离散数学习题

离散数学习题

集合论

1.A={?,1}，B={{a}}求A的幂集、A×B、A∪B、A+B。

2.A={1,2,3,4,5},

R={(x,y)|x

3.A={a,b,c},R={(a,a),(b,a)},求

R-1,R2,R-I A,I A-R,r(R),s(R),t(R),st(R),ts(R)。

4.A={a,b,c},R= I A∪{(a,b),(b,a)}，求a和b关于R的

等价类。

5.R是A上的等价关系，A/R={{1,2}，{3}},求A，R。

6.请分别判断以下结论是否一定成立，如果一定成立请证明，否则请举出反例。

①如果A∪B?C，则A?C或者B?C。

②如果A×B=A×C且A≠?，则B=C。

7.如果R是A上的等价关系，R2,r(R)是否一定是A上的等价关系？证明或举例。

8.已知A∩C?B∩C,A-C?B-C,证明：A?B。

9.证明：A X(B∩C)=(A X B)∩(A X C)

10.证明：P(A)∪P(B)?P(A∪B)

11.证明：R[sym] iff R=R-1

12.证明：r(R)=R∪I A,S(R)=R∪R-1,t(R)=R∪R2∪...

13.证明：s(R∪S)=s(R)∪s(S)

14.R是A上的关系，证明：如果R是对称的，则r(R)也是对称的。

15.I是整数集，R={(x,y)|x-y是3的倍数}，证明：R是I

上的等价关系。

16.如果R是A上的等价关系，则A/R一定是A的划分。

17.R是集合A上的自反关系，S是A上的自反和对称关系，证明t(R∪S)是A上的等价关系。

18.I是正整数集合，R是I×I上的二元关系，

R={<,>|xv=yu},证明：R是等价关系。

19.f:A→B，R是B上的等价关系，令S={|x∈A且y∈A

且∈R}，证明：S是A上的等价关系。

20.R是集合A上的自反关系，S是A上的自反和对称关系，证明t(R∪S)是A上的等价关系。

21.P和Q都是集合A上的划分，请问P∪Q，P-Q是否是A 上的划分，

22.R?AXA,R[irref]且R[tra],证明：r(R)是A上的偏序关系。

23.画出{1,2,3,4,6}上整除关系的哈斯图，求{2,3,6}的4

种元素。

24.A={a,b,c,d,e,f,g},R={(a,c),(a,e),(b,d),(b,f),(d,

e),(d,f)},S=tr(R),画出S的哈斯图并求{b,c,d,f}的极

大元等8种元素。

25.f:A→B,g:B→C都是单（满）射，证明：复合映射gof

一定是单（满）射。

26.f:A→B,g:B→C，gof是单射，请问f和g是否一定是单射？请证明或举出反例。

27.R是实数集，f:R×R→R×R,f()=,请问f

是否为单射？是否为满射？分别证明或举反例。

28.已知B∩C=?,令f：P(B∪C)→P(B)×P(C)，对X∈P(B∪

C),令f(X)=(B∩X,C∩X),证明：f是双射。

代数系统

1.是模8加群，Z8={0,1,2,3,4,5,6,7},+8是模8加

法，求出的单位元、每个元素的逆元、所有的生

成元和所有的子群。

2.求的单位元，零元，每个元素的逆元，每个元素

的阶，它是循环群吗？求出它所有的子群。

3.R是实数集，在R上定义运算*为x*y=x+y+xy,问：

是代数系统吗？有单位元吗？每个元素都有逆元吗？

4.R*是非零实数集合，是代数系统，对于R*中元素

x,y，令xoy=2x+2y-2。请问中是否存在单位元、

零元、哪些元素有逆元？运算o是否满足交换律和结合

律。分别说明理由。

5.R是实数集，R上的6运算定义如下：对R中元素x,y，

f1()=x+y；f2()=x-y；f3()=xy；

f4()=x/y；f5()=max{x,y}；f6()=|x-y|。

问：哪些满足交换律、结合律、有单位元、有零元？说

明理由。

6.是一个群，证明：G是交换群当且仅当对任意G中

元素x,y,都有等式(xy)2=x2y2成立。

7.证明：如果群G中每个元素的逆元素都是它自已，则G

是交换群。

8.循环群一定是交换群。

9.证明：阶为素数的群一定是循环群。

10.是一个群，u∈G,定义运算*：x*y=xou-1oy, 证明：

是一个群。

11.整数集Z上定义运算*：对任意整数x和y,x*y=x+y-4,

其中+，-为普通加减法。证明：是一个群。

12.证明：如果群G中至少有两个元素，则群中没有零元。

13.S是G的子群，证明：{x|x是S的左陪集}是G的一个划

分

14.是一个群,a∈G,n是a的阶(周期)，证明：

<{a k|k=0,2,…,n-1},o>是的一个子群。

15.H，K都是群G的子群，请问H∩K,H∪K,H-K是否一定是

G的子群？

16.H，K是G的两个子群，a∈G, 试证：aH?aK当且仅当H?K。

17.G={1,3,4,5,9},*是模11的乘法(即x*y=xy mod 11)，

请问(G,*)是否构成群？

18.是群，e是单位元，a∈G,a的阶为k,证明：a n=e当

且仅当 n是k的倍数。

19.S是G的子群，证明：{x|x是S的左陪集}是G的一个划

分

20.G是群，证明：S={a∈G|?x∈G(ax=xa)},则S是G的子群。

21.是偶数阶群，则G中必存在2阶元素。

22.证明：6个元素的群在同构意义下只有两个。

23.R为实数集，R+为正实数集，与是否同构？

24.是有限群，证明：G不可能表示成两个真子群的并。

25.

图论

1.如何判断二部图？完全图、完全二部图的边数。

2.如何求E回路？

3.Petersen图是否为E图或H图。

4.哪些完全图是H图？哪些完全图是E图？

5.n为何值时轮图为H图？

6.如何求最小生成树。

7.证明：奇数个顶点的二部图（两步图）不是哈密尔顿图。

8.证明：如果G是欧拉图，则其边图L(G)也是欧拉图。

9.证明：奇数个顶点的二部图（两步图）不是哈密尔顿图。

10.G是平面图，G有m条边，n个顶点，证明：m≤3n-6。并由此证明K5不是平面图。

11.证明：有6个顶点的简单无向图G和它的补图中至少有一

个三角形。

12.证明：在至少有两个顶点的无向树中，至少有2个一度顶点。

13.G是无向简单连通图，G有n个顶点，则G最少有几条边，最多有几条边？

14.证明：简单无向图G和它的补图中至少有一个是连通图。

15.证明：无向图中奇度点（度数为奇数的点）有偶数个。