(初中)解直角三角形复习课件ppt资料
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A
b
1.两锐角之间的关系:
∠A+∠B=900
解 直 角 三 角 形
2.三边之间的关系:
Ｂ
c a
Ａ
a +b =c
2 2
2
b
Ｃ
sinA＝
cosA＝ 3.边角之间 的关系
a
c b c
a b
tanA＝
概念反馈
在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念
（1）仰角和俯角
（2）坡度
i＝
视线 铅 垂 线 仰角 水平线
BD=160海里＜200海里
北
(2)为避免受到台风的影响, 该船应在多少小时内卸完货物? AC= 160 3 120 B
160 3 120 40 4 3 3 3 . 8 小时
160
D
120 200 320
C
60°
A
课堂小结
1 、理解锐角三角形函数的概念及特殊角的 三角函数的值； 2 、会由已知锐角求它的三角函数，由已知 三角函数值求它对应的锐角 ；
A是锐角 ，且
令a=4k, 则c=5k(k>0) b 3 co sA= = ,t anA= c 5
点评：由于三角函数是边之间 的比，因此利用我们熟知的按 比例设为参数比的形式来求解， 是处理直角三角形问题的常用 方法。
解直角三角形
☆ 考点范例解析
1.锐角三角函数的概念关系 2.求特殊角的三角函数值 3.互余或同角的三角函数关系 4.解直角三角形
余弦cosα
1 2
3
正切tanα
1
1.互余两角三角函数关系: 0 1.SinA=cos（90 -A）
0 2.cosA=sin（90 -A）
2.同角三角函数关系:
2 2 1.sin A+cos A=1
sin A 2 . tan A cos A
锐角三角函数的概念
☆ 考点范例解析
1.锐角三角函数的概念关系
∵ ∠NBA= 60˚， ∠N1BA= 30˚， ∴ ∠ABC=30˚， ∠ACD= 60˚， N1 A N
3 3
在Rt△ADC中， CD=AD•tan30=
在Rt△ADB中， BD=AD•tan60˚= ∵ BD-CD=BC,BC=24 ∴ ∴ X=12
3x
3
x
3x
3 3
x 24
D
C
B
≈12×1.732 =20.784 > 20
解析：令a=3,b=4则c=5,sinA=3/5, sinB=4/5且∠ A ≠∠ B，易知 （1）（3）都不对，故选 B）
用构造特殊的直角三角形来否定某些 关系式，是解决选择题的常用方法
特殊角的三角函数值
☆ 考点范例解析
1.锐角三角函数的概念关系 2.求特殊角的三角函数值 A）锐角三角形 B）直角三角形
4. 计算： sin
2
45 -
1 2
3 -2006
2
0 +
6tan30
解：原式=( = 1 2
2 2 -
wenku.baidu.com
) 1 2 +2
1 2
1+6 3 =2 3
3 3
点评 融特殊角的三角函数值，简单 的无理方程的计算以及数的零次幂的 意义于一体是中考命题率极高的题型 之一
互余或同角的三角函数
☆ 考点范例解析
3 ．会运用三角函数解决与直角三角形有关 的简单实际问题。
思考：如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰 角为60° ，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为 45° ，已知OA=100米，山坡坡 度为
1 2
，（即tan∠PAB=
1 2
）且O、A、B在同一
条直线上。求电视塔OC的高度以及所在位置点P的铅直 高度.（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号形式）
h l
=tan
α
俯角
北
α为坡角
视线
h α
A
（3）方位角
西
30°
l
B
O 45°
南
东
例1：山坡上种树，要求株距（相临两树间的水平
距离）是5.5米，测的斜坡倾斜角是30º ，求斜坡上相 邻两树间的坡面距离是多少米（精确到0.1米）
B 30º 解： 在Rt△ABC中 A
C
5.5米
∴
cosA=AC/AB AB=AC/cosA
8.如图小正方形的边长为1，连 结小正方形的三个顶点得到 ABC，则AC边上是的高（ ）
A) B) C) D) 3 2 3 10 3 5 4 5 2 5 5
A
C
B
5
点评：作BC边上的高，利用 面积公式即可求出AC边的高， 面积法是解决此类问题的有 效途径
解直角三角形的应用
☆ 考点范例解析
1.锐角三角函数的概念关系 2.求特殊角的三角函数值 3.互余或同角的三角函数关系 4.解直角三角形 5.解直角三角形的应用
1.锐角三角函数的概念关系 2.求特殊角的三角函数值 3.互余或同角的三角函数关系 5.下列式中不正确的是（C ）
A)co s35
=sin55
B) sin 2 60 + co s 2 60 =1 C)sin30 +co s30 =1 D)tan45 >sin45
点评：应用互余的三角函数关系 进行正弦与余弦的互化，并了解 同一个锐角的三角函数关系，能 运用其关系进行简单的转化运算， 才能解决这类问题。
C 山坡
45°P 60°
O A E B 水平地面
请观察：小山的高为h，为了测的小山顶上铁塔AB 的高x，在平地上选择一点P, 在P点处测得B点的 仰角为a, A点的仰角为B.(见表中测量目标图）
题目 测 量 目 标 测量山顶铁塔的高 A B X
h
a B
P 山高BC 仰角a 仰角B C h=150米 a=45º B=30º
3.如果 那么 cosA-0.5 ABC是（ ）? + 3 tanB- 3 =0,
C
C）等边三角形
D）钝角三角形
解：根据非负数的性质，由已知得 1 cosA= ,t anB= 3 则 A= B=60 2
特殊角的三角函数值
☆ 考点范例解析
1.锐角三角函数的概念关系 2.求特殊角的三角函数值
互余或同角的三角函数
☆ 考点范例解析
1.锐角三角函数的概念关系 2.求特殊角的三角函数值 3.互余或同角的三角函数关系
6 在ABC中∠C=90°化简下面的式子
1-2sinAcosA
7 在ABC中∠C=90°且
1 sinA + 1 tanA =5
求cosA的值
点评：利用互余或同角的三角函 数关系的相关结论是解决这类问 题的关键
A
1 2
D N
B
3
M
C
点评：此题是创新综合题，要求我们对图形及其 变换有较深刻的理解，并运用图形对称性和解直 角三角形知识或勾股定理建立等式求解。
什么是解直角三角形？
由直角三角形中除直角外的已知 元素，求未知元素的过程，叫做解 直角三角形.
B
a
C
如图：Rt△ABC中， ∠C=900，则其余的5个元素 c 之间关系？
13m.
C
图7-3-4
例4、一艘船由A港沿北偏东600方向航行10km至B 港，然后再沿北偏西300方向10km方向至C港，求 (1)A,C两港之间的距离(结果精确到0.1km); (2)确定C港在A港什么方向. M N Ｃ 14 . 1 km 答（1） 10 (2) 北偏东１５°
10
Ｂ
A
例 5.如图，海岛A四周20海里周围内为暗礁区，一艘货轮由 东向西航行，在B处见岛A在北偏西60˚，航行24海里到C，见 岛A在北偏西30˚，货轮继续向西航行，有无触礁的危险？ 解：过点A作AD⊥BC于D,设AD=x
9.如图某人站在楼顶观测对面的笔直
的旗杆AB，已知观测点C到旗杆的 距离（即CE的长）为8米，测得旗 杆顶 的仰角∠ECA为30°旗杆底 部的俯角∠ECB为45 °则旗杆AB 的高度是（ ）米
解：如图在Rt ACE和Rt BCE中 ACE=30 ，EC=8 点评：此题属于解直角三角形的 AE EB 基本应用题 测量问题，要明确 — tan ACE= ,t an ECB= EC 仰角和俯角，然后数形结合直接 EC 8 3 . 从图形出发解直角三角形 即AE=8tan30 EB=8tan45 AE+EB=( 8+ = 3 3 3 =8 8 )米.
例：如图,某货船以20海里/时的速度将一批重要物资 由A处运往正西方向的B处,经16小时的航行到达,到达 后必须立即卸货.此时,接到气象部门通知,一台风正以 40海里/时的速度由A向北偏西60°方向移动.距台风中 心200海里的圆形区域(包括边界)均会受到影响. (1)问:B处是否受到台风的 影响?请说明理由.
≈6.4（米） 答：斜坡上相邻两树间的坡面距离是6.4米。
例2 ： (北京市)如图所示，B、C是河对岸的两点， A是对岸岸边一点，测量∠ABC=45°，∠ACB=30°， 21.96 BC=60米，则点A到BC的距离是 米。（精确到0.01 米）
图7-3-3
450 300
D
例3. 如图所示，某地下车库的入口处有斜坡AB，其坡 度i=1∶1.5，且AB=
A E C
B
D
12）如图，一张长方形的纸片ABCD，其长AD为a，宽AB 为b(a>b) ，在BC边上选取一点M，将ABM沿着AM翻折 后，B至N的位置，若N为长方形纸片ABCD的对称中心， 求a/b的值。
解：如图连 结NC，由已知 得， ABM 1= 2，MN AN， 又N是长方 形ABCD的对称 中心? ? A，N，C共线，且N是对角 线AC的中点 ， 即AN=NC AM=MC，则 2= 3， 在Rt ABC中 1+ 2+ 3=90 a 3=30 ， =co t30 = 3 b ANM
解直角三角形
☆ 考点范例解析
1.锐角三角函数的概念关系 2.求特殊角的三角函数值 3.互余或同角的三角函数关系 4.解直角三角形
7.在Rt
ABC中，
C=90 ,si nA=
4 5
,
求cosA,tanA, 的值.
解? C=90
sinA= a c
4 5 =
º 4 5 b=3k a 4 = . b 3
∴ a ﹕ b=sinA/sinB = 2/3
抓住三角函数的定义是解题的 关键
锐角三角函数的概念
☆ 考点范例解析
1.锐角三角函数的概念关系
2 在ABC中∠A≠ ∠ B，∠C=90°则下 列结论正确的是（ ） (1) sinA>sinB (2) sin² A+sin² B=1 (3) sinA=sinB (4) 若各边长都扩大为原来的2倍，则tanA 也扩大为原来的2倍 A)(1)(3) C)(2)(4) B)(2) D)(1)(2)(3)
∠A的邻边 斜边
A ∠A的邻边
C
∠A的对边 ∠A的邻边
1.锐角A的正弦、余弦、和正切统称∠A的三角函数
2.∠A的取值范围是什么?sinA ，cosA与tanA的取值范围又 如何？
特殊角的三角函数值表
三角函数 锐角α 正弦sinα
300
1 2
3 2
3 3
450
2 2 2 2
600
3 2
要能记 住有多 好
复习课
三角函数定义
定义 函数值 互余关系 函数关系
解 直 角 三 角 形
锐角三 角函数
特殊角的三角函数值 互余两角三角函数关系 同角三角函数关系
两锐角之间的关系
解直角 三角形
三边之间的关系 边角之间的关系
定 义
斜边
注意：三角函数的定义，必须在直角三角形中. B
∠A的对边
斜边
sinA
∠A的对边
cosA tanA
答：货轮无触礁危险。
1、本节例题学习以后，我们可以得到解直角三角 形的两种基本图形：
A A
B
D
C
B
C
D
2.(1) 把实际问题转化成数学问题，这个转化为两 个方面：一是将实际问题的图形转化为几何图形， 画出正确的平面或截面示意图，二是将已知条件 转化为示意图中的边、角或它们之间的关系.
(2)把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示意图不是 直角三角形，可添加适当的辅助线，画出直角三角形.
已 知 数 据
知识象一艘船 让它载着我们 驶向理想的……
敬 请 指 导
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1）在RtABC中，∠C=90°BC=a，AC=b 若sinA ﹕ sinB = 2 ﹕3，求a ﹕b的值 解法1 设AB=c由三角函数的定义得： sinA ﹕sinB=a/c ﹕b/c=a ﹕b
∴ a ﹕ b = 2/3
解法2 由三角函数的定义得：
a=csinA, b=csinB, a/b=csinA/csinB
b
1.两锐角之间的关系:
∠A+∠B=900
解 直 角 三 角 形
2.三边之间的关系:
Ｂ
c a
Ａ
a +b =c
2 2
2
b
Ｃ
sinA＝
cosA＝ 3.边角之间 的关系
a
c b c
a b
tanA＝
概念反馈
在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念
（1）仰角和俯角
（2）坡度
i＝
视线 铅 垂 线 仰角 水平线
BD=160海里＜200海里
北
(2)为避免受到台风的影响, 该船应在多少小时内卸完货物? AC= 160 3 120 B
160 3 120 40 4 3 3 3 . 8 小时
160
D
120 200 320
C
60°
A
课堂小结
1 、理解锐角三角形函数的概念及特殊角的 三角函数的值； 2 、会由已知锐角求它的三角函数，由已知 三角函数值求它对应的锐角 ；
A是锐角 ，且
令a=4k, 则c=5k(k>0) b 3 co sA= = ,t anA= c 5
点评：由于三角函数是边之间 的比，因此利用我们熟知的按 比例设为参数比的形式来求解， 是处理直角三角形问题的常用 方法。
解直角三角形
☆ 考点范例解析
1.锐角三角函数的概念关系 2.求特殊角的三角函数值 3.互余或同角的三角函数关系 4.解直角三角形
余弦cosα
1 2
3
正切tanα
1
1.互余两角三角函数关系: 0 1.SinA=cos（90 -A）
0 2.cosA=sin（90 -A）
2.同角三角函数关系:
2 2 1.sin A+cos A=1
sin A 2 . tan A cos A
锐角三角函数的概念
☆ 考点范例解析
1.锐角三角函数的概念关系
∵ ∠NBA= 60˚， ∠N1BA= 30˚， ∴ ∠ABC=30˚， ∠ACD= 60˚， N1 A N
3 3
在Rt△ADC中， CD=AD•tan30=
在Rt△ADB中， BD=AD•tan60˚= ∵ BD-CD=BC,BC=24 ∴ ∴ X=12
3x
3
x
3x
3 3
x 24
D
C
B
≈12×1.732 =20.784 > 20
解析：令a=3,b=4则c=5,sinA=3/5, sinB=4/5且∠ A ≠∠ B，易知 （1）（3）都不对，故选 B）
用构造特殊的直角三角形来否定某些 关系式，是解决选择题的常用方法
特殊角的三角函数值
☆ 考点范例解析
1.锐角三角函数的概念关系 2.求特殊角的三角函数值 A）锐角三角形 B）直角三角形
4. 计算： sin
2
45 -
1 2
3 -2006
2
0 +
6tan30
解：原式=( = 1 2
2 2 -
wenku.baidu.com
) 1 2 +2
1 2
1+6 3 =2 3
3 3
点评 融特殊角的三角函数值，简单 的无理方程的计算以及数的零次幂的 意义于一体是中考命题率极高的题型 之一
互余或同角的三角函数
☆ 考点范例解析
3 ．会运用三角函数解决与直角三角形有关 的简单实际问题。
思考：如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰 角为60° ，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为 45° ，已知OA=100米，山坡坡 度为
1 2
，（即tan∠PAB=
1 2
）且O、A、B在同一
条直线上。求电视塔OC的高度以及所在位置点P的铅直 高度.（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号形式）
h l
=tan
α
俯角
北
α为坡角
视线
h α
A
（3）方位角
西
30°
l
B
O 45°
南
东
例1：山坡上种树，要求株距（相临两树间的水平
距离）是5.5米，测的斜坡倾斜角是30º ，求斜坡上相 邻两树间的坡面距离是多少米（精确到0.1米）
B 30º 解： 在Rt△ABC中 A
C
5.5米
∴
cosA=AC/AB AB=AC/cosA
8.如图小正方形的边长为1，连 结小正方形的三个顶点得到 ABC，则AC边上是的高（ ）
A) B) C) D) 3 2 3 10 3 5 4 5 2 5 5
A
C
B
5
点评：作BC边上的高，利用 面积公式即可求出AC边的高， 面积法是解决此类问题的有 效途径
解直角三角形的应用
☆ 考点范例解析
1.锐角三角函数的概念关系 2.求特殊角的三角函数值 3.互余或同角的三角函数关系 4.解直角三角形 5.解直角三角形的应用
1.锐角三角函数的概念关系 2.求特殊角的三角函数值 3.互余或同角的三角函数关系 5.下列式中不正确的是（C ）
A)co s35
=sin55
B) sin 2 60 + co s 2 60 =1 C)sin30 +co s30 =1 D)tan45 >sin45
点评：应用互余的三角函数关系 进行正弦与余弦的互化，并了解 同一个锐角的三角函数关系，能 运用其关系进行简单的转化运算， 才能解决这类问题。
C 山坡
45°P 60°
O A E B 水平地面
请观察：小山的高为h，为了测的小山顶上铁塔AB 的高x，在平地上选择一点P, 在P点处测得B点的 仰角为a, A点的仰角为B.(见表中测量目标图）
题目 测 量 目 标 测量山顶铁塔的高 A B X
h
a B
P 山高BC 仰角a 仰角B C h=150米 a=45º B=30º
3.如果 那么 cosA-0.5 ABC是（ ）? + 3 tanB- 3 =0,
C
C）等边三角形
D）钝角三角形
解：根据非负数的性质，由已知得 1 cosA= ,t anB= 3 则 A= B=60 2
特殊角的三角函数值
☆ 考点范例解析
1.锐角三角函数的概念关系 2.求特殊角的三角函数值
互余或同角的三角函数
☆ 考点范例解析
1.锐角三角函数的概念关系 2.求特殊角的三角函数值 3.互余或同角的三角函数关系
6 在ABC中∠C=90°化简下面的式子
1-2sinAcosA
7 在ABC中∠C=90°且
1 sinA + 1 tanA =5
求cosA的值
点评：利用互余或同角的三角函 数关系的相关结论是解决这类问 题的关键
A
1 2
D N
B
3
M
C
点评：此题是创新综合题，要求我们对图形及其 变换有较深刻的理解，并运用图形对称性和解直 角三角形知识或勾股定理建立等式求解。
什么是解直角三角形？
由直角三角形中除直角外的已知 元素，求未知元素的过程，叫做解 直角三角形.
B
a
C
如图：Rt△ABC中， ∠C=900，则其余的5个元素 c 之间关系？
13m.
C
图7-3-4
例4、一艘船由A港沿北偏东600方向航行10km至B 港，然后再沿北偏西300方向10km方向至C港，求 (1)A,C两港之间的距离(结果精确到0.1km); (2)确定C港在A港什么方向. M N Ｃ 14 . 1 km 答（1） 10 (2) 北偏东１５°
10
Ｂ
A
例 5.如图，海岛A四周20海里周围内为暗礁区，一艘货轮由 东向西航行，在B处见岛A在北偏西60˚，航行24海里到C，见 岛A在北偏西30˚，货轮继续向西航行，有无触礁的危险？ 解：过点A作AD⊥BC于D,设AD=x
9.如图某人站在楼顶观测对面的笔直
的旗杆AB，已知观测点C到旗杆的 距离（即CE的长）为8米，测得旗 杆顶 的仰角∠ECA为30°旗杆底 部的俯角∠ECB为45 °则旗杆AB 的高度是（ ）米
解：如图在Rt ACE和Rt BCE中 ACE=30 ，EC=8 点评：此题属于解直角三角形的 AE EB 基本应用题 测量问题，要明确 — tan ACE= ,t an ECB= EC 仰角和俯角，然后数形结合直接 EC 8 3 . 从图形出发解直角三角形 即AE=8tan30 EB=8tan45 AE+EB=( 8+ = 3 3 3 =8 8 )米.
例：如图,某货船以20海里/时的速度将一批重要物资 由A处运往正西方向的B处,经16小时的航行到达,到达 后必须立即卸货.此时,接到气象部门通知,一台风正以 40海里/时的速度由A向北偏西60°方向移动.距台风中 心200海里的圆形区域(包括边界)均会受到影响. (1)问:B处是否受到台风的 影响?请说明理由.
≈6.4（米） 答：斜坡上相邻两树间的坡面距离是6.4米。
例2 ： (北京市)如图所示，B、C是河对岸的两点， A是对岸岸边一点，测量∠ABC=45°，∠ACB=30°， 21.96 BC=60米，则点A到BC的距离是 米。（精确到0.01 米）
图7-3-3
450 300
D
例3. 如图所示，某地下车库的入口处有斜坡AB，其坡 度i=1∶1.5，且AB=
A E C
B
D
12）如图，一张长方形的纸片ABCD，其长AD为a，宽AB 为b(a>b) ，在BC边上选取一点M，将ABM沿着AM翻折 后，B至N的位置，若N为长方形纸片ABCD的对称中心， 求a/b的值。
解：如图连 结NC，由已知 得， ABM 1= 2，MN AN， 又N是长方 形ABCD的对称 中心? ? A，N，C共线，且N是对角 线AC的中点 ， 即AN=NC AM=MC，则 2= 3， 在Rt ABC中 1+ 2+ 3=90 a 3=30 ， =co t30 = 3 b ANM
解直角三角形
☆ 考点范例解析
1.锐角三角函数的概念关系 2.求特殊角的三角函数值 3.互余或同角的三角函数关系 4.解直角三角形
7.在Rt
ABC中，
C=90 ,si nA=
4 5
,
求cosA,tanA, 的值.
解? C=90
sinA= a c
4 5 =
º 4 5 b=3k a 4 = . b 3
∴ a ﹕ b=sinA/sinB = 2/3
抓住三角函数的定义是解题的 关键
锐角三角函数的概念
☆ 考点范例解析
1.锐角三角函数的概念关系
2 在ABC中∠A≠ ∠ B，∠C=90°则下 列结论正确的是（ ） (1) sinA>sinB (2) sin² A+sin² B=1 (3) sinA=sinB (4) 若各边长都扩大为原来的2倍，则tanA 也扩大为原来的2倍 A)(1)(3) C)(2)(4) B)(2) D)(1)(2)(3)
∠A的邻边 斜边
A ∠A的邻边
C
∠A的对边 ∠A的邻边
1.锐角A的正弦、余弦、和正切统称∠A的三角函数
2.∠A的取值范围是什么?sinA ，cosA与tanA的取值范围又 如何？
特殊角的三角函数值表
三角函数 锐角α 正弦sinα
300
1 2
3 2
3 3
450
2 2 2 2
600
3 2
要能记 住有多 好
复习课
三角函数定义
定义 函数值 互余关系 函数关系
解 直 角 三 角 形
锐角三 角函数
特殊角的三角函数值 互余两角三角函数关系 同角三角函数关系
两锐角之间的关系
解直角 三角形
三边之间的关系 边角之间的关系
定 义
斜边
注意：三角函数的定义，必须在直角三角形中. B
∠A的对边
斜边
sinA
∠A的对边
cosA tanA
答：货轮无触礁危险。
1、本节例题学习以后，我们可以得到解直角三角 形的两种基本图形：
A A
B
D
C
B
C
D
2.(1) 把实际问题转化成数学问题，这个转化为两 个方面：一是将实际问题的图形转化为几何图形， 画出正确的平面或截面示意图，二是将已知条件 转化为示意图中的边、角或它们之间的关系.
(2)把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示意图不是 直角三角形，可添加适当的辅助线，画出直角三角形.
已 知 数 据
知识象一艘船 让它载着我们 驶向理想的……
敬 请 指 导
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1）在RtABC中，∠C=90°BC=a，AC=b 若sinA ﹕ sinB = 2 ﹕3，求a ﹕b的值 解法1 设AB=c由三角函数的定义得： sinA ﹕sinB=a/c ﹕b/c=a ﹕b
∴ a ﹕ b = 2/3
解法2 由三角函数的定义得：
a=csinA, b=csinB, a/b=csinA/csinB