2020版高中数学第三章数系的扩充与复数3_1_1实数系3_1_2复数的概念学案新人教B版

3．1.1 实数系
3．1.2 复数的概念
明目标、知重点 1.了解引入虚数单位i 的必要性，了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．
1．复数的有关概念
(1)复数
①定义：设a ，b 都是实数，形如a ＋b i 的数叫做复数，i 叫做虚数单位．a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部．
②表示方法：复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )．
(2)复数集
①定义：全体复数所构成的集合叫做复数集．
②表示：通常用大写字母C 表示．
2．复数的分类及包含关系
(1)复数(a ＋b i ，a ，b ∈R )⎩
⎨⎧ 实数b ＝0虚数b ≠0⎩⎪⎨⎪⎧ 纯虚数a ＝0非纯虚数a ≠0
(2)集合表示：
3．复数相等的充要条件 设a ，b ，c ，d 都是实数，那么a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d .
[情境导学]
为解决方程x 2
＝2，数系从有理数扩充到实数．数的概念扩充到实数集后，人们发现在实数范围内很多问题还不能解决，如从解方程的角度看，x 2＝－1这个方程在实数范围内就无解，那么怎样解决方程x 2＝－1在实数系中无根的问题呢？我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？本节我们就来研究这个问题．
探究点一 复数的概念
思考1 为解决方程x 2＝2，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x 2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？
答 设想引入新数i ，使i 是方程x 2＋1＝0的根，即i·i＝－1，方程x 2＋1＝0有解，同时得到一些新数．
思考2 如何理解虚数单位i?
答 (1)i 2＝－1.
(2)i 与实数之间可以运算，亦适合加、减、乘的运算律．
(3)由于i 2＜0与实数集中a 2≥0(a ∈R )矛盾，所以实数集中很多结论在复数集中，不再成立．
(4)若i 2＝－1，那么i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i.
思考3 什么叫复数？怎样表示一个复数？什么叫虚数？什么叫纯虚数？
答 形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i ，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a 、b 分别叫做复数z 的实部与虚部．
对于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，当b ≠0时叫做虚数；当a ＝0且b ≠0时，叫做纯虚数． 例1 请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数、虚数还是纯虚数．
①2＋3i ；②－3＋12
i ；③2＋i ；④π；⑤－3i ；⑥0. 解 ①的实部为2，虚部为3，是虚数；②的实部为－3，虚部为12
，是虚数；③的实部为2，虚部为1，是虚数；④的实部为π，虚部为0，是实数；⑤的实部为0，虚部为－3，是纯虚数；⑥的实部为0，虚部为0，是实数．
反思与感悟 复数a ＋b i 中，实数a 和b 分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，b 为复数的虚部而不是虚部的系数，b 连同它的符号叫做复数的虚部．
跟踪训练1 符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在，请说明理由．
(1)实部为－2的虚数；
(2)虚部为－2的虚数；
(3)虚部为－2的纯虚数；
(4)实部为－2的纯虚数．
解 (1)存在且有无数个，如－2＋i 等；(2)存在且不唯一，如1－2i 等；(3)存在且唯一，即－2i ；(4)不存在，因为纯虚数的实部为0.
例2 求当实数m 为何值时，z ＝m 2－m －6m ＋3
＋(m 2＋5m ＋6)i 分别是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
解 由已知得复数z 的实部为m 2－m －6m ＋3
，虚部为m 2＋5m ＋6. (1)复数z 是实数的充要条件是
⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋5m ＋6＝0，m ＋3≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－2或m ＝－3，m ≠－3⇔m ＝－2.
∴当m ＝－2时，复数z 是实数．
(2)复数z 是虚数的充要条件是
⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋5m ＋6≠0，m ＋3≠0⇔m ≠－3且m ≠－2.
∴当m ≠－3且m ≠－2时，复数z 是虚数．
(3)复数z 是纯虚数的充要条件是
⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－m －6m ＋3
＝0，m 2＋5m ＋6≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－2或m ＝3，m ≠－3且m ≠－2⇔m ＝3.
∴当m ＝3时，复数z 是纯虚数．
反思与感悟 利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数．
跟踪训练2 实数m 为何值时，复数z ＝
m m ＋2m －1＋(m 2＋2m －3)i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
解 (1)要使z 是实数，m 需满足m 2＋2m －3＝0，且
m m ＋2m －1有意义即m －1≠0，解得m ＝－3.
(2)要使z 是虚数，m 需满足m 2＋2m －3≠0，且
m m ＋2m －1有意义即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.
(3)要使z 是纯虚数，m 需满足
m m ＋2m －1＝0，m －1≠0， 且m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或m ＝－2.
探究点二 两个复数相等
思考1 两个复数能否比较大小？
答 如果两个复数不全是实数，那么它们不能比较大小．
思考2 两个复数相等的充要条件是什么？
答 复数a ＋b i 与c ＋d i 相等的充要条件是a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．
例3 已知x ，y 均是实数，且满足(2x －1)＋i ＝－y －(3－y )i ，求x 与y .
解 由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1＝－y ，1＝y －3.
解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－32，y ＝4.
反思与感悟 两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充
要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数．
跟踪训练3 已知M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2
＋m －2)i}，P ＝{－1,1,4i}，若M ∪P ＝P ，求实数m 的值．
解 ∵M ∪P ＝P ，∴M ⊆P ，
∴(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1或
(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i.
由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1，
得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2
－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0，解得m ＝1；
由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i ，
得⎩
⎪⎨⎪⎧ m 2
－2m ＝0，m 2＋m －2＝4，解得m ＝2. 综上可知m ＝1或m ＝2.
1．已知复数z ＝a 2－(2－b )i 的实部和虚部分别是2和3，则实数a ，b 的值分别是(
) A.2，1 B.2，5 C ．±2，5 D ．±2，1
答案 C
解析 令⎩⎪⎨⎪⎧ a 2
＝2－2＋b ＝3，得a ＝±2，b
＝5. 2．下列复数中，满足方程x 2＋2＝0的是( )
A ．±1
B ．±i
C ．±2i
D ．±2i
答案 C
3．如果z ＝m (m ＋1)＋(m 2－1)i 为纯虚数，则实数m 的值为( )
A ．1
B ．0
C ．－1
D ．－1或1
答案 B
解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ m m ＋1＝0m 2－1≠0，
∴m ＝0.
4．下列几个命题：
①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；
②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；
③1－a i(a∈R)是一个复数；
④虚数的平方不小于0；
⑤－1的平方根只有一个，即为－i；
⑥i是方程x4－1＝0的一个根；
⑦2i是一个无理数．
其中正确命题的个数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 B
解析命题①②③⑥正确，④⑤⑦错误．
[呈重点、现规律]
1．对于复数z＝a＋b i(a，b∈R)，可以限制a，b的值得到复数z的不同情况；
2．两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的充要条件进行判断．。