热传导与热辐射大作业报告
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热传导与热辐射大作业报告
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一、作业题目.................................................................................................... 错误!未指定书签。
二、作业解答.................................................................................................... 错误!未指定书签。个人感想............................................................................................................ 错误!未指定书签。附件.计算中所用程序...................................................................................... 错误!未指定书签。
一矩形平板a x ≤≤0, b y ≤≤0，内有均匀恒定热源
0g ，在0=x 及0=y 处绝热，在a x =及b y =处保
持温度1T ，初始时刻温度为0T ，如右图1所示：
1、求0>t 时，矩形区域内的温度分布()t y x T ,,的解析表达式；
2、若m a 18=，m b 12=，301m W g =，K 6T 001=，K T 2000=，热传导系数
K m W k ⋅=0.1，热扩散系数20.8m s α=。请根据1中所求温度分布用软
件绘出下列结果，加以详细物理比较和分析：
(a)
300s 内，在同一图中画出点)4,0(、)8,0(、()0,6、)0,12(、)6,9(（单位：m ）温度随时间的变化；
(b)
200s 内，画出点)4,18(、)8,18(、()12,6、)12,12(、)6,9(（单位：
m ）处，分别沿x 、y 方向热流密度值随时间的变化；
(c) 画出s s s s s t 1501251007550、、、、=时刻区域内的等温线； (d)
300s 内，在同一图中画出点()0,9（单位：m ）在0g 分别等于
31m W ，32m W ，33m W 情况下的温度变化；
(e) 300s 内，比较点(9,6) （单位：m ）在其它参数不变情况下热导
率分别为K m W ⋅5.0、K m W ⋅0.1和K m W ⋅5.1的温度、热流密度变化；
(f)
300s 内，比较点(9,6) （单位：m ）在其它参数不变情况下热扩
散系数分别为s m 24.0、s m 28.0和s m 22.1的温度、热流密度变化； 3、运用有限差分法计算2中(b)、(d)和(e)，并与解析解结果进行比较，且需将数值解与解析解的相对误差减小到1‰以下；
4、附上源程序和个人体会；
以报告形式整理上述结果，用A4纸打印上交。
1、求0>t 时，矩形区域内的温度分布()t y x T ,,的解析表达式；
解答：我们令1T T θ-=，则可以得到一个方程和边界条件：
t
1k g y x 02222∂∂=
+∂∂+∂∂T
αθθ （1-1）
.0,0d ==x dx
θ
a 0==x ，θ
0,0y
d ==y d θ
b ==y 0，θ 0t 10=-=，T T θ
将上式分解为一个)y x s ，（θ的稳态问题：
0k
g y x 0
2s 22
s 2=+∂∂+∂∂θθ （1-2）
.0,0d s
==x dx
θ
a 0s ==x ，θ
0,0y
d ==y d s
θ b ==y 0s ，θ 和一个),,h t y x （θ的其次问题： t
1y x 222
2∂∂=∂∂+∂∂T
h h αθθ （1-3）
.0,0d ==x dx
h
θ a 0==x h ，θ
0,0y
d ==y d h
θ
b h ==y 0，θ
其中),(),),(),h y x f y x y x F y x s *≡
-=（（θθ
则原问题的解根据下式求得：
),,(),(),,t y x y x t y x h s θθθ+=（ （1-4）
发热强度为常数的特解可从表2-4中查的，则新变量)
y x s ，（θ可定义为：
A x k
g +-=2
0s
2)y x )y x ，（，（θθ （1-5） 将（1-5）带入（1-2）整理得到：
，（0y
)
,(x ),2
222=∂∂+∂∂y x y x θθ b y a x <<<<0,0 （1-6）
.0,0d ==x dx
θ
a a 22
0=-=x A k
g ，θ
0,0y
d ==y d θ
b A x k g =-=
y 22
0，θ 若令常数202g
a k
A =，则上式可以变为：
，（0y )
,(x ),2
222=∂∂+∂∂y x y x θθ b y a x <<<<0,0 （1-7）
.0,0d ==x dx
θ
a 0==x ，θ 0,0y
d ==y d θ
b x f ==
y )(，θ
其中)(2)(22
0a x k
g x f -=
假定),y x （θ可以分离出如下形式：