10.2021人大附中高三期末答案

人大附中2020-2021学年度高三1月期末模拟统一练习

数学参考答案

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） （1）B （2）B （3）D （4）C

（5） C （6）C

（7）A

（8）C

（9）A

（10）B

二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） （11）36 （12）189 （13）97

（14）31 0e ⎛⎫

− ⎪⎝⎭

，

（15）95%

三、解答题（共6小题，共85分） （16）（共13分）

解：（Ⅰ）因为cos 0b A c −>，由正弦定理可得sin cos sin 0B A C −>， 在△ABC 中，πC A B =−−，sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+， 所以不等式整理为sin cos cos sin sin cos A B A B B A +<， 即sin cos 0A B <，

……………………………………………… 3分 因为(0π)A ∈，，sin 0A >， 所以cos 0B <，所以B 为钝角．

……………………………………………… 5分

（Ⅱ）()i 若满足①③④，则正弦定理可得

sin sin a c A C

=，

sin 2

C =

，所以1sin 2

C =，

……………………………………………… 7分

又a c >，所以A C >，在三角形中，sin 2

A =， 所以4A π

=

或34A π=

，而由（Ⅰ）可得4

A π=， 所以可得6

C π

=，74612B A C πππππ=−−=−−=

，

所以1b ===．

……………………………………………… 9分

()ii 若满足①②，由（Ⅰ）B 为钝角，A ，C 为锐角，

及sin 2A =，sin 2

C =可得4A π=，3C π=，

所以5

12

B π=

不符合B 为钝角，故①②不同时成立．

………………11分

()iii 若满足②③④，由B 为钝角，sin 2

C =，

所以3

C π

=

，而a c >，所以A C >，这时3

B π<

， 不符合B 为钝角的情况，所以这种情况不成立．

………………13分

综上所述：只有满足①③④时1b =+．

（17）（共13分）

解：（Ⅰ）因为在BCD Rt △中，E ，M 分别是线段AD ，AC 的中点， 所以

EM CD ∥．

又因为EM BCD ⊂/面，CD BCD ⊂面， 所以

EM BCD ∥面．

……………………………………………… 3分

（Ⅱ）在BCD Rt △中，F 是斜边BD 的中点，

所以1

12

FC BD =

=. 因为,E F 是,AD BD 的中点，

所以

1

12

EF AB EF AB =

=∥，，且EC = 所以222EF FC EC +=， 所以EF FC ⊥.

……………………………………………… 5分

又因为

,AB BD EF AB ⊥∥， 所以EF BD ⊥， 又BD

FC F =，

所以EF ⊥平面BCD ，

……………………………………………… 7分

（Ⅲ）因为1

2

CE AD AE DE ====， 所以CD AC ⊥. 又因为CD BC ⊥，AC BC C =，

所以CD ⊥平面ABC ， 所以ME ⊥平面ABC ．

因此ECM ∠是直线EC 与平面ABC 所成的角． 故22cos306AC MC EC ==⋅=

所以CD BC ==

. …………… 9分

由（Ⅱ），AB ⊥平面BCD ，如图，在平面BCD 内，

过B 作x 轴⊥BD ，

则BA ，BD ，x 轴两两垂直，建立空间直角坐标系B xyz −． 则()1,1,0C ，()0,0,2A ,()0,1,1E ．

所以()=1,0,1CE −,()0,1,1BE =,()0,1,1AE =−， 设平面ACE 的法向量()111,,m x y z =，

则0C 0

AE m E m ⎧=⎨=⎩⋅⋅，即111100y z x z −=⎧⎨−+=⎩，取11x =,得()1,1,1m =．

设平面BCE 的法向量()222,,n x y z =

则·0

·

0BE n CE n ⎧=⎨=⎩，即222200y z x z +=⎧⎨−+=⎩，取21x =,得()1,1,1n =−．

所以·11

cos ,3

3m n m n m n =

=⨯， 由图形得二面角A CE B −−为锐角， 因此二面角A CE B −−的余弦值为1

3

． …………………………………………13分

（18）（共14分）

解：（Ⅰ）设“抽出的产品中至少有1件不是废品”为事件A ，

则由频率分布直方图可得，1件产品为废品的概率为()0.040.0250.3+⨯=， 则()()2

10.310.090.91P A =−=−=.

………………………………………… 3分

（Ⅱ）由频率分布直方图可知，质量指标值大于或等于85的产品中，

[)85,90m ∈的频率为0.0850.4⨯=；[)90,95m ∈的频率为004502..⨯=； [)95,100m ∈的频率为0.0250.1⨯=.

故利用分层抽样抽取的7件产品中，[)85,90m ∈的有4件，[)90,95m ∈的有2件，

[]95,100m ∈的有1件.

从这7件产品中任取3件产品，质量指标值[)90,95m ∈的件数X 可为0，1，2，

………………………………………… 5分

()3

5372

07C P X C ===，()122537417C C P X C ===，()21253

7127

C C P X C ===， 所以X 的分布列为

所以()0127777

E X =⨯

+⨯+⨯=． ………………………………………… 9分

（Ⅲ）由频率分布直方图可得该产品的质量指标值m 与利润y （元）的关系如下表所示（14t <<）：