16-5三重积分换元
重积分的换元法
∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz
Ω
= ∫∫∫ f ( r cosθ , r sinθ , z )rdrdθdz .
Ω
球面坐标与直角坐标的关系为
x = r sinϕ cosθ , y = r sinϕ sinθ , z = r cosϕ.
| J |= r sin ϕ ,
D
y− x y+ x
dxdy, 其中D由 x 轴、y轴和直
所围成的闭区域． 线 x = y − x,
v = y + x,
D
x+ y=2
v−u , 则x= 2
v+u y= . 2
o
v
u = −v
x
v=2
D → D′, 即 x = 0 → u = v;
y = 0 → u = −v; x + y = 2 → v = 2.
变换后区域为
D′ ： x + y = 1 ⇒ u = 1 D′ x = 0 ⇒ u−v = 0 o y=0 ⇒v=0 y ( x + y )2 ∫∫ x + ye dσ = ∫∫′ f ( u, v ) | J | dudv D D
v
u=v
u
v u u u2 1 = ∫ du ∫ ⋅e dv = ∫ ⋅e du = (e − 1). 4 0 0u 0 2
2
∫∫∫ f ( x , y, z )dxdydz =
Ω
∫∫∫
Ω
f ( r sin ϕ cosθ , r sin ϕ sinθ , r cos ϕ )r 2 sin ϕdrdϕdθ .
I 例6 计算三重积分 = ∫∫∫( x + y + z) cos(x + y + z)dv, 其中
换元法计算三重积分
V
当 f(x ,y , z)f(x ,y ,z)即被积函数关于z为偶函数时
f(x ,y ,z )d x d y d z 2 f(x ,y ,z ，)d x d y d z
V
V 1
其中 V 1 是V 位于 x o y 平面上侧的部分.
积分区域关于其它坐标平面：yoz,zox 对称，且被积 函数分别是 x , y , 的奇、偶函数，也有上述类似的结论
解: Ix2dxdydz 5 x y 2 six n 2 y 2d x d y d z
利用对称性
关于 x 为奇函
z
1 2 (x2y2)dxd 数ydz
14dz (x2y2)dxdy 21 D z
1 21 4dz0 2 d02zr3dr21
f(x,y,z)dv
dxdyz2(x,y)f(x,y,z)dz
D
z1(x,y)
方法2. 截面法 (“先二后一”)
:(cx,y)zDdz
以Dz为底, d z 为高的柱形薄片质量为
D zf(x,y,z)dxdyd z
该物体的质量为
f(x,y,z)dv
0
0
oy x
1R5(2 2)
注：这个式子虽容易写出，但是要 求积分结果非常难，我们能不能找
5
到更加简便的方法来研究这道题目
呢？
3. 利用球坐标计算三重积分
设 M (x,y,z) R 3,其柱坐(标 ,,为 z),令 OM r,
ZOM ,则 (r,,)就称为点M 的球坐标.
f(x ,y ,z )d x d y d z 3 f1 (x ,y ,z )d x d y d z .
V
V 1
4. 设由锥面 z x2y2 和球面 x2y2z24
三重积分换元法
三重积分换元法三重积分是数学中的一个重要概念，它与物理、工程等领域密切相关。
三重积分中的换元法是其中一个非常重要的技巧，能够帮助我们更加高效地求解三重积分问题。
下面，我们将详细介绍三重积分换元法的相关知识。
1. 三重积分介绍三重积分是指对三维立体空间中的某一区域进行积分，其结果通常为一个实数或者也可能是一个向量值函数。
在三重积分中，我们通常会用到三个自变量，这三个自变量通常被称为 $x, y, z$。
对于三重积分问题，我们通常需要先确定被积函数和积分区域，然后再进行求解。
在实际应用中，三重积分通常被用来求解物理、工程等领域的问题。
2. 三重积分换元法的基本原理在求解三重积分时，有时候我们会发现积分区域的形状比较复杂，这时候我们可以使用换元法来简化计算。
三重积分换元法的基本原理是将三重积分中的自变量替换为新的自变量，使得积分区域转化为简单的坐标轴画图形式，从而将原积分区域直接变换为新的积分区域。
具体来说，我们通常会选取满足一定条件的替换，使得其中至少一个自变量的下限和上限随着新的自变量而发生变化，从而简化原有的计算问题。
3. 三重积分换元法的常用技巧在实际计算中，三重积分换元法有多种常用技巧。
下面我们就来分别介绍一下。
（1）圆柱换元法当积分区域为旋转体时，我们可以使用圆柱换元法。
具体而言，我们可以将三重积分中的自变量替换为极坐标系中的角度和半径，从而将积分区域转化为一个简单得多的圆柱体积分。
（2）球面换元法当积分区域为球体时，我们可以使用球面换元法。
具体而言，我们可以将三重积分中的自变量替换为球面坐标系中的极角、方位角和距离，从而将积分区域转化为一个简单得多的球体积分。
（3）柱坐标换元法当积分区域为柱体时，我们可以使用柱坐标换元法。
具体而言，我们可以将三重积分中的自变量替换为柱坐标系中的高度、极径和极角，从而将积分区域转化为一个简单得多的柱体积分。
4. 总结三重积分是数学中的一个重要概念，而三重积分换元法则是其中的一个重要技巧。
三重积分的换元法(北工大)
23
例6
计算密度函数 ( x, y, z ) 1 的均匀上
V : x 2 y 2 z 2 a 2 ( z 0) 的重心. 半球体
例7
计算密度函数 ( x, y, z ) 1 的均匀上 半球体 V : x y z 1
2 2 2
关于三个坐标轴的转动惯量.
4
2.柱面坐标变换 x r cos , 设 y r sin , z z,
cos ( x, y, z ) sin ( r , , z ) 0
其中 0
r , 0 2 , z .
0 0 r, 1
r sin r cos 0
f ( x , y , z )dxdydz
V
f ( r cos , r sin , z ) ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ dr d dz .
V
5
dV = dxdydz
z
rdrddz
f ( x , y, z )dxdydz
dV
dz
f ( r cos , r sin , z )
dv r 2 sin drdd
14
例 4 求区域 x y z 2a 与 z 的公共部分的体积.
2 2 2 2
x y
2
2
解 由锥面和球面围成，采用球面坐标，
由x
2
y z 2a
2 2
2
r 2a,
z x y
2 2
, 4
: 0 r 2a ,
2 2
2. 积分区域Ω是由柱面、锥面、旋转 抛物面、平面或球面所围成. 常用柱面坐标计算. 例1 计算抛物面 x 2 y 2 az(a 0), 柱面 x y 2ax(a 0) 与平面
重积分换元公式
面，根据 δ2 和 m 的取法，应有 η(tC , t) < 1 + ε，所以
µ(ϕ(C)) ≤ (1 + ε) ψ(tC ) µ(C).
6. 对 C ∈ Q2 求和得：
∑
∑
µ(ϕ(C)) ≤ (1 + ε)
ψ(tC ) µ(C).
C ∈Q2
C ∈Q2
5
对于 C ∈ Q1 或 C ∈ Q3，我们总能找到一个 tC ∈/ Dt，于是 ψ˜(tC ) = 0。所有
µ(Dx) ≥ A µ(Dt)，于是等号成立。
□
在接下来的证明中，我们将用一些立方体覆盖所关心的区域，然后考虑立
方体在微分同胚下的体积变化。这种计算在以前证明连续可微映射将零测集映
为零测集时曾经做过。不过那时候对体积变化的估计比较粗糙，因为当时只要
证明像集的体积不大于原来立方体的体积乘以一个固定的常数倍就够了，这个
∫
∫
ii) f ∈ R(Dx) ⇒ Dx f (x)dx = Dt f (ϕ(t))ψ(t)dt。
第 i) 条的证明是简单的，只需利用 Lebesgue 可积性定理即可。
证明： i) 只需证明必要性，因为充分性可由必要性方向应用于微分同胚 ϕ−1 和
函数 f ◦ ϕ · ψ 得到。根据定理的条件，Dt 紧、ψ 连续，所以 ψ 在 Dt 上有界。 f ∈ R(Dx) 说明 f 有界，于是 f ◦ ϕ · ψ 也有界。根据复合函数的连续性，若 f 在 x ∈ Dx 处连续，则 f ◦ ϕ 在 t = ϕ−1(x) 处也连续，所以 f ◦ ϕ 的不连续点一 定是 ϕ−1(D(f )) 的子集，其中 D(f ) 表示 f 的不连续点集。根据 Lebesgue 可 积性判据，D(f ) 是零测集；因为 ϕ−1 是连续可微的，所以 ϕ−1(D(f )) 也是零
三重积分的各种计算方法
三重积分的各种计算方法计算： ()f x y z dxdydz Ω⎰⎰⎰，，. 当积分区域Ω的表面用柱(/球)坐标表示时方程简单，且被积函数 () f x y z ，， 用柱(/球)坐标表示时，可变量分离时，可将其转化为用柱(/球)坐标( )F z d d dz ρρθρθΩ⎰⎰⎰，，()2s ()in r F r drd d θϕϕθϕΩ⎰⎰⎰，或，计算三重积分比较简单。
—— 重积分的换元积分法_____________________________________________________________________三重积分的计算是化为三次积分进行的。
其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。
从顺序看：_____________________________________________________________________1. 如果先做定积分21() z z f x y z dz ⎰，，，再做二重积分(,)xyD F x y d σ⎰⎰，就是投影法，也即 “先一后二”。
步骤为：找Ω及在xoy 面投影区域D 。
过D 上一点() x y ，“穿线”确定z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影区域D 上的二重积分，完成“后二”这一步，即()()21,,(,,)[(,,)]xy z x y D z x y f x y z dv f x y z dz d σΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰_____________________________________________________________________2. 如果先做二重积分⎰⎰zD d z y x f σ),,(再做定积分⎰21)(c c dz z F ，就是截面法，也即“先二后一”。
步骤为：确定Ω位于平面1 z c =与2 z c =之间，即12[,]z c c ∈，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面z D 。
三重积分的各种计算方法
x 2 + y 2 dz
= dx
−1
1
1− x 2
− 1− x 2
x 2 + y 2 (1 − x 2 + y 2 )dy
=
6
（注：可用柱坐标计算。 ）
解法二： “截面法” 1. 画出 。
0 2 : 0 r z 0 z 1
2. z [0,1] 过点 z 作垂直于 z 轴的平面截 得 D z ： x 2 + y 2 z 2
c1
c2
完成“后一”这一步，即
f ( x, y, z)dxdydz = [ f ( x, y, z ) d ] dz
c1 Dz
c2
当被积函数 f ( z ) 仅为 z 的函数（与 x，y 无关） ，且 D z 的面积 ( z) 容易求出时， “截 面法”尤为方便。
_____________________________________________________________________
0 2 Dz ： 0 r z
下面用柱坐标计算积分结果 3. 计算：
x + y dxdydz = [ x 2 + y 2 dxdy ]dz
2 2 0 Dz
1
= [ d r 2 dr ]dz
0 0 0
1
2
z
1 2 z = 2 [ r 3 ]0 dz = z 3dz 3 3 0 0
2 2
三重积分的计算方法例题：
补例 1：计算三重积分 I
= zdxdydz ，其中 为平面 x + y + z = 1 与三个坐标面 x = 0，y = 0，z = 0
重积分的换元法
D
o
u
D：x y 1 u 1
x0 uv 0
y0 v0
D
x
y
e( x y)2 d
y
D
f
(u,v) |
J
| dudv
1
u
du
v
eu2 dv
0 0u
1 u eu2du
02
1 (e 1). 4
练习 题
一、作适当的变换,计算下列二重积分:
1、 x 2 y 2dxdy, 其 中D 是 由 两 条 双 曲 线xy 1 和
2.
J
(x, y) (u, v )
1 (u,
v)
.
(x, y)
思考题
计算
D
x
y
e( x y)2 d
y
，其中
D： x
y
1，
x 0和 y 0所围成.
思考题解答
y
令u
v
x
y
y
x
y
u
v
v ,
x y1
D
o
x
雅可比行列式J ( x, y) 1, (u, v )
v
uv
变换后区域为
例1 计算I (x y z) cos(x y z)2 dv, 其中
={(x, y, z) | 0 x y 1, 0 x z 1, 0 x y z 1}.
解: 为了使积分区域变得简单，我们作坐标变换：
x y u, x z v, x y z ,
于是 x 1 (u v ), y 1 (2u v ),
一、二重积分的换元法
平面上同一个点，直角坐标与极坐标之
间的关系为
x y
重积分的换元
1
上述变换叫做三重积分的 Jacobian 变换，也就是 三重积分的换元法公式,J 叫做 Jacobian 行列式。
1. 柱面坐标变换
设 M ( x , y , z ) 为空间内一点，并设点M 在 xoy 面上的投影 P 的极坐标为 r ,，则这样的三 个数 r , , z 就叫点 M 的柱面坐标．
例8 计算三重积分
( x y ) dxdydz , 其中
2
z x 2 y 2 与平面 z 4 所围成的立体。 是由曲面
解 在 xoy面的投影区域为：x 2 y 2 4,
D
x y x y u , v , 2 3 2 3 3 则有 x u v , y ( u v ) ,该变换把平面区域 D 2
2 映射为平面区域 D1 : u v 和 u v 围成，而且
( x , y ) 1 1 3 3 0 ，则 J 3 ( u, v ) 2 2
规定： 0 r ,
0 2,
z
M ( x, y, z )
z .
x
o
r
P(r , )
y
如图，三坐标面分别为
r 为常数
圆柱面；
半平面； 平 面．
为常数
z 为常数
柱面坐标与直角坐标的关系为
x r cos , y r sin , z z.
8.3 重积分的换元法
8.3.1 二重积分的换元法 8.3.2 三重积分的换元法
8.3.1 二重积分的换元法 定理8.1 若函数 f ( x , y ) 在平面 xoy上的闭区域
8_3重积分的换元法
αβD)(θϕ=r (2θϕ=r注: 利用例3可得到一个在概率论与数理统计及工程上 非常有用的反常积分公式+∞ − x2 e dx 0 当D 为 R2 时,∫=π2+∞ − x2 e −∞①事实上,∫∫D e− x2 − y2d xd y = ∫d x∫+∞ − y 2 e −∞dy利用例3的结果, 得= 4⎛ ⎜∫ ⎝2+∞ − x 2 e 0d x⎞ ⎟ ⎠24⎛ ⎜∫ ⎝ 故①式成立 .+∞ − x2 e 0−a 2 ⎞ d x ⎟ = lim π (1 − e ) = π ⎠ a → +∞112 2 x + y = 2 ax 例4. 求球体 x + y + z ≤ 4 a 被圆柱面 (a > 0) 所截得的(含在柱面内的)立体的体积. 2 2 2 2解: 设 D : 0 ≤ r ≤ 2 a cosθ , 0 ≤ θ ≤ 由对称性可知π2zV = 4 ∫∫ = 4∫π0D 24 a 2 − r 2 r d r dθ dθo2y∫02 acosθ4a − r r dr22ax32 3 π 2 32 3 π 2 3 = a ∫ (1 − sin θ ) d θ = a ( − ) 0 3 2 3 312x2 y2 z 2 例5. 试计算椭球体 2 + 2 + 2 ≤ 1 的体积V. a b c 2 2 x y 解: 取 D : 2 + 2 ≤ 1, 由对称性 a b令 x = a r cosθ , y = b r sin θ , 则D 的原象为 D′ : r ≤ 1 , 0 ≤ θ ≤ 2π ∂( x, y ) a cosθ − a r sin θ J= = = abr b sin θ b r cos θ ∂( r ,θ )V = 2 ∫∫ z d x d y = 2 c ∫∫DD1−x2 a2−y2 2 d xd by∴ V = 2 c ∫∫D1 − r 2 a b r d r dθ2π 0= 2 abc ∫dθ∫104 1 − r r d r = π abc 3213内容小结(1) 二重积分的换元法x = x(u , v) 下 ⎧ 在变换 ⎨ ⎩ y = y (u , v) ∂ ( x, y ) (u , v) ∈ D′, 且 J = ≠0 ( x, y ) ∈ D ∂ (u , v) 则 ∫∫ f ( x, y ) d σ = ∫∫ f [ x(u , v), y (u , v)] J d u d vD D′14极坐标系情形: 若积分区域为 D = { (r ,θ ) α ≤ θ ≤ β , ϕ1 (θ ) ≤ r ≤ ϕ 2 (θ ) } 则∫∫D f ( x, y) d σ = ∫∫D f (r cosθ , r sin θ ) rd r dθ= ∫ dθ ∫α β ϕ 2 (θ ) ϕ 1 (θ )f (r cosθ , r sin θ ) rd rβD r = ϕ 2 (θ ) oαr = ϕ1 (θ )15二、三重积分换元法定理: 设f (x, y, z)在有界闭区域Ω上连续变换: ⎧ x = x(u , v, w) ⎪ T : ⎨ y = y (u , v, w) (u , v, w) ∈ Ω′ → Ω ⎪ z = z (u , v, w) ⎩ 满足 (1) x, y , z在 Ω′上 有一阶连续偏导数;(2) 在 Ω′上 雅可比行列式 ∂ ( x, y , z ) ≠ 0; 注 J (u , v, w) = ∂ (u , v, w) (3) 变换 T : Ω′ → Ω 是一一对应的 ,则∫∫∫ = ∫∫∫Ωf ( x, y, z )d x d y d zf ( x(u , v), y (u , v), z (u , v)) J (u , v, w) d u d v d w 16 Ω′常用的变换 1. 柱面坐标变换设 M ( x, y, z ) ∈ R 3 , 将x, y用相应的极坐标 ρ ,θ 代替，则称 （ρ ,θ , z ) 为点M 的柱坐标. 直角坐标与柱面坐标的关系:x = ρ cosθ y = ρ sin θ z=z坐标面分别为⎛ 0 ≤ ρ < +∞ ⎞ ⎜ 0 ≤ θ ≤ 2π ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ − ∞ < z < +∞ ⎠圆柱面 半平面 平面zzM ( x, y , z )ρ = 常数 θ = 常数z = 常数ox ρy θ ( x, y,0)17如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为 d v = ρ d ρ dθ d z 因此zρ dθ∫∫∫Ω f ( x, y, z )d xd yd z = ∫∫∫ F ( ρ ,θ , z )ρ d ρ d θ d z Ωxzρodρ dzy其中 F ( ρ ,θ , z ) = f ( ρ cosθ , ρ sin θ , z ) 适用范围:θρdθdρ1) 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ; 2) 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离. 积分次序通常为 z → ρ → θ .18柱面 x 2 + y 2 = 2 x 及平面 z = 0, z = a (a > 0), y = 0 所围 成半圆柱体.例6. 计算三重积分 ∫∫∫ z x 2 + y 2 d xd yd z 其中Ω为由Ω0 ≤ ρ ≤ 2 cosθ 解: 在柱面坐标系下 Ω : 0 ≤ θ ≤ π 2 0≤ z≤a原式 = ∫∫∫ z ρ 2 d ρ dθ d zΩz ao= ∫ zd z ∫0aπ02 dθ∫02 cosθρ2 d ρ2 ρ = 2 cos θ xy=2 π 4a3∫02 cos 3θ8 2 dθ = a 9dv = ρ d ρ d θ d z19d xd yd z , 其中Ω由抛物面 例7. 计算三重积分 ∫∫∫ 2 2 Ω1 + x + y z x 2 + y 2 = 4 z 与平面 z = h (h > 0) 所围成 .hxoy20ox h d d θρρ),,(ϕθr Myo4πRr =o x y2 4πo xy24πvd )作业P163 1(2)(4), 2(2)(4), 3(4),6(1)(3)(6), 7(3), 12, 13, 1531。
三重积分的计算
z1 S z z1 ( x, y) 1
z1 ( x , y )
f ( x, y, z )dz
O
a
b
Dxy : y1 ( x) y y2 ( x),
y
a x b.
y y1 ( x )
Dxy
( x, y )
y y2 ( x )
x
f ( x, y, z )dv [
则
(先一后二） z2 ( x , y ) [ f ( x, y, z )dz ]dxdy
Dxy
f ( x , y , z )dv
z
z2
S2 z z2 ( x, y)
z1 ( x , y )
y2 ( x ) y1 ( x )
dx
b a
dy
z2 ( x , y )
z
M ( x, y, z )
M ( , , z )
z ＝常数 （水平平面）
由图可知 柱面与直角坐标的关系：
O
z
P ( , ) P ( x, y )
y
x cos y sin zz
(0 , 0 2 , z )
2 ( , )
因此
区域由直角变为柱面坐标表示
1 ( , )
f ( x, y, z)dv d d
D
f ( cos , sin , z )dz
f ( x, y, z)dv d d
D
2 ( , )
0 a, 0 2
za z ,
z
a
y
x
D
三重积分计算
方法2 . 截面法 (“先重后单”)
方法3 . 三次积分法 最后, 推广到一般可积函数的积分计算.
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方法1. 投影法 (“先单后重” ) z1 ( x, y ) z z 2 ( x, y ) : ( x, y ) D 细长柱体微元的质量为
z2 ( x, y ) f ( x , y , z ) d z z ( x, y ) d xd y 1 该物体的质量为
z D z c z
a
2
c z c
解: :
by
x y z Dz : 2 2 1 2 a b c
2
2
2
x
用“先重后单 ”
z
d xd yd z
c
c 2 z dz c
D d x d y
z
2 4 z 2 2 z ab(1 2 )d z abc 3 c 15 c
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返重积分的换元积分公式:
f ( x, y, z ) d xd yd z * F (u, v, w) J
( x , y , z ) 对应雅可比行列式为 J (u , v, w)
dudvdw
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z z2 ( x, y )
z
z z1 ( x, y )
f ( x, y, z ) d v z ( x, y ) f ( x , y , z ) d z d xd y D z ( x, y )
2 1
x
D
y
d xd y
数学分析三重积分
b
y2 ( x )
z2 ( x , y )
f ( x , y , z )dz .
注意
(1) 平行于 z 轴且穿过闭区域 内部的直线与闭 区域 的边界曲面 S 相交不多于两点情形．
( 2) 若平行于 z 轴且穿过闭区域 内部的直线与 闭区域 的边界曲面 S 相交多于两点时，把 分若干个小区域来讨论 ．
f ( x , y , z )dxdydz 为三次积分，
2 2
其中积分区域 为由曲面 z x 2 y
z 2 x
2
及
所围成的闭区域.
解
z x2 2 y2 由 , 2 z 2 x
得交线投影区域 x y 1,
1 x 1 2 2 故 ： 1 x y 1 x , 2 2 2 x 2y z 2 x
2
2
1 x 1 2 2 故 ： 1 x y 1 x , 2 2 2 x 2y z 2 x
因此， I
1 dx
1
1 x
2 2
1 x
dy
2 x
2
2 2
x 2 y
f ( x , y , z )dz .
例3
计算三重积分 z dxdydz 。
y b
2 2
z c
2 2
1 所成的空间闭区域.
解
: {( x , y , z ) | c z c ,
原式
x a
2 2
y b
2 2
1
z c
z
2 2
}
c
c
z dz dxdy ,
16重积分——直角坐标系下三重积分的计算
y
y y1 ( x )
y 2 ( x)
Dxy
y 1 ( x )
f ( x, y, z )dv
b
a
dx
2 ( x )
1 ( x )
dy
z2 ( x , y )
o a
b
x
z1 ( x , y )
f ( x , y , z )dz
6
f ( x, y, z )dv
并作和 f ( i ,i , i )vi。
i 1
n
如果当各小闭区域直径的最大值 趋于零时 这个和的极限总存在, 则称此极限为函数 f ( x, y, z)在闭区域 上的三重积分。
f ( x, y, z)dv lim f ( , , )v
0 i 1 i i i
用竖坐标为z (c1 z c2) 的平面截 所得截面为 D z 或D(z)，即 x
c1
Dz
o
y
{( x, y, z) ( x, y) Dz , c1 z c2 }
c2 c1
f ( x , y, z )dv
dz f ( x , y, z )dxdy ( 3)
f ( x, y, z )dz
f ( x , y, z )dz
f ( x, y, z )dv
a
dx
2 ( x )
1 ( x )
dy
z2 ( x , y )
z1 ( x , y )
上式的数学方法概括为： “先单后重法”，或 “投影法 ”
7
例1 计算三重积分 xdxdydz,
其中1是的上半部分
f 关于z是奇函数 f 关于z是偶函数
三重积分的变量代换
f (x, y, z)dxdydz f [x(u,v, w), y(u,v, w),z(u,v, w)]J dudvdw.
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例1. 求由下面方程表示的曲面所围立体的体积:
( a 1 x b 1 y c 1 z ) 2 ( a 2 x b 2 y c 2 z ) 2 ( a 3 x b 3 y c 3 z ) 2 h 2 , a1 b1 c1
z
ra3cosa
4 2 d
2sin d
a 3 cosr2 dr
0
0
0
r
3 2a30 2sincod s
1
3
y
a3
x
dvr2sin drdd
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轮换对称性：
若积分区域Ω的表达式中将 x, y, z 依次轮换,表达式 不变,则称Ω关于 x, y, z 轮换对称. 此时有
f(x, y,z)dv f(y,z,x)dvf(z,x,y)dv.
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例4. 计算三重积分 (x2y2z2)dxdydz,其中
为锥 z面 x2y2与球面 x2y2z2R2所围立体.
解: 在球面坐标系下
0rR
z rR
: 04
0 2
4
(x 2y2z2)d xdyd z
oy
2
d
4sin d
Rr4 dr
x
0
0
0
1R5(2 2)
dvr2sin drdd
z
直角坐标与球面坐标的关系
三重积分的计算方法
学法教法研究任水平,对公司、对社会也将是一件善事。
一是建立明晰的伦理道德责任。
从目前来看,各种类似“天津港的爆炸案”的案例已经不在少数,每天可能都在上演着,尽管造成这种事故的原因各式各样,有的是自然因素,有的是人为因素,但只要我们细细分析,大多与我们工程师的道德观念崩塌有着或多或少的关系,更有甚者,工程师没有履行职责,尤其是伦理责任没有到位而造成了巨大的损失。
二是建立责任评价和追究机制。
目前,我国的工程师主要是在公司、企业、政府担任一定的职责,在承担责任时往往都是单位,尤其是在追究道德层面的责任,由于责任不清晰,无法认定。
或者根本就没有单独制定这样的评价机制。
对工程师的约束就很少以至于没有,所以,建立公开、公正、公平的工程责任评价和追究机制是非常必要的,从制度机制层面明确工程活动主体的责任,对于社会、对企业或者工程师个人都是大有裨益的。
三是加强伦理教育,提升工程师伦理责任意识。
我们无论大学还是社会,对于工程师的伦理道德教育都不能放松,没有一定的伦理道德教育作为基础,想要工程师们的伦理责任有大幅的提高也是不可能的。
目前,我们的高校在人才培养上,可能注重工程专业技术的培训多,而对于工程师伦理责任的培养却是非常的少,重视程度还不是很够。
所以我们大学应该采取多种措施,加大对工程师伦理道德的培养。
当然,在现实社会中,工程伦理又是实践性和应用性很强的学科,必须结合工程的实际问题,培养出具有生态伦理价值观、思维观和执行力的工程技术人才。
通过以上结合天津港爆炸事件分析,对工程师的伦理责任有了更深层次的认识。
社会的进步和发展离不开工程建设活动,生态文明建设更离不开有效的工程活动,我们的工程师要切实树立增强伦理责任的理念,在工程的设计、施工中既要体现对企业、对公司的经济效益负责,又要体现出对社会、对环境的责任。
参考文献:[1]李世新.谈谈工程伦理学[J].哲学研究,2013(02).[2]张铁山.论阻碍工程师伦理责任发挥的因素及其对策[J].漯河职业技术学院学报,2012(01).[3]何放勋.论工程师的伦理责任[J].湖南工程学院学报,2012(04).[4]胡岩.对工程师伦理责任的探讨[J].中北大学学报(社会科学版),2012(04).三重积分的计算方法张辉李应岐陈春梅(火箭军工程大学理学院陕西西安710025)【摘要】介绍了计算直角坐标下三重积分的六种方法,给出相应的求解思路,并辅以典型例题,旨在使学生对三重积分的计算有更深的理解和掌握。
三重积分的各种计算方法(修订)
1− x2
−1 x 1 ： − 1− x2 y 1− x2 x2 + 2 y2 z 2 − x2
1
1− x2
2−x2
3．计算 I = f (x, y, z)dxdydz = dx dy f (x, y, z)dz
−1 − 1− x2
以上是一般常见的三重积分的计算方法，对 向其它坐标面投影或 不易作出的情 形不赘述。
三重积分的计算方法小结：
1. 对三重积分，采用“投影法”还是“截面法”，要视积分域 及被积函数
f ( x，y，z) 的情况选取。一般地，
投影法（先一后二）： 较直观易掌握； 截面法（先二后一）： Dz 是 在 z 处的截面，其边界曲线方程易写错，
24
补例 2： 计算
x2 + y2 dxdydz ， 其中 是 x2 + y 2 = z 2 和 z = 1围成的闭区域。
解法一：“投影法”
1.
画出 及在 xoy 面的投影区域 D.
由
z
=
x2
+
2y2
消去
z，
z = 1
得 x 2 + y 2 = 1 即 D： x 2 + y 2 1
0 2 1 ： 0 r z
0 z 2
2 由 z=2 与 z= 6 − r 2 围成； z [2,6]， Dz ： r 6 − z
0 2
2
：
0
r
6−z
2 z 6
3. 计算 zdxdydz.
解： zdxdydz = zdxdydz + zdxdydz
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z ln( x 2 + y 2 + z 2 + 1) dxdydz 例 6 计算 ∫∫∫ 2 2 2 x + y + z +1 V 2 2 2 其中积分区域V = {( x , y , z ) | x + y + z ≤ 1}.
解 积分域关于三个坐标面都对称， 积分域关于三个坐标面都对称， 奇函数, 被积函数是 z 的奇函数
解
由x
2
V 由锥面和球面围成， 采用球面坐标， 由锥面和球面围成， 采用球面坐标，
+ y + z = 2a
2 2 2
⇒
z = x + y
2
r =
2
2a ,
π ϕ = , 4
⇒
V : 0 ≤ r ≤ 2a ,
0≤ϕ ≤
π
4
,
0 ≤ θ ≤ 2π ,
由三重积分的性质知 V =
V = ∫ dθ ∫ dϕ ∫
规定： 规定：
0 ≤ r < +∞, 0 ≤ ϕ ≤ π,
0 ≤ θ ≤ 2π.
如图，三坐标面分别为 如图，
r 为常数
球 面； 圆锥面； 圆锥面； 半平面． 半平面．
z
ϕ
O x θ r
M
y
P
ϕ 为常数 θ 为常数
如图， 如图，
z
设点 M 在 xoy 面上的投影为 P， 点 P 在 x 轴上的投影为 A，
一般地， 平面对称， 一般地，当积分区域V关于 xoy平面对称，且被 积函数 f (x, y, z)是关于 z的奇函数，则三重积分为 的奇函数， 的偶函数， 零，若被积函数 f (x, y, z)是关于 z的偶函数，则三重 平面上方的半个闭区域的三重积分 积分为V在 xoy平面上方的半个闭区域的三重积分 的两倍. 的两倍
4 8
I2 = ∫
2π
0
25 2 dθ dr r 2 r ⋅ r dz = π, 0 6 2
∫ ∫
2
2
45 25 原式 I = π − π = 336π . 3 6
2. 球坐标变换
为空间内一点， 设 M ( x , y , z ) 为空间内一点， 则点 M 可用
来确定， 三个有次序的数 r，ϕ，θ 来确定， 其中 r 为原点 O 与点 M 间的距离， 间的距离，
x
柱面坐标变换的Jacobi行列式为 柱面坐标变换的Jacobi行列式为 Jacobi
cos θ ∂ ( x, y, z ) J= = sin θ ∂ ( r ,θ , z ) 0 − r sin θ r cosθ 0 0 0 = r, 1
∴ ∫∫∫ f ( x , y , z )dxdydz
V
= ∫∫∫ f ( r cos θ , r sin θ , z )rdrdθdz .
Q z=a
a , ⇒r= cos ϕ
π x + y =z ⇒ϕ= , 4
2 2 2
a π , 0 ≤ ϕ ≤ , 0 ≤ θ ≤ 2π , ∴V : 0 ≤ r ≤ cos ϕ 4
I = ∫∫∫ ( x + y )dxdydz
2 2 V
= ∫ dθ ∫ dϕ ∫
0
2π
π 4 0
a cos ϕ 0
r 4 sin 3ϕdr
规定： 规定：
0 ≤ r < +∞ ,
0 ≤ θ ≤ 2 π,
• M ( x,
y, z )
− ∞ < z < +∞ .
x
o
θ
r
P (r ,θ )
•
y
如图， 如图，三坐标面分别为
r 为常数
圆柱面； 圆柱面； 半平面； 半平面； 平 面．
z
θ 为常数
z 为常数
柱面坐标与直角坐 标的关系为
o
θ
y
x = r cosθ , y = r sin θ , z = z.
∂( x, y, z ) J= ∂ ( r , ϕ ,θ )
sin ϕ cosθ = sin ϕ sin θ cos ϕ
V
r cos ϕ cosθ r cos ϕ sin θ − r sin ϕ
− r sin ϕ sin θ = r 2 sin ϕ r sin ϕ cos θ 0
∫∫∫ f ( x , y, z )dxdydz =
2− r 2 r
r ≤ z ≤ 2−r ,
2 2
I = ∫ dθ ∫ dr ∫ 2
8
r 2 ⋅ rdr
1 2 = 2π ∫ ⋅ ( 2 z ) dz 2 4
1 3 = 2π ⋅ (8 − 2 3 ) = 336π 3
方法二： 方法二：
2 2 D1 : x + y = 16,
0 ≤ θ ≤ 2π 0≤ r ≤ 4 V1 : 2 , r ≤ z≤8 2
D2 : x 2 + y 2 = 4,
0 ≤ θ ≤ 2π 0≤ r ≤ 2 V2 : 2 . r ≤ z≤2 2
D 1
D 2
∴ I = I1 − I 2 = ∫∫∫ ( x 2 + y 2 )dxdydz − ∫∫∫ ( x 2 + y 2 )dxdydz ,
V1 V2
I1 = ∫
2π
0
45 2 dθ ∫ dr ∫r 2 r ⋅ r dz = π, 0 3 2
2
1 = ∫ du ∫ dv ∫ w cos w ⋅ dw 0 0 0 3 1 1 2 = ∫ w cos w dw 3 0
1 1 1 2
1 2 = sin w 6
1 0
1 = sin1 6
二、常用变换
1. 柱面坐标变换
为空间内一点， 设 M ( x , y , z ) 为空间内一点，并设点 M 在 xoy 面上的投影 P 的极坐标为 r ,θ，则这样的三 的柱面坐标． 个数 r ,θ , z 就叫点 M 的柱面坐标． z
则 OA = x , AP = y , PM = z .
A
x
ϕ
r
• M ( x, y, z )
z
•
o
θ
y
球面坐标与直角坐标的关系为
x
y
P
x = rsinϕcosθ, y = rsinϕsinθ, z = rcosϕ.
球坐标变换的Jacobi行列式为 球坐标变换的Jacobi行列式为 Jacobi
r2 V: ≤ z ≤ 4 − r 2， 3
0 ≤ r ≤ 3,
0 ≤ θ ≤ 2π .
I = ∫ dθ ∫ dr ∫r 2
0 0
3
2π
3
4− r 2
z ⋅ rdz
13 = π. 4
例 3 计算 I =
2
( x 2 + y 2 )dxdydz ， 其中V 是 ∫∫∫
V
曲线 y = 2 z ， x = 0 绕 z 轴旋转一周而成的曲 所围的立体. 面与两平面 z = 2, z = 8所围的立体
z ln( x 2 + y 2 + z 2 + 1) ∫∫∫ x 2 + y 2 + z 2 + 1 dxdydz = 0. V
例7
计算
( x + y + z ) 2 dxdydz 其中V 是由抛 ∫∫∫
V
物面 z = x 2 + y 2 和球面 x 2 + y 2 + z 2 = 2 所围成的 空间闭区域. 空间闭区域
0 0 2π
π 4
∫∫∫ dxdydz,
V
2a
0
r 2 sin ϕdr
= 2π ∫
π 4 0
4 ( 2a )3 = π( 2 − 1)a 3 . sin ϕ ⋅ dϕ 3 3
3. 广义球坐标变换
x = ar sin ϕ cos θ y = br sin ϕ sin θ z = cr cos ϕ
0 ≤ r < +∞
201元
一、三重积分的变量变换公式
理 定 设f ( x , y , z )在有界闭区域 V 上可积 , 若变换
T : x = x ( u, v , w ), y = y ( u, v , w ), z = z ( u, v , w ), 将 uvw
空间中的区域 V ' 一对一的映成 xyz空间中的区域 V ,
I = ∫∫∫ ( x + y )dxdydz = ∫ dθ ∫ rdr ∫ r 2dz
V
a
a4 a5 π 5 3 = 2π ∫ r (a − r )dr = 2π[a ⋅ − ] = a . 0 10 4 5
例 5 求曲面 x2 + y2 + z2 ≤ 2a2与 z ≥ x2 + y2 成的立体体积. 所围 成的立体体积
函数 x ( u, v , w ), y ( u, v , w ), z ( u, v , w )及它们的一阶偏
导数在 V '内连续 , 且函数的行列式
则
∂( x, y, z ) J ( u, v , w ) = ≠ 0, ( u, v , w ) ∈ V '. ∂ ( u, v , w )
∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz
∴
∫∫∫ xzdv = 0,
V
2 V
由对称性知
则I =
∫∫∫ x dv = ∫∫∫ y dv ,
2 V
2
∫∫∫ ( x + y + z )
V
2 2 V
dxdydz
= ∫∫∫ ( 2 x + z )dxdydz ,