(浙江专版)高考数学一轮复习 坐标系限时集训 理

(限时：40分钟 满分：50分)

1．(满分10分)(2012·江西高考改编)曲线C 的直角坐标方程为x 2

＋y 2

－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程．

2．(满分10分)已知伸缩变换表达式为⎩

⎪⎨⎪

⎧

x ′＝2x ，y ′＝1

3y ，曲线C 在此变换下变为椭圆

x ′2

4

＋y ′2

＝1，求曲线C 的方程．

3．(满分10分)已知圆M 的极坐标方程为ρ2

－42ρ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋6＝0，求ρ的

最大值．

4．(满分10分)(2012·江苏高考)在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，圆心为

直线ρsin ⎝

⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．

5．(满分10分)在极坐标系中，动点P (ρ，θ)运动时，ρ与sin 2

⎝ ⎛⎭

⎪

⎫θ2＋π4成反比，动

点P 的轨迹经过点(2,0)．

(1)求动点P 的轨迹的坐标方程；

(2)将(1)中极坐标方程化为直角坐标方程，并指出轨迹是何种曲线．

答 案

[限时集训(六十六)]

1．解：将x 2

＋y 2

＝ρ2

，x ＝ρcos θ代入x 2

＋y 2

－2x ＝0得ρ2

－2ρcos θ＝0，整理得ρ＝2cos θ.

2．解：∵⎩

⎪⎨⎪

⎧

x ′＝2x ，y ′＝1

3y ，

∴将其代入方程x ′2

4

＋y ′2

＝1，

得

2x

2

4

＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫13y 2

＝1， 即x 2

＋y 29＝1，故曲线C 的方程为x 2

＋y 2

9＝1.

3．解：原方程化为

ρ2－42ρ⎝

⎛⎭

⎪⎫

22cos θ＋22sin θ＋6＝0，

即ρ2

－4(ρcos θ＋ρsin θ)＋6＝0. 故圆的直角坐标方程为x 2

＋y 2

－4x －4y ＋6＝0. 圆心为M (2,2)，半径为 2.

故ρmax ＝|OM |＋2＝22＋2＝3 2.

4.解：在ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32中令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1,0)．

因为圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4， 所以圆C 的半径PC ＝

2

2

＋12

－2×1×2cos π4

＝1，于是圆C 过极点，所以圆

C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.

5．解：(1)设ρ＝k

sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π4，

∵2＝k

sin

2π4，∴k ＝1.

∴ρ＝

1

1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π22

＝21＋sin θ. (2)∵ρ＋ρsin θ＝2， ∴x 2

＋y 2

＋y ＝2.整理得

y ＝－14

x 2＋1.

∴轨迹为开口向下，顶点为(0,1)的抛物线．