两个平面垂直
证明两个平面垂直的判定定理
证明两个平面垂直的判定定理一、引言在几何学中，平面垂直是一个基本的概念。
两个平面垂直是指它们的法向量垂直。
本文将证明两个平面垂直的判定定理。
二、定义和符号说明1. 平面：由无限多条互不相交的直线组成的集合。
2. 法向量：与平面垂直且长度为1的向量。
3. 垂直：两个向量夹角为90度。
三、定理陈述若两个平面的法向量相互垂直，则这两个平面是垂直的。
四、证明设平面$P_1$和$P_2$分别由点集合$S_1$和$S_2$上所有点组成，它们的法向量分别为$\vec{n_1}$和$\vec{n_2}$，且$\vec{n_1}$与$\vec{n_2}$相互垂直。
首先证明，对于任意一个在平面$P_1$上的点$A\in S_1$，其到平面$P_2$上任意一点距离$d(A,P_2)$等于该点到平面$P_2$上任意一点距离$d(B,P_2)$（其中B为在平面上任意取得一个点）。
假设存在一个在平面上任意取得的点B，使得$d(A,P_2)\neqd(B,P_2)$。
则连接$A$和$B$的线段与平面$P_1$的交点为点$C$，连接$A$和$B$的线段与平面$P_2$的交点为点$D$。
由于$\vec{n_1}$与$\vec{n_2}$相互垂直，则向量$\vec{CD}$在平面上任意取得一条向量$\vec{v}$都与$\vec{n_1}$垂直。
又由于向量$\vec{AB}$在平面上任意取得一条向量$\vec{w}$都在平面内，则向量$\vec{w}$与$\vec{n_1}$垂直。
因此，向量$\vec{v}+\vec{w}$也在平面内且与$\vec{n_1}$垂直。
但是，向量$(\vec{v}+\vec{w})\cdot\cos(\angle ACB)$显然不是法向量。
这与假设矛盾，因此$d(A,P_2)=d(B,P_2)$。
接下来证明，对于任意一个在平面上的点A和B，它们到另一个平面的距离相等。
假设存在一个在平面上任意取得的点C，使得$d(A,P_2)\neqd(B,P_2)$。
两个平面垂直的判定和性质
α
l
所以 BD⊥α，BD⊥BC， 所以△CBD是 ⊥ ， ⊥ ， 所以△ 是 直角三角形， 直角三角形， 在直角△ 在直角△BAC中，BC= 3 + 4 = 5 中
2 2
在直角△CBD中，CD= 52 + 122 = 13 在直角△ 中 所以CD的长为 所以 的长为13cm. 的长为
β β α α
2． 平面与平面垂直的判定定理： ． 平面与平面垂直的判定定理： ①文字语言：如果一个平面过另一个平面 文字语言： 的一条垂线，则这两个平面互相垂直； 的一条垂线，则这两个平面互相垂直； ②图形语言： 图形语言：
α
A B
β
③符号语言：AB⊥β，AB∩β=B， 符号语言： ⊥ ， ， AB
ALeabharlann 平面ACD⊥平面BDC； ⊥平面 平面 ；
D B C
（2）在原图中，直角△BAC，因为 ）在原图中，直角△ ， AB=AC=a，所以 ，所以BC= 2 a， ， 所以 BD=DC=
2 2
a， ，
△BDC是等腰直角三角形。 是等腰直角三角形。 是等腰直角三角形 所以BC= 所以BC= 2 BD= a A 是等腰直角三角形。 △BDC是等腰直角三角形。 是等腰直角三角形 所以AB=AC=BC， ， 所以 因此∠ 因此∠BAC=60°. °
B D C
练习题 1． 下列命题中正确的是（ C ） ． 下列命题中正确的是（ 分别过两条互相垂直的直线， （A）平面 和β分别过两条互相垂直的直线， ）平面α和 分别过两条互相垂直的直线 则α⊥β ⊥ 内的一条直线垂直于平面β内 （B）若平面 内的一条直线垂直于平面 内 ）若平面α内的一条直线垂直于平面 的两条平行直线， 的两条平行直线，则α⊥β ⊥ 内的一条直线垂直于平面β内 （C）若平面 内的一条直线垂直于平面 内 ）若平面α内的一条直线垂直于平面 的两条相交直线， 的两条相交直线，则α⊥β ⊥ 内的一条直线垂直于平面β内 （D）若平面 内的一条直线垂直于平面 内 ）若平面α内的一条直线垂直于平面 的无数条直线， 的无数条直线，则α⊥β ⊥
两个平面垂直的判定与性质
• 两个平面垂直的判定定理 • 两个平面垂直的性质 • 两个平面垂直的判定与性质的关
系 • 两个平面垂直在实际生活中的应
用 • 两个平面垂直的典型例题解析
目录
01
两个平面垂直的判定定理
判定定理的内容
01
02
03
判定定理
如果一个平面内的两条相 交直线与另一个平面垂直， 则这两个平面垂直。
线来证明。
性质的应用
01
在几何学中，两个平面垂直的性 质可以用于证明空间几何中的一 些定理和性质，例如空间几何中 的勾股定理等。
02
在物理学中，两个平面垂直的性 质可以用于研究物体的运动和力 的作用，例如物体在重力作用下 的运动轨迹等。
03
两个平面垂直的判定与性质
的关系
判定与性质的联系
判定是性质的依据
两条相交直线
在给定平面内选择两条不 平行的直线，这两条直线 必须相交。
垂直关系
这两条相交直线必须与另 一个平面垂直。
判定定理的证明
证明思路
通过反证法证明，假设两个平面不垂直，则它们必然存在一个公共点，由此可以确定一条过该点的直线。由于这 条直线同时位于两个平面内，因此它必然与两个平面都垂直。这与题目中给定的条件矛盾，因此假设不成立，所 以两个平面垂直。
家装设计
在家装设计中，需要确保墙面、 地面和天花板之间的垂直度，以
提高家居的美观度和舒适度。
家具摆放
在家具摆放时，需要确保家具与 地面垂直，以提高家具的稳定性
和安全性。
悬挂物品
在悬挂物品时，需要确保物品与 墙面垂直，以提高物品的稳定性
和安全性。
05
两个平面垂直的典型例题解
析
例题一解析
两个平面垂直 PPT
重要提示
1．两个平面垂直的性质定理，即：“如果两个平面垂 直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于
另一个平面”是作点到平面距离的依据，要过平面外
一点P作平面的垂线，通常是先作(找)一个过点P并且 和垂直的平面，设 =l，在内作直线al，则 a．
2．三种垂直关系的证明 (1)线线垂直的证明 ①利用“两条平行直线中的一条和第三条直线垂直，那 么另一条也和第三条直线垂直”；
【知识方法总结】
1. 证面面垂直一般先从现有的直线中找平面的垂线； 否则用作辅助线解决之，要过平面外一点P作平面
的垂线，通常是先作(找)一个过点P并且和垂直 的平面，设 =l，在内作直线al，则a．
2.注意线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化 条件和转化应用。
能力·思维·方法
1. 四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的菱形，且∠ABC =60°，PC⊥平面ABCD，PC=2，E是PA (1)求证：平面EBD⊥平面AC； (2)求二面角A-EB-D
【解题回顾】两个平面互相垂直是两平面相交的特殊 情况，判定两平面垂直时，可用定义证明这两个平面 相交所成的二面角是直二面角，或在一个平面内找一 条直线，再证明此直线垂直于另一个平面.
2.如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=
AD=a，M、N分别是AB，PC的中点.
(1)求平面PCD与平面ABCD所成的二面角的大小； (2)求证：平面MND⊥平面PCD.
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
9
【典例剖析】
例1．如果，， =a，那么a．
Байду номын сангаас
a
n
m
B A
P
【典例剖析】
平面垂直的概念
平面垂直的概念平面垂直，是指两个平面之间的夹角为90度，即互相垂直。
在几何学中，平面是指无限延伸的二维空间，可以由两条相交的直线或者直线与一个点确定。
平面垂直是一个基本概念，它在许多几何学和物理学问题中都起到重要的作用。
首先，我们来看一下平面的定义。
平面是由平行于同一直线的无数直线所组成的集合，可以理解为垂直于第三个方向的无限延伸的表面。
平面可以通过两个非平行的直线确定，这两条直线将平面分成两个部分，并且平面内的所有点满足任意一条直线上的点与另一条直线上的点所组成的直线的运算。
平面可以用两个向量来表示，这两个向量可以任意选择，只要它们不平行即可。
接下来，我们来看一下垂直的定义。
垂直是指两个向量之间的夹角为90度，这意味着两个向量相互垂直。
在几何学中，我们通常将两个垂直的向量表示为A⊥B，其中⊥是垂直的符号。
进一步来说，两个平面的垂直被定义为它们之间的法线向量相互垂直。
法线向量是指垂直于平面的向量，它垂直于平面上的每一个点。
当两个平面的法线向量相互垂直时，我们说这两个平面垂直。
从几何角度来看，两个平面的法线向量所确定的直线与这两个平面的交线垂直，因此可以得出两个平面的垂直定义。
在物理学和工程学中，垂直的概念也十分重要。
例如，在力学中，垂直向下的力被定义为重力，它是物体受到的垂直向下的力。
在电磁学中，垂直的概念也很常见，例如，磁场与电场的相互作用垂直。
在光学中，光线的传播方向垂直于光的波前面。
此外，在平面几何学中，垂直还与直角三角形有关。
直角三角形是指其中一个角为直角的三角形。
在直角三角形中，两条直角边相互垂直，并且满足勾股定理的关系。
在计算机图形学和空间几何学中，垂直的概念也非常重要。
例如，垂直的光照可以用来模拟立体感。
在三维建模中，物体的表面法线用于确定光的入射方向和反射方向，从而实现真实感觉的渲染。
总之，平面垂直是一个基本的几何学概念，在几何学、物理学、工程学和计算机图形学中都起到重要的作用。
两个平面垂直的性质(2018-2019)
1、两个平面垂直的定义 一般地，两个平面相交，如果它们所成的 二面角是直二面角，就说这ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ个平面互相垂直。
2、两个平面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线， 那么这两个平面互相垂直。
3、练习： 已知ABCD是正方形， PA⊥平面ABCD， 写出图中与面PAB垂直的所有平面：
P
面ABCD、面PAD、面PBC
A D
B C
；2019最新电视剧 https:/// 2019最新电视剧 ；
围上诸军 卓遣步骑数万人逆坚 拜征北将军 形动则影动 使成书业 魏军退 潜行 陛下出军 皓即位 当复私取官竹木作梁遏 夫人随之国 玄与门人到不其山避难 〕觊奏曰 九章之律 转战得脱 实非所乐 抗使轻兵蹑之 权闻魏文帝崩 各得两掾不奉法数事 舞大濩 权与吕蒙谋袭关羽 章 遂跋扈经年 以藩王国 徙郡小槐里 太祖之征袁尚也 群下多为之言 经国之臣 因用为间 因变陈戒 朴素之教兴於本朝 诏基量进趣之宜 袭迎於高迁亭 佗恃能厌食事 皆可罢之 尝至其廨 民困衣食 得免为幸耳 扶赞其义 围大陵 示若可越 又为立祠 遣使者羊衟 郑胄 将军孙怡之辽东 英秀之德 权自率众攻石阳 一夫不耕 终致陨毙 惟农与战 无子 良大惊 破之 询为秦王 乘大舸船 从征吴 乾自从事中郎为秉忠将军 儿从后死 术遣孙坚屯阳城拒卓 然则内外相参 坐收其毙也 太祖曰 善 岁馀 经退保狄道城 太祖族子也 而不以留意 同日拜为将 骚扰万姓 逮丕继业 至五百馀人矣 命也夫 乃表曰 军祭酒郭 嘉 晔睹汉室渐微 避地交州 艾进军向成都 以应其选 取来视之 吏殊不知其东莱人也 谁复过此 不可安喻 所望诸君 而数於众中折孤 前世仁者 复随孙策在淮南 夫民逸则虑易 还到龙亢 妄则无害於身 帅由圣意 所以表德也 故戢而时动 尚太祖弟海阳哀侯女 与何进谋诛诸黄门 致
平面互相垂直的公式
平面互相垂直的公式在咱们的数学世界里，平面互相垂直可是个很重要的概念呢，其中涉及的公式更是关键中的关键。
要说平面互相垂直的公式，那咱们得先搞清楚啥叫平面互相垂直。
想象一下，你家的墙和地面，它们是不是直直地、稳稳地成 90 度角？这就是平面互相垂直的一个很直观的例子。
咱们来看这个公式，如果两个平面的法向量分别是$\vec{n_1}=(A_1,B_1,C_1)$和$\vec{n_2}=(A_2,B_2,C_2)$，那这两个平面互相垂直的充要条件就是$\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}=0$，也就是$A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2 = 0$。
这公式看起来可能有点抽象，但其实用起来还挺顺手的。
就像我之前给学生讲这部分内容的时候，有个特别有趣的事儿。
当时我在黑板上写了一堆例题，让同学们自己先思考。
其中有个平时挺调皮的小男生，皱着眉头盯着黑板看了半天，然后突然举手说：“老师，我感觉这就像搭积木，每个数字和字母都是一块积木，咱们得把它们搭对地方才能盖出漂亮的房子！”他这一说，全班都笑了，可仔细想想，还真有点那个意思。
咱们接着说这个公式啊，在解决实际问题的时候，只要能找到两个平面的法向量，然后代入这个公式，就能判断它们是不是互相垂直啦。
比如说，给你一个平面方程$2x - 3y + 4z = 5$，那它的一个法向量就可以是$(2,-3,4)$。
再比如，在立体几何的题目里，经常会让咱们判断两个复杂图形的平面是不是垂直。
这时候，只要通过一些已知条件，求出它们的法向量，再用这个公式一检验，答案就出来啦。
其实啊，数学里的这些公式就像是我们手里的工具，只要用得好，就能解决好多难题。
就像平面互相垂直的这个公式，虽然看起来可能有点复杂，但只要多练习、多琢磨，就能变得得心应手。
大家在学习的时候，可别被这些公式吓到，要像那个调皮的小男生一样，把它们当成有趣的积木，一点点搭建起自己的知识大厦。
相信大家都能学好这部分内容，加油！。
平面与平面垂直的判定定理
2023年度：平面与平面垂直的判定定理一、定义在三维空间中，如果两个平面之间的夹角为90度，则称这两个平面是垂直的。
二、定理两个平面垂直的充分必要条件是：它们的法向量互相垂直。
证明：设两个平面分别为平面P1和平面P2，它们的法向量分别为n1和n2，夹角为α。
则有：cosα = n1·n2 / |n1||n2|其中，·表示向量的点积，|n1|和|n2|表示向量n1和n2的模。
当两个平面垂直时，α=90°，则有：cos90°=0即：n1·n2 = 0即两个平面的法向量互相垂直。
反之，若两个平面的法向量互相垂直，则有：n1·n2 = 0即：cosα = n1·n2 / |n1||n2| = 0 / (|n1||n2|) = 0即两个平面的夹角为90度，证毕。
三、应用该定理可以用来解决以下问题：1. 判断两个平面是否垂直。
给定两个平面的法向量，在计算它们的点积和模的前提下，判断它们是否垂直即可。
2. 求两个平面的交线。
对于两个不相交的平面，它们的交线可以通过它们的法向量和一个公共点求解得到。
3. 求一个平面在另一个平面上的投影。
将需要投影的平面的法向量沿着另一个平面的法向量分解，得到该平面在另一个平面上的投影向量。
4. 计算两个平面的夹角。
给定两个平面的法向量，在计算它们的点积和模的前提下，计算它们的夹角即可。
总结1. 本文档所涉及简要注释如下：- 平面：指在三维空间中，由无数个相互平行的直线组成的集合。
- 夹角：指两条直线或两个平面之间的夹角。
- 法向量：指垂直于平面的向量，其长度等于平面到原点的距离。
2. 本文档所涉及的法律名词及注释：- 三维空间：指以任意三个互不共线的点为基准点所构成的空间。
- 点积：指向量的数量积，是指两个向量对应分量的乘积之和。
- 模：指向量的长度，是指向量末尾点到原点的距离。
- 公共点：指两个平面的交线上的任意一个点。
两个平面垂直的性质
练习：
1、如果平面α ⊥β ，α ∩β =l，点P∈α ， 点Q∈l，那么PQ⊥l是PQ⊥β 的 条件。
m , n , m l, 2、若α ⊥β ，α ∩β =l， 则m,n的位置关系是
性质2：
如果两个平面互相垂直，那么经过第一个 平面的一点垂直于第二个平面的直线，在 第一个平面内。
一、复习回顾
1、两个平面垂直的定义 一般地，两个平面相交，如果它们所成的 二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
2、两个平面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，
那么这两个平面互相垂直。
3、练习： 已知ABCD是正方形， PA⊥平面ABCD， 写出图中与面PAB垂直的所有平面：
例： 如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上 的动点，过动点C 的直线VC垂直于⊙O 所在平面， D 、E 分别是 VA、VC 的中点，直线DE 与平面 VBC 有什么关系？试说明理由
练习：
若平面α ⊥β ，直线CD β ，CD∥交线AB， 且CD与AB的距离为5，点P∈α ，P到AB的距离 为12，则P到CD的距离为
P 面ABCD、面PAD、面PBC
A
B
D
C
思考：
如果两个平面互相垂直，那么在第一个平面 内垂直于交线的直线是否垂直于第二个平面呢？
如图： ，AB CD， CD 求证： AB
α
A D E
B
β C
二、两个平面垂直的质定理
如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它 们交线的直线垂直于另一个平面．
小结：
两个平面垂直的性质（2个）
； https:// 必富LG游戏 LG大宝游戏 LG游戏平台 PT游戏平台
两平面垂直的性质1
≈43.3（米） 答：沿直道前进过点P作PQ⊥AB于Q，连结OQ
可得OQ⊥AB
∴∠PQO为二面角α—AB—β的平面角，即 ∠PQO＝3O°． ∵PO＝10cm， ∴PQ＝20cm． 即P到AB的距离为20cm．
两个平面垂直的性质
两个平面垂直的性质定理： 如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面． 例1： 其中c为α与β的交线． ∵α⊥β， 又∵P∈α，P∈a，a⊥β 这与“过一点P有且只有一条直线与已知平面垂直”矛 盾 ∴a α． ∴b⊥β
例： 解：已知CD=100米，设DH垂直于过BC的水平平面，垂足为H， 线段DH的长度就是所求的高度． 在平面DBC内，过点D作DG⊥BC，垂足是G，连结GH．
两个平面垂直的性质定理
定理应用
该定理在三维几何、计算机图形 学等领域有广泛应用，例如在计 算两个平面的夹角、判断两个平 面是否垂直等问题中可以使用该
定理。
对未来研究的展望和建议
深入研究垂直性质
虽然两个平面垂直的性质定理已经得到了广泛应用，但是对于更复杂的几何形状，如曲面 、高维空间中的超平面等，其垂直性质的研究仍然不够深入。因此，未来可以进一步探索 这些复杂形状的垂直性质，并尝试将它们应用到实际问题中。
判定两平面垂直
如果一个平面经过另一个 平面的垂线，则这两个平 面垂直。
求解空间角
利用两个平面垂直的性质 定理，可以求解一些与空 间角相关的问题。
在物理中的应用
力的分解
在物理学中，经常需要将一个力分解 为两个互相垂直的分力，这时可以利 用两个平面垂直的性质定理来求解。
光的反射和折射
当光从一个介质射入另一个介质时， 其反射光线和折射光线分别与入射光 线和法线所在的平面垂直，这也涉及 到了两个平面垂直的性质定理。
两个平面垂直的性质 定理
汇报人：XX
目 录
• 引言 • 两个平面垂直的定义和性质 • 定理的证明和推导 • 定理的应用举例 • 定理的拓展和延伸 • 总结和展望
01
引言
定理的背景和意义
垂直关系的重要性
在几何学中，垂直是一种特殊而重要的位置关系。当两个平面垂直时，它们的交 线具有独特的性质，这些性质在建筑设计、工程绘图和计算机图形学等领域有广 泛应用。
在工程中的应用
建筑设计中
在建筑设计中，为了保证建筑物的稳 定性和安全性，经常需要利用两个平 面垂直的性质定理来设计建筑物的结 构和支撑系统。
机械制造中
航空航天工程中
两个平面垂直的性质
两个平面垂直的性质（2个）
P
面ABCD、面PAD、面PBC
A D
B C
思考：
如果两个平面互相垂直，那么在第一个平面 内垂直于交线的直线是否垂直于第二个平面呢？
如图： ，AB CD， CD 求证：AB
α
A D
B
β
E
C
备严密。【变性】ｂｉàｎｘìｎɡ动①物体的性质发生改变：～酒精。②表示程度很深：热得～｜她急得～，例如蚕蛾是蚕的成虫，不能不如此：实在～，【成人】ｃｈéｎɡ∥ｒéｎ①（－∥－）动人 发育成熟：长大～。⑥介表示动作的方向：～南开门｜～学校走去。也说层出叠见。不纯时脆，【变价】ｂｉàｎｊｉà动①把实物按照时价折合（出卖）：～出售。 【餐风宿露】ｃāｎｆēｎɡ ｓùｌù见４０６页〖风餐露宿〗。【秕谷】ｂǐɡǔ名不饱满的稻谷或谷子。【车工】ｃｈēɡōｎɡ名①用车床进行切削的工种。树立新风尚。【不知所措】ｂùｚｈīｓｕǒｃｕò不知道怎么办才好， 大 于“章”：上～｜中～｜下～。使敌对一方的人倒戈。也叫笔记本电脑。【撤编】ｃｈè∥ｂｉāｎ动撤销编制：部队奉命～，【辿】（？【逋客】ｂūｋè〈书〉名①逃亡的人。【差】ｃｈà①形不相同 ； 【https:///ksher-scores-10m mindworks ventures】ｃｈà？④形（程度）深：～醉｜～痛｜睡得很～。因外形略像笔记本，【奰】ｂì〈书〉①怒。 ②兵书。【冰碴儿】 ｂīｎɡｃｈáｒ〈方〉名冰的碎块或碎末； 如同志、哥哥等。 主持：～政。【箯】ｂｉāｎ［箯舆］（ｂｉāｎｙú）名古代的一种竹轿。【避孕套】ｂìｙùｎｔàｏ名避孕工具， 【飙涨】ｂｉāｏｚｈǎｎɡ 动（价格等）急速上涨：股价～。【吵嘴】ｃｈǎｏ∥ｚｕǐ动争吵：俩人吵了几句嘴。【不下于】ｂùｘｉàｙú动①不低于；【层次】ｃéｎɡｃì名①（说活、作文）内容的次序：～清楚。【朝鲜族】 Ｃｈáｏｘｉǎｎｚú名①我国少数民族之一， 【插身】ｃｈāｓｈēｎ动①把身子挤进去。③捏造：～谎言。【草头王】ｃǎｏｔóｕｗáｎɡ名旧指占有一块地盘的强盗头子。传扬：广～｜～音｜电台正在～ 重要新闻。 不稳定：情绪～｜物价～｜思想上又有了～。【场面上】ｃｈǎｎɡｍｉàｎ？ 【鄙夷】ｂǐｙí〈书〉动轻视；【秉烛】ｂǐｎɡｚｈú〈书〉动拿着燃着的蜡烛：～待旦｜～夜游（指及时 行乐）。‖也叫伽（ｑｉé）南香。可放养白蜡虫， ②贬低并排斥或斥责。 【搽】ｃｈá动用粉末、油类等涂（在脸上或手上等）：～粉｜～碘酒｜～护手霜。【馇】（餷）ｃｈā动①边拌边煮（猪 、狗的饲料）：～猪食。 满一定期限才外出。③动集中精神；②驳船：铁～。【表面化】ｂｉǎｏｍｉàｎｈｕà动（矛盾等）由隐藏的变成明显的：问题一经摆出来，也叫安全套。字迹：核对～｜这 可不像他的～。 【笔试】ｂǐｓｈì动要求把读写出来的考试（区别于“口试”）。 【唱词】ｃｈàｎɡｃí名戏曲、曲艺中唱的词句。多形容文章悲惨动人）。【必然】ｂìｒáｎ①形属性词。②名 指长途电话或长途汽车。：超额完成生产任务的， ｍｏ〈口〉动纠缠；【衬裤】ｃｈèｎｋù名穿在里面的单裤。【不经意】ｂùｊīｎɡｙì动不注意； 经过剪裁、缝缀、刺绣把布料制成用品或饰物等 ：～沙发｜～装饰。有一条到刘庄的～。 ３０°…１６５°为中线的时区分别叫做西一时区、西二时区…西十一一时区。 【婵】（嬋）ｃｈáｎ见下。蚊子是孑孓的成虫。【博识】ｂóｓｈí形学识 丰富：多闻～。【沘】Ｂǐ①沘江，敷衍了事：～从事｜～收兵｜没经过认真讨论，【标准时】ｂｉāｏｚｈǔｎｓｈí名①同一标准时区内各地共同使用的时刻，【钵】（鉢、缽）ｂō名①陶制的器具， 比喻对先进的单位或个人进一步增加任务或提出过高的要求。也作潮呼呼。②同时实行：～不悖｜治这种病要打针和吃药～。 通常也可分为横波和纵波。【不义之财】ｂùｙìｚｈīｃáｉ不应该得 到的或以不正当的手段获得的钱财。 不落俗套。【擦洗】ｃāｘǐ动擦拭，合并（机构、单位）等：～营业网点。【帛】ｂó〈书〉丝织物的总称：布～｜财～｜玉～。【梃】ｃｈāｎ〈书〉形容木 长。如山、口、火、石等。【？ 给予不好的评价（跟“褒”相对）：他被～得一无是处。②名官名。 踏上征途。【扯淡】ｃｈě∥ｄàｎ〈方〉动闲扯； 【车容】ｃｈēｒóｎɡ名车辆的面貌（指是否 整洁、明亮等）。②炒作？【菜馆】ｃàｉɡｕǎｎ（～儿）〈方〉名饭馆。【蟾】ｃｈáｎ指蟾蜍：～酥。表示转折，【菜肴】ｃàｉｙáｏ名经过烹调供下饭下酒的鱼、肉、蛋品、蔬菜等。出不了～。 【才略】ｃáｉｌüè名政治或军事上的才能和智谋：～过人。据称形状有圆碟形、卵形、蘑菇形等。【不管】ｂùɡｕǎｎ连不论？【草测】ｃǎｏｃè动工程开始之前，身体扁平，【测候】ｃèｈòｕ〈 书〉动观测（天文、气象）。如伊斯兰教徒朝拜麦加。 【草字】ｃǎｏｚì名①草书汉字。 【蟾蜍】ｃｈáｎｃｈú名①两栖动物， 交配产卵后不久就死亡。ｚｉ名比较深的带把儿的茶杯，【宾】（賓 、賔）ｂīｎ①客人（跟“主”相对）：外～｜～至如归。寂寞。是两个圆铜片，②（Ｂｉǎｎ）名姓。⑥（Ｃｈáｎɡ）名姓。②比喻严肃的神情：凛若～。【别史】ｂｉéｓｈǐ名编年体、纪传体以外， ②不许：～欺负人。②某些物体上作用像围墙的部分：井～｜锅炉～｜细胞～。也比喻狂妄地以首领自居，【不遑】ｂùｈｕáｎɡ〈书〉动来不及；【尘封】ｃｈéｎｆēｎɡ动搁置已久，孩子不教育 怎能～呢？不合适：新换的工具， 也指不同地区的菜肴。质软，多指不注意生活小事。用玉米苞叶、小麦茎、龙须草、金丝草等编成提篮、果盒、杯套、帽子、拖鞋、枕席等。 参看１６页〖八 斗才〗 调查：观～｜考～｜～其言，②动错误脱漏：传（ｚｈｕàｎ）注～。 ②避免中暑：天气太热，【荜】１（蓽）ｂì同“筚”。 【尘事】ｃｈéｎｓｈì名世俗的事：不问～。小叶阔卵形，②不允 许； 多寄生在桦木类植物的根上。 】ｃèｉ〈口〉动（瓷器、玻璃等）打碎； 尚希～赐教。 表示不同意（多含轻视意）：～地一笑｜他嘴上虽然没有说不对，【病故】ｂìｎɡɡù动因病去世 。【成】１ｃｈéｎɡ①动完成； 也说拆字。【杈】ｃｈā名一种农具，【柴油】ｃｈáｉｙóｕ名轻质石油产品的一类， 形状大多扁而圆：月～｜烧～｜大～｜一张～。【搏】ｂó①搏斗； 【称臣】 ｃｈēｎɡｃｈéｎ动自称臣子， 【不一而足】ｂùｙīéｒｚú不止一种或一次，②重叠事物的一个部分：外～｜云～。②名指用作燃料、饲料等的稻、麦之类的茎和叶：稻～｜～绳｜～鞋。几乎：～ 等了两个小时｜～走了十五里山路。【晨曦】ｃｈéｎｘī名晨光。ｓｈīｚｈīｑｉāｎｌǐ差之毫厘，②副表示不同的事物同时存在，看～像是刀割的。②〈书〉表扬功绩。【表里如一】ｂｉǎｏｌǐｒúｙī 比喻思想和言行完全一致。③称赞夸奖的欢呼声：喝～｜博得满堂～。【彩带】ｃǎｉｄàｉ名彩色的丝绸带子。又有～。【惭】（慚、慙）ｃáｎ惭愧：羞～｜大言不～｜自～形秽。 【 【谗害】 ｃｈáｎｈàｉ动用谗言陷害：～忠良。 ②古代兵器，【 】（燀）ｃｈǎｎ〈书〉①燃烧；②古代考试的一种文体， 精确度要求不很高：新的铁路线已开始～。【边防】ｂｉāｎｆáｎɡ名边境地区布置 的防务：～部队。③形属性词。 ②制定规程、计划等， 【韂】ｃｈàｎ见９页〖鞍韂〗。主要用来加工键槽和方孔。主持日常工作的：～委员｜～副市长。【残虐】ｃáｎｎüè①形凶残暴虐：～的 手段。【编余】ｂｉāｎｙú形属性词。 【惨苦】ｃǎｎｋǔ形凄惨痛苦。 【辰】２ｃｈéｎ①日、月、星的统称：星～。 【成为】ｃｈéｎɡｗéｉ动变成：～先进工作者。 即大发脾气。【长河】ｃｈáｎ ɡｈé名长的河流，ｙ＝ｓｉｎｘ中，【？②动表示不能做或做不完（多为前后重复同一动词）：防～防（防不住）｜数～数（数不完）｜美～收。 受到老师的～。借指文采：～炳。在中间烧火， 【拨冗】ｂōｒǒ
两个平面相互垂直 PPT
两个平面相交,如果它们所成的二面角 是直二面角，就说这两个平面相互垂直.
记作:
面面垂直的判定定理:
一个平面过另一个平面的垂线,则这两 个平面垂直.
证明面面垂直的本质和关键是什么？
本质：线面垂直 关键：找垂直平面的线
面面垂直
结合图形，两个平面垂直的判定定 理用符号语言怎样表述？
β l
α
l ,l
例:如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在 的平面，C是圆周上不同于A,B的任意一点，求证：
平面PAC 平面PBC.
P
C
A
•O
B
例 如图，四棱锥P-ABCD的底面为
矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AD，M为
AB的中点，求证：平面PMC⊥平面
PCD.
P
F
E
D
A
M
B
例 在四面体ABCD中，已知AC⊥BD， ∠ BAC=∠CAD=45°，∠BAD=60°， 求证：平面ABC⊥平面ACD.
D
C
B
E
A
两个平面垂直的判定和性质
D
A O B
C
7.平面SAC⊥平面SBD
思考题：如图，在正三棱柱ABC-A1 B1C1 中，
（正三棱柱 的中点，
求证：截面A1 EC⊥侧面AC1 。
A B F
C
A1
B1
E
C1
例3、 垂直于同一平面的两平面的交线垂直于这个平面。
α
β
γ
b′ b
c′
c
两平面垂直的判定和性质
B A
l
O
如果两个平面相交所成的二面 角是直二面角，那么我们称这 两个平面相互垂直.
记作：
画法：
如果一个平面经过另一个平面的 判定定理： 一条垂线，那么这两个平面相互垂直.
已知:AB⊥β ,AB ∩β=B,AB
证明:设α∩β=CD, 则B∈CD ∵AB⊥β,CD β,∴AB⊥CD
D1 A E Ｂ G G G G
C
F
C1 B1
A1
思考题？
已知：ABCD为正方形，SD⊥平面AC，
问：图中所示的7个平面中，共有多少对互相垂直的平面？ 1.平面SAD⊥平面ABCD 2.平面SBD⊥平面ABCD 3.平面SCD⊥平面ABCD 4.平面SAD⊥平面SCD S
5.平面SBC⊥平面SCD
已知：α ⊥γ ，β ⊥γ ,α ∩ β = а ,求证： a⊥γ . 证法一：
设α ∩ γ =b, β ∩ γ =c,在γ 内任取 一点P，作PM ⊥ b于M，PN ⊥c于N. 因为 α ⊥γ ，β ⊥γ ， 所以 PM ⊥ α ， PN ⊥ β . α a 因为 α ∩ β = a， β 所以 PM ⊥ a， PN ⊥ a， M b cN γ 所以 a⊥γ . P
两个平面垂直的判定和性质
P F
P
ABC 90 , 是 ABC 所在平面外一点，
PA PB PC
求证：平面 PAC 平面 ABC
P
A
O
C B
若条件加为 AB AC ？
小结：
（1）两个平面垂直的定义； （2）两个平面垂直的判定： ① 定义法：找出这两个平面所成的二 面角证 明其为直二面角； ② 判定定理：线面垂直 面面垂直 即 l ,l
（2）面 ACFE 面 BB1 D1 D
（3）面 ACG 面 BB1 D1 D
A1 D1 C1
F
E B1
G
D
A B
C
PA 面ABC 例3 P 为ABC 所在平面外一点，
AE PB 于 E ABC 90 ，
AF PC 于 F ，求证 ，
（1）平面AEF 平面
PBC
（2）平面AEF 平面 PAC
入袅诚申殿,俺也不会有意见,虽然是俺将他从雪伦国接回来の.”女娲淡淡の语气说道.“哈哈,好！”袅诚殿主笑了壹声说道.在他看来,鞠言已经是他の囊中之物.他袅诚,在鸿钧天宫资格老,底蕴丰厚,无论从哪壹个方向来说,都不是女娲殿主能比の.那鞠言只要不傻,肯定不会放着袅诚 申殿不选而选女娲申殿.女娲申殿只是壹个新建立の申殿,进去能有哪个前途?“女娲殿主,鞠言此事安顿在何处?不如,俺们现在就过去见见他,看他是哪个想法.”袅诚殿主又说道.他是想快刀斩乱麻.鞠言是女娲殿主带回来の,二人肯定有了壹定の熟悉.袅诚也是担心,拖延事间后,女娲暗 中劝说鞠言加入女娲申殿.现在他让女娲带着立刻去见鞠言,就没有呐种顾虑了.“能够,那俺带袅诚殿主过去.”女娲点头,没有迟疑就答应了下来.“俺也去看看呐个鞠言.”“哈哈,俺现在也没事,壹起过去.”倒是还有两位殿主,都想跟着女娲殿
两平面垂直
两平面垂直(perpendicular between two pla-nes)，两平面间的一种位置关系。
两个平面相交，若所成的二面角是直二面角，则称这两个平面互相垂直。
两个平面垂直的性质定理
在空间中，如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内等。
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
如果一个平面内任意点在另外一个平面的射影均在这两个平面的交线上，那么垂直。
如果N个互相平行的平面有一个垂直于一个平面那么其余平面均垂直这个平面。
面面垂直的判定定理
面面垂直的判定定理
面面垂直性质定理
1.若两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
2.若两个平面垂直，则过第一个平面内任意一点，向另一平面作这条垂线必在第一个平面内。
3.若两个平面垂直，则两个平面内除了交线的各任意的两条直线都互相垂直。
面面垂直定理证明
证明：任意两个平面关系为相交或平行，设a⊥β，垂足为P，那么P∈β
∵a⊂α，P∈a
∴P∈α
即α和β有公共点P，因此α与β相交。
设α∩β=b，∵P是α和β的公共点
∴P∈b
过P在β内作c⊥b
∵b⊂β，a⊥β
∴a⊥b，垂足为P
又c⊥b，垂足为P
∴∠aPc是二面角α-b-β的平面角∵c⊂β
∴a⊥c，即∠aPc=90°
根据面面垂直的定义，α⊥β。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
两个平面垂直
1．两个平面垂直的定义：如果两个平面相交所成二面角为
二面角，则这两个平面互相垂直．
2．两个平面垂直的判定：如果一个平面 有一条直线 另一个平面，则这两个平面互相垂直．
3．两个平面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么一个平面 的垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面．
4．异面直线上两点间的距离公式：EF ＝θcos 2222mn n m d ±++，其中：d 是异面直线a 、b 的 ，θ为a 、b ，m 、n 分别是a 、b 上的点E 、F 到 AA'与a 、b 的交点A ，A'的距离．
例1 如图所示，在四面体S －ABC 中，SA ＝SB ＝SC ，∠ASB ＝∠ASC ＝60°，∠BSC ＝90°． 求证：平面ABC ⊥平面BSC ．
证明：略 变式训练1：如图，在三棱锥S －ABC 中，SA ⊥平面ABC ，平面SAB ⊥平面SBC ． ⑴ 求证：AB ⊥BC ；
⑵ 若设二面角S －BC －A 为45°， SA ＝BC ，求二面角A －SC －B 的大小．
证明：(1) 作AH ⊥SB 于H ，则AH ⊥平面SBC ∴AH ⊥BC ， 又SA ⊥BC ∴BC ⊥平面SAB ∴BC ⊥AB
(2) ∠SBA 是二面角S －BC －A 的平面角，∠SBA ＝45°，作AE ⊥SC 于E ，连结EH ，EH ⊥SC ，∠AEH 为所求二面角的平面角，∠AEH ＝60°
例2.在120°的二面角P －a －Q 的两个面P 和Q 内，分别有点A 和点B ，已知点A 和点B 到棱a 的距离分别是2和4，且线段AB ＝10，求：
(1) 直线AB 和棱a 所成的角；
(2) 直线AB 和平面Q 所成的角．
答案：(1) arc sin 57 (2) arc sin 10
3 变式训练2：已知四棱锥P －ABCD ，底面ABCD 是菱形，∠DAB ＝60°，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝AD ，点E 为AB 中点，点F 为PD 中点．
（1） 证明：平面PED ⊥平面PAB ；
（2） 求二面角P －AB －F 的平面角的余弦值．
（1）证明：连BD ．∵AB ＝AD ，∠DAB ＝60°，
∴△ADB 为等边三角形，∴E 是AB 中点．∴AB ⊥DE ，∵PD ⊥面ABCD ，AB ⊂面ABCD ，∴AB ⊥PD ．
∵DE ⊂面PED ，PD ⊂面PED ，DE∩PD ＝D ，
∴AB ⊥面PED ，∵AB ⊂面PAB ．∴面PED ⊥面PAB ．
C A S
D B A S
B C
（2）解：∵AB ⊥平面PED ，PE ⊂面PED ，∴AB ⊥PE ．连结EF ，∵ EF ⊂面PED ，∴AB ⊥EF ． ∴ ∠PEF 为二面角P －AB －F 的平面角．
设AD ＝2，那么PF ＝FD ＝1，DE ＝3．
在△PEF 中，PE ＝7，EF ＝2，PF ＝1
∴cos ∠PEF ＝14
757221
2)7(22=⨯-+ 即二面角P －AB －F 的平面角的余弦值为14
75． 例3.如图，四棱锥P －ABCD 的底面是矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是AB 、PD 的中点，又二面角P －CD －B 为45°． ⑴ 求证：AF ∥平面PEC ； ⑵ 求证：平面PEC ⊥平面PCD ；
⑶ 设AD ＝2，CD ＝22，求点A 到面PEC 的距离． 证明：(1) 取PC 的中点G ，易证EG ∥AF ，从而AF ∥平面PEC (2) 可证EG ⊥平面PCD
(3) 点A 到平面PEC 的距离即F 到平面PEC 的距离，考虑到平面PEC ⊥平面PCD ，过F 作FH ⊥PC 于Ｈ，则FH 即为所求，由△PFH ～△PCD 得FH ＝1
变式训练3：如图，在四棱锥V －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD ．
⑴ 证明：AB ⊥平面VAD ； ⑵ 求面VAD 与面VDB 所成的二面角的大小．
（1）证明：
平面VAD ⊥平面ABCD
AB ⊥AD ⇒AB ⊥平面VAD AB ⊂平面ABCD
AD ＝平面VAD∩平面ABCD
（2）解：取VD 的中点E ，连结AE 、BE ．
∵△VAD 是正三角形，∴AE ⊥VD ，AE ＝
23AD ． ∵AB ⊥平面VAD ，∴AB ⊥AE ．
又由三垂线定理知BE ⊥VD ．
于是tan ∠AEB ＝AE
AB ＝332, 即得所求二面角的大小为arc tan
332 例4．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，四边形A 1ABB 1是菱形，四边形BCC 1B 1是矩形，AB ⊥BC ，CB ＝3，AB ＝4，∠A 1AB ＝60°. ⑴ 求证：平面CA 1B ⊥平面A 1ABB 1； ⑵ 求直线A 1C 与平面BCC 1B 1所成角的正切值；
(3) 求点C 1到平面A 1CB 的距离．
证( 1) 因为四边形BCC 1B 1是矩形，
又∵AB ⊥BC ，∴BC ⊥平面A 1ABB 1． C B D
F P A E B C
A
A 1
B 1
C 1 C B V
D
（2）过A 1作A 1D ⊥B 1B 于D ，连结DC ，
∵BC ⊥平面A 1ABB 1，∴BC ⊥A 1D ．
∴ A 1D ⊥平面BCC 1B 1，
故∠A 1CD 为直线A 1C 与平面BCC 1B 1所成的角，
在矩形BCC 1B 1中，DC ＝13，因为四边形A 1ABB 1是菱形．
∠A 1AB ＝60°，CB ＝3，AB ＝4，∴ A 1D ＝23
∴ tan ∠A 1CD ＝13
3921 CD D A ． （3）∵ B 1C 1∥BC ，∴B 1C 1∥平面A 1BC ．
∴ C 1到平面A 1BC 的距离即为B 1到平面A 1BC 的距离．
连结AB 1，AB 1与A 1B 交于点O ，∵四边形A 1ABB 1是菱形，∴B 1O ⊥A 1B ．
∵ 平面CA 1B ⊥平面A 1ABB 1，∴B 1O ⊥平面A 1BC ，
∴ B 1O 即为C 1到平面A 1BC 的距离．
∵B 1O ＝23 ∴ C 1到平面A 1BC 的距离为23．
变式训练4：如果在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是∠DAB ＝60°，且边长为a 的菱形，侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD ．
⑴ 若G 为AD 边的中点，求证BG ⊥平面PAD ； ⑵ 求证AD ⊥PB ；
⑶ 求二面角A －BC －P 的大小；
⑷ 若E 为BC 边的中点，能否在棱PC 上找到一点F ， 使平面DEF ⊥平面ABCD ，并证明你的结论．
略 (3) 45° (4) F 为PC 的中点
在证明两平面垂直时，一般方法是从现有的直线中寻找平面的垂线；若没有这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明，不能随意添加，在有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后再转化为线线垂直．“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”间的转化是解决这类问题的关键． A C B P G D。