数学物理方法第三版答案

数学物理方法第三版答案

【篇一：数学物理方法试卷答案】

xt>一、选择题（每题4分，共20分） 1．柯西问题指的是（ b ） a．微分方程和边界条件. b. 微分方程和初始条件. c．微分方程和初始边界条件. d. 以上都不正确. 2．定解问题的适定性指定解问题的解具有（ d）

a．存在性和唯一性. b. 唯一性和稳定性. c. 存在性和稳定性. d. 存在性、唯一性和稳定性.

??2u?0,?

3．牛曼内问题 ??u 有解的必要条件是（ c）

??n?f??

a．f?0.b．u??0.c．

?fds?0. d．?uds?0.

?

?

?x(x)??x(x)?0,0?x?l

4．用分离变量法求解偏微分方程中，特征值问题?

?x(0)?x(l)?0

的解是（ b ）

n?n??n???n??x ).b．( ?x ). a．( ??,cos?,sin

llll????

(2n?1)?(2n?1)??(2n?1)???(2n?1)??

x ).d．( ?x ). c．( ??,cos?,sin

2l2l2l2l????

2

2

2

2

5．指出下列微分方程哪个是双曲型的（ d ）

a．uxx?4uxy?5uyy?ux?2uy?0. b．uxx?4uxy?4uyy?0.

c．x2uxx?2xyuxy?y2uyy?xyux?y2uy?0. d．uxx?3uxy?2uyy?0.

二、填空题（每题4分，共20分）

??2u?2u

?2?2?0, 0?x??, t?0?t?x??

1．求定解问题?ux?0?2sint, ux????2sint, t?0的解是

(2sintcosx).

?

?ut?0?0, utt?0?2cosx, 0?x????

2．对于如下的二阶线性偏微分方程

a(x,y)uxx?2b(x,y)uxy?c(x,y)uyy?dux?euy?fu?0

其特征方程为( a(x,y)(dy)2?2b(x,y)dxdy?c(x,y)(dx)2?0). 3．二阶常微分方程y(x)?或0).

4．二维拉普拉斯方程的基本解为（ ln

1

（）.

r

1 ），三维拉普拉斯方程的基本解为r

113

y(x)?(?2)y(x)?0的任一特解y?（ jx44x

1

(x) 3

22

5．已知j1(x)?

2

22

sinx, j1(x)?cosx，利用bessel函数递推公式求

??x?x2

3

j3(x)?（

2

21221dsinx

(sinx?cosx)??x()()）. ?xx?xdxx

三、（15分）用分离变量法求解如下定解问题

2??2u2?u

??t2?a?x2?0, 0?x?l, t?0?

?u??u

?0, ?0, t?0 ?

?xx?l

??xx?0

?u?x, u

tt?0?0, 0?x?l.?t?0

?

解：第一步：分离变量(4分) 设u(x,t)?x(x)t(t)，代入方程可得

x(x)t(x)

x(x)t(t)?ax(x)t(t)??2

x(x)at(x)

2

此式中，左端是关于x的函数，右端是关于t的函数。因此，左端和右端相等，就必须等于一个与x,t无关的常数。设为??，则有

x(x)t (x)

x(x)?a2t(x)???

??t

(t)??a2

??t(t)?0,??x

(x)??x(x)?0.

将u(x,t)代入边界条件得

x(0)t(t)?x(l)t(t)?0,

从而可得特征值问题

x(x)??x(x)?0x

(0)?x

(l)?0,

第二步：求解特征值问题 1) 若??0，方程的通解形式为

x(x)?ae

?x

?be?

?x

由定解条件知a?0,b?0，从而x(x)?0，不符合要求。 2) 若??0，方程的通解形式为

x(x)?ax?b

由边界条件知a?0,，从而x(x)?b。 3) 若??0，方程的通解形式为 x(x)?acos?x?bsin?x

代入边界条件得

??b?0,?

b?0,???asinl?0???

??(n?l)2, n?1,2,3,... 从而得特征值问题的一系列特征值及相应的特征函数

?

???n?(n?)2, n?0,1,2,3?

l

,... ???

xn(x)?ancosn?lx, n?1,2,3,...分)

(4

第三步：求特解，并叠加出一般解 (3分) 求解了特征值问题后，将每特征值?n代入函数t(t)满足的方程可得出相应的解

tt)?cd

0(0?0t

t

n?n? n(t)?cn

coslat?dnsinl

at, n?1,2,3,...

因此，也就得到满足偏微分方程和边界条件的一般解

u(x,t)?c0?d0t???

(cn?ncos

n?1lat?dn?n?nsinlat)cosl

x, 第四步：确定叠加系数由初始条件可知

?

cn?

0??cncos

n?1l

x?x?

d0??dn?ann

n?1

lcos?

l

x?0可得

cl

0?2cnn?

2l

n2

?

2

[(?1)?1],n?1,2,3?

dn?0,n?0,1,2,?

故原方程的解为

2ln?at2??coscosn?

22[(?1)n?1]l

x

n?1n?l?

?

l4l(2n?1)?at(2n?1)?