线性规划问题中目标函数常见类型梳理

线性规划问题中目标函数常见类型梳理

线性规划问题中目标函数的求解是线性规划问题的重点也是难点，对于目标函数的含义学生往往理解的不深不透，只靠死记硬背，生搬硬套，导致思路混乱，解答出错。本文将有关线性规划问题中目标函数的常见类型梳理如下，以期对大家起到一定的帮助。 一 基本类型——直线的截距型（或截距的相反数）

由于线性规划的目标函数：z ax by b =+≠()0可变形为y a b x z b =-+，

则z b 为直线y a b x z

b

=-+的纵截距，那么我们在用线性规划求最值时便可以得到如下结论： （1）当b >0时，直线y a b x z

b

=-

+所经过可行域上的点使其纵截距最大时，便是z 取得最大值的点；反之，使纵截距取得最小值的点，就是z 取得最小值的点。 （2）当b <0时，与b >0时情形正好相反，直线y a b x z

b

=-

+所经过可行域上的点使其纵截距最大时，是z 取得最小值的点；使纵截距取得最小值的点，便是z 取得最大值的点。

例1.已知实数x 、y 满足约束条件0

503x y x y x +≥⎧⎪

-+≥⎨⎪≤⎩

，则24z x y =+的最小值为（ ）

A ．5

B ．-6

C ．10

D ．-10 分析：将目标函数变形可得124z y x =-

+，所求的目标函数的最小值即一组平行直线1

2

y x b =-+在经过可行域时在y 轴上的截距的最小值的4倍。

解析：由实数x 、y 满足的约束条件，作可行域如图1所示：

当一组平行直线L 经过图中可行域三角形ABC 区域的点C 时，在y 轴上的截距最小，又(3,3)C -，故24z x y =+的最小值为min 234(3)6z =⨯+⨯-=-，答案选B 。

图1 图2

例2. 设x y ,满足约束条件x x y x y ≥≤+≤⎧⎨⎪

⎩

⎪021,,,求z x y =-32的最大值和最小值。

解：如图2作出可行域，因为由图2可知过点B 时纵截距最大，z x y =-32取得最小值，所以

z min =⨯-⨯=-30212；过点A 时纵截距最小，z 在A （1313

,）处取最大值，z max =⨯-⨯=3132131

3。

二 直线的斜率型

例3.已知实数x 、y 满足不等式组2240x y x ⎧+≤⎨≥⎩

,求函数3

1y z x +=+的值域.

解析：所给的不等式组表示圆22

4x y +=的右半圆(含边界)，

3

1

y z x +=

+可理解为过定点(1,3)P --，斜率为z 的直线族．则问题的几何意义为：求过半圆域224(0)x y x +≤≥上任一点与点(1,3)P --的直线斜率的最大、最小值．由图知，过点P 和点(0,2)A 的

直线斜率最大，max 2(3)

50(1)

z --=

=--．过点P 所作半圆的切线的斜率最小．设切点为(,)B a b ，则过B 点

的切线方程为4ax by +=．又B 在半圆周上，P 在切线上，则有22434a b a b ⎧+=⎨--=⎩

解得25

a b ⎧-+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

因此

min

263

z -=。综上可知函数的值域为26,53⎡⎤⎢⎥⎣⎦

三 平面内两点间的距离型（或距离的平方型）

例4. 已知实数x 、y 满足10

101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩

，则22

448w x y x y =+--+的最值为___________.

解析：目标函数2222

448(2)(2)w x y x y x y =+--+=-+-，其含义是点(2,2)与可行域内的点的距离的平方。由实数x 、y 所满足的不等式组作可行域如图所示：

可行域为图中ABC V 内部（包括边界），易求B （-2，-1），结合图形知，点(2,2)到点B 的距离为其到可行

域内点的最大值，22

max (22)(12)25w =--+--=；点(2,2)到直线x+y-1=0的距离为其到可行域内点

的最小值，min

32

22

w ==。 四． 变换问题研究目标函数

例5.已知⎪⎩

⎪⎨⎧≥≤+≥a x y x x

y 2，且y x z +=2的最大值是最小值的3倍，则a 等于（ ） A ．

31或3 B ．31 C ．52或2 D ．5

2 解析：求解有关线性规划的最大值和最小值问题， 准确画图找到可行域是关键.如图所示，A y x z 在+=2

点和B 点分别取得最小值和最大值. 由

),(•a a•A x y a x 得⎩⎨⎧==，由⎩⎨⎧==+y x y x 2得 B (1，1). ∴a •z •

z 3,3min

max ==. 由题意

得.3

1•a

=故答案B 。 五 综合导数、函数知识类

-1

1

1

O x

y •

（2，2）

x+y-1=0 -1 A B C

例5.（山东省日照市2008届高三第一次调研）．已知函数),2[)(+∞-的定义域为x f ，部分对应值如下表，

)()(x f x f 为'的导函数，函数)(x f y '=的图象如右图所示. 若两正数a ，b 满足3

3

1)2(++<+a b b a f ，则的取值范围是

（

A ．)3,7(

B ．)3,5(

C ．)5

6,32(

D ．)3,3

1(-

分析：本题的关键是如何从函数的导函数的图象中找到原函数的基本性质，将其与所给的函数性质联系起来。由导函数的图象可知，原函数在区间 [-2,0]为单调递减函数，在区间（0，∞+）为单调递增函数。结合题中提供的函数的数据可得422<+<-b a ，另外注意到3

3

++a b 的几何意义，转化为线性规划问题可求解。

解析：由导函数的图象可知，原函数在区间 [-2,0]为单调递减函数，在区间（0，∞+）为单调递增函数，

又1)4(,1)0(,1)2(=-==-f f f ，故422<+<-b a ，而b a ,均为正数，可得可行域如图，

33

++a b 的几何意义是可行域内的点和（-3，-3）连线的斜率的取值范围，故最大为点（0，4），此时为3

7

3034=++，

最小为点（2，0），此时为5

3

3230=++，所以答案B.

基本不等式及其应用参考答案

1-5 CBABB 6 M>N 7. 4 8. 20 9. 10 15 25 10. 25

1

5

11. －2 12. 18 13.10≤a 。14.解：（1）83

920

31600292031600920160039202=

+≤++=++=

v

v v v v y 当且仅当v

v 1600

=

，即40=v 时取等号， 1.11max ≈y （2）6425<--=+-=ax

a

x x a x f 当0>a 时，a x 20<<；当0

所以当0>a 时解集为}20|{a x x <<、当0

（2）022

12)(≥++-

=+x x a x x f 4222

220=⋅≥+∴>x x x x x Θ