北师大九年级数学《图形的相似》总复习课件
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北师大版九年级上册数学《图形的位似》图形的相似研讨说课复习课件
3. 位似多边形上任意一对对应点到位似中心的距离之 比都等于相似比.位似多边形对应角相等,对应边成比例, 周长的比等于相似比,面积的比等于相似比的平方.
4. 作位似多边形的方法:(1)根据“对应点到位似中心的 距离之比等于相似比”作出各顶点关于位似中心的对应点;(2) 用线段顺次连接各对应点.
第四章 图形的相似
解:如图所示:
【归纳总结】画位似图形的一般步骤为:①确定位似中 心;②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点;③ 根据相似比,确定能代表所作的位似图形的关键点,顺次连 接上述各点,得到放大或缩小的图形.
知识点 2 位似图形的应用 例2 已知矩形 ABCD 与矩形 AB′C′D′是位似图形,A 为 位似中心.已知矩形 ABCD 的周长为 24,BB′=4,DD′=2, 求 AB 与 AD 的长.
例1 如图,在平面直角坐标系中,每个小方格都是边长
为 1 个单位长度的正方形,已知△ AOB 与△ A1OB1 位似,位
似中心为原点 O,且相似比为 3∶2,点 A,B 都在格点上,
则点 B1 的坐标为
-2,-23
.
【思路点拨】把点 B 的横、纵坐标分别乘-23得到点 B1 的坐标.
知识点 2 在直角坐标系中画位似图形 例2 (教材 P117 例 2)在平面直角坐标系中,四边形 OABC 的顶点坐标分别是 O(0,0),A(6,0),B(3,6),C(- 3,3).以原点 O 为位似中心画一个四边形,使它与四边形 OABC 位似,且相似比是 2∶3.
画法二:将四边形 OABC 各顶点的坐标都乘-23,得 O(0, 0),A″(-4,0),B″(-2,-4),C″(2,-2);在平面直角坐 标系中描出点 A″,B″,C″,用线段顺次连接点 O,A″,B″, C″,O,则四边形 OA″B″C″也是符合要求的四边形.
北师大版九年级上册数学《相似三角形判定定理的证明》图形的相似说课教学复习课件
探究
判定定理1是从三角形的三个
角来证明三角形相似,能不能从
三角形的角和边一起考虑,来证
明相似呢?
B
角和边!
A A'
C B' C'
思 考
已知:在△ABC 和△A ' B ' C ' 中,
A
A'
A A', A' B ' A'C '
AB
AC
D
E
求证:ΔABC∽ ΔA ' B ' C '
B
C B' C'
如果
AB AB
BC BC
AC , AC
那么,△ABC∽△A′B′C′.
B′
边
√ 边
边 A′
C′
A
B
C
画一画
任意画一个三角形,再画一个三 角形,使它的各边长都是原来三角 形各边长的k倍,度量这两个三角 形的对应角,它们相等吗?这两个 三角形相似吗?与同桌交流一下, 看看是否有同样的结论.
已知:在ABC和A' B'C'中,AB BC AC .
分析:在AB,AC上分别截AD=A'B',AE=A'C',要证题 目结论,只需要证明ADE∽ABC.
根据预备定理,只要证明DE//BC,题意即证.
由AD=A'B',AE=A'C'及条件
A' B' AB
A' C ' AC
有:AADB
AE AC
思
能否由
AD AB
AE AC
推出DE//BC?
北师大版初中数学九年级上-册第四章相似三角形(复习)(共29张PPT)精选全文
归类探究
回归教材
中考预测
相似三角形及其应用
解 析 ∵AD∶DB=3∶5,
∴BD∶AB=5∶8.
∵DE∥BC,
∴CE∶AC=BD∶AB=5∶8,
∵EF∥AB,
∴CF∶CB=CE∶AC=5∶8.
故选A.
考点聚焦
归类探究
回归教材
Байду номын сангаас中考预测
相似三角形及其应用
探究二 相似三角形的性质及其应用
命题角度: 1. 利用相似三角形性质求角的度数或线段的长度; 2. 利用相似三角形性质探求比值关系.
例3 如图22-4,在平行四边形ABCD中,过点A作 AE⊥BC,垂足为E,连接DE,F为线段DE上一点,且 ∠AFE=∠B. (1)求证:△ADF∽△DEC; (2)若AB=8,AD=6 ,AF=4 ,求AE的长.
图22-4
考点聚焦
归类探究
回归教材
中考预测
相似三角形及其应用
考点聚焦
归类探究
回归教材
探究四 位似 命题角度: 1. 位似图形及位似中心定义; 2. 位似图形的性质应用; 3. 利用位似变换在网格纸里作图.
例 4 在平面直角坐标系中,已知点 E(-4,2),F(-2,-2),
以原点 O 为位似中心,相似比D为12,把△EFO 缩小,则点 E 的对应
点 E′的坐标是( )
A.(-2,1)
考点聚焦
归类探究
回归教材
中考预测
相似三角形及其应用
探究五 相似三角形与圆
命题角度: 1. 圆中的相似计算; 2. 圆中的相似证明. 例5 如图22-5,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD 和过C点的直线互相垂直,垂足为D,且AC平分∠DAB. (1)求证:DC为⊙O的切线; (2)若⊙O的半径为3,AD=4,求AC的长.
北师大九年级数学《图形的相似》总复习课件
a、d 叫做比例外项, b、c 叫做比例内项,
比例的性质:
a
b
=
c
d
ad =bc;
练习:
1.若a, b, c, d成比例,且a=2, b=3, c=4,那么d= 6 2、下列各组线段的长度成比例的是( D)
A. 2 , 3, 4, 1 B. 1.5 ,2.5 ,6.5 , 4.5
C. 1.1 ,2.2 ,3.3 ,4.4 D. 1 , 2 , 2 , 4
C 标是( )
A.(﹣2,1) B.(﹣8,4) C.(﹣2,1)或(2,﹣1) D.(﹣8,4)或(8,﹣4)
变式练习
如图,△ABE和△CDE是以点E为位似中心的位 似图形,已知点A(3,4),点C(2,2), 点D(3,1),则点D的对应点B的坐标是(C) A.(4,2) B.(4,1) C.(5,2) D.(5,1)
3.如图,正方形ABCD的边长为8,E是
AB的中点,点M,N分别在BC,CD上, 且CM=2,则当CN=__1_或__4____时,
△CMN与△ADE相似。
A
D
E
N
B
MC
4.在平面直角坐标系,B(1,0), A(3,-3) , C(3,0),点P在y轴的正半轴上运动,若以O, B,P为顶点的三角形与△ABC相似,则点P的坐 标是_(_0_,__1_.5_)_或__(_0_,__2_/3_)__.
范例
如图,线段AB两个端点的坐标分别为A(4,4), B(6,2),以原点O为位似中心,在第一象限 内将线段AB缩小为原来的 后得到线段CD,则
C 端点C和D的坐标分别为( )
A.(2,2),(3,2) B.(2,4),(3,1) C.(2,2),(3,1) D.(3,1),(2,2)
北师大版九年级数学上册 (相似多边形)图形的相似 课件
A
B
F
C
ED
A1 F1
E1
B1 C1
D1
图中的六边形 ABCDEF 与六边形 A1B1C1D1E1F1 是形状相同的多边形,
其中∠A 与∠A1,∠B 与∠B1,∠C 与∠C1,∠D 与∠D1,∠E 与∠E1,
∠F 与∠F1 分别相等,称为对应角;
AB 与 A1B1,BC 与 B1C1,CD 与 C1D1,DE 与 D1E1,EF 与 E1F1,FA
例2 一块长 3 m,宽 1.5 m 的矩形黑板如图所示,镶在其外围的木质边 框宽 7.5 cm . 边框的内外边缘所成的矩形相似吗?为什么?
E A 3m
1.5 m
D H
(3+0.075×2) m
F B
(1.5+0.075×2) m
C G
E A 3m
1.5 m
D H
(3+0.075×2) m
解:
(2)∵梯形ABCD与梯形A′B′C′D′相似,且由(1)知相似
比k= 2 , ∴
AB 2 , BC
2 ,
3 AB 3 BC 3
∵AB=6,B′C′=12,∴A′B′=9,BC=8.
(3)由题意知,∠D′=∠D.
∵AD∥BC,∠C=60°,
∴∠D=180°-∠C=120°.∴∠D′=120°.
归纳
A1 F1
B1 C1
AB
F
C
E1
D1
E
D
要点归纳 ◑相似多边形的定义:
相似多边形用符号“∽”表示, 读作“相似于”
各角分别相等、各边成比例的两个多边形
叫做相似多边形.
◑相似多边形的特征: 相似多边形的对应角相等,对应边成比例.
北师大版数学九年级上册第四单元图形的相似单元复习课件
11.如图, 是 的中线, 是线段 上的一点,且 ,连接 并延长,交 于点 .若 ,
(1) 求 的值;
(2) 求 的长.
(1) 求 的值;
解: , . .
(2) 求 的长.
[答案] 如图,过点 作 ,交 的延长线于点 .
, , . . 是 的中线,
A
A. B. C. D.
3.如图,点 , 在 的边 上,点 在边 上,且 , .
(1) 求证: .
(2) 如果 ,求证: .
(1) 求证: .
证明: , . , . . .
(2) 如果 ,求证: .
[答案] , . , .又 , . . , . . .
6.如图,在 中, , ,则图中类似三角形有( )
C
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
Ⅳ.“旋转型”
7.如图,在 和 中, , .
(1) 写出图中两对类似三角形(不得添加字母和线);
(2) 请说明其中一对三角形类似的理由.
(1) 写出图中两对类似三角形(不得添加字母和线);
Ⅱ.斜“A字形”(不平行)
4.如图, , 两点分别在 的边 , 上, 与 不平行.当添加条件_______________(写出一个即可)时, .
如
5.如图,在 中, , , .某一时刻,动点 从点 出发沿 方向以 的速度向点 匀速运动;同时,动点 从点
Ⅱ.反“8字形”(不平行)
9.如图,在 中, 平分 交 于点 ,点 在 的延长线上,且 .
(1) 求证: .
(2) 求证: .
(1) 求证: .
证明: 平分 , . , . .
(2) 求证: .
[答案] , . , .又 , . ,即 .
(1) 求 的值;
(2) 求 的长.
(1) 求 的值;
解: , . .
(2) 求 的长.
[答案] 如图,过点 作 ,交 的延长线于点 .
, , . . 是 的中线,
A
A. B. C. D.
3.如图,点 , 在 的边 上,点 在边 上,且 , .
(1) 求证: .
(2) 如果 ,求证: .
(1) 求证: .
证明: , . , . . .
(2) 如果 ,求证: .
[答案] , . , .又 , . . , . . .
6.如图,在 中, , ,则图中类似三角形有( )
C
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
Ⅳ.“旋转型”
7.如图,在 和 中, , .
(1) 写出图中两对类似三角形(不得添加字母和线);
(2) 请说明其中一对三角形类似的理由.
(1) 写出图中两对类似三角形(不得添加字母和线);
Ⅱ.斜“A字形”(不平行)
4.如图, , 两点分别在 的边 , 上, 与 不平行.当添加条件_______________(写出一个即可)时, .
如
5.如图,在 中, , , .某一时刻,动点 从点 出发沿 方向以 的速度向点 匀速运动;同时,动点 从点
Ⅱ.反“8字形”(不平行)
9.如图,在 中, 平分 交 于点 ,点 在 的延长线上,且 .
(1) 求证: .
(2) 求证: .
(1) 求证: .
证明: 平分 , . , . .
(2) 求证: .
[答案] , . , .又 , . ,即 .
北师大版九年级上册数学《相似多边形》图形的相似教学说课复习课件
强化训练
1. 观察下面两组图形,图①中的两个图形相似吗?为什么?
10 正方形
12
菱形
10 12
图① 答:不相似.虽然它们的对应边是成比例
的,但它们的对应角不相等.
强化训练
图②中的两个图形相似吗?为什么?
10 正方形
8
矩形
10
12
图②
答:不相似.虽然它们的对应角相等,
但它们的对应边不成比例.
强化训练
证 明 : ∵∠GEA = ∠EAF = ∠GFA = 90° , ∴ 四 边 形 AFGE 为矩形.
∵四边形 ABCD 为正方形,∴AC 平分∠DAB. 又∵GE⊥AD,GF⊥AB,∴GE=GF.∴四边形 AFGE 为正方形. ∴四边形 AFGE 与四边形 ABCD 相似.
巩固训练 1. 如图,有三个矩形,其中相似的是( B )
九年级数学北师版·上册
第四章 图形的相似
相似多边形
课件
新课引入
观察与思考: 下面几组图形有什么相同点和不同点?
(1)
(2)
(3)
(4)
知识讲解
1 相似多边形的概念及基本性质
如图,多边形ABCDEF是显示在电脑屏幕上的,而多边形
A1B1C1D1E1F1是投射到银幕上的.它们的形状相同吗?
A1
B1
A. 甲和乙 C. 乙和丙
B. 甲和丙 D. 没有相似的矩形
2. 两个相似多边形的相似比是 3∶7,其中一个多边形的 最长边是 21,则另一个多边形的最长边是 4499或99 .
3. 一个矩形剪去一个以宽为边长的正方形后,剩下的矩
5-1
形与原矩形相似,则原矩形的宽与长的比是 2 .
4. 如图,矩形 ABCD 中,AB=4,点 E,F 分别在 AD, BC 边上,且 EF⊥BC,若矩形 ABFE∽矩形 DEFC,且相似 比为12,求 AD 的长.
北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》单元复习课件
ab cd bd
ab cd bd
ac bd
4.若线段MN=10,点K为MN的黄金分割点,则KM的长
为
.
5.如图,在△ABC中,已知DE//BC,AD=3BD,S△ABC=48,
求S△ADE.
解:∵ DE∥BC,
A
3 D 1 B
∴△ADE∽△ABC.
∴S△ABC : S△ADE =
E
∵AD : BD = 1:3,
解:过点D作DG⊥AB,分别交AB、EF于点G、H,
则EH=AG=CD=1.2 m,
DH=CE=0.8 m,DG=CA=30 m.
因为EF和AB都垂直于地面,所以EF∥AB,
所以∠BGD=∠FHD=90°,∠GBD=∠HFD,
所以△BDG∽△FDH.
所以
FH BG
DH DG
.
由题意,知
FH=EF-EH=1.7-1.2=0.5(m). ∴ 0.5 0.8 , 解得BG=18.75(m).
DC = 31.5 千米,公路 AB 与 CD 平行吗?说出你
的理由.
解:公路 AB 与 CD 平行.
∴
AB BD
AD BC
=
BD DC
=
2, 3
A
28
∴ △ABD∽△BDC, ∴∠ABD=∠BDC,
14 B
D
31.5 21
42
C
∴AB∥DC.
课后练习
1. 如图,△ABC 的高 AD、BE 交于点 F. 求证:AF EF . BF FD
解:∵ DE∥BC,EF∥AB,∴ △ADE ∽△ABC,
∠ADE =∠EFC,∠A =∠CEF,
D
∴△ADE ∽△EFC.
ab cd bd
ac bd
4.若线段MN=10,点K为MN的黄金分割点,则KM的长
为
.
5.如图,在△ABC中,已知DE//BC,AD=3BD,S△ABC=48,
求S△ADE.
解:∵ DE∥BC,
A
3 D 1 B
∴△ADE∽△ABC.
∴S△ABC : S△ADE =
E
∵AD : BD = 1:3,
解:过点D作DG⊥AB,分别交AB、EF于点G、H,
则EH=AG=CD=1.2 m,
DH=CE=0.8 m,DG=CA=30 m.
因为EF和AB都垂直于地面,所以EF∥AB,
所以∠BGD=∠FHD=90°,∠GBD=∠HFD,
所以△BDG∽△FDH.
所以
FH BG
DH DG
.
由题意,知
FH=EF-EH=1.7-1.2=0.5(m). ∴ 0.5 0.8 , 解得BG=18.75(m).
DC = 31.5 千米,公路 AB 与 CD 平行吗?说出你
的理由.
解:公路 AB 与 CD 平行.
∴
AB BD
AD BC
=
BD DC
=
2, 3
A
28
∴ △ABD∽△BDC, ∴∠ABD=∠BDC,
14 B
D
31.5 21
42
C
∴AB∥DC.
课后练习
1. 如图,△ABC 的高 AD、BE 交于点 F. 求证:AF EF . BF FD
解:∵ DE∥BC,EF∥AB,∴ △ADE ∽△ABC,
∠ADE =∠EFC,∠A =∠CEF,
D
∴△ADE ∽△EFC.
秋九年级数学上册北师大版课件:第四章 图形的相似 单元复习(共20张PPT)
∵AD∥BC, ∴∠ADE=∠DBC,∠ADC+∠C=180°, ∵∠AEB=∠ADC,∠AEB+∠AED=180°, ∴∠AED=∠C,∴△ADE∽△DBC.
巩固提高
(2)连接EC,若CD2=AD•BC,求证: ∠DCE=∠ADB.
连接EC,由(1)得△ADE∽△DBC,
∴
,∴DB•DE=AD•BC.
变式练习
(2)若AP:AB=2:5,则△ACP与△APB的面 积比为 4:25 .
精典范例
【例4】在平面直角坐标系中,已知点A(﹣4, 2),B(﹣2,﹣2),以原点O为位似中心, 把△ABO放大为原来的2倍,则点A的对应点A′ 的坐标是(﹣8,4).
或(8,﹣4)
变式练习
4.在直角坐标系中,△ABC的坐标分别是A (﹣1,2),B(﹣2,0),C(﹣1,1),若 以原点O为位似中心,将△ABC放大到原来的2 倍得到△A′B′C′,那么落在第四象限的A′的坐标 是 (2,. ﹣4)
在正方形ABCD中,AB=12, ∴∠D=90°,AD=12. ∵DE=5,∴根据勾股定理可得AE=13. ∵△ABF∽△EAD, ∴AB:AE=BF:AD,即12:13=BF:12, ∴BF=144/13.
巩固提高
13.在梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC, ∠AEB=∠ADC. (1)求证:△ADE∽△DBC;
巩固提高
5.下列各组线段:①a=1,b=2,c=3,d=4;② a=1,b=2,c=2,d=4;③a= ,b= ,c= , d= .其中是比例线段的有(B) A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
巩固提高
6.如图,在△ABC中,∠ADE=∠B,DE:BC= 2:3,则下列结论正确的是(A) A.AD:AB=2:3 B.AE:AC=2:5 C.AD:DB=2:3 D.CE:AE=3:2
巩固提高
(2)连接EC,若CD2=AD•BC,求证: ∠DCE=∠ADB.
连接EC,由(1)得△ADE∽△DBC,
∴
,∴DB•DE=AD•BC.
变式练习
(2)若AP:AB=2:5,则△ACP与△APB的面 积比为 4:25 .
精典范例
【例4】在平面直角坐标系中,已知点A(﹣4, 2),B(﹣2,﹣2),以原点O为位似中心, 把△ABO放大为原来的2倍,则点A的对应点A′ 的坐标是(﹣8,4).
或(8,﹣4)
变式练习
4.在直角坐标系中,△ABC的坐标分别是A (﹣1,2),B(﹣2,0),C(﹣1,1),若 以原点O为位似中心,将△ABC放大到原来的2 倍得到△A′B′C′,那么落在第四象限的A′的坐标 是 (2,. ﹣4)
在正方形ABCD中,AB=12, ∴∠D=90°,AD=12. ∵DE=5,∴根据勾股定理可得AE=13. ∵△ABF∽△EAD, ∴AB:AE=BF:AD,即12:13=BF:12, ∴BF=144/13.
巩固提高
13.在梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC, ∠AEB=∠ADC. (1)求证:△ADE∽△DBC;
巩固提高
5.下列各组线段:①a=1,b=2,c=3,d=4;② a=1,b=2,c=2,d=4;③a= ,b= ,c= , d= .其中是比例线段的有(B) A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
巩固提高
6.如图,在△ABC中,∠ADE=∠B,DE:BC= 2:3,则下列结论正确的是(A) A.AD:AB=2:3 B.AE:AC=2:5 C.AD:DB=2:3 D.CE:AE=3:2
九年级数学上册 4 图形的相似单元复习(四)图形的相似课件 (新版)北师大版
3.(2015·海南)如图,点 P 是▱ABCD 边 AB 上的一点,射线 CP 交 DA 的延长线于点 E,则图中相似的三角形有( D )
A.0 对 B.1 对 C.2 对 D.3 对 4.如图,∠ACB=∠ADC=90°,BC=a,AC=b,AB=c,要使△ABC ∽△CAD,只要 CD 等于( A )
三、解答题. 11.如图,已知在平行四边形 ABCD 中,点 E 在边 BC 上,射线 AE 交 BD 于点 G,交 DC 的延长线于点 F,AB=6,BE=3EC,求 DF 的长.
解:在平行四边形 ABCD 中,∵AB∥CD,∴BEEC=AEEF;∵AD∥BC, ∴AEEF=DCFC,∴BEEC=DCFC,∵BE=3EC,CD=AB=6,∴CF=2,∴DF= CD+CF=8
b2 b2 ab a2 A. c B. a C. c D. c
5.(2015·宜宾)如图,△OAB 与△OCD 是以点 O 为位似中心的位似图形, 相似比为 1∶2,∠OCD=90°,CO=CD.若 B(1,0),则点 C 的坐标为( B )
A.(1,2) B.(1,1) C.( 2, 2) D.(2,1) 6.如图,是用杠杆撬石头的示意图,C 是支点,当用力压杠杆的 A 端时, 杠杆绕 C 点转动,另一端 B 向上翘起,石头就被撬动,现有一块石头,要使 其滚动,杠杆的 B 端必须向上翘起 10 cm,已知杠杆的动力臂 AC 与阻力臂 BC 之比为 5∶1,则要使这块石头滚动,至少要将杠杆的 A 端向下压( C ) A.100 cm B.60 cm C.50 cm D.10 cm
12 . 如 图 , 在 6×8 的 网格 图 中 , 每 个 小 正 方 形 边 长 均 为 1 , 点 O 和 △ABC的顶点均为小正方形的顶点上. (1)以O为位似中心,在网格图中作△A′B′C′和△ABC位似,且相似比为 1∶2; (2)连接(1)中的AA′,求四边形AA′C′C的周长.(结果保留根号)
初中数学北师大九年级上册图形的相似-射影定理PPT精选全文完整版
知 识 回 顾
1、一般三角形相似的判定方法
( 1 ) 两 角 分 别 相等 的 两 个 三 角 形 相 似
( 2 ) 两 边 成比例 且 夹 角 相等的 两 个 三 角 形 相 似
( 3 ) 三 边 成比例 的 两 个 三 角 形 相 似
2.
( 4 ) 平 行 于三角形一边的直线截其他两边(或两边
的延长线)所得的三角形
与原三角形相似
23、. 直角三角形相似的判定方法
(1)一般三角形相似的判定方法
( 2 ) 一直角边和 斜边 对应成比例的两个直角三角形相似。
新知探究
一、射影
1.如图1,太阳光垂直于L照在A点,留在直线L上的影子应是点A'
,线段AB留在L上的影子是线段A'B'。 2.定义:
A
过线段AB的两个端点分别作直线L的
ECF BCA
E AD
CEF ∽CBA
F B
知识小结
射影定理:
如图,在Rt△ABC中∠ACB=90°, CD⊥AB于点D,则: CD2=AD·BD BC2=BD·AB AC2=AD·AB
视野拓展
图2
新知探究
二、射影定理
1.如图,是一个十分重要的相似三角形的
基本图形,图中的三角形可称为“子母型
相似三角形”,其应用较为广泛。
12
(1)请你找出图中的相似三角形,并
证明。
(2)请你结合射影的相关知识,研究
这几组相似三角形对应线段的比例关系,
你有什么发现吗?
新知探究
2.射影定理(欧几里得定理):
C
A
D
B
例题精析
例题精析
例3 如图,在△ABC中,CD⊥AB于D,DE⊥AC于E ,DF⊥BC于F,求证:△CEF∽△CBA
1、一般三角形相似的判定方法
( 1 ) 两 角 分 别 相等 的 两 个 三 角 形 相 似
( 2 ) 两 边 成比例 且 夹 角 相等的 两 个 三 角 形 相 似
( 3 ) 三 边 成比例 的 两 个 三 角 形 相 似
2.
( 4 ) 平 行 于三角形一边的直线截其他两边(或两边
的延长线)所得的三角形
与原三角形相似
23、. 直角三角形相似的判定方法
(1)一般三角形相似的判定方法
( 2 ) 一直角边和 斜边 对应成比例的两个直角三角形相似。
新知探究
一、射影
1.如图1,太阳光垂直于L照在A点,留在直线L上的影子应是点A'
,线段AB留在L上的影子是线段A'B'。 2.定义:
A
过线段AB的两个端点分别作直线L的
ECF BCA
E AD
CEF ∽CBA
F B
知识小结
射影定理:
如图,在Rt△ABC中∠ACB=90°, CD⊥AB于点D,则: CD2=AD·BD BC2=BD·AB AC2=AD·AB
视野拓展
图2
新知探究
二、射影定理
1.如图,是一个十分重要的相似三角形的
基本图形,图中的三角形可称为“子母型
相似三角形”,其应用较为广泛。
12
(1)请你找出图中的相似三角形,并
证明。
(2)请你结合射影的相关知识,研究
这几组相似三角形对应线段的比例关系,
你有什么发现吗?
新知探究
2.射影定理(欧几里得定理):
C
A
D
B
例题精析
例题精析
例3 如图,在△ABC中,CD⊥AB于D,DE⊥AC于E ,DF⊥BC于F,求证:△CEF∽△CBA
北师大版九年级数学上册期末复习专题四图形的相似教学课件
【归纳总结】
图形的位似主要考查的三个方面
(1)判断两个图形是不是位似图形;
(2)找位似图形的位似中心;
(3)作某个图形关于某一点的位似图形.
考点精析
【变式训练】如图,线段CD两个端点的坐标分别为C(1,2),
D(2,0),以原点为位似中心,将线段CD放大得到线段AB,
若点B的坐标为(5,0),则点A的坐标为( B )
所以∠A=∠BCD.
在△ACD中,∠ADC=90°,
所以∠A+∠ACD=90°,
所以∠BCD+∠ACD=90°,
即∠ACB=90°.
考点精析
考点五
位似
【例5】如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,
E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点,那么矩形
ABCD与四边形EFGH是不是位似图形?如果是,指出位似中
【例2】如图,CD是Rt△ABC斜边上的高,E是AC的中点,
ED、CB的延长线交于点F.求证:△FDB∽△FCD.
证明:因为CD是Rt△ABC斜边上的高,E是AC的中点,
所以CE=ED=AE,
所以∠EDA=∠A,∠EDC=∠ECD.
考点精析
因为∠EDC+∠EDA=90°,∠EDA=∠BDE,
所以∠EDC+∠BDF=90°.
△EAD∽△EBF.
考点精析
考点三
类似三角形的性质
【例3】如图, ABCD中,点E是边AD的中点,EC交对角线BD
于点F,则EF:FC等于( D )
A.3:2
B.3:1
C.1:1
D.1:2
考点精析
解析:因为四边形ABCD是平行四边形,
所以AD∥BC,AD=BC,所以△EFD∽△CFB,
北师大版九年级上册数学《相似三角形的性质》图形的相似说课教学复习课件
∴
即
=
=
( 相似三角形的面积比等于相似比的平方 ),
.
∴EC2 = 2,∴EC =
( 负值舍去 ).
∴BE = BC – EC = 2 –
即 △ABC 平移的距离为 2 –
,
.
C
F
4.7.2 相似三角形的周长比、面积比的性质
温馨提示
相似多边形周长的比等于相似比,面积比等于相似比的平方.
4.7.2 相似三角形的周长比、面积比的性质
△A′B′C′,CD 和 C′D′ 分别是它们的立柱.
(2) 如果 CD = 1.5 cm,那么模型房的房梁立柱有多高?
解:(2) 由 CD:C′D′ = 1:2,得 C′D′ = 2CD = 3 cm,即模型房的房梁立柱
高 3 cm.
4.7.1 相似三角形中对应线段的性质
如图,已知△ABC∽△A′B′C′, △ABC 与△A′B′C′ 相似比为 k ( k > 0 ),
∴AD : A′D′ = k.
∴AF : A′F′ = k.
A
符号语言:
∵△ABC∽△A′B′C′,
且∠BAE =∠EAC,∠B′A′E′ =∠E′A′C′,
∴AE : A′E′ = k.
B
A′
D
B′ D′ E′ F′
E F
C′
C
4.7.1 相似三角形中对应线段的性质
温馨提示
这些结论以后在解决问题过程中能作为定理直接用.
如果是四边形呢?
你能通过类比得出
四边形的结论吗?
4.7.2 相似三角形的周长比、面积比的性质
例2
如图,四边形 ABCD ∽四边形 A′B′C′D′,相似比为 k ( k > 0 ).
即
=
=
( 相似三角形的面积比等于相似比的平方 ),
.
∴EC2 = 2,∴EC =
( 负值舍去 ).
∴BE = BC – EC = 2 –
即 △ABC 平移的距离为 2 –
,
.
C
F
4.7.2 相似三角形的周长比、面积比的性质
温馨提示
相似多边形周长的比等于相似比,面积比等于相似比的平方.
4.7.2 相似三角形的周长比、面积比的性质
△A′B′C′,CD 和 C′D′ 分别是它们的立柱.
(2) 如果 CD = 1.5 cm,那么模型房的房梁立柱有多高?
解:(2) 由 CD:C′D′ = 1:2,得 C′D′ = 2CD = 3 cm,即模型房的房梁立柱
高 3 cm.
4.7.1 相似三角形中对应线段的性质
如图,已知△ABC∽△A′B′C′, △ABC 与△A′B′C′ 相似比为 k ( k > 0 ),
∴AD : A′D′ = k.
∴AF : A′F′ = k.
A
符号语言:
∵△ABC∽△A′B′C′,
且∠BAE =∠EAC,∠B′A′E′ =∠E′A′C′,
∴AE : A′E′ = k.
B
A′
D
B′ D′ E′ F′
E F
C′
C
4.7.1 相似三角形中对应线段的性质
温馨提示
这些结论以后在解决问题过程中能作为定理直接用.
如果是四边形呢?
你能通过类比得出
四边形的结论吗?
4.7.2 相似三角形的周长比、面积比的性质
例2
如图,四边形 ABCD ∽四边形 A′B′C′D′,相似比为 k ( k > 0 ).
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平行线分线段成比例
两条直线被一组平行线所截,所得的对应 线段成比例。 符号语言: 如图,若a∥b∥c ,则 A1 A2 B1 B2 = . A2 A3 B2 B3
m n
a b c A3
A1
A
2
B1 B2 B
3
练习 已知两条直线被三条平行线所截,截得线段的 长度如图所示,求x的值.
3 4 21 = ,x = . x 7 4
给出下列条件:①∠ABD=∠ACB;
②AB2=AD•AC;③AD•BC=AB•BD;
④AB•BC=AC•BD.其中单独能够判定 △ABC∽△ADB的个数是( ) A A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④
如图, 在△ABC中,AB=5,AC=4,E是AB上一点,AE=2,
在AC上取一点F,使以A、E、F为顶点的三角形与
相似三角形判定定理1:三边对应成比例的两 个三角形相似. A D C E F
B
AB AC BC △ABC∽△DEF = = DE DF EF
相似三角形判定定理2:两边对应成比例且夹角相等
的两个三角形相似. A D C E F
B
AB AC = DE DF A=D
△ABC∽△DEF
相似三角形判定定理3:两个角对应相等的两个三角 形相似 A D
A D
E B N C
M
4.在平面直角坐标系,B(1,0), A(3,-3) , C(3,0),点P在y轴的正半轴上运动,若以O, B,P为顶点的三角形与△ABC相似,则点P的坐 (0,1.5)或(0,2/3) 标是__________________.
y
· P
O
· B
C
·
x
· A
5、若△ ACP∽△ABC,AP=4,BP=5,则AC=_______ ,△ 6
若S△AEF=6cm2,则S△CDF = S
2 =____cm 18 △ADF
D F A E B C
54
cm2
8、已知梯形ABCD中, AD∥BC,对角线AC、BD
交于点O,若△AOD的面积为4cm2, △BOC的面积
2 25 为9cm2, 则梯形ABCD的面积为_________cm
解: ∵AD∥BC
=
a
1 , 求 2
a-b b
x 7 y 。3
=
6 5
,
求
b ,
1 4 , 5 5
3 1 x y z x yz y = _____, = ______. 4 1 = = , 则 3 5 x yz 2 3 4 2 x y 3z
11 x 2 xy 3 y 2已知x y : 4 = y : 3, 则 = _______ . 5 2 2 x y
范 例
如图,线段AB两个端点的坐标分别为A(4,4), B(6,2),以原点O为位似中心,在第一象限 内将线段AB缩小为原来的 端点C和D的坐标分别为( 后得到线段CD,则 )
C
A.(2,2),(3,2)
B.(2,4),(3,1)
C.(2,2),(3,1)
D.(3,1),(2,2)
在平面直角坐标系中,已知点E(﹣4,2),F (﹣2,﹣2),以原点O为位似中心,相似比 为 ,把△EFO缩小,则点E的对应点E′的坐 标是( ) A.(﹣2,1) B.(﹣8,4) C.(﹣2,1)或(2,﹣1) D.(﹣8,4)或(8,﹣4)
3.如何作位似图形(放大).
E′ A B C D G F E
●
D′ B′ C′
A′ G′ B F′ C D
A G F E
●
P
P
G′
F′ A′
C′
B′
D′
E′
4.如何作位似图形(缩小).
5.体会位似图形何时为正像何时为倒像.
O
P
位似变换中对应点的坐标变化规律:
在平面直角坐标系中,如果 位似变换是以原点为位似中 心,相似比为k,那么位似 图形对应点的坐标的比等于 k或-k.
B
C
E
F
A=D 似三角形基本图形的回顾:
A D B D E B C E
E A B
D C
A
C
△ADE绕点A 旋转
E
A
D
点
重 移 合 到 A 与 点 ∠ACB=90° CD⊥AB
B
C A D
D B
E C
B
C
13、如图点P是△ABC的AB边上的一点,要使 △APC∽△ACB,则需补上哪一个条件?
比例的性质: a
= b d
c ad bc; =
练习:
1.若a, b, c, d成比例,且a=2, b=3, c=4,那么d=
6
2、下列各组线段的长度成比例的是( D) A. 2 , 3, 4, 1 B. 1.5
D. 1 ,
,2.5 ,6.5 , 4.5
2 , 2 , 4
C. 1.1 ,2.2 ,3.3 ,4.4
范 例
如图,在△ABC中,两条中线BE,CD相交于点
O,则S△DOE∶S△COB为( )
A.1∶4
C.1∶3
B.2∶3
D.1∶2
A
巩 固 提 高
如图,平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部
分面积相等,则 =____________.
相似多边形的判定:对应角相等、对应边的比相等
定义:各对应角相等、各对应边成比例的两个多边形 叫做相似多边形. 相似多边形的性质:
3、四个正数a、b、c、d能构成比例式,其中 b=3,c=2,d=6,则a= 4或9或1 。
一、比例的性质?
★比例的基本性质─ ★比例的合比性质─
a = c ad = bc . b d
a c ab cd = = 。 b d b d
★比例的更比性质— ★比例的等比性质─
a c a b = = b d c d
3 2
a 2b c 2d 5 2 2 9 = = = 2 2 b d
ac = 5 bd 2
m n m 已知 ,求 的值. 2、 = n 6 5
解:方法(1)由对调比例式的两内项比例式仍成立得:
2x 3y 3、已知 (1)若 x y
(2) 若 b
a+b
m 6 n = 5 m n 方法(2)因为 ,所以5m=6n = 6 5 m 6 所以 n = 5
2
48
=
解得:x =27
cm 2
答:留下矩形的面积为 27 cm2
(
(8
8cm
1、 两个多边形不仅相似,而且对应顶点的 连线相交于一点,这样的相似叫做位似,点O 叫做位似中心.
2、利用位似的方法,可以把一个多边形放大或
缩小
范 例
如图,两个三角形是位似图形,它们的位似中
心是( )
A
A.点P
B.点O C.点M D.点N
∴BC=CD=AD,∠D=∠C=90° ∵E是BC中点,FC=
DE 1 CF 1 ∴ = AD 2 CE = 2 ∴ DE = CF AD CE
1 4
A
1
3
D
E
BC
B F
2
C
∵∠D=90° ∴∠1+ ∠3=90 ° ∴∠2+ ∠3=90° ∴ AE⊥EF
∴△ADE∽△ECF ∴∠1=∠2
例2、如图,DE∥BC,EF∥AB,且S△ADE=25,S△CEF=36.
△ABC相似,那么AF=________
A E
.
F1 F2
C
8 5 或 5 2
B
相似三角形的性质: 1、相似三角形的对应角相等,对应边成比例
2、相似三角形的周长比等于相似比,对应高、
对应角平分线,对应中线的比都等于相似比 3、相似三角形的面积比等于相似比的平方。
范 例
已知△ABC∽△DEF,且相似比为2∶3,则
相似多边形的对应角相等,对应边的比相等. 相似多边形的周长之比等于相似比;面积之比 等于相似比的平方.
做一做
如图,在长8cm、宽6cm的矩形中,截去一个矩形 (图中阴影部分所示),使留下的矩形与原矩形相似, 那么留下的矩形面积为多少? 解: 设留下矩形的面积为 x cm, 6cm 由题意得 x 6 2
ACP与△ABC的相似比是_______ _______, 2 : ,周长之比是 3
2 : 3 _______。 4 : 9 面积之比是 A A P
B C
5 3
C D B
6、如图:已知∠ABC=∠CDB=90°,AC=5cm,
BC=3cm,当BD取多少cm时 △ABC和△BDC相似?
练一练
7、在平行四边形ABCD中,AE:BE=1:2.
A
P
2
1
B
∠ACP=∠B
C
或∠APC=∠ACB
或AP:AC=AC:AB
范 例
如图,在△ABC与△ADE中,∠C=∠AED=90°,
点E在AB上,那么添加下列一个条件后,仍无
法判定△ABC∽△DAE的是( )
A. B.∠B=∠D C.AD∥BC D.∠BAC=∠D
B
变 式 练 习
如图,在△ABC中,D是边AC上一点,连BD,
2 2
二、黄金分割
A C B
★点C把线段AB分成两条线段AC和BC,
如果
AC2 = AB BC ★那么称线段AB被点C 黄金分割。 ★点C叫做线段AB的 黄金分割点。 ★AC与AB(或BC与AC)的比叫做 黄金比。
5 1 2
AC BC = AB AC
★黄金比 =
≈0.618
C是线段AB的黄金分割点,线段 AB = 2, 5 1或3 5 则AC = ____.