勾股定理之等腰三角形的存在问题

勾股定理之等腰三角形的存在问题【知识点】

①先把三种情况写出来

②根据题意一一分析求解

例：

AB AC ABC AC BC

AB BC

=

⎧

⎪

∆=

⎨

⎪=

⎩

①

②

③

【练习题】

1.如图，在△ABC中，△ACB＝90°，BC＝15cm，AC＝20cm，动点D从A

出发，沿射线AC移动，则AD为多长时，△ABD是等腰三角形？

2.如图，在△ABC中，△ACB＝90°，BC＝30cm，AC＝40cm，动点P从A

出发，沿AB移动到B，当AP等于多少时，△ACP是等腰三角形？

3.如图，有一个直角三角形，两直角边AC=8，BC=6，点E为AC边上的一个

动点，在运动的过程中连接BE，若△ABE是以E为顶角顶点的等腰三角形，那么AE的长为______

4.如图，Rt△ABC，AC△CB，AC=30，AB=50，点D为斜边上动点．在点D的

运动过程中，连接CD，若△ACD是以C为顶角顶点的等腰三角形，那么AD 的长为______

5.如图，AB△BC，DC△BC，垂足分别为B、C，设AB=4，DC=1，BC=4。在

线段BC上有一动点P，线段BP的长为_____时，使△APD是等腰三角形

6.Rt△ABC中,△ABC=90°,AB=3,BC=4,过点B的直线把△ABC分割成两个三角

形,使其中只有一个是等腰三角形,求这个等腰三角形的面积

7.如图,已知△ABC中,△B=90°,AB=8 cm,BC=6 cm,P,Q是△ABC边上的两个动点,

点P从点A开始沿A→B方向运动,且速度为1 cm/s,点Q从点B开始沿B→C→A方向运动,且速度为2 cm/s,它们同时出发,设运动的时间为t s.

(1)求运动几秒时,△APC是等腰三角形?

(2)当点Q在边CA上运动时,求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间

出发沿射线BC以1 cm/s的速度移动，设运动的时间为t s (1)求BC边的长

(2)当△ABP为直角三角形时，借助图△求t的值

(3)当△ABP为等腰三角形时，借助图△求t的值

始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为1 cm/s，设运动时间为t s.

(1)出发2 s后，求△ABP的面积

(2)当t为何值时，BP平分△ABC?

(3)当t为何值时，△BCP为等腰三角形？

答案

1.40

2.40或25

3.25/4

4.36

5.3或1/8

6. 3.6，4.32或4.8

；当运动时间为5.5 s或6 s或6.6 s时,△BCQ为等腰三角形

7.25

4

8.解：在Rt△ABC中，BC2＝AB2－AC2＝52－32＝16，所以BC＝4 cm

解：由题意知BP＝t cm，当△ABP为直角三角形时，有两种情况：

△.如图△，当△APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝4 cm，即t＝4

△.如图△，当△BAP为直角时，BP＝t cm，CP＝(t－4)cm，AC＝3 cm，

在Rt△ACP中，AP2＝32＋(t－4)2；在Rt△BAP中，AB2＋AP2＝BP2，即52＋[32＋(t－4)2]＝t2，

解得t＝25 4.

故当△ABP为直角三角形时，t＝4或t＝25 4

解：当△ABP为等腰三角形时，有三种情况：

△.如图△，当BP＝AB时，t＝5；

△.如图△，当AB＝AP时，BP＝2BC＝8 cm，t＝8；

△.如图△，当BP＝AP时，AP＝BP＝t cm，CP＝|t－4|cm，AC＝3 cm，在Rt△ACP中，AP2＝AC2＋CP2，

所以t2＝32＋(t－4)2，解得t＝25 8.

综上所述，当△ABP 为等腰三角形时，t ＝5或t ＝8或t ＝258.

9. △ABP 的面积为12×AP×BC ＝12×6×6＝18；

解：如图，过点P 作PD△AB 于点D.

当BP 平分△ABC 时，易得△BPD△△BPC ，

所以PD ＝PC ，BD ＝BC ＝6 cm.

所以AD ＝10－6＝4(cm)．

设PC ＝PD ＝x cm ，则PA ＝(8－x) cm.

所以x2＋42＝(8－x)2，解得x ＝3，

即PC ＝3 cm.所以t ＝31＝3

解：如图△，若点P 在边AC 上，BC ＝CP ＝6 cm ，

所以点P 运动的路程为6 cm.

故当t ＝6时，△BCP 为等腰三角形

若点P 在AB 边上，有三种情况：

如图△，若BP ＝CB ＝6 cm ，此时AP ＝4 cm ，

所以点P 运动的路程为12 cm.

故当t ＝12时，△BCP 为等腰三角形．

如图△，若CP ＝BC ＝6 cm ，过点C 作CE△AB 于点E ，根据面积法求得CE ＝4.8 cm ，

由勾股定理得PE ＝BE ＝3.6 cm.所以BP ＝7.2 cm ，

所以点P 运动的路程为18－7.2＝10.8(cm)．

所以当t ＝10.8时，△BCP 为等腰三角形

如图△，若BP＝CP，则△PCB＝△PBC.

因为△ACP＋△BCP＝90°，△PBC＋△CAP＝90°，

所以△ACP＝△CAP.

易得PA＝PC.

所以PA＝PB＝5 cm.

所以点P运动的路程为13 cm.

所以当t＝13时，△BCP为等腰三角形．

综上，当t＝6或10.8或12或13时，△BCP为等腰三角形