两个平面垂直

两个平面垂直

1．两个平面垂直的定义：如果两个平面相交所成二面角为

二面角，则这两个平面互相垂直．

2．两个平面垂直的判定：如果一个平面 有一条直线 另一个平面，则这两个平面互相垂直．

3．两个平面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么一个平面 的垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面．

4．异面直线上两点间的距离公式：EF ＝θcos 2222mn n m d ±++，其中：d 是异面直线a 、b 的 ，θ为a 、b ，m 、n 分别是a 、b 上的点E 、F 到 AA'与a 、b 的交点A ，A'的距离．

例1 如图所示，在四面体S －ABC 中，SA ＝SB ＝SC ，∠ASB ＝∠ASC ＝60°，∠BSC ＝90°． 求证：平面ABC ⊥平面BSC ．

证明：略 变式训练1：如图，在三棱锥S －ABC 中，SA ⊥平面ABC ，平面SAB ⊥平面SBC ． ⑴ 求证：AB ⊥BC ；

⑵ 若设二面角S －BC －A 为45°， SA ＝BC ，求二面角A －SC －B 的大小．

证明：(1) 作AH ⊥SB 于H ，则AH ⊥平面SBC ∴AH ⊥BC ， 又SA ⊥BC ∴BC ⊥平面SAB ∴BC ⊥AB

(2) ∠SBA 是二面角S －BC －A 的平面角，∠SBA ＝45°，作AE ⊥SC 于E ，连结EH ，EH ⊥SC ，∠AEH 为所求二面角的平面角，∠AEH ＝60°

例2.在120°的二面角P －a －Q 的两个面P 和Q 内，分别有点A 和点B ，已知点A 和点B 到棱a 的距离分别是2和4，且线段AB ＝10，求：

(1) 直线AB 和棱a 所成的角；

(2) 直线AB 和平面Q 所成的角．

答案：(1) arc sin 57 (2) arc sin 10

3 变式训练2：已知四棱锥P －ABCD ，底面ABCD 是菱形，∠DAB ＝60°，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝AD ，点E 为AB 中点，点F 为PD 中点．

（1） 证明：平面PED ⊥平面PAB ；

（2） 求二面角P －AB －F 的平面角的余弦值．

（1）证明：连BD ．∵AB ＝AD ，∠DAB ＝60°，

∴△ADB 为等边三角形，∴E 是AB 中点．∴AB ⊥DE ，∵PD ⊥面ABCD ，AB ⊂面ABCD ，∴AB ⊥PD ．

∵DE ⊂面PED ，PD ⊂面PED ，DE∩PD ＝D ，

∴AB ⊥面PED ，∵AB ⊂面PAB ．∴面PED ⊥面PAB ．

C A S

D B A S

B C

（2）解：∵AB ⊥平面PED ，PE ⊂面PED ，∴AB ⊥PE ．连结EF ，∵ EF ⊂面PED ，∴AB ⊥EF ． ∴ ∠PEF 为二面角P －AB －F 的平面角．

设AD ＝2，那么PF ＝FD ＝1，DE ＝3．

在△PEF 中，PE ＝7，EF ＝2，PF ＝1

∴cos ∠PEF ＝14

757221

2)7(22=⨯-+ 即二面角P －AB －F 的平面角的余弦值为14

75． 例3.如图，四棱锥P －ABCD 的底面是矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是AB 、PD 的中点，又二面角P －CD －B 为45°． ⑴ 求证：AF ∥平面PEC ； ⑵ 求证：平面PEC ⊥平面PCD ；

⑶ 设AD ＝2，CD ＝22，求点A 到面PEC 的距离． 证明：(1) 取PC 的中点G ，易证EG ∥AF ，从而AF ∥平面PEC (2) 可证EG ⊥平面PCD

(3) 点A 到平面PEC 的距离即F 到平面PEC 的距离，考虑到平面PEC ⊥平面PCD ，过F 作FH ⊥PC 于Ｈ，则FH 即为所求，由△PFH ～△PCD 得FH ＝1

变式训练3：如图，在四棱锥V －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD ．

⑴ 证明：AB ⊥平面VAD ； ⑵ 求面VAD 与面VDB 所成的二面角的大小．

（1）证明：

平面VAD ⊥平面ABCD

AB ⊥AD ⇒AB ⊥平面VAD AB ⊂平面ABCD

AD ＝平面VAD∩平面ABCD

（2）解：取VD 的中点E ，连结AE 、BE ．

∵△VAD 是正三角形，∴AE ⊥VD ，AE ＝

23AD ． ∵AB ⊥平面VAD ，∴AB ⊥AE ．

又由三垂线定理知BE ⊥VD ．

于是tan ∠AEB ＝AE

AB ＝332, 即得所求二面角的大小为arc tan

332 例4．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，四边形A 1ABB 1是菱形，四边形BCC 1B 1是矩形，AB ⊥BC ，CB ＝3，AB ＝4，∠A 1AB ＝60°. ⑴ 求证：平面CA 1B ⊥平面A 1ABB 1； ⑵ 求直线A 1C 与平面BCC 1B 1所成角的正切值；

(3) 求点C 1到平面A 1CB 的距离．

证( 1) 因为四边形BCC 1B 1是矩形，

又∵AB ⊥BC ，∴BC ⊥平面A 1ABB 1． C B D

F P A E B C

A

A 1

B 1

C 1 C B V

D

（2）过A 1作A 1D ⊥B 1B 于D ，连结DC ，

∵BC ⊥平面A 1ABB 1，∴BC ⊥A 1D ．

∴ A 1D ⊥平面BCC 1B 1，

故∠A 1CD 为直线A 1C 与平面BCC 1B 1所成的角，

在矩形BCC 1B 1中，DC ＝13，因为四边形A 1ABB 1是菱形．

∠A 1AB ＝60°，CB ＝3，AB ＝4，∴ A 1D ＝23

∴ tan ∠A 1CD ＝13

3921 CD D A ． （3）∵ B 1C 1∥BC ，∴B 1C 1∥平面A 1BC ．

∴ C 1到平面A 1BC 的距离即为B 1到平面A 1BC 的距离．

连结AB 1，AB 1与A 1B 交于点O ，∵四边形A 1ABB 1是菱形，∴B 1O ⊥A 1B ．

∵ 平面CA 1B ⊥平面A 1ABB 1，∴B 1O ⊥平面A 1BC ，

∴ B 1O 即为C 1到平面A 1BC 的距离．

∵B 1O ＝23 ∴ C 1到平面A 1BC 的距离为23．

变式训练4：如果在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是∠DAB ＝60°，且边长为a 的菱形，侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD ．

⑴ 若G 为AD 边的中点，求证BG ⊥平面PAD ； ⑵ 求证AD ⊥PB ；

⑶ 求二面角A －BC －P 的大小；

⑷ 若E 为BC 边的中点，能否在棱PC 上找到一点F ， 使平面DEF ⊥平面ABCD ，并证明你的结论．

略 (3) 45° (4) F 为PC 的中点

在证明两平面垂直时，一般方法是从现有的直线中寻找平面的垂线；若没有这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明，不能随意添加，在有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后再转化为线线垂直．“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”间的转化是解决这类问题的关键． A C B P G D