人工智能的数学基础
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定义：设D为谓词公式P的个体域，若对P中 个体常量，函数和谓词按如下规定赋值
① 为每个个体常量指派D 中的一个元素
② 为每个n元函数指派一个从Dn到D的映射， 其中Dn ={(x1,x2,….,xn)/ x1,x2,….,xn∈D}
③ 为每个n元谓词指派一个从Dn到{F,T}的映射， 则称这些指派为公式P到D上的一个解释
④ 若A是合适公式，x是任意个体变元，则 ( x)A(x)和( x)A(x)也都是合式公式
⑤ 在合式公式中，连词的优先级别是﹃、 ∧、 ∨、 →、
辖域内与量词中同名的变元称为约束变元， 其他称为自由变元( x)P(x,y) →Q(x,y)) ∨R(x,y)
(4) 谓词公式的解释：在命题逻辑中，对命题公 式中各个命题变元的一次真值指派称为命题 公式的一个解释。
定义1：如果谓词公式P 对个体域D上的任何一 个解释都取得真值T，则称P在D上是永真的；如 果P在每个非空个体域上均永真，则称P永真。
定义2：对于谓词公式P，如果至少存在一个解 释使得公式P在此解释下的真值为T，则称公式P 是可以满足的。可满足性又称为相容性
定义3：如果谓词公式P对于个体域D上的任何一 个解释都取得真值F，则称P在D上是永假。谓词 公式的永假性称为不可满足性。
----个体用小写字母，可为常量、变元、函数
谓词中包含的个体数目称为谓词的元数
P(x)
一元谓词
P(x，y)
二元谓词
P(x1,x2,….,xn) n元谓词
在P(x1,x2,….,xn)中，若xi (i=1,…,n) 都是个体常 量身、又变是元一、个函一数阶， 谓称 词它 ，为 称一为阶二谓阶词谓。词如果xi本
③ 分配律：P∨( Q∧R ) (P∨Q)∧(Q∨R)
P∧( Q∨R ) (P∧Q)∨(P∧R)
④ 摩根律： ﹃ (P∨Q) ﹃P∧﹃Q
﹃ (P∧Q) ﹃P∨﹃Q
⑤ 双重否定律： ﹃ ﹃ P P ⑥ 吸收律： P∨( P∧Q ) P
P∧( P∨Q ) P ⑦ 补余律： P ∨ ﹃ P T
P∧﹃P F ⑧ 连接词化归律： ﹃ P∨Q
有条件 1＋ 1=10是在二进制条件下成立
命题通常用大写字母表示 命题的缺陷是无法表达结构、逻辑关系
2 谓词：一个谓词可分为 谓词名＋个体 两部分。
谓词名用于刻画个体的性质、状态或个体间的关系， 个体表示某个独立存在的事物或某个抽象的概念。
谓词的一般形式：P(x1,x2,….,xn) ----谓词名用大写字母
例：设个体域D={1，2}，求公式 A (x)(y)P(x,y)
在D上的一个解释，并指出在每一种解释下公式A的真值
解：在公式A中没有包含个体常量和函数，所以可直接为谓词 指派真值，设为
P(1,1)=T, P(1,2)=F, P(2,1)=T, P(2,2)=F
这就是公式A在D上的一个解释。在此解释，因为x=1时y=1,使 P(x,y)的真值为T；x=2时y=1,使P(x,y)的真值为T，即对于D 中的所有x都有y=1使P(x,y)的真值为T，所以在此解释下公 式A的真值为T。
还可以对公式A中的谓词指派另外一组真值，设为
P(1,1)=T, P(1,2)=T, P(2,1)=F, P(2,2)=F
这是对公式A的另一个解释。在此解释下，对D中的所有x（即 x=1与x=2） 不存在一个y ，使得公式A的真值为 T，所以在 此解释下公式A的真值为F。
公式A在D上共有16种解释。
(5) 谓词公式的永真性，可满足性，不可满足性
(6) 谓词公式的等价性与永真蕴含
定义：设P与Q是两个谓词公式，D是他们 共同的个体域，若对D上的任何一个解释， P与Q都有相同的真假，则称公式P和Q在D 上是等价的。记做P Q
① 交换律：P∨Q Q∨P, P∧Q Q∧P
② 结合律： (P∨Q)∨R P∨(Q∨R)
(P∧Q)∧R P∧(Q∧R)
例
P(x) 表示x是正数 F(x,y) 表示x与y是朋友 (x)P(x) 表示个体域中所有个体x都是正数
(x) ( y)F(x，y)表示个体域中任何一个x，都存
在个y，x与y是朋友
(3) 谓词公式
① 单个谓词是合式公式，称为原子谓词公式
② 若A是合式公式，则﹃A是合式公式
③ 若A、B都是合式公式，则A∧B,A∨B,A→B, A B也都是合式公式
个体变元的取值范围称为个体域(有限，无限) 个体常量、个体变元、函数统称为“项”
例：
老张是教师 Teacher(zhang) 谓词名 个体
5>3
Greater(5,3)
谓词名 个体
小王的父亲是教师 Teacher(Father(zhang))
谓词公式
（1）连接词
﹃ ：否定、非，P为真， ﹃P为假
∧：合取，与
∨：析取，或
→：条件，蕴含P→Q,如果P 则 Q
: 双条件 P Q P当且仅当Q
P Q ﹃P P∨Q P∧Q
TT F
T
T
TF F
T
F
FT T
T
F
FF T
F
F
P→Q T F T T
PQ T F F T
(2) 量词
全称量词( X): 对个体域中所有（任一个）个体X
存在量词( X): 个体域中存在个体X
P Q (P→Q)∧(Q→P) P Q (P∧Q)∨(﹃ P∧﹃Q)
⑨ 量词转换律： ﹃ ( x)P ( x)(﹃P) ﹃ (x)P ( x)(﹃P)
⑩ 量词分配律: (x)(P∧Q) ( x)P∧( x)Q
(x)(P∨Q) ( x)P∨( x)Q
定义：对于谓词公式P和Q，如果P→Q永真，则称P永真
第二章 人工智能的数学基础
本章主要介绍有关逻辑、概率论、模糊理论方面的知识
逻辑
--经典命题逻辑和一阶谓词逻辑：二值逻辑
Байду номын сангаас
--除经典逻辑外的那些逻辑
三值逻辑
多值逻辑
模糊逻辑
经典平行
模态逻辑
时态逻辑
经典扩充（语言、定理）
2.1命题逻辑与谓词逻辑
谓词逻辑是在命题逻辑基础上发展起来的，命题逻辑是谓 词逻辑的一种特殊形式。 1. 命题：是具有真假意义的语句。代表人们进行思维时的一 种判断，或肯定（真T），或否定（假F），只有两种情况。 例：永真 北京是中华人民共和国的首都
蕴含Q，且称Q为P的逻辑结论，称P为Q的前提，记作
① 为每个个体常量指派D 中的一个元素
② 为每个n元函数指派一个从Dn到D的映射， 其中Dn ={(x1,x2,….,xn)/ x1,x2,….,xn∈D}
③ 为每个n元谓词指派一个从Dn到{F,T}的映射， 则称这些指派为公式P到D上的一个解释
④ 若A是合适公式，x是任意个体变元，则 ( x)A(x)和( x)A(x)也都是合式公式
⑤ 在合式公式中，连词的优先级别是﹃、 ∧、 ∨、 →、
辖域内与量词中同名的变元称为约束变元， 其他称为自由变元( x)P(x,y) →Q(x,y)) ∨R(x,y)
(4) 谓词公式的解释：在命题逻辑中，对命题公 式中各个命题变元的一次真值指派称为命题 公式的一个解释。
定义1：如果谓词公式P 对个体域D上的任何一 个解释都取得真值T，则称P在D上是永真的；如 果P在每个非空个体域上均永真，则称P永真。
定义2：对于谓词公式P，如果至少存在一个解 释使得公式P在此解释下的真值为T，则称公式P 是可以满足的。可满足性又称为相容性
定义3：如果谓词公式P对于个体域D上的任何一 个解释都取得真值F，则称P在D上是永假。谓词 公式的永假性称为不可满足性。
----个体用小写字母，可为常量、变元、函数
谓词中包含的个体数目称为谓词的元数
P(x)
一元谓词
P(x，y)
二元谓词
P(x1,x2,….,xn) n元谓词
在P(x1,x2,….,xn)中，若xi (i=1,…,n) 都是个体常 量身、又变是元一、个函一数阶， 谓称 词它 ，为 称一为阶二谓阶词谓。词如果xi本
③ 分配律：P∨( Q∧R ) (P∨Q)∧(Q∨R)
P∧( Q∨R ) (P∧Q)∨(P∧R)
④ 摩根律： ﹃ (P∨Q) ﹃P∧﹃Q
﹃ (P∧Q) ﹃P∨﹃Q
⑤ 双重否定律： ﹃ ﹃ P P ⑥ 吸收律： P∨( P∧Q ) P
P∧( P∨Q ) P ⑦ 补余律： P ∨ ﹃ P T
P∧﹃P F ⑧ 连接词化归律： ﹃ P∨Q
有条件 1＋ 1=10是在二进制条件下成立
命题通常用大写字母表示 命题的缺陷是无法表达结构、逻辑关系
2 谓词：一个谓词可分为 谓词名＋个体 两部分。
谓词名用于刻画个体的性质、状态或个体间的关系， 个体表示某个独立存在的事物或某个抽象的概念。
谓词的一般形式：P(x1,x2,….,xn) ----谓词名用大写字母
例：设个体域D={1，2}，求公式 A (x)(y)P(x,y)
在D上的一个解释，并指出在每一种解释下公式A的真值
解：在公式A中没有包含个体常量和函数，所以可直接为谓词 指派真值，设为
P(1,1)=T, P(1,2)=F, P(2,1)=T, P(2,2)=F
这就是公式A在D上的一个解释。在此解释，因为x=1时y=1,使 P(x,y)的真值为T；x=2时y=1,使P(x,y)的真值为T，即对于D 中的所有x都有y=1使P(x,y)的真值为T，所以在此解释下公 式A的真值为T。
还可以对公式A中的谓词指派另外一组真值，设为
P(1,1)=T, P(1,2)=T, P(2,1)=F, P(2,2)=F
这是对公式A的另一个解释。在此解释下，对D中的所有x（即 x=1与x=2） 不存在一个y ，使得公式A的真值为 T，所以在 此解释下公式A的真值为F。
公式A在D上共有16种解释。
(5) 谓词公式的永真性，可满足性，不可满足性
(6) 谓词公式的等价性与永真蕴含
定义：设P与Q是两个谓词公式，D是他们 共同的个体域，若对D上的任何一个解释， P与Q都有相同的真假，则称公式P和Q在D 上是等价的。记做P Q
① 交换律：P∨Q Q∨P, P∧Q Q∧P
② 结合律： (P∨Q)∨R P∨(Q∨R)
(P∧Q)∧R P∧(Q∧R)
例
P(x) 表示x是正数 F(x,y) 表示x与y是朋友 (x)P(x) 表示个体域中所有个体x都是正数
(x) ( y)F(x，y)表示个体域中任何一个x，都存
在个y，x与y是朋友
(3) 谓词公式
① 单个谓词是合式公式，称为原子谓词公式
② 若A是合式公式，则﹃A是合式公式
③ 若A、B都是合式公式，则A∧B,A∨B,A→B, A B也都是合式公式
个体变元的取值范围称为个体域(有限，无限) 个体常量、个体变元、函数统称为“项”
例：
老张是教师 Teacher(zhang) 谓词名 个体
5>3
Greater(5,3)
谓词名 个体
小王的父亲是教师 Teacher(Father(zhang))
谓词公式
（1）连接词
﹃ ：否定、非，P为真， ﹃P为假
∧：合取，与
∨：析取，或
→：条件，蕴含P→Q,如果P 则 Q
: 双条件 P Q P当且仅当Q
P Q ﹃P P∨Q P∧Q
TT F
T
T
TF F
T
F
FT T
T
F
FF T
F
F
P→Q T F T T
PQ T F F T
(2) 量词
全称量词( X): 对个体域中所有（任一个）个体X
存在量词( X): 个体域中存在个体X
P Q (P→Q)∧(Q→P) P Q (P∧Q)∨(﹃ P∧﹃Q)
⑨ 量词转换律： ﹃ ( x)P ( x)(﹃P) ﹃ (x)P ( x)(﹃P)
⑩ 量词分配律: (x)(P∧Q) ( x)P∧( x)Q
(x)(P∨Q) ( x)P∨( x)Q
定义：对于谓词公式P和Q，如果P→Q永真，则称P永真
第二章 人工智能的数学基础
本章主要介绍有关逻辑、概率论、模糊理论方面的知识
逻辑
--经典命题逻辑和一阶谓词逻辑：二值逻辑
Байду номын сангаас
--除经典逻辑外的那些逻辑
三值逻辑
多值逻辑
模糊逻辑
经典平行
模态逻辑
时态逻辑
经典扩充（语言、定理）
2.1命题逻辑与谓词逻辑
谓词逻辑是在命题逻辑基础上发展起来的，命题逻辑是谓 词逻辑的一种特殊形式。 1. 命题：是具有真假意义的语句。代表人们进行思维时的一 种判断，或肯定（真T），或否定（假F），只有两种情况。 例：永真 北京是中华人民共和国的首都
蕴含Q，且称Q为P的逻辑结论，称P为Q的前提，记作