导数构造函数13种题型(解析版)

第7讲 导数构造函数13类

【题型一】 利用x n

f （x ）构造型

【典例分析】

函数()f x 是定义在区间(0,)+∞上的可导函数，其导函数为'()f x ，且满足'()2()0+>xf x f x ，则不等式(2016)(2016)5(5)

52016

x f x f x ++<+的解集为

A ．{}2011x x -

B ．{}|2011x x <-

C ．{}|20110x x -<<

D ．{}|20162011x x -<<-

【答案】D 【详解】

设2()()g x x f x =，则2'()2()'()['()2()]g x xf x x f x x xf x f x =+=+，由已知当0x >时，'()0g x >，()g x 是增函数，不等式

(2016)(2016)5(5)

52016

x f x f x ++<+等价于22(2016)(2016)5(5)x f x f ++<，所以020165x <+<，

解得20162011x -<<-．

点睛：本题考查导数的综合应用，解题关键是构造新函数2()()g x x f x =，从而可以利用已知的不等式关系

判断其导数的正负，以确定新函数的单调性，在构造新函数时，下列构造经常用：()()g x xf x =，()

()f x g x x

=，()()x g x e f x =，()

()x

f x

g x e =

，构造新函数时可结合所要求的问题确定新函数的形式．

【变式演练】

1.已知定义域为

的奇函数

的导函数为()f x '，当

时，()()0f x f x x

'+

>，若

，则的大小关系正确的是

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】C 【解析】

分析：构造函数()()g x xf x =，利用已知条件确定'()g x 的正负，从而得其单调性． 详解：设()()g x xf x =，则'()()'()g x f x xf x =+，∵()'()0f x f x x +

>，即'()()'()

0xf x f x g x x x

+=>，∵当0x <时，)'(0g x <，当0x >时，'()0g x >，()g x 递增．又()f x 是奇函数，∵()()g x xf x =是偶函数，∵(2)(2)g g -=，1(ln )(ln 2)(ln 2)2g g g =-=，∵10ln 222<<<，∵1

()(ln 2)(2)2

g g g <<，即a c b <<．

故选C ．

2.已知()f x 的定义域为0,

，()'f x 为()f x 的导函数，且满足()()f x xf x '<-，则不等式

()()()2111f x x f x +>--的解集是（ ）

A ．0,1

B ．2,

C ．1,2

D ．1,

【答案】B 【分析】

根据题意，构造函数()y xf x =，结合函数的单调性解不等式，即可求解. 【详解】

根据题意，构造函数()y xf x =，()0,x ∈+∞，则()()0y f x xf x ''=+<， 所以函数()y xf x =的图象在()0,∞+上单调递减.

又因为()()()

2

111f x x f x +>--，所以()()22(1)(1)11x f x x f x ++>--，

所以2011x x <+<-，解得2x >或1x <-（舍）.

所以不等式()()()

2

111f x x f x +>--的解集是()2,+∞.

故选：B.

3.设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()'f x ，且2()()0f x xf x '+>．则下列不等式在R 上恒成立的是（ ） A ．()0f x ≥ B ．()0f x ≤ C ．(x)x f ≥ D ．()f x x ≤

【答案】A 【分析】

根据给定不等式构造函数2()()g x x f x =，利用导数探讨()g x 的性质即可判断作答. 【详解】

依题意，令函数2()()g x x f x =，则2()2()()[2()()]g x xf x x f x x f x xf x '=+''=+， 因2()()0f x xf x '+>，于是得0x <时()0g x '<，0x >时()0g x '>， 从而有()g x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，

因此得：2,()()(0)0x R x f x g x g ∀∈=≥=，而(0)0f >，即f (x )不恒为0， 所以()0f x ≥恒成立.故选：A

【题型二】 利用f （x ）/x n

构造型

【典例分析】 函数()f x 在定义域0,内恒满足：①()0f x >，①()()()23f x xf x f x '<<，其中f x 为()f x 的导函数，

则

A ．()()111422

f f << B ．

()()11

11628f f << C ．()()111

322

f f <

< D ．()()111

8

24

f f <

< 【答案】D 【详解】令()()2

f x

g x x =

，()0,x ∈+∞，()()()

3

2xf x f x g x x '-'=

，

∵()0,x ∀∈+∞，()()()23f x xf x f x '<<，∵()0f x >，0g x

，

∵函数()g x 在()0,x ∈+∞上单调递增，∵()()12g g <，即()()412f f <，

()()

1124

f f <

， 令()()3

f x h x x =

，()0,x ∈+∞，()()()

4

3xf x f x h x x '-'=

，

∵()0,x ∀∈+∞，()()()23f x xf x f x '<<，()0h x '<， ∵函数()h x 在()0,x ∈+∞上单调递减，∵()()12h h >，即()()218

f f >

，()()

1182f f <，故选D.