数列求和的常见方法

数列求和的常见方法
数列问题中蕴涵着丰富的数学思想方法，是高考用来考查考生对数学思想方法理解程度的良好素材，是历年高考的一大热点，在高考命题中，多以与不等式的证明或求解相结合的形式出现，一般数列的求和，主要是将其转化为等差数列或等比数列的求和问题，因此，我们有必要对数列求和的各种方法进行系统探讨。

一 、公式求和法
通过分析判断并证明一个数列是等差数列或等比数列后，可直接利用等差、等比数列的求和公式求和，或者利用前n 个正整数和的计算公式等直接求和。

因此有必要熟练掌握一些常见的数列的前n 项和公式.
正整数和公式有：
()();
2
13211+=++++n n n ()()();
6
121212222++=+++n n n n
()().212132
3
3
3
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+=+++n n n
例1 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1
)32()(++=
n n
S n S n f 的最大值.
解：由等差数列求和公式得 )1(21+=
n n S n ， )2)(1(2
1
++=n n S n （利用常用公式）
∴ 1)32()(++=
n n S n S n f ＝64
342++n n n
＝
n
n 64341+
+＝
50
)8(12+-
n
n 50
1≤
∴ 当
8
8-
n ，即n ＝8时，501)(max =n f
【能力提升】公式法主要适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列
的求和，一些综合性的数列求和的解答题最后往往就归结为一个等差数列或等比数列的求和问题.
二、分组求和法
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.形如：
①{}n n b a +,其中{}{}⎩⎨⎧是等比数列；是等差数列；
n n b a ②()()⎩
⎨⎧∈=-==*
N k k n n g k n n f a n
,2,,
12, 例2 已知数列{}n a 的通项公式为,132-+=n a n
n 求数列{}n a 的前n 项和.
分析：该数列的通项是由一个等比数列{}n
2
与一个等差数列{}13-n 组成的，所以
可将其转化为一个等比数列与一个等差数列进行分组求和.
【解析】()()()
132********-+++++=++=n a a a S n
n n
=()()[].13522222
1
-++++++n n
=()
()[]2
13221212-++--n n n =.22
1
232
21
-+++n n n 【能力提升】在求和时，一定要认真观察数列的通项公式，如果它能拆分成几项的
和，而这些项分别构成等差数列或等比数列，那么我们就可以用此方法求和. 三、错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求和.
例3.(2010年全国高考宁夏卷17）设数列{}n a 满足21
112,32n n n a a a -+=-=
（1） 求数列{}n a 的通项公式； （2） 令n n b na =，求数列的前n 项和n S
解：（Ⅰ）由已知，当n ≥1时，
111211[()()()]n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-+
+-+
21233(222)2n n --=++
++
2(1)12n +-=。

而 12,a =所以数列{n a }的通项公式为212n n a -=。

（Ⅱ）由212n n n b na n -==⋅知
35211222322n n S n -=⋅+⋅+⋅+
+⋅ ①
从而
23572121222322n n S n +⋅=⋅+⋅+⋅+
+⋅ ②
①-②得
235
2121(12)22222n n n S n -+-⋅=+++
+-⋅ 。

即 211[(31)22]9
n n S n +=-+
点评：本题主要考察由递推关系求数列通项的方法以及运用错位相减法求数列的和。

熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。

【能力提升】错位相减法适用于数列{}n n b a ，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列.若等比数列{}n b 中公比q 未知，则需要对公比q 分11≠=q q 和两种情况进行分类讨论.
四、倒序相加法
如果一个数列{}n a ，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法.
例4求证：n
n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++
证明： 设n
n n n n n C n C C C S )12(53210++⋅⋅⋅+++=………………………….. ①
把①式右边倒转过来得
113)12()12(n
n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-
（反序）
又由m
n n m n C C -=可得
n
n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(…………..…….. ②
①+②得
n n
n n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=-
（反序相加）
∴ n
n n S 2)1(⋅+=
【能力提升】倒序相加法来源于课本，是等差数列前项和公司推导时所运用的方法，它是一种重要的求和方法。

当求一个数列的有限项和时，若是“与首末两端等距离”的两项和都相等，即可用此法.
五、裂项相消法
把数列的通项分成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.适
用于类似⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧+1n n a a c （其中{}n a 是各项不为0的等差数列，c 为常数）的数列，以及部分无
理数列和含阶乘的数列等.用裂项法求和，需要掌握一些常见的裂项方法：
()
();11111⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=+k n n k k n n ()()();12112121121212⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-n n n n
()
()()()()();
211
11212113⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++-+=++n n n n n n n ()(
)
.114n k n k n k n -+=++
例5 （2010山东理数18）已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n
项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令b n =
2
1
1
n a -(n ∈N *)，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有
1127
21026
a d a d +=⎧⎨
+=⎩，解得13,2a d ==， 所以321)=2n+1n a n =+-（
；n S =n(n-1)
3n+22
⨯=2n +2n 。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知2n+1n a =，所以b n =
211n a -=21=2n+1)1-（114n(n+1)⋅=111
(-)4n n+1
⋅，
所以n T =
111111(1-+++-)4223n n+1⋅-=11
(1-)=
4n+1⋅n 4(n+1)， 即数列{}n b 的前n 项和n T =
n
4(n+1)。

【能力提升】用裂项相消法求和的关键是先将形式复杂的式子转化为两个式子的差的形式因此需要掌握一些常见的裂项技巧.
六、并项求和法
针对一些特殊的数列，将其某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的前n 项和时，可将这些项放在一起先求和.
例6 数列{}n a 的前n 项和是n S (
)*
∈N
n ，若数列{}n
a 的各项按如下规则排列：
,,6
1
,54,53,52,51,43,42,41,32,31,21 若存在自然数k ()*∈N k ，使10,101≥<+k k S S ，
则=k a .
分析：数列的构成规律是分母为2的一项，分母为3的两项，分母为4的三项，···，故这个数列的和可以并项求解. 【解析】5543213,3432123,2332121,2110631=++++==+++==++==
S S S S ,215654321515=+++++=S 而,37654321=+++++这样102
21
21>=S ,而
,102521571521575432121520=+<+=+++++=S 故75=k a ，故填.7
5
【能力提升】当一个数列连续的几项之间具有明显的规律性，特别是一些正负相间或者
是周期性的数列等，可以考虑用并项求和的方法.
一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和。

高考数学试题中所涉及的数列求和问题往往具有一定的技巧性，需要考生具有很强的分析问题、解决问题的能力才能解决，但是基本的求和方法就是上面介绍的这些。

希望广大考生熟练掌握，灵活适用.。