的应用 K —难点 分式的混合运算K —易错分式的减法运算中，忽视减号一、分式的乘除分式的乘除运算应注意的“四类问题”（1）理解法则并能正确运用，若是除法运算，则先转化为乘法运算． （2）分子、分母能分解因式的先分解因式，然后约分． （3）运算的结果要化为最简分式或整式．（4）自选数值的代入求值问题，不要忽视分母不为0的条件． 【例1】计算2211(2)x x x x -+⋅+-的结果是 A ．12x - B ．12-C ．yD ．x【答案】A 【解析】2211(2)x x x x -+⋅+-=12x -，故选A ． 【例2】下列计算正确的是A ．3522()22b b a a = B ．22239()24b b a a --= C ．33328()327y y x x=--D ．222239()x x x a x a=-- 【答案】C【例3】化简211m mm m--÷是 A ．mB ．-mC ．1mD ．-1m【答案】B【解析】原式211m m m m m -=⨯=--．故选B ．二、分式的加减异分母分式相加减，化异分母分式为同分母分式是解此类题的关键．在整式与分式进行加减运算时，把整 式看作分母为1的式子，并按照异分母分式相加减的法则完成计算． 【例4】计算23211x xx x +-++的结果为 A ．1B ．3C ．31x + D ．31x x ++ 【答案】C【解析】原式=232311x x x x +-=++．故选C ．【例5】计算37444a a b ba b b a a b ++----得 A ．264a b a b+--B ．264a ba b+-C ．2-D ．2【答案】D 【解析】37444a a b b a b b a a b ++----=37444a a b b a b a b a b +-----=374a a b b a b ----=284a b a b --=2(4)4a b a b-- =2．故选D ．三、分式的混合运算分式混合运算应根据式子的特点，选择灵活简便的方法计算或化简，注意使用运算律，寻求合理的运算途径.【例6】化简11()()x y y x-÷-的结果是 A ．1B ．xyC ．y xD ．-1【答案】B【解析】11()()x y y x -÷-=11xy xy y x --÷=1·1xy x y xy --=x y ．故选B ． 【例7】计算4()222x x x x x x -÷-+-的结果是 A ．-12x + B ．12x + C ．-1 D ．1 【答案】A四、整数指数幂与科学记数法用科学记数法表示小于1的正数时，要注意小数点位置的变化，即小数点向右移了几位，10的指数就是负 几．【例8】某桑蚕丝的直径用科学记数法表示为1.6×10-5米，则这个数的原数是 A ．0.0000016 B ．0.000016 C ．0.00016 D ．0.0016【答案】B【解析】根据科学记数法的定义1.6×10-5=0.000016．故选B ． 【例9】百合花的花粉的直径约0.000000087米，这里0.000000087用科学记数法表示为 A ．8.7×10-7B ．8.7×10-8C ．8.7×10-9D ．0.87×10-8【答案】B【解析】80.0000000878.710-=⨯．故选B ． 【例10】计算： （1）32222()()x y x y --；（2）212123(3)(2)x yz x y ---； （3）3212232(3)(5)x y z xy z ---； （4）32232()(2)m n m n ----．五、分式的化简求值分式化简求值的三种类型（1）将分式化简后直接代入数据求值．（2）利用“整体”思想，将式子的值整体代入化简后的式子，再求值． （3）通过引入参数，以参数为媒介减少字母的个数，实现问题转化的目的．【例11】先化简22()339x x xx x x -÷-+-，再选取一个既使原式有意义，又是你喜欢的数代入求值． 【解析】22()339x x xx x x-÷-+- =2(3)(3)(3)(3)(9)(3)(3)(3)(3)(3)(3)x x x x x x x x x x x x x x x x+---+-+-+-⋅=⋅+-+-9x =--，∵30x -≠，30x +≠，0x ≠， ∴x 取1，代入得：原式1910=--=-．。
分式混合运算专题练习(经典集合)
分式的运算一、典型例题例1、下列分式a bc 1215，a b b a --2)(3，)(222b a b a ++，b a b a +-22中最简分式的个数是( ).A.1B.2C.3D.4例2.计算：3234)1(x y y x ∙ a a a a 2122)2(2+⋅-+ x y xy 2263)3(÷41441)4(222--÷+--a a a a a 例3、 若432z y x ==,求222zy x zxyz xy ++++的值.例4、计算（1）3322）（c b a - （2）43222)()()(xy x y y x -÷-⋅-（3）2332)3()2(c b a bc a -÷- （4）232222)()()(xy xy xy x y y x -⋅+÷-例5计算：1814121111842+-+-+-+--x x x x x练习：1.计算：8874432284211x a x x a x x a x x a x a --+-+-+--例6.计算：2018119171531421311⨯+⨯++⨯+⨯+⨯练习1、()()()()()()()()1011001431321211++++++++++++x x x x x x x x例7、已知21)2)(1(12++-=+-+x Bx A x x x ,求A. B 的值。
针对性练习：1.计算下列各题:（1）2222223223xy yx y x y x y x y x ----+--+ （2）1111322+-+--+a a a a .(3)29631a a --+ (4) 21x x -－x －1 (5)3a a --263a a a +-+3a ，(6)xy yy x x y x xy --++-222 ⑺b a b b a ++-22 ⑻293261623x x x -+--+⑼xy y x y x y x 2211-⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-- ⑽ 222x x x +--2144x x x --+（11）a a a a a a 4)22(2-⋅+--．2．已知x 为整数，且918232322-++-++x x x x 为整数，求所有的符合条件的x 的值的和．3、混合运算：⑴2239(1)x x x x ---÷ ⑵232224xx x x x x ⎛⎫-÷ ⎪+--⎝⎭⑶ a a a a a a 112112÷+---+⑷ 444)1225(222++-÷+++-a a a a a a ⑸ )1x 3x 1(1x 1x 2x 22+-+÷-+-⑹ )252(23--+÷--x x x x ⑺ 221111121x x x x x +-÷+--+⑻2224421142x x x x x x x -+-÷-+-+ ⑼2211xy x y x y x y ⎛⎫÷- ⎪--+⎝⎭⑽ (ab b a 22++2)÷ba b a --22 ⑾22321113x x x x x x x +++-⨯--+⑿ x x x x x x x x x 416)44122(2222+-÷+----+ (13)、22234()()()x y y y x x-⋅-÷-（14）、)252(423--+÷--m m m m （15）、x x x x xx x --+⋅+÷+--36)3(446222（16）、 ()3212221221------⎪⎭⎫ ⎝⎛ba cb b a （17）、⎪⎭⎫ ⎝⎛---÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--x x x x x 23441823224．计算：x xx x x x x x -÷+----+4)44122(22，并求当3-=x 时原式的值．5、先化简，x x x x x x11132-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+--再取一个你喜欢的数代入求值：6、有这样一道题：“计算22211x x x -+-÷21x x x -+-x 的值，其中x=2 004”甲同学把“x=2 004”错抄成“x=2 040”，但他的计算结果也正确，你说这是怎么回事？7、计算、)1(1+a a ＋)2)(1(1++a a ＋)3)(2(1++a a ＋…＋)2006)(2005(1++a a 。
分式方程20道例题
分式方程20道例题一、基础题型例1：解方程(2)/(x + 1)=(1)/(x - 1)解析：1. 首先去分母，给方程两边同时乘以(x + 1)(x-1)（最简公分母），得到： - 2(x - 1)=x + 1。
2. 然后展开括号：- 2x-2=x + 1。
3. 接着移项：- 2x-x=1 + 2。
- 解得x = 3。
4. 最后检验：- 当x = 3时，(x + 1)(x - 1)=(3+1)×(3 - 1)=4×2 = 8≠0。
- 所以x = 3是原分式方程的解。
例2：解方程(x)/(x - 2)-1=(4)/(x^2)-4解析：1. 先将方程右边的分母因式分解，x^2-4=(x + 2)(x - 2)。
2. 去分母，方程两边同时乘以(x + 2)(x - 2)，得到：- x(x + 2)-(x + 2)(x - 2)=4。
3. 展开括号：- x^2+2x-(x^2-4)=4。
- x^2+2x - x^2+4 = 4。
4. 化简得：- 2x=0，解得x = 0。
5. 检验：- 当x = 0时，(x + 2)(x - 2)=(0 + 2)×(0 - 2)=-4≠0。
- 所以x = 0是原分式方程的解。
例3：解方程(3)/(x)+(6)/(x - 1)=(x + 5)/(x(x - 1))解析：1. 去分母，方程两边同时乘以x(x - 1)，得到：- 3(x - 1)+6x=x + 5。
2. 展开括号：- 3x-3+6x=x + 5。
3. 移项合并同类项：- 3x+6x - x=5 + 3。
- 8x=8，解得x = 1。
4. 检验：- 当x = 1时，x(x - 1)=1×(1 - 1)=0。
- 所以x = 1是增根，原分式方程无解。
二、有增根问题的分式方程例4：若关于x的分式方程(2)/(x - 2)+(mx)/(x^2)-4=(3)/(x + 2)会产生增根，求m的值。
8年级下册分式典型例题及解析
分式部分典型例题分析1. 已知实数a 满足a 2＋4a －8＝0，求1a ＋1－a ＋3a 2－1·a 2－2a ＋1a 2＋6a ＋9的值．分析：先化简，原式=4a 2+4a+3，从已知条件可知a 2＋4a=8，∴原式=48+3=411注：不需要解出a 的值，要有整体的思想，把a 2＋4a 看做一个整体，整体带入即可。
类型题1：已知a 2－3a ＋1＝0，则分式a 2a 4＋1的值是( )。
此题需要把a 4＋1看做一个整体，所以根据已知条件凑出a 4＋1这个整体来，其过程是把已知条件变形为a 2＋1=－3a ，再两边同时平方得，a 4＋2a 2+1=9a 2，即a 4＋1=7a 2，这样即可得到答案（1/7）。
类型题2：已知x −1x =3，求4−x 22+3x 2的值待求表达式中出现了x 的平方，而已知条件中没有x 的平方，∴把已知条件的左右两边同时乘以x(∵x ≠0)，整理得x 2-3x=1，4−x 22+3x 2=4−12(x 2−3x).同样把（x 2-3x ）看做整体。
2. 已知2x －3y ＋z ＝0，3x －2y －6z ＝0，且z≠0，求x 2＋y 2＋z22x 2＋y 2－z2的值分析：两个方程是无法解出三个未知数的，∴只能考虑消元带入。
观察已知两个方程的特点，可以考虑把它们相加，因为它们相加后的系数都为5.这样相加后得到x=y+z ①，再把①带入已知条件的任意一个方程可得到y=3z ②，把②带入①得到x=4z ③，最后再把②③带入待求的表达式即可算出结果（13/20）。
注：这里我们把x 和y 都用z 来表示，这样待求的表达式中就只含有未知数z 了，但是分子分母的每一个项都是含有z 2，所以可以约分。
类型题1：已知1a ＋1b ＝4，则4a ＋3ab ＋4b－3a ＋2ab －3b ＝________。
同样一个方程也无法解出两个未知数a,b 来，只能考虑带入。
观察待求表达式可变形为3ab+4(a+b)2ab−3(a+b)①，所以如果能把a+b 用ab 的乘积来表示，则问题就解决了。
100道解分式方程及答案
100道解分式方程练习题(带答案)解答：一、复习例解方程：(1)2x+xx+3=1; (2)15x=2×15 x+12;(3)2(1x+1x+3)+x－2x+3=1.解(1)方程两边都乘以x(3+3),去分母,得2(x+3)+x2=x2+3x,即2x－3x=－6所以x=6.检验：当x=6时,x(x+3)=6(6+3)≠0,所以x=6是原分式方程的根.(2)方程两边都乘以x(x+12),约去分母,得15(x+12)=30x.解这个整式方程,得x=12.检验：当x=12时,x(x+12)=12(12+12)≠0,所以x=12是原分式方程的根.(3)整理,得2x+2x+3+x－2x+3=1,即2x+2+x－2 x+3=1,即2x+xx+3=1.方程两边都乘以x(x+3),去分母,得2(x+3)+x2=x(x+3),即2x+6+x2=x2+3x,亦即2x－3x=－6.解这个整式方程,得x=6.检验：当x=6时,x(x+3)=6(6+3)≠0,所以x=6是原分式方程的根.二、新课例1 一队学生去校外参观,他们出发30分钟时,学校要把一个紧急通知传给带队老师,派一名学生骑车从学校出发,按原路追赶队伍.若骑车的速度是队伍进行速度的2倍,这名学生追上队伍时离学校的距离是15千米,问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间?请同学根据题意,找出题目中的等量关系.答：骑车行进路程=队伍行进路程=15(千米)；骑车的速度=步行速度的2倍；骑车所用的时间=步行的时间－0.5小时.请同学依据上述等量关系列出方程.答案：方法1 设这名学生骑车追上队伍需x小时,依题意列方程为15x=2×15 x+12.方法2 设步行速度为x千米／时,骑车速度为2x千米／时,依题意列方程为15x－15 2x=12.解由方法1所列出的方程,已在复习中解出,下面解由方法2所列出的方程.方程两边都乘以2x,去分母,得30－15=x,所以x=15.检验：当x=15时,2x=2×15≠0,所以x=15是原分式方程的根,并且符合题意.所以骑车追上队伍所用的时间为15千米30千米／时=12小时.答：骑车追上队伍所用的时间为30分钟.指出：在例1中我们运用了两个关系式,即时间=距离速度,速度=距离时间.如果设速度为未知量,那么按时间找等量关系列方程；如果设时间为未知量,那么按速度找等量关系列方程,所列出的方程都是分式方程.例2 某工程需在规定日期内完成,若由甲队去做,恰好如期完成；若由乙队去做,要超过规定日期三天完成.现由甲、乙两队合做两天,剩下的工程由乙独做,恰好在规定日期完成,问规定日期是多少天?分析；这是一个工程问题,在工程问题中有三个量,工作量设为s,工作所用时间设为t,工作效率设为m,三个量之间的关系是s=mt,或t=sm,或m=st.请同学根据题中的等量关系列出方程.答案：方法1 工程规定日期就是甲单独完成工程所需天数,设为x天,那么乙单独完成工程所需的天数就是(x+3)天,设工程总量为1,甲的工作效率就是x1,乙的工作效率是1x+3.依题意,列方程为2(1x+1x3)+x2－xx+3=1.指出：工作效率的意义是单位时间完成的工作量.方法2 设规定日期为x天,乙与甲合作两天后,剩下的工程由乙单独做,恰好在规定日期完成,因此乙的工作时间就是x天,根据题意列方程2x+xx+3=1.方法3 根据等量关系,总工作量—甲的工作量=乙的工作量,设规定日期为x天,则可列方程1－2x=2x+3+x－2x+3.用方法1～方法3所列出的方程,我们已在新课之前解出,这里就不再解分式方程了.重点是找等量关系列方程.三、课堂练习1.甲加工180个零件所用的时间,乙可以加工240个零件,已知甲每小时比乙少加工5个零件,求两人每小时各加工的零件个数.2.A,B两地相距135千米,有大,小两辆汽车从A地开往B地,大汽车比小汽车早出发5小时,小汽车比大汽车晚到30分钟.已知大、小汽车速度的比为2：5,求两辆汽车的速度.答案：1.甲每小时加工15个零件,乙每小时加工20个零件.2.大,小汽车的速度分别为18千米／时和45千米／时.四、小结1.列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题的方法与步骤基本相同,不同点是,解分式方程必须要验根.一方面要看原方程是否有增根,另一方面还要看解出的根是否符合题意.原方程的增根和不符合题意的根都应舍去.2.列分式方程解应用题,一般是求什么量,就设所求的量为未知数,这种设未知数的方法,叫做设直接未知数.但有时可根据题目特点不直接设题目所求的量为未知量,而是设另外的量为未知量,这种设未知数的方法叫做设间接未知数.在列分式方程解应用题时,设间接未知数,有时可使解答变得简捷.例如在课堂练习中的第2题,若题目的条件不变,把问题改为求大、小两辆汽车从A地到达B地各用的时间,如果设直接未知数,即设,小汽车从A地到B地需用时间为x小时,则大汽车从A地到B地需(x+5－12)小时,依题意,列方程135 x+5－12：135x=2：5.解这个分式方程,运算较繁琐.如果设间接未知数,即设速度为未知数,先求出大、小两辆汽车的速度,再分别求出它们从A地到B地的时间,运算就简便多了.五、作业1.填空：(1)一件工作甲单独做要m小时完成,乙单独做要n小时完成,如果两人合做,完成这件工作的时间是______小时；(2)某食堂有米m公斤,原计划每天用粮a公斤,现在每天节约用粮b公斤,则可以比原计划多用天数是______;(3)把a千克的盐溶在b千克的水中,那么在m千克这种盐水中的含盐量为______千克.2.列方程解应用题.(1)某工人师傅先后两次加工零件各1500个,当第二次加工时,他革新了工具,改进了操作方法,结果比第一次少用了18个小时.已知他第二次加工效率是第一次的2.5倍,求他第二次加工时每小时加工多少零件?(2)某人骑自行车比步行每小时多走8千米,如果他步行12千米所用时间与骑车行36千米所用的时间相等,求他步行40千米用多少小时?(3)已知轮船在静水中每小时行20千米,如果此船在某江中顺流航行72千米所用的时间与逆流航行48千米所用的时间相同,那么此江水每小时的流速是多少千米?(4)A,B两地相距135千米,两辆汽车从A地开往B地,大汽车比小汽车早出发5小时,小汽车比大汽车晚到30分钟.已知两车的速度之比是5：2,求两辆汽车各自的速度.答案：1.(1)mn m+n; (2)m a－b－ma; (3)ma a+b.2.(1)第二次加工时,每小时加工125个零件.(2)步行40千米所用的时间为40 4=10(时).答步行40千米用了10小时.(3)江水的流速为4千米／时.课堂教学设计说明1.教学设计中,对于例1,引导学生依据题意,找到三个等量关系,并用两种不同的方法列出方程；对于例2,引导学生依据题意,用三种不同的方法列出方程.这种安排,意在启发学生能善于从不同的角度、不同的方向思考问题,激励学生在解决问题中养成灵活的思维习惯.这就为在列分式方程解应用题教学中培养学生的发散思维提供了广阔的空间.2.教学设计中体现了充分发挥例题的模式作用.例1是行程问题,其中距离是已知量,求速度(或时间)；例2是工程问题,其中工作总量为已知量,求完成工作量的时间(或工作效率).这些都是运用列分式方程求解的典型问题.教学中引导学生深入分析已知量与未知量和题目中的等量关系,以及列方程求解的思路,以促使学生加深对模式的主要特征的理解和识另别,让学生弄清哪些类型的问题可借助于分式方程解答,求解的思路是什么.学生完成课堂练习和作业,则是识别问题类型,能把面对的问题和已掌握的模式在头脑中建立联系,探求解题思路.3.通过列分式方程解应用题数学,渗透了方程的思想方法,从中使学生认识到方程的思想方法是数学中解决问题的一个锐利武器.方程的思想方法可以用“以假当真”和“弄假成真”两句话形容.如何通过设直接未知数或间接未知数的方法,假设所求的量为x,这时就把它作为一个实实在在的量.通过找等量关系列方程,此时是把已知量与假设的未知量平等看待,这就是“以假当真”.通过解方程求得问题的解,原先假设的未知量x就变成了确定的量,这就是“弄假成真”.解分式方程的例题及答案第2 篇一认识分式知识点一分式的概念1、分式的概念从形式上来看，它应满足两个条件：(1)写成的形式(A、B表示两个整式)(2)分母中含有这两个条件缺一不可2、分式的意义(1)要使一个分式有意义，需具备的条件是(2)要使一个分式无意义，需具备的条件是(3)要使分式的值为0，需具备的条件是知识点二、分式的基本性质分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个分式的值不变用字母表示为= (其中M是不等于零的整式)知识点三、分式的约分1、概念：把一个分式的分子和分母中的公因式约去，这种变形称为分式的约分2、依据：分式的基本性质注意：(1)约分的关键是正确找出分子与分母的公因式(2)当分式的分子和分母没有公因式时，这样的分式称为最简分式，化简分式时，通常要使结果成为最简分式或整式。
中考《分式方程》经典例题及解析
分式方程1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据．2．分式方程的解法（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母．（2）解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根．注意：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．3．增根在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．注意：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解．4．分式方程的应用（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝工作量工作效率，时间＝路程速度等．（2）列分式方程解应用题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答．经典例题解分式方程1．解方程：2211xx x+=--；【答案】x=0；【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解；【解析】解：（1）2211x x x+=-- 去分母得：x 2=2x 2－－ 解得x=0， 经检验x=0是分式方程的解；【点睛】本题考查了解分式方程与解不等式组，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解一元一次不等式组要注意不等号的变化．2．代数式31x -与代数式23x -的值相等，则x ＝_____． 【答案】7【分析】根据题意列出分式方程，去分母，解整式方程，再检验即可得到答案．【解析】解：根据题意得：3213x x =--，去分母得：3x ﹣9＝2x ﹣2，解得：x ＝7， 经检验x ＝7是分式方程的解．故答案为：7．【点睛】本题考查的是解分式方程，掌握分式方程的解法是解题的关键．1．分式22x x -与282x x -的最简公分母是_______，方程228122-=--x x x x的解是____________． 【答案】()2x x - x=-4【分析】根据最简公分母的定义得出结果，再解分式方程，检验，得解．【解析】解：∵()222x x x x -=-，∴分式22x x -与282x x -的最简公分母是()2x x -， 方程228122-=--x x x x，去分母得：()2282x x x -=-，去括号得：22282x x x -=-， 移项合并得：2280x x +-=，变形得：()()240x x -+=，解得：x=2或-4，∵当x=2时，()2x x -=0，当x=-4时，()2x x -≠0，∴x=2是增根，∴方程的解为：x=-4．【点睛】本题考查了最简公分母和解分式方程，解题的关键是掌握分式方程的解法．2. 解方程：24111x x x =+-- 【答案】x=3．【分析】观察可得方程最简公分母为(x 2-1)，去分母，转化为整式方程求解，结果要检验．【解析】解：24111x x x =+--去分母得，2(1)41x x x +=+- 解得，x=3， 经检验，x=3是原方程的根，所以，原方程的根为：x=3．【点睛】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；（2）解分式方程一定注意要检验．经典例题 分式方程的解1．关于x 的分式方程2m x -﹣32x -＝1有增根，则m 的值（ ） A ．m ＝2B ．m ＝1C ．m ＝3D ．m ＝﹣3 【答案】D【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出m 的值即可．【解析】解：去分母得：m +3＝x ﹣2，由分式方程有增根，得到x ﹣2＝0，即x ＝2，把x ＝2代入整式方程得：m +3＝0，解得：m ＝﹣3，故选：D ．【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．2．若关于x 的方程2134416x m m x x ++=-+-无解，则m 的值为__． 【答案】-1或5或13-【分析】直接解方程再利用一元一次方程无解和分式方程无解分别分析得出答案.【解析】去分母得：()443x m x m ++-=+，可得：()151m x m +=-，当10m +=时，一元一次方程无解，此时1m =-，当10m +≠时，则5141m x m -==±+， 解得：5m =或13-.故答案为：1-或5或13-.【点睛】此题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题关键.1．若关于x 的分式方程33122x m x x +=+--有增根，则m =_________． 【答案】3． 【分析】先把分式方程去分母转化为整式方程，然后由分式方程有增根求出x 的值，代入到转化以后的整式方程中计算即可求出m 的值．【解析】解：去分母得：()332x m x =++-，整理得：21x m =+，∵关于x 的分式方程33122x m x x +=+--有增根，即20x -=，∴2x =， 把2x =代入到21x m =+中得：221m ⨯=+，解得：3m =，故答案为：3．【点睛】本题主要考查了利用增根求字母的值，增根就是使最简公分母为零的未知数的值；解决此类问题的步骤：①化分式方程为整式方程；②让最简公分母等于零求出增根的值；③把增根代入到整式方程中即可求得相关字母的值．2．若分式方程无解，则【答案】±1 【解析】去分母得：x-a=ax+a ，整理得：所以a-1=2a ，解得a=-1；②整式方程无解考点：分式方程的解.1．若关于x 的分式方程32x x -＝2m -A ．m ＜﹣10 B ．m ≤﹣10 【答案】D【分析】分式方程去分母化为整式方程，【解析】解：去分母得35(x m =-+由方程的解为正数，得到100m +>，且则m 的范围为10m >-且6≠-m ，故选【点睛】本题主要考查了分式方程的计算程的分母不可为零是做对题目的关键．2．已知关于x 的分式方程1x k k x x +-=+【答案】12k >且1k ≠． 分析：分式方程去分母得：()(x k +【解析】∵分式方程解为负数，∴-+由211k -+≠±得0k ≠和1k ≠∴k 的取值考点：1.分式方程的解；2.分式有意义的条1．已知关于x 的分式方程21m x +-A ．3B ．4【答案】B 【分析】根据解分式方程，可得分式方程的【解析】解：去分母，得：m+2(x-1)=3，的值为 ．：（1-a ）x=2a ，由于分式方程无解，所以由两种情程无解，即1-a=0，解得a=1；综上a=±1.经典例题x+5的解为正数，则m 的取值范围为（ ） C ．m ≥﹣10且m ≠﹣6 D ．m ＞﹣10且，表示出方程的解，由分式方程的解为正数求出2)x -，解得102m x +=， 且2x ≠，104m +≠，故选：D ．计算，去分母化为整式方程，根据方程的解求出m11-的解为负数，则k 的取值范围是 . )()(211121211x k x x x k k --+=-⇒=-+-+≠±12102k k ⇒. 的取值范围是12k >且1k ≠． 义的条件；3.解不等式；4.分类思想的应用．31x =--的解为非负数，则正整数m 的所有个数为C ．5 D ．6 方程的解，根据分式方程的解为负数，可得不等式，移项、合并，解得：x=52m -， 两种情况：①分母为0，即x=-1,m ≠﹣6求出m 的范围即可．的范围，其中考虑到分式方).数为（ ） 等式，解不等式，即可解题．∵分式方程的解为非负数，∴52m -≥0且52m -≠1，解得：m≤5且m≠3， ∵m 为正整数∴m=1，2，4，5，共4个，故选：B ．【点睛】本题考查了分式方程的解，先求出分式方程的解，再求出符合条件的不等式的解．2．已知关于x 的分式方程433x k x x -=--的解为非正数，则k 的取值范围是（ ） A ．12k ≤-B ．12k -≥C ．12k >-D ．12k <- 【答案】A【分析】表示出分式方程的解，由解为非正数得出关于k 的不等式，解出k 的范围即可．【解析】解：方程433x k x x-=--两边同时乘以(3)x -得：4(3)x x k --=-， ∴412x x k -+=-，∴312x k -=--，∴43k x =+， ∵解为非正数，∴403k +≤，∴12k ≤-，故选：A ． 【点睛】本题考查了分式方程的解及解一元一次不等式，熟练掌握分式方程的解法和一元一次不等式的解法是解题的关键．经典例题1．已知关于x 的分式方程2322(2)(3)x k x x x +=+--+的解满足41x -<<-，且k 为整数，则符合条件的所有k 值的乘积为（ ）A ．正数B ．负数C ．零D ．无法确定 【答案】A【分析】先解出关于x 的分式方程得到x=63k -，代入41x -<<-求出k 的取值，即可得到k 的值，故可求解． 【解析】关于x 的分式方程2322(2)(3)x k x x x +=+--+得x=217k -， ∵41x -<<-∴21471k --<<-解得-7＜k ＜14 ∴整数k 为-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，又∵分式方程中x≠2且x≠-3∴k≠35且k≠0∴所有符合条件的k 中，含负整数6个，正整数13个，∴k 值的乘积为正数,故选A ．【点睛】此题主要考查分式方程与不等式综合，解题的关键是熟知分式方程的求解方法．1．若关于x 的分式方程21m x x =-有正整数解，则整数m 的值是（ ） A ．3B ．5C ．3或5D ．3或4 【答案】D 【分析】解带参数m 的分式方程，得到2122m x m m ==+--，即可求得整数m 的值． 【解析】解：21m x x=-，两边同时乘以()1x x -得：()21x m x =-， 去括号得：2x mx m =-，移项得：2x mx m -=-，合并同类项得：()2m x m -=-，系数化为1得：2122m x m m ==+--， 若m 为整数，且分式方程有正整数解，则3m =或4m =，当3m =时，3x =是原分式方程的解；当4m =时，2x =是原分式方程的解；故选：D ．【点睛】本题考查分式方程的解，始终注意分式方程的分母不为0这个条件．经典例题 分式方程的应用1．八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x 千米/小时，则所列方程正确的是（ ）A ．10x -102x =20B ．102x -10x =20C ．10x -102x =13D ．102x -10x =13【答案】C【分析】根据八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，可以列出相应的方程，从而可以得到哪个选项是正确的．【解析】由题意可得，10x -102x =13，故选：C ． 【点睛】此题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程． 2．某体育用品商店出售毽球，有批发和零售两种售卖方式，小明打算为班级购买键球，如果给每个人买一个毽球，就只能按零售价付款，共需80元；如果小明多购买5个毽球，就可以享受批发价，总价是72元．已知按零售价购买40个毽球与按批发价购买50个毽球付款相同，则小明班级共有多少名学生？设班级共有x 名学生，依据题意列方程得（ ）A ．807250405x x ⨯=⨯+ B ．807240505x x ⨯=⨯+ C ．728040505x x ⨯=⨯- D ．728050405x x ⨯=⨯- 【答案】B 【分析】根据“按零售价购买40个毽球与按批发价购买50个毽球付款相同”建立等量关系，分别找到零售价与批发价即可列出方程．【解析】设班级共有x 名学生，依据题意列【点睛】本题主要考查列分式方程，读懂题1．数学家斐波那契编写的《算经》中有如元钱，则第二次每人所得与第一次相同，【答案】10406x x =+ 【分析】根据“第二次每人所得与第一次相【解析】解：根据题意得，1040x x =【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用2．如图，著名旅游景区B 位于大山深处增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，BC ＝100≈1.4等数据（1）公路修建后，从A 地到景区B 旅游可（2）为迎接旅游旺季的到来，修建公路时结果提前50天完成了施工任务．求施工队【答案】（1）从A 地到景区B 旅游可以少【解析】解：（1）过点C 作AB 的垂线在直角△BCD 中，AB ⊥CD ，sin30°＝CD ∴CD ＝BC•sin30°＝100×＝50（千米）在直角△ACD 中，AD ＝CD ＝50（千米∴AB ＝50+50（千米），∴AC+BC ﹣AB ＝50+100﹣（50+50答：从A 地到景区B 旅游可以少走35千米（2）设施工队原计划每天修建x 千米，解得x ＝0.14，经检验x ＝0.14是原分式方题意列方程得，807240505x x ⨯=⨯+故选：B ． 读懂题意找到等量关系是解题的关键．中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为一次相同，”列分式方程即可得到结论． 06+，故答案为：10406x x =+ 际应用，找出等量关系，列出分式方程，是解题的关深处，原来到此旅游需要绕行C 地，沿折线A→C→B，修建了一条从A 地到景区B 的笔直公路．请结合等数据信息，解答下列问题： 旅游可以少走多少千米？ 路时，施工队使用了新的施工技术，实际工作时每天的施工队原计划每天修建多少千米？可以少走35千米；（2）施工队原计划每天修建0.14线CD ，垂足为D ，BC，BC ＝1000千米， ），BD ＝BC•cos30°＝100×＝50（千米），千米），AC ＝＝50（千米）， ）＝50+50﹣50≈35（千米）．千米； ，依题意有，﹣＝50，分式方程的解． 若干；若再加上6人，平分40数为x 人，则可列方程_____．题的关键．C→B 方可到达．当地政府为了请结合∠A ＝45°，∠B ＝30°，每天的工效比原计划增加25%，.14千米． ），答：施工队原计划每天修建0.14千米．点评：（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，在直角△BCD中，解直角三角形求出CD的长度和BD的长度，在直角△ACD中，解直角三角形求出AD的长度和AC的长度，再求出AB的长度，进而求出从A地到景区B旅游可以少走多少千米；（2）本题先由题意找出等量关系即原计划的工作时间﹣实际的工作时间＝50，然后列出方程可求出结果，最后检验并作答．。
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分式经典例题及答案 Revised as of 23 November 2020
分式的性质
一、知识回顾
1、分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A/B叫做分式。
2、分式有意义、无意义的条件：
① 分式有意义的条件：分式的分母不等于0；
② 分式无意义的条件：分式的分母等于0。
3、分式值为零的条件：当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0。
4、分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
5、分式的通分：和分数类似，利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。
6、分式的约分：和分数一样，根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母中的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。
约分后分式的分子、分母中不再含有公因式，这样的分式叫最简公因式。
约分的关键是找出分式中分
子和分母的公因式。
二、典型例题
A．x=-2 B．x=0 C．x=1或2 D．x=1
分析：先根据分式的值为0的条件列出关于x的不等式组，求出x的值即可．这种题一定要考虑到分母不为0.
解答：
∴{ x-1=0 ①
{ x+2≠0 ② ，解得x=1．
故选D．
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A．x=1 B．x=-1 C．x=±1 D．x≠1
分析：要使分式的值为0，一定要分子的值为0并且分母的值不为0．
解答：由x2-1=0解得：x=±1，
又∵x-1≠0即x≠1，
∴x=-1，
故选B．
__________________________________________________________________________ ___________
A．x≠5 B．x≠-5 C．x＞5 D．x＞-5 分析：要使分式有意义，分式的分母不能为0．
解答：∵x-5≠0，∴x≠5；
故选A．
__________________________________________________________________________ ___________
A．x＜2 B．x＜2且x≠-1 C．-1＜x＜2
D．x＞2
分析：易得分母为非负数，要使分式为正数，则应让分子大于0，分母不为0．解答：根据题意得：2-x＞0，且（x+1）2≠0，
∴x＜2且x≠-1，
故选B．
__________________________________________________________________________ ___________
A．x＞0 B．x≥0 C．x≥0且x≠1 D．无法确定
分析：分母x2-2x+1=（x-1）2，为完全平方式，分母不为0，则：x-1≠0时，要使分式的值为非负数，则3x≥0，由此列不等式组求解．
解答：依题意，得
{ 3x≥0 ①
{ x-1≠0② ，
解得x≥0且x≠1，
故选C．
__________________________________________________________________________ ___________
例6：下列说法正确的是（）
A．只要分式的分子为零，则分式的值为零B．分子、分母乘以同一个代数式，分式的值不变C．分式的分子、分母同时变号，其值不变
分析：根据分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整
式，分式的值不变．
解答：A、分式的分子为零，分母不为0，则分式的值为零，故错误；
B、分子、分母乘以同一个不等于0的代数式，分式的值不变，故错误；
C、正确；
D、当x取任意实数时，分式（|2-x|+x）/2 有意义，故错误．
故选C．
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A．-7/2 B．7/2 C．2/7 D．-2/7 分析：先把分式的分子、分母都除以xy，就可以得到已知条件的形式，再把
1/x-1/y=3代入就可以进行计算．
解答：根据分式的基本性质，分子分母都除以xy得，
故选B．
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分析：根据已知条件求出（a-b）与ab的关系，再代入所求的分式进行求
值．
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分析：设恒等式等于一个常数，求出x，y，z与这个常数的关系式，再进行证明．
解答：解：
则x=ka-kb，y=kb-kc，z=kc-ka，
x+y+z=ka-kb+kb-kc+kc-ka=0，
∴x+y+z=0．
三、解题经验本节题目变化多端，我们要多做练习以积累经验，牢记分式有无意义的条件。
分式的性质是分式变化的依据，要灵活运用。
对于例8、9两个例子，都采用的整体带入得方法，很常见。