两个平面垂直

1．两个平面垂直的定义：如果两个平面相交所成二面角为

二面角，则这两个平面互相垂直．

2．两个平面垂直的判定：如果一个平面有一条直线另一个平面，则这两个平面互相垂直．

3．两个平面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么一个平面的垂直于它们的的直线垂直于另一个平面．

4．异面直线上两点间的距离公式：EF ＝θcos 2222mn n m d ±++，其中：d 是异面直线a 、b 的，θ为a 、b ，m 、n 分别是a 、b 上的点E 、F 到 AA'与a 、b 的交点A ，A'的距离．

例1 如图所示，在四面体S －ABC 中，SA ＝SB ＝SC ，∠ASB ＝∠ASC ＝60°，∠BSC ＝90°．求证：平面ABC ⊥平面BSC ．

证明：略变式训练1：如图，在三棱锥S －ABC 中，SA ⊥平面ABC ，平面SAB ⊥平面SBC ． ⑴ 求证：AB ⊥BC ；

⑵ 若设二面角S －BC －A 为45°， SA ＝BC ，求二面角A －SC －B 的大小．

证明：(1) 作AH ⊥SB 于H ，则AH ⊥平面SBC ∴AH ⊥BC ，又SA ⊥BC ∴BC ⊥平面SAB ∴BC ⊥AB

(2) ∠SBA 是二面角S －BC －A 的平面角，∠SBA ＝45°，作AE ⊥SC 于E ，连结EH ，EH ⊥SC ，∠AEH 为所求二面角的平面角，∠AEH ＝60°

例2.在120°的二面角P －a －Q 的两个面P 和Q 内，分别有点A 和点B ，已知点A 和点B 到棱a 的距离分别是2和4，且线段AB ＝10，求：

(1) 直线AB 和棱a 所成的角；

(2) 直线AB 和平面Q 所成的角．

答案：(1) arc sin 57 (2) arc sin 10

3 变式训练2：已知四棱锥P －ABCD ，底面ABCD 是菱形，∠DAB ＝60°，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝AD ，点E 为AB 中点，点F 为PD 中点．

（1）证明：平面PED ⊥平面PAB ；

（2）求二面角P －AB －F 的平面角的余弦值．

（1）证明：连BD ．∵AB ＝AD ，∠DAB ＝60°，

∴△ADB 为等边三角形，∴E 是AB 中点．∴AB ⊥DE ，∵PD ⊥面ABCD ，AB ⊂面ABCD ，∴AB ⊥PD ．

∵DE ⊂面PED ，PD ⊂面PED ，DE∩PD ＝D ，

∴AB ⊥面PED ，∵AB ⊂面PAB ．∴面PED ⊥面PAB ．

C A S

D B A S

B C

（2）解：∵AB ⊥平面PED ，PE ⊂面PED ，∴AB ⊥PE ．连结EF ，∵ EF ⊂面PED ，∴AB ⊥EF ． ∴ ∠PEF 为二面角P －AB －F 的平面角．

设AD ＝2，那么PF ＝FD ＝1，DE ＝3．

在△PEF 中，PE ＝7，EF ＝2，PF ＝1

∴cos ∠PEF ＝14

757221

2)7(22=⨯-+ 即二面角P －AB －F 的平面角的余弦值为14

75．例3.如图，四棱锥P －ABCD 的底面是矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是AB 、PD 的中点，又二面角P －CD －B 为45°． ⑴ 求证：AF ∥平面PEC ； ⑵ 求证：平面PEC ⊥平面PCD ；

⑶ 设AD ＝2，CD ＝22，求点A 到面PEC 的距离．证明：(1) 取PC 的中点G ，易证EG ∥AF ，从而AF ∥平面PEC (2) 可证EG ⊥平面PCD

(3) 点A 到平面PEC 的距离即F 到平面PEC 的距离，考虑到平面PEC ⊥平面PCD ，过F 作FH ⊥PC 于Ｈ，则FH 即为所求，由△PFH ～△PCD 得FH ＝1

变式训练3：如图，在四棱锥V －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD ．

⑴ 证明：AB ⊥平面VAD ； ⑵ 求面VAD 与面VDB 所成的二面角的大小．

（1）证明：

平面VAD ⊥平面ABCD

AB ⊥AD ⇒AB ⊥平面VAD AB ⊂平面ABCD

AD ＝平面VAD∩平面ABCD

（2）解：取VD 的中点E ，连结AE 、BE ．

∵△VAD 是正三角形，∴AE ⊥VD ，AE ＝

23AD ． ∵AB ⊥平面VAD ，∴AB ⊥AE ．

又由三垂线定理知BE ⊥VD ．

于是tan ∠AEB ＝AE

AB ＝332, 即得所求二面角的大小为arc tan

332 例4．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，四边形A 1ABB 1是菱形，四边形BCC 1B 1是矩形，AB ⊥BC ，CB ＝3，AB ＝4，∠A 1AB ＝60°. ⑴ 求证：平面CA 1B ⊥平面A 1ABB 1； ⑵ 求直线A 1C 与平面BCC 1B 1所成角的正切值；

(3) 求点C 1到平面A 1CB 的距离．

证( 1) 因为四边形BCC 1B 1是矩形，

又∵AB ⊥BC ，∴BC ⊥平面A 1ABB 1． C B D

F P A E B C

A 1

B 1

C 1 C B V

（2）过A 1作A 1D ⊥B 1B 于D ，连结DC ，

∵BC ⊥平面A 1ABB 1，∴BC ⊥A 1D ．

∴ A 1D ⊥平面BCC 1B 1，

故∠A 1CD 为直线A 1C 与平面BCC 1B 1所成的角，

在矩形BCC 1B 1中，DC ＝13，因为四边形A 1ABB 1是菱形．

∠A 1AB ＝60°，CB ＝3，AB ＝4，∴ A 1D ＝23

∴ tan ∠A 1CD ＝13

3921 CD D A ．（3）∵ B 1C 1∥BC ，∴B 1C 1∥平面A 1BC ．

∴ C 1到平面A 1BC 的距离即为B 1到平面A 1BC 的距离．

连结AB 1，AB 1与A 1B 交于点O ，∵四边形A 1ABB 1是菱形，∴B 1O ⊥A 1B ．

∵ 平面CA 1B ⊥平面A 1ABB 1，∴B 1O ⊥平面A 1BC ，

∴ B 1O 即为C 1到平面A 1BC 的距离．

∵B 1O ＝23 ∴ C 1到平面A 1BC 的距离为23．

变式训练4：如果在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是∠DAB ＝60°，且边长为a 的菱形，侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD ．

⑴ 若G 为AD 边的中点，求证BG ⊥平面PAD ； ⑵ 求证AD ⊥PB ；

⑶ 求二面角A －BC －P 的大小；

⑷ 若E 为BC 边的中点，能否在棱PC 上找到一点F ，使平面DEF ⊥平面ABCD ，并证明你的结论．

略 (3) 45° (4) F 为PC 的中点

在证明两平面垂直时，一般方法是从现有的直线中寻找平面的垂线；若没有这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明，不能随意添加，在有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后再转化为线线垂直．“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”间的转化是解决这类问题的关键． A C B P G D

证明两个平面垂直的条件

证明两个平面垂直的条件证明两个平面垂直的条件在空间几何中，平面是一个基本的概念。平面由无数个点组成，可以用向量、点、法线等多种方式表示。平面可以相互平行、相互垂直，这些关系都有着重要的意义。本文将探讨一下如何证明两个平面垂直的条件。一、两个平面垂直的定义在空间几何中，两个平面垂直可以解释为：两个平面的法线互相垂直。即两个平面所包含的直线互相垂直，则可称之为两个平面垂直。这是飞利浦公理中的基本假设之一。需要注意的是，两个不平行的平面可能会形成一条直线，这条直线称为二者的交线。如果两个平面的交线和两个平面的法线之一垂直，我们认为这两个平面垂直。二、垂直平面的性质 1.相互平行的平面垂直于同一直线如果两个平面相互平行，则垂直于其中一面的法线同时也会垂直于第二个平面，因此这两个平面垂直于同一条直线。 2.连接两个平面交线上任意一点的直线垂直于两个平面

当两个不平行的平面相交时，它们会在一条直线上相遇。我们可以通过连接这个交线上的任意一个点，然后确定一个垂直于两个平面的向量，这个向量同时也是这个点的法线。如果这个向量垂直于直线，则两个平面垂直。三、证明两个平面垂直的条件 1.使用向量去证明两个平面垂直，则它们的法线也垂直。我们可以通过向量的点积计算它们的法线是否垂直。设两个平面的法线分别为 a 和 b ，则两个平面垂直的条件为： a·b=0 其中，·表示向量的点积。例如，已知平面 P ：ax+by+cz=d 和平面 Q ： lx+my+nz=p ，它们的法线向量分别为 a =(a,b,c) 和 b =(l,m,n)。这两个向量垂直当且仅当： a·b=0 即 a·b=al+bm+cn=0 这是一个简单的线性方程组，可以运用高中代数的方法解出。如果解出的结果为 0 ，那么两个平面垂直。 2.使用距离公式去证明另一种证明两个平面垂直的方法是采用距离公式。首先，我们可以定义两个平面分别为 P ：ax+by+cz=d 和

两个平面垂直

两个平面垂直 1．两个平面垂直的定义：如果两个平面相交所成二面角为二面角，则这两个平面互相垂直． 2．两个平面垂直的判定：如果一个平面有一条直线另一个平面，则这两个平面互相垂直． 3．两个平面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么一个平面的垂直于它们的的直线垂直于另一个平面． 4．异面直线上两点间的距离公式：EF ＝θcos 2222mn n m d ±++，其中：d 是异面直线a 、b 的，θ为a 、b ，m 、n 分别是a 、b 上的点E 、F 到 AA'与a 、b 的交点A ，A'的距离．例1 如图所示，在四面体S －ABC 中，SA ＝SB ＝SC ，∠ASB ＝∠ASC ＝60°，∠BSC ＝90°．求证：平面ABC ⊥平面BSC ．证明：略变式训练1：如图，在三棱锥S －ABC 中，SA ⊥平面ABC ，平面SAB ⊥平面SBC ． ⑴ 求证：AB ⊥BC ； ⑵ 若设二面角S －BC －A 为45°， SA ＝BC ，求二面角A －SC －B 的大小．证明：(1) 作AH ⊥SB 于H ，则AH ⊥平面SBC ∴AH ⊥BC ，又SA ⊥BC ∴BC ⊥平面SAB ∴BC ⊥AB (2) ∠SBA 是二面角S －BC －A 的平面角，∠SBA ＝45°，作AE ⊥SC 于E ，连结EH ，EH ⊥SC ，∠AEH 为所求二面角的平面角，∠AEH ＝60° 例2.在120°的二面角P －a －Q 的两个面P 和Q 内，分别有点A 和点B ，已知点A 和点B 到棱a 的距离分别是2和4，且线段AB ＝10，求： (1) 直线AB 和棱a 所成的角； (2) 直线AB 和平面Q 所成的角．答案：(1) arc sin 57 (2) arc sin 10 3 变式训练2：已知四棱锥P －ABCD ，底面ABCD 是菱形，∠DAB ＝60°，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝AD ，点E 为AB 中点，点F 为PD 中点．（1）证明：平面PED ⊥平面PAB ；（2）求二面角P －AB －F 的平面角的余弦值．（1）证明：连BD ．∵AB ＝AD ，∠DAB ＝60°， ∴△ADB 为等边三角形，∴E 是AB 中点．∴AB ⊥DE ，∵PD ⊥面ABCD ，AB ⊂面ABCD ，∴AB ⊥PD ． ∵DE ⊂面PED ，PD ⊂面PED ，DE∩PD ＝D ， ∴AB ⊥面PED ，∵AB ⊂面PAB ．∴面PED ⊥面PAB ． C A S D B A S B C

两个平面垂直的判定方法

★两个平面垂直的判定方法： ⒈定义（证明二面角为直二面角） ⒉判定定理：.,βαβα⊥?⊥?a a ※ ⒊向量法：※ ⑴.00,,βααβ⊥???? ????=?=?=???A b a b a c （可 ⑵设21,n n 分别是平面βα、的一个法向量，则.02121βα⊥?=??⊥n n n n （建系） 1、如图，已知四棱锥PABCD 的底面为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，垂足为H ，PH 是四棱锥的高．证明：平面PAC ⊥平面PBD ； 2.如图所示，已知PA ⊥⊙O 所在平面，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上任意一点，过A 作AE ⊥PC 于点E ，AF ⊥PB 于点F . 求证：(1)AE ⊥平面PBC ；(2)面PAC ⊥面PBC ；(3)PB ⊥EF . 3.如图所示，在四棱锥PABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD (只要填写一个你认为是正确的条件即可)．

4. (文)如图，棱柱ABC－A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B. (1)证明：平面AB1C⊥平面A1BC1； (2)设D是A1C1上的点，且A1B∥平面B1CD，求A1D DC1的值． 5.(理)已知正三棱柱ABC－A1B1C1，若过AB1与BC1平行的平面交上底面A1B1C1的边A1C1于点D. (1)确定D的位置，并证明你的结论； (2)证明：平面AB1D⊥平面AA1D.

6．如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ∥AB ，△ACD 是正三角形，AD ＝DE ＝2AB ，且F 是CD 的中点． (1)求证：AF ∥平面BCE ； (2)求证：平面BCE ⊥平面CDE . 7.(理)在三棱锥P －ABC 中，△P AC 和△PBC 是边长为2的等边三角形，AB ＝2，O 是AB 中点． (1)在棱P A 上求一点M ，使得OM ∥平面PBC ； (2)求证：平面P AB ⊥平面ABC ； 1．设l 、m 、n 均为直线，其中m 、n 在平面α内，则“l ⊥α”是“l ⊥m 且l ⊥n ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 2.设m 、n 是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给定下列四个命题，其中为真命题的是( ) ① ?????m ⊥n n ?α?m ⊥α ② ???? ?a ⊥αa ?β?α⊥β ③ ???? ?m ⊥αn ⊥α?m ∥n ④ ? ??? ? m ?αn ?βα∥β?m ∥n A ．①和② B ．②和③ C ．③和④ D ．①和④

平面与平面垂直的判定定理

2023年度：平面与平面垂直的判定定理一、定义在三维空间中，如果两个平面之间的夹角为90度，则称这两个平面是垂直的。二、定理两个平面垂直的充分必要条件是：它们的法向量互相垂直。证明：设两个平面分别为平面P1和平面P2，它们的法向量分别为n1和n2，夹角为α。则有： cosα = n1·n2 / |n1||n2| 其中，·表示向量的点积，|n1|和|n2|表示向量n1和n2的模。当两个平面垂直时，α=90°，则有：

cos90°=0 即： n1·n2 = 0 即两个平面的法向量互相垂直。反之，若两个平面的法向量互相垂直，则有：n1·n2 = 0 即： cosα = n1·n2 / |n1||n2| = 0 / (|n1||n2|) = 0 即两个平面的夹角为90度，证毕。三、应用该定理可以用来解决以下问题：

1. 判断两个平面是否垂直。给定两个平面的法向量，在计算它们的点积和模的前提下，判断它们是否垂直即可。 2. 求两个平面的交线。对于两个不相交的平面，它们的交线可以通过它们的法向量和一个公共点求解得到。 3. 求一个平面在另一个平面上的投影。将需要投影的平面的法向量沿着另一个平面的法向量分解，得到该平面在另一个平面上的投影向量。 4. 计算两个平面的夹角。给定两个平面的法向量，在计算它们的点积和模的前提下，计算它们的夹角即可。总结

1. 本文档所涉及简要注释如下： - 平面：指在三维空间中，由无数个相互平行的直线组成的集合。 - 夹角：指两条直线或两个平面之间的夹角。 - 法向量：指垂直于平面的向量，其长度等于平面到原点的距离。 2. 本文档所涉及的法律名词及注释： - 三维空间：指以任意三个互不共线的点为基准点所构成的空间。 - 点积：指向量的数量积，是指两个向量对应分量的乘积之和。 - 模：指向量的长度，是指向量末尾点到原点的距离。 - 公共点：指两个平面的交线上的任意一个点。 3. 本文档执行过程中可能出现的纠纷问题及解决方案： 1. 如何处理平面法向量计算错误的问题？解决方案：应当检查计算步骤是否正确，如有必要可以请数学专业人员协助。 2. 如何处理平面的法向量不唯一的问题？解决方案：应当通过平面上的一些确定点来求解法向量，确保法向量的唯一性。 3. 如何处理平面交线不存在的问题？解决方案：如果两个平面不相交，则它们没有交线。 4. 如何处理平面交线无限延长的问题？

线线垂直、线面垂直、面面垂直判定和性质

空间中的垂直关系 1．线面垂直直线与平面垂直的判断定理：假如，那么这条直线垂直于这个平面。推理模式：直线和平面垂直的性质定理：假如两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线。 2．面面垂直两个平面垂直的定义：订交成的两个平面叫做相互垂直的平面。两平面垂直的判断定理：（线面垂直面面垂直）假如，那么这两个平面相互垂直。推理模式：两平面垂直的性质定理：（面面垂直线面垂直）若两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们的的直线垂直于另一个平面。一般来说，线线垂直或面面垂直都可转变为线面垂直来剖析解决，其关系为：线线垂直判断判断线面垂直面面垂直．这三者之间的关系特别亲密，性质性质能够相互转变，以前面推出后边是判断定理，而从后边推出前面是性质定理．同学们应该学会灵巧应用这些定理证明问题．在空间图形中，高一级的垂直关系中包含着低一级的垂直关系，下边举例说明．

例题： 1．如图， AB 是圆 O 的直径， C 是圆周上一点， PA⊥平面 ABC．（1）求证：平面 PAC⊥平面 PBC；（2）若 D 也是圆周上一点，且与 C 分居直径 AB 的双侧，试写出图中全部相互垂直的各对平面． 2、如图，棱柱ABC A 1 BC 11 的侧面 BCC 1 B 1 是菱形，B1C A1B 证明：平面 AB1C平面 A1 BC1 3、如下图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点（Ⅰ）求异面直线A1M 和 C1D1所成的角的正切值；（Ⅱ）证明：平面ABM⊥平面 A1B1M 1

4、如图，AB是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA平面 ABC．若 AE⊥ PC ，Ｅ为垂足，Ｆ是 PB 上随意一点，求证：平面 AEF⊥平面 PBC． 5、如图，直三棱柱 ABC— A1B1C1中，AC ＝ BC ＝1，∠ACB ＝ 90°，AA1＝2 ， D是 A1B1中点．（ 1）求证 C1D ⊥平面 A1B ；（2）当点 F 在 BB1上什么地点时，会使得 AB1⊥平面 C1DF 并证明你的结论

两平面垂直证明方法(一)

两平面垂直证明方法(一) 两平面垂直证明方法介绍在几何学中，我们经常需要证明两个平面是否垂直。本文将详细说明几种常见的证明方法，帮助读者更好地理解和应用这一概念。方法一：垂直线段证明法 1.过平面A和平面B分别做一条垂直线段AB和CD。 2.假设在AB上任取一点E，在CD上任取一点F。 3.利用平面A垂直于线段AE和平面B垂直于线段CF的性质，得到线段AE与线段CF平行。 4.根据平行线性质，得到平面A与平面B垂直。方法二：法线证明法 1.过平面A和平面B分别作一条法线。 2.根据垂直的定义，法线与平面上的任意一条线段垂直。 3.因此，平面A和平面B的法线垂直，即平面A与平面B垂直。方法三：向量证明法 1.找出平面A和平面B的法方程。

2.根据向量的定义，垂直向量的数量积为零。 3.将平面A和平面B的法方程转化为向量形式，求出向量的数量积。 4.若向量的数量积为零，则平面A与平面B垂直。方法四：斜率证明法 1.分别找出平面A和平面B上两条直线的斜率。 2.如果两条直线的斜率乘积为-1，则这两个平面是垂直的。 3.根据两条直线的斜率乘积是否为-1，判断平面A与平面B是否垂直。方法五：三点共线证明法 1.在平面A上选择三个不共线的点，分别记为A、B、C。 2.若平面B上有一条直线通过点A、B、C，则平面A与平面B垂直。 3.通过判断点A、B、C是否共线，确定平面B上是否有一条直线通过这三点，从而证明平面A与平面B垂直。方法六：平行线夹角证明法 1.找出平面A和平面B上两条平行线。 2.通过利用平行线夹角定理，求出两条平行线的夹角。 3.若两条平行线的夹角为90度，则平面A与平面B垂直。 4.根据夹角是否为90度，判断平面A与平面B是否垂直。

面面垂直的判定5个条件

面面垂直的判定5个条件一、引言在几何学中，垂直是一个重要的概念。当平面或直线与另一平面或直线垂直时，它们被称为面面垂直或线面垂直。面面垂直的判断条件可以帮助我们解决几何学问题，并深入理解空间中不同几何对象之间的关系。二、面面垂直的定义面面垂直是指两个平面之间的垂直关系。当两个平面的法线向量垂直时，这两个平面被认为是面面垂直的。两个平面的法线向量的点积为0时，即可判定两个平面垂直。三、面面垂直的判定条件判定两个平面是否面面垂直，我们可以根据以下五个条件进行判断： 1.条件一：两个平面互相垂直的法线向量 –按一定方法找出两个平面的法线向量； –计算两个法线向量之间的点积； –若点积为0，则两个平面面面垂直。 2.条件二：直线与平面垂直的法线向量 –首先找出直线上的两个点； –找出直线的方向向量； –找出所给平面的法线向量； –计算直线的方向向量和平面的法线向量的点积； –若点积为0，则直线与平面垂直。 3.条件三：两个平面的法线与直线垂直 –首先找出直线上的一点； –找出直线的方向向量； –找出两个平面的法线向量； –分别计算直线的方向向量和两个平面法线向量的点积； –若两个点积都为0，则两个平面的法线与直线垂直。 4.条件四：两个平面的夹角为直角

–找出两个平面的法线向量； –计算两个法线向量的点积； –若点积为0，则两个平面的夹角为直角。 5.条件五：两个垂直平面的公共直线 –找出两个平面的法线向量； –求解两个法线向量的向量积，得到一条直线； –若该直线与两个平面都相交，则该直线为两个平面的公共直线，两个平面是垂直的。四、面面垂直的应用举例面面垂直的判断条件在几何学中有广泛的应用。下面将举例说明面面垂直的应用场景： 1.平面几何中的垂足定理在平面直角坐标系中，平面上的一个点到直线的距离最短当且仅当从该点到直线上的垂线段垂直于直线。 2.空间几何中的曲面垂直在三维空间中，两个曲面在某一点处的法线向量垂直，可以判定这两个曲面在该点处垂直。例如，球面和切平面在切点处垂直。 3.物理学中的力分析在物理学中，垂直方向的力可以分解为水平和垂直的力。通过判断两个力的方向是否垂直，可以更好地分析力的作用效果。 4.工程学中的三维模型重叠检测在工程学中，判定两个三维模型是否重叠是一个重要的问题。通过对两个模型的各个面进行面面垂直的判断，可以快速而准确地检测模型是否存在重叠。结论面面垂直是几何学中的一个重要概念，通过判定两个平面是否垂直，我们可以解决许多几何学问题。使用面面垂直的判定条件，我们可以确定平面与平面、直线与平面、平面与直线、平面与曲面之间的垂直关系。面面垂直的判断条件在几何学、物理学和工程学等领域都有广泛的应用。通过深入理解面面垂直的概念和判定条件，我们可以更好地解决几何学问题，并且应用到实际生活中的工程和物理问题中。

面面垂直的判定5个条件

面面垂直的判定5个条件面面垂直是指两个平面彼此垂直，也就是它们的法线方向互相垂直。在建筑、机械制造、航空航天等领域，面面垂直的判定非常重要。下面将介绍5个判定条件。一、定义在三维空间中，两个平面的法线方向互相垂直时，这两个平面就是 “面面垂直”的。如果两个平面之间的夹角不为90度，则它们不是“面面垂直”的。二、判定方法 1. 三点法取两个平面上各选三个点，然后计算出这些点所在的平面的法线向量。如果这两个法线向量互相垂直，则这两个平面是“面面垂直”的。 2. 点线法取一个平面上一点和另一个平面上一条与该点相交的直线，并计算出

它们所在的平面的法线向量。如果这两个法线向量互相垂直，则这两个平面是“面面垂直”的。 3. 线线法取一个平面上一条与另一个平面相交的直线和另一个平面上一条与该直线相交的直线，并计算出它们所在的平面的法线向量。如果这两个法线向量互相垂直，则这两个平面是“面面垂直”的。三、判定条件 1. 平面的法线方向在进行“面面垂直”的判定时，需要先计算出每个平面的法线方向。这可以通过平面上的三个点或一条直线和一个点来计算得到。 2. 法线向量的内积当两个法线向量互相垂直时，它们的内积为0。因此，在判定“面面垂直”时，需要计算出两个平面法线向量的内积，并判断其是否为0。 3. 夹角

如果两个平面之间的夹角不为90度，则它们不是“面面垂直”的。因此，在判定时需要计算出两个平面之间的夹角，并判断其是否为90度。 4. 线段长度在进行点线法和线线法判定时，需要先计算出相交的线段长度。如果长度为0，则无法进行“面面垂直”的判定。 5. 计算精度在进行计算时，需要注意精度问题，避免由于浮点数运算误差导致错误结果。四、应用领域 1. 建筑设计：在建筑设计中，需要保证墙壁、地板、天花板等构件之间的垂直关系，以确保建筑物的结构稳定和美观。 2. 机械制造：在机械制造中，需要保证零件之间的垂直关系，以确保机器的正常运转和精度。 3. 航空航天：在航空航天领域中，需要保证飞行器各部分之间的垂直关系，以确保飞行器的稳定性和安全性。

两个平面垂直的判定和性质

两个平面垂直的判定和性质一、内容提要 1. 二面角 (1) 两个平面平行时，可以用它们的距离来表达这两个平面的位置关系．两个平面相交时，和空间直线所成角的概念类似，要将“空间”转化为“平面”，用平面的角来反映空间两个相交平面的位置关系． (2) 为了能用一个确定的平面的角来表示一个二面角的大小，引进了二面角的平面角这一概念．二面角的平面角的顶点必须在二面角的棱上；二面角的平面角的两边必须既分别在两个半平面内，又必须和二面角的棱垂直． (3) 二面角及它的平面角的画法根据其棱方向的不同，通常有以下三种画法：画二面角的平面角时，其两边应当和表示半平面的平行四边形的一条边平行． 2. 两个平面垂直的定义及判定两个平面垂直是以它们相交形成的二面角来定义的．判定两个平面垂直的方法有两种：①根据定义，两个平面相交，它们所形成的二面角是直二面角，通常先作出二面角的平面角，再证明二面角的平面角是直角；②根据判定定理，证明一个平面过另一个平面的一条垂线，即把面面垂直问题化归为线面垂直问题．这个定理可简记为"线面垂直，面面垂直 3. 两个平面垂直的性质两个平面互相垂直时有下面两个性质：①在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面；②经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内. 1．二面角的概念是平面几何中的角的概念的扩展，学习时可对照平面几何中的角去理解。

平面几何中可以把角理解为是一个旋转量，同样一个二面角也可以看作是一个半平面以其棱为轴旋转而成的 2．二面角的平面角，则是用来刻划二面角大小的一个概念。它和两条异面直线所成的角以及直线和平面所成的角一样，都化归为平面内两条相交直线所成的角来表示。但必须注意二面角的平面角所在平面应垂直于二面角的棱，二面角的平面角的两条边分别在二面角的两个面内。而二面角的平面角的大小是由二面角的两个面的相互位置所确定的，与二面角的平面角的顶点在棱a上的位置无关。 3．计算二面角大小的方法（1）作二面角的平面角，并将其放在一个三角形中，解三角形求出二面角的平面角大小，它就是二面角的大小。作二面角的平面角常用下列三种方法： ①用定义作二面角的平面角—在棱上取一点，分别在两个面内作棱的垂线，这两条射线组成二面角的平面角。利用定义作二面角的平面角，关键在于找棱及棱上的特殊点。学习时要特别注意平移和补形方法的灵活运用。 ②用三垂线定理作二面角的平面角—从二面角的一个面内选一个特殊点A，由A向另一个平面作垂线垂足为B，再由B向棱作垂线交棱于C，连结AC，则∠ACB就是二面角的平面角。利用三垂线定理（逆定理）作二面角的平面角是最常用的方法，它是通过二面角一个面上的点向另一个面（基面）作垂线（主垂线）的办法来实现的，因此选好基面，再作主垂线，主垂线是解题的关键。 ③用垂面法作二面角的平面角—作垂直于二面角的棱或二面角两个半平面的垂面，则该垂面与二面角两个半平面交线所成的角就是二面角的平面角。（2）面积法—如果一个多边形在一个平面内的射影是一个多边形，且这两个多边形所在平面所成的二面角为θ，则。总之，二面角是立体几何中的一个重要概念，二面角的大小用它的平面角来度量。求二个平面所成的二面角，就要利用转化的思想，进行降维，合理、恰当地选择上述三种方法之一构造二面角的平面角，然后利用余弦定理、正弦定理、勾股定理、三角知识，求二面角的平面角4．两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情况。若两个相交平面所成二面角是直二面角，则称这两个平面互相垂直。它和平面几何中两条直线互相垂直的概念类似。 5．证明平面与平面垂直的方法：（1）利用定义：证明二面角的平面角为直角；（2）利用“面面垂直”判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。简述为：“若线面垂直，则面面垂直”。 6．平面与平面垂直的性质：（1）两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。简述为：“若面面垂直，则线面垂直”。（2）如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内。此性质可以作为面面垂直的性质定理直接应用 7．“面面垂直”的判定定理和性质定理和“线面垂直”的判定定理和性质定理有密切联系，若注意到这一联系，则既可加深对垂直关系概念的系统理解，又可加强对有垂直关系的有关定理之间的内在联系的认识。 8．两条异面直线上任意两点间的距离公式：。它在推导过程中解决了下列三个问题：（1）两条异面直线的公垂线的存在性；（2）证明了两条异面直线的距离是异面直线上任意两点的距离中最小者；（3）两条异面直线，总分别存在于两个互相垂直的平面内。应用这个公式，也可以解决分别在二面角的两个面内两点的距离问题，以及求二面角的大小问题。此公式不必记忆。三、例题分析 [例1]如图，PC⊥平面ABC，AB＝BC=CA＝PC，求二面角B－PA－C的平面角的正切值．

高三数学复习两个平面垂直

9.5两个平面垂直【教学目标】掌握两平面垂直的判定和性质，并用以解决有关问题. 【知识梳理】 1．定义两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．重要提示 1．两个平面垂直的性质定理，即：“如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面”是作点到平面距离的依据，要过平面外一点P作平面α的垂线，通常是先作(找)一个过点P并且和α垂直的平面β，设β α=l，在β内作直线a⊥l，则a⊥α．2．三种垂直关系的证明 (1)线线垂直的证明 ①利用“两条平行直线中的一条和第三条直线垂直，那么另一条也和第三条直线垂直”； ②利用“线面垂直的定义”，即由“线面垂直⇒线线垂直”； ③利用“三垂线定理或三垂线定理的逆定理”． (2)线面垂直的证明 ①利用“线面垂直的判定定理”，即由“线线垂直⇒线面垂直”； ②利用“如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面”； ③利用“面面垂直的性质定理”，即由“面面垂直⇒线面垂直”； ④利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面”. (3)面面垂直的证明 ①利用“面面垂直的定义”，即证“两平面所成的二面角是直二面角； ②利用“面面垂直的判定定理”，即由“线面垂直⇒面面垂直”. 【点击双基】 1、在三棱锥A-BCD中，若AD⊥BC,BD⊥AD,⊿BCD是锐角三角形，那么必有……（） A、平面ABD⊥平面ADC B、平面ABD⊥平面ABC

C B E H A S m A P n B α a γ β C 、平面ADC ⊥平面BCD D 、平面ABC ⊥平面BCD 2、直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠ACB=900,AC=AA 1=a ，则点A 到平面A 1BC 的距离是（） A 、a B 、 2 a C 、 2 2 a D 、 3 a 3、设两个平面α、β，直线l ，下列三个条件：① l ⊥α; ② l ∥β;③α⊥β,若以其中两个作为前提，另一个作为结论，则可构成三个命题，这三个命题中正确的个数是（） A 、3 B 、2 C 、 1 D 、 0 4、在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，截面A 1BD 与底面ABCD 所成的二面角A 1-BD-A 的正切值为。 5、夹在互相垂直的两个平面之间长为2a 的线段＆这两个平面所成的角分别是450和300，过这条线段的两个端点分别向这两个平面的交线作垂线，则两垂足间的距离为。【典例剖析】例1．如果β⊥α，γ⊥α，β γ=a ，那么a ⊥α．证明：如图，设β α=m ，γ α=n ，在平面α内任取一点P (P ∉m ,P ∉n )，过P 作P A ⊥m 于A ，作PB ⊥n 于B ， ∵α⊥β，α⊥γ，∴P A ⊥β，PB ⊥γ． ∵β γ=a ，∴a ⊂β，a ⊂γ，∴P A ⊥a ，PB ⊥a ． P A 、PB 是平面α内的两条相交直线．∴a ⊥平面α．【例2书】如图，过S 引三条长度相等但不共面的线段SA 、SB 、SC ，且∠SSB=∠ASC=600, ∠BSC=900,求证：平面ABC ⊥平面BSC 。【例3书】如图，在三棱锥S-ABC 中，SA ⊥平面ABC ，平面SAB ⊥平面SBC ，（1）求证：AB ⊥BC; （2）若设二面角S-BC-A 为450，SA=BC,求两面角S-SC-B 的大小。【例4书】已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若过面对角线AB 1与另一面对角线BC 1平行的平面交上底面A 1B 1C 1的一边A1C1于点D ，（1）确定D 的位置，并证明你的结论；（2）证明：平面AB 1D ⊥平面AA 1D ; （3）若AB ：AA 1= 2 ,求平面AB 1D 与平面AB 1A 1所成的角的大小。补：例5．由一点S 引不共面的三条射线SA 、SB 、SC ，设∠ASB =α，∠BSC =β，∠ASC =γ，其中α，β，γ均为锐角，则平面ASB ⊥平面BSC 的充要条件是 A B O C S C 1 A 1 B C A B 1

两个平面垂直的判定定理

两个平面垂直的判定定理在向量空间中，如果a，b两个平面两两垂直，那么a，b两个平面对应的法向量n1，n2正交，则称a，b两个平面垂直是满足的。定理：令a，b两个平面的法向量分别为n1，n2，则a，b两个平面垂直的充分必要条件是n1n2=0. 证明：设a，b两个平面垂直，则a，b两个平面对应的法向量n1，n2正交。取a，b两个法向量n1，n2任意一组，据定理可知，n1n2=0，即可证明a，b两个平面垂直。反之，设n1n2=0，则n1，n2两个向量无法构建一个正交系统，因此n1，n2不能构成正交标准基；而正交标准基是构建空间的基本单位，因此不存在两个平面两两垂直，从而证明n1n2=0是a，b两个平面垂直的充分必要条件。综上所述，故以上结论成立，两个平面垂直的判定定理正确。扩展：根据以上两个平面垂直的判定定理，可以进行多维空间中任意平面垂直的判定，平行的判定和平面的->.定。在多维空间中，例如三维空间中，若x，y两个平面垂直，则前提条件必须满足的是：平面的法向量x，y满足n1n2=0。若两个平面x，y平行，则n1=kn2，其中k是不等于零的实数，

这里n1，n2分别为平面x，y的法向量。若 x，y 两个平面平行且垂直于 z面，则 n1n2=0且 n1n3（n3为z平面的法向量）=0。由此可见，通过求解平面的法向量点积，可以确定几个平面之间的垂直或平行关系，从而验证多维空间中任意两个平面垂直的判定定理。结论：以《两个平面垂直的判定定理》为标题，本文研究了该定理的定义与证明，并且讨论了该定理在多维空间中的广泛运用。综上所述，两个平面垂直的判定定理正确。

两个平面垂直问题例析

两个平面垂直问题例析两个平面垂直问题是直线与平面的重要内容．（1）平面与平面垂直定义如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．（2）平面与平面垂直的判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．此定理表明：欲证平面与平面垂直可转化为证线面垂直．（3）线面平行与垂直的关系若直线a ⊥平面β，直线a ∥平面α，则平面α⊥平面β．（4）面面平行与垂直的关系若平面α∥平面β，平面α⊥平面γ，则平面β⊥平面γ．线线垂直、线面垂直、面面垂直这三者之间的关系非常密切，可以相互转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理，应当灵活应用这些定理证明问题．例 1 如图1，ABC △为正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD CE ∥，且2CE CA BD ==，M 是EA 的中点，求证：（1）DE DA =；（2）平面BDM ⊥平面ECA ；（3）平面DEA ⊥平面ECA ．分析：（1）要证明DE DA =，只须证明Rt Rt DFE DBA △≌△；（2）注意M 为EA 的中点，可取CA 的中点N ，先证明N 点在平面BDM 内，再证明平面BDMN 经过平面ECA 的一条垂线即可；（3）只需证明平面DEA 经过平面ECA 的一条垂线即可．证明：（1）取EC 的中点F ，连结DF ， ∵EC BC ⊥，易知DF BC ∥， ∴DF EC ⊥．在Rt DFE △和Rt DBA △中， ∵12 EF EC BD = =，FD BC AB ==， ∴Rt Rt DFE DBA △≌△．故DE DA =．（2）取CA 的中点N ，连结MN BN ，，则12 MN EC ∥． ∴MN BD ∥，即N 点在平面BDM 内．

两个平面垂直的判定和性质

两个平面垂直的判定和性质知识要点 1．二面角是立体几何中一个重要概念．同时也是一个难点，求二面角的大小可以转化为求二面角的平面角的大小、平面角的确定与求法通常有直接法和公式法等，其中直接法包括定义法、垂面法和三垂线定理等．公式法是运用异面直线上任两点距离公式和面积射影公式等．对于二面角的平面角的画法，在解题时应当根据具体情况适当选用． 2.异面直线上任意两点间的距离公式，不仅可用于求值，还可用于证明两条异面直线问的距离是异面直线上两点距离中最小的．在公式的推导过程中还解决了如下问题： (1)两条异面直线公垂线的存在性； (2)证明了两条异面直线间的距离是异面直线上任意两点的距离中的最小值； (3)两条异面直线总分别存在于两个互相垂直的平面内．同时应用这个公式，也可以解决分别在二面角的两平面内两点的距离间题，以及求二面角的大小问题．典型题目分析例1．正方体中，E、F、G是A1A、CD、BC的中点。求证：平面BEF⊥平面DGC1。分析：确定EF在平面D1DCC1和ABCD上的射影，通过射影与DC1和DG的垂直，证明EF 分别与DC1和DG垂直，从而推证EF⊥平面DGC1，即可证明平面DEF⊥平面DGC1。证明：取D1D中点H，连结EH、HF。在正方体ABCD-A1B1C1D1中， ∵E、H、F是A1A、D1D、DC中点，∴EH⊥平面D1DCC1，HF⊥DC1。 ∵HF是EF在面D1DCC1上的射影，∴EF⊥DC1。连结AF，在ΔADF和ΔDCG中AD=DC，∠ADF=∠DCG=90°， ∵G是BC中点，∴DF=GC，∴ΔADF≌ΔDCG，∴∠DAF=∠GDC。 ∵∠ADG+∠GDC=90°，∴∠DAF+∠ADG=90°，∴ AF⊥DG。 ∵EA⊥平面ABCD，AF是EF在平面ABCD上的射影，∴ EF⊥DG。 ∵ DC1∩DG=D，∴ EF⊥平面DGC1。∵EF面BEF，∴平面BEF⊥平面DGC1。点评：对难以观察的两个平面的垂直与否的判定，要紧扣定理，证明在一个平面内的一条直线与另一个平面垂直。例2．ΔABC的边BC a，A点在a上的射影是A'，若ΔABC面积为S，二面角A-BC-A'的大小是θ，则ΔA'BC 的面积是_________。

垂直关系

空间中的垂直关系 ●知识梳理线面垂直 1.如果一条直线与平面相交并且与平面内的所有直线都垂直，那么就说这条直线与这个平面垂直. 2.直线与平面垂直的判定：如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直. 3.直线与平面垂直的性质：如果两条直线都与同一个平面垂直，那么这两条直线平行. 面面垂直 1.两个平面垂直的定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直. 2.两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直. 3.两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么过其中一个平面内的一点作它的交线的垂线与另一个平面垂直. 【基础练习】 1.m、n表示直线，α、β、γ表示平面，给出下列四个命题，其中正确命题为 ①α∩β=m，n α，n⊥m，则α⊥β②α⊥β，α∩γ=m，β∩γ=n，则m⊥n ③α⊥β，α⊥γ，β∩γ=m，则m⊥α④m⊥α，n⊥β，m⊥n，

则α⊥β A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 答案：C 2．“直线l 垂直于平面α内的无数条直线”是“l α⊥”的必要条件。 3．如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面的位置关系是平行或相交。 4.在正方体中，与正方体的一条对角线垂直的面对角线的条数是 6 。 5．两个平面互相垂直，一条直线和其中一个平面平行，则这条直线和另一个平面的位置关系是平行、相交或在另一个平面内。 6．在正方体1111ABCD A BC D -中，写出过顶点A 的一个平面__AB 1D 1_____，使该平面与正方体的12条棱所在的直线所成的角均相等(注：填上你认为正确的一个平面即可，不必考虑所有可能的情况)。 7.设正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则（1）A 点到CD 1的距离为________；（2）A 点到BD 1的距离为________；（3）A 点到面BDD 1B 1的距离为_____________；（4）A 点到面A 1BD 的距离为_____________；（5）AA 1与面BB 1D 1D 的距离为__________.