人教九年级下册数学-利用方位角、坡度解直角三角形教案与教学反思
人教版数学九年级下册28 第3课时 利用方位角、坡度角解直角三角形
►走进颐和园，眼前是繁华的苏州街，现在依稀可以想象到当年的热闹场 面，苏州街围着一片湖，沿着河岸有许多小绿盘子里装着美丽的荷花。这 里是仿照江南水乡--苏州而建的买卖街。当年有古玩店、绸缎店、点心铺 等，店铺中的店员都是太监、宫女妆扮的，皇帝游览的时候才营业。我正 享受着皇帝的待遇，店里的小贩都在卖力的吆喝着。 ►走近一看，我立刻被这美丽的荷花吸引住了，一片片绿油油的荷叶层层 叠叠地挤在水面上，是我不由得想起杨万里接天莲叶无穷碧这一句诗。荷 叶上滚动着几颗水珠，真像一粒粒珍珠，亮晶希望对您有帮助，谢谢 晶的。 它们有时聚成一颗大水珠，骨碌一下滑进水里，真像一个顽皮的孩子！
B
A
C
如何用数量来刻画哪条路陡呢？
新课讲解
1. 坡角 坡面与水平面的夹角叫做坡角，
坡面
记作 α .
i= h : l
h
α
2. 坡度 (或坡比) 如图所示，坡面的铅垂高度 (h) 和水 平长度 (l) 的比叫做坡面的坡度 (或坡 比)，记作i， 即 i = h : l .
l 水平面
坡度通常写成 1∶m的形式，如i=1∶6.
向上，航行半小时后到达B处，此时观测到灯塔M
在北偏东30°方向上，那么该船继续航行到达离灯
塔距离最近的位置所需的时间是
(B)
A. 10分钟 B. 15分钟 C. 20分钟 D. 25分钟
随堂即练
3. 如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的 北偏西40°方向，则从C岛看A，B两岛的视角 ∠ACB等于 90° ．
答案：点B和点C的水平
距离为
40
20 3
3
米.
AD 30°
B
C
随堂即练
1. 如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1 : 3，坝高
初中九年级数学下册《方位角》教案及反思
初中九年级数学下册《方位角》教案及反思一、教学目标1.了解方位角的含义，掌握方位角的计算方法。
2.能够用方位角表示地理位置及移动方向。
3.培养学生的空间想象力和计算能力。
二、教学重难点1.方位角的含义和计算方法。
2.如何将方位角应用于实际问题中。
三、教学内容1.方位角的概念和计算方法。
2.应用方位角进行定位和导航。
3.应用方位角解决实际问题。
四、教学过程1. 感知新知识•展示一张地图，让学生观察地图上的标志物并将其用简单的语言描述出来，引导学生思考方位角的概念。
2. 知识点讲解•向学生简要介绍方位角的概念和计算方法（以顺时针夹角为正方向）。
•分别讲解“绝对角”和“相对角”两个概念，并通过实例让学生理解两者的区别。
3. 练习题解析•指导学生完成练习题，同时解答他们在练习中遇到的问题。
•根据学生的反应情况，加深他们对方位角的理解。
4. 实践应用•引导学生应用方位角进行定位和导航。
•给学生提供一些有趣的情景（如游戏场景、旅行场景等），让他们尝试使用方位角解决问题。
5. 总结回顾•向学生提出反思问题，引导他们对本节课所学习的知识进行总结回顾。
•对在学习过程中遇到的疑惑和问题进行解答。
五、教学反思本节课采用了启发式教学方法，通过展示地图和实际应用等方式激发学生的兴趣，使他们更加容易理解和掌握方位角这一难点知识。
在教学中，学生的理解和反应都非常积极，他们也能够通过课上练习解决一些实际问题，达到了预期的教学目标。
在教学过程中，也发现了一些不足之处。
例如，部分学生在初次接触到方位角时理解上有些困难，需要教师多次解释和演示。
在讲解“绝对角”和“相对角”这两个概念时，也需要教师更加清晰地阐述两者的区别。
总的来说，本节课的教学效果较为良好，但也需要将不足之处纳入后续的教学计划中，不断改进教学方法，提高教学质量。
部审人教版九年级数学下册教学设计28.2.2 第3课时《利用方位角、坡度解直角三角形》
部审人教版九年级数学下册教学设计28.2.2 第3课时《利用方位角、坡度解直角三角形》一. 教材分析人教版九年级数学下册第28.2.2节《利用方位角、坡度解直角三角形》是学生在学习了三角函数基础知识之后的一个实践应用部分。
本节内容通过实际问题引入方位角和坡度的概念，让学生了解在实际问题中如何利用三角函数知识解决问题。
教材通过实例分析，引导学生掌握利用方位角、坡度解直角三角形的方法，培养学生解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了初中阶段的三角函数知识，对直角三角形有一定的认识。
但是，将理论知识应用于实际问题解决中，特别是涉及到方位角和坡度的问题，对学生来说还是一个新的挑战。
因此，在教学过程中，需要教师引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生理解方位角、坡度的概念，掌握利用方位角、坡度解直角三角形的方法。
2.过程与方法：通过实际问题，培养学生解决实际问题的能力，提高学生的动手操作能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生积极思考、勇于探索的精神。
四. 教学重难点1.重点：方位角、坡度的概念及应用。
2.难点：如何将方位角、坡度与直角三角形相结合，解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、分组讨论法等，引导学生主动探究、合作交流，提高学生解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于引入方位角、坡度的概念。
2.准备一些图片或实物，用于展示直角三角形的应用。
3.分组讨论的素材，让学生在课堂上进行实践操作。
七. 教学过程1. 导入（5分钟）教师通过展示一些实际问题，如建筑工人测量高度、航海员确定船只位置等，引导学生思考如何利用数学知识解决这些问题。
让学生认识到方位角、坡度在实际生活中的重要性。
2. 呈现（10分钟）教师讲解方位角、坡度的概念，并通过实例解释其在实际问题中的应用。
同时，引导学生回顾直角三角形的知识，为后续解直角三角形打下基础。
人教版九年级数学下册 28.2.2 第3课时 利用方位角、坡度解直角三角形 教案2
28.2.2 应用举例第3课时利用方位角、坡度解直角三角形【学习目标】⑴使学生了解方位角的命名特点，能准确把握所指的方位角是指哪一个角⑵逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．⑶巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题．【学习重点】用三角函数有关知识解决方位角问题【学习难点】学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型【导学过程】一、自学提纲：坡度与坡角坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i表示。
即ｉ＝，常写成i=1：m的形式如i=1:2.5把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．结合图形思考，坡度i与坡角α之间具有什么关系？这一关系在实际问题中经常用到。
二、教师点拨：例5如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34方向上的B处.这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？例6同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图6-33水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)四、学生展示：完成课本77页练习补充练习(1)一段坡面的坡角为60°，则坡度i=______；______，坡角 ______度．2、利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图阴影部分是挖去部分)，已知渠道内坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC为0.5米，求：①横断面(等腰梯形)ABCD的面积；②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．五、课堂小结：六、作业设置：课本第78页习题28．2复习巩固第5、7题七、自我反思：本节课我的收获:。
人教版九年级数学下册《解直角三角形》教案及教学反思
人教版九年级数学下册《解直角三角形》教案及教学反思教学目标•掌握直角三角形的概念；•学会利用三角函数（sin、cos、tan）来解决直角三角形的相关问题。
教学重难点•直角三角形的定义及其特征；•正弦、余弦、正切函数的定义及适用范围；•如何在实际问题中运用三角函数来解决相关问题。
教学准备•课件及PPT；•直角三角形模型和三角函数表。
教学过程一、导入首先，教师可以通过小组讨论或者以实际问题为例引出四个角的概念及其分别对应的度数和弧度。
然后，引入三角形的概念，进而介绍直角三角形的定义及其特点。
二、讲解1.直角三角形的定义及其特征教师应先为学生解释什么是直角三角形，即有一个角度为90度的三角形。
然后介绍直角三角形的特征，包括其两条直角边的关系和勾股定理。
可以通过观看相关视频或图片来进一步帮助学生理解。
2.三角函数的定义及适用范围教师应首先介绍正弦函数的概念及其定义，即对于任意角度θ，正弦函数sin(θ)=对边/斜边。
然后讲解余弦函数和正切函数的概念及其定义，即cos(θ)=邻边/斜边，tan(θ)=对边/邻边。
教师还需向学生解释不同三角函数的适用范围，即正弦函数对应的是钝角和锐角，余弦函数对应的是钝角和直角，而正切函数对应的是锐角。
3.如何运用三角函数来解决相关问题教师应向学生阐明如何使用三角函数来解决相关的实际问题。
例如，在一个直角三角形中，已知一个角度和斜边的长度，学生应该如何求出其他两边的长度。
在这种情况下，学生可以使用sin、cos或tan函数来求解，根据给出的信息来判断使用相应的函数。
三、练习教师可以准备一些相关的练习题，让学生用刚刚学到的知识来解决问题，并在课堂上进行讲解和讨论。
可以在小组内进行练习或者进行个人练习，并在课后进行批改。
四、归纳总结在课堂结束之前，教师应再次强调直角三角形及其特征，以及正弦、余弦、正切函数的概念及其适用范围。
鼓励学生将刚才学到的知识总结起来，形成自己的笔记或文章。
解直角三角形应用题方位角 初中九年级初三数学教案教学设计教学反思 人教版
28.2.2教学目标：知识与技能：1、使学生了解方位角的特征，能准确表示出方位角。
2、巩固用三角函数及勾股定理有关知识解决实际问题，学会用方位角解决航海问题．过程与方法：通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力，体会解决问题的思维过程。
情感态度与价值观：渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．学会合作探究，提高学生的学习数学的兴趣。
教学重点、难点重点：用三角函数及勾股定理有关知识解决航海问题难点：学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型教学过程：一、复习旧知、引入新课【复习】1、创设情境，引入航海问题。
2、回顾方位角。
二、探索新知、分类应用【活动一】思考、船有触礁的危险吗？例1 海中有一个小岛A，它周围8千米内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东600方向上，航行12千米到达C点，这时测得小岛A 在北偏东300方向上。
如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？这个问题归结为:在Rt△ABC中,已知∠BAF= 60°,DB=12,∠DAF=300求出AF的长与8比较大小。
如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东650方向，80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P0方向上的B处，这时，B 处距离灯塔P有多远？（结果取整数）方法小结：利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（1）将实际问题抽象为数学问题；（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）（2）根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数或勾股定理解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）检验是否符合题意，得到实际问题的答案。
【探究活动二】思考1、一艘船自西向东航行，航行到什么位置时离小岛最近？为什么？垂线段最短【巩固训练】变式练习如图所示，A、B两城市相距200km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB)，经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P点为圆心，100km为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区?(参考数据：≈1.732，≈1.414)．三、归纳小结：1．把实际问题转化成数学问题：一是将实际问题的图形转化为几何图形，画出正确的平面示意图，二是将已知条件转化为示意图中的边或角或它们之间的关系.2．把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，构造直角三角形. A。
最新人教版初中数学九年级下册28.2《方位角、坡度、坡角》教案
最新⼈教版初中数学九年级下册28.2《⽅位⾓、坡度、坡⾓》教案⽅位⾓、坡度、坡⾓掌握⽅位⾓的定义及表⽰⽅法教学⽬标：重点：理解坡度、坡⽐等相关概念在实际问题中的含义难点：与⽅位⾓有关的实际问题1.掌握⽅位⾓的定义及表⽰⽅法指或指⽅向线与⽬标⽅向线所成的⼩于90°的⽔平⾓,叫⽅位⾓,如图,⽬标⽅向线OA、OB、OC、OD的⽅位⾓分别表⽰, , , .2.理解坡度、坡⽐等相关概念在实际问题中的含义(1)坡度、坡⽐①如图,我们把坡⾯的⾼度h和宽度l的⽐叫做坡度(或叫做坡⽐),⽤字母i表⽰,即i=.坡度⼀般写成1∶m的形式.②坡⾯与的夹⾓α叫做坡⾓,坡⾓与坡度之间的关系为i==tanα.(2)⽔平距离、垂直距离(铅直⾼度)、坡⾯距离如图, 代表⽔平距离, 代表铅直⾼度, 代表坡⾯距离.重点⼀:与⽅位⾓有关的实际问题解答与⽅位⾓有关的实际问题的⽅法(1)弄清航⾏中⽅位⾓的含义,根据题意画出图形,画图时要先确定⽅向标,把实际问题转化为数学问题是解题的关键所在.(2)船在海上航⾏,在平⾯上标出船的位置、灯塔或岸上某⽬标的位置,关键在于确定基准点.当船在航⾏时,基准点在转移,画图时要特别注意.1. (2013河北)如图,⼀艘海轮位于灯塔P的南偏东70°⽅向的M处,它以每⼩时40海⾥的速度向正北⽅向航⾏,2⼩时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处,则N处与灯塔P的距离为( )(A)40海⾥(B)60海⾥ (C)70海⾥(D)80海⾥2.(2013荆门)A、B两市相距150千⽶,分别从A、B处测得国家级风景区中⼼C处的⽅位⾓如图所⽰,风景区区域是以C为圆⼼,45千⽶为半径的圆,tan α=1.627,tan β=1.373.为了开发旅游,有关部门设计修建连接AB两市的⾼速公路.问连接AB的⾼速公路是否穿过风景区,请说明理由.3. 如图,A、B、C分别是三个岛上的点,点C在点A的北偏东47°⽅向,点B在点A的南偏东79°⽅向,且A、B两点的距离约为5.5 km;同时,点B在点C的南偏西36°⽅向.若⼀艘渔船以30 km/h的速度从点A驶向点C捕鱼,需要多长时间到达(结果保留⼩数点后两位)?(参考数据:sin 54°≈0.81,cos 54°≈0.59,tan 47°≈1.07,tan 36°≈0.73,tan 11°≈0.19)重点⼆:与坡度、坡⾓有关的实际问题(1)坡度是坡⾓的正切值,坡度越⼤,坡⾓也越⼤.(2)与坡度有关的问题常与⽔坝有关,即梯形问题,常⽤的⽅法⼀般是过上底的顶点作下底的垂线,构造直⾓三⾓形和矩形来求解.4.(2014丽⽔)如图,河坝横断⾯迎⽔坡AB的坡⽐是1∶(坡⽐是坡⾯的铅直⾼度BC与⽔平宽度AC之⽐),坝⾼BC=3 m,则坡⾯AB的长度是( )(A)9 m (B)6 m (C)6 m (D)3 m5. (2013安徽)如图,防洪⼤堤的横断⾯是梯形ABCD,其中AD∥BC,坡⾓α=60°.汛期来临前对其进⾏了加固,改造后的背⽔⾯坡⾓β=45°.若原坡长AB=20 m,求改造后的坡长AE.(结果保留根号)6.如图所⽰,某防洪指挥部发现长江边⼀处长500⽶,⾼10⽶,背⽔坡的坡⾓为45°的防洪⼤堤(横断⾯为梯形ABCD)急需加固.经调查论证,防洪指挥部专家组制定的加固⽅案是:沿背⽔坡⾯⽤⼟⽯进⾏加固,并使上底加宽3⽶,加固后背⽔坡EF的坡⽐i=1∶.(1)求加固后坝底增加的宽度AF;(2)求共需多少⽴⽅⽶⼟⽯进⾏加固.1. 河堤横断⾯如图所⽰,迎⽔坡AB的坡⽐为1∶(坡⽐是坡⾯的铅直⾼度BC与⽔平宽度AC之⽐),则坡⾓α为( )(A)30° (B)45° (C)50° (D)60°2.王英同学从A地沿北偏西60°⽅向⾛100 m 到B地,再从B地向正南⽅向⾛200 m到C地,此时王英同学离A地( )(A)150 m(B)50 m (C)100 m (D)100 m3.如图,先锋村准备在坡⾓为α的⼭坡上栽树,要求相邻两树之间的⽔平距离为5⽶,那么这两树在坡⾯上的距离AB为( )(A)5cos α(B)(C)5sin α(D)4.如图,将⼀个Rt△ABC形状的楔⼦从⽊桩的底端点P处沿⽔平⽅向打⼊⽊桩底下,使⽊桩向上运动,已知楔⼦斜⾯的倾斜⾓为20°,若楔⼦沿⽔平⽅向前移8 cm(如箭头所⽰),则⽊桩上升了( )(A)8tan 20° cm (B) cm(C)8sin 20° cm (D)8cos 20° cm5. (2013潍坊)如图,⼀渔船在海岛A南偏东20°⽅向的B处遇险,测得海岛A与B的距离为20海⾥,渔船将险情报告给位于A处的救援船后,沿北偏西80°⽅向向海岛C靠近.同时,从A处出发的救援船沿南偏西10°⽅向匀速航⾏.20分钟后,救援船在海岛C处恰好追上渔船,那么救援船航⾏的速度为( )(A)10海⾥/⼩时 (B)30海⾥/⼩时 (C)20海⾥/⼩时(D)30海⾥/⼩时6.在⼀次⾃助夏令营活动中,⼩明同学从营地A出发,要到A地的北偏东60°⽅向的C处,他先沿正东⽅向⾛了200 m到达B地,再沿北偏东30°⽅向⾛,恰能到达⽬的地C(如图),那么由此可知,B,C两地相距m.7. 如图所⽰,某公园⼊⼝处原有三级台阶,每级台阶⾼为18 cm,深为30 cm,为⽅便残疾⼈⼠,拟将台阶改为斜坡,设台阶的起点为A,斜坡的起始点为C,现设计斜坡BC的坡度i=1∶5,则AC的长度是cm.8. 如图所⽰,⼀渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°⽅向,这艘船以28海⾥/时的速度向正东航⾏,半⼩时到B处,在B处看见灯塔M在北偏东15°⽅向,此时灯塔与渔船的距离是海⾥.9. (2013湘西州)钓鱼岛⾃古以来就是中国的神圣领⼟,为宣誓主权,我海监船编队奉命在钓鱼岛附近海域进⾏维权活动,如图,⼀艘海监船以30海⾥/⼩时的速度向正北⽅向航⾏,海监船在A处时,测得钓鱼岛C在该船的北偏东30°⽅向上,航⾏半⼩时后,该船到达点B处,发现此时钓鱼岛C与该船距离最短.(1)请在图中作出该船在点B处的位置;(2)求钓鱼岛C到B处距离(结果保留根号).10.(2013新疆)如图所⽰,⼀条⾃西向东的观光⼤道l上有A、B两个景点,A、B相距2 km,在A处测得另⼀景点C位于点A的北偏东60°⽅向,在B处测得景点C位于景点B的北偏东45°⽅向,求景点C到观光⼤道l的距离(结果精确到0.1 km).11.(2013烟台)如图,⼀艘海上巡逻船在A地巡航,这时接到B地海上指挥中⼼紧急通知:在指挥中⼼北偏西60°⽅向的C地,有⼀艘渔船遇险,要求马上前去救援.此时C地位于A地北偏西30°⽅向上,A地位于B地北偏西75°⽅向上,A、B两地之间的距离为12海⾥.求A、C两地之间的距离(参考数据:≈1.41,≈1.73,≈2.45,结果精确到0.1).12.如图,马路的两边CF、DE互相平⾏,线段CD为⼈⾏横道,马路两侧的A、B两点分别表⽰车站和超市.CD与AB所在直线互相平⾏,且都与马路两边垂直,马路宽20⽶,A,B相距62⽶,∠A=67°,∠B=37°(1)求CD与AB之间的距离;(2)某⼈从车站A出发,沿折线A→D→C→B去超市B,求他沿折线A→D→C→B到达超市⽐直接横穿马路多⾛多少⽶参考数据:sin 67°≈,cos 67°≈,tan67°≈,si n 37°≈,cos 37°≈,tan 37°≈. 13.如图,公路AB为东西⾛向,在点A北偏东36.5°⽅向上,距离5千⽶处是村庄M;在点A北偏东53.5°⽅向上,距离10千⽶处是村庄N(参考数据:sin 36.5°=0.6,cos 36.5°=0.8, tan 36.5°=0.75).(1)求M,N两村之间的距离;(2)要在公路AB旁修建⼀个⼟特产收购站P,使得M,N两村到P站的距离之和最短,求这个最短距离.教学反思：。
人教版数学九年级下册28 解直角三角形及其应用教案与反思
28．2 解直角三角形及其应用人非圣贤，孰能无过？过而能改，善莫大焉。
《左传》原创不容易，【关注】店铺，不迷路！28．2.1 解直角三角形(第1课时)教学目标一、基本目标【知识与技能】1．了解什么叫解直角三角形．2．掌握解直角三角形的根据．3．能由已知条件解直角三角形．【过程与方法】在探索解直角三角形的过程中，渗透数形结合思想．【情感态度与价值观】在探究活动中，培养学生的合作交流意识，让学生在学习中感受成功的喜悦，增强学习数学的信心．二、重难点目标【教学重点】解直角三角形的方法．【教学难点】会将求非直角三角形中的边角问题转化为解直角三角形问题．教学过程环节1 自学提纲，生成问题【5min阅读】阅读教材P72～P73的内容，完成下面练习．【3min反馈】1．任何一个三角形都有六个元素，三条边、三个角，在直角三角形中，已知有一个角是直角，我们把利用已知的元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形.2．在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c.(1)两锐角互余，即∠A＋∠B＝90°；(2)三边满足勾股定理，即a2＋b2＝c2；(3)边与角关系sin A＝cos B＝ac，cos A＝sin B＝bc，tan A＝ab，tan B＝ba.3．Rt△ABC中，若∠C＝90°，sin A＝45，AB＝10，那么BC＝8，tan B＝34.环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】见教材P73例1.【例2】见教材P73例2.活动2 巩固练习(学生独学)1．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，如果a2＋b2＝c2，那么下列结论正确的是( A )A．c sin A＝a B．b cos B＝cC．a tan A＝b D．c tan B＝b2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，则AB的长为4 3.3．根据下列条件解直角三角形．(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，b＝4，c＝8；(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，a＝12.解：(1)a43，∠B＝30°，∠A＝60°.(2)∠B＝30°，b＝43，c＝8 3.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝122，试求CD的长．【互动探索】过点B作BM⊥FD于点M，求出BM与CM的长度，在△EFD中求出∠EDF＝60°，再解直角三角形即可．【解答】如题图，过点B作BM⊥FD于点M.在△ACB中，∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝122，∴BC＝AC＝12 2.∵AB∥CF，∴∠BCM＝∠CBA＝45°，∴BM＝BC sin45°＝122×22＝12，CM＝BM＝12.在△EFD中，∵∠F＝90°，∠E＝30°，∴∠EDF＝60°∴MD＝BMtan 60°＝43，∴CD＝CM－MD＝12－4(3).【互动总结】(学生总结，老师点评)解答此类题目的关键是根据题意构造直角三角形，然后利用所学的三角函数的关系进行解答．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)练习设计请完成本课时对练习！28．2.2应用举例第2课时利用仰角、俯角解直角三角形教学目标一、基本目标【知识与技能】1．能将直角三角形的知识与圆的知识结合起来解决问题．2．了解仰角、俯角等有关概念，会利用解直角三角形的知识解决有关仰角和俯角的实际问题．【过程与方法】通过探索用解直角三角形知识解决仰角、俯角等有关问题，经历将实际问题转化为数学问题的探究过程，提高应用数学知识解决际问题的能力．【情感态度与价值观】通过探索三角函数在实际问题中的应用，感受数学来源于生活又应用于生活以及勇于探索的创新精神．二、重难点目标【教学重点】利用解直角三角形解决有关仰角、俯角的实际问题．【教学难点】建立合适的三角形模型，解决实际问题．教学过程环节1 自学提纲，生成问题【5min阅读】阅读教材P74～P75的内容，完成下面练习．【3min反馈】1．在进行测量时，从下往上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.2．如图所示，在建筑物AB的底部a米远的C处，测得建筑物的顶端点A的仰角为α，则建筑物AB的高可表示为a tanα米．环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接．“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343km的圆形轨道上运行，如图所示，当组合体运行到地球表面点P的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与点P的距离是多少？(地球半径约为6400km，π取3.142，结果取整数)【温馨提示】详细分析与解答见教材P74例3.【例2】如图，热气球探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120m，这栋楼有多高(结果取整数)?【温馨提示】详细分析与解答见教材P75例4.活动2 巩固练习(学生独学)如图，为了测量河的宽度AB，测量人员在高21m的建筑物CD的顶端D处测得河岸B处的俯角为45°，测得河对岸A处的俯角为30°(A、B、C在同一条直线上)，则河的宽度AB约是多少？(精确到0.1m，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)解：由题易知，∠DAC＝∠EDA＝30°.∵在Rt△ACD中，CD＝21m，∴AC＝CDtan 30°＝2133＝213(m)．∵在Rt△BCD中，∠DBC＝45°，∴BC＝CD＝21m，∴AB＝AC－BC＝213－21≈15.3(m)．即河的宽度AB约是15.3m.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】如图，某大楼顶部有一旗杆AB，甲、乙两人分别在相距6米的C、D 两处测得点B和点A的仰角分别是42°和65°，且C、D、E在一条直线上．如果DE＝15米，求旗杆AB的长大约是多少米？(结果保留整数，参考数据：sin42°≈0.67，tan42°≈0.9，sin65°≈0.91，tan65°≈2.1)【互动探索】要求AB，先求出AE与BE→解直角三角形：Rt△ADE、Rt△BCE.【解答】在Rt△ADE中，∵∠ADE＝65°，DE＝15米，∴tan∠ADE＝AE DE，即tan65°＝AE15≈2.1，解得AE≈31.5米．在Rt△BCE中，∵∠BCE＝42°，CE＝CD＋DE＝6＋15＝21(米)，∴tan∠BCE＝BE CE，即tan42°＝BE21≈0.9，解得BE≈18.9米．∴AB＝AE－BE＝31.5－18.9≈13(米)．即旗杆AB的长大约是13米．【互动总结】(学生总结，老师点评)先分析图形，根据题意构造直角三角形，再解Rt△ADE、Rt△BCE，利用AB＝AE－BE即可求出答案．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)练习设计请完成本课时对应练习！第3课时利用坡度、方向角解直角三角形教学目标一、基本目标【知识与技能】1．能运用解直角三角形解决航行问题．2．能运用解直角三角形解决斜坡问题．3．理解坡度i＝坡面的铅直高度坡面的水平宽度＝坡角的正切值．【过程与方法】1．通过探究从实际问题中建立数学模型的过程，发展学生的抽象概括能力，提高应用数学知识解决实际问题的能力．2．通过将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素之间的关系，增强应用意识，体会数形结合思想的应用．【情感态度与价值观】在运用三角函数知识解决问题的过程中，认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点，体会数学的应用价值．二、重难点目标【教学重点】用三角函数有关知识解决方向角、坡度、坡角等有关问题．【教学难点】准确分析问题并将实际问题转化成数学模型．教学过程环节1 自学提纲，生成问题【5min阅读】阅读教材P76～P77的内容，完成下面练习．【3min 反馈】(一)方向角1．方向角是以观察点为中心(方向角的顶点)，以正北或正南为始边，旋转到观察目标的方向线所成的锐角，方向角也称象限角．2．如图，我们说点A 在O 的北偏东30°方向上，点B 在点O 的南偏西45°方向上，或者点B 在点O 的西南方向．(二)坡度、坡角1．坡度通常写成1∶m 的形式．坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i ＝h l＝tan α. 2．一斜坡的坡角为30°，则它的坡度为1∶ 3.(三)利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程1．将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题，也就是建立适当的函数模型)；2．根据条件的特点，适当选用锐角三角函数，运用解直角三角形的有关性质解直角三角形；3．得到数学问题的答案；4．得到实际问题的答案．环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)(一)解直角三角形，解决航海问题【例1】如图，海中一小岛A ，该岛四周10海里内有暗礁，今有货轮由西向东航行，开始在A 岛南偏西55°的B 处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C 处，之后，货轮继续向东航行，你认为货轮向东航行的途中会有触礁的危险吗？【互动探索】(引发学生思考)构造直角三角形→解直角三角形求出AD的长并与10海里比较→得出结论．【解答】如题图，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D.在Rt△ABD中，∵tan∠BAD＝BD AD ，∴BD＝AD·tan55°.在Rt△ACD中，∵tan∠CAD＝CD AD ，∴CD＝AD·tan25°.∵BD＝BC＋CD，∴AD·tan55°＝20＋AD·tan25°，∴AD＝20tan 55°－tan 25°≈20.79(海里)．而20.79海里>10海里，∴轮船继续向东行驶，不会遇到触礁危险．【互动总结】(学生总结，老师点评)解决本题的关键是将实际问题转化为直角三角形的问题，通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中解决．应先求出点A距BC的最近距离，若大于10海里则无危险，若小于或等于10海里则有危险．(二)解直角三角形，解决坡度、坡角问题【例2】如图，铁路路基的横断面是四边形ABCD，AD∥BC，路基顶宽BC＝9.8m，路基高BE＝5.8m，斜坡AB的坡度i＝1∶1.6，斜坡CD的坡度i′＝1∶2.5，求铁路路基下底宽AD的值(精确到0.1m)与斜坡的坡角α和β的值(精确到1°)．【互动探索】(引发学生思考)将坡度i＝1∶1.6和i′＝1∶2.5分别转化为正切三角函数→求出AE、DF的长→由AD＝AE＋EF＋DF求出AD的长→利用计算器求得坡角α和β的值．【解答】如题图，过点C作CF⊥AD于点F，则CF＝BE，EF＝BC，∠A＝α，∠D＝β.∵BE＝5.8m,i＝1∶1.6,i′＝1∶2.5，∴AE＝1.6×5.8＝9.28(m)，DF＝2.5×5.8＝14.5(m)，∴AD＝AE＋EF＋DF＝9.28＋9.8＋14.5≈33.6(m)．由tanα＝i＝1∶1.6，tanβ＝i′＝1∶2.5，得α≈32°，β≈22°.即铁路路基下底宽AB为33.6m，斜坡的坡角α和β分别为32°和22°.【互动总结】(学生总结，老师点评)利用坡度与坡角解决实际问题的关键是将坡度与坡角放入可解的直角三角形中，没有直角三角形一般要添加辅助线(垂线)构造直角三角形．活动2 巩固练习(学生独学)1．如图，防洪大坝的横断面是梯形，坝高AC为6米，背水坡AB的坡度i＝1∶2，则斜坡AB的长为65米．2．“村村通”公路工程拉近了城乡距离，加速了我区农村经济建设步伐．如图所示，C村村民欲修建一条水泥公路，将C村与区级公路相连．在公路A处测得C村在北偏东60°方向，沿区级公路前进500m，在B处测得C村在北偏东30°方向．为节约资源，要求所修公路长度最短，画出符合条件的公路示意图，并求出公路长度．(结果保留整数)解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足落在AB的延长线上，CD即为所修公路，CD的长度即为公路长度．在Rt△ACD中，根据题意，有∠CAD＝30°.∵tan∠CAD＝CD AD，∴AD＝CDtan 30°＝3C D.在Rt△CBD中，根据题意，有∠CBD＝60°.∵tan∠CBD＝CD BD，∴BD＝CDtan 60°＝33C D.又∵AD－BD＝500m，∴3CD－33CD＝500，解得CD≈433m.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】如图，小明于堤边A处垂钓，河堤AB的坡比为1∶3，坡长为3米，钓竿AC的倾斜角是60°，其长为6米，若钓竿AC与钓鱼线CD的夹角为60°，求浮漂D与河堤下端B之间的距离．【互动探索】将实际问题转化为几何问题→作辅助线，构造直角三角形→延长CA交DB延长线于点E，过点A作AF⊥EB→解直角三角形得AE长→得△CDE是等边三角形，DE＝CE＝AC＋AE→求得BD长．【解答】如图，延长CA交DB延长线于点E，过点A作AF⊥EB，交EB于点F，则∠CED＝60°.∵AB的坡比为1∶3，∴∠ABE＝30°，∴∠BAE ＝90°.∵AB ＝3米，∴AE ＝AB tan ∠ABE ＝3×33＝3(米)， ∴BE ＝2AE ＝23米．∵∠C ＝∠CED ＝60°，∴△CDE 是等边三角形．∵AC ＝6米，∴DE ＝CE ＝AC ＋AE ＝(6＋3)米，∴BD ＝DE －BE ＝6＋3－23＝(6－3)(米)．即浮漂D 与河堤下端B 之间的距离为(6－3)米．【互动总结】(学生总结，老师点评)本题既考查了解直角三角形，也考查了等边三角形的性质，根据已知条件构造出直角三角形及等边三角形是关键．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)⎩⎪⎨⎪⎧ 坡度与坡角⎩⎨⎧ 坡度的概念→通常写成比的形式坡角的概念→坡度越大，坡面就越陡方向角：指正北、正南方向线与目标方向线所形 成的角练习设计请完成本课时对应练习！【素材积累】 海明威和他的“硬汉形象”美国作家海明威是一个极具进取精神的硬汉子。
最新人教版初中数学九年级下册精品【教案】 用解直角三角形解方位角、坡角的应用
28.2.5 用解直角三角形解方位角、坡角的应用一、教学目标(一)知识与技能巩固直角三角形中锐角的三角函数，学会解关于方位角、坡度角和有关角度的问题．(二)过程与方法逐步培养学生分析问题解决问题的能力，进一步渗透数形结合的数学思想和方法．(三)情感态度与价值观培养学生用数学的意识；渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的辩证唯物主义观点．二、重、难点重点：能熟练运用有关三角函数知识．难点：解决实际问题．三、教学过程(一)明确目标讲评上课节课后作业(二)重点、难点的学习与目标完成过程教师出示例题．例1 如图，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5m，测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少(精确到0.1m)．分析：1．例题中出现许多术语——株距，倾斜角，这些概念学生未接触过，比较生疏，而株距概念又是学生易记错之处，因此教师最好准备教具：用木板钉成一斜坡，再在斜坡上钉几个铁钉，利用这种直观教具更容易说明术语，符合学生的思维特点．2．引导学生将实际问题转化为数学问题画出图形(上图(2))．已知：Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=5.5，∠A=24°，求AB．3．学生运用解直角三角形知识完全可以独立解决例1．教师可请一名同学上黑板做，其余同学在练习本上做，教师巡视．答：斜坡上相邻两树间的坡面距离约是6.0米．教师引导学生评价黑板上的解题过程，做到全体学生都掌握．例2 如图6-30，沿AC方向开山修渠，为了加快施工速度，要从小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=140°，BD=52cm，∠D=50°，那么开挖点E离D多远(精确到0.1m)，正好能使A、C、E成一条直线？这是实际施工中经常遇到的问题．应首先引导学生将实际问题转化为数学问题．由题目的已知条件，∠D=50°，∠ABD=140°，BD=520米，求DE为多少时，A、C、E在一条直线上。
人教版9下数学教案 与方向角、坡度有关的解直角三角形的应用
第2课时与方向角、坡度有关的解直角三角形的应用1．了解什么是方位角、坡度及方位角的命名特点，准确熟练解决有关方位角问题．2．巩固用解直角三角形有关知识解决实际问题的方法．▲重点运用解直角三角形解决航行、斜坡问题．▲难点灵活运用解直角三角形的方法解决生活中的实际问题．◆活动1新课导入如图，在电线杆的C处拉引线CE，CF固定电线杆．拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6 m的B处安置测角仪，在A 处测得电线杆上C处的仰角为30°.已知测角仪AB的高为1.5 m，拉线CE的长是3)__m．(结果保留根号)◆活动2探究新知1．教材P76例5.学生完成并交流展示．2．如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6 m，坝高20 m，斜坡AB的坡度i＝1∶2.5，斜坡CD的坡角为30°.求坝底AD的长度．(精确到0.1 m，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)解：AD＝20×2.5＋6＋203＝90.64(m)．答：坝底AD的长度为90.64 m.学生完成并交流展示．◆活动3知识归纳1．坡度、坡角概念．如图，BC表示水平面，AB表示坡面，把水平面BC与坡面AB形成的角∠ABC称为坡角α，坡面的铅直高度h与水平宽度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i ＝h l ＝tan α.2．利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：(1)将实际问题抽象为__数学__问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题)；(2)根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形；(3)得到数学问题的答案；(4)得到实际问题的答案．◆活动4 例题与练习例1 如图，海中一小岛A ，该岛四周10 n mile 内有暗礁，今有货轮由西向东航行，开始在A 岛南偏西55°的B 处，往东行驶20 n mile 后到达该岛的南偏西25°的C 处之后，货轮继续向东航行，你认为货轮向东航行的途中会有触礁的危险吗？解：过点A 作AD ⊥BC 交BC 的延长线于点D.由题意，得∠BAD ＝55°，∠CAD ＝25°，BC ＝20 n mile.在Rt △ABD 中，∵tan ∠BAD ＝BD AD ，∴BD ＝AD·tan 55°.在Rt △ACD 中，∵tan ∠CAD＝CD AD ，∴CD ＝AD·tan 25°.∵BD ＝BC ＋CD ，∴AD·tan 55°＝20＋AD·tan 25°，∴AD ＝20tan 55°－tan 25°≈20.79(n mile)>10(nmile)．答：轮船继续向东行驶，不会有触礁危险．例2 如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6 m ，坝高23 m ，斜坡AB 的坡度i ＝1∶3，斜坡CD 的坡度i ＝1∶2.5，求斜坡AB 的坡角α，坝底宽AD 和斜坡AB 的长．(精确到0.1 m)解：过点B 作BE ⊥AD 于点E ，过点C 作CF ⊥AD 于点F.在Rt △ABE 和Rt △CDF 中，∵BE AE ＝13，CF FD ＝12.5，∴AE ＝3BE＝3×23＝69(m)，FD ＝2.5CF ＝2.5×23＝57.5(m)，∴AD ＝AE ＋EF ＋FD ＝69＋6＋57.5＝132.5(m)．∵斜坡AB 的坡度i ＝tan α＝13≈0.33，∴α≈18.43°.在Rt △ABE 中，由勾股定理，得AB ＝AE 2＋BE 2≈72.7(m)．答：斜坡AB的坡角α约为18.43°，坝底宽AD为132.5 m，斜坡AB的长约为72.7 m.练习1．教材P77练习第1，2题．2．如图，某办公大楼正前方有一根高度是15 m的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20 m，梯坎坡长BC是12 m，梯坎坡度i＝1∶3，则大楼AB的高度约为(精确到0.1 m，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)(D)A．30.6 m B．32.1 m C．37.9 m D．39.4 m3．如图，海上有座灯塔P，在它周围3 n mile有暗礁，一艘客轮以每小时9 n mile的速度由西向东航行，行至A处测得灯塔P在它的北偏东60°，继续航行10 min后到达B处，又测得灯塔P在它的东北方向．若客轮不改变方向，有无触礁危险？解：过点P作PD⊥AB于点D.在Rt△PAD中，∠PAD＝30°.又∵∠PBD＝45°，故设PD＝x，则BD＝PD＝x，AD＝3x.又∵AB＝9×1060＝1.5(n mile)，∴AD＝1.5＋x，∴x＋1.5＝3x，解得x＝34(3＋1)<3，∴有触礁危险．◆活动5完成《名师测控》随堂反馈手册◆活动6课堂小结1．方向角、坡度的概念．2．掌握与方向角、坡度有关的问题．1．作业布置(1)教材P78习题28.2第5，9题；(2)《名师测控》对应课时练习．2．教学反思________________________________________________________________________。
人教九年级下册数学-利用方位角、坡度解直角三角形教案与教学反思
28.2.2 应用举例第3课时 利用方位角、坡度解直角三角形1．知道测量中方位角、坡角、坡度的概念，掌握坡度与坡角的关系；(重点)2．能够应用解直角三角形的知识解决与方位角、坡度有关的问题．(难点)一、情境导入在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度．如图，坡面的铅垂高度(h )和水平长度(l )的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i ，即i ＝h l.坡度通常写成1∶m 的形式，如i ＝1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i ＝h l＝tan α.显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡．我们这节课就解决这方面的问题．二、合作探究探究点一：利用方位角解直角三角形 【类型一】 利用方位角求垂直距离如图所示，A 、B 两城市相距200km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB )，经测量，森林保护中心P 在A 城市的北偏东30°和B 城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P 点为圆心，100km 为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区(参考数据：3≈1.732，2≈1.414)．解析：过点P作PC⊥AB，C是垂足．AC与BC都可以根据三角函数用PC表示出来．根据AB的长得到一个关于PC的方程，求出PC的长．从而可判断出这条高速公路会不会穿越保护区．解：过点P作PC⊥AB，C是垂足．则∠APC＝30°，∠BPC＝45°，AC＝PC·tan30°，BC＝PC·tan45°.∵AC＋BC＝AB，∴PC·tan30°＋PC·tan45°＝200，即33PC＋PC＝200，解得PC≈126.8km＞100km.答：计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区．方法总结：解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题【类型二】利用方位角求水平距离“村村通”公路工程拉近了城乡距离，加速了我区农村经济建设步伐．如图所示，C村村民欲修建一条水泥公路，将C村与区级公路相连．在公路A处测得C村在北偏东60°方向，沿区级公路前进500m，在B处测得C村在北偏东30°方向．为节约资源，要求所修公路长度最短．画出符合条件的路示意图，并求出公路长度．(结果保留整数)解析：作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，据题意有∠CAD＝30°，求得AD.在Rt△CBD中，据题意有∠CBD＝60°，求得BD.又由AD－BD＝500，从而解得CD.解：如图，过点C作CD⊥AB，垂落在AB的延长线上，CD即为所修公路，CD的长度即为公路长度．在Rt△ACD中，据题意有∠CAD＝30°，∵tan CAD＝CD AD ，∴AD＝CDtan30°＝3CD.在Rt△CBD中，据题意有∠CBD＝60°，∵tan∠CBD＝CDBD，∴BD＝CDtan60°＝r(3)3CD又∵AD－BD＝500，∴3CD－33CD＝500，解得CD≈433(m)．答：所修公路长度约为433m.方法总结：在解决有关方位角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方位角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．变式训练：见《练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题探究点二：利用坡角、坡度解直角三角形【类型一】利用坡角、坡度解决梯形问题如图，某水库大坝的横截面为梯形ABCD，坝顶宽BC＝3米，坝高为2米，背水坡AB的坡度i＝1∶1，迎水坡CD的坡角∠ADC为30°.求坝底AD的长度．解析：首先过B、C作BE⊥AD、CF⊥AD，可得四边形BEFC是矩形，又由背水坡AB的坡度i＝1∶1，迎水坡CD的坡角∠ADC为30°，根据坡度的定义，即可求解．解：分别过B、C作BE⊥AD、CF⊥AD，垂足为E、F，可得BE∥CF，又∵BC ∥AD，∴BC＝EF，BE＝CF.由题意，得EF＝BC＝3，BE＝CE＝2.∵背水坡AB的坡度i＝1∶1，∴∠BAE＝45°，∴AE＝BEtan45°＝2，DF＝CFtan30°＝23，∴AD＝AE＋EF＋DF＝2＋3＋23＝5＋23(m)．答：坝底AD的长度为(5＋23)m.方法总结：解决此类问题一般要构造直角三角形，并借助于解直角三角形的知识求解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题【类型二】利用坡角、坡度解决三角形问题如图，某地下车库的入口处有斜坡AB，它的坡度为i＝1∶2，斜坡AB 的长为65m，斜坡的高度为AH(AH⊥BC)，为了让行车更安全，现将斜坡的坡角改造为14°(图中的∠ACB＝14°)．(1)求车库的高度AH；(2)求点B与点C之间的距离(结果精确到1m，参考数据：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25)．解析：(1)利用坡度为i＝1∶2，得出AH∶BH＝1∶2，进而利用勾股定理求出AH的长；(2)利用tan14°＝6BC＋12，求出BC的长即可．解：(1)由题意可得AH∶BH＝1∶2，设AH＝x，则BH＝2x，故x2＋(2x)2＝(65)2，解得x＝6，故车库的高度AH为6m；(2)∵AH＝6m，∴BH＝2AH＝12m，∴CH＝BC＋BH＝BC＋12m.在Rt△AHC中，∠AHC＝90°，故tan∠ACB＝AHCH，又∵∠ACB＝14°，∴tan14°＝6BC＋12，即0.25＝6BC＋12，解得BC＝12m.答：点B与点C之间的距离是12m.方法总结：本题考查了解直角三角形的应用中坡度、坡角问题，明确坡度等于坡角的正切值是解题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题三、板书设计1．方位角的意义；2．坡度、坡比的意义；3．应用方位角、坡度、坡比解决实际问题．将解直角三角形应用到实际生活中，有利于培养学生的空间想象能力，即要求学生通过对实物的观察或根据文字语言中的某些条件，画出适合他们的图形．这一方面在教学过程应由学生展开，并留给学生思考的时间，给学生充分的自主思考空间和时间，让学生积极主动地学习.【素材积累】1、不求与人相比，但求超越自己，要哭旧哭出激动的泪水，要笑旧笑出成长的性格。
新人教版九年级下册初中数学 课时3 方向角、坡度问题 教案(教学设计)
第二十八章锐角三角函数28.2 解直角三角形及其应用28.2.2 应用举例课时3 方向角、坡度问题【知识与技能】1.了解方位角等有关概念,能准确把握所指的方位角是指哪一个角.2.了解坡度、坡角的有关概念,知道坡度与坡角之间的关系.3.经历对实际问题的探究,会利用解直角三角形的知识解决有关方位角、坡度、坡角的实际问题.【过程与方法】1.通过探究从实际问题中建立数学模型的过程,发展学生的抽象概括能力,提高应用数学知识解决实际问题的能力.2.通过将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素之间的关系,增强应用意识,体会数形结合思想的应用.3.体验用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题的策略和方法,培养学生分析问题和解决问题的能力,提高学生思维能力的灵活性.【情感态度与价值观】1.通过根据实际问题画示意图的过程,培养学生的动手能力,激发学生对数学的好奇心和求知欲.2.在运用三角函数知识解决问题的过程中,认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点,体会数学的应用价值.3.通过将实际问题转化为数学问题,培养建模思想,体会数形结合思想在数学中的应用,培养学生良好的学习习惯.用三角函数有关知识解决方位角、坡度、坡角等有关问题.准确分析问题并将实际问题转化成数学模型.多媒体课件.导入一:【复习提问】1.在练习本上画出方向图(表示东南西北四个方向的).2.依次画出表示东南方向、西北方向、北偏东65度、南偏东34度方向的射线.【师生活动】学生动手画图,小组内交流答案,教师巡视过程中发现学生易犯错误,作出点评.导入二:如果你是修建三峡大坝的工程师,现在有这样一个问题请你解决:如图,水库大坝的横断面是梯形,坝顶宽6m,坝高23m,斜坡AB的坡度i=1∶3,斜坡CD的坡度i=1∶2.5,求斜坡AB的坡角α,坝底宽AD和斜坡AB的长.【师生活动】教师课件展示实际问题,学生审题,面对学生对没学过的概念的疑惑,教师导出本节课课题.[过渡语]在这个实际问题中,什么是坡度、坡角?如何解决这个实际问题?这就是我们这节课要学习的内容.[设计意图]通过复习有关方位角的概念,为本节课探究例题做好铺垫.以有关斜坡问题的生活实例导入新课,让学生体会数学在生活中无处不在,同时激发学生的好奇心和求知欲.一、探究一如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向,距离灯塔80nmile的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处.这时,B处距离灯塔P有多远(结果取整数)?思路一教师引导分析:(1)要求BP的长,常作的辅助线是什么?(构造直角三角形)(2)在Rt△BPC中,要求BP的长,已知什么?需要求什么?(3)题目中的已知条件是什么?在哪个直角三角形中?(4)在Rt△APC中,根据已知条件可以求出什么?(5)结合(2),只要求出哪条线段的长即可?(线段PC的长)(6)根据以上分析,你能写出解答过程吗?【师生活动】学生根据教师提出的问题思考后,独立完成解答过程,教师巡视过程中及时辅导,鼓励学生用不同角度思考问题,最后展示学生的解答过程,学生点评与总结.解:在Rt△APC中,PC=PA·cos(90°-65°)=80·cos25°≈72.505.在Rt△BPC中,∠B=34°,∵sin B=,∴PB=≈≈≈130(nmile).因此,当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处时,它距离灯塔P大约130nmile.思路二【学生活动】(1)根据题意,自己画出示意图.(2)分析题意,写出解答过程.(3)小组内成员交流答案.【教师活动】(1)巡视过程中及时辅导,帮助有困难的学生,引导学生从不同角度思考问题.(2)展示学生的成果,让学生进行点评.(3)规范解题格式,强调解决实际问题的关键.【课件展示】同思路一[设计意图]通过教师引导或自主学习方式解决有关方位角的实际问题,让学生进一步体会数形结合思想和建模思想在数学中的应用,提高学生分析问题、解决问题的能力,体会将实际问题转化为解直角三角形问题的一般思路和方法.二、探究二活动一:认识有关概念:【课件展示】坡度:坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(或叫做坡比),一般用i表示.即i=,常写成i=1∶m的形式.坡角:把坡面与水平面的夹角α叫做坡角.【思考】坡度i与坡角α之间具有什么关系?(i==tanα)【师生活动】学生小组合作交流,归纳结论,教师点评.活动二:解决课前导入问题:如图,水库大坝的横断面是梯形,坝顶宽6m,坝高23m,斜坡AB的坡度i=1∶3,斜坡CD的坡度i=1∶2.5,求斜坡AB的坡角α(精确到1'),坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m).〔解析〕(1)进行和坡度有关的计算,常作辅助线构造直角三角形,根据解直角三角形的知识求坡角.(2)根据坡度的概念及梯形的高,可以求出AE,DF的长.(3)由矩形的性质可得EF与BC的数量关系,求出EF的值,从而求出AD的长.(4)在Rt△ABE中,由勾股定理或三角函数的定义可得AB的长.【师生活动】教师引导学生分析问题,然后学生独立完成解答过程,小组内交流答案,小组代表板书过程,教师进行点评.【课件展示】解:在Rt△ABE和Rt△CDF中,=,=,∴AE=3BE=3×23=69(m),FD=2.5CF=2.5×23=57.5(m).∴AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m).∵斜坡AB的坡度i=tanα=≈0.3333,∴α≈18°26'.在Rt△ABE中,AB==≈72.7(m).答:斜坡AB的坡角α约为18°26',坝底宽AD为132.5m,斜坡AB的长约为72.7m.[设计意图]通过利用解直角三角形的知识解决有关坡度问题,培养学生逻辑思维能力及良好的学习习惯.坡度问题计算过程很繁琐,通过严格要求学生,选择最简练、准确的方法计算,培养学生运算能力.三、共同归纳[过渡语]通过两节课的学习,你能归纳出利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是什么吗?【师生活动】学生小组讨论,教师对学生的回答给予鼓励,师生共同归纳解题过程:【课件展示】(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题)；(2)根据问题中的条件,适当选用锐角三角函数等解直角三角形；(3)得到数学问题的答案；(4)得到实际问题的答案.[设计意图]通过归纳总结用解直角三角形知识解决实际问题的一般过程,培养学生归纳总结能力,提高学生的数学思维.[知识拓展](1)解决实际问题时,可利用正南、正北、正西、正东方向线构造直角三角形求解.(2)坡度也叫坡比,即i=,一般写成i=1∶m的形式(比的前项是1,后项可以是整数,也可以是小数或根式).(3)坡度i与坡角α之间的关系为i=tanα.(4)坡角越大,坡度越大,坡面越陡.利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程:(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题)；(2)根据问题中的条件,适当选用锐角三角函数等解直角三角形；(3)得到数学问题的答案；(4)得到实际问题的答案.第3课时1.探究一2.探究二3.共同归纳一、教材作业二、课后作业【基础巩固】1.如图,某商场自动扶梯的长l为10米,该自动扶梯到达的高度h为6米,自动扶梯与地面所成的角为θ,则tanθ等于()A. B. C. D.2.如图,小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路,经测得有一水塔(图中点A处)在她家北偏东60°方向500m处,那么水塔所在的位置到公路的距离AB 是()A.250mB.250mC.mD.250m3.一段公路的坡度为1∶3,某人沿这段公路路面前进100米,那么他上升的最大高度是()A.30米B.10米C.30米D.10米4.一只船向正东方向航行,上午7时在灯塔A的正北方向的C处,上午9时到达灯塔A的北偏东60°方向的B处,已知船的速度为每小时20千米,那么AB的长是()A.千米B.千米C.千米D.千米5.已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i=1∶2.4,如果它把物体送到离地面10米高的地方,那么物体所经过的路程为米.6.一只船向正东方向航行,上午9点到达一座灯塔的西南方向68海里处,上午11点到达这座灯塔的正南方向,这只船航行的速度是海里/时.(答案可带根号)7.如图,沿江堤坝的横断面是梯形ABCD,坝顶AD=4m,坝高AE=6m,斜坡AB的坡比i=1∶2,∠C=60°,求斜坡AB,CD的长.8.如图,一船在A处测得北偏东45°方向有一灯塔B,船向正东方向以每小时20海里的速度航行1.5小时到达C处时,又观测到灯塔B在北偏东15°方向上,求此时船与灯塔相距多少海里.【能力提升】9.如图,一游人由山脚A沿坡角为30°的山坡行走600m,到达一个景点B,再由B 沿山坡BC行走200m到达山顶C,若在山顶C处观测到景点B的俯角为45°,则山高CD等于(结果用根号表示).10.如图,一艘轮船航行到B处时,测得小岛A在船的北偏东60°的方向,轮船从B处继续向正东方向航行200海里到达C处时,测得小岛A在船的北偏东30°的方向.已知在小岛周围170海里内有暗礁,若轮船不改变航向继续向前行驶,轮船有无触礁的危险?(≈1.732)11.如图,某渔船在小岛O南偏东75°方向的B处遇险,在小岛O南偏西45°方向A处巡航的中国渔政船接到求救信号后立刻前往救援,此时,中国渔政船与小岛O相距8海里,渔船在中国渔政船的正东方向上.(1)求∠BAO与∠ABO的度数(直接写出答案)；(2)若中国渔政船以每小时28海里的速度沿AB方向赶往B处救援,能否在1小时内赶到?请说明理由.(参考数据:tan75°≈3.73,tan15°≈0.27,≈1.41,≈2.45)【拓展探究】12.如图,某气象台测得“苹果1号”台风的中心在A地,A地在B城的正西方向300km处,台风中心正以50km/h的速度沿北偏东60°的方向移动.距台风中心250km范围内的区域都会受到台风的影响.(1)B城是否会受到台风的影响?请说明理由.(2)如果B城会受到台风的影响,那么受到影响的时间有多长?【答案与解析】1.A解析:由勾股定理可得另一直角边的长为=8,所以tanθ==.故选A.2.A解析:由已知得∠AOB=30°,OA=500m,则AB=OA=250m.故选A.3.D解析:如图,在Rt△ABC中,tan A=,AB=100米.设BC=x米,则AC=3x米.根据勾股定理,得x2+(3x)2=1002,解得x=±10(负值舍去).故选D.4.D解析:如图,由题意得BC=20×2=40(千米),∠A=60°,∴sin A=sin60°=,∴=,解得AB=千米.故选D.5.26解析:如图,由题意得斜坡AB的坡度为i=1∶2.4,AE=10米,AE⊥BD.∵i==,∴BE=24米.在Rt△ABE中,AB==26（米）.6.17解析:如图,由题意知∠M=45°,PM=68,则在Rt△PNM中,cos M=,即=,∴MN=34,∴这只船航行的速度为==17(海里/时).7.解:∵斜坡AB的坡比i=1∶2,∴AE∶BE=1∶2.又AE=6m,∴BE=12m,∴AB==6(m),作DF⊥BC于F(如图),则得矩形AEFD,有DF=AE=6m.∵∠C=60°,∴CD==4(m).答:斜坡AB,CD的长分别是6m,4m.8.解:如图,过C作CD⊥AB,垂足为D,过C作CE⊥AC,交AB于E.在Rt△ACD中, ∠DAC=45°,AC=20×1.5=30,∴CD=AC sin45°=30×=15.在Rt△BCD中,∠BCD=∠BCE+∠ECD=45°+15°=60°,∴BC==30(海里).答:此时船与灯塔相距30海里.9.(100+300)m解析:过B作BF⊥AD于F,BE⊥CD于E,如图.∵在山顶C处观测到景点B的俯角为45°,∴△BEC为等腰直角三角形,而BC=200m,∴CE=BC=100（m）.∵∠A=30°,AB=600m,∴BF=AB=300m,∴CD=CE+ED=100+300（m）.10.解:该轮船不改变航向继续前行,无触礁的危险.理由如下:如图,作AD⊥BC于D,则有∠ABD=30°,∠ACD=60°,∴∠CAB=∠ABD,∴AC=BC=200海里.在Rt△ACD中,设CD=x海里,则AC=2x,AD===x,在Rt△ABD 中,AB=2AD=2x,BD===3x.又∵BD=BC+CD,∴3x=200+x,∴x=100.∴AD=x=100≈173.2.∵173.2海里>170海里,∴轮船不改变航向继续向前行驶,轮船无触礁的危险.11.解:(1)∠BAO=45°,∠ABO=15°. (2)能.过点O作OC⊥AB于点C,如图,则△AOC与△BOC都是直角三角形,由(1)得∠BAO=45°,∠ABO=15°,∴△AOC是等腰直角三角形,∴AC=OC.在Rt△AOC中,AC=OA cos45°=8×=4≈5.64,∴OC=AC≈5.64.在Rt△BOC中,BC=≈≈20.89.∴AB=AC+BC≈5.64+20.89=26.53(海里).∵中国渔政船的速度是每小时28海里,∴中国渔政船能在1小时内赶到.11.解:(1)如图,过点B作BD⊥AC于点D.∵台风中心正以50km/h的速度沿北偏东60°的方向移动,∴∠CAB=30°.∵AB=300km,∴BD=AB=×300=150(km),150km<250km,∴B城会受到台风的影响.(2)过点B作BE=BF=250km.∵BD⊥AC,∴DE=DF=EF.在Rt△DEB中,∵BE=250km,BD=150km,∴DE===200(km),∴EF=2DE=400（km）.∵台风中心正以50km/h的速度沿北偏东60°的方向移动,∴经过EF的时间t==8(h).答:受到影响的时间是8小时.以和本节课有关的坡度、坡角的实际问题导入新课,激发学生的好奇心和求知欲,探究一是解决和方位角有关的实际问题,因为学生对方位角比较熟悉,所以探究活动以学生为主,独立完成后小组合作交流,展示成果,让学生体会成功的快乐；探究二是解决导入中的生活实例,做到首尾呼应,教师引导学生熟悉坡度、坡角的概念后,学生在教师提出的问题的引导下自主学习,建立数学模型,将实际问题转化为数学问题解决,学生通过小组合作交流、共同探究等数学活动,明确解题思路,学生在展示成果后教师归纳总结,引导学生熟悉用解直角三角形知识解决实际问题的方法和思路,从而让学生的数学思维能力得到提升.本节课的重点是建立数学模型,用解直角三角形知识解决实际问题,教学设计的主要特点是突出学生活动,让学生真正成为课堂的主人,通过自主学习、合作交流、共同归纳解决与方位角、坡角有关的实际问题.教学中忽略了知识之间的联系,没有把一些零散的练习和例题用主线串联起来,其实这些应用就是在直角三角形中解决边角之间的关系,设计时可以将添加辅助线构造直角三角形的练习加在例题后边,让学生对这类习题有整体认识.。
【人教版】2019春九年级数学下册教案28.2.2 第3课时 利用方位角、坡度解直角三角形
28.2.2第 3 课时应用举例利用方位角、坡度解直角三角形1．知道测量中方位角、坡角、坡度的概念，掌握坡度与坡角的关系；(重点) 2．能够应用解直角三角形的知识解决与方位角、坡度有关的问题．(难点)一、情境导入 在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度．如图，坡面的铅垂高度(h)和水平 h 长度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作 i，即 i＝ . lh 坡度通常写成 1∶m 的形式，如 i＝1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 α，有 i＝ ＝tanα .显然，坡 l 度越大，坡角 α 就越大，坡面就越陡．我们这节课就解决这方面的问题． 二、合作探究 探究点一：利用方位角解直角三角形 【类型一】 利用方位角求垂直距离 如图所示，A、B 两城市相距 200km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段 AB)，经测量， 森林保护中心 P 在 A 城市的北偏东 30°和 B 城市的北偏西 45°的方向上．已知森林保护区的范围在以 P 点 为圆心， 100km 为半径的圆形区域内， 请问： 计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区(参考数据： 3≈1.732， 2≈1.414)．解析：过点 P 作 PC⊥AB，C 是垂足．AC 与 BC 都可以根据三角函数用 PC 表示出来．根据 AB 的长得到 一个关于 PC 的方程，求出 PC 的长．从而可判断出这条高速公路会不会穿越保护区．解：过点 P 作 PC⊥AB，C 是垂足．则∠APC＝30°，∠BPC＝45°，AC＝PC· tan30°，BC＝PC· tan45°. ∵AC＋BC＝AB，∴PC·tan30°＋PC· tan45°＝200，即 答：计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区． 方法总结：解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线． 3 PC＋PC＝200，解得 PC≈126.8km＞100km. 3变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第 1 题 【类型二】 利用方位角求水平距离 “村村通”公路工程拉近了城乡距离，加速了我区农村经济建设步伐．如图所示，C 村村民欲修建 一条水泥公路，将 C 村与区级公路相连．在公路 A 处测得 C 村在北偏东 60°方向，沿区级公路前进 500m， 在 B 处测得 C 村在北偏东 30°方向．为节约资源，要求所修公路长度最短．画出符合条件的公路示意图，并 求出公路长度．(结果保留整数)解析： 作 CD⊥AB 于 D， 在 Rt△ACD 中， 据题意有∠CAD＝30°， 求得 AD.在 Rt△CBD 中， 据题意有∠CBD ＝60°，求得 BD.又由 AD－BD＝500，从而解得 CD.解： 如图， 过点 C 作 CD⊥AB， 垂足落在 AB 的延长线上， CD 即为所修公路， CD 的长度即为公路长度． 在 Rt△ACD 中，据题意有∠CAD＝30°，∵tan∠CAD＝ ∠CBD＝60°，∵tan∠CBD＝ CD CD ，∴AD＝ ＝ 3CD.在 Rt△CBD 中，据题意有 AD tan30°CD CD 3 3 ，∴BD＝ ＝ CD.又∵AD－BD＝500，∴ 3CD－ CD＝500，解 BD 3 tan60° 3得 CD≈433(m)． 答：所修公路长度约为 433m. 方法总结：在解决有关方位角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方位 角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第 4 题 探究点二：利用坡角、坡度解直角三角形 【类型一】 利用坡角、坡度解决梯形问题 如图， 某水库大坝的横截面为梯形 ABCD， 坝顶宽 BC＝3 米， 坝高为 2 米， 背水坡 AB 的坡度 i＝1∶1， 迎水坡 CD 的坡角∠ADC 为 30°.求坝底 AD 的长度．解析：首先过 B、C 作 BE⊥AD、CF⊥AD，可得四边形 BEFC 是矩形，又由背水坡 AB 的坡度 i＝1∶1， 迎水坡 CD 的坡角∠ADC 为 30°，根据坡度的定义，即可求解．解：分别过 B、C 作 BE⊥AD、CF⊥AD，垂足为 E、F，可得 BE∥CF，又∵BC∥AD，∴BC＝EF，BE BE ＝CF.由题意，得 EF＝BC＝3，BE＝CE＝2.∵背水坡 AB 的坡度 i＝1∶1，∴∠BAE＝45°，∴AE＝ ＝ tan45°CF 2，DF＝ ＝2 3，∴AD＝AE＋EF＋DF＝2＋3＋2 3＝5＋2 3(m)． tan30° 答：坝底 AD 的长度为(5＋2 3)m. 方法总结：解决此类问题一般要构造直角三角形，并借助于解直角三角形的知识求解． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第 6 题 【类型二】 利用坡角、坡度解决三角形问题 如图，某地下车库的入口处有斜坡 AB，它的坡度为 i＝1∶2，斜坡 AB 的长为 6 5m，斜坡的高度 为 AH(AH⊥BC)，为了让行车更安全，现将斜坡的坡角改造为 14°(图中的∠ACB＝14°)． (1)求车库的高度 AH； (2)求点 B 与点 C 之间的距离(结果精确到 1m，参考数据：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25)．解析：(1)利用坡度为 i＝1∶2，得出 AH∶BH＝1∶2，进而利用勾股定理求出 AH 的长；(2)利用 tan14° ＝ 6 ，求出 BC 的长即可． BC＋12解：(1)由题意可得 AH∶BH＝1∶2，设 AH＝x，则 BH＝2x，故 x2＋(2x)2＝(6 5)2，解得 x＝6，故车库的 高度 AH 为 6m； (2)∵AH＝6m，∴BH＝2AH＝12m，∴CH＝BC＋BH＝BC＋12m.在 Rt△AHC 中，∠AHC＝90°，故 tan AH 6 6 ∠ACB＝ ，又∵∠ACB＝14°，∴tan14°＝ ，即 0.25＝ ，解得 BC＝12m. CH BC＋12 BC＋12 答：点 B 与点 C 之间的距离是 12m. 方法总结：本题考查了解直角三角形的应用中坡度、坡角问题，明确坡度等于坡角的正切值是解题的关 键． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第 6 题 三、板书设计 1．方位角的意义； 2．坡度、坡比的意义； 3．应用方位角、坡度、坡比解决实际问题．将解直角三角形应用到实际生活中，有利于培养学生的空间想象能力，即要求学生通过对实物的观察或 根据文字语言中的某些条件，画出适合他们的图形．这一方面在教学过程应由学生展开，并留给学生思考的 时间，给学生充分的自主思考空间和时间，让学生积极主动地学习.。
解直角三角形方位角、坡度角讲课教案
解直角三角形方位角、坡度角讲课教案一、教学内容本节课我们将探讨教材第十二章“直角三角形的应用”中的方位角与坡度角。
具体内容包括：1. 理解方位角的概念，掌握其在实际情境中的应用；2. 学习坡度角的计算，了解其在工程及地理等方面的实际意义；3. 掌握运用三角函数解决实际问题时，如何确定直角三角形的各个角度和边长。
二、教学目标1. 学生能够理解并运用方位角描述物体在空间中的位置关系；2. 学生能够通过计算得出坡度角，并应用于实际情境中；3. 学生能够运用三角函数解决直角三角形相关问题。
三、教学难点与重点1. 教学难点：方位角与坡度角的实际应用，以及三角函数在解决直角三角形问题中的应用；2. 教学重点：理解方位角和坡度角的概念，掌握计算方法，并能应用于实际情境。
四、教具与学具准备1. 教具：三角板、量角器、直尺、多媒体教学设备；2. 学具：练习本、铅笔、三角板、量角器。
五、教学过程1. 实践情景引入：通过展示一座山和观察点的位置关系，引导学生思考如何描述这个关系；2. 知识讲解：（1）方位角的概念及计算方法；（2）坡度角的概念及计算方法；（3）三角函数在解决直角三角形问题中的应用；3. 例题讲解：（1）通过实际例题，讲解如何计算方位角；（2）通过实际例题，讲解如何计算坡度角；4. 随堂练习：让学生分组讨论并完成指定的练习题；5. 答疑环节：对学生在练习中遇到的问题进行解答；六、板书设计1. 方位角、坡度角的概念；2. 方位角、坡度角的计算方法；3. 三角函数在解决直角三角形问题中的应用；4. 例题解答步骤；5. 练习题。
七、作业设计1. 作业题目：（1）已知一个观察点A，以及目标点B的方位角，求目标点B 到观察点A的距离；（2）已知一个斜坡的长度和高度，求该斜坡的坡度角。
2. 答案：八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对方位角和坡度角的概念理解是否到位，能否将其应用于实际情境；2. 拓展延伸：引导学生思考如何将方位角和坡度角应用于其他领域，如航海、建筑等。
部审人教版九年级数学下册说课稿28.2.2第3课时《利用方位角、坡度解直角三角形》
部审人教版九年级数学下册说课稿28.2.2 第3课时《利用方位角、坡度解直角三角形》一. 教材分析人教版九年级数学下册第28.2.2节《利用方位角、坡度解直角三角形》是一节实践性较强的课程。
在本节课中，学生将学习如何利用方位角和坡度来解决实际问题，进一步理解和掌握直角三角形的性质。
教材通过引入实际问题，引导学生运用所学的数学知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了直角三角形的性质，对三角函数有一定的了解。
但学生在解决实际问题时，往往不知道如何将实际问题与数学知识相结合。
因此，在教学过程中，我将以学生已有的知识为基础，引导学生将实际问题转化为数学问题，培养学生解决实际问题的能力。
三. 说教学目标1.知识与技能：学生能理解方位角、坡度的概念，掌握利用方位角、坡度解决直角三角形问题的方法。
2.过程与方法：通过解决实际问题，培养学生将实际问题转化为数学问题，运用数学知识解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的合作意识，使学生感受到数学在生活中的应用。
四. 说教学重难点1.教学重点：方位角、坡度的概念及应用。
2.教学难点：如何将实际问题转化为数学问题，运用方位角、坡度解决直角三角形问题。
五. 说教学方法与手段本节课采用情境教学法、问题驱动法和小组合作学习法。
利用多媒体课件展示实际问题，引导学生思考，激发学生的学习兴趣。
在解决问题的过程中，鼓励学生发表自己的观点，培养学生的合作意识。
六. 说教学过程1.导入新课：通过展示一个房屋建筑平面图，引导学生观察并思考如何利用数学知识解决实际问题。
2.讲解方位角、坡度概念：结合实例，讲解方位角、坡度的定义及计算方法。
3.解决问题：以房屋建筑平面图为例，引导学生运用方位角、坡度解决实际问题。
4.巩固练习：设计一些有关方位角、坡度的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
5.拓展延伸：引导学生思考如何将方位角、坡度应用到其他领域，如航海、航空等。
2018-2019学年人教版九年级数学下册教案：8课题：与方位角坡角有关的解直角三角形的应用
五、教学反思
在今天的教学中，我尝试通过生活实例引入方位角和坡角的概念，希望让学生感受到数学知识在现实生活中的广泛应用。从学生的反应来看，这个切入点似乎引起了他们的兴趣，但我也注意到，部分学生在理解方位角的定义时还存在一些困惑。在今后的教学中，我需要更加注意对基础概念的重复解释和巩固。
3.解决实际生活中与方位角和坡角相关的几何问题。
具体内容包括：
-利用已知直角三角形的边长求解未知角的正弦、余弦、正切值；
-根据方位角和坡角的实际意义，构建直角三角形模型；
-通过案例分析，掌握在地图学、建筑设计等领域中与方位角、坡角相关的解直角三角形的应用。
二、核心素养目标
本章节的核心素养目标旨在培养学生以下能力：
在讲授新课的过程中，我着重强调了构建直角三角形模型和三角函数的应用，这是本节课的重点。通过案例分析，学生能够看到理论如何转化为实践，但我也发现，他们在具体操作时，对于如何选择合适的三角函数解决问题还不够熟练。这可能是因为他们在之前的课程中对这些函数的理解不够深刻。因此，我计划在下一节课前，先对正弦、余弦、正切函数进行一次快速复习，帮助学生巩固记忆。
-在计算方位角时，学生可能会混淆方向与角度的对应关系，需要明确东、南、西、北四个基本方向与角度0°、90°、180°、270°的对应关系。
-在使用三角函数计算时，学生可能会忘记正弦、余弦、正切函数的定义，或者混淆它们的计算公式，需要教师在教学中反复强调和练习。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
初中九年级数学学案用解直角三角形解方位角、坡角的应用
28.2.5 用解直角三角形解方位角,坡角地应用一,新课导入1.课题导入情景:如图,一艘海轮位于灯塔P地北偏东65°方向,距离灯塔80 n mile地A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P地南偏东34°方向上地B处,这时,海轮所在地B处距离灯塔P有多远？问题:怎样由方向角确定三角形地内角？2.学习目地（1）能根据方向角画出相应地图形,会用解直角三角形地知识解决方位问题.（2）知道坡度与坡角地意义,能利用解直角三角形地知识解决与坡度有关地实际问题.3.学习重,难点重点:会用解直角三角形地知识解决方向角,坡度地有关问题.难点:将实际问题转化为数学问题（即数学建模）.二,分层学习1.自学指导（1）自学内容:P76例5.（2）自学时间:10分钟.（3）自学方法:独立探索解题思路,然后同桌之间讨论,写出规范地解题过程.（4）自学参考提纲:①如图,一艘海轮位于灯塔P地北偏东65°方向,距离灯塔80海里地A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P地南偏东34°方向上地B处,这时,海轮所在地B处距离灯塔P有多远？(结果取整数,参考数据:cos25°≈0.91,sin25°≈0.42,tan25°≈0.47,sin34°≈0.56,cos34°≈0.83,tan34°≈0.67）a.根据已知在图中标出方向角:如图所示.b.根据方向角得到三角形地内角:在△PAB中,∵海轮沿正南方向航行,∴∠A= 65° ,∠B= 34° ,PA= 80 .c.作高构造直角三角形:如图所示.d.写出解答过程:在Rt△APC中,PC=PA·cos(90°-65°)=80×cos25°≈72.505（n mile）.在Rt△BPC中,∠B=34°,PB=72505sin sin34.PCB=︒≈130（n mile）.②如图,海中有一个小岛A,它周围8海里内有暗礁,渔船跟踪鱼群由西向东航行,在B点测得小岛A在北偏东60°地方向上,又继续航行12海里到达D点,这时测得小岛A在北偏东30°地方向上,如果渔船不改变航向继续向东航行,有没有触礁地危险？解:过A作AE⊥BD于E.由题意知:∠ABE=30°,∠ADE=60°.∴∠BAD=60°-30°=30°=∠ABD.∴AD=BD=12.∴AE=AD·sin60°=12×32=63(海里)＞8海里.∴无触礁地危险.2.自学:结合自学指导进行自学.3.助学（1）师助生:①明了学情:观察学生自学提纲地答题情况.②差异指导:根据学情对学习有困难地学生进行个别或分类指导.（2）生助生:小组内互相交流,研讨.4.强化:利用解直角三角形地知识解方向角问题地一般思路.1.自学指导（1）自学内容:P77.（2）自学时间:5分钟.（3）自学方法:先独立归纳利用解直角三角形地知识解决实际问题地一般思路,然后对照课本P77地内容归纳,进行反思总结.（4）自学参考提纲:①利用解直角三角形地知识解决实际问题地一般思路:a.将实际问题抽象为数学问题;b.根据问题中地条件,适当选用锐角三角函数等解直角三角形;c.得到数学问题地答案;d.得到实际问题地答案.②练习:如图,拦水坝地横断面为梯形ABCD,斜面坡度i=1∶1.5是指坡面地铅直高度AF与水平宽度BF地比,斜面坡度i=1∶3是指DE与CE地比,根据图中数据,求:a.坡角α与β地度数;b.斜坡AB地长(结果保留小数点后一位).2.自学:学生可参考自学指导进行自学.3.助学（1）师助生:①明了学情:明了学生解答问题地情况.②差异指导:根据学情进行相应指导.（2）生助生:小组内互相交流,研讨.4.强化（1）坡度,坡角地意义及其关系,梯形问题地解题方法.（2）在自学参考提纲第②题中,若补充条件“坝顶宽AD=4 m”,妳能求出坝底BC地长吗？（3）利用解直角三角形地知识解决实际问题地一般思路:三,评价1.学生自我评价:在这节课地学习中妳有哪些收获？掌握了哪些解题技巧与方法？2.教师对学生地评价:（1）表现性评价:点评学生学习地主动性,小组交流协作情况,解题方法地掌握情况等.（2）纸笔评价:课堂评价检测.3.教师地自我评价（教学反思）.本课时应先认知“方向角”“坡度”及其所代表地实际意义,添作适当地辅助线,构建直角三角形.然后结合解直角三角形地有关知识加以解答,层层展开,步步深入.一,基础巩固（70分）1.(10分)已知外婆家在小明家地正东方,学校在外婆家地北偏西40°,外婆家到学校与小明家到学校地距离相等,则学校在小明家地（D）A.南偏东50°B.南偏东40°C.北偏东50°D.北偏东40°2.(10分)如图,某村准备在坡度为i=1∶1.5地斜坡上栽树,要求相邻两棵树之间地水平距离为 5 m,则这两棵树在坡面上地距离AB为5133m．（结果保留根号）3.（10分）在菱形ABCD中,AB=13,锐角B地正弦值sinB=5 13,则这个菱形地面积为65 .4.(20分)为方便行人横过马路,打算修建一座高5 m地过街天桥.已知天桥地斜面坡度为1∶1.5,计算斜坡AB地长度(结果取整数).解:∵i=115.ACBC=,AC=5,∴BC=1.5×5=7.5.∴AB=228125.AC BC+=≈9(m).5.(20分)一轮船原在A处,它地北偏东45°方向上有一灯塔P,轮船沿着北偏西30°方向航行4 h到达B处,这时灯塔P正好在轮船地正东方向上.已知轮船地航速为25 n mile/h,求轮船在B处时与灯塔地距离（结果可保留根号）.解:过点A作AC⊥BP于点C.由题意知:∠BAC=30°,∠CAP=45°, AB=25×4=100.在Rt△ABC中,BC=12AB=50,AC=32AB=503.在Rt△ACP中,CP=AC=503.∴BP=BC+CP=50(3+1)(n mile).二,综合应用（20分）6.(20分)某型号飞机地机翼形状如图所示.根据图中数据计算AC,BD与AB 地长度（结果保留小数点后两位）.解:如图所示,在Rt△BDE中,BE=5.00,∠DBE=30°,∴DE=BE·tan30°=533,BD=103cos303BE=︒≈5.77(m).在Rt△ACF中,CF=BE=5.00,∠FCA=45°,∴AF=CF=5.00,∴AC=2CF=52≈7.07(m).∴AB=BF-AF=DE+CD-AF=533+3.40-5.00≈1.29(m).三,拓展延伸（10分）7.(10分)海中有一小岛P,在以P为圆心,半径为162 n mile地圆形海域内有暗礁,一艘船自西向东航行,它在A处时测得小岛P位于北偏东60°方向上,且A,P 之间地距离为32 n mile.若轮船继续向正东方向航行,轮船有无触礁危险?请通过计算加以说明.若有危险,轮船自A处开始至少沿东偏南多少度地方向航行,才能安全通过这一海域?解:如图,∠PAB=30°,AP=32.∴PB=12AP=16(n mile).∴PB＜162n mile.∴轮船有触礁危险.假设轮船沿东偏南α恰好能安全通过,此时航线AC与⊙P相切,即PC⊥AC. 又∵AP=32,PC=162,∴∠PAC=45°,∴α=15°.∴轮船自A处开始至少沿东偏南15度方向航行,才能安全通过这一海域.。
人教版九年级下册数学 第3课时 利用方位角、坡度解直角三角形导学案
28.2.2 应用举例第3课时利用方位角、坡度解直角三角形【学习目标】⑴使学生了解方位角的命名特点，能准确把握所指的方位角是指哪一个角⑵逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．⑶巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题．【学习重点】用三角函数有关知识解决方位角问题【学习难点】学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型【导学过程】一、自学提纲：坡度与坡角坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i表示。
即ｉ＝，常写成i=1：m的形式如i=1:2.5把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．结合图形思考，坡度i与坡角α之间具有什么关系？这一关系在实际问题中经常用到。
二、教师点拨：例5如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34方向上的B处.这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？例6同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图6-33水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)四、学生展示：完成课本77页练习补充练习(1)一段坡面的坡角为60°，则坡度i=______；______，坡角 ______度．2、利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图阴影部分是挖去部分)，已知渠道内坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC为0.5米，求：①横断面(等腰梯形)ABCD的面积；②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．五、课堂小结：六、作业设置：课本第78页习题28．2复习巩固第5、7题七、自我反思：本节课我的收获:。
人教版数学九年级下册 与视角有关的解直角三角形应用问题(教案与反思)
28. 2. 2应用举例投我以桃，报之以李。
《诗经·大雅·抑》翰辰学校李道友组长第1课时与视角有关的解直角三角形应用问题【知识与技能】使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，并利用解直角三角形方法来解决问题.【过程与方法】将实际问题转化为解直角三角形问题过程中，培养学生的转化能力，增强分析问题和解决问题的能力.【情感态度】进一步增强学生数学应用意识，感知数学来源于生活又服务于生活的辩证关系.【教学重点】学会将实际问题转化为解直角三角形问题，并能综合运用所学知识来解决这些应用问题.【教学难点】将实际问题抽象为数学模型.一、情境导入，初步认识问题要想使人安全地攀上斜靠在墙上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α—般要满足50°<α<75°.现有一个长5m的梯子.试问：当梯子的底端距离墙角2. 4m，梯子与地面所成的角α等于多少（精确到1°)？这时人是否能够安全使用这个梯子？【教学说明】引导学生先把实际问题转化成数学模型后，分析出其中的已知量和未知量，并与学生一道获得问题的答案.二、典例精析，掌握新知例1 2012年6月i8日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接.“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343 km的圆形轨道上运行，如图，当组合体运行到地球表面犘点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少（地球半径约为6400km，π取3.142，结果取整数）？分析与解从组合体上能直接看到的地球上最远的点，应是视线与地球相切时的切点.如图，⊙O表示地球，点F表示组合体的位置FQ是⊙O的切线，则Q点是从组合体上观测地球时的最远点，的长就是地球上两点P 、Q 之间的距离，这时可利用34364006400cos +==OF OQ α 得到α≈18.36°，故的长为2051640018036.18≈⨯π，而观测到的最远点与P 点的距离约为2051km.需引起学生注意的是，P 、Q 两点的距离指的长度而不是线段PQ 的长.例2 热气球的探测器显示，从热气球上看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m ，这栋高楼有多高（结果取数）？分析与解 可根据仰角和俯角定义知，【教学说明】上述两道例题可让学生自主 探索，也可相互交流，最后师生共同获得解答过 程，学生自查，增强解题技能.三、运用新知，深化理解1.建筑物BC 上有一旗杆AB ，由距BC 40m 的D 处观测旗杆顶部A 的仰角为50°，观测底部B 的仰角为45°，求旗杆的高度（结果保留一位小数).2.同学们对公园的滑梯很熟悉吧！如图是某公园“六•一”前新增设的一台滑梯，设滑梯高度AC=2m，滑梯着地点B与梯架之间的距离BC = 4m.（1）求梯AB的长（精确到0.1m)；（2）若规定滑梯倾斜角（∠ABC)不超过45°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合要求？3.如图，在一次龙卷风中，一棵大树在离地面若干米处折断倒地B为折断点，树顶A落在离树根C的12m处，测得∠BAC=45°，则此棵大树原长为多少米？（精确到0.1m).【教学说明】在学生自主探究过程中，教师巡视，与学生一分析解题思路，探讨构建直角三角形来解决实际问题的方法，并对有困难的学生予以指导，树立他们的学习信心.在完成上述题目，教师引导学生完成创优作业中本课时练习的“课堂演练”部分.四、师生互动，课堂小结通过本节课的学习，你有哪些收获？还有哪些疑问？不妨说说看.【教学说明】让学生在相互交流过程中总结解题思路，解题方程，进一步积累解题经验，并听取学生的疑问，及时查漏补缺.1.布置作业：从教材P7～79习题28.2中选取.2.完成创优作业中本课时的“课时作业”部分.本课时教学时要尽量创设与学生生活环境、知识背景相关的教学情境，引导学生将实际问题转化为简单的数学模型，培养学生的转化能力，增强学生分析实际问题和解决实际问题的能力.教学时应注意从实际生活出发，努力体现数学与生活的联系.此外，还要注重培养学生自主提炼题干并将其转化为数学模型的能，注重从实物的形象思维向数学的抽象思维转变.【素材积累】岳飞应募参军，因战功累累不断升职，宋高宗亲手写了“精忠岳飞”四个字，制成旗后赐给他。
人教版9年级下册数学 方向角和坡角问题教案与教学反思
第2课时 方向角和坡角问题【知识与技能】进一步掌握用解直角三角形的知识解决实际问题的方法，体会方位角、仰角、俯角、坡度（坡比） 的含义及其所代表的实际意义，能用它们进行有关的计算.【过程与方法】通过实际问题的求解，总结出用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程，增强分析问题和解决问题的能力.【情感态度】渗透数形结合的思想方法，增强学生的数学应用意识和能力.【教学重点】用三角函数有关知识解决方位角问题.【教学难点】学会准确分析问题，并将实际问题转化为数学模型.一、复习回顾，新知导引1.仰角、俯角概念；2.方位角的意义.【教学说明】教师提出问题顾，为后继学习作好准备.二、典例精析，掌握新知例1 如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东34°方向上的B 处.这时，海轮所在的B 处距离灯塔P 有多远 (结果取整数）？分析与解 易知P 点正东方向与AC 具有垂直关系，即图中PC 丄AB ，若记垂足为C ，则图中出现了两个直角三角形APC 和直角三角形BPC.而在Rt △APC 中，知AP=80，∠APC=90°-65°=25°，故可求出线段PC 的长，即由APPC =∠APC cos ,得PC=AP · cos25°=80·cos25°≈72.505，因此在Rt △BPC 中，由PB PC PB =∠C cos ，得，13056cos 505.7256cos ≈︒=︒=PC PB 从而可得知海轮在B处时距离灯塔P约130海里.【教学说明】本例的设计较上节课所学过的应用问题不同之处在于用其中一个直角三角形中所获得的结论来作为另一个直角三角形的条件而获得问题的解答，这正是学生感到困难的地方，因而教师应作为引导，帮助学生进行观察思考.例2 如图，拦水坝的横断面是梯形ABCD (图中i=1:3是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比，也称为坡度、坡比），根据图中数据求：（1）坡角α和β；（2）斜坡AB的长（结果保留小数点后一位）.【教学说明】本例可由学生独立完成，教师巡视指导，让学生在自主探究中体会用解直角三角形的知识来解决史记问题的方法，在完成上述例题后，教师引导学生完成创优作业中本课时的名师导学”部分.三、师生互动，课堂小结问题通过学习用解直角三角形知识解决实际问题过程中，你有哪些收获？【教学说明】师生共同探索，完善知识体系.1.布置作业：从教材P77〜79习题28.2中选取.2.完成创优作业中本课时的“课时作业”部分.本课时应首先认知“方位角、仰角、俯角、坡度”及其所代表的实际意义，然后结合解直角三角形的有关知识加以论证，层层展开，步步深入.【素材积累】1、2019年，文野31岁那年，买房后第二年，完成了人生中最重要的一次转变。
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28.2.2 应用举例
长郡中学 史李东
第3课时 利用方位角、坡度解直角三角形
1．知道测量中方位角、坡角、坡度的概念，掌握坡度与坡角的关系；(重点)
2．能够应用解直角三角形的知识解决与方位角、坡度有关的问题．(难点)
一、情境导入
在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度．如图，坡面的铅垂高度(h )和水平长度(l )的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i ，即i ＝h l
.
坡度通常写成1∶m 的形式，如i ＝1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i ＝h l
＝tan α.显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡．我们这节课就解决这方面的问题．
二、合作探究
探究点一：利用方位角解直角三角形 【类型一】 利用方位角求垂直距离
如图所示，A 、B 两城市相距200km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB )，经测量，森林保护中心P 在A 城市的北偏东30°和B 城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P 点为圆心，100km 为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区(参考数据：3≈1.732，2≈1.414)．
解析：过点P作PC⊥AB，C是垂足．AC与BC都可以根据三角函数用PC表示出来．根据AB的长得到一个关于PC的方程，求出PC的长．从而可判断出这条高速公路会不会穿越保护区．
解：过点P作PC⊥AB，C是垂足．则∠APC＝30°，∠BPC＝45°，AC＝PC·tan30°，BC＝PC·tan45°.∵AC＋BC＝AB，∴PC·tan30°＋PC·tan45°
＝200，即
3
3
PC＋PC＝200，解得PC≈126.8km＞100km.
答：计划修筑的这条高速公不会穿越保护区．
方法总结：解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题
【类型二】利用方位角求水平距离
“村村通”公路工程拉近了城乡距离，加速了我区农村经济建设步伐．如图所示，C村村民欲修建一条水泥公路，将C村与区级公路相连．在公路A处测得C村在北偏东60°方向，沿区级公路前进500m，在B处测得C村在北偏东30°方向．为节约资源，要求所修公路长度最．画出符合条件的公路示意图，并求出公路长度．(结果保留整数)
解析：作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，据题意有∠CAD＝30°，求得AD.在Rt△CBD中，据题意有∠CBD＝60°，求得BD.又由AD－BD＝500，从而解得CD.
解：如图，过点作CD⊥AB，垂足落在AB的延长线上，CD即为所修公路，CD
的长度即为公路长度．在Rt△ACD中，据题意有∠CAD30°，∵tan∠CAD＝CD AD ，
∴AD＝
CD
tan30°
＝3CD.在Rt△CBD中，据题意有∠CBD＝60°，∵tan∠CBD＝
CD
BD
，
∴BD＝＝错误!CD.又∵AD－BD＝500，∴错误!CD－错误!CD＝500，解得CD≈
433(m)．
答：所修公路长度约为433m.
方法总结：在解决有关方位角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方位角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题
探究点二：利用坡角、坡度解直角三角形
【类型一】利用坡角、坡度解决梯形问题
如图，某水库大坝的横截面为梯形ABCD，坝顶宽BC＝3米，坝高为2米，背水坡AB的坡度i＝1∶1，迎水坡CD的坡角∠ADC为30°.求坝底AD的长度．
解析：首先过B、C作BE⊥AD、CF⊥AD，可得四边形BEFC是矩形，又由背水坡AB的坡度i＝1∶1，迎水坡CD的坡角∠ADC为30°，根据坡度的定义，即可求解．
解：分别过B、C作BE⊥AD、CF⊥AD，垂足为E、F，可得BE∥CF，又∵BC
∥AD，∴BC＝EF，BE＝CF.由题意，得EF＝BC＝3，BE＝CE＝2.∵背水坡AB的坡
度i＝1∶1，∴∠BAE＝45°，∴AE＝
BE
tan45°
＝2，DF＝
CF
tan30°
＝23，∴AD＝
AE＋EF＋DF＝2＋3＋23＝5＋23(m)．
答：坝底AD的长度为(5＋23)m.
方法总结：解决此类问题一般要构造直角三角形，并借助于解直角三角形的知识求解．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题
【类型二】利用坡角、坡度解决三角形问题
如图，某地下车库的入口处有斜坡AB，它的坡度为i＝1∶2，斜坡AB 的长为65m，斜坡的高度为AH(AH⊥BC)，为了让行车更安全，现将斜坡的坡角改造为14°(图中的∠ACB＝14°)．
(1)求车库的高度AH；
(2)求点B与点C之间的距离(结果精确到1m，参考数据：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25)．
解析：(1)利用坡度为i＝1∶2，得出AH∶BH＝1∶2，进而利用勾股定理求
出AH的长；(2)利用tan14°＝
6
BC＋12
，求出BC的长即可．
解：(1)由题意可得AH∶BH＝1∶2，设AH＝x，则BH＝2x，故x2＋(2x)2＝(65)2，解得x＝6，故车库的高度AH为6m；
(2)∵AH＝6m，∴BH＝2AH＝12m，∴CH＝BC＋BH＝BC＋12m.在Rt△AHC中，
∠AHC＝90°，故tan∠ACB＝AH
CH
，又∵∠ACB＝14°，∴tan14°＝
6
BC＋12
，即0.25
＝6
BC＋12
，解得BC＝12m.
答：点B与点C之间的距离是12m.
方法总结：本题考查了解直角三角形的应用中坡度、坡角问题，明确坡度等于坡角的正切值是解题的关键．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题
三、板书设计
1．方位角的意义；
2．坡度、坡比的意义；
3．应用方位角、坡度、坡比解决实际问题．
将解直角三角形应用到实际生活中，有利于培养学生的空间想象能力，即要求学生通过对实物的观察或根据文字语言中的某些条件，画出适合他们的图形．这一方面在教学过程应由学生展开，并留给学生思考的时间，给学生充分的自主思考空间和时间，让学生积极主动地学习.
【素材积累】
1、人生只有创造才能前进；只有适应才能生存。
博学之，审问之，慎思之，明辨之，笃行之。
我不知道将来会去何处但我知道我已经摘路上。
思想如钻子，必须集中摘一点钻下去才有力量。
失败也是我需要的，它和成功对我一样有价值。
2、为了做有效的生命潜能管理，从消极变为积极，你必须了解人生的最终目的。
你到底想要什么?一生中哪些对你而言是最重要的?什么是你一生当中最想完成的事?或许，你从来没有认真思量过生命潜能管理旧是以有系统的方法管理自我及周边资源，达成。