数学物理方法第三版答案
数学物理方程第三版第一章答案(全)
数学物理方程第三版答案第一章． 波动方程§1 方程的导出。
定解条件1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x 点处的点在时刻t 离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明),(t x u 满足方程()⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂x u E x t u x t ρ 其中ρ为杆的密度，E 为杨氏模量。
证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 x 与+x x ∆。
现在计算这段杆在时刻t 的相对伸长。
在时刻t 这段杆两端的坐标分别为：),();,(t x x u x x t x u x ∆++∆++其相对伸长等于 ),()],([)],([t x x u xxt x u x t x x u x x x ∆+=∆∆-+-∆++∆+θ令0→∆x ，取极限得在点x 的相对伸长为x u ),(t x 。
由虎克定律，张力),(t x T 等于),()(),(t x u x E t x T x =其中)(x E 是在点x 的杨氏模量。
设杆的横截面面积为),(x S 则作用在杆段),(x x x ∆+两端的力分别为x u x S x E )()(x u x x S x x E t x )()();,(∆+∆+).,(t x x ∆+于是得运动方程tt u x x s x ⋅∆⋅)()(ρx ESu t x =),(x x x x x ESu x x |)(|)(-∆+∆+利用微分中值定理，消去x ∆，再令0→∆x 得tt u x s x )()(ρx∂∂=x ESu () 若=)(x s 常量，则得22)(tu x ∂∂ρ=))((x u x E x ∂∂∂∂即得所证。
2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。
解：(1)杆的两端被固定在l x x ==,0两点则相应的边界条件为 .0),(,0),0(==t l u t u(2)若l x =为自由端，则杆在l x =的张力x ux E t l T ∂∂=)(),(|lx =等于零，因此相应的边界条件为x u∂∂|lx ==0 同理，若0=x 为自由端，则相应的边界条件为xu∂∂∣00==x (3)若l x =端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某点，且该点离开原来位置的偏移由函数)(t v 给出，则在l x =端支承的伸长为)(),(t v t l u -。
数学物理方法习题解答(完整版)
数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。
证明：令Re z u iv =+。
Re z x =，,0u x v ∴==。
1ux∂=∂，0v y ∂=∂，u v x y ∂∂≠∂∂。
于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。
2、试证()2f z z=仅在原点有导数。
证明：令()f z u iv =+。
()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。
2,2u u x y x y ∂∂= =∂∂。
v vx y∂∂ ==0 ∂∂。
所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。
而,,u u v vx y x y∂∂∂∂ , ∂∂∂∂在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。
()0000x x y y u v v u f i i x x y y ====⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫'=+=-= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭。
或：()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z∆→∆→∆=∆=∆'==∆=∆-∆=∆。
22***0*00limlim lim()0z z z z z z zzz z z z z z z z z=∆→∆→∆→+∆+∆+∆∆==+−−→∆∆∆。
【当0,i z z re θ≠∆=，*2i z e z θ-∆=∆与趋向有关，则上式中**1z zz z∆∆==∆∆】3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ⎧+++≠⎪=+⎨⎪⎩，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。
证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()33222222,=00x y x y u x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨+⎪⎩， 33222222(,)=00x y x y v x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨+⎪⎩。
数学物理方法习题解答(完整版)
数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。
证明：令Re z u iv =+。
Re z x =，,0u x v ∴==。
1ux∂=∂，0v y ∂=∂，u v x y ∂∂≠∂∂。
于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。
2、试证()2f z z=仅在原点有导数。
证明：令()f z u iv =+。
()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。
2,2u u x y x y ∂∂= =∂∂。
v vx y∂∂ ==0 ∂∂。
所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。
而,,u u v vx y x y∂∂∂∂ , ∂∂∂∂在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。
()0000x x y y u v v u f i i x x y y ====⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫'=+=-= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭。
或：()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z∆→∆→∆=∆=∆'==∆=∆-∆=∆。
22***0*00limlim lim()0z z z z z z zzz z z z z z z z z=∆→∆→∆→+∆+∆+∆∆==+−−→∆∆∆。
【当0,i z z re θ≠∆=，*2i z e z θ-∆=∆与趋向有关，则上式中**1z zz z∆∆==∆∆】3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ⎧+++≠⎪=+⎨⎪⎩，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。
证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()33222222,=00x y x y u x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨+⎪⎩， 33222222(,)=00x y x y v x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨+⎪⎩。
数学物理方程第三版(谷超豪)答案
2u
t 2 u
xa
t0
a2 2u x 2
(x)
u xat0 (x).
(0) (0)
数学物理方程答案
解：u(x,t)=F(x-at)+G(x+at)
令 x-at=0 得 (x) =F（0）+G（2x）
令 x+at=0 得 (x) =F（2x）+G(0)
所以 且
F(x)= ( x ) -G(0). 2
于是得 所以
CLa2 1 0
2CLt CR LGt 0 CLt CR LGt GRt 0
1 CL
a2
u t ut
a2 2
CR
LG
a2 CRLG t
u t c0e 2
数学物理方程答案
代入以上方程组中最后一个方程，得
CL a4 CR LG2 a2 CR LG2 GR 0
的通解可以写成
u Fx at Gx at
hx
其中 F,G 为任意的单变量可微函数,并由此求解它的初值问题:
t 0 : u x, u x.
t
解：令 h xu v 则
h x u u v ,h x2 u h xu v
x
x
x
x
[(h x)2 u (u v) (h x) u (h x)2 u (h x)(u 2v )
G（x）= ( x ) -F(0). 2
F（0）+G(0)=(0) (0).
所以
u(x,t)= ( x at ) + ( x at ) -(0).
2
2
即为古尔沙问题的解。
4．对非齐次波动方程的初值问题
证明：
2u
t
数学物理方法习题解答(完整版)
数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。
证明：令Re z u iv =+。
Re z x =，,0u x v ∴==。
1ux∂=∂，0v y ∂=∂，u v x y ∂∂≠∂∂。
于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。
2、试证()2f z z=仅在原点有导数。
证明：令()f z u iv =+。
()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。
2,2u u x y x y ∂∂= =∂∂。
v vx y∂∂ ==0 ∂∂。
所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。
而,,u u v vx y x y∂∂∂∂ , ∂∂∂∂在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。
()000000x x y y u v v u f i i x x y y ====⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫'=+=-= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭。
或：()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z∆→∆→∆=∆=∆'==∆=∆-∆=∆。
22***0*00limlim lim()0z z z z z z zzz z z z z z zz z=∆→∆→∆→+∆+∆+∆∆==+−−→∆∆∆。
【当0,i z z re θ≠∆=，*2i z e z θ-∆=∆与趋向有关，则上式中**1z zz z∆∆==∆∆】3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ⎧+++≠⎪=+⎨⎪⎩，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。
证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()33222222,=00x y x y u x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨+⎪⎩， 33222222(,)=00x y x y v x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨+⎪⎩。
高等数学第四册第三版数学物理方法答案(完整版)
高等数学 第四册（第三版） 数学物理方法 答案（完整版）第一章 复数与复变函数（1）1.计算)(1)2;i i i i i -=-=-()122(12)(34)(2)5102122.;345(34)(34)591655i i i i i i i i i i i i +-++--+++=+=-=---+-+5551(3).;(1)(2)(3)(13)(3)102i i i i i i i ===------4222(4).(1)[(1)](2)4;i i i -=-=-=-1122())]a bi =+=112224sin )]()(cossin );22i a b i θθθθ=+=++3.设1z=2;z i =试用三角形式表示12z z 及12z z 。
解：121cossin;(cos sin );44266z i z i ππππ=+=+121155[cos()sin()](cos sin );2464621212z z i i ππππππ=+++=+ 122[cos()sin()]2(cos sin );46461212z i i z ππππππ=-+-=+11.设123,,z z z 三点适合条件1230z z z ++=及1231;z z z ===试证明123,,z z z 是一个内接于单位圆z =1的正三角形的顶点。
证明：1230;zz ++=z 123231;312;;z z z z z z z z z ∴=--=--=--122331;z z z z z z ∴-=-=-123,,z z z ∴所组成的三角形为正三角形。
1231z z z ===123,,z z z ∴为以z 为圆心，1为半径的圆上的三点。
即123z ,z ,z 是内接于单位圆的正三角形。
.17.证明：三角形内角和等于π。
证明：有复数的性质得：3213213arg;arg ;arg ;z z z z z z αβγ---=== 21z z z z -•-arg(1)2;k αβγπ∴++=-+0;k ∴=;αβγπ∴++=第一章 复数与复变函数（2）7.试解方程()4400z a a +=>。
数学物理方法习题解答(完整版)
数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。
证明：令Re z u iv =+。
Re z x =，,0u x v ∴==。
1u x ∂=∂，0v y ∂=∂，u v x y∂∂≠∂∂。
于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。
2、试证()2f z z=仅在原点有导数。
证明：令()f z u iv =+。
()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。
2,2u u x y x y ∂∂= =∂∂。
v v x y∂∂ ==0 ∂∂。
所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。
而,,u u v vx y x y∂∂∂∂ , ∂∂∂∂在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。
()0000x x y y u v v u f i i x x y y ====⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫'=+=-= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭。
或：()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z∆→∆→∆=∆=∆'==∆=∆-∆=∆。
22***0*000lim lim lim()0z z z z z z z zz z z z z z z z z=∆→∆→∆→+∆+∆+∆∆==+−−→∆∆∆。
【当0,i z z re θ≠∆=，*2i ze zθ-∆=∆与趋向有关，则上式中**1z z z z ∆∆==∆∆】3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ⎧+++≠⎪=+⎨⎪⎩，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。
证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()332222220,=00x y x y u x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨+⎪⎩，332222220(,)=00x y x y v x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨+⎪⎩。
数学物理方程第三版 谷超豪 答案
x, y,t 有
二阶连续偏导数。且
u
(t 2
x2
y
2
)
3 2
t
t
2u
(t 2
x2
y
2
)
3 2
3(t 2
x2
y
2
)
5 2
t2
t 2
(t 2
x2
y
2
)
3 2
(2t 2
x2
y2)
u
(t 2
x2
y
2
)
3 2
x
x
数学物理方程答案
2u
x
x
x
x
x
2x
又
h x 2u 2v
t 2 t 2
代入原方程，得
h x 2v 1 h x 2v
x 2 a 2
t 2
即
2v 1 2v
x 2 a 2 t 2
由波动方程通解表达式得
vx,t Fx at Gx at
（2） 在 x 轴区间[ x1, x 2 ]上所给的初始条件唯一地确定区间[ x1, x2 ]的决定区
域中解的数值。
证：（1） 非齐次方程初值问题的解为
u(x,t)= 1 [(x at) (x at)] 1
xat
()d
2
2a xat
1 t
+
xa(t )
2u
t 2 u
数学物理方法(第三版)
展望
研究前沿
随着科技的发展，数学物理方法 在各个领域的应用越来越广泛， 如量子力学、金融数学、生物信
息学等。
未来趋势
未来，数学物理方法将继续发展， 与其他学科交叉融合，产生新的理 论和方法。
对读者的建议
读者应保持对数学物理方法发展的 关注，不断学习和探索新的理论和 应用。
THANKS
泛函分析方法
总结词
泛函分析是研究函数空间和算子的数学分支，通 过引入抽象的函数空间和算子，泛函分析为解决 复杂的数学问题提供了有力的工具。
总结词
泛函分析方法的应用不仅限于物理学，还涉及到 其他数学领域如微分方程、实变函数、复变函数 等。通过泛函分析的方法，可以更好地揭示数学 问题本质，推动数学的发展。
感谢观看
详细描述
在物理学中，泛函分析方法被广泛应用于量子力 学、统计物理等领域。通过将物理问题转化为泛 函分析问题，可以更好地理解和求解复杂的物理 现象。
详细描述
为了更好地应用泛函分析方法，需要深入理解其 基本概念和性质，如函数空间、算子、谱理论等 。同时，也需要与其他数学方法结合使用，以解 决各种复杂的数学问题。
积分方程方法的应用案例
积分方程在统计学中的应用
01
积分方程被用来描述概率分布，解决统计学中的各种问题，如
参数估计和假设检验。
积分方程在工程学中的应用
02
在解决结构优化、控制系统设计和信号处理等问题时，积分方
程是重要的数学工具。
积分方程在金融学中的应用
03
积分方程被用来描述金融市场的价格变动，评估投资组合的风
都非常重要。
03
促进学科交叉
数学物理方法是一门跨学科的学科，它促进了数学和物理学之间的交叉
数学物理方程第三版 谷超豪 答案
2u .
x2 y 2
t 2
即得所证。
6. 在单性杆纵振动时,若考虑摩阻的影响,并设摩阻力密度涵数(即单位质量所受的摩阻力) 与杆件在该点的速度大小成正比(比例系数设为 b), 但方向相反,试导出这时位移函数所满足 的微分方程.
解: 利用第 1 题的推导,由题意知此时尚须考虑杆段x, x x 上所受的摩阻力.由题设,
其中 (x) 表示 T (x) 方向与 x 轴的夹角
又
sin tg u
x.
于是得运动方程
x
2u t 2
[l
(x
x)] u x
∣
xx
g
[l
x] u x
∣
x
g
利用微分中值定理，消去 x ，再令 x 0 得
2u g [(l x) u ] 。
2(h x)
1
+
xat
(h ) ( )d.
2a(h x) xat
即为初值问题的解散。
２．问初始条件(x) 与 (x) 满足怎样的条件时，齐次波动方程初值问题的解仅由右传
播波组成？ 解：波动方程的通解为 u=F(x-at)+G(x+at)
其中 F，G 由初始条件(x) 与 (x) 决定。初值问题的解仅由右传播组成，必须且只须对
单位质量所受摩阻力为 b u ,故 x, x x上所受摩阻力为
t
b pxsx x u
t
运动方程为:
xsxx 2u
t 2
ES u t
xx
ES
u x
x b xsxx u
t
利用微分中值定理，消去 x ,再令 x 0 得
数学物理方法 刘连寿著 第三版 课后答案set12
2 ∞ ⎧ 2 ⎪ A(k ) = ∫0 f (ξ ) cos kξ dξ 令A(k)= cc (k ) π ⎨ π ⎪ ⎩cs (k ) = 0 则 ⎧c (k ) = ∞ f ( x) cos kxdx ∫0 ⎪ c ⎨ 2 ∞ ⎪ f ( x) = ∫ cc (k ) cos kxdk π 0 ⎩
{
0
}
2
+ (α + iω )
2
12.1.3．求函数 f ( x ) = 解： c( k ) =
1 （a>0）的傅立叶变换。 a + x2
2
∫
∞
−∞
f ( x)e − ikx dx = ∫
e − ikx dx −∞ a 2 + x 2
∞
为应用留数定理，要分别讨论 k<0 及 k>0 情形。
(1)k < 0 c(k ) = ∫ = 2π i
7．求 f ( x ) = e （一） f ( x ) =
− ax
傅立叶正余弦变换，其中，a>0。
∞
π∫
2
0
[cc ( k )cokx + cs ( k ) sin kx]dk
解： f ( x)既不是奇函数也不是偶函数，则cc 及cs均不为零。
cs (k ) = ∫ e − ax sin kxdx
0
∼ k2 π
直接积分也可以得到相同的结果。
方法二：
∼
f ( k ) = ∫ cos β x 2 e − ikx dx
−∞ k k2 k k2
∞
1 ∞ iβ x 2 −ikx 1 ∞ − iβ x 2 −ikx 1 ∞ i β ( x − 2 β ) 2 −i 4 β 1 ∞ i β ( x + 2 β )2 +i 4 β = ∫ e dx + ∫ e dx = ∫ e dx + ∫ e dx 2 −∞ 2 −∞ 2 −∞ 2 −∞
数学物理方程(第三版)第一章练习答案全解
方程的导出、定解条件
.E.xample 1.4
绝对柔软而均匀的弦线有一端固定, 在它本身重力作用下, 此线处于铅垂的平 .衡位置, 试导出此线的微小横振动方程.
解: 设弦长为 l, 取弦上端点为原点, 取铅垂向下的轴为 x 轴. 设 u(x, t) 为
时刻 t, x 处的横向位移. 取位于 (x, x + ∆x) 的微元进行分析, 由绝对柔软
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2012-10-3 13 / 67
达朗贝尔公式、波的传播
.E.xample 2.2
问初始条件 φ(x) 与 ψ(x) 满足怎样的条件时, 齐次波动方程初值问题的解仅 由. 右传播波组成?
解: 由题意知
G(x)
=
1 φ(x) 2
+
1 2a
∫x ψ(ξ)dξ
x0
−
C 2a
.E.xample 1.7 √
验证 u(x, y, t) = 1/ t2 − x2 − y2 在锥 t2 − x2 − y2 > 0 中满足波动方程 .utt = uxx + uyy.
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2012-10-3 10 / 67
1. 方程的导出、定解条件 2. 达朗贝尔公式、波的传播 3. 初边值问题的分离变量法 4. 高维波动方程的柯西问题 5. 波的传播与衰减 6. 能量不等式、波动方程解的唯一性和稳定性
解: (1) u(0, t) = u(l, t) = 0;
(2) 端点自由,
即端点处无外力作用.
在左端点
SE(0)
∂u ∂x
(0,
t)
=
0,
即
∂u ∂x
数学物理方程第三版 谷超豪 答案
2u b u a 2 2u .
t 2 t
x 2
§2 达朗贝尔公式、 波的传抪 1. 证明方程
数学物理方程答案
x
1
x 2 h
u
x
1 a2
1
x h
2
2u t 2
h
0常数
的通解可以写成
u Fx at Gx at
x, y,t 有
二阶连续偏导数。且
u
(t 2
x2
y
2
)
3 2
t
t
2u
(t 2
x2
y
2
)
3 2
3(t 2
x2
y
2
)
5 2
t2
t 2
(t 2
x2
y
2
)
3 2
(2t 2
x2
y2)
u
(t 2
x2
y
2
)
3 2
x
x
数学物理方程答案
2u
2u .
x2 y 2
t 2
即得所证。
6. 在单性杆纵振动时,若考虑摩阻的影响,并设摩阻力密度涵数(即单位质量所受的摩阻力) 与杆件在该点的速度大小成正比(比例系数设为 b), 但方向相反,试导出这时位移函数所满足 的微分方程.
解: 利用第 1 题的推导,由题意知此时尚须考虑杆段x, x x 上所受的摩阻力.由题设,
数学物理方法第三版课后练习题含答案
数学物理方法第三版课后练习题含答案前言本文为数学物理方法第三版（Mathematical Methods in the Physical Sciences, 3rd Edition）的课后练习题及答案。
该书是经典的大学物理数学教材，广泛应用于物理、数学、工程等领域的学生和教师。
本文主要适用于该书的读者，希望能够帮助大家更好地掌握数学物理方法。
第一章1.1 给定函数 $f(x)=\\sin(x)$，求以下数值：(a) f(0)答：$f(0) = \\sin(0) = 0$(b) $f(\\pi)$答：$f(\\pi) = \\sin(\\pi) = 0$(c) $f(\\pi/2)$答：$f(\\pi/2) = \\sin(\\pi/2) = 1$(d) $f(-\\pi/2)$答：$f(-\\pi/2) = \\sin(-\\pi/2) = -1$1.2 给定函数f(x)=e x，求以下数值：(a) f(0)答：f(0)=e0=1(b) $f(\\ln 2)$答：$f(\\ln 2) = e^{\\ln 2} = 2$(c) $f(-\\ln 2)$答：$f(-\\ln 2) = e^{-\\ln 2} = 1/2$(d) f(−1)答：$f(-1) = e^{-1} \\approx 0.368$1.3 求解以下方程：(a) x2−2x−3=0解：使用求根公式 $x=\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，得$$x = \\frac{2\\pm\\sqrt{2^2-4\\times1\\times(-3)}}{2\\times1} = -1,3 $$所以方程的根为x=−1和x=3。
(b) x3+2x2−5x−6=0解：使用因式分解法，先猜一个根为x=1，得到一个因式(x−1)，然后用多项式长除法得到：x3+2x2−5x−6=(x−1)(x2+3x+6)不易得到另外两个根的精确解，所以这里只给出结果，方程的根为x=1，$x=-\\frac{3}{2}+i\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ 和 $x=-\\frac{3}{2}-i\\frac{\\sqrt{3}}{2}$。
数学物理方法第三版答案
数学物理方法第三版答案【篇一：数学物理方法试卷答案】xt>一、选择题（每题4分，共20分） 1．柯西问题指的是（ b ） a．微分方程和边界条件. b. 微分方程和初始条件. c．微分方程和初始边界条件. d. 以上都不正确. 2．定解问题的适定性指定解问题的解具有（ d）a．存在性和唯一性. b. 唯一性和稳定性. c. 存在性和稳定性. d. 存在性、唯一性和稳定性.??2u?0,?3．牛曼内问题 ??u 有解的必要条件是（ c）??n?f??a．f?0.b．u??0.c．?fds?0. d．?uds?0.???x(x)??x(x)?0,0?x?l4．用分离变量法求解偏微分方程中，特征值问题??x(0)?x(l)?0的解是（ b ）n?n??n???n??x ).b．( ?x ). a．( ??,cos?,sinllll????(2n?1)?(2n?1)??(2n?1)???(2n?1)??x ).d．( ?x ). c．( ??,cos?,sin2l2l2l2l????22225．指出下列微分方程哪个是双曲型的（ d ）a．uxx?4uxy?5uyy?ux?2uy?0. b．uxx?4uxy?4uyy?0.c．x2uxx?2xyuxy?y2uyy?xyux?y2uy?0. d．uxx?3uxy?2uyy?0.二、填空题（每题4分，共20分）??2u?2u?2?2?0, 0?x??, t?0?t?x??1．求定解问题?ux?0?2sint, ux????2sint, t?0的解是(2sintcosx).??ut?0?0, utt?0?2cosx, 0?x????2．对于如下的二阶线性偏微分方程a(x,y)uxx?2b(x,y)uxy?c(x,y)uyy?dux?euy?fu?0其特征方程为( a(x,y)(dy)2?2b(x,y)dxdy?c(x,y)(dx)2?0). 3．二阶常微分方程y(x)?或0).4．二维拉普拉斯方程的基本解为（ ln1（）.r1 ），三维拉普拉斯方程的基本解为r113y(x)?(?2)y(x)?0的任一特解y?（ jx44x1(x) 3225．已知j1(x)?222sinx, j1(x)?cosx，利用bessel函数递推公式求??x?x23j3(x)?（221221dsinx(sinx?cosx)??x()()）. ?xx?xdxx三、（15分）用分离变量法求解如下定解问题2??2u2?u??t2?a?x2?0, 0?x?l, t?0??u??u?0, ?0, t?0 ??xx?l??xx?0?u?x, utt?0?0, 0?x?l.?t?0?解：第一步：分离变量(4分) 设u(x,t)?x(x)t(t)，代入方程可得x(x)t(x)x(x)t(t)?ax(x)t(t)??2x(x)at(x)2此式中，左端是关于x的函数，右端是关于t的函数。
高等数学第四册第三版数学物理方法答案(完整版)
e = iLn(1+i)
i ln
=e
2 −(π +2kπ ) 4
= (cos ln
2 + i sin ln
π
2)e 4 e2kπ
k = 0, ±1, ±2,⋅⋅⋅
Ln(1+ i) = ln(1+ i) + i2kπ = ln 2 + i π + i2kπ = ln 2 + i(π + 2kπ )
4
4
2
2
， z =1
则
i
π
π
∫ ∫ ∫ −i
则 ， u ( x, y) = ex (x cos y − y sin y) v ( x, y) = ex ( y cos y + x sin y)
； ∂u = ex (x cos y − y sin y) + ex cos y
∂x
∂v = ex cos y − y sin yex + x cos yex ∂y
z1 + z2 + z3 = 0
试 证 明 是 一 个 内 接 于 单 位 z1 = z2 = z3 =1;
z1, z2 , z3
圆 z =1的正三角形的顶点。
1
证明： z1 + z2 + z3 = 0; ∴ z1 = − z2 − z3; z2 = − z3 − z1;z3 = − z1 − z2;
v = 1 +c =1
u =1
2
6
c=1 2
所以 。 f ( z) = x2 − y2 + xy + i(2xy + y2 − x2 + 1) 2 22
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数学物理方法第三版答案【篇一：数学物理方法试卷答案】xt>一、选择题（每题4分，共20分） 1．柯西问题指的是（ b ） a．微分方程和边界条件. b. 微分方程和初始条件. c．微分方程和初始边界条件. d. 以上都不正确. 2．定解问题的适定性指定解问题的解具有（ d）a．存在性和唯一性. b. 唯一性和稳定性. c. 存在性和稳定性. d. 存在性、唯一性和稳定性.??2u?0,?3．牛曼内问题 ??u 有解的必要条件是（ c）??n?f??a．f?0.b．u??0.c．?fds?0. d．?uds?0.???x(x)??x(x)?0,0?x?l4．用分离变量法求解偏微分方程中，特征值问题??x(0)?x(l)?0的解是（ b ）n?n??n???n??x ).b．( ?x ). a．( ??,cos?,sinllll????(2n?1)?(2n?1)??(2n?1)???(2n?1)??x ).d．( ?x ). c．( ??,cos?,sin2l2l2l2l????22225．指出下列微分方程哪个是双曲型的（ d ）a．uxx?4uxy?5uyy?ux?2uy?0. b．uxx?4uxy?4uyy?0.c．x2uxx?2xyuxy?y2uyy?xyux?y2uy?0. d．uxx?3uxy?2uyy?0.二、填空题（每题4分，共20分）??2u?2u?2?2?0, 0?x??, t?0?t?x??1．求定解问题?ux?0?2sint, ux????2sint, t?0的解是(2sintcosx).??ut?0?0, utt?0?2cosx, 0?x????2．对于如下的二阶线性偏微分方程a(x,y)uxx?2b(x,y)uxy?c(x,y)uyy?dux?euy?fu?0其特征方程为( a(x,y)(dy)2?2b(x,y)dxdy?c(x,y)(dx)2?0). 3．二阶常微分方程y(x)?或0).4．二维拉普拉斯方程的基本解为（ ln1（）.r1 ），三维拉普拉斯方程的基本解为r113y(x)?(?2)y(x)?0的任一特解y?（ jx44x1(x) 3225．已知j1(x)?222sinx, j1(x)?cosx，利用bessel函数递推公式求??x?x23j3(x)?（221221dsinx(sinx?cosx)??x()()）. ?xx?xdxx三、（15分）用分离变量法求解如下定解问题2??2u2?u??t2?a?x2?0, 0?x?l, t?0??u??u?0, ?0, t?0 ??xx?l??xx?0?u?x, utt?0?0, 0?x?l.?t?0?解：第一步：分离变量(4分) 设u(x,t)?x(x)t(t)，代入方程可得x(x)t(x)x(x)t(t)?ax(x)t(t)??2x(x)at(x)2此式中，左端是关于x的函数，右端是关于t的函数。
因此，左端和右端相等，就必须等于一个与x,t无关的常数。
设为??，则有x(x)t (x)x(x)?a2t(x)?????t(t)??a2??t(t)?0,??x(x)??x(x)?0.将u(x,t)代入边界条件得x(0)t(t)?x(l)t(t)?0,从而可得特征值问题x(x)??x(x)?0x(0)?x(l)?0,第二步：求解特征值问题 1) 若??0，方程的通解形式为x(x)?ae?x?be??x由定解条件知a?0,b?0，从而x(x)?0，不符合要求。
2) 若??0，方程的通解形式为x(x)?ax?b由边界条件知a?0,，从而x(x)?b。
3) 若??0，方程的通解形式为 x(x)?acos?x?bsin?x代入边界条件得??b?0,?b?0,???asinl?0?????(n?l)2, n?1,2,3,... 从而得特征值问题的一系列特征值及相应的特征函数????n?(n?)2, n?0,1,2,3?l,... ???xn(x)?ancosn?lx, n?1,2,3,...分)(4第三步：求特解，并叠加出一般解 (3分) 求解了特征值问题后，将每特征值?n代入函数t(t)满足的方程可得出相应的解tt)?cd0(0?0ttn?n? n(t)?cncoslat?dnsinlat, n?1,2,3,...因此，也就得到满足偏微分方程和边界条件的一般解u(x,t)?c0?d0t???(cn?ncosn?1lat?dn?n?nsinlat)coslx, 第四步：确定叠加系数由初始条件可知?cn?0??cncosn?1lx?x?d0??dn?annn?1lcos?lx?0可得cl0?2cnn?2ln2?2[(?1)?1],n?1,2,3?dn?0,n?0,1,2,?故原方程的解为2ln?at2??coscosn?22[(?1)n?1]lxn?1n?l??l4l(2n?1)?at(2n?1)?2??coscosxn?0(2n?1)2?2ll.分)(4四、（10分）用行波法求解下列问题???2u?2u?2?3u?2?2?x?y2?0, y?0, ???x???, ??x?y??u ?u?y?0?3x2, ?y?0,???x???.y?0解：其特征方程为(dy)2?2dxdy?3(dx)2?0 由此可得特征线方程为 3x?y?cx?y?d因此作变换????3x?y,???x?y从而可得?2u????＝0 从而有u(x,y)?f(3x?y)?g(x?y)由初始条件可得f(3x)?g(x)?3x2?f(3x)?g(x)?0所以有f(3x)?3g(x)?c，从而可得9x2f(3x)?4?c2g(x)?3x4?c故而可知u(x,y)?f(3x?y)?g(x?y)?3x2?y2。
(2分)(2分) (2分) (2分)【篇二：数学物理方法习题解答(完整版)】>一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明rez在z平面上处处不可导。
证明：令rez?u?iv。
?rez?x，?u?x,v?0。
?u?x?1，?v?y?0，?u?x??v?y。
于是u与v在z平面上处处不满足c－r条件，所以rez在z平面上处处不可导。
2、试证f?z??z2仅在原点有导数。
z2证明：令f?z??u?iv。
???f?z???u?x?2x,????u?y?2y。
??v?x??v?y?x?y????????u?x?y,v?02222。
???。
?u?y?v?x?v?y在原点所以除原点以外，u,v不满足c－r条件。
而 ??,?????,??连续，且满足c－r条件，所以f?z?在原点可微。
?v???uf??0????i??x???x?z?z2x?0y?0??v?u????i??y?y??*?0。
x?0y?02或：f??0???limz?0limz??z2?lim??z??lim??x?i?y??0?z?0?x?0?y?0。
*?z?z?0?z?lim?zz??zz?z*?i2??z?0?lim(z??z?0*?z*?zz)???0z?0【当z?0,?z?rei?，?z?z?e与趋向有关，则上式中?z?z??z*?z?1】3、设?x3?y3?i(x3?y3)?22f(z)??x?y?0?z?0z=0，证明f?z?在原点满足c－r条件，但不可微。
证明：令f?z??u?x,y??iv?x,y?，则 ?x3?y3?u?x,y???x2?y2?0??x3?y3?v(x,y)??x2?y2?0?ux(0,0)?limx?y?0x?y=022，x?y?0x?y=0 2222。
u(x,0)?u(0,0) xu(0,y)?u(0,0) yx?0?limxx33x?0?1，uy(0,0)?lim y?0?lim?yy33x?0??1；vx(0,0)?lim v(x,0)?v(0,0) xv(0,y)?v(0,0) yx?0?limxx33x?0?1，vy(0,0)?lim y?0?lim33x?0?1。
??ux(0,0)?vy(0,0)??,??uy(0,0)??vx(0,0) ?f(z) 在原点上满足c－r条件。
33但limz?0f(z)?f(0)z?limx?y?i(x?y)(x?y)(x?iy)2233z?0。
令y沿y?kx趋于0，则limx?y?i(x?y)(x?y)(x?iy)223333z?0?1?k?i(1?k)(1?k)(1?ik)233?k?k?k?1?i(k?k?k?1)(k?1)224343依赖于k，?f(z)在原点不可导。
4、若复变函数f?z?在区域d上解析并满足下列条件之一，证明其在区域d上必为常数。
（1）f?z?在区域d上为实函数；（2）f*?z?在区域d上解析；（3）ref?z?在区域d上是常数。
证明：（1）令f(z)?u(x,y)?iv(x,y)。
由于f?z?在区域d上为实函数，所以在区域d上v(x,y)?0。
?f(z)在区域d上解析。
由c－r条件得???v?x?0。
?u?x??v?y?0，?u?y?在区域d上u(x,y)为常数。
从而f?z?在区域d上为常数。
（2）令f(z)?u(x,y)?iv(x,y)，则f*(z)?u(x,y)?iv(x,y)。
??u?xf(z)在区域d上解析。
由c－r条件得。
（1）??v?y,???u?y???v?x又f*(z)在区域d上解析，由c－r条件得?u?x???v?y??,???u?y??v?x。
（2）联立（1）和（2），得?u?x??u?y??v?x??v?y?0。
?u,v在区域d上均为常数，从而f(z)在区域d上为常数。
f(z)?u?x,y?。
?u?x??u?y?0。
（3）令f?z??u?x,y??iv?x,y?，则re由题设知u?x,y?在区域d上为常数，?又由c－r条件得，在区域d上?v?x???u?y?0?,???v?y??u?x?0，于是v在区域d上为常数。
?u,v在区域d上均为常数，从而在区域d上f(z)为常数。
5、证明xy2不能成为z的一个解析函数的实部。
证明：令u?xy2，?u?x22??u?y22?0?2x?2x。
的一个解析函数的实从而它不能成为z?u 不满足拉普拉斯方程。
部。
6、若z?x?iy，试证：（1）sinz?sinxcoshy?icosxsinhy；（2）cosz?cosxcoshy?isinxsinhy；（3）sinz（4）cosz2＝sinx?sinhy2222；2?cosx?sinhy。
证明：（1）sinz?sin(x?iy)?sinxcos(iy)?cosxsin(iy)?cos(iy)?coshy,?sin(iy)?isinhy，?sinz?sinxcoshy?icosxsinhy。
（2）cosz?cos(x?iy)?cosxcos(iy)?sinxsin(iy)?cos(iy)?coshy,?sin(iy) ?isinhy，cosz?cosxcoshy?isinxsinhy。