二次函数的性质教案

4.2二次函数的性质

一、教材的地位与作用

初中学习了一元二次函数2(0)

=++≠图象、开口方向、对称轴

y ax bx c a

最大、最小值，有了初步的感性认识。在高一阶段将进一步从“数和形”两个方面研究一般二次函数的图象和性质，二次函数也是我们用来研究函数性质的最典型的函数。可以以它为素材来研究函数的单调性，奇偶性，最值等问题。还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系基础，是解决数学问题的常用工具，也是培养学生逻辑推理能力和渗透数形结合思想的重要素材。

二、教学目标

1、知识与技能：掌握研究二次函数的一般方法——配方法，进而研究其性质。

2、过程与方法：进一步培养学生探究、合作、交流能力，培养学生的观察、

分析、归纳概括能力,进一步向学生渗透数形结合的数学思想方

法。

3、情感态度与价值观：通过本节课的教学，渗透二次函数图象的对称美，和谐

的数学美。

三、教学重难点

教学重点：掌握研究二次函数图象的重要方法---配方法，能够较快求出二次函数的开口方向对称轴，单调区间、最值及顶点坐标。

教学难点：运用配方法研究二次函数的性质。

四、教法学法和教具

教师启发讲授，学生探究学习的教学方法，教学中使用了多媒体投影和计算机来辅助教学，目的是让学生直接感受抛物线这种对称和谐美，有助于学生对问题的理解和认识。

教具：多媒体

五、教学过程

一、问题提出

1.画出函数2243y x x =--的图像，根据图像讨论抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、单调区间、最大值和最小值.

2.画出函数245y x x =-++的图像，根据图像讨论抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、单调区间、最大值和最小值.

3.讨论函数2(0)y ax bx c a =++≠图像的开口方向、顶点坐标、对称轴、单调区间、最大值和最小值.

22(1)5y x =-- 2(2)9y x =--+

222432(1)5y x x x =--=--，∴开口向上，对称轴1x =，顶点坐标-15（，）， ∞（-,1)递减，∞(1,+)递增，min ()5f x =-

2245(2)9y x x x =-++=--+∴开口向下，对称轴2x =，顶点坐标（2,9）， ∞（-,2)递增，∞(2,+)递减，max ()9f x =

设计意图：从具体到抽象，从简单到复杂的认知，概括2(0)y ax bx c a =++≠的

开口方向、顶点坐标、对称轴、单调区间、最大值和最小值.渗透分类讨论和数形结合的思想。

探究：函数2(0)y ax bx c a =++≠图像的开口方向、顶点坐标、对称轴、

单调区间、最大值和最小值.

2

224()24b ac b y ax bx c a x a a -=++=++

0a > 0a <

性质：

(1)定义域：R .

(2)值域：当a ＞0时，为⎣⎢⎡⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞，当a ＜0时，为⎝ ⎛⎦

⎥⎤－∞，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a . (3)单调性：

当a ＞0时，单调递减区间是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a ，单调递增区间是⎣⎢⎡⎭

⎪⎫－b 2a ，＋∞； 当a ＜0时，单调递减区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞，单调递增区间是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a . (4)最值：当a ＞0时，有最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，没有最大值； 当a ＜0时，有最大值f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－b 2a ，没有最小值． (5)f (0)＝c .

例1：求函数f (x )＝x 2－2x ，x ∈[－2,3]的最大值和最小值．

思路分析：画出函数的图像，写出单调区间，根据函数的单调性求出． 解：画出函数f (x )＝x 2－2x ，x ∈[－2,3]的图像，如图所示，

观察图像得，函数f (x )＝x 2－2x 在区间[－2,1]上是减函数，

则此时最大值是f (－2)＝8，最小值是f (1)＝－1；

函数f (x )＝x 2－2x 在区间(1,3]上是增函数，

则此时最大值是f (－2)＝8，最小值是f (1)＝－1；

则函数f (x )＝x 2－2x ，x ∈[－2,3]的最大值是8，最小值是－1.

点评：因此可见，求二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在闭区间[p ，q ]上的最

值的关键是看二次项系数a 的符号和对称轴x ＝－b 2a 的相对位置，由此确定其单

调性，再由单调性求得最值．

例2.某企业生产一种仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入

100元，已知总收益满足函数：21400,0400,()280000,400,x x x R x x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩

其中x 是仪器的月产量.（1）将利润表示为月产量的函数；（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少？

解：（1）设月产量为x 台，则总成本为20 000+100x ，从而

2130020000,0400,()260000100,

400,x x x f x x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪->⎩

（2）当0≤x ≤400时，21()30025000.2

f x x （）=--+ 当x =300时，有最大值25 000；

当x >400时，()60000100f x x =-是减函数，

又()60000100400f x <-⨯2000025000,=<

所以，当x =300时，有最大值25 000.

即当月产量为300台时,公司所获利润最大,最大利润是25 000元.

练习3.某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，并且生产量每增加一单位产品，成本增加1万元，又知总收入R 是单位产量Q 的函数：21()4200R Q Q Q =-， 则总利润L (Q )的最大值是____________万元，这时产品的生产数量为_______. 解：222111()4(200)3200(300)250200200200

L Q Q Q Q Q Q Q =--+=-+-=--+ 六、课堂小结

1.二次函数的性质（1）开口方向；（2）顶点坐标；（3）对称轴；

（4）单调区间；（5）最大值和最小值.

2.解决二次函数的实际应用问题：求最值.