最新8、1比例线段与黄金分割汇总

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八年级数学第四章第1-4 线段的比与黄金分割北师大版知识精讲

初二数学第四章第1－4 线段的比与黄金分割北师大版【本讲教育信息】一．教学内容：线段的比与黄金分割（4.1—4.4）二．教学目标：1．了解线段的比、比例线段，理解并掌握比例线段的基本性质及简单应用． 2．了解黄金分割，体会其中的文化价值．3．认识形状相同的图形，了解相似多边形的含义．探索相似多边形的本质特征．4．发展从数学角度提出问题，分析问题和解决问题的能力，培养数学应用意识，体会数学与自然、数学与社会的密切联系．三．知识要点分析： 1．线段的比（1）如果选用同一个长度单位量得两条线段AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比AB ：CD=m ：n ，或写成AB CD =mn ．其中，线段AB 、CD 分别叫做这个线段比的前项和后项．（2）在四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a b =cd ，我们就把这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．（3）比例的性质①基本性质：如果a b =cd，那么ad =bc ．如果ad =bc （a 、b 、c 、d 都不等于0），那么a b =cd．②合比性质：如果a b =c d ，那么a ±b b =c ±dd．③等比性质：如果a b =c d =…=mn （b ＋d ＋…＋n ≠0），那么a ＋c ＋…＋m b ＋d ＋…＋n =a b ．2．黄金分割点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC AB =BCAC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比． 3．相似多边形（1）所谓形状相同的图形，实际上就是形状相同、大小可以不同的图形．所谓形状相同，应和位置无关，和摆放角度无关，和摆放方向也无关．（2）各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边的比叫做相似比．【典型例题】知识点1：线段的比例1．已知线段d 是线段a 、b 、c 的第四比例项，其中a =2cm ，b =4cm ，c =5cm ，则d =（）A ．1cmB ．10cmC ．52cmD ．85cm题意分析：成比例的四条线段a ：b =c ：d ，其中d 是第四比例项．思路分析：把a =2cm ，b =4cm ，c =5cm 代入a ：b =c ：d ，便可求出d ．解：因为a ：b =c ：d ，a =2cm 、b =4cm 、c =5cm ，所以2：4=5：d ，即2d =20，解得d =10．选B解题后的思考：关于线段的比要注意两点：一是所给线段的长度单位要统一；二是四条线段成比例时，一定要将这四条线段按顺序列出．例2．已知3a ＋5b b =73，求ab的值．题意分析：本题可以看作是比例式的问题，也可以看作是分数或分式的问题．思路分析：把3a ＋5b b =73进行变形，变得的等式中含有a b ，或用a 表示b ，再代入ab 求值．解：解法一：因为3a ＋5b b =73，所以3（3a ＋5b ）=7b ，所以9a =－8b ，所以a b =－89．解法二：因为3a ＋5b b =73，所以3a ＋5b 5b =715，所以3a ＋5b －5b 5b =7－1515，所以3a 5b =－815，所以a b =－815×53=－89．解法三：因为3a ＋5b b =73，所以3a b ＋5=73，所以3a b =73－5=－83，所以a b =－83×13=－89．解法四：设ab =k ，则a =bk ，因为3a ＋5b b =73，所以3bk ＋5b b =73，所以3k ＋5=73，所以k =－89，所以a b =－89．解题后的思考：本例从不同角度出发进行解答．解法一运用的是比例的基本性质；解法二主要是运用比例的合比性质；解法三是根据分式的特点，进行“拆分”；解法四是运用方程的思想解决问题．另外，需要注意比例式作为等式，可以运用等式的性质，比例式中的两个比作为分数或分式，可以运用分数或分式的基本性质．例3．如图所示，已知在△ABC 中，AB=12cm ，AE=6cm ，EC=4cm ，且AD BD =AEEC．（1）求AD 的长．（2）说明：BD AB =ECAC成立．BCD E题意分析：在△ABC 中，除已知条件外还可以看出AD ＋BD=AB ，AE ＋EC=AC ．思路分析：图形中的计算题常用设未知数解方程的方法进行计算，若设AD=x ，则已知的比例式即是关于x 的方程，从而可以求出AD 的长，把线段的长代入BD AB 和EC AC ，来判断BDAB=EC AC 是否成立．对于BD AB =ECAC，也可以用比例的性质验证．解：（1）设AD=x cm ，则BD=12－x ．因为AD BD =AE EC ，所以x 12－x =64，所以4x =6×（12－x ），所以x =365，即AD=365cm ．（2）因为AD BD =AEEC ，所以AD ＋BD BD =AE ＋EC EC ．所以AB BD =AC EC ，即BD AB =EC AC．解题后的思考：已知比例线段，求其中某条线段的长，通常转化成方程问题来解决．小结：比例的基本性质有三个，但在实际运用时却是灵活多样的，注意结合分式的性质选择合适的解法．知识点2：黄金分割例4．人体下半身（即脚底到肚脐的长度）与身高的比越接近0.618越给人以美感，遗憾的是即使是身材修长的芭蕾舞演员也达不到如此完美．某女士身高1.68m ，下半身长1.02m ，她应选择多高的高跟鞋使其看起来更漂亮？题意分析：穿上高跟鞋增加下半身的长度，使下半身与身高的比接近0.618．思路分析：把她应选择的高跟鞋的高度设为x m ，下半身长变为1.02＋x ，身高变为1.68＋x ，二者之比约为0.618，依此可以求出x ．解：设她应选择的高跟鞋的高为x ，由题意，得1.02＋x1.68＋x ≈0.618，所以1.02＋x ≈0.618（1.68＋x ），解得x ≈0.048， 0.048m =4.8cm ．她应选择大约4.8cm 高的高跟鞋使其看起来更漂亮．解题后的思考：本题是黄金分割的实际应用问题，解题关键是找出比值0.618所对应的比例的前项和后项．例5．如图所示，在△ABC 中，AB=AC=10，BC=55－5，∠A=36°，BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，试说明点D 是线段AC 的黄金分割点．BCD12题意分析：已知AB 、AC 、BC 三条线段的长度，根据其他已知条件，图中各角的度数都能求出来，问题就是判断CD AD =AD AC 是否成立？或AD AC =5－12是否成立？思路分析：本题应判断AD AC =5－12是否成立，因为AC 已知，只要求出AD 就可以了，步骤较少．解：因为AB=AC ，所以∠ABC=∠C ．又因为∠ABC ＋∠C ＋∠A=180°，∠A=36°，所以∠ABC=∠C=72°．因为∠1=∠2=12∠ABC ，所以∠1=∠2=36°．所以∠1=∠A ，所以AD=BD ．因为∠2＋∠C ＋∠BDC=180°，所以36°＋72°＋∠BDC=180°，所以∠BDC=72°，所以∠BDC=∠C ，所以BD=BC ，所以BC=BD=AD ．因为BC=55－5，所以AD=55－5．又因为AC=10，所以AD AC =5（5－1）10=5－12，所以点D 是线段AC 的黄金分割点．解题后的思考：只要确定出AD AC =5－12，即可说明点D 是AC 的黄金分割点，为此，需要求出AD 的长度．本例分析中的第一种方法学习了相似三角形之后比第二种方法更简单．小结：黄金分割是比例线段的特例，在实际生活中应用广泛．知识点3：相似多边形例6．①两个正方体；②两个半径不等的圆；③同一张底片冲洗出来的2寸照片和5寸照片；④圆柱与圆锥；⑤长与宽相同，但高不同的两个长方体；⑥横坐标相同，纵坐标成三倍关系的两个几何图形．形状相同的图形有哪些？请指出来．题意分析：所谓的形状相同是指形状一样，大小可以不同，不考虑其他的因素．思路分析：通过想像或画草图进行判断．解：形状相同的图形有①②③解题后的思考：所有的正方形、圆、等边三角形是形状相同的图形，其他的图形则形状不一定相同．例7．如图所示，矩形ABCD 的长、宽分别为10，8，矩形A’B’C’D’的长、宽分别为5、4，这两个矩形相似吗？为什么？两个矩形满足什么条件一定相似？A B C DA'B'C'D'题意分析：相似矩形是指两个矩形的对应角都相等，对应边成比例．思路分析：任何一个矩形的四个角都是90°，所以两个矩形的对应角可以做到相等．再判断各边是否对应成比例就可以了．解：因为AD A ’D’=BC B ’C’=105=21，AB A ’B’=DC D ’C’=84=21，所以AD A ’D’=BC B ’C’=AB A ’B’=DC D ’C’．因为矩形四个角都是直角，所以∠A=∠B=∠C=∠D=∠A ’=∠B’=∠C’=∠D’=90°，所以矩形ABCD ∽矩形A’B’C’D’．由上述说明过程知，两个矩形只要满足长与宽成比例就相似．解题后的思考：判断多边形相似容易失误，同学们一定要严格按定义来判断，不可投机取巧．如用一根宽为1cm 的木条钉成一个矩形镜框，外边缘长为10、宽为8，那么这个镜框的内外边缘两个矩形是否相似？例8．如图所示，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF ∥BC ，EF 将梯形ABCD 分成两个相似梯形AEFD 和EBCF ，若AD=3，BC=4，求AE ：EB 的值．A BCD E F题意分析：所求的AE ：EB 是两个相似梯形AEFD 和EBCF 的相似比．思路分析：与已知条件有关的相似比还有AD ：EF 、EF ：BC ，设法求出它们的比值本题便可解决，这个问题的关键是求出EF 的长．解：因为梯形AEFD ∽梯形EBCF ，所以AD EF =EFBC ，所以EF 2=AD·BC ．因为AD=3，BC=4，所以EF 2=3×4=12，所以EF=23．因为梯形AEFD ∽梯形EBCF ，所以AE ：EB=AD ：EF=3：23=3：2．解题后的思考：利用相似多边形的对应边成比例，可以求出EF 的长，进而求得相似比AE ：EB=AD ：EF ．小结：对相似多边形的理解一定要注意只有各角对应相等，各边对应成比例的多边形才是相似多边形，特别是各边对应成比例解题时一定要全部验证．总结：本讲要求了解比例的基本性质、线段的比、成比例线段，通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割．认识图形的相似、探索相似图形的性质等．各类考试中经常考查比例线段和黄金分割．【预习导学案】（相似三角形（4.5—4.6））一．预习前知1．什么是形状相同的图形，什么是相似多边形？2．判定两个三角形全等的条件有：__________；__________；__________；__________；__________．二．预习导学1．__________的三角形叫做相似三角形，两个相似三角形的相似比是1，这两个三角形的关系是__________． 2．如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成__________，并且__________相等，那么这两个三角形相似．简单地说：__________的两个三角形相似；三条边对应__________的两个三角形相似；两个角对应__________的两个三角形相似． 3．两个直角三角形一定相似吗？为什么？两个等腰直角三角形呢？反思：（1）你知道相似三角形与全等三角形的区别与联系吗？（2）如何判定两个三角形相似？【模拟试题】（答题时间：50分钟）一．选择题1．如下图所示，有两个形状相同的星星图案，则x 的值为（） A ．15 B ．12 C ．10 D ．822．下列图形中不是形状相同的图形的是（） A ．用一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片B ．用放大镜将一个细小物体的图案放大，原图形与放大后的图形C ．某人的侧身照与正面照D ．一棵树与它倒映在水中的像 3．下列图形相似的是（） A ．所有的三角形 B ．所有的矩形 C ．所有的菱形 D ．所有的正方形 4．下列说法中正确的是（） A ．两条线段的比总是整数 B ．两条线段的比总是正数 C ．两条线段的比可能是0 D ．两条线段的比与所采用的长度单位有关 5．点P 是线段MN 的黄金分割点，且MP ＞NP ，则NP=（）MP ．A ．5－12B ．5＋12C ．3－52D ．5－32*6．若x －2y 3y －x =23，则y x 的值为（）A ．512B ．125C ．712D ．－1257．在比例尺为1：8000的某地图上，如果矩形运动场的图上尺寸是1cm ×2cm ，那么矩形运动场的实际尺寸应为（）A ．80m ×160mB ．8m ×16mC ．800m ×160mD ．80m ×800m**8．若a b =c d =e f =12，则f 9d 6b 3e3c 2a +-+-的值为（）A ．12B ．13C ．15D ．16二．填空题1．如图所示，下列各组图形中，是相似图形的是__________．(1)(2)(3)(4)2．正方形的边长与对角线的比值为__________．3．如果一个三角形三边的比为3：4：5，那么这个三角形一定是__________三角形． 4．C 是线段AB 上一点，AB=2AC ，则BC ：AB=__________．5．已知一个多边形的最长边为27，最短边为9，另一个和它相似的多边形的最长边为9，则这个多边形的最短边为__________．6．已知1，2，2三个数，请你再添一个数，可写出一个比例式：__________．*7．x 2=y 3=z4，则x ＋y －z x ＋y ＋z =__________．*8．如图是一种贝壳的俯视图，点C 分线段AB 近似于黄金分割．已知AB=10cm ，则AC 的长约为__________cm ．（结果精确到0.1cm ）三．解答题1．如图所示的三角形各顶点的纵坐标保持不变，横坐标均乘以－1，则所得三角形与原三角形形状相同吗？若让纵坐标不变，横坐标均增加2，则所得三角形与原三角形形状相同吗？2．如图所示，图①是一条鱼，它是由12个全等的等腰直角三角形拼成的；图②是正方形；图③是等腰直角三角形．请同学们认真观察图形再回答：（1）图①中与图②中形状相同的图形有多少个？（2）图①中与图③中形状相同的图形有多少个？①②③*3．线段AB 是连接A 、B 两城市的高速公路，全长120km ，在A 、B 上建有两个收费站C 、D ．已知AC ：CB=1：5，AD ：BD=11：1，一辆汽车从C 到D 行驶了34h ，求这辆车的速度．**4．已知：a ，b ，c 为三角形三边长，（a －c ）：（c ＋b ）：（c －b ）=2：7：（－1），三角形周长为24．求三边长各为多少．【试题答案】一．选择题1．D 2．C 3．D 4．B5．A 【由题意得MP MN =NP MP =5－12，所以NP=5－12MP ．】6．A 【因为x －2y 3y －x =23，所以3（x －2y ）=2（3y －x ），即5x =12y ，所以y x =512】7．A 【比例尺是指图上距离和实际距离之比】8．D 【由a b =c d =e f =12可得a 3b =－2c －6d =3e 9f =16】二．填空题 1．（2）（4） 2．1： 23．直角【可设三边长分别为3k 、4k 、5k ，有（3k ）2＋（4k ）2=（5k ）2】 4．1：25．3【设这个多边形的最短边为x ，由题意得279=9x ，∴27x =81，∴x =3，∴最短边为3】6．1：2=2：2 27．19【设x 2=y 3=z4=k ，则x =2k 、y =3k 、z =4k ，x ＋y －z x ＋y ＋z =2k ＋3k －4k 2k ＋3k ＋4k =19】 8．6.2【因为点C 是线段AB 的黄金分割点，所以ACAB≈0.618，所以AC≈6.2】三．解答题1．纵坐标不变，横坐标均乘以－1，所得三角形与原三角形形状相同；纵坐标不变，横坐标均增加2，所得三角形与原三角形形状相同． 2．（1）图①中与图②中形状相同的图形有6个．（2）图①中与图③中形状相同的图形有17个．3．因为AB=120km ，由AC CB =15可得AC AB =16，AC=20km ；由AD BD =111可得BD AB =112，BD=10km ．所以CD=AB －AC －BD=90km ，所以这辆车的速度为90÷34=120（km /h ）．4．由（a －c ）：（c ＋b ）：（c －b ）=2：7：（－1），设a －c =2k ，c ＋b =7k ，c －b =－k ．根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －c ＝2kc ＋b ＝7kc －b ＝－k a ＋b ＋c ＝24．解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝10b ＝8c ＝6 ．。

初中数学比例线段黄金分割

例 6：若 ABC 三边 a : b : c 6 : 4 : 3 ，三边上的高分别为 h1、h2、h3 ，求 h1 : h2 : h3 的值。
自我检测
一、填空题
1.(1)若 5x-7y = 0,则 x =______. (2)已知 x y 3 , 那么 x =______.
y
y7
y
(3)若
x 2
如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
三角形一边的平行线判定定理的推论: 如果一条直线截三角形的两边的延长线 (这两边的延长线在第三边的同侧)所得的对应线段成比例，那么这条直
线平行于三角形的第三边。平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例。推论：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等。
；
7. 若 x：y：z=2：7：5，且 x-2y+3z=6，则 x=
，y=
，z=
；
8.设x3 =y5 =z7 ，则x+yy =__
_，3yy+-32zz =__
__.
3
9.如图是两个相似四边形,已知数据如图所示,则 x=_____,y=_____,α =______.
5 1200 4
300
6
1300
, MN=
PQ, PQ=
MN.
4．如图，C 是线段 AB 的中点，D 在 BC 上，且 AB=24cm，
BD=5cm, 则 AC∶CB=
；AC∶AB=
；A
C
DB
BC∶ BD=
；CD∶AB=
；AD∶CD=

成比例的线段黄金分割(复习整理)

成比例的线段黄金分割一、梳理知识1、线段的比的定义在同一单位长度下，两条线段的比叫做这两条线段的比。

2、比例线段的定义在四条线段中，如果其中两条线段的等于另外两条线段的，那么这四条线段叫做成比例线段，简称 .在a ：b=c ：d 中，a 、d 叫做比例的，b 、c 叫做比例的，称d 为a 、b 、c 的 . 3、比例的性质(1)比例的基本性质：如果a ∶b =c ∶d ，那么，特别地，若a ∶b=b ∶c ，即，则b 叫a ，c 的比例中项. (2)合(分)比性质：若dcb a =，则 . (3)等比性质：若nm f e d c b a ==== ，且，则 .4、黄金分割(1)黄金分割的意义：点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果，那么称线段AB 被点C 黄金分割.其中点C 叫做线段AB 的，AC 与AB 的比叫做 .二、典例解析例1 （1）已知线段a=2，b=3，c=5时，若a ，b ，c ，d 四条线段成比例，则d=_______．（2）已知1，5，5三个数，如果再添一个数，使之能与已知的三个数成比例，则这个数应该是 .（3）在比例尺为1：n 的某市地图上，规划出一块长5cm ×2cm 的矩形工业区，则该工业区的实际面积是平方米. 例2 比例的性质（1）若2a=3b ，则（a-b ）：（a+b ）的值是________．（2）在线段AB 上取一点P ，使AP ：PB=1：4，则AP ：AB=_____，AB ：PB=_______．（3）若5：2=（3-x ）：x ，则x=_______ 【仿练】1．如果a=15cm ，b=10cm ，且b 是a 和c 的比例中项，则c=________． 2．已知（a-b ）：b=2：3，则a ：b=_______．3．在比例尺为1：2 700 000的海南地图上量得海口与三亚间的距离约为8cm ，则海口与三亚两城间的实际距离为________km例3 已知P 是线段AB 上一点，且AP ：PB=3：5，求AB ：PB 的值．【仿练】若点P 在线段AB 上，点Q 在线段AB 的延长线上，AB =10，23==BQ ΑQ BP AP ，求线段PQ 的长．例4 (1)已知x ∶y ∶z =3∶4∶5，①求zyx +的值； ②若x +y +z =6，求x 、y 、z .【仿练】已知实数x ，y ，z 满足x+y+z=0，3x-y+2z=0，则x ：y ：z=________．(2)已知a 、b 、c 是非零实数，且k cb a dd a b c d c a b d c b a =++=++=++=++，求k 的值．【仿练】如果k cb a dd b a c d c a b d c b a =++=++=++=++，试求k 的值．(3)若a 、b 、c 是非零实数，并满足ac b a b c b a c c b a ++-=+-=-+，且a b c a c c b b a x ))()((+++=，求x 的值.【仿练】已知实数a ,b ,c 满足cb a b ac a c b +=+=+,求a cb +的值.例5 如图，若点P 是AB 的黄金分割点，则线段A P 、PB 、AB 满足关系式________，即AP 是________与________的比例中项.三、课堂练习1、如果53=-b b a ,那么b a =________.2、若a =2,b =3,c =33,则a 、b 、c 的第四比例项d 为________.3、若753z y x ==,则zy x z y x -++-=________. 4、已知dcb c=,则下列式子中正确的是（） A.a ∶b =c 2∶d 2 B.a ∶d =c ∶bC.a ∶b =（a +c ）∶（b +d ）D.a ∶b =（a －d ）∶（b －d ）5、如图，已知直角三角形的两条直角边长的比为a ∶b =1∶2,其斜边长为 45 cm ，那么这个三角形的面积是________cm 2.（）A.32B.16C.8D.46、若875c b a ==,且3a －2b +c =3,则2a +4b －3c 的值是（）A.14B.42C.7D.3147、如图，等腰梯形ABCD 的周长是104 cm ，AD ∥BC ，且AD ∶AB ∶BC =2∶3∶5，则这个梯形的中位线的长是________.cm.（）A.72.8B.51C.36.4D.288、已知四条线段a 、b 、c 、d 的长度，试判断它们是否成比例？（1）a =16 cm ，b =8 cm ，c =5 cm ，d =10 cm ；（2）a =8 cm ，b =5 cm ，c =6 cm ，d =10 cm ． 9、若65432+==+c b a ,且2a －b +3c =21，试求a ∶b ∶c ．10、已知线段AB=a ，在线段AB 上有一点C ，若AC=a 253-，则点C 是线段AB 的黄金分割点吗？为什么？四、课后作业1.等边三角形的一边与这边上的高的比是( )A.3∶2B.3∶1C.2∶3D.1∶32.下列各组中的四条线段成比例的是( )A.a =2，b =3，c =2，d =3B.a =4，b =6，c =5，d =10C.a =2，b =5，c =23，d =15D.a =2，b =3，c =4，d =13.已知线段a 、b 、c 、d 满足ab =cd ，把它改写成比例式，错误的是( )A.a ∶d =c ∶bB.a ∶b =c ∶dC.d ∶a =b ∶cD.a ∶c =d ∶b 4.若ac =bd ，则下列各式一定成立的是( )A.dc b a = B.c cb d d a +=+ C.cd ba =22D.da cd ab = 5.已知点M 将线段AB 黄金分割(AM ＞BM )，则下列各式中不正确的是( )A.AM ∶BM =AB ∶AMB.AM =215-AB C.BM =215-AB D.AM ≈0.618AB 6.在1∶500000的地图上，A 、B 两地的距离是64 cm ，则这两地间的实际距离是________. 7.正方形ABCD 的一边与其对角线的比等于________. 8.若2x －5y =0，则y ∶x =________，xyx +=________. 9.若53=-b b a ，则b a =________.10.若AEACAD AB =，且AB =12，AC =3，AD =5，则AE =________. 11.已知342=+x y x ，求yx.12.以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连结PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF =PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上，如图。

黄金分割的三个公式短比整

黄金分割的三个公式短比整
黄金分割的三个公式是：黄金分割比例公式、黄金分割点公式和
黄金分割线公式。

1.黄金分割比例公式：黄金分割比例公式是指黄金分割的比值，
即将一条线段分为两段时，两段之比等于整条线段与较长一段之比。

用数学表示为a/b=b/(a+b)（a>b>0），其中a为较短的线段，b为较
长的线段。

该比例约等于1.618。

2.黄金分割点公式：黄金分割点公式是指根据黄金分割比例，确
定一个线段上的分割点。

设整条线段长度为L，较短线段长度为a，则
黄金分割点离起始点的距离为a/L=0.618。

3.黄金分割线公式：黄金分割线公式是指通过黄金分割点划出一
条线段，使得线段划分后的两段比例与原线段的比例相等。

设整条线
段长度为L，黄金分割点离起始点的距离为x，则划分线段的长度为
xL/L=0.618L。

黄金分割在数学、艺术和设计领域被广泛应用。

除了上述公式外，黄金分割还有一些其他衍生的应用，例如黄金矩形、黄金螺旋等。

黄
金分割的特性被认为具有美感和视觉上的和谐，因此常被用于设计画作、建筑等领域。

拓展应用包括金融市场中的价格分析、人体比例的研究等。

黄金分割公式和计算

黄金分割公式和计算嘿，说起黄金分割，这可是个相当有趣又神秘的数学概念呢！咱们先来讲讲黄金分割到底是啥。

简单说，就是把一条线段分成两部分，较长部分与整体线段的比值等于较短部分与较长部分的比值。

这个比值约等于 0.618，这就是神奇的黄金分割比例。

那黄金分割公式是怎么来的呢？假设整条线段的长度是 a，较长部分的长度是 x，较短部分的长度就是 a - x 。

按照黄金分割的定义，就有 x / a = (a - x) / x 。

经过一番推导和计算，就能得出黄金分割的公式啦。

给您举个例子哈，比如说有一个长方形，咱想让它看起来符合黄金分割的美感。

假设这个长方形的长是 a，宽是 b ，要是满足 b / a =0.618 ，那这个长方形看起来就会特别舒服、顺眼。

我记得有一次去参观一个艺术展览，里面有好多画作和雕塑。

其中有一幅画，它的构图就巧妙地运用了黄金分割。

画面中主体部分的位置和大小，与整个画面的比例刚好接近黄金分割比例。

当时我就站在那幅画前，仔仔细细地观察，越看越觉得那种比例的安排简直太妙了。

整幅画的重心恰到好处，元素的分布既平衡又富有动感，让人的视线不自觉地就被吸引住，而且停留很久都不觉得腻。

再来说说在建筑中的黄金分割。

有些著名的建筑，比如古希腊的帕特农神庙，它的很多尺寸比例都接近黄金分割。

还有巴黎的埃菲尔铁塔，从某些角度去看，它的结构比例也蕴含着黄金分割的奥秘。

咱们在日常生活中也能发现黄金分割的影子。

比如拍照的时候，把主要的景物放在画面大约 0.618 的位置，拍出来的照片往往会更好看。

计算黄金分割也不难。

如果已知线段的长度是 10 厘米，要求出黄金分割点的位置，那就可以设较长部分的长度是 x 厘米，根据公式就有 x / 10 = (10 - x) / x ，通过解方程就能算出 x 的值啦。

总之，黄金分割这个概念虽然听起来有点神秘，但其实就在咱们身边，而且通过简单的公式和计算，咱们就能发现和运用它带来的美妙和神奇。

人教版初三数学归纳总结笔记-比例线段与黄金分割

⼀⽐例及⽐例线段是系年103888488加2A B58101连地连等设k法⽅法iCcikbiksk⻮⼒⼆灵⼗成⼆Ík64i了红⽓b⼆号⼆华ai bi C当i j i I6i4i381215x y z2345-81215i b⼆4k ci5kat b t E Nk224k-2以设a c-2k o a 6b8C10a t b7k20c b k3040ABC为直⻆三⻆形i o_o30得a3k⼆⽐例及⽐例线段1基本性质⼀吐⾎2个⼭动加11-8a48-y xty It动⼗⼆038⼆可加td另⼆号718⼏⼗⼏1⼏⼗1m t I18⼏⼗m8mntfmtn2tn8mnt8ntmtmllmtuj mtElmtnjlm nsim tnim⼗⼏⼆7年216冲①1为⽐例中项14⽐12a②a为⽐例中次i⼼从4a2③4为⽐例中项i和k a a16-2-186万吃A CBD751-16-8⼒动-601加3加上0Xi3倽加22合⽐性质b彘了等地性质i台⼆柒⼆年⼆章⼆千⼆步⼆三故原⾮主城1 datbtbtctl.tnfatbtc.HR⼆zlatbat btc to k2at btc⼆0k其⼆1丝55 4千⼆为千⼆千⼆k年⼆k 团箱性质有abtbzctz34⼆⼈⼆9k则以23k b21k源或是c ˇˇˇ1aty lt会mbtdm⼀⼆1⼗号mㄡi元fi a bjt三⻩⾦分割a railA l p B不妨设AB l AT则叩⼆1-ai f答N1-a any⼆0u-12㐀或a严倽1x XH 器器型f l titiXX 步骤0作的中垂线交1扔于川点②延⻓AB⾄17点使131213川③作MD中重线截⽐⼆BM④连AC截CH⼆CB⑤在AB上截取那⼆AH60下结论如图点P即为所求Bi d设A Bi2K则⾮你顺A P BPB⼆A BPA13万⽔器⽿器等76⽶x-型281万-1120⼒1万11X201万-D x20-8-errors 加30-10万p吓6mD1C a2lb aslb cjxlb ailb aJIb a xlb ayxib ailb aj xlb ajli51-XX4-10X⼆⼗等加⼆严倒四⻩⾦三⻆形1定义若⼀个三⻆形以底和膀之地为⻩⾦分割地则称这个三⻆形为⻩⾦三⻆形A器型AB CB C器型D0136OCD NBC360 BCE.li3CD.oABDOAECOABC72072036张36A器⼆兵D Z⼆⼗㐙36l i Tx360噐⼆架piABPBGSnpisrPBABI.SI⼆名不1-1匹C1BE⼆吓⼆厅箭⼆箭⼋⽉下洲⼆所i tl为AB⻩⾦分割点ig i AH TBH AB即952五平⾏线分线段成⽐例B器等⼀吓冷z13⾄ˇˇ11器ˇ12毙⼆千⾏43⼈杀了⼆⽅⼒38解得xgi.BE2。

八年级数学讲义比例线段与黄金分割

比例线段与黄金分割知识提要： 1.比例线段①概念：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段. ②比例线段中的相关概念已知四条线段a 、b 、c 、d ，如果ab=cd(a∶b＝c∶d)，那么a 、b 、c 、d 叫做组成比例的项.线段a 、d 叫做比例外项，线段b 、c 叫做比例内项，线段d 叫做a 、b 、c 的第四比例项.如果作为比例内项是两条相同的线段，即a∶b＝b∶c，那么线段b 叫做线段a 、c 的比例中项. 2．比例性质若dcb a =，则ad=bc 反比性质若d c b a =，则c da b =更比性质若d c b a =，则d bc a =合比性质若d c b a =，则ddc b b a +=+等比性质若nm f e d c b a ==== ，则n m f e d c b a n f d b m e c a =====++++++++（其中0≠++++n f d b ）。

3.黄金分割：把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，(AC ＞BC)，且使AC 是AB 和BC 的比例中线，叫做把线段AB 黄金分割，C 点叫做线段AB 的黄金分割点.常规题型1．已知线段4a cm =，5b cm =，6c cm =。

（1）求,a b 的比例中项。

（2）求,,a c b 的第四比例项。

2.在1∶500000的地图上，A 、B 两地的距离是64 cm ，则这两地间的实际距离是________.3.已知点M 将线段AB 黄金分割(AM ＞BM )，则下列各式中不正确的是( )A.AM ∶BM =AB ∶AMB.AM =215-ABC.BM =215-AB D.AM ≈0.618AB典型例题例1．已知：a cb d =，求证:.a bcd a b c d++=--同步练习：已知：5y-4x ＝0，求(x+y)∶(x -y) 例2．若34a b =，32b c =，45c d =，则22ac b d +等于多少？例3．已知x∶y∶z＝１∶３∶５.求的值.例4．如果0z ≠，且475x y z =+，2x y z +=，求::x y z 之值。

比例线段和黄金分割

比例线段和黄金分割一．比例线段：[基本概念]比例:如果两个数的比值与另两个数的比值相等，就说这四个数成比例。

比例的基本性质：如果a/b=c/d，那么ad=bc；如果ad=bc，且bd≠0，那么a/ b=c/d；如果a/b=c/d，那么(a+b)/b=(c+d)/d。

比例线段：1.两条线段的长度比叫做这两条线段的比。

2.在同一单位下，四条线段长度为a、b、c、d，其关系为a:b=c:d，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

3.一般的，如果三个数a,b,c满足比例式a:b=b:c,则b就叫做a,c的比例中项。

4.d为第四比例项。

若a:b=c:d(b.d≠0)，则有1）ad=bc2）b:a=d:c （a.c≠0）3）a:c=b:d ; c:a=d:b4）(a+b):b=(c+d):d5）a:(a+b)=c:(c+d) ( a+b≠0,c+d≠0)6）(a-b):(a+b)=(c-d):(c+d) ( a+b≠0,c+d≠0)二．黄金分割：介绍把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。

其比值是5^/2-1/2或二分之根号五减一，取其前三位数字的近似值是0.618。

另一侧则是3-5^/2。

由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。

这是一个十分有趣的数字，我们以0.618来近似，通过简单的计算就可以发现：1/0.618=1.618(1-0.618)/0.618=0.618这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用。

让我们首先从一个数列开始，它的前面两个数是：1、1，后面的每个数都是它前面的两个数之和。

例如：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…..这个数列的名字叫做“斐波那契数列”，这些数被称为“斐波那契数”。

斐波那契数列与黄金分割有什么关系呢？经研究发现，相邻两个菲波那契数的比值是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比的。

数学相似三角形的知识点归纳

数学相似三角形的知识点归纳数学相似三角形的知识点归纳数学是人们认识自然、认识社会的重要工具。

它是一门古老而崭新的科学，是整个科学技术的基础。

随着社会的发展、时代的变化，以及信息技术的发展，数学在社会各个方面的应用越来越广泛，作用越来越重要。

以下是店铺整理的数学相似三角形的知识点归纳，希望帮助到您。

数学相似三角形的知识点归纳篇1本章有以下几个主要内容：一、比例线段1、线段比，2、成比例线段，3、比例中项————黄金分割，4、比例的性质：基本性质；合比性质；等比性质（1）线段比：用同一长度单位度量两条线段a，b，把他们长度的比叫做这两条线段的比。

（2）比例线段：在四条线段a，b，c，d中，如果线段a，b的比等于线段c，d的比，那么，这四条线段叫做成比例线段。

简称比例线段。

（3）比例中项：如果a：b=b：c，那么b叫做a，c的比例中项（4）黄金分割：把一条线段分成两条线段，如果较长线段是全线段和较短线段的比例中项，那么这种分割叫做黄金分割。

这个点叫做黄金分割点。

顶角是36度的等腰三角形叫做黄金三角形宽和长的比等于黄金数的矩形叫做黄金矩形。

（5）比例的性质基本性质：内项积等于外项积。

（比例=====等积）。

主要作用：计算。

合比性质，主要作用：比例的互相转化。

等比性质，在使用时注意成立的条件。

二、相似三角形的判定平行线等分线段——————平行线分线段成比例————————平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所截线段对应成比例——————（预备定理）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，所截三角形与原三角形相似——————相似三角形的判定：类比于全等三角形的判定。

三、相似三角形的性质1、定义：相似三角形对应角相等对应边成比例。

2、相似三角形对应线段（对应角平分线、对应中线、对应高等）的比等于相似比3、相似三角形周长的比等于相似比4、相似三角形面积的比等于相似比的平方四、图形的位似变换1、几何变换：平移，旋转，轴对称，相似变换2、相似变换：把一个图形变成另一个图形，并保持形状不变的几何变换叫做相似变换。

黄金分割比例公式

.
黄金分割律,又名黄金率,即把已知线段分成两部分,使其中一部分对于全部的比等于其余一部分对于这部分的比.最基本的公式就是把1分割成0.618与0.382,尔后再依据实际情况变化,再演变成其他的计算公式.
黄金分割律是公元前六世纪,希腊的大数学家毕达哥拉斯发现的.它的基本内容可以这样解释：如果把一条线段分成两部分,长段和短段的长度之比是1:0.618,整条线段和长段的比也是1:0.618时,才是和黄金一样最完美的分割,进行分割的这个点就叫黄金分割点.
计算公式(5^0.5-1)/2＝(2.236-1)/2=0.618
.。

初二下第7讲-比例线段、黄金分割

第7讲：相似形（一）专题一比例线段一、知识梳理1、两条线段的比：同一长度单位下两条线段长度的比叫两条线段的比。

求线段的比例时要把两条线段化为（注两条线段的比没有单位），并要注意其；成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，若，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段，如果a ∶b=c ∶d （或ac b =2），则b 叫做a 、c 的比例中项。

2、比例线段的性质：（1）比例的基本性质：如果 b a = d c ，那么。

若b a = c b，即 __，则称ｂ是ａ,ｃ的（2）比例的更比性质：如果d c b a =，那么d b c a =。

（3）比例的反比性质：如果d c b a =，那么cda b =。

（4）比例的合、分比性质：如果 b a = d c，那么。

（5）、比例的等比性质：如果 b a = d c …=nm（b+d+…+n ≠0），那么。

二、重难点高效突破线段的比与成比例线段例1、线段a=5cm,b=0.3m.则ba=____ 例2、已知四条线段a ，b ，c ，d 的长度，试判断它们是否是成比例线段。

（1） a =8，b=4，c=2.5，d=5；（２）a=16，b=0.1，c=1.2 d=20；例3、已知1，5，5三个数，再添一个数，使之能与已知的三个数组成比例式，这个数应该是_____例4、AB 两地相距320km ，那么在比例尺1∶20,000,000的地图上，它们相距________cm.例5、小颖测得2m 高的标杆在太阳下的影长为1.2m ，同时又测得一棵树的影长为3.6m ，这棵树的高度为___________.例6.（1）已知;,3d d c b b a d c b a ++==和求（2）如果成立吗？为什么？那么为常数）ddc b b a k kd c b a +=+==,(（3）已知线段a=2,b=3,c=7,d 是a 、b 、c 的第四比例项，则d=_________。

初中数学知识归纳比例线段的计算及应用

初中数学知识归纳比例线段的计算及应用在初中数学学习中，比例和线段是重要的概念之一。

通过学习比例线段的计算和应用，我们能够解决实际生活中的许多问题，如测量、绘图和设计等。

本文将归纳总结初中数学中关于比例线段的相关知识，并探讨其实际应用。

一、比例线段的定义和计算比例线段指的是在一条直线上，两个线段的比例与其他两个线段的比例相等的情况。

比例线段的计算涉及到两个主要的概念：黄金分割和相似三角形。

1. 黄金分割：黄金分割是指一条线段分成两部分时，较长部分与整条线段的比例等于较短部分与较长部分的比例。

黄金分割的比例大约是1：0.618或0.618：1。

2. 相似三角形：相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。

在相似三角形中，对应的边长之比等于对应的角度边之比。

在计算比例线段时，我们可以通过这些概念来推导和应用相关的公式。

比如，当我们已知两个线段的比例和其中一个线段的长度时，可以利用比例运算求解另一个线段的长度。

二、比例线段的应用比例线段的应用广泛存在于我们的日常生活中。

以下是一些常见的应用情况：1. 测量：在实际测量中，我们经常需要计算未知长度的线段。

比例线段的计算方法可以帮助我们准确地测量各种物体的长度，如建筑物、道路和地图等。

通过测量线段的比例，我们可以根据已知长度推导出未知长度。

2. 绘图：比例线段在绘图中也有重要的应用。

例如，我们在绘制地图或蓝图时需要按照比例缩放或放大。

通过计算比例线段，我们可以根据真实尺寸的物体，按照指定的比例进行绘制，确保绘制结果的准确和真实性。

3. 设计：在设计中，比例线段的应用可以帮助我们确定物体的比例和比例关系，从而在设计中保持准确和平衡的感觉。

比如，在室内设计中，我们可以通过比例线段计算家具的大小和放置位置，以确保整个空间的美观和协调。

除了以上应用，比例线段在其他领域也有广泛的应用，如金融投资、股票交易和地理测量等。

通过掌握比例线段的计算和应用，我们可以更好地解决各种实际问题。

黄金分割知识总结

黄金分割知识总结
黄金分割是一个数学术语，它是指将一个线段分成两部分，使得其中一部分与原线段的比例等于另一部分与这部分的比例。

这个比例被认为是最美的比例之一，因此在艺术、建筑、设计等领域中得到了广泛的应用。

黄金分割的数学表达式为：较长线段是较短线段与原线段的比例中项。

在黄金分割中，较长线段和较短线段的长度可以通过以下公式计算：
较长线段= (√5 + 1) / 2 * 原线段
较短线段= 原线段- 较长线段
黄金分割在数学中有很多有趣的性质和应用。

它与斐波那契数列有着密切的联系，因为斐波那契数列中的任何一个数字都可以表示为前两个数字之和。

斐波那契数列在自然界中也有很多奇妙的应用，例如植物的花瓣排列和动物的生长周期等。

此外，黄金分割还被广泛应用于艺术、建筑和设计等领域。

例如，在建筑中，黄金分割被用来确定窗户、门和建筑物线条的位置和大小，以使建筑物看起来更加协调和美观。

在绘画和摄影中，黄金分割也被用来确定构图和画面布局的最佳位置。

总之，黄金分割是一个非常有趣和有用的数学概念，它不仅在数学中有广泛的应用，还在艺术、建筑和设计等领域中发挥着重要的作用。

黄金分割线段公式(二)

黄金分割线段公式(二)黄金分割线段公式在数学和美学领域中，黄金分割线段公式是一种重要的比例关系。

这个公式是由著名的古希腊数学家欧几里得首次提出，被广泛应用于绘画、设计和建筑等领域。

黄金分割线段公式可以用于美学上的比例构图，使得作品更加平衡和谐。

下面是关于黄金分割线段公式的相关公式和解释。

1. 黄金分割比例黄金分割比例，也被称为黄金比例或黄金分割比，是指将一段物体分成两部分，使得整体与较大部分之间的比例等于较大部分与较小部分之间的比例。

公式表示如下：a /b = (a+b) / a = φ其中，a 代表较大部分，b 代表较小部分，φ 表示黄金分割比例，约等于。

例如，一根长度为 100 厘米的木棒，我们可以按照黄金分割比例将其分为厘米和厘米两部分。

2. 黄金分割线段黄金分割线段是一条将一段线段分成黄金分割比例的线。

根据黄金分割比例的定义，我们可以得到以下公式：(a + b) / a = a / b通过移项和化简，我们可以得到黄金分割线段的公式：a^2 = a * b + b^2这个公式可以用来计算黄金分割线段的长度。

例如，如果我们知道较大部分 a 的长度为 8 厘米，我们可以通过计算来确定较小部分 b 的长度：8^2 = 8 * b + b^264 = 9b + b^2b^2 + 9b - 64 = 0解这个二次方程可以得到 b 的值，进而确定黄金分割线段的长度。

3. 应用举例：黄金矩形黄金矩形是指长边和短边的比等于黄金分割比例的矩形。

根据黄金分割比例的定义，我们可以得到以下关系：长边 / 短边= φ黄金矩形具有很多美学特征，常常被用于画框、海报、广告和网页设计等领域。

黄金分割比例的使用可以带来视觉上的平衡和谐。

例如，一个黄金矩形的长边为 100 厘米，则其短边的长度为 100 / φ ≈ 厘米。

4. 应用举例：黄金螺旋黄金螺旋是一种特殊的螺旋曲线，其种子半径与黄金分割比例的关系可以用以下公式表示：r(n) = r0 * φ^n其中，r(n) 是第 n 个螺旋圈的半径，r0 是种子半径，φ 是黄金分割比例。

八年级黄金分割知识点

八年级黄金分割知识点黄金分割是一种数学现象，是一种比例关系，它的比例为1:1.618。

黄金分割在建筑、美术、音乐等各个领域中都有着广泛的应用。

在学习黄金分割的知识点时，以下内容是必须了解的。

1. 黄金分割比例黄金分割比例是1:1.618，这个比例可以通过简单的数学计算得出。

黄金分割比例非常重要，因为它在各个领域中都被广泛应用，例如在美术中，一幅画的黄金分割点通常在画面的正中央，这样可以使画面更加和谐、自然。

2. 黄金矩形黄金矩形是指长宽比为黄金分割比例的矩形。

黄金矩形具有美学上的完美性质，因为它看起来非常和谐、自然。

许多古代文化和建筑都使用了黄金矩形，例如埃及的金字塔，罗马的巴塞利卡大教堂，以及中国的绘画艺术中，山水画就有着很多使用黄金矩形的例子。

3. 黄金螺旋黄金螺旋是指一个螺旋线，它的转角角度精确为137.5度，这个数值是黄金分割比例的倒数。

黄金螺旋也是自然界中的一种常见现象，例如贝壳、蜗牛壳、旋涡等。

黄金螺旋不仅美观，而且它的形态还具有很多有趣的数学性质，例如黄金螺旋的长度会呈现逐渐增长的趋势，同时黄金螺旋的周长与直径之比也是黄金分割比例。

4. 黄金交叉点黄金交叉点是指黄金矩形中的两条对角线相交的点。

黄金交叉点在技术分析的股票市场中也有广泛的应用，因为黄金交叉点通常代表着市场趋势的转折点。

此外，黄金交叉点也被广泛运用在建筑设计、景观规划等众多领域中，因为它能够让设计更加和谐、美观。

5. 黄金分割数列黄金分割数列是指一串由1和1.618依次组成的数列。

黄金分割数列也是一种非常有趣的数学现象，因为这个数列呈现了很多深奥的数学性质，例如每个数与它之前的数的比例都接近黄金分割比例。

此外，黄金分割数列还具有很多应用，例如在计算机科学中，黄金分割数列可以被用来优化搜索算法，提高计算效率。

综上所述，黄金分割是一种非常有趣的数学现象，在许多领域中都具有广泛的应用。

了解黄金分割的知识点，可以让我们更好地欣赏和理解我们周围的美，同时也可以帮助我们更好地应用黄金分割的原理，设计出更加美观、和谐的产品和作品。

比例线段黄金分割相似三角形

学科教师辅导讲义六．三角形重心的定义：证（解）题规律、辅助线1．“等积”变“比例”，“比例”找“相似”。

2．找相似找不到，找中间比。

方法：将等式左右两边的比表示出来。

⑴)(,为中间比nm n m d c n m b a == ⑵'',,n n nm d c n m b a === ⑶),(,''''''nm n m n n m m n m d c n m b a =====或 3．添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。

4．对比例问题，常用处理方法是将“一份”看着k;对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为k 。

5．对于复杂的几何图形，采用将部分需要的图形（或基本图形）“抽”出来的办法处理。

例题分析：例1：如图 4－85． AB ⊥于l. CD ⊥l 于 C,E 为 AD 中点．求证：△EBC 是等腰三角形．例2：如图4－86，CB ⊥AB ，DA ⊥AB ，M 为CD 中点．求证：∠MAB ＝∠MBA ．例3：若25a c eb d f ===，求ac bd --，234234a ce b df +-+-4.已知：如图20□AB C D 中E 为AD 的中点，AF ：AB =1：6，EF 与AC 交于M 。

求：AM ：AC 。

5.已知：E 是正方形ABCD 的AB 边延长线上一点，DE 交CB 于M ，MN ∥AE ，求证：MN =MB6、已知线段AB 长为1cm ，P 是AB 的黄金分割点，则线段PA= ;7、已知：M 是线段AB 的黄金分割点，AM>BM. 求证：AMAB AB AB AM =+。

比例线段与黄金分割

比例线段与黄金分割【知识要点】 1．线段的比（（1）定义：在同一单位下，丙条线段长度的比叫做这两条线段的比定义：在同一单位下，丙条线段长度的比叫做这两条线段的比注意：①计算两条线段的比时，长度单位必须一致注意：①计算两条线段的比时，长度单位必须一致注意：①计算两条线段的比时，长度单位必须一致②在同一单位下，线段的比与选用的长度单位无关②在同一单位下，线段的比与选用的长度单位无关②在同一单位下，线段的比与选用的长度单位无关③线段的比是一个没有单位的正数③线段的比是一个没有单位的正数③线段的比是一个没有单位的正数（2）比例尺：比例尺＝图上距离：实际距离比例尺：比例尺＝图上距离：实际距离2．比例线段的概念定义：在四条线段中，如果两条线段的比等于另两条线段的比，那么这四条线段叫做定义：在四条线段中，如果两条线段的比等于另两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

比例线段，简称比例线段。

注意：①四条线段注意：①四条线段d c b a ,,,成比例，记作d c b a ::=②四条线段成比例，要顺次写出来②四条线段成比例，要顺次写出来②四条线段成比例，要顺次写出来3．比例的性质①比例的基本性质：d b bd ad d c b a ,(=Û=都不为0）②更比性质：ïïïîïïïíì===Þ=a bc d ac bd d bc ad c b a ③反比性质：cd a b d c b a =Þ= ④合比性质：ïïîïïíì-=-+=+Þ=d d c b b a d d c b b a d c b a ⑤ 等比性质：如果()0¹+++===m d b n m d c b a ，那么b a n d b m c a =++++++ 4. 黄金分割概念：若点C 把线段AB 分成两条线段AC AC、、BC (AC BC (AC＞＞BC)BC)，若，若ACBC AB AC =，我们称线段AB 被点C 黄金分割，黄金分割，C C 点为该条线段的黄金分割点，较短线段与较长线段（或较长线段与原线段）的比叫做黄金比÷÷øöççèæ»-618.0215。

初二数学比例线段与黄金分割

比例线段与黄金分割【知识清单】aac1．把的值叫做线段a,b的比，若，则称线段a,b,c,d成比例线段。

bbdac2．a:b c:d ad bc，其中a,b,c,d分别叫第一、第二、第三、第四比例项，a,d称为bd外项，b,c称为内项；外项的积等于内项的积。

3．图上距离1，我们称为比例尺，进行有关比例尺的计算时，要注意统一单位实际距离nacacbd ad bc；②反比性质：； bdbdacacabaca bc b ③更比性质：；④合比性质：；bdbdbdca4．比例性质：①基本性质：⑤等比性质：aa a2ana1a2a3a n，则1 1b1b2b3bnb1b2bnb15．比例中项：若b ac，则称b是ac的比例中项6．若点P分线段AB得到较长线段是较短线段和整条线段的比例中项，则称点P 是线段AB的黄金分割点；7．2较长线段较短线段151,叫做黄金比值。

整条线段较长线段22【典型例题】34x y例1、已知 = ，求 yxx例2、已知例3如图所示，以长为2的线段AB五边作正方形ABCD，取AB得中点P，链接PD，在BA的延长线上取点F，使PF = PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上。

（1）求AM、DM的长； F E（2）求证：AM= AD×DM（3）根据（2）的结论你能找出图中的黄金分割点吗？ MB C 2 eac3 = = = ，b + d + f 50，求a + c + e = . fbd5例1．下列各组中的四条线段成比例的是( )A.a=2，b=3，c=2，d=B.a=4，b=6，c=5，d=10C.a=2，b=，c=23，d=D.a=2，b=3，c=4，d=1例2. 已知线段a、b、c、d满足ab =cd，把它改写成比例式，错误的是( )A.a∶d=c∶bB.a∶b=c∶dC.d∶a=b∶cD.a∶c=d∶b例3. 若a=2,b=3,c=33,则a、b、c的第四比例项d为________例4. 若ac=bd，则下列各式一定成立的是( ) acA. bd例5. 已知 a2da db cB. C.2cbdc D.aba cddac,则下列式子中正确的是（） bd22A. a∶b=c∶d B. a∶d=c∶bC. a∶b=（a+c）∶（b+d）D. a∶b=（a－d）∶（b－d）例6．已知a:b:c2:4:5，且2a b3a6，求3a b2c的值。