6-2简谐振动的叠加

o
-B
A x
合振动沿顺时针方向进行；
A y
－ = /2 时，
合振动沿逆时针方向进行。
-A
o
-A
A x
A=B，椭圆变为正圆，如右图所示。
21
22
3.如果()不是上述数 值，那么合振动的轨迹 为椭圆，其范围处于边 长分别为2A(x方向)和 2B(y方向)的矩形内。 两个分振动的频率相 差较大，但有简单的整 数比关系，合振动曲线 称为利萨如图形。
（1）
（2）
18
x cost cos sin t sin 改写为 A y cos t cos sint sin B
（3） （4）
以cos 乘以(3)式，cos 乘以(4)式，后相减得
x y cos cos sin t sin( ) A B
以sin 乘以(3)式，sin 乘以(4)式后相减得
（5）
x y sin sin cos t sin( ) A B
源自文库
（6）
(5)式、(6)式分别平方后相加得合振动的轨迹方程 2 2 x y 2 xy 2 cos( ) sin 2 ( ) A2 B AB 19
A1 sin 1 A2 sin 2 合振动的初相位为： arctan A1 cos 1 A2 cos 2
。
3 0.05sin 0.06sin 5 5 arctan 3 0.05cos 0.06 cos 5 5 6812' 或 24812'
248°12′位于第三象限不合题意， 故知合振动的初相位
A2 A1
ω2
A
A2 ω 1 A 1
x
A
O
ω2
A A12 A2 2 2 A1 A2 cos[( 2 1 )t ( 2 1 )]
16
由于两个分振动频率的微小差异而 产生的合振
动振幅时强时弱的现象称为拍现象。
合振动在1s内加强或减弱的次数称为拍频。 拍频为 三角函数法 设两个简谐振动的振幅和初相位相同
x
O
t
f (t ) A0 An cos( nt n )
n 1

x
O O O O O
t t t t t
25
：主频
n ：n 次谐频
周期性函数 f (t) 的傅里叶级数可表示为
f ( t ) A0 An cos( nt n )
n 1
将复杂的周期性振动分解为一系列简谐振动的 操作，称为频谱分析。 将每项的振幅A和对应的角频率画成图线，就 是该复杂振动的频谱 (frequency spectrum)，其中 每一条短线称为谱线。
-B
－ 0 时，相位相同，取正号，斜率为B/A。 － 时，相位相反，取负号，斜率为-B/A。
合振动的振幅
C A2 B 2
20
2. 当 时 2
x2 A
2

y2 B
2
1
B
y
合振动的轨迹是以坐标轴为
主轴的正椭圆，如右图所示。
－= /2 时，
-A
问初位相为何值时x1＋x3的振幅最大和最小？ 解:（1）由题意知
3 1 A1 0.05m, 1 , A2 0.06m, 2 5 5
将上述各值代入合振动振幅式：
8
2 A A12 A2 2 A1 A2 cos(2 1 )
2 0.052 0.062 2 0.05 0.06 cos( ) 5 8.92 102 (m)
2 1 π
A1 A2 A A1 A2
A2 A1
A
6
7
例6－12 已知两个同方向同频率简谐振动的振动 方程分别为: 3
x1 0.05cos(10t ) (m) 5 1 x2 0.06 cos(10t ) (m) 5
(1) 求其合振动的振幅及初相位； (2) 设另一同方向同频率简谐振动的振动方程为 x3 0.07 cos(10t 3 ) (m)
(k 0,1, 2,)
10
例6－13 两同方向同频率谐振动（例6－13图），合 成振幅0.2m,与第一振动相位差30°,第一振动振幅
3 10 m，求第二振动振幅及两振动位相差。
-1
解 （1）运用余弦定理 得第二振动振幅：
A2
A A 2 A1 A cos
2 1 2

6


2
3 10
x1 A cos( 1t )
2 1
x2 A cos( 2t )
合振动为 x x1 x2 A cos(1t ) A cos(2t )
2 A cos(
2 1
2
t ) cos(
2 1
2
t )
17
拍的振幅为
1
o
x2
简谐运动的合成
1. 两个同方向、同频率的简谐运动的合成 某一质点在直线上同时参与两个独立的同频 率的简谐运动，其振动表达式分别表示为：
x1 A1 cos( t 1 )
x2 A2 cos( t 2 )
2
A A1 A2
A2
2
x2

A

1
A2 A1
π π A1 cos 1 0 1 1 2 2 π π A2 cos 2 0 2 2 2 2
π 由矢量图: 2
2π T
O A2
x2 (t )
T
A2
t
A1
A
2π π x A2 A1 cos( t ) T 2
此式表明，两个互相垂直的、频率相同的简谐 振动合成，其合振动的轨迹为一椭圆，而椭圆的 形状决定于分振动的相位差（－）。 讨论： 1. － 0 或 时 x y 2 B ( ) 0 即 y x A B A 合振动的轨迹是通过坐标原点 的直线，如图所示。
y
B b -A o
a A x
12
C
A
O a1 P
0
a3 a2
0
a4
0
a5
M 0
0
x
因各个振动的振幅相同且相差依次恒为 0 ，上图 中各个矢量的起点和终点都在以 C为圆心的圆周上， 令其半径为R，根据简单的几何关系，可得
OCM N0
13
在三角形OCM中,OM 的长度就是合振动位移矢量 的位移,角度 MOP 就是合振动的初相，据此得
由矢量图得 而
x A cos( t ) （仍为同频率谐振动）
y
2 A A12 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 )
A
A2
2 1
A1 sin 1 A2 sin 2 arc tan A1 cos 1 A2 cos 2
A1 x1 x x
§7-2 简谐振动的叠加
一、同一直线上两个同频率简谐振动的合成 设有两个同频率的简谐振动 x1 A1 cos( t 1 ) x2 A2 cos( t 2 )
合振动 x x1 x2 A1 cos( t 1 ) A2 cos( t 2 )
5
讨论：1. 2 1 2kπ k 0,1,2,
A A1 A2
A
A1
A2
合振幅最大，振动加强
2.
2 1 (2k 1)π k 0,1,2, A2 A A1 A2 A1 A 合振幅减小，振动减弱
3. 一般情况 为任意值
x1 a cost x2 a cos(t 0 ) x3 a cos(t 20 ) xN a cos[t ( N 1)0 ]
求它们的合振动的振幅和初相。 解：采用旋转矢量法可使问题得到简化，从而避开繁 琐的三角函数运算。 根据矢量合成法则，N个简谐振动对应的旋转矢量 的合成如下图所示：
合振幅最大
15
二、同一直线上两个频率相近的简谐振动的合成 两简谐振动分别为
x1 A1 cos( 1t 1 ) x2 A2 cos( 2t 2 )
y
ω1
合振动 x x1 x2 A1 cos(1t 1 ) A2 cos(2t 2 ) 合振动不再是简谐振动， 而是一种复杂振动 矢量图解法 [如图] 由矢量图得合振动的振幅为
68 12 '

9
（2）当
3 1 3 2k
3 2k
3 5 (k 0,1, 2,)
3 5
时，(x1＋x3)的振幅最大，得 当
1 3 1 3 (2k 1) 5
时，(x2＋x3)的振幅最小，得
3

5
(2k 1)
(1) 若 : 2 1 2kπ
k 0,1,2,
k 0,1,2,
则:
(2)
A
2 A12 A2 2 A1 A2 A1 A2
若 : 2 1 (2k 1)π
则:
A
1 A12 A2 2 A1 A2 A1 A2
4
例6 两个同方向的简谐振动曲线(如图所示) （1）求合振动的振幅； x x (t ) （2）求合振动的振动方程。 A1 1 解： A
23
*四、振动的分解 一个复杂的振动可以是由两个或两个以上的 简谐振动所合成。 把有限个或无限个周 期分别为T ,T/2,T/3,…
(或角频率分别为 ,2,
3,…)的简谐振动合成 起来，所得合振动也一
定是周期为T 的周期性
振动。
24
一个以ω为频率的周期 性函数 f (t)，可以用傅里叶 级数的余弦项表示为：
振幅的周期为
2 A cos(
2 1
2
t)
拍频为 1 2 1 2 1 T 2 拍的振动曲线如右图
2 2 T( ) 2 1 2 1
三、两个互相垂直的简谐振动的合成
两简谐振动为
x A cos(t )
y B cos(t )
A
O

26
1 2
0.2
2
2 3 10 1 0.2 cos

6
0.1m
（2）∵
2 A2 A12 A2
∴两振动位相差为：
11
2 1
例题10-6 N个同方向、同频率的简谐振动，它们的振 幅相等，初相分别为 0，， 0， 0， ， 0 2 3 依次差一个恒量 0 ， 振动表达式可写成:
N0 A 2 R sin 2
考虑到
2 N0 sin 2 Aa 0 sin 2
14
a 2 R sin
0
合振动初位相
0 MOP COP COM
1 1 N 1 (π 0 ) (π N0 ) 0 2 2 2
可得合振动的表达式
N0 sin 2 cos(t N 1 ) x A cos(t 0 ) a 0 0 2 sin 2 当 0 0 时(同相合成)，有 A Na 0 0
x x1 x2
A1
x A cos( t )
结论：
x1
x
x
一个质点参与两个在同一直线上频率相同的 简谐运动，其合成运动仍为简谐运动。
3
A
A1 A2 2 A1 A2 cos( 2 1)
2 2
A1 sin 1 A2 sin 2 arctan A1 cos 1 A2 cos 2