华中科技大学《量子力学》20讲-量子跃迁

2
处于 | n 的概率。 | Cnk (t ) |2 还代表什么意义？ ˆ )的本征 初始时刻系统处于F 表象(含算符H
0
态 | k ，而(8)式表明体系可能从初始时刻的 ˆ 的作用下跃迁到F 表象中另一个 状态 | 在H
k
本征态 | n ， | Cnk (t ) |2 也代表这种跃迁的概率。
n ik n t ˆ | n C iCk k (t ) e k | H nk n
(9)
其中，k n ( Ek En ) / 。 (9)式是含时薛定格方程在F 表象中的形式。 下面，在初始条件为 | (0) | k 下求解(9)式。
9
二、定态下量子态的跃迁(5) i k n t ˆ | n C iCk k (t ) e k | H nk
19
统上时，不会改变系统 的状态，这样的微扰
(iEnt / ) k 利用(3)式，有 | (t ) an | n k! n k | (t ) an e iEnt / | n
n
(5) (6)
4
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注意在(4)式中，an n | (0)
一、量子态随时间的演化(3) | (t ) an e iEnt / | n
体系能在不受外界作用 的情况下保持在 k。 ˆ 的 若在t时刻，体系受到一个外 界因素H 作用, 体系的状态将发生怎样 的变化？ ˆ H ˆ0 H ˆ (t ) 此时，体系的哈密顿 为 H 体系的状态不再由 (7)式描述，但可以表示为 F表象的本征态| n 的线性叠加，即 | (t ) Cnk (t )e
初始时刻的能量本征态 ，这种量子态为定态。 ˆ t 0，若 (0) ，则体系的 2、即使 H
k
状态由(5)式描述 非定态。
5
返
二、定态下量子态的跃迁(1)
ˆ t 0 且 (0) k , 则 若 H | (t ) e
iEk t /
| k
( 7)
kk
1 ik k t k dt 从中解出 Ck k (t ) C (t ) e Hk i 0
(0) (1) 准确到一级近似，有Ck k (t ) Ck ( t ) C k k k (t )

Ck k (t ) k k
1 k dt eikk t H k i 0
| n Cnk e
n
iEn t /
ˆ | H n
8
二、定态下量子态的跃迁(4) iEn t / iEn t / ˆ i Cnk (t )e | n Cnk e H | n
n n
两边左乘 k |, 得到 (t )e iEkt / e iEnt / | H ˆ | n Cnk iC k k k
在Cnk (0) nk
时，可以用微扰论的思 想来求解。 ˆ | 0，则由(9)式， 零级近似下，认为| H (t ) 0, C (t ) C (0) C kk kk kk kk 即 C
(0) k k
(t ) k k
(11)
11
二、定态下量子态的跃迁(7)
7
二、定态下量子态的跃迁(3)
ˆ H ˆ H ˆ H ˆ H ˆ (t ), 在t时刻，H 0 0 体系的状态从| (t ) e
n iEk t /
| k (8)
| (t ) Cnk (t )e iEnt / | n Cnk (t ) ？将(8)式代入薛定格方程，即
量子力学
武汉光电国家实验室 刘劲松
第十九讲 量子跃迁的微扰理论 能级展宽与谱线宽度
1
目录
一、量子态随时间的演化 二、定态下量子态的跃迁 三、跃迁定则 四、能量－时间不确定度关系 五、能级展宽与谱线宽度
2
一、量子态随时间的演化(1)
量子力学的一个基本假 定：体系状态随时 间的演化，遵守薛定格 方程 ˆ | (t ) ih | (t ) H （ 1 ） t ˆ t 0 , 体系能量守恒， 若 H | (t ) 满足： k ˆ ( i H t / ) ˆ iHt / | (t ) e | (0) | (0) ( 2) k! k ˆ t 0 , (1) H ˆ | E | H (3)
n n n
ˆ 在内的一组力学完全集 | n 是包含H F的共同 本征态，在F表象中,
n
3
| (0) an | n (4)
一、量子态随时间的演化(2)
k ˆ (iHt / ) | (t ) | (0) ( 2) k! k ˆ | E | (3) (0) a | (4) H n n n n n n k ˆ (iHt / ) (4) (2) | (t ) an | n k! n k
一级近似下，先令(9)式，即 ik n t ˆ | n C (t ) iCk k (t ) e k | H nk
n (0) 右边的Cnk (t ) Cnk (t ) nk , 得到 ik k t (t ) eikk t k | H ˆ iC | k e H kk t (1) k k
ˆ H ˆ ) | (t ) (8) i | (t ) ( H 0 t iEn t / iEn t / 左边 i Cnk (t )e | n E n Cnk e | n
n n
右边 E n Cnk e
n
iEn t /
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三、跃迁定则(6)
2 2
跃迁的选择定则
q 2 2 2 2 P e 0, 10 () 2 Pn 0 () 0, n 1 3、以上结果表明， 0 1可以发生， 0 2， 0 3， ， 0 n不能发生， 表明允许n 1的跃迁发生， 这称为跃迁的选择定则 。
n iEn t /
| n
(8)
6
二、定态下量子态的跃迁(2)
| (t ) Cnk (t )e iEnt / | n
n
(8)
ˆ 0时体系处于 。 其中，下标k 表示H k 显然， | Cnk (t )e
iEn t / 2
| = | Cnk (t ) | 为t时刻体系
t
(12)
12
返
三、跃迁定则(1)
已知
Ck k (t ) k k
2
1 i kk t k dt e Hk i 0
t
禁戒跃迁
(12)
令Pk k (t ) | Ck k (t ) | , 则Pk k (t )代表系统从初态 k 跃迁到末态k 的概率。当k k时，有 1 k dt |2 Pk k (t ) 2 | e i kk t H k 0
t 2 2
(14)
qe
t 2 2
xn 0
2
( n 1 n ,n1 n nn1 )
15
xn 0 (2 ) n1
三、跃迁定则(4)
1 in 0t 2 Pn 0 () 2 | e H n 0 dt | 0 qe n 0 n , H n
2 2
若n 1，有Pn 0 () 0
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三、跃迁定则(5) 2 2 q 2 2 2 2 P e 0, Pn 0 () 0, n 1 10 () 2
讨论 1、在外电场的激发下， 谐振子从基态| 0 只 能跃迁到第一激发态| 1 。 2、P20 () 0，P30 () 0，Pn 0 () 0, n 1， 在外电场的激发下，谐 振子从基态| 0 不 能跃迁到激发态| n , 其中n 1 。或者说， 0 2， 0 3， ， 0 n的跃迁为禁戒跃迁。
a 2 x2 / 2
H n ( ax)。设初始(t )时 , 电场, 描述电
刻系统处于基态| 0 , 此时系统受到一个外电 场 的作用：H qxe
t 2 2
场作用缓急的一个参量 。当t 时，由 1 i k k t 2 Pk k (t ) 2 | e H k k dt | 0
n
(5) ( 6)
an n | (0)
1、若初始时刻体系处于 某个能量本征态 k, 即 (0) k , 则an n | k nk （5） | (t ) e iEk t / | k (7 ) ˆ t 0 且 (0) , 则体系能保持在 若 H k
n
(9)
在初始条件为| (0) | k 下求解(9)式。 由(8)式，即| (t ) Cnk (t )e
n n iEn t /
| n
| (0) Cnk (0) | n | k n | Cmk (0) | m n | k
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三、跃迁定则(7)
q 2 2 2 2 P e 0, 10 ( ) 2 Pn 0 () 0, n 1
2 2
4、若 ，注意H qxe
t 2 2
，表明电
场的作用是十分缓慢发 生的, 此时P 。 10 ( ) 0
这说明，当外界的微扰 十分缓慢地作用到系 叫做绝热微扰。
t
(13)
k 0， 若存在这样的末态 k ，使得H k Pk k 0， 表明从k到k 的跃迁是不可能的，或 者说，从k 到k 的跃迁是禁戒的。
13
三、跃迁定则(2) 考虑带电为q的粒子在平衡点的移动 ，它
可用一维谐振子来描述 ，故 En ( n 1 2) , | n | n An e
2 2 t 2 2

(14)
xn 0 , xn 0 (2 ) n1
q 2t 2 2 int 2 Pn 0 () 2 | e e n1dt | 2 q 2 2 2 2 若n 1, 有 P e 0 10 ( ) 2
m
初始条件为
Cnk (0) nk
（ 10 ）
10
二、定态下量子态的跃迁(6) i k n t ˆ | n C (t ) iCk k (t ) e k | H nk
n
(9)
（ 10 ）下求解Cnk (t )。 ˆ | 1 一般情况下的求解是很 困难的。当| H
t
(13)
可以计算出系统跃迁到 某一激发态| n 的概率。
14
三、跃迁定则(3) a2 x2 / 2 En (n 1 2) , | n | n An e H n (ax)
H qxe
t 2 2
, k n, k 0, 需要计算

1 i n 0 t 0 dt |2 Pn 0 () 2 | e H n 0 n | H | 0 n 0 ( En E0 ) n , H n q n | x | 0 e 165页(23)，xnn