《概率论与随机过程》第1章习题答案

《概率论与随机过程》第一章习题答案

1. 写出下列随机试验的样本空间。

（1） 记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。 解： ⎭

⎬⎫⎩⎨⎧⨯=n n n

n S 100

,

,1,0 ，其中n 为小班人数。 （2） 同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。 解：{}18,,4,3 =S 。

（3） 10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录

抽取的次数。 解： {}10,,4,3 =S 。

（4） 生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。 解： {

} ,11,10=S 。 （5） 一个小组有A ，B ，C ，D ，E5个人，要选正副小组长各一人（一个人不能兼二个职务），观察选

举的结果。

解： {}ED EC EB EA DE DC DB DA CE CD CB CA BE BD BC BA AE AD AC AB S ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,=其中，AB

表示A 为正组长，B 为副组长，余类推。

（6） 甲乙二人下棋一局，观察棋赛的结果。

解： {}210,,e e e S =其中，0e 为和棋，1e 为甲胜，2e 为乙胜。

（7） 一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中任意取4只，观察它们具有哪几种颜色。 解： {}rwb wb rb rw b w r S ,,,,,,=其中，,,,b w r 分别表示红色、白色、蓝色。

（8） 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次

品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。

解： {}1111,1110,1101,0111,1011,1010,1100,0110,0101,0100,100,00=S 其中，0为次品，1为正品。 （9） 有A ，B ，C 三只盒子，a ，b ，c 三只球，将三只球装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察

装球的情况。

解： {}Ca Bb Ac Cc Ba Ab Cb Bc Aa Cb Ba Ac Ca Bc Ab Cc Bb Aa S ,,;,,;,,;,,;,,;,,=其中，Aa 表示球a 放

在盒子A 中，余者类推。

（10） 测量一汽车通过给定点的速度。 解：{}0>=v v S

（11） 将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。

解： (){}1,0,0,0,,=++>>>=z y x z y x z y x S 其中，z y x ,,分别表示第一段，第二段，第三段的

长度。#

2. 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。

（1） A 发生，B 与C 不发生。 解：C A （2） A 与B 都发生，而C 不发生。 解： C AB （3） A ，B ，C 都发生。 解： ABC

（4） A ，B ，C 中至少有一个发生。 解： C B A ⋃⋃ （5） A ，B ，C 都不发生。 解： C B A

（6） A ，B ，C 中至多于一个发生。 解： A C C A ⋃⋃ （7） A ，B ，C 中至多于二个发生。 解： C B A ⋃⋃

（8） A ，B ，C 中至少有二个发生。 解： CA BC AB ⋃⋃. #

3. 设{

}10,2,1, =S ,{}4,3,2=A ，{}5,4,3=B ，{}7,6,5=C ，具体写出下列各等式 （1）B A 。 解： {}5=B A ；

（2）B A ⋃。 解： {

}10,9,8,7,6,5,4,3,1=⋃B A ； （3）B A 。 解：{}5,4,3,2=B A ；

（4） BC A 。 解： {}10,9,8,7,6,5,1=BC A

（5）)(C B A ⋃。 解： {}10,9,8,7,6,5,2,1)(=⋃C B A . #

4. 设{}20≤≤=x x S ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<=121x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤=234

1

x x B ，具体写出下列各式。

（1）B A ⋃。 解： ⎭

⎬⎫⎩

⎨⎧

≤≤⋃⎭

⎬⎫

⎩

⎨⎧

≤≤=⋃223410x x

x x B A （2）B A ⋃。 解： ⎭

⎬⎫⎩⎨⎧≤≤⋃⎭⎬⎫⎩

⎨⎧

≤≤⋃⎭

⎬⎫

⎩

⎨⎧

<≤=⋃223121410x x x x

x x B A （3）B A 。 解： {}φ=B A （4）B A 。 解：⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧≤<⋃⎭⎬⎫⎩⎨⎧

≤≤=2312141x x x x

B A . #

5. 设A ，B ，C 是三事件，且41)()()(===C P B P A P ，0)()(==CB P AB P ，81)(=AC P ，求A ，

B ，

C 至少有一个发生的概率。

解：由题意可知：0)(=ABC P ，故()()()()85

)()()()(=+---++=⋃⋃ABC P AC P BC P AB P C P B P A P C B A P 。

或 φ=⋃⋃B C A )( ，∴()()()()8

5

)()()())((=+-+=+⋃=⋃⋃=⋃⋃B P AC P C P A P B P C A P B C A P C B A P 。#

6. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。

（1） 求恰有90个次品的概率。 （2） 至少有2个次品的概率。

解：（1）⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫

⎝⎛2001500110110090400； （2） 设)(k P 表示有k 个次品的概率，故至少有2个次品的概率为：

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎥⎥

⎦⎤

⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=∑

=2001500

1991100140020015002001100

1)1()0(1)(200

2

P P k P k . #

7.（1）在房间里有500个人，问至少有一个人的生日是10月1日的概率是多少（设一年以365天计算）？ （2）在房间里有4个人，问至少有二个人的生日在同一个月的概率是多少？ 解：（1） 属“分房问题”，即有n 个人，每个人都以N 1的概率被分在N 间房中的每一间中，某指定房间

中至少有一人的概率。

设某指定房间中恰有k 个人的概率为)(k P ，则有

()k

n k n

k n N N N k n N N k n k P --⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111)(。故，某指定房间中至少有一人的概率为：

n

n k N N P k P ⎪⎭⎫

⎝⎛--=-=∑

=11)0(1)(1

。

所以，500个人中至少有一个人的生日是10月1日的概率为：

74634.025366.013653641500

=-=⎪

⎭

⎫

⎝⎛-

（2） 属“分房问题”，即有n 个人，每个人都以N 1的概率被分在N 间房中的每一间中，至少有二个

人在同一间房中的概率。

设A 为“每一间房中至多有一个人” 基本事件个数：n N 。

“每一间房中至多有一个人”事件的个数为：

!

n)(N !

N -。