中国的人口预测

y
tj
即为衰减指数， k tj 为人口阻滞系数， t 代表年份，比如我们以 2005 年作为观
测数据的最后一年，预测 2006，2007 年的数据则有 t＝1，2，以此类推。 j 表示区域， 市，镇，乡分别用 j =1，2，3 表示，模型中的数 35 是多次取不同的值试验得到的实验 值。 为定来自百度文库人口阻滞系数 k tj ，先定义如下几个系数： 1）性别比系数
二、 问题分析
从附录中的数据列项可以知道对于我国人口划分为城市人口， 镇人口和乡村人口三大 块，所以我们预测我国人口时也是分别对城市人口，镇人口和乡村人口进行预测，这样 也能反映我国未来人口的流动情况和及人口的结构变化趋势。 近年来中国的人口发展出 现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口 城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。为此我们建立模型时也将这些因素考虑 进去。
2001 2002 2003 2004 2005
31296.3222 33937.32204 33046.32045 34040.13575 34743.95543
24.52170951 26.4200307 25.57230335 26.18713708 26.57159551
16768.006 16274.67796 19329.67955 20242.86425 21468.04457
3
2023 2024 2025
44966.12 45627.08 46297.7
78571.4 84193.98 90198.76
56006.22 55120.61 54248.6
179543.74 184941.67 190745.06
由上表数据可知，在 2025 年我国人口就将达到 19 亿，而根据题设附录 1 中提到的按目 前 1.8 的总和生育率预测，总人口将于 2010 年、2020 年分别达到 13.6 亿人和 14.5 亿 人，2033 年前后达到峰值 15 亿人左右。我们认为，新陈代谢的 GM(1,1)模型出现过值 预测，为此，我们对预测出来的数据进行修正，建立衰减指数模型。 3.1.2 衰减指数模型： 考虑影响人口增长的因素，如城市化速率，老龄化速率，性别比等。一个国家的老龄 化速率在一定程度上会影响死亡率。另外如果男女性别比例高于或低于 1:1 ，则会影响 出生率。我们知道城市化速率加快，涌向城市的人口将增多，对于农村而言则将导致农 村人口的减少。我们把这三个因素对人口的作用统一到人口阻滞系数。通过实验我们发 现衰减趋势与反正切函数吻合度较高，且新陈代谢 GM(1,1)模型预测的值随着预测的年 份越远，误差越大，这与反正切函数衰减由慢到快十分相似，于是我们就以反正切函数 为模型样板，引入人口阻滞系数得到衰减指数模型： 2 y tj arctan(k tj t 35) 其中：
城市化速度系 性别比系数 数 1.11 1.01 1.0633 1.0549 0.9812 0.9938 0.9792 1.0046
表6
镇 2002 2003 2004 2005
镇的各个系数
老龄化速度系 人口阻滞系数 人口阻滞系数 数 k 均值 1.07 1.01 1.11 1.01 1.018379 1.243848 1.018513 1.156594 1.109333
k
tj

kx kL kV
tj tj
tj
利用附录 2 的 01-05 年的数据计算各个区域的性别比系数，老龄化速度系数，城市 化速度系数，人口阻滞系数，结果如下 表5
城市 2002 2003 2004 2005
城市的各个系数
老龄化速度系 人口阻滞系数 人口阻滞系数 数 k 均值 1.09 1.11 1.01 1.02 1.187154 1.114149 1.051595 1.080948 1.108461
2
某年城市比重
城市男 城市女 该年年鉴的城镇比重 城市男+城市女+ 镇男 镇女
同理
某年镇比重 镇男 镇女 该年年鉴的城镇比重 城市男+城市女+ 镇男 镇女
计算得城市人口和镇人口如下表所示： 表 2 2001～2005 年全国人口结构 年份 城市人口数 城市人口比 镇人口数 重(%) 镇人口比重 (%) 人口单位：万人 乡 村 乡 村 人 口 人 口 数 比 重 (%) 79563 62.34 78241 60.91 76851 59.47 75705 58.24 74544 57.01
X
(0)
(0) (0) (0) 经灰色建模后求得预 X (1),X (2), ,X (n)
1) ，将此最新信息加入序列，并去掉最老信息
X
(0)
(1) 以保持序列长度不变，
如此反复类推则可建立 GM(1, 1)新陈代谢模型。 新陈代谢模型充分利用数据所携带的最 新信息，揭示系统的发展趋势，通常可获得较高的预测精度。 根据 2006 年统计年鉴，查得 2001~2005 年全国人口总量及城镇，乡村人口比重，如 下 表 1 2001～2005 年全国人口数及构成 人口单位：万人 年份 总人口 城镇人口 城镇人口 乡村人口 乡村人口 数 比重(%) 数 比重(%) 2001 127627 48064 37.66 79563 62.34 2002 128453 50212 39.09 78241 60.91 2003 129227 52376 40.53 76851 59.47 2004 129988 54283 41.76 75705 58.24 2005 130756 56212 42.99 74544 57.01 由于城镇人口统计在一起， 故结合附录 2 中的抽样调查数据可以采取如下方法计算城市 和镇的人口比重：
13.13829049 12.66975311 14.9579264 15.57287153 16.41840112
以 2001～2005 年市、镇、乡人口数作为初始序列，利用新陈代谢 GM(1,1)模型分别对城 市、镇、乡村三大系统的人口进行预测，每年全国的总人口即为每年这三大系统的人口 之和。计算结果如下： 表 4 新陈代谢 GM(1,1)模型预测 2006～2025 年人口 人口单位：万人 年份 城市人口预测 镇人口预测值 乡村人口预测 全国人口预测 值 值 值 2006 34811.84 23708.91 73321.55 131842.3 2007 35677.85 25063.48 72213 132954.33 2008 36082.13 27099.94 71065.54 134247.61 2009 36567.75 29221.35 69943.65 135732.75 2010 37221.57 31264.46 68858.64 137344.67 2011 37685.72 33713.11 67766.3 139165.13 2012 38274.85 36190.98 66704.56 141170.39 2013 38853.5 38859.26 65656.99 143369.75 2014 39400.13 41772.88 64620.44 145793.45 2015 40004.24 44826.96 63605.68 148436.88 2016 40587.4 48130.9 62602.93 151321.23 2017 41183.57 51661.89 61616 154461.46 2018 41798.28 55424.5 60645.4 157868.18 2019 42409.32 59464.09 59688.14 161561.55 2020 43036.42 63774.12 58746.41 165556.95 2021 43671.26 68382.07 57818.96 169872.29 2022 44312.59 73310.03 56905.41 174528.03
中国的人口预测
摘要 本文在人口预测中先用新陈代谢 GM(1,1)灰色模型对中短期的人口进行预测，首先 将 2001~2005 年的人口总量作为输入序列对 2006 年的人口总量作出预测，然后保持序 列的维数不变，每一次进行预测时，去掉最旧的值加入新值作为新的输入序列，由此得 到精度更高的人口预测值。但是，灰色预测模型的误差会随着预测范围的延伸而增大， 所以为了减小误差我们构造一个衰减函数，通过对影响人口增长的因素的分析，求出人 口阻滞系数，将人口阻滞系数带入衰减函数中求得衰减指数，利用衰减指数修正由灰色 模型预测的人口总量，得到精度比较高的数据。 在人口的长期预测中，由于灰色模型固有的缺陷，仅通过衰减是不能消除模型误差 的，由此，我们在预测长期人口时引入 Leslie 矩阵模型。首先通过已知数据中的死亡率 和妇女生育率构造 Leslie 矩阵，然后以 2005 年人口总数作为初始值进行迭代，预测出 2026~2050 各年的人口总量。在模型改进中，我们借鉴新陈代谢的思想，对 Leslie 模型 进行优化，由于在原 Leslie 模型中没有考虑城市化速率对人口的影响，所以模型改进中 对人口序列进行了修正，然后将每次用 Leslie 矩阵预测出来的人口值作为下次预测的初 始序列，不断更新序列直至预测出所有人口序列，画出 2006~2050 中国人口走势直方图 和修正后的人口预测直方图，再与由新陈代谢 GM(1,1)模型和 Leslie 模型预测的人口数 据做出的 2006~2050 年人口直方图对比。 最后，我们得到了如下结论：在中短期内，中国人口会增加较快，但总人口最大值 不会超过 17.4 亿人；随后，人口增长减缓，到本世纪中叶，人口增长率会趋向于 0，人 口总数大体维持在 16.8 亿人左右。 同时从改进的人口走势图和改进的人口预测图还可以 看出，灰色预测模型在预测中长期的人口数量时会有很大的误差，这也恰好说明了我们 引入衰减指数和 Leslie 模型的正确性。 关键词： 新陈代谢 GM（1，1）模型；人口阻滞系数；衰减指数；Leslie 人口预测模型
1
一、问题重述
中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。近年来中国 的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高， 以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。2007 年初发布的《国家人 口发展战略研究报告》(附录 1) 还做出了进一步的分析。 根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。
三、模型建立与求解
3.1 中短期模型 总体思路是先用灰色模型预测出 2006 年到 2025 年的人口总量， 但是人口的增长又受 很多社会因素的影响，比如城市化速率，老龄化速率，性别比等。于是我们构造一个衰 减指数模型，综合各影响因素，得到人口阻滞系数，将人口阻滞系数带入衰减模型，得 到衰减指数，修正由灰色模型预测的人口总量。 3.1.1 利用新陈代谢 GM(1,1)模型预测人口总量 所谓新陈代谢模型，即由原始序列 测值 X ( 0 )(n
为在观测数据中计算得的老龄化速度的最小值， L max 为在观测数据中计算得的老 龄化速度的最大值。 3）城市化速度系数
kV
tj
1.01
V V V V
tj max
min min
0.1
4
V
tj
为城市化速度， 为第 t 年城市人口比重减去第 t-1 年城市人口比重，V min 为在
观测数据中计算得的城市化速度的最小值，V max 为在观测数据中计算得的城市化速 度的最大值。 在以上的老龄化速度系数和城市化速度系数中加上常数 1.01 是为了使系数“归一放 大”后保证对阻滞系数至少有 1%的贡献。 从而有：
k
x

tj
x x
t1, j t, j
x
t, j
是第 t 年的男女性别比例， x t 1, j 是第 t-1 年的男女性别比例；
L tj 1.01 L max L min L tj L min 0.1 ；
2）老龄化速度系数 k
L tj 为老龄化速度，亦即第 t 年的老龄化比重减去第 t-1 年的老龄化比重， L min