第三节 系统的传递函数

7、传递函数可以写成零极点表达式
G s X0 s K s z1 s z2 s zm
Xi s
s p1 s p2 s pn
式中
zi
─传递函数分子多项式为零的点， 称为传递函数的零点，i 1, 2, , m。
p j ─传递函数分母多项式为零的点，
称为传递函数的极点，j 1, 2, , n。
零点和极点的数值完全取决于系统的参数 构a0、参a数1、。、an和b0、b1、 、,即取决于系统的结
输出量与输入量的积分成比例的环节，称为积 分环节。其显著特点是输出量取决输入量对时间的 积累过程。输入量作用一段时间后，即使输入量消 失为零，输出量仍将保持在已达到的数值，故积分 环节有记忆功能。
x(t )
xi (t)
1
xo (t)
O
t0
t
其运动微分方程为：x0 t
1 T1
xi t dt
其传递函数为：G s 1
例如图 所示的RC电路， ui t 为输入电压， u0 t 为输出电压。
R
i(t)
ui (t)
C
uo (t)
其微分方程为：Ri t u0 t ui t
i t C du0 t
消去中间变量后，得
dt
RC du0 t dt
u0 t
ui t
通过拉氏变换求得电路的传递函数为：
式中
G s U0 s Ui s
T RC
2 n
m
Bx
式中 n
k; m
B。 2 km
由式 2-6 已知RLC电路的微分方程式为
LC d 2u0 t dt 2
RC du0 t dt
u0 t
ui t
通过拉氏变换求得其传递函数为
G s U0 s
1
Ui s LCs2 RCs 1
2
= s2
n
2 ns
2 n
R
L
式中
n
1; LC
R 。 ui(t) 2 L/C
式中 T1─积分环节的T1时s 间常数。
例：电容器充电的电流i 和电容电压u 的关系 为图所示，求传递函数。
4. 微分环节
输出量与输入量的微分成比例的环节，称为微 分环节。
其运动方程式为：x0 t
TD
dxi t dt
其传递函数为： G s TDs 式中 TD─微分环节的时间常数。
当输入量为单位阶跃信号时，输出量就是脉冲 函数，这在实际中是不可能的。因此，理想的微分 环节不能实现，在实际中用来执行微分作用的都是 近似的，称为实际微分环节，其传递函数具有如下 形式：
一般地，零点和极点可以为实数或复数。若为复数， 必共轭成对地出现，这是因为系统结构参数均为正实数的 缘故。把传递函数 的零、极点表示在复平面上的图形， 称为传递函数的零、极点分布图，如下图2-7所示。图中 零点用”○”表示，极点用”╳”表示。
j
2
1
-3 -2 -1 -1
1
图2-7 系统的零极点分布图
Gs
KTD s
TD s 1
例图 为无源微分
C
电路，设电压ui t 为 输入量，电阻R两端电 ui (t)
R
uo (t)
压u0 t 为输出量。
其运动方程为： ui t Ri t u0 t Ri t
消去中间变量后，得：
ui t u0 t
其传递函数为：G s U0 s
Ui s
式中
TD RC
1i t dt C
二、典型环节及其传递函数
自动控制系统种类很多，构成环节的类型就其物 理本质可能差别很大。但从数学分析的观点看， 任何一个复杂的系统都仅有有限的几个典型环节 组成。这些典型环节是：比例环节、惯性环节、 积分环节、微分环节、振荡环节和延时环节。因 此，在研究系统动态特性时，熟悉和掌握各种典 型环节，有助于我们对复杂的系统进行分析研究。
1 Ts 1
例如图2-11 所示为机械转动系统，它由惯性负载 和粘性摩檫阻尼器构成，以转矩Ti为输入量，以角 速度 为输出量。
B
Ti
J
图2-11 机械转动系统
其运动方程式为：J d t dt
Bt
Ti t
其传递函数为：G s
s
1
K
式中
T=
J B
,
K
Ti s 1。 B
Js B Ts 1
3. 积分环节
x0
t
=K
TD
dxi t dt
xi t
x t =K 2 d 2 xi t
0
dt 2
2 dxi t dt
xi t
(0< 1)
式中 TD─一阶微分环节的时间常数； K─比例系数；
─二阶微分环节的时间常数；
─二阶微分环节的阻尼比；
相应的传递函数分别为：
G s K TDs 1
G s K 2s2 2 s 1
2 T dx0 t dt
x0 t
xi t
其传递函数为：G s
1
T 2s2 2 Ts 1
式中 T─时间常数； ─阻尼比，0＜ ＜1。
振荡环节另一种常用的标准形式为
式中
2
Gs=
n
s2 2 ns
2 n
n─无阻尼自然振荡频率， n
1。 T
图2-1所示的机械移动系统和图2-3所示的RLC路，当 0<ξ<1时，其运动规律可用振荡环节描述。
xi (t) A
xo (t) A
O a)
t
O
t
b)
图2-17 延迟环节的输入-输出关系
a) 输入信号
b) 输出信号
例2-18 如图2-18所示为轧制钢板的厚度检测装置，带 钢在A点轧出时，产生厚度偏差 1 t ,但是这一偏差直 到B点才被检测到。
若检测器距A点的距离是L, 带钢运动速度为v，则延迟 时间 =L/v。检测器检测的
1 RC
u0
t
dt
RCs
TD s
RCs 1 TDs 1
C
ui (t)
R
uo (t)
这个电路的传递函数是微分环节的传递函数与惯
性环节的传递函数相乘，所以，实际的微分环节都 是具有惯性的。当这个电路的TD=RC<<1时，可近 似得到理想微分环节，即G(s)≈TDs。
5. 一阶微分环节和二阶微分环节
一阶微分环节和二阶微分环节的微分方程分别为：
钢板厚度偏差 2 t 与A点
处的厚度偏差 其传递函数为
1 t 之间有如下关系
来自百度文库
2t=
t-
1
G s =e- s
比例环节
K
积分环节
1
s
惯性环节
1 Ts 1
延时环节 e s
微分环节 s
一阶微分环节 Ts 1
振荡环节
G(s)
s2
n2 2ns n2
T 2s2
1
2Ts 1
二阶微分环节
G(s) T 2s2 2Ts 1
bm
1
dxi t dt
an x0 t
当初始条件为零时，对式 2-45 进行拉氏变换，得
a0sn a1sn 1
an 1s an X 0 s
bm 1s bm Xi s
b0sm b1sm 1
根据传递函数的定义，系统的传递函数G s 为
Gs
X0 s
b0sm b1sm 1
Xi s
a0sn a1sn 1
bm 1s bm an 1s an
例如下图(a)和(b)所示的两种不同的物理系统，有 类同的传递函数，它们分别为：
3、对于物理可实现系统，分子的次数m 低于分母 的次数n ，且所有系数均为实数。因为实际的物 理系统总是存在惯性，输出不会超前于输入。且 各系数都与系统元件的参数有关。
4、 传递函数反映系统本身的动态特性，只 与系统本身的参数有关，与外界输入无关。
i(t) C uo (t)
• 在机械移动系统中，两种储能元件是储存
动能的质量m和储存势能的弹簧k。在RLC电
路中，两种储能元件储存电场能的电容c和
磁场能的电感L。
7. 延迟环节
延迟环节又称时滞环节、滞后环节等。
其运动方程式为：x0 t xi t
t
其传递函数为： G s e s
式中
─延迟时间
延迟环节与惯性环节的区别在于:惯性环节从输 入开始时刻起就有输出，只是由于惯性，输出要滞 后一段才接近于所要要求的输出值；延迟环节从输 入开始之初并无输出，但t= 之后，输出就完全 等于输入，如图2-17所示。
图2-8 数字运算放大器
其传递函数为：G s U0 s Ui s
R2 K R1
如图所示是齿轮传动副，T1为输入转矩，T2为 输出转矩。
1
其减速比为：i= 1 T1 2
则有：
1 2 i1
齿轮副转速的传递函数为： G s 2 s
在不考虑损耗时，有： 1T1
1s 2T2
则齿轮副转矩的传递函数为：G s T2 s
nm
利用传递函数可以把元件或系统的输出量的拉氏 变换写成
X0 s G s Xi s
2. 关于传递函数的几点说明
1、系统或元件的传递函数，也是描述其动态特性的一种 数学模型，它和系统(或元件)的运动方程是相互一一对 应的。若给定了系统(或元件)的运动方程式，则与之对 应的传递函数便可唯一的确定。
2、传递函数与微分方程一样，是从实际物理系统中抽象 出来的，它只反映系统(元件)中输出信号与输入信号之 间的变化规律，而不反映原来物理系统(元件)的实际结 构。对于许多物理性质截然不同的系统(元件)，可以具 有相同形式的传递函数。
与微分环节一样，一阶微分环节和二阶微分环 节在物理系统中也不会单独出现，在其组成中必然 包含有惯性环节或振荡环节。系统中引入一阶微分 环节和二阶微分环节主要是用于改善系统的动态品 质。
例2-16 如图2-16所示的无源RC电路，根据基尔霍夫定律 和欧姆定律可求得其传递函数为:
ui (t)
R1
C R2
1.比例环节
输出量以一定的比例复现输入量，不失 真不滞后的环节，称为比例环节。
运动方程为： xo t Kxi t
传递函数为： G s K 式中 K ─比例环节的常数， 通常称为放大系数或增益。
图2 8所示是数字运算放大器，ui t 为输入电压， u0 t 为输出电压。
R2
R1
ui (t)
uo (t)
f (t) k
m
Bx 图2-1 机械移动系统
R
L
i(t)
ui (t)
C uo (t)
图2-3 RLC电路
由式 2-2 已知机械移动系统的微分方程为
m d 2 x B dx kx f t
dt 2
dt
通过拉氏变换求的其传递函数为
f (t) k
Gs X s
1
F s ms2 Bs k
=1
2 n
k s2 2 ns
即传递函数只表示输出量与输入量的关系，是一 种函数关系。这种函数关系由系统的结构和参数 所决定，与输入信号和输出信号无关。
5、 一个传递函数只能表示一个输入对一个 输出的关系，所以只适用与单输入单输出 系统的描述，而且系统内部的中间变量的 变化情况，一个传递函数也无法全面反映。
6、传递函数是描述系统动态特性的一种数学 模型，但它是在系统工作在某个相对静止状态 时得出的。因此，传递函数原则上不能反映系 统在非零初始条件下的全部运动规律。
8. 几点说明
• 典型环节不是具体的元件，而是表示元件或系
统运动特性的数学模型。在实际系统中，一个元件 的数学模型可能是若干个典型环节的数学模型的组 合；反之，若干个元件的数学模型的组合也可能就 是一个典型环节的数学模型。
• 同一个元件取不同的信号作为输入量或输出量、
或者用于不同的系统，可能形成不同的典型环节。
T1 s
2
T2
1 i
1i
2
2. 惯性环节
输出量与输入量之间能用一阶线性微分方程描 述的环节称为惯性环节。其特点是存在一个储能元 件，在输入量突然变化时，输出不能立即复现输入。 故它的输出量的变化落后于输入量。
其运动方程为：T dx0 t dt
其传递函数为： G s
x0 t Kxi t
K Ts 1
式中 K─惯性环节的增益； T─时间常数，它和环节的结构参数有关。
G s U0 s Ui s
K1 T1s 1 T2s 1
uo (t) 式中 K=R2 / R1 R2 ;T1 R1C;T2
KT1。
可见，该电路的传递函数是由比例环节、一阶微 分环节及惯性环节组成。
6. 振荡环节
振荡环节包含两种储能元件，并且两种能量能够相互
转换。因此，振荡环节的输出带有振荡的性质。
其运动方程为：T2 d 2x0 t dt 2
第三节 传递函数
一、传递函数的定义
1.定义
传递函数是线性定常系统在零初始条件下，输 出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。
设线性定常系统的微分方程为：
a0
d n x0 dt n
t
b0
d m xi dt m
t
bm xi t n
a1
d n 1x0 dt n 1
t
b1
d
m 1xi dt m 1
t
m
an
1
dx0 t dt