1.走进美妙的数学世界(含答案)-

1.走进美妙的数学世界

知识纵横

从蛮荒时代的结绳计数到现代通讯和信息时代神奇的数学,•人类任何时候都受到数学的恩惠和影响,数学科学是人类长期以来研究数、•量的关系和空间形式而形成的庞大科学体系.

走进美妙的数学世界,我们将一起走进崭新的“代数”世界，•不断扩充的数系、奇妙的字母表示数、威力巨大的方程、不等式模型、运动变化的函数观念；

走进美妙的数学世界，我们将一起走进丰富的“图形”世界，拼剪、折叠、平移、旋转，在操作与实验活动中，发现这些图形的奇妙的性质，用它们设计精美的图案；

走进美妙的数学世界，我们将畅游在无边的“数据”世界，从图表中获取信息，并选择合适的图表来表达数据和信息；

走进美妙的数学世界，它将开阔我们的视野，它提醒我们有无形的灵魂，它改变我们的思维方式，它涤尽我们的蒙昧与无知。

诺贝尔奖获得者、著名物理学家杨振宇说：“我赞美数学的优美和力量，它有战术的机巧与灵活，又有战略上的雄才远虑，而且，奇迹的奇迹，它的一些美妙概念竟是支配物理世界的基本结构。”

例题求解

【例1】(1)我们平常用的数是十进制数,如2639=2×103+6×102+3×10+9,表示十进制的数要用10个数的数码(又叫数字):0,1,2,3……9,在电子计算机中用的是二进制,只要两个数码0和1,如二进制中101=1×22+0×21+1等于十进制的数5,•那么二进制中的1101等于十进制的数_________. (2001年浙江省金华市中考题)

(2)探究数学“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，•吸引力强，任何物体到了它那里都别想再“爬”出来，无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”，满足某种条件的所有数，通过一种运算，都能被它吸进去，无一能逃脱它的魔掌，譬如：任意找一个３的倍数的数，先把这个数的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数，然后把这个新数的每一个数位上数字再立方、求和……，重复运算下去，就能得到一个固定的数T=__________,•我们称之为数字“黑洞”。(2003年青岛市中考题) 思路点拨 (1)从阅读中可知，无论何种进制的数都可表示与数位上的数字、•进制值有关联的和的形式;(2)从一个具体的数操作,发现规律.

解：(1)13;(2)153.

【例2】A、B、C、D、E、F六个足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天时，•统计出A、B、C、D、E五队已分别比赛了5、4、3、2、1场球，则还没有与B•队比赛的球队是( )

A.C队

B.D队

C.E队

D.F队 (第18届江苏省竞赛题)

思路点拨: 用算术或代数方法解,易陷入困境.用6个点表示A、B、C、D、E、•F这6个足球队，若两队已经赛过一场，就在相应的两个点之间连一条线，•这样用图来辅助解题，形象而直观。

解：选C.

【例3】校教具制造车间有等腰直角三角形、正方形、•平行四边形三种废塑料板若干，数学兴趣小组的同学利用其中７块，恰好拼成了一个矩形(如图①)。后来，又用它们分别标出Ｘ、Ｙ、Ｚ等字母模型(如图②，图③，图④)，如果每块塑料板保持图①的标号不变，请你参与：

(1)将图②中每块塑料板对应的标号填上去;

(2)图③中,只画出了标号7的塑料板位置,请你适当画线,找出其他6块塑料板,•并填上标号;

(3)在图④中,请你适当画线,找出7块塑料板,并填上标号.(2002年烟台市中考题)

思路点拨动手实验、操作，从对图形分割入手。

解：

【例4】根据图①和图②回答问题：

图①1997年高新技术产业工业图②2000年高新技术产业工业总产值的分布情况总产值的分布情况

(1)1997年与2000年相比,产值比重减少最多的是哪个产业?

(2)假定2000年光机电一体化的产值是1997年的2倍,那么2000•年高新技术产业工业总产值比1997年增长率是多少?

(3)2000年与1997年相比高新技术产业生产值总额增加最多的是哪个产业?

(2003年中央国家机关公务员录用考试行政职业能力倾向试卷试题) 思路点拨从给定的扇形统计图表中获取信息,•须注意的是扇形统计图表示的是某一部分占总体的百分比(或称某一部分的比重),因此,需要引入字母表示某种产值的具体数额,计算推理判断.

解:(1)生物及医药制品.

(2)设1997年的总产值为x,则2000年的总产值比1997年的增长率为

(2x·11.94%÷14.59%-x)÷x·100%=64%

(3)假设1997年和2000年的总产值分别为a和b,某种产业的产值在这两年中的比重分别为全年的x%和y%,则这种产品的产值额的增加量可表示为

b·y%-a·x%=(b-a)y%+a(y%-x%),

将每种产业相应的x和y代入式中可得电子信息产业的产值增加最多.

【例5】一个四位数,这个四位数与它的各位数字之和是1999,求这个四位数,并说明理由. (重庆市竞赛题)

思路点拨设所求的四位数为abcd,由题意可得关于a、b、c、d的一个等式,运用估算、讨论、枚举等方法，分别求出a、b、c、d的值。

解:提示:设这个四位数为abcd,依题意得:

1000a+100b+10c+d+a+b+c+d=1999,即1001a+101b+11c+2d=1999.

(1)显然a=1,否则,1001a>2000,得101b+11c+2d=998

(2)因为11c+2d的最大值为99+18=117,故101b≥998-117=881,有b=9,

则11c+2d=998-909=89.

(3)由于0≤2d≤18,则89-18=71≤11c≤89,故c=7或c=8.

当c=7时,11c+2d=77+2d=89,有d=6;

当c=8时,11c+2d=88+2d=89,有d=1

2

(舍去)

故这个四位数是1976.