层次分析法

max m
m 1

3.018 3 0.009 3 1
C . I 0.009 C .R 0.017 0.1 R. I 0.52
所以，判断矩阵A4(2)满足一致性检验。
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②第二层：对于各准则B1、B2、B3 、B4、B5 ，构造判断矩阵A1(2)、A2(2)、A3(2) 、 A4(2)、A5(2) ，分别求解最大特征值及其对应的特征向量，并进行一致性检验。 ●对于准则B5(市容美观)：
G
g 1(1)
(1) g2
总目标 ……
(1) gn 1
第1层子目标
g1( n )
(n) g2
……
( n) gn n
第n层子目标
C1
C2
……
Cs
方案层
某市中心有一座商场，由于街道狭窄，人员车辆流量过大， 经常造成交通堵塞。市政府决定解决这个问题，经过有关专 家会商研究制定出三个可行方案： c1：在商场附近修建一座环形天桥； c2：在商场附近修建地下人行通道； c3：搬迁商场。 决策的总目标是改善市中心交通环境。根据当地的具体条件 和有关情况,专家组拟定五个目标作为对可行方案的评价准 则： b1：通车能力； b2：方便群众； b3：基建费用不宜过高； b4：交通安全； b5：市容美观。 试对该市改善市中心交通环境问题作出决策分析。
B2
B3
B4
B5 4 3 3 3 1
(1) 最大特征值 max 5.206
A
(1)
B1 1 3 5 3 B2 1 / 3 1 3 1 B3 1 / 5 1 / 3 1 1 / 3 B4 1 / 3 1 3 1 B5 1 / 5 1 / 3 1 / 3 1 / 3
心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个，即每层不要超过9个因素。
a 用 ij 表示第
i 个因素相对于第j个因素的比较结果，则
A aij n n
a11 a21 a n1
a1n a22 a2 n 其中 a 1 ij a ji an 2 ann a12
2. 简洁实用的决策方法 这种方法既不单纯追求高深数学，又不片面地注重 行为、逻辑、推理，而是把定性方法与定量方法有 机地结合起来，使复杂的系统分解，能将人们的思 维过程数学化、系统化，便于人们接受，且能把多 目标、多准则又难以全部量化处理的决策问题化为 多层次单目标问题，通过两两比较确定同一层次元 素相对上一层次元素的数量关系后，最后进行简单 的数学运算。所得结果简单明确，容易为决策者了 解和掌握。
该方法自1982年被介绍到我国以来，以其定性 与定量相结合地处理各种决策因素的特点，以 及其系统灵活简洁的优点，迅速地在我国社会 经济各个领域内，如工程计划、资源分配、方 案排序、政策制定、冲突问题、性能评价、能 源系统分析、城市规划、经济管理、科研评价 等，得到了广泛的重视和应用。
层次分析法原理及应用实例
B4 C1 C 2
(2) A4
C3
(2) 最大特征值 4max 3.018
C1 1 1 / 2 1 / 3 C2 2 1 1 C3 1 3 1
C .I
特征向量
P4(2)
0.169 0.387 0.433
B3 C1
(2) A3
C2
C3
(2) 最大特征值 3max 3.079
C1 1 4 7 C2 1 / 4 1 4 C3 1 / 7 1 / 4 1
C .I
特征向量
0.695 P3(2) 0.229 0.075
0.461 0.455 0.648 0.695 0.169 0.169 0.195 0.455 0.230 0.229 0.387 0.387 0.091 0.091 0.122 0.075 0.443 0.443 0.195 0.059
3.层次单排序及其一致性检验
层次单排序：确定下层各因素对上层某因素影响 程度的过程。用权值表示影响程度
对应于判断矩阵最大特征根λmax的特征向量， 经归一化(使向量中各元素之和等于1)后记为W。 W的元素为同一层次因素对于上一层次因素某因 素相对重要性的排序权值，这一过程称为层次单 排序。 能否确认层次单排序，需要进行一致性检验， 所谓一致性检验是指对A确定不一致的允许范围。
C1 1 3 5 C2 1 / 3 1 2 C3 1 / 5 1 / 2 1
C .I
特征向量
0.648 P2(2) 0.230 0.122
max m
m 1

3.005 3 0.0025 3 1
运用层次分析法构造系统模型时，大体可以 分为以下四个步骤：
1.建立层次结构模型 2.构造判断(成对比较)矩阵 3.层次单排序及其一致性检验 4.层次总排序及其一致性检验
1.建立层次结构模型
将决策的目标、考虑的因素（决策准则）和决策 对象按它们之间的相互关系分为最高层、中间层 和最低层，绘出层次结构图。 最高层：决策的目的、要解决的问题。 最低层：决策时的备选方案。 中间层：考虑的因素、决策的准则。
A 则称为成对比较矩阵。
1. 不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比较。 2. 对此时采用相对尺度，以尽可能减少性质不同的诸因素相互比 较的困难，以提高准确度。
A B1
B2
B3
B4
B5 4 3 3 3 1
A(1)
B1 1 3 5 3 B2 1 / 3 1 3 1 B3 1 / 5 1 / 3 1 1 / 3 B4 1 / 3 1 3 1 B5 1 / 5 1 / 3 1 / 3 1 / 3
改善交通环境A
总目标
通 车 能 力 B1
方 便 群 众 B2
基 建 费 用 B3
交 通 安 全 B4
市 容 美 观 B5
准则层
天 桥 C1
地 道 C2
搬 迁 C3
方案层
2.构造判断(成对比较)矩阵
设某层有 n 个因素，
X x1 , x2 ,, xn
比较它们对上一层某一准则（或目标）的影响程度，确定 在该层中相对于某一准则所占的比重。（即把n个因素对上 层某一目标的影响程度排序）
max m
m 1

3.079 3 0.0395 3 1
C . I 0.0395 C .R 0.076 0.1 R. I 0.52
所以，判断矩阵A3(2)满足一致性检验。
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②第二层：对于各准则B1、B2、B3 、B4、B5 ，构造判断矩阵A1(2)、A2(2)、A3(2) 、 A4(2)、A5(2) ，分别求解最大特征值及其对应的特征向量，并进行一致性检验。 ●对于准则B4(交通安全)：
所以，判断矩阵A1(2)满足一致性检验。
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②第二层：对于各准则B1、B2、B3 、B4、B5 ，构造判断矩阵A1(2)、A2(2)、A3(2) 、 A4(2)、A5(2) ，分别求解最大特征值及其对应的特征向量，并进行一致性检验。 ●对于准则B2(方便群众)：
B2 C1
(2) A2
C2
C3
(2) 最大特征值 2max 3.005
C . I 0.0025 C .R 0.0048 0.1 R. I 0.52
所以，判断矩阵A2(2)满足一致性检验。
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②第二层：对于各准则B1、B2、B3 、B4、B5 ，构造判断矩阵A1(2)、A2(2)、A3(2) 、 A4(2)、A5(2) ，分别求解最大特征值及其对应的特征向量，并进行一致性检验。 ●对于准则B3(基建费用)：
max m
m 1

3.018 3 0.009 3 1
C . I 0.009 C .R 0.017 0.1 R. I 0.52
所以，判断矩阵A5(2)满足一致性检验。
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4.层次总排序及其一致性检验
W ( 2)
( 2) w1 ( 2) (2) (1) (2) (2) (2) (2) (2) (1) P W ( P , P , P , P , P ) W w2 1 2 3 4 5 ( 2) w3
0.442 0.374 0.185
这说明三个可行方案的排序结果是C1＞C2＞C3， 即是修建天桥是最满意方案，其次是修建地下人行通道，最次 是搬迁商场。
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层次分析法优缺点
优点
1. 系统性的分析方法 层次分析法把研究对象作为一个系统，按照分解、 比较判断、综合的思维方式进行决策，成为继机理 分析、统计分析之后发展起来的系统分析的重要工 具。系统的思想在于不割断各个因素对结果的影响， 而层次分析法中每一层的权重设置最后都会直接或 间接影响到结果，而且在每个层次中的每个因素对 结果的影响程度都是量化的，非常清晰、明确。这 种方法尤其可用于对无结构特性的系统评价以及多 目标、多准则、多时期等的系统评价。
ＣＩ与ＲＩ的比率称为检验系数ＣＲ。当ＣＲ＜０．１ 时，认为矩阵具有令人满意的一致性。否则对于矩阵的 各项取值要重新判断，直到矩阵的检验系数ＣＲ＜ ０．１，其他判断矩阵都以此类推。
①第一层：对于总目标A，准则层各准则构造判断矩阵A(1)，求解最大特征值及其 对应的特征向量，并进行一致性检验。
A B1
C2
C3
最大特征值
C1 1 1 5 C2 1 1 5 C3 1 / 5 1 / 5 1
C .I
特征向量
P1( 2)
0.455 0.455 0.091
max m
m 1

33 0 3 1
C .I 0 C .R 0 0.1 R. I 0.52
B5 C1 C 2
(2) A5
C3
(2) 最大特征值 5max 3.018
C1 1 1 / 2 1 / 3 C2 2 1 1 C3 1 3 1
C .I
特征向量
P5(2)
0.169 0.387 0.433
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由于学科服务的相关因素具有复杂性和多样性，且评分 专家对各项指标的认识和判断力各不相同。因此构造的 判断矩阵的各项取值可能存在一定偏差。为了避免这些 人为因素造成重大偏差，层次分析法要求对判断矩阵进 行一致性检验。首先需要计算其一致性指标ＣＩ。定义 为：ＣＩ＝（λ ｍａｘ－ｎ）／（ｎ－１）。ＣＩ的值 越大，矩阵的一致性越差。为了判断矩阵是否有令人满 意的一致性，需要将ＣＩ与平均随机一致性指标ＲＩ比 较。
所以，判断矩阵A(1)满足一致性检验。
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②第二层：对于各准则B1、B2、B3 、B4、B5 ，构造判断矩阵A1(2)、A2(2)、A3(2) 、 A4(2)、A5(2) ，分别求解最大特征值及其对应的特征向量，并进行一致性检验。 ●对于准则B1(通车能力)：
(2) 1max 3
B1 C1 A1(2)
层次分析法
目录
层次分析法定义 层次分析法原理应用实例 层次分析法优缺点
层次分析法定义
• 层次分析法（简称AHP）是将与决策有关的 元素分解成目标、准则、方案等层次，在 此基础之上进行定性和定量分析的决策方 法。该方法是美国运筹学家匹茨堡大学教 授萨蒂于20世纪70年代初，在为美国国防 部研究"根据各个工业部门对国家福利的贡 献大小而进行电力分配"课题时，应用网络 系统理论和多目标综合评价方法，提出的 一种层次权重决策分析方法。
特征向量 (权重)
W (1)
0.461 0.195 0.091 0.195 0.059
C .I
max m
m 1

5.206 5 0.0515 5 1
C . I 0.0515 C .R 0.046 0.1 R. I 1.12