证明数列是等差或等比数列的方法

一、证明或判断数列为等差数列的方法

1.定义法

在数列{}n a 中，若d a a n n =--1（d 为常数），则数列{}n a 为等差数列 例：已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，3

21=a ，且满足2

11322++=+n n n a S S （*N n ∈） 证明：数列{}n a 是等差数列

证明：由2

11322++=+n n n a S S 得2

1132)(2++=++n n n n a S a S 整理得12

1234++-=n n n a a S 则n n n a a S 23421-=-

两式相减得n n n n n a a a a a 2233412

2

1+--=++ n n n n a a a a 2233122

1+=-++ 因为{}n a 是正项数列，所以01>++n n a a 所以()231=-+n n a a ，即3

21=-+n n a a 所以{}n a 是首项为32，公差为3

2

的等差数列 2.等差中项法

212{}n n n n a a a a +++=⇔是等差数列

例：设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11=a ，62=a ，113=a ，且

1(58)(52)123n n n S n S An B n +--+=+=，，，，，其中A 、B 为常数

（1）求A 与B 的值 （2）证明数列{}n a 是等差数列

解：（1）因为11=a ，62=a ，113=a ，所以1231

718S S S ===，， 把1=n ，2=n 分别代入()()B An S n S n n n +=+--+25851

得B A +=⨯-⨯-1773

B A +=⨯-⨯2712182 解得：20-=A ，8-=B

（2）由（1）知()()82025851--=+--+n S n S n n n 整理得()82028511--=---++n S S S S n n n n n

即82028511--=--⋅++n S S a n n n n ① 又()()81202815122-+-=--++++n S S a n n n n ② ②-①得()20285151212-=--⋅-+++++n n n n a a a n a n 即()()20253512-=+--++n n a n a n ③ 又()()20752523-=+-+++n n a n a n ④ ④-③得()()0225123=+-++++n n n a a a n 所以02123=+-+++n n n a a a

所以5231223=-==-=-++++a a a a a a n n n n ，又512=-a a 所以数列{}n a 是首项为1，公差为5的等差数列 3.看通项与前n 项和法（注：这些结论适用于选择题填空题）

（1）若数列通项n a 能表示成b an a n +=（a ，b 为常数）的形式，则数列{}n a 是等差数列；

（2）若数列{}n a 的前n 项和n S 能表示成bn an S n +=2

（a ，b 为常数）的形式，则

数列{}n a 是等差数列

例：若n S 是数列{}n a 的前n 项和，2

n S n =，则{}n a 是（ ）

A.等比数列，但不是等差数列

B.等差数列，但不是等比数列

C.等差数列，也是等比数列

D.既不是等差数列，也不是等比数列 解析：根据（2）知{}n a 等差数列，不是等比数列

二、证明或判断数列为等比数列的方法 1.定义法

在数列{}n a 中，若

q a a n n

=-1

（q 为常数），则数列{}n a 为等比数列 例：设数列{}n a 的首项411≠=a a ，且11

214

n

n n a n a a n +⎧⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩为偶数为奇数

， 记4112-=-n n a b ，

3,2,1=n …

（1）求2a ，3a

（2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并证明你的结论

解：（1）414112+=+

=a a a ，81212123+==a a a (2)83214134+=+=a a a ,16

3

412145+==a a a

所以414111-=-=a a b ，)41

(2181214132-=-=-=a a a b

)4

1

(41161414153-=-=-=a a a b

猜想{}n b 是公比为2

1

的等比数列

证明如下：因为

n n n n n n n b a a a a a b 2

1

)41(2141)41(214121414112122121)1(21=-=-+=-=-=-

=--+-++ 所以{}n b 是首项为14

a -，公比为1

2的等比数列．

例2：已知数列{}n a 的首项15a =，前n 项和为n S ，125()n n S S n n *

+=++∈N ，证明数

列{1}n a +是等比数列；

解：由已知*

125()n n S S n n N +=++∈可得2n ≥时1,24n n S S n -=++两式相减

得:112()1n n n n S S S S +--=-+，即121n n a a +=+，从而112(1)n n a a ++=+，

当1n =时，21215S S =++，所以21126a a a +=+， 又15a =，所以211a =，从而2112(1)a a +=+．

故总有112(1)n n a a n *

++=+∈N ，，又11510a a =+≠，，从而

11

21

n n a a ++=+．

所以数列{1}n a +是等比数列．

例3：设数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且()

*

11,24,1N n a S a n n ∈+==+。

（1）设n n n a a b 21-=+，求证：数列{}n b 是等比数列； 证明：（1）2≥n 时