证明数列是等差或等比数列的方法
等差等比数列的证明例举
等差等比数列的证明在数列的解答题中,有时第一问会要求证明某个数列是等差等比数列,既考察了学生证明数列的能力,同时也为后面的问题做好铺垫。
一、基础知识:1、如何判断一个数列是等差(或等比)数列 (1)定义法(递推公式):1n n a a d +-=(等差),1n na q a +=(等比) (2)通项公式:n a kn m =+(等差),()0n n a k q q =⋅≠(等比) (3)前n 项和:2n S An Bn =+(等差),n n S kq k =-(等比)(4)等差(等比)中项:数列从第二项开始,每一项均为前后两项的等差(等比)中项 2、如何证明一个数列是等差等比数列: (1)通常利用定义法,寻找到公差(公比)(2)也可利用等差等比中项来进行证明,即n N *∀∈,均有:122n n n a a a ++=+ (等差) 212n n n a a a ++=⋅ (等比)二、典型例题:例1:已知数列{}n a 的首项1133,,521nn n a a a n N a *+==∈+. 求证:数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列 思路一:构造法,按照所给的形式对已知递推公式进行构造,观察发现所证的数列存在1na 这样的倒数,所以考虑递推公式两边同取倒数:113121213n nn n n na a a a a a +++=⇒=+ 即112133n n a a +=+,在考虑构造“1-”:112111111333n n n a a a +⎛⎫-=+-=- ⎪⎝⎭即数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为13的等比数列思路二:代入法:将所证数列视为一个整体,用n b 表示:11n nb a =-,则只需证明{}n b 是等比数列即可,那么需要关于n b 的条件(首项,递推公式),所以用n b 将n a 表示出来,并代换到n a 的递推公式中,进而可从n b 的递推公式出发,进行证明 解:令11n n b a =-,则11n n a b =+ ∴ 递推公式变为:11311311113211n n n n n b b b b b +++=⇒=+++⋅++ 1113333n n n n b b b b ++⇒+=+⇒={}n b ∴是公比为13的等比数列。
等差等比数列的证明例举
等差等比数列的证明在数列的解答题中,有时第一问会要求证明某个数列是等差等比数列,既考察了学生证明数列的能力,同时也为后面的问题做好铺垫。
一、基础知识:1、如何判断一个数列是等差(或等比)数列 (1)定义法(递推公式):1n n a a d +-=(等差),1n na q a +=(等比) (2)通项公式:n a kn m =+(等差),()0n n a k q q =⋅≠(等比)(3)前n 项和:2n S An Bn =+(等差),n n S kq k =-(等比)(4)等差(等比)中项:数列从第二项开始,每一项均为前后两项的等差(等比)中项 2、如何证明一个数列是等差等比数列: (1)通常利用定义法,寻找到公差(公比)(2)也可利用等差等比中项来进行证明,即n N *∀∈,均有:122n n n a a a ++=+ (等差) 212n n n a a a ++=⋅ (等比)二、典型例题:例1:已知数列{}n a 的首项1133,,521nn n a a a n N a *+==∈+. 求证:数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列 思路一:构造法,按照所给的形式对已知递推公式进行构造,观察发现所证的数列存在1na 这样的倒数,所以考虑递推公式两边同取倒数:113121213n n n n n na a a a a a +++=⇒=+即112133n n a a +=+,在考虑构造“1-”:112111111333n n n a a a +⎛⎫-=+-=- ⎪⎝⎭即数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为13的等比数列思路二:代入法:将所证数列视为一个整体,用n b 表示:11n nb a =-,则只需证明{}n b 是等比数列即可,那么需要关于n b 的条件(首项,递推公式),所以用n b 将n a 表示出来,并代换到n a 的递推公式中,进而可从n b 的递推公式出发,进行证明 解:令11n n b a =-,则11n n a b =+ ∴ 递推公式变为:11311311113211n n n n n b b b b b +++=⇒=+++⋅++1113333n n n n b b b b ++⇒+=+⇒={}n b ∴是公比为13的等比数列。
28 高中数学等差等比数列证明专题训练
专题28高中数学等差等比数列证明专题训练【方法总结】1.等差数列的四个判定方法(1)定义法:a n +1-a n =d (常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列.(2)等差中项法:2a n +1=a n +a n +2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列.(3)通项公式法:a n =pn +q (p ,q 为常数,n ∈N *)⇔{a n }是等差数列.(4)前n 项和公式法:S n =An 2+Bn (A ,B 为常数,n ∈N *)⇔{a n }是等差数列.提醒:(1)定义法和等差中项法主要适合在解答题中使用,通项公式法和前n 项和公式法主要适合在选择题或填空题中使用.(2)若要判定一个数列不是等差数列,则只需判定存在连续三项不成等差数列即可.2.等比数列的四个判定方法(1)定义法:a n +1a n=q (q 是不为0的常数,n ∈N *)⇔{a n }是等比数列. (2)等比中项法:a 2n +1=a n ·a n +2(a n ·a n +1·a n +2≠0,n ∈N *)⇔{a n }是等比数列.(3)通项公式法:a n =cq n (c ,q 均是不为0的常数,n ∈N *)⇔{a n }是等比数列.(4)前n 项和公式法:S n =k ·q n -k (k 为常数且k ≠0,q ≠0,1),则{a n }是等比数列.提醒:(1)定义法和等比中项法主要适合在解答题中使用,通项公式法和前n 项和公式法主要适合在选择题或填空题中使用.(2)若要判定一个数列不是等比数列,则只需判定存在连续三项不成等比数列即可.【高考真题】1.(2022·全国甲理文) 记S n 为数列{a n }的前n 项和.已知2S n n+n =2a n +1. (1)证明:{a n }是等差数列;(2)若a 4,a 7,a 9成等比数列,求S n 的最小值.【题型突破】1.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 3=7,a 5+a 7=26.(1)求a n 及S n ;(2)令b n =S n n(n ∈N *),求证:数列{b n }为等差数列. 2.已知数列{a n }中,a 1=35,a n =2-1a n -1(n ≥2,n ∈N *),数列{b n }满足b n =1a n -1(n ∈N *). (1)求证:数列{b n }是等差数列;(2)求数列{a n }中的最大项和最小项,并说明理由.3.在数列{a n }中,a 1=4,na n +1-(n +1)a n =2n 2+2n .(1)求证:数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列;(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和S n . 4.数列{a n }满足a 1=1,na n +1=(n +1)a n +n (n +1),n ∈N *.(1)求证:数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列; (2)设b n =3n ·a n ,求数列{b n }的前n 项和S n .5.若数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a n +2S n S n -1=0(n ≥2),a 1=12. (1)求证:⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列; (2)求数列{a n }的通项公式.6.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且2S n =3a n -3n +1+3(n ∈N *).(1)设b n =a n 3n ,求证:数列{b n }为等差数列,并求出数列{a n }的通项公式; (2)设c n =a n n -a n 3n ,T n =c 1+c 2+c 3+…+c n ,求T n . 7.(2021·全国乙)设S n 为数列{a n }的前n 项和,b n 为数列{S n }的前n 项积,已知2S n +1b n=2. (1)证明:数列{b n }是等差数列;(2)求{a n }的通项公式.8.(2014·全国Ⅰ)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,a n ≠0,a n a n +1=λS n -1,其中λ为常数.(1)证明:a n +2-a n =λ;(2)是否存在λ,使得{a n }为等差数列?并说明理由.9.设数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a n -12S n -1=0(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式;(2)是否存在实数λ,使得数列{S n +(n +2n )λ}为等差数列?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.10.若数列{b n }对于任意的n ∈N *,都有b n +2-b n =d (常数),则称数列{b n }是公差为d 的准等差数列.如数列c n ,若c n =⎩⎪⎨⎪⎧4n -1,n 为奇数,4n +9,n 为偶数,则数列{c n }是公差为8的准等差数列.设数列{a n }满足a 1=a ,对于n ∈N *,都有a n +a n +1=2n .(1)求证:{a n }是准等差数列;(2)求{a n }的通项公式及前20项和S 20.11.已知数列{a n }的首项a 1>0,a n +1=3a n 2a n +1(n ∈N *),且a 1=23. (1)求证:⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n -1是等比数列,并求出{a n }的通项公式; (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和T n .12.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,n ∈N *,a 1=1,a 2=32,a 3=54,且当n ≥2时,4S n +2+5S n =8S n +1+S n - 1.(1)求a 4的值;(2)证明:⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n +1-12a n 为等比数列. 13.已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n =2a n +(-1)n (n ∈N *).(1)求数列{a n }的前三项a 1,a 2,a 3;(2)求证:数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n +23(-1)n 为等比数列,并求出{a n }的通项公式. 14.已知在正项数列{a n }中,a 1=2,点A n (a n ,a n +1)在双曲线y 2-x 2=1上,数列{b n }中,点(b n ,T n )在直线y =-12x +1上,其中T n 是数列{b n }的前n 项和. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)求证:数列{b n }是等比数列.15.已知数列{a n }满足:a 1=1,a n +1=⎩⎪⎨⎪⎧a n +1,n 为奇数,2a n ,n 为偶数(n ∈N *),设b n =a 2n -1. (1)求b 2,b 3,并证明b n +1=2b n +2;(2)①证明:数列{b n +2}为等比数列;②若a 2k ,a 2k +1,9+a 2k +2成等比数列,求正整数k 的值.16.(2019·全国Ⅱ)已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1,b 1=0,4a n +1=3a n -b n +4,4b n +1=3b n -a n -4.(1)证明:{a n +b n }是等比数列,{a n -b n }是等差数列;(2)求{a n }和{b n }的通项公式.17.(2018·全国Ⅰ)已知数列{a n }满足a 1=1,na n +1=2(n +1)a n ,设b n =a n n. (1)求b 1,b 2,b 3;(2)判断数列{b n }是否为等比数列,并说明理由;(3)求{a n }的通项公式.18.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,a n >0,S 2n =a 2n +1-λS n +1,其中λ为常数.(1)证明:S n +1=2S n +λ;(2)是否存在实数λ,使得数列{a n }为等比数列,若存在,求出λ;若不存在,说明理由.19.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a =(a 1,1),b =(1,a 10),若a·b =24,且S 11=143,数列{b n }的前n项和为T n ,且满足12n a -=λT n -(a 1-1)(n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式及数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n +1的前n 项和M n ; (2)是否存在非零实数λ,使得数列{b n }为等比数列?并说明理由.20.已知数列{a n }满足a 1=1,a n +1=2a n +λ(λ为常数).(1)试探究数列{a n+λ}是不是等比数列,并求a n;(2)当λ=1时,求数列{n(a n+λ)}的前n项和T n.。
等差、等比数列常用公式对照表
是等比数列
1、定义:
1、
2、通项:
2、
3、公差:
3、公比:
4、若m+n=p+q,则
特殊情况:若m+n=2p,则பைடு நூலகம்
称为 与 的等差中项
4、若m+n=p+q,则
特殊情况:若m+n=2p,则
称为 与 的等比中项
5、
5、
6、 是公差为md的等差数列
6、 是公比为 的等比数列
7、 是公差为 的等差数列
7、 是公比为 的等比数列
8、证明等差数列的方法:
1、定义法: ,d为常数
2、通项法: ,k、b为常数
3、前n项和法: ,A,B常数
4、等差中项法:
8、证明等差数列的方法:
1、定义法: ,q为常数
2、通项法: ,c、q为常数
3前n项和法: ,k,q常数
4、等差中项法:
9、 是等差数列, 、 是等差数列
9、 是等比数列, 、 、 、 、是等比数列
10、若 ,则用累加法求
10、若 ,则用累乘法求
11、若 、 是等差数列, ,求 用裂项相消法
11、若 是等比数列、 是等差数列, 或 ,求 用错位相减法
一、求 的方法:1、公式法;2、观察归纳法;3、累加法、累乘法;4、特征方程法
二、求 的方法:1、裂项相消法;2、错位相减法;3、倒序相加法;4、分组求和法
高考数学数列问题的题型与方法
高考数学数列问题的题型与方法Document number【980KGB-6898YT-769T8CB-246UT-18GG08】第11讲 数列问题的题型与方法数列是高中数学的重要内容,又是学习高等数学的基础。
高考对本章的考查比较全面,等差数列,等比数列的考查每年都不会遗漏。
有关数列的试题经常是综合题,经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来,试题也常把等差数列、等比数列,求极限和数学归纳法综合在一起。
探索性问题是高考的热点,常在数列解答题中出现。
本章中还蕴含着丰富的数学思想,在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想,以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。
近几年来,高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面;(1)数列本身的有关知识,其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。
(2)数列与其它知识的结合,其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。
(3)数列的应用问题,其中主要是以增长率问题为主。
试题的难度有三个层次,小题大都以基础题为主,解答题大都以基础题和中档题为主,只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。
一、知识整合1.在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n 项和公式的基础上,系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律,深化数学思想方法在解题实践中的指导作用,灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题;2.在解决综合题和探索性问题实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识,沟通各类知识的联系,形成更完整的知识网络,提高分析问题和解决问题的能力,进一步培养学生阅读理解和创新能力,综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力.3.培养学生善于分析题意,富于联想,以适应新的背景,新的设问方式,提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法. 二、方法技巧1.判断和证明数列是等差(等比)数列常有三种方法:(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证11(/)n n n n a a a a ---为同一常数。
等差数列、等比数列相关性质和公式以及数列的求和方法
等差、等比的公式性质以及数列的求和方法第一节:等差数列的公式和相关性质1、等差数列的定义:对于一个数列,如果它的后一项减去前一项的差为一个定值,则称这个数列为等差数列,记:d a a n n =--1(d 为公差)(2≥n ,*n N ∈)注:下面所有涉及n ,*n N ∈省略,你懂的。
2、等差数列通项公式:1(1)n a a n d =+-,1a 为首项,d 为公差推广公式:()n m a a n m d =+-变形推广:mn a a d mn --= 3、等差中项(1)如果a ,A ,b 成等差数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项.即:2ba A +=或b a A +=2(2)等差中项:数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a4、等差数列的前n 项和公式:1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+ 211()22d n a d n =+-2An Bn =+(其中A 、B 是常数,所以当d ≠0时,S n 是关于n 的二次式且常数项为0)特别地,当项数为奇数21n +时,1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+(项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项)5、等差数列的判定方法(1) 定义法:若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列.(2)等差中项:数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a(3)数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=(其中b k ,是常数)。
(4)数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,(其中A 、B 是常数)。
证明或判断等差(等比)数列的四种方法
证明或判断等差(等比)数列的四种方法
判断等差数列的四种方法:
公差相等法:如果一个数列中任意两项之间的差值相等,则该数列为等差数列。
通项公式法:如果一个数列的通项公式是an=a1+(n-1)d,则该数列为等差数列。
前后项差值法:如果一个数列中任意两项之间的差值相等,则该数列为等差数列。
证明法:对于一个数列,如果它满足an+1 - an = d,则可以通过归纳法证明该数列是等差数列。
判断等比数列的四种方法:
公比相等法:如果一个数列中任意两项之间的比值相等,则该数列为等比数列。
通项公式法:如果一个数列的通项公式是an=a1*r^(n-1),则该数列为等比数列。
前后项比值法:如果一个数列中任意两项之间的比值相等,则该数列为等比数列。
证明法:对于一个数列,如果它满足an+1 / an = r,则可以通过归纳法证明该数列是等比数列。
以上是判断等差数列和等比数列的四种常见方法,它们都比较简单易行,可以帮助我们快速判断一个数列是否为等差数列或等比数列。
同时,在具体应用中,我们还可以根据题目要求选择合适的方法,从而更好地解决问题。
等差数列与等比数列的证明方法
等差数列与等比数列的证明方法等差数列和等比数列是数学中常见的数列形式,它们在数学和实际问题中都有重要的应用。
下面我们来介绍等差数列和等比数列的证明方法。
等差数列是指数列中每两个相邻的数之间的差值都相等的数列。
等差数列的通项公式为An=a1+(n-1)d,其中a1是首项,d是公差,n是项数。
1. 通过公式法证明等差数列:假设有数列{an},首项为a1,公差为d,我们可以使用数列的通项公式An = a1 + (n-1)d。
通过将通项公式代入证明,我们可以得到每一项与前一项之间的差值都为d,从而证明这是一个等差数列。
2. 通过递推法证明等差数列:假设有数列{an},如果我们知道数列的首项a1和公差d,我们可以通过递推关系式an = an-1 + d来证明这是一个等差数列。
我们可以通过验证递推关系式对于所有项都成立,从而证明这是一个等差数列。
3.通过数列的性质证明等差数列:等差数列有很多重要的性质,例如,等差数列的中项等于首项与末项的平均数,等差数列的前n项和等于n倍首项与末项和的平均数。
如果我们通过对这些性质进行验证,可以得出结论这是一个等差数列。
等比数列是指数列中每两个相邻的数之间的比值都相等的数列。
等比数列的通项公式为An=a1*r^(n-1),其中a1是首项,r是公比,n是项数。
1. 通过公式法证明等比数列:假设有数列{an},首项为a1,公比为r,我们可以使用数列的通项公式An = a1 * r^(n-1)。
通过将通项公式代入证明,我们可以得到每一项与前一项之间的比值都为r,从而证明这是一个等比数列。
2. 通过递推法证明等比数列:假设有数列{an},如果我们知道数列的首项a1和公比r,我们可以通过递推关系式an = an-1 * r来证明这是一个等比数列。
我们可以通过验证递推关系式对于所有项都成立,从而证明这是一个等比数列。
3.通过数列的性质证明等比数列:等比数列有很多重要的性质,例如,等比数列的任意两项的比值都相等,等比数列的前n项和等于首项与末项和的乘积与公比的差的商。
等差数列与等比数列解题技巧
等差数列与等比数列解题技巧【摘要】在高中数学课程内容中,数列作为离散函数的典型代表之一,不仅在高中数学中具有重要位置,而且,在现实生活中有着非常广泛的作用.因此掌握数列的解题技巧,在我们高中数学中是很有必要的.引言:数列在高考中主要考察用数列的递推公式、等差数列的通项公式参数的确定和性质、前n 项和公式和性质及常见的数列的求和方法. 一、求数列通向公式的方法 1、分析法通过与一些已知通向公式的基本数列进行比较、分析、归纳综合找数列的项与项数之间的关系,求出数列的通向公式.例1、写出数列的一个通向公式(1)、0.7,0.77,0.777.0.7777,... (2)、2,, (16)81,833,413,25 解:(1)原列各项可以写成有数列{}得到,而乘的每一项除以79,...999.0,99.0,9.0:n a,1.01n n a -=故原数列的一个通向公式为()n n n a b 1.019797-==(2)、原数列可改写为,...,215,214,213,212,21143210+++++故其通向公式为121-+=n n n a例2、根据下面各个数列的首项和递推公式,写出它的前4项并归纳出数列的一个通向公式 (1)、)(2,111*+∈+==N n a a a n n ;)(22,1)2(11*+∈+==N n a a a a n nn解:分析:写出前4项,找出规律,然后归纳出通向公式. (1)、由已知,得312,1121=+==a a a,1512,7123423=+==+=a a a a即,12,12221-=-=a a,12,124433-=-=a a故数列的一个通向公式为)(12*∈-=N n a n n(2)、由已知,得,3222,11121=+==a a a a,5222,2122334223=+==+=a a a a a a即.52,4221,32,2214321======a a a a故数列的一个通向公式为)(12*∈+=N n n a n注:上述题设给出,数列的前n 项或给出递推公式和初始条件,分析数列的特征,找出规律,写出通向公式. 2、待定系数法 例1、已知数列{}n a 的通向公式是关于n 的二次多项式,按照下列条件,写出数列{}n a 的一个通向公式.(1)、;7,3,1321===a a a (2)、;8,4,2321===a a a (3)、.0,3321===a a a分析:设出,2c bn an a n++=然后将321a a a 、、代入求出系数,c b a 、、即得通向公式.解:(1)、,2c bn an a n ++=依题意,得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,739,324,1c b a c b a c b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-==,1,1,1c b a.12+-=∴n n a n(2)、设,2c bn an a n ++=依题意,得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,839,424,2c b a c b a c b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-==,2,1,1c b a.22+-=∴n n a n(3)、的两个根。
等差数列与等比数列定义及公式
等差数列与等比数列基础知识1.数列的概念定义1. 按照某一法则,给定了第1个数,第2个数,………,对于正整数有一个确定的数,于是得到一列有次序的数我们称它为数列,用符号表示。
数列中的每项称为数列的项,第项称为数列的一般项,又称为数列的通项。
定义2.当一个数列的项数为有限个时,称这个数列为有限数列;当一个数列的项数为无限时,则称这个数列为无限数列。
定义3.对于一个数列,如果从第2项起,每一项都不小于它的前一项,即,这样的数列称为递增数列;如果从第2项起,每一项都不大于它的前一项,即,这样的数列称为递减数列。
定义4.如果数列的每一项的绝对值都小于某一个正数,即,其中是某一个正数,则称这样的数列为有界数列,否则就称为是无界数列。
定义5.如果在数列中,项数与具有如下的函数关系:,则称这个关系为数列的通项公式。
2.等差数列定义6.一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做公差,常用字母表示。
等差数列具有以下几种性质:(1)等差数列的通项公式:或;(2)等差数列的前项和公式:或;(3)公差非零的等差数列的通项公式为的一次函数;(4)公差非零的等差数列的前项和公式是关于不含有常数项的二次函数;(5)设是等差数列,则(是常数)是公差为的等差数列;(6)设,是等差数列,则(是常数)也是等差数列;(7)设,是等差数列,且,则也是等差数列(即等差数列中等距离分离出的子数列仍为等差数列);(8)若,则;特别地,当时,;(9)设,,,则有;(10)对于项数为的等差数列,记分别表示前项中的奇数项的和与偶数项的和,则,;(11)对于项数为的等差数列,有,;(12)是等差数列的前项和,则;(13)其他衍生等差数列:若已知等差数列,公差为,前项和为,则①.为等差数列,公差为;②.(即)为等差数列,公差;③.(即)为等差数列,公差为.3.等比数列定义7.一般地,如果有一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于现中一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做公比;公比通常用字母表示(),即。
数学中证明等差数列的常用方法
数学中证明等差数列的常用方法数学中证明等差数列的常用方法等差数列是数学的现象,这类的现象该怎么证明呢?证明的`公式是的呢?下面就是店铺给大家整理的如何证明等差数列内容,希望大家喜欢。
等差数列证明一设等差数列 an=a1+(n-1)d最大数加最小数除以二即[a1+a1+(n-1)d]/2=a1+(n-1)d/2{an}的平均数为Sn/n=[na1+n(n-1)d/2]/n=a1+(n-1)d/2得证1 三个数abc成等差数列,则c-b=b-ac^2(a+b)-b^2(c+a)=(c-b)(ac+bc+ab)b^2(c+a)-a^2(b+c)=(b-a)(ac+bc+ab)因c-b=b-a,则(c-b)(ac+bc+ab)=(b-a)(ac+bc+ab)即c^2(a+b)-b^2(c+a)=b^2(c+a)-a^2(b+c)所以a^2(b+c), b^2(c+a), c^2(a+b) 成等差数列等差:an-(an-1)=常数(n≥2)等比:an/(an-1=常数(n≥2)等差:an-(an-1)=d或2an=(an- 1)+(an+1),(n≥2)等比:an/(an-1)=q或an平方=(an-1)*(an+1)(n≥2).等差数列二我们推测数列{an}的通项公式为an=5n-4下面用数学规纳法来证明:1)容易验证a1=5*1-4=4,a2=5*2-4=6,a3=5*3-4=11,推测均成立2)假设当n≤k时,推测是成立的,即有aj=5(j-1)-4,(j≤k)则Sk=a1+a2+…ak=5*(1+2+…+k)-4k=5k(k+1)/2-4k=k(5k-3)/2于是S(k+1)=a(k+1)+Sk而由题意知:(5k-8)S(k+1)-(5k+2)Sk=-20k-8即:(5k-8)*[a(k+1)+Sk]-(5k+2)Sk=-20k-8所以(5k-8)a(k+1)-10Sk=-20k-8即:(5k-8)a(k+1)=5k(5k-3)-20k-8=25k^2-35k-8=(5k-8)(5k+1) 所以a(k+1)=5k+1=5(k+1)-4即知n=k+1时,推测仍成立。
等差数列与等比数列的证明方法
等差数列与等比数列的证明方法高考题中,有关证明、判断数列是等差(等比)数列的题型比比皆是,如何处理这些题目呢?证明或判断等差(等比)数列的方法常有四种:定义法、等差或等比中项法、数学归纳法、反证法。
一、 定义法01.证明数列是等差数列的充要条件的方法:{}1()n n n a a d a +-=⇔常数是等差数列{}2222()n n n a a d a +-=⇔常数是等差数列 {}3333()n n n a a d a +-=⇔常数是等差数列02.证明数列是等差数列的充分条件的方法:{}1(2)n n n a a a d n --=≥⇒是等差数列 {}11(2)n n n n n a n a a a a +--=-≥⇒是等差数列03.证明数列是等比数列的充要条件的方法:{}1(00)n n na q q a a +=≠≠⇔1且为常数,a 为等比数列 04.证明数列是等比数列的充要条件的方法:1nn a q a -=(n>2,q 为常数且≠0){}n a ⇒为等比数列 注意事项:用定义法时常采用的两个式子1n n a a d --=和1n n a a d +-=有差别,前者必须加上“2n ≥”,否则1n =时0a 无意义,等比中一样有:2n ≥时,有1nn a qa -==(常数0≠);②n *∈N 时,有1n na q a +==(常数0≠).例1. 设数列12,,,,n a a a 中的每一项都不为0。
证明:{}n a 为等差数列的充分必要条件是:对任何n ∈N ,都有1223111111n n n na a a a a a a a +++++=。
证明:先证必要性设{}n a 为等差数列,公差为d ,则当d=0时,显然命题成立当d≠0时,∵111111n n n na a d a a++⎛⎫=-⎪⎝⎭∴再证充分性:∵122334111a a a a a a++⋅⋅⋅1111n n nna a a a++++=⋅⋅………①∴122334111a a a a a a++⋅⋅⋅11212111n n n n nna a a a a a++++++++=⋅⋅⋅………②②﹣①得:12121111n n n nn na a a a a a+++++=-⋅⋅⋅两边同以11n na a a+得:112(1)n na n a na++=+-………③同理:11(1)n na na n a+=--………④③—④得:122()n n nna n a a++=+即:211n n n na a a a+++-=-{}n a为等差数列例2.设数列}{na的前n项和为n S,试证}{na为等差数列的充要条件是)(,2)(*1NnaanS nn∈+=。
高考数学:证明等差等比数列的解法
高考数学:证明等差等比数列的解法
我们在数列部分常碰到这样的问题:证明某个复杂数列为等差或者等比数列。
比如下面这道题:
从求证出发,我们回顾等比数列的定义:从第2项开始,数列的后一项除以前一项等于同一个不为零的常数,则这个数列为等比数列。
这就是我们证明等比数列的主要办法,也称定义法.即只需证明后项/前项为常数即可。
使用定义法的技巧,就是在化简过程中,保持前项不变,然后后项用题中给定的关系式代入。
道理也是显然的,要使得计算结果为常数,必须要出现消项、约分,所以把后项朝前项去靠近,才能最终通过消项、约分得到常数。
根据条件中给定的关系式,代入上式。
结果还真是一个常数,神奇吗?
其实一点也不神奇,只要方法正确,常数是命题者设计好了的,你不用担心。
下面,增加一点难度,看这一道分段形式给出的数列递推式。
请自觉做题3分钟.不要往下看。
分析:首先来理解数列递推式传递的信息.我们用具体的例子来理解它。
通过这种方式,我们对数列有了一些感性的认识。
不管怎样,还是采用定义法来证明。
还是采用前面介绍的技巧:保持前项不变,把后项用题中给定的关系式代入。
注意看,分子项和分母项的脚标相差2,我们根据题目所给递推式,可以分两步来。
咦!结果又是一个常数。
废话,要不是常数,那就是题目出错了。
总结:定义法来真好用,证明等比显奇功。
等比数列的判定
由 a1>0,an+1=
,知 an>0.若 an+1>an,则
<a ,
2an+1
an+1 n
1
1n
1
1n-1
即a -1×3 +1<a -1×3
+1
1
1
对一切 n∈N*都成立,
1
化简得 -1>0,又 a1>0,故 0<a1<1.故 a1 的取值范围是(0,1).
=2an+1-an=2d,∴{2an}为
2an
an+1
等比数列;若数列{an}为等比数列,设其公比为 q,则 lg an+1-lg an=lg
=lg q,
an
∴{lg an}为等差数列.
3.(2020·课标全国Ⅱ,理)数列{an}中,a1=2,am+n=aman,若 ak+1+ak+2+…
+ak+10=215-25,则 k=(
(1)求证:{an+1}为等比数列;
(2)求数列{Sn}的前 n 项和 Tn.
解析
(1)证明:当 n=1 时,S1=a1=2a1-1,解得 a1=1.
因为 Sn=2an-n,① 所以 Sn-1=2an-1-(n-1),n≥2,②
①-②得 an=2an-2an-1-1,整理得 an=2an-1+1,
an+1
A.2
解析
B.3
C
)
C.4
D.5
an+1
在等式 am+n=aman 中,令 m=1,可得 an+1=ana1=2an,∴ a =2,
n
∴数列{an}是以 2 为首项,以 2 为公比的等比数列,则 an=2×2n-1=2n,
ak+1·(1-210) 2k+1·(1-210)
等差与等比数列的判定(第三讲)
当n 5时,Tn Sn 9n n2
当n 6时,
Tn a1 a2 a5 a6 an a1 a2 a5 a6 a7 an
Tn
9n n2 n2 9n 40
Sn 2S5
n2 9n 2 (20)
n2 9n 40
(n 5) (n 6)
③通项公式法:
a2 n1
an
an2
(an 0) an 为等比数列;
③通项公式法:
an kn b (k,b为常数) an 是等差数列
④前n 项和公式法:
an k q n (k, q为常数) an 为等比数列;
④前n 项和法:
Sn An 2 Bn ( A, B为常数) an 是等差数列 Sn k(1 qn ) (k, q为常数) an 为等比数列。
是以
S1
1 为首项,2 为公差的等差数列。
bn
Sn 2n 1
1 (2n 1)(2n 1)
1( 1 1 ) 2 2n 1 2n 1
Tn 3
(1 3
1) 5
(1 2n 1
1 2n
1)
1 (1 1 ) n 2 2n 1 2n 1
变式、数列 an 的前 n 项和 S n =2 an -1,数列 bn 满足:b1 3,bn1 an bn (n N )
⑵: ①证明:当 n 2 时,
Sn2
an (Sn
1) 2
(Sn
Sn1 )(Sn
1) 2
所以 S n
S n1
1 2
(S n1
Sn )
即 1 1 2 S n S n1
②:由 ①得
1 1 (n 1) d 1 (n 1) 2 Sn S1 2n 1
所以
高中数学:等比数列六大判定方法,你掌握了几个?
⾼中数学:等⽐数列六⼤判定⽅法,你掌握了⼏个?⽂章来源:⾼考数学⼀、定义法根据等⽐数列的定义,判断或是⼀个与⽆关的常数.例1 如果是等差数列,则数列(为常数,且)⼀定是等⽐数列;如果是等⽐数列,且,则数列(为常数,,且)⼀定是等差数列,你能证明吗?证明:若为等差数列,则有,并且(为常数),(常数),故数列为等⽐数列.同理,为等⽐数列,且时,,(常数),,数列是公差为的等差数列.⼆、等⽐中项法对于各项均不为零的数列,若对于任意⼤于1的正整数都有,则可判定数列为等⽐数列.例2 已知,其中依次成等差数列,且公差不为零,判断是否成等⽐数列?解:设等差数列的公差为,则,,,代⼊,可得.,.⼜,故成等⽐数列.三、通项公式法为等⽐数列.例3 已知是各项均为正数的等差数列,,,成等差数列,⼜,.判断是否为等⽐数列?解:成等差数列,,即.⼜设等差数列的公差为,则,即.当时,是⼀个各项均为正数的常数列,是等⽐数列;当时,,,.故是⾸项为,公⽐为的等⽐数列.四、递推公式法例4 根据如图所⽰的框图,写出所打印数列的前5项,并建⽴数列的递推公式.问:这个数列是等⽐数列吗?分析:先求出前5项值,然后通过递推性质确定其通项公式.解:若将打印出来的数依次记为(即),,,.由图可知,,,,.于是可得递推公式由于,因此这个数列是等⽐数列,其通项公式是.五、前项和公式法在数列中,前项和为,若,则为等⽐数列.例5 已知数列的前项和为(是不为0的实数),则( )A.⼀定是等⽐数列B.⼀定是等差数列C.是等差数列或是等⽐数列D.既不可能是等差数列,也不可能是等⽐数列解:当时,的各项都为0,这个数列是等差数列,但不是等⽐数列;当时,由知,是等⽐数列,但不是等差数列,故先C.六、反例法若判断⼀个数列不是等⽐数列,则反例法显得更简单.例6 设,是公⽐不相等的两个等⽐数列,,证明数列不是等⽐数列.解:设,的公⽐分别为.为证不是等⽐数列只需证.事实上,,.由于,,⼜不为零,因此,故不是等⽐数列.注意:有些试题常常需要由⼀个特别说明⼀个命题是错误的,但应当注意⼀个特例不能说明命题是正确的。
等差数列四种判定方法
等差数列四种判定方法等差数列是数学中的一个重要的概念,在高中数学中也经常涉及到。
在判断等差数列的时候,常常有四种方法。
这篇文章将为大家介绍等差数列的四种判定方法,分别为通项公式、公差、前两项差、后两项差。
掌握这些方法,可以更加准确的判断一个数列是否为等差数列。
一、通项公式等差数列通项公式为:an = a1 + (n - 1)dan表示第n项,a1表示第一项,d表示公差。
在使用通项公式判断等差数列时,可以先求出前几项的值,然后利用通项公式求出后面的项,再与实际值进行比较,判断是否为等差数列。
已知一个数列的前五项为1、3、5、7、9,要判断它是否为等差数列。
首先可以看出,这个数列的公差为2,于是可以利用通项公式求出后面的项:a6 = a1 + (6 - 1)d = 1 + 5 × 2 = 11将求得的a6、a7与实际值比较,发现它们与数列中的后两项9、11并不相等,因此这个数列不是等差数列。
二、公差公差是等差数列中相邻两项之差的固定值。
在判断一个数列是否为等差数列时,可以先求出前两项的差,然后比较后面各项之间的差,看是否相等。
如果相等,则说明这个数列是等差数列。
然后比较后面各项之间的差:a3 - a2 = 2发现它们之间的差都是2,因此这个数列是等差数列。
三、前两项差总结等差数列的判定方法有四种,分别为通项公式、公差、前两项差、后两项差。
不同的方法在不同的情况下使用,可以选择合适的方法进行判断。
在求等差数列的和、第n项等问题时,也可根据不同的情况选择不同的方法求解。
除了判定等差数列的四种方法以外,还有一些其他的相关内容需要了解。
一、等差数列的求和公式对于一个等差数列a1,a2,……,an,它们的和Sn可以通过下列公式求得:Sn = (a1 + an)×n/2a1为数列的首项,an为数列的末项,n为数列的项数。
应用等差数列求和公式可以快速计算等差数列的和,节省手工计算的时间。
已知一个等差数列的首项a1为1,公差d为2,项数n为10,要求这个数列的和。
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一、证明或判断数列为等差数列的方法
1.定义法
在数列{}n a 中,若d a a n n =--1(d 为常数),则数列{}n a 为等差数列 例:已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ,3
21=a ,且满足2
11322++=+n n n a S S (*N n ∈) 证明:数列{}n a 是等差数列
证明:由2
11322++=+n n n a S S 得2
1132)(2++=++n n n n a S a S 整理得12
1234++-=n n n a a S 则n n n a a S 23421-=-
两式相减得n n n n n a a a a a 2233412
2
1+--=++ n n n n a a a a 2233122
1+=-++ 因为{}n a 是正项数列,所以01>++n n a a 所以()231=-+n n a a ,即3
21=-+n n a a 所以{}n a 是首项为32,公差为3
2
的等差数列 2.等差中项法
212{}n n n n a a a a +++=⇔是等差数列
例:设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知11=a ,62=a ,113=a ,且
1(58)(52)123n n n S n S An B n +--+=+=,,,,,其中A 、B 为常数
(1)求A 与B 的值 (2)证明数列{}n a 是等差数列
解:(1)因为11=a ,62=a ,113=a ,所以1231
718S S S ===,, 把1=n ,2=n 分别代入()()B An S n S n n n +=+--+25851
得B A +=⨯-⨯-1773
B A +=⨯-⨯2712182 解得:20-=A ,8-=B
(2)由(1)知()()82025851--=+--+n S n S n n n 整理得()82028511--=---++n S S S S n n n n n
即82028511--=--⋅++n S S a n n n n ① 又()()81202815122-+-=--++++n S S a n n n n ② ②-①得()20285151212-=--⋅-+++++n n n n a a a n a n 即()()20253512-=+--++n n a n a n ③ 又()()20752523-=+-+++n n a n a n ④ ④-③得()()0225123=+-++++n n n a a a n 所以02123=+-+++n n n a a a
所以5231223=-==-=-++++a a a a a a n n n n ,又512=-a a 所以数列{}n a 是首项为1,公差为5的等差数列 3.看通项与前n 项和法(注:这些结论适用于选择题填空题)
(1)若数列通项n a 能表示成b an a n +=(a ,b 为常数)的形式,则数列{}n a 是等差数列;
(2)若数列{}n a 的前n 项和n S 能表示成bn an S n +=2
(a ,b 为常数)的形式,则
数列{}n a 是等差数列
例:若n S 是数列{}n a 的前n 项和,2
n S n =,则{}n a 是( )
A.等比数列,但不是等差数列
B.等差数列,但不是等比数列
C.等差数列,也是等比数列
D.既不是等差数列,也不是等比数列 解析:根据(2)知{}n a 等差数列,不是等比数列
二、证明或判断数列为等比数列的方法 1.定义法
在数列{}n a 中,若
q a a n n
=-1
(q 为常数),则数列{}n a 为等比数列 例:设数列{}n a 的首项411≠=a a ,且11
214
n
n n a n a a n +⎧⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩为偶数为奇数
, 记4112-=-n n a b ,
3,2,1=n …
(1)求2a ,3a
(2)判断数列{}n b 是否为等比数列,并证明你的结论
解:(1)414112+=+
=a a a ,81212123+==a a a (2)83214134+=+=a a a ,16
3
412145+==a a a
所以414111-=-=a a b ,)41
(2181214132-=-=-=a a a b
)4
1
(41161414153-=-=-=a a a b
猜想{}n b 是公比为2
1
的等比数列
证明如下:因为
n n n n n n n b a a a a a b 2
1
)41(2141)41(214121414112122121)1(21=-=-+=-=-=-
=--+-++ 所以{}n b 是首项为14
a -,公比为1
2的等比数列.
例2:已知数列{}n a 的首项15a =,前n 项和为n S ,125()n n S S n n *
+=++∈N ,证明数
列{1}n a +是等比数列;
解:由已知*
125()n n S S n n N +=++∈可得2n ≥时1,24n n S S n -=++两式相减
得:112()1n n n n S S S S +--=-+,即121n n a a +=+,从而112(1)n n a a ++=+,
当1n =时,21215S S =++,所以21126a a a +=+, 又15a =,所以211a =,从而2112(1)a a +=+.
故总有112(1)n n a a n *
++=+∈N ,,又11510a a =+≠,,从而
11
21
n n a a ++=+.
所以数列{1}n a +是等比数列.
例3:设数列{}n a 的前n 项的和为n S ,且()
*
11,24,1N n a S a n n ∈+==+。
(1)设n n n a a b 21-=+,求证:数列{}n b 是等比数列; 证明:(1)2≥n 时
11144-++-=-=n n n n n a a S S a ,
()11222-+-=-∴n n n n a a a a , 12-=∴n n b b
又3232112121=+=-=-=a a S a a b
{}n b ∴是首项为3,公比为2的等比数列。
例4:设数列{}n a 的首项11=a ,前n 项和n s 满足关系()t s t ts n n 33231=+--,求证{}n a 为等比数列。
(错证)由题意:()t s t ts n n 33231=+--
()t s t ts n n 332321=+---
两式相减得:()()()0323211=-+-----n n n n s s t s s t 即:()03231=+--n n a t ta 所以:
t
t a a n n 33
21+=-为定值,所以{}n a 为等比数列。
由于在证明的过程没有注意到各符号有意义的条件,从而忽略了n 的取值范围,导致
证明不符合定义的完整性。
正确的证明如下:3≥n 时:
()t s t ts n n 33231=+-- ()t s t ts n n 332321=+---
两式相减得:()()()0323211=-+-----n n n n s s t s s t 即:()03231=+--n n a t ta
所以:
t
t a a n n 33
21+=- (这只能说明从第二项开始,后一项与前一项的比为定值,所以需要对第二项与第一项的比
另外加以证明,以达到定义的完整性。
)
又因为2=n 时:
()t s t ts 332312=+-
即()()t a t a a t 3323121=+-+
又因为11=a ,所以t t ta t 3)32(332=+-+ 所以 t
t a 33
22+= 所以
t
t a a 33212+= 所以对任意2≥n 都有
t
t a a n n 33
21+=-为定值,所以{}n a 为等比数列。
总之,在用定义证明一个数列为等差数列或等比数列的时候,一定要注意下标n 的取值范围,不管是1--n n a a ;
1-n n a a 还是2
121;-----n n n n a a
a a 还是其它的情况,都在考虑定义的完整性,确保任何的后一项与相邻前一项的差(比)为定值,如有不全面的地方须另外加以
补充。
2.看通项与前n 项和法
(1)若通项n a 能表示成n
n cq a =(c ,q 均为不为0的常数)的形式,则{}n a 是等比数列 (2)若数列{}n a 的前n 项和n S 能表示成A Aq S n
n -=(A 、q 均为不等于0的常数,且
1≠q )的形式,则数列{}n a 是公比不为1的等比数列
例:已知数列{}n a 的前n 项和3
1
2131+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n
n S ,则数列{}n a 是什么数列
解析:由数列前n 项和可知,数列{}n a 是等比数列,首项613121311=+⨯
-=a ,
公比2
1
=q。