第17章反比例函数知识要点(投影)
反比例函数知识点归纳
反比例函数知识点归纳反比例函数是指形如y=k/x的函数，其中k为常数，且x≠0.在解决与自变量指数相关的问题时，需要特别注意系数。
另外，反比例函数也可以写成xy=k的形式，通过这个式子可以迅速求出反比例函数的解析式中的k。
反比例函数的图象与x轴和y轴无交点，因此在用描点法画反比例函数图象时，需要取关于原点对称的点。
反比例函数图象的形状为双曲线，其弯曲度与k的大小有关。
当k越大，曲线越平直；当k越小，曲线越弯曲。
反比例函数的图象关于原点对称，同时也关于直线y=x和y=-x对称。
k的几何意义可以通过双曲线上任意一点P（a，b）来解释，其中k等于矩形PBOA的面积除以三角形PAO和三角形PBO的面积之积。
在研究反比例函数的增减性时，需要将双曲线的两个分支分别讨论，不能一概而论。
反比例函数与一次函数之间有联系，而求函数解析式的方法可以采用待定系数法或根据实际意义列函数解析式。
在解决实际问题时，需要充分利用数形结合的思想。
2．图像和性质对于反比例函数，以下是已知函数的情况：①若它的图像在第二、四象限内，则k为负数。
②若y随x的增大而减小，则k为正数。
对于一次函数y=ax+b的图像经过第一、二、四象限，则函数的图像位于第一、三象限。
如果反比例函数通过点（m，2），则一次函数的图像不会通过点（m，2）。
已知a·b＜0，点P（a，b）在反比例函数的图像上，则直线y=x不会通过第三象限。
如果P（2，2）和Q（m，n）是反比例函数图像上的两点，则一次函数y=kx+m的图像经过第一、三、四象限。
已知函数y=k/x和y=kx（k≠0），它们在同一坐标系内的图像大致是反比例函数和正比例函数的图像。
3．函数的增减性①在反比例函数的图像上有两个点A（x1，y1）和B（x2，y2），且x1＜x2，则y1y2＜0，即y1和y2的符号不同。
②在函数y=ax（a为常数）的图像上有三个点A（x1，y1）、B（x2，y2）和C（x3，y3），且x1＜x2＜x3，则y1＜y2＜y3.对于四个函数中的①、②、③、④，其中y随x的增大而减小的函数只有一个，即②。
反比例函数知识点知识点总结
反比例函数知识点知识点总结反比例函数知识点总结一、反比例函数的定义一般地，如果两个变量 x、y 之间的关系可以表示成 y ＝ k/x（k 为常数，k≠0）的形式，那么称 y 是 x 的反比例函数。
其中，x 是自变量，y 是因变量，k 叫做比例系数。
需要注意的是，反比例函数中自变量 x 的取值范围是x≠0，因为在分母中，分母不能为 0。
二、反比例函数的表达式反比例函数常见的表达式有以下三种形式：1、 y ＝ k/x（k 为常数，k≠0），这是最基本的形式。
2、 xy ＝ k（k 为常数，k≠0），通过对 y ＝ k/x 两边同时乘以 x 得到。
3、 y ＝ kx^（－1)（k 为常数，k≠0），这是用幂的形式表示。
三、反比例函数的图像反比例函数的图像属于双曲线。
当 k＞0 时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而减小。
当 k＜0 时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而增大。
反比例函数的图像是以原点为对称中心的中心对称的两条曲线。
四、反比例函数的性质1、单调性当 k＞0 时，函数在区间（∞，0）和（0，＋∞）上分别单调递减；当 k＜0 时，函数在区间（∞，0）和（0，＋∞）上分别单调递增。
2、对称性反比例函数的图像既是轴对称图形，又是中心对称图形。
它有两条对称轴，分别是直线 y ＝ x 和 y ＝ x；对称中心是原点（0，0）。
3、渐近线当 x 趋近于正无穷或负无穷时，曲线无限接近坐标轴，但永远不会与坐标轴相交。
4、取值范围当 k＞0 时，y＞0 或 y＜0；当 k＜0 时，y＜0 或 y＞0。
五、反比例函数中 k 的几何意义1、过反比例函数 y ＝ k/x（k≠0）图像上任意一点 P 作 x 轴、y 轴的垂线 PM、PN，垂足分别为 M、N，则矩形 PMON 的面积 S ＝PM×PN ＝｜y|×｜x| ＝｜xy| ＝｜k|。
初三数学反比例函数知识点归纳-复习必备打印背熟
反比例函数是什么？反比例函数相关知识1：反比例函数是什么？反比例函数的定义域和值域因为x在分母上，所以x≠0，即自变量X的取值范围为非零实数。
而且常数k≠0，因此y≠0，即因变量y的`取值范围为非零实数。
反比例函数的图像及其性质形状：反比例函数的图象是两条双曲线，每一条曲线都无限向X轴Y轴延伸但不与坐标轴相交。
增减性：当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小；当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大。
对称性：反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴y=x和y=-x，对称中心是坐标原点。
2：反比例函数知识点1、反比例函数的表达式X是自变量，Y是X的函数y=k/x=k?1/xxy=ky=k?x^(-1)(即：y等于x的负一次方，此处X必须为一次方)y=kx(k为常数且k≠0，x≠0)若y=k/nx此时比例系数为：k/n2、函数式中自变量取值的范围①k≠0;②在一般的情况下，自变量x的取值范围可以是不等于0的任意实数;③函数y的取值范围也是任意非零实数。
解析式y=k/x其中X是自变量，Y是X的函数，其定义域是不等于0的一切实数y=k/x=k?1/xxy=ky=k?x^(-1)y=kx(k为常数(k≠0)，x不等于0)3、反比例函数图象反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线(hyperbola)，反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交(K≠0)。
4、反比例函数中k的几何意义是什么?有哪些应用?过反比例函数y=k/x(k≠0)，图像上一点P(x，y)，作两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P点组成一个矩形，矩形的面积S=x的绝对值_y的.绝对值=(x_y)的绝对值=|k|研究函数问题要透视函数的本质特征。
反比例函数中，比例系数k有一个很重要的几何意义，那就是：过反比例函数图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N则矩形PMON的面积S=PM?PN=|y|?|x|=|xy|=|k|。
反比例函数知识点总结PPT
在化学中的应用：浓度=溶质质量/溶液体积， 电导率=电阻/电流等。
浓度=溶质质量/溶液体积 在化学实验中，浓度常用于描述溶液中溶质的质量分数。例如，当一个溶液中溶质的质量占总 质量的50%时，我们称之为50%的浓度。这种计算方法简单、直观，便于理解和操作。 电导率=电阻/电流 电导率是衡量物质导电能力的物理量，其定义为电阻与电流的比值。例如，铜的电导率约为 58.0 MS/m，这意味着每米长度的铜导线上，每通过1毫安的电流，就会有58毫西门子的电压 降。这种定义使得电导率的测量和比较变得简单，有助于科学研究和工程设计。 反比例函数的定义与性质在化学中的应用 在化学中，反比例函数的定义与性质被广泛应用于描述化学反应的过程。例如，阿伦尼乌斯方 程就是一个典型的反比例函数，它描述了反应速率与温度之间的关系。这种关系在化学工程和 环境科学等领域有着重要的应用。 浓度=溶质质量/溶液体积 在化学实验中，浓度常用于描述溶液中溶质的质量分数。例如，当一个溶液中溶质的质量占总 质量的50%时，我们称之为50%的浓度。这种计算方法简单、直观，便于理解和操作。
03
反比例函数的图像
Image of inverse proportional function
> 0时，反比例函数的图像 在第一象限和第三象限。
反，当x=1时，y=2，图像经过点(1,2)，位于第一象限。
反比例函数y=k/x，当k<0时，图像在第三象限。
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反比例函数知识点总结
《反比例函数的定义与性质》是数学中重要的概念，它揭示了两个变量之间 的特殊关系。
汇报人： 2023.10.13
目录
CONTENTS
01
反比例函数的定义
Definition of inverse proportional function
反比例函数
第十七章 反比例函数一、基础知识1. 定义：一般地，形如xk y =（k 为常数，o k ≠）的函数称为反比例函数。
x ky =还可以写成kxy =1-2. 反比例函数解析式的特征：⑴等号左边是函数y ，等号右边是一个分式。
分子是不为零的常数k （也叫做比例系数k ），分母中含有自变量x ，且指数为1.⑵比例系数0≠k⑶自变量x 的取值为一切非零实数。
⑷函数y 的取值是一切非零实数。
3. 反比例函数的图像 ⑴图像的画法：描点法① 列表（应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数） ② 描点（有小到大的顺序）③ 连线（从左到右光滑的曲线）⑵反比例函数的图像是双曲线，xky =（k 为常数，0≠k ）中自变量0≠x ，函数值0≠y ，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。
⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是x y =或x y -=）。
⑷反比例函数x k y =（0≠k ）中比例系数k 的几何意义是：过双曲线xky = （0≠k ）上任意引x 轴y 轴的垂线，所得矩形面积为k 。
45. 点的坐标即可求出k ） 6．“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数xky =中的两个变量必成反比例关系。
7. 反比例函数的应用二、例题【例1】如果函数222-+=k k kx y 的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值是多少？【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数xk y =，（0≠k ）即kx y =1-（0≠k ）又在第二，四象限内，则0<k 可以求出的值 【答案】由反比例函数的定义，得：⎩⎨⎧<-=-+01222k k k 解得⎪⎩⎪⎨⎧<=-=0211k k k 或 1-=∴k1-=∴k 时函数222-+=k k kx y 为xy 1-=【例2】在反比例函数x y 1-=的图像上有三点(1x ，)1y ，(2x ，)2y ，(3x ，)3y 。
反比例函数知识点
反比例函数知识点反比例函数是一种特殊的函数形式，它描述了两个变量之间的关系。
其特点是当一个变量的值增加时，另一个变量的值会减小，反之亦然。
在数学中，反比例函数通常用一个方程表示，形式为y=k/x，其中k是一个常数。
在本文中，我们将探讨一些与反比例函数相关的知识点。
一、反比例函数的定义反比例函数是一种形如y=k/x的函数形式。
其中，k是一个常数，被称为反比例函数的比例常数。
在反比例函数中，变量x和y的变化满足如下关系：当x增加时，y减小；当x减小时，y增加。
二、反比例函数的图像和性质反比例函数的图像是一条直线，经过原点(0,0)。
该函数的图像与坐标轴都有一个渐近线，与x轴共轭于y轴，与y轴共轭于x轴。
同时，反比例函数的图像在第一象限和第三象限中是上升的，即从左下到右上。
三、反比例函数的图像和实际应用反比例函数的图像常常出现在实际问题中，如物理、经济等领域。
例如，某物体的速度与其所受的力成反比，即速度越大，所受的力越小，反之亦然。
又如，在某种化学反应中，反应速率与溶液中的浓度成反比。
这些实际问题可以通过反比例函数来表示和解决。
四、反比例函数的性质和应用由于反比例函数的性质和图像特点，反比例函数在实际问题中有许多应用。
首先，反比例函数可以用来描述两个变量之间的关系，例如速度和力的关系、反应速率和浓度的关系等。
其次，反比例函数可以用来解决一些实际问题，例如求解未知变量的值或优化问题。
五、反比例函数的变形除了常见形式的反比例函数y=k/x，还有其他形式的反比例函数。
例如，y=k/(x-a)、y=(k+x)/(k-x)等。
这些变形形式的反比例函数在实际问题中也有广泛应用，例如电路中的电阻和电流的关系等。
六、反比例函数的应用举例反比例函数的应用非常广泛。
下面以几个具体的实例来说明。
例1：某车辆以恒定的速度行驶，当行驶时间增加时，其行驶距离减小。
这个问题可以用反比例函数来描述，行驶距离与行驶时间成反比。
例2：某工厂的生产成本与产量成反比，即产量越大，生产成本越低，反之亦然。
关于反比例函数的知识点
关于反比例函数的知识点反比例函数是数学中经常用到的一种重要函数类型。
它是一种特殊类型的函数，通过定义两个变量之间的关系，其中一个变量的增加导致另一个变量的减小，反之亦然。
本文将详细介绍反比例函数的定义、图像、性质以及一些实际应用。
一、反比例函数的定义反比例函数的定义如下：y = k / x其中，x 和 y 是变量，k 是一个常数。
在反比例函数中，y 的值与 x 的值成反比例关系，即 x 越大，y 越小，反之亦然。
常数 k 称为比例常数，它决定了函数的形状。
二、反比例函数的图像反比例函数的图像通常是一个双曲线，它的形状取决于比例常数 k 的值。
当比例常数 k 大于 0 时，反比例函数的图像在 x 轴的正半轴和 y 轴的负半轴上分别存在一个渐近线。
这是因为当 x 趋近于无穷大时，y 趋近于 0，当 y 趋近于无穷大时，x 趋近于 0。
当比例常数 k 小于 0 时，反比例函数的图像与前一种情况相似，但是渐近线位于 x 轴的负半轴和 y 轴的正半轴上。
三、反比例函数的性质1. 定义域和值域：由于反比例函数中 x 不能为 0，所以它的定义域为 x ≠ 0。
根据函数的定义，可以得出反比例函数的值域为 y ≠ 0。
2. 对称性：反比例函数具有轴对称性，即当 (x, y) 在反比例函数中时，(-x, -y) 也在反比例函数中。
3. 变化率：反比例函数的变化率是一个常数，即在函数图像上的任意两个点 (x1, y1) 和 (x2, y2) 中，斜率 k = y1 / x1 = y2 / x2 是一个常数。
四、反比例函数的实际应用反比例函数在实际生活中有许多应用。
以下是一些常见的实际应用示例：1. 物体的速度和时间：当物体的运动速度保持不变时，物体在单位时间内所需的时间与其速度成反比例关系。
当速度增加时，所需时间减小；当速度减小时，所需时间增加。
2. 货币兑换：兑换货币时，汇率决定了兑换后的货币数量。
如果汇率变高，那么兑换后的货币数量就变少；如果汇率变低，兑换后的货币数量就变多。
第十七章反比例函数全章小结
第十七章反比例函数全章小结从容说课本章的基础知识总结：1．反比例函数的概念：如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=kx（k•为常数且k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数，反比例函数的自变量x不为零．2．反比例函数的图象和性质:（1）反比例函数y=kx的图象是双曲线．（2）当k>0时双曲线位于第一、三象限；•当k<0时，双曲线位于第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．3．反比例函数的应用：列反比例函数关系式，并用反比例函数的性质解决生活中特别是物理学中的问题．课程标准知识和能力总结．1．结合具体情况领会反比例函数作为一种数学模型的意义．2．会画反比例函数的图象，从函数图象中敏锐地获取函数的相关信息．3．逐步提高我们的观察、归纳、分析问题的能力，•体验数形结合的数学思想方法．4．我们要善于用函数的观点处理实际问题．教学时，教师应关注学生运用自己的语言回答有关问题的过程，关注学生举例说明对有关知识的理解；通过一些问题向学生强调利用图象了解函数的性质，并进一步发展从图象中获取信息的能力．教学时间第8课时三维目标一、知识与技能1．反比例函数的图象和性质．2．反比例函数的应用：解决实际问题，学科内部的应用．二、过程与方法1．反思在具体问题中探索数量关系和变化规律的过程，•理解反比例函数的概念，领会反比例函数作为一种数学模型的意义．2．能画出反比例函数的图象，•并根据图象和解析式掌握反比例函数的主要性质．3．培养学生观察、分析、归纳的能力，感悟数形结合的数学思想方法．4．能根据所给的条件，确定反比例函数，体会函数在实际问题中的应用价值．三、情感、态度与价值观1．面对困难，培养学生克服困难的勇气和战胜困难的信心．2．培养学生的合作交流意识和运用数学问题解决实际问题的意识，•认识数学的实用性．教学重点反比例函数的概念、图象和主要性质．教学难点对反比例函数意义的理解．教具准备教学投影仪．教学过程一、创设问题情境，引入新课问题1：你能举出现实生活中有关反函数的几个例子吗？问题2：说一说函数y=2x和y=-2x的图象的联系和区别．（先由学生小组交流本单元的小结，再进行小组汇报，教师在旁适时引导，提问，鼓励．学生分四人小组合作交流，归纳出本单元的知识体系，以及对每一个知识块的认识，由上面两个问题作牵引，完成本单元的知识体系）．教师应重点关注：①关注学生的复习过程，观察学生智力、情感的达标水平．②对函数概念及图象、性质的理解．③关注数学活动对学生发展的影响，学生能否从函数图象中敏锐地获取函数的相关信息，是否善于对实际问题进行分析，并灵活运用所学知识解决问题．二、单元知识结构图三、巩固、延伸、提高做一做：1．已知y=y 1+y 2，y 1与x 成反比例，y 2与x 2成正比例，并且x=2时，y=14；x=3时，y=2813，•求y 与x 的函数表达式．分析：依据正、反比例函数的定义，利用待定系数法求得其比例系数，•从而求出y 与x 之间的函数关系式．解：设y 1=1k x ，y 2=k 2x 2，则y=1k x +k 2x 2，将（2，14），（3，2813）代入上式 得121122414421392833k k k k k k ⎧+=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪+=⎪⎩解得∴函数关系式为y=4x+3x 2． 点评：（1）一个反比例函数和一个正比例函数相加，构成一个新的函数，从形式上较为复杂，但是用待定系数法求系的方法都一样． （2）要将k 1，k 2设成不同的两个参数． 2．若反比例函数y=kx（k ≠0），当x>0，y 随x 的增大而增大，则一次函数y=kx-k 的图象经过第几象限（ ）A ．一，二，三B ．一，二，四C ．一，三，四D ．二，三，四 解：∵x>0时，y 随x 的增大而增大． ∴k<0，∴一次函数y=kx-k 的图象过一，二，四故选B ． 点评：要判断y=kx-k 的位置，需知道k 的符号，由已知y=kx，当x>0时，y 随x•的增大而增大，所以k<0．3．如下图，在同一直角坐标系中，正比例函数y=（m-1）x 与反比例函数y=4mx的图象的大体位置不可能是（ ）解析：当m-1>0时m>1时，4m>0，此时直线过一、三象限．双曲线位于第一、三象限，A 可能，D 不可能；当m-1<0时，即m<1，分两种情况：0<m<1或m<0．当m<0时，直线过二、四象限，•双曲线位于二、四象限；当0<m<1时，直线过二、四象限，此时，4m>0，双曲线在第一、三象限，所以B 、C 都有可能，故不可能的是D ．点评：要判断直线和双曲线的位置关系，借助于它们的字母系数的符号，在这里，要判断m-1与4m 的符号，进而选择合理答案，因不确定其符号，•所以分两种情况进行讨论，当m-1>0时，4m>0，故A 对，D 不对；当m-1<0又有两种情况：0<m<1或m<0，•而前者又4m>0，故B 对，后者又4m<0，故C 对．4．（1）若点（x 1，y 1），（x 2，y 2），（x 3，y 3）都是反比例函数y=-1x的图象上的点，并且x 1<0<x 2<x 3，则下列各式中正确的是（ ）A ．y 1<y 2<y 3B ．y 2<y 3<y 1C ．y 3<y 2<y 1D ．y 1<y 3<y 2 （2）已知反比例函数y=kx（k<0）的图象上有两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），且x 1<x 2，则y 1-y 2值是（ ）A ．正数B ．负数C ．非正数D ．不能确定（3）如图，正比例函数y=kx （k>0），与反比例函数y=1x的图象相交于A 、C 两点，•过A 作x 轴垂线交x 轴于B ，连接BC ，若△ABC 的面积为S ，则（ ）A ．S=1B ．S=2C ．S=3D ．S 的值不确定解：（1）方法一：用图象解法，作出y=-1x的草图，即得三点的大致位置，观察图象，直接得到y 2<y 3<y 1，故选B ．方法二：将三个点的坐标直接代入反比例函数表达式中， 得y 1=-23123111,,y y x x x =-=-，由于x 1<0<x 2<x 3，所以y 2<y 3<y 1，故选B ． （2）∵k<0，∴图象在二、四象限内，y 随x 的增大而增大，当AB •是同一象限内的点时， ∵x 1<x 2，∴y 1<y 2，∴y 1-y 2<0． 当A 、B 不是同一象限内的点时， ∵x 1<x 2，∴A 在第二象限，B 在第四象限． ∴y 1>y 2，∴y 1-y 2>0． ∴选D ．（3）∴A 和C 关于O 对称，∴AO=CO ，设A （x 0，y 0），则y 0=01x ，∴x 0·y 0=1．∴S △AOB =12x 0y 0=12． ∵△AOB 和△BOC 若分别把AO 、CO 看作底，那么底上的高相等， ∴S △AOB =S △BOC ．∴S △ABC =1，故选A ．点评：（1）因反比例函数的表达式具体，所以其图象具体，因x 1<0<x 2<x 3，•所以三点（x 1，y 1），（x 2，y 2），（x 3，y 3）的前后位置可确定于是可得y 1，y 2，y 3的关系，•也可直接代入表达式内和实数大小比较方法判定；（2）由A 、B 两点的横坐标没有和O 作比较，所以A 、B •两点的位置可分为两种情况讨论； （3）因△AOB 的面积易求，要求△ACB 的面积只需找到△AOB 和△BOC 的关系，•发现AO=CO ，而且高相同，所以面积相等．5．（2005年山西省实验区初中毕业生学业考试）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p （kPa ）是气体体积V （m 3）的反比例函数，•其图象如下图所示．当气球内的气压大于140kPa 时，气球将爆炸，为了完全起见，气体体积应（• ）A ．不大于2435m 3B ．不小于2435m 3C．不大于2437m 3 D ．不小于2437m 3解：因为当温度不变时，气球内气体的气压p （kPa ）是气体体积V （m 3）的反比例函数． 设p=kV因为函数图象过A （0.8，120），代入p=kV中得120=0.8k所以k=96,即p=96V． ∵96>0，所以p 随V 的增大而减小，当p=140kPa 时，V=96140=2435．所以为了完全起见，•气球内的气压应不大于140kPa ，气体的体积应不小于2435m 3． 或根据图象回答，所以应选B ．板书设计活动与探究已知反比例函数y=2mx和一次函数y=-2x-1，其中一次函数的图象经过（a ，b ），（a+1，b+m ）两点． （1）求反比例函数的解析式；（2）如右图所示，已知点A 在第二象限，且同时在上述两个函数的图象上，求点A 的坐标；（3）利用（2）的结果，试判断在x 轴上是否存在点P ，使△AOP 为等腰三角形，若存在，把符合条件的P 点坐标都求出来；若不存在，请说明理由．解：（1）依题意可得212(1)1b a b m a =--⎧⎨+=-+-⎩解得m=-2，∴反比例函数的解析式为y=-1x， （2）由21,1,y x y x =--⎧⎪⎨=-⎪⎩解得121211,21, 2.x x y y ⎧=-=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=-⎩ 经检验121211,21, 2.x x y y ⎧=-=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=-⎩ 都是原方程组的解． ∵A 点在第二象限，∴A 点坐标为（-1，1）．（3），OA 与x 轴所夹锐角为45°．①当OA 为腰时，由OA=OP ，得P 1，0），P 2（，0），由OA=AP ，得P 3（-2，0）． ②当OA 为底时，得P 4（-1，0）．∴这样的点有4，0），（，0），（-2，0），（-1，0）．习题详题 复习题17 1．（1）a=24150;(2)h h h S=2．>，-；>，=3．（1）一，三，减小；（2）二，四，增大 4．（B ）5．由题意得k-1>0，所以k>1 6．p=F S设A 、B 、C 三个面的面积分别为4k ，2k ，k （k>0）由题意得S=2k 时，p=a 得F=2ka ，•所以p=2kaS所以当S=4k 时，p=242ka ak =帕； 当S=k 时，p=2kaS=2a （帕）． 7．（1）d=4210t⨯（2）当t=10时，d=421010⨯（天）约为421010⨯=2×103（天）则这个电视机大约可使用2×103（天）8．两个不同的反比例函数不会相交，设这两个反比例函数为y=1k x ，y=2kx（k 1，k 2为常数且k 1≠k 2）．若有交点，则12,k y xk y x⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩有解，但此方程组无解． 所以不同的反比例函数不会相交．9．正比例函数y=k 1x 与反比例函数y=2kx无交点，则12y k k y x =⎧⎪⎨=⎪⎩把①代入②得k 1x=2k x，k 1x 2=k 2，∵k 1≠0， ∴x 2=21k x 若x 无解，则<0，即R 1和R 2异号，所以R 1R 2<0 10．（1）→（B ）；（2）→（A ）；（3）→（C ）；（4）→（D ）11．（1）V=610t（2）当V=104立方米时，代入V=610t 得t=641010=102（天）．（3）当公司以104立方米/天，工作40天后，共运送土方40×104=4×105立方米，•剩下106-4×105=6×105（立方米）土石方在50天运送完，则每天需送561050=12 000（立方米）．而每辆卡车一天可运送土石方104÷100=100（立方米），所以每天运送12 000立方米的土石方需12000100=120辆车，而现在有100辆，公司至少需要再增加20•辆卡车才能按时完成任务．。
反比例函数最全知识点
反比例函数最全知识点反比例函数是一种特殊的函数形式，它表示了一种两个变量之间的相互依赖关系。
在反比例函数中，当一个变量增大时，另一个变量会相应地减小，反之亦然。
本文将介绍反比例函数的定义、图像特征、性质、图像变换、实际应用以及解决反比例函数问题的方法等知识点。
一、反比例函数的定义反比例函数可以表示为：y=k/x（k≠0），其中y表示因变量（通常是函数的输出值），x表示自变量（通常是函数的输入值），k表示常数。
该定义中的k称为反比例函数的常数项，它决定了反比例函数的性质，也决定了函数图像的形状。
二、反比例函数的图像特征1.零点：当x=0时，由于分母为0，函数无定义。
因此，反比例函数没有定义在x=0的点，这个点称为函数的零点。
2.渐近线：反比例函数有两条渐近线，分别是x轴和y轴。
当x趋近于无穷大或无穷小时，y趋近于0；当y趋近于无穷大或无穷小时，x趋近于0。
3.反比例函数的图像是一个双曲线，由于分母不能为0，因此函数的图像始终存在。
当x取值较小时，y的取值较大；当x取值较大时，y的取值较小。
图像的形状与常数项k相关，k越大，图像越接近于x轴和y 轴。
三、反比例函数的性质1.定义域：反比例函数的定义域为除去零点以外的实数集合。
2.值域：反比例函数的值域为除去0以外的实数集合。
3.奇偶性：反比例函数是个奇函数，即满足f(-x)=-f(x)。
4.单调性：反比例函数在定义域上是单调递减的。
5.对称轴：反比例函数的对称轴为y=x，即函数图像关于对称轴对称。
四、反比例函数的图像变换对反比例函数进行图像变换可以通过调整常数项k的值来实现。
具体变换如下：1.平移：当k保持不变时，反比例函数的图像向上平移或向下平移。
若向上平移b个单位，则为y=k/(x+b)；若向下平移b个单位，则为y=k/(x-b)。
2.拉伸：当k保持不变时，反比例函数的图像可以进行纵向拉伸或纵向压缩。
若纵向拉伸为a倍，则为y=(k/a)/x；若纵向压缩为a倍，则为y=(a*k)/x。
反比例函数常用知识点总结
反比例函数常用知识点总结一、反比例函数的定义反比例函数也叫做倒数函数，通常用y=k/x表示，其中k为非零常数。
这种函数的图像是一个双曲线，具有对称轴。
二、反比例函数的性质1. 反比例函数的定义域和值域反比例函数的定义域为x≠0，值域为y≠0。
2. 反比例函数的奇偶性反比例函数通常不具有奇偶性。
3. 反比例函数的单调性反比例函数在定义域内单调递减或递增。
4. 反比例函数的渐近线反比例函数的图像有两条渐近线，分别是x轴和y轴。
5. 反比例函数的对称性反比例函数的图像关于原点对称。
6. 反比例函数的零点和极限反比例函数有唯一的零点，即x=±√k。
当x→0时，y→±∞。
三、反比例函数的图像1. 反比例函数的基本图像反比例函数的基本图像是一个双曲线，具有对称轴。
2. 反比例函数的平移和缩放改变k的值可以使反比例函数的图像进行平移和缩放。
3. 反比例函数的特殊情况当k为正数时，反比例函数的图像在第一和第三象限。
当k为负数时，反比例函数的图像在第二和第四象限。
四、反比例函数的应用1. 反比例函数在物理学中的应用反比例函数可以用来描述两个物理量之间的关系，比如牛顿定律中的万有引力定律就是一个反比例函数。
2. 反比例函数在经济学中的应用反比例函数可以用来描述供求关系，比如需求曲线和供给曲线都是反比例函数。
3. 反比例函数在工程学中的应用反比例函数可以用来描述工程中的一些量与距离的关系，比如声音的传播距离与声音的强度之间的关系。
五、反比例函数的解题方法1. 求反比例函数的定义域和值域根据函数的定义，可以求出反比例函数的定义域和值域。
2. 求反比例函数的零点和极限根据函数的性质，可以求出反比例函数的零点和极限。
3. 求反比例函数的图像可以根据函数的性质和图形变换的知识，画出反比例函数的图像。
4. 求反比例函数的应用问题可以根据反比例函数在物理学、经济学和工程学中的应用问题，解决实际问题。
六、反比例函数的常见错误1. 关于定义域和值域的错误很多学生容易忽略反比例函数的定义域和值域，导致在解题过程中出现错误。
反比例函数知识点
反比例函数知识点在反比例函数中，当x增大时，y会减小；反之，当x减小时，y会增大。
这与正比例函数的规律相反，因此被称为反比例函数。
1.图像特点：反比例函数的图像一般为一个开口朝下(或者朝上)的双曲线，其渐近线分别为x轴和y轴。
2.定义域：由于反比例函数中的x不能为0，所以其定义域为除去原点之外的所有实数。
3.值域：反比例函数的值域为除去y轴之外的所有实数。
4.对称性：反比例函数在原点处有对称性，即关于原点(x轴和y轴)对称。
5.渐近线：反比例函数的图像有两条渐近线，分别为x轴和y轴。
举例来说，假设一个工厂生产的产品数量与每个产品的价格成反比，即产品数量和价格满足反比例关系。
如果知道了产品的价格和数量之间的反比例关系，就可以通过反比例函数来找出二者之间的精确数学关系，并据此做出合理的生产规划和价格设定。
在学习反比例函数时，需要掌握一些基本的解题方法和技巧，这些方法和技巧包括：1.求解反比例函数的图像：通过分析反比例函数的性质，可以确定其图像的特点，如开口朝上或者朝下的双曲线形状，以及渐近线的位置等。
2.求解反比例函数的定义域和值域：通过对函数表达式的分析，可以确定反比例函数的定义域和值域，从而限定函数的取值范围。
3.求解反比例函数的性质：通过对反比例函数的性质进行深入分析，可以更好地理解函数的行为和特点，帮助解决实际问题。
4.求解反比例函数的应用问题：通过将反比例函数应用到具体的问题中，可以帮助理解函数的实际意义，以及如何利用反比例函数解决实际生活中的问题。
综上所述，反比例函数是一种重要的数学模型，其在实际生活中有广泛的应用，掌握反比例函数的相关知识和技巧对理解和解决实际问题具有重要的意义。
希望通过学习和掌握反比例函数的知识，可以更好地应用数学知识解决现实生活中的问题，并提高数学分析和解决问题的能力。
反比例函数知识点总结
反比例函数知识点总结反比例函数知识点归纳知识点1 反比例函数的定义反比例函数是指形如 y = k/x（k为常数，k≠0）的函数。
其中，自变量x的取值范围为x≠的一切实数，而函数值y的取值范围为y≠0.知识点2 用待定系数法求反比例函数的解析式由于反比例函数只有一个待定系数k，因此只要一组对应值，就可以求出k的值，从而确定反比例函数的表达式。
知识点3 反比例函数的图像及画法反比例函数的图像是双曲线，有两个分支，分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，与原点对称。
由于自变量x≠，函数值y≠，所以它的图像与x轴、y轴都没有交点。
画反比例函数的图像应该先列表，再描点，最后用光滑的曲线连接。
知识点4 反比例函数的性质反比例函数的图像位置与函数值的增减情况与k的符号有关。
当k>0时，函数图像的两个分支分别在一、三象限，在每个象限内，y随着x的增大而减小；当k<0时，函数图像的两个分支分别在二、四象限，在每个象限内，y随着x的增大而增大。
反比例函数的图像位置和函数的增减性由反比例函数系数k的符号决定。
在每个象限内，当k>0时，y随x的增大而减小；当k0.反比例函数y=k/x中，k的几何意义可以通过双曲线上任一点P(x,y)分别作x轴、y轴的垂线，得到矩形OEPF的面积S=k=xy=x*y=PF*PE。
在反比例函数y=k/x中，k越大，双曲线y=k/x越小，离坐标原点越远；k越小，双曲线y=k/x越大，离坐标原点越近。
双曲线是中心对称图形，对称中心是坐标原点；双曲线又是轴对称图形，对称轴是直线y=x和直线y=-x。
练题：1、反比例函数是y=k/x，其中k≠0.2、函数y1=kx和y2=1/2x的图象如下所示，自变量x的取值范围相同的是第四象限。
3、函数y=m/x和y=mx-m(m≠0)在同一平面直角坐标系中的图像可能是第一象限和第三象限。
4、反比例函数y=k/x的图象的两个分支分别位于第一象限和第三象限。
反比例函数知识点归纳重点
反比例函数知识点归纳重点1.定义和性质：反比例函数是由自变量与其函数值的乘积为常数所表示的函数。
它的图像是一个双曲线。
当自变量x趋近于0时，函数值趋近于正无穷大；当自变量x趋近于正无穷大或负无穷大时，函数值趋近于0。
反比例函数的反比例因子k可以用来确定函数的特征。
2.图像与参数的关系：反比例函数的图像是一个双曲线，其具体形状与参数k有关。
当k为正数时，双曲线位于第一象限和第三象限；当k为负数时，双曲线位于第二象限和第四象限。
参数k的绝对值越大，双曲线的曲率越大。
3.变形形式：反比例函数除了常见的y=k/x形式外，还可以有其他的变形形式。
例如，y=k/(x-a)+b表示平移后的反比例函数，参数a和b分别表示水平和垂直方向上的位移。
4.变量关系：反比例函数中的自变量和因变量之间是一个反比例关系，即一个数的大小与另一个数的大小呈反比例关系。
如果自变量增大，那么函数值会减小，反之亦然。
这种关系在实际问题中经常出现，例如牛顿第二定律中的力和加速度的关系。
5.应用问题：反比例函数在许多实际问题中都有应用。
例如，速度与时间的关系、电阻与电流的关系、密度与体积的关系等都可以用反比例函数来描述。
因为反比例函数在自变量过小或者过大时函数值会变得非常大或者非常小，所以它在处理极限问题时也经常被使用。
总之，反比例函数是一种常见的函数形式，在数学的各个领域中都有广泛的应用。
理解反比例函数的定义、图像与参数的关系、变形形式、变量关系以及应用问题，可以帮助我们更好地理解数学和解决实际问题。
反比例函数知识点总结
反比例函数知识点总结反比例函数，又称为倒数函数，是数学中重要的函数类型之一。
它是一种特殊的函数关系，其中一个量的变化与另一个量的变化成反比。
在反比例函数中，当一个变量增加时，另一个变量会以相应的速度减少，反之亦然。
本文将通过定义、性质、图像和应用等方面，对反比例函数进行详细的知识点总结。
1. 定义与表示：反比例函数是指一种函数关系，其中一个变量的值与另一个变量的值成反比。
一般来说，反比例函数可以通过以下形式来表示：y = k/x其中k是常数，称为比例常数，x和y分别是两个变量的值。
2. 性质：(1) 定义域和值域：反比例函数的定义域为除了x=0外的所有实数，值域也为除了y=0外的所有实数。
(2) 对称性：反比例函数在原点(0,0)处具有对称性，即在x轴和y轴上分别关于原点对称。
(3) 单调性：反比例函数在其定义域内是单调递减的，即当x增加时，y会减小。
(4) 渐进线：反比例函数y=k/x在x趋近正无穷大或负无穷大时，都会逼近x轴和y轴，即有两条渐进线x=0和y=0。
(5) 变换：反比例函数可以通过平移、伸缩等变换来得到相应的函数图像。
3. 图像：反比例函数的图像呈现出一条曲线，并且具有特定的形状。
以y=k/x为例，当k为正数时，函数的图像将出现在第一和第三象限，形状类似于右上方向的双曲线；当k为负数时，图像将出现在第二和第四象限，形状类似于左下方向的双曲线。
同时，倒数函数的图像都会与x轴和y轴有两条渐进线，即x=0和y=0。
4. 应用：反比例函数在现实生活中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：(1) 电阻与电流关系：欧姆定律中，电阻与电流的关系就是一个反比例函数关系。
当电流增大时，电阻会相应减小，反之亦然。
(2) 时间与速度关系：在行驶过程中，车辆在相同的距离内，速度与时间呈反比例。
当时间增加时，速度会相应减小，行驶速度与时间的乘积保持一定的常数。
(3) 人均用水量与总用水量关系：一般情况下，社会的总用水量与人口的数量成反比例。
反比例函数复习
2.过双曲线上任一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的 面积等于｜k｜.
课时训练
1.(2002年· 泸州市)如图所示，当k＜0时，反比例函数 y=k/x和一次函数y=kx+2的图像大致是图 ( B )
课时训练
2.(2002年· 武汉市)若点(3，4)是反比例函数 m 2 + 2 m 1 的图像上一点，则此函数图像必经过点( A ) y
x
A.(2，6)
B.(2，-6)
C.(4，-3)
D.(3，-4)
3.如图所示，正比例函数y=kx (k＞0) 与反比例函数y=1/x的图像相交于A、C 两点，过A作x轴的垂线交x轴于B， 连接BC.若△ABC面积为S，则 (A) A.S=1 B.S=2 C.S=3 D.不能确定
课时训练
4.已知：y=y1+y2，其中y1与x成反比，且比例系数是k1 ，y2与x2成正比，且比例系数是k2，若x=-1时，y=0， 则k1与k2的关系是( B ) A.k1+k2=0 B.k1-k2=0 C.k1· 2=1 k D.k1· 2=-1 k 5.如图所示，已知点P是反 比例函数y=k/x的图像在第 二象限内的一点，过P点分 别作x轴、y轴的垂线，垂 足为M、N，若矩形OMPN 的面积为5，则k= -5 .
k3 k1 k2 y ,y ,y 4.如图三个反比例函数 x x x
课前热身
在x轴上方的图像，由此观察得到的大小关系为（ B ） A.k1>k2>k3 B.k2>k3>k1 C.k3>k2>k1 D.k3>k1>k2
课前热身
5.(2003年· 重庆市)如图所示.如果 函数y=-kx(k≠0)与y=-4/x的图像 交于A、B两点，过点A作AC垂直 于y轴，垂足为点C，则△BOC的 面积为 2 . 6.(2003年· 山西省)已知：反比例函数y=k/x(k≠0)，当x ＜0时，y随x的增大而增大，那么一次函数y=kx-k的图 像经过( B ) A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限 C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限
人教版八年级数学下第17章反比例函数复习教学课件
5 3m 4、y ( x 0) y随x的增大而减小（ C ） x 5 5 5 5 A、 m B、 m C、m D、 m 3 3 3 3
《试卷》#5、 《辅导》P71#2 《辅导》P71#3、#6；P21#9
4、面积与函数： 已知A是函数图象上一点，
若正方形面积为4，求反比例函数的解析式？
k 解： 设反比例函数为 y ( k 0) ， x
把
( 100 100 ∴函数解析式为 y x
《学习辅导》P71#9： 压力不变的情况下，某物体承受的压强 p（Pa） 是受力面积的反比例函数.求p与S的解析式？
2000 1000
（2）求当S=0.5 m2时，物体承受的压强 p？
《试卷》#2、#7、#9
k 函数 y 的图象都经过点A（a，4） x
（1）求 a 和 k 的值？ 把
#11： 已知一次函数 y x 3 的图象与反比例
(a,4) 代入 y x 3 k 4 a3 把 (1,4) 代入 y x a 1
∴点A为(1,4)
《学习辅导》P72#11：
3、性质：
函数 图象 正比例函数 在每个象 y=kx限内 经点 (0,0) , (1,k )的直线 y随x的增 大而增大 反比例函数 k y — x 关于 原点对 称的双曲线
k＞ 0
性 质
y随x的增大 而 减小； y随x的增大 而增大
k＜ 0
y随x的增 大而减小
3 1、函数 y 图像大概是（ A ） y x
复
习
1 2 4
3
1、两个量的乘积是常数，这两个量成反比例函数；
xy k (常数)
y kx
1
k y (k 0) x
反比例函数最全知识点
反比例函数的图象和性质知识点一：反比例函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例1.反比例函数的概念（1）定义：形如y＝kx(k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数．（2）形式：反比例函数有以下三种基本形式：①y＝kx；②y=kx-1; ③xy=k.(其中k为常数，且k≠0)例：函数y=3x m+1，当m=－2时，则该函数是反比例函数．2.反比例函数的图象和性质k的符号图象经过象限y随x变化的情况（1）判断点是否在反比例函数图象上的方法：①把点的横、纵坐标代入看是否满足其解析式；②把点的横、纵坐标相乘，判断其乘积是否等于k.失分点警示（2）反比例函数值大小的比较时，首先要判断自变量的取值是否同号，即是否在同一个象限内，若不在则不能运用性质进行比较，可以画出草图，直观地判断.k>0 图象经过第一、三象限（x、y同号）每个象限内，函数y的值随x的增大而减小.k<0 图象经过第二、四象限（x、y异号）每个象限内，函数y的值随x的增大而增大.3.反比例函数的图象特征（1）由两条曲线组成，叫做双曲线；（2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交；（3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线．例：若(a，b)在反比例函数kyx=的图象上，则(－a，－b)在该函数图象上.(填“在"、"不在")4.待定系数法只需要知道双曲线上任意一点坐标，设函数解析式，代入求出反比例函数系数k即可.例：已知反比例函数图象过点（－3，－1），则它的解析式是y=3/x.知识点二：反比例系数的几何意义及与一次函数的综合5.系数k的几何意义（1）意义：从反比例函数y＝kx(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|.（2）常见的面积类型：失分点警示已知相关面积，求反比例函数的表达式，注意若函数图象在第二、四象限，则k＜0.例：已知反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线所围成矩形为3，则该反比例函数解析式为：3yx=或3yx=-.6.与一次函数的综合（1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解.（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.涉及与面积有关的问题时，①要善于把点的横、纵坐标转化为图形的边长，对于不好直接求的面积往往可分割转化为较好求的三角形面积；②也要注意系数k的几何意义.例：如图所示，三个阴影部分的面积按。
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第17章反比例函数知识要点
温馨提示：要学好本章要经常利用数形结合
一、 反比例函数
1、 形如x k
y =（k≠0的常数）的函数是反
比例函数（x ≠0） 练习：下列函数①x y 2=
②11+=x y ③2x y = ④x y 23-=⑤11
+=x y 中，
是y 关于x 的反比例函数有：__________。
2、反比例函数的图象是双曲线，它是中心对称图形，对称中心是坐标原点，它又是轴对称图形，对称轴是两坐标夹角平分线所在的直线
练习：1、反比例函数x k
y 的图象经过点P
（－2，3），则这个反比例函数的解析式为_____；此函数的图象过第____象限；y 随x 的增大而_____
（k 决定双曲线的所在象限和性质）
2、 反比例函数x y 2
-=的图象经过三点
（x 1，y 1）、（x 2，y 2）、（x 3，y 3）， 且x 1＜x 2＜0＜x 3，则y 1 、y 2、 y 3的大小关系为_____
注意：利用数形结合
3、如果双曲线x m y =经过点（2，－1），那么m= ；若双曲线经过点（a ，b ）则必过点(____，___)
下面点:①(1,－6)、②（2，4）、③（3，2）、④（2，－3）⑤（－6，－1）在反比例函数x y 6=的图象上
4、若反比例函数x k y 3
2-=的图象在第一、三
象限，则k 的取值范围是_____
若反比例函数x k y 3
2-=的图象在每个象
限内y 随x 的增大而增大，则k 的取值范围是_____
5、已知y 与x 成反比例，
并且x ＝3时，y ＝7，求
1）y 与x 的函数关系式
2）当31
=x 时，求y 的值
3）当3=y 时，求x 的值
6、如图，一次函数y ax b =+的图象与反比例函数k
y x =的图象交于M 、N 两点.
⑴求反比例函数和一次函数的解析式； ⑵根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围.
3）求△MON 的面积
4）求方程x k
b ax -+＝0的解
5）求不等式x k
b ax -+＜0的解
三、反比例函数的应用
1、体积问题：
书54页练习第1题、书55页第5题
2、书55页第6题。