2023届河北省沧州市普通高中高三上学期摸底考数学试题(解析版)

2023届河北省沧州市普通高中高三上学期摸底考数学试题

一、单选题

1．设集合A ，B 满足{}{}{}12

3456242345A B A B A ⋃=⋂==,,,,,,,,,,,，则B =（ ） A ．{}2,4,5,6 B ．{}1,2,4,6 C ．{}2,4,6 D ．{}1,2,4

【答案】B

【分析】利用集合A ，B 的运算结果以及集合A ，结合选项可得集合B ． 【详解】{}{}{}123456242345A B A B A ⋃=⋂==,,,,,,,,,,,，B ∴={}1,2,4,6

故选：B

2．设复数1i z =+（i 为虚数单位），则2

z zz -=（ ）

A ．0

B

C ．2

D ．【答案】D

【分析】由复数的共轭复数得到1i z =-，再根据复数的四则运算与复数模的运算即可得到答案.

【详解】复数1i z =+（i 为虚数单位），

1i z ∴=-，

()()()2

21i 1i 1i 2i 2z zz -=+-+-=-∴，

222i z zz ∴-=-+=故选：D.

3．已知,a b 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，且a α⊥，αβ⊥，则“a b ⊥”是“b β⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件

【答案】B

【分析】根据垂直关系的性质可判断.

【详解】由题a α⊥，αβ⊥，则a β⊂或//a β，

若a b ⊥，则b β//或b β⊂或b 与β相交，故充分性不成立； 若b β⊥，则必有a b ⊥，故必要性成立，

所以“a b ⊥”是“b β⊥”的必要不充分条件. 故选：B.

4．《九章算术》是我国古代的一本数学名著.全书为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题.在第六章“均输”中有这样一道题目：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为：“现有五个人分5钱，每人所得成等差数列，且较多的两份之和等于较少的三份之和，问五人各得多少？”在此题中，任意两人所得的最大差值为多少？（ ） A ．13

B ．23

C ．16

D ．56

【答案】B

【分析】设每人分到的钱数构成的等差数列为{}n a ，公差0d >，由题意可得，

12345a a a a a ++=+，55S =，结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解．

【详解】解：设每人分到的钱数构成的等差数列为{}n a ，公差0d >， 由题意可得，12345a a a a a ++=+，55S =， 故113327a d a d +=+，15105a d +=， 解可得，123a =

，16

d =， 故任意两人所得的最大差值2

43

d =． 故选：B ．

【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式在实际问题中的应用，属于基础题．

5．已知圆()22

00:4,,O x y M x y +=为圆O 上位于第一象限的一点，过点M 作圆O 的切

线l ．当l 的横纵截距相等时，l 的方程为（ ）

A ．0x y +-

B ．0x y +-

=

C ．0x y +-=

D ．0x y --

【答案】A

【分析】利用过圆上点的切线的性质可得OM l ⊥，利用点()00,M x y 表示出切线方程，结合l 的横纵截距相等，即得解

【详解】由题意，点M 在第一象限，故过点M 的的切线l 斜率存在；

点()00,M x y 在圆上，故OM l ⊥，即1OM l k k =- 0000

OM l y x k k x y =

∴=- 故直线l 的方程为：22

00000000

()4x y y x x x x y y x y y -=--⇔+=+= 令0

4

0,;x y x ==

令040,;y x y ==

当l 的横纵截距相等时，

0000

44x y x y =⇔= 又22

00004,0,0x y x y +=>>

解得：002,2x y ==

即224x y +=，即220x y +-= 故选：A

6．已知圆台形的花盆的上、下底面的直径分别为8和6，该花盆的侧面展开图的扇环所对的圆心角为2

π

，则母线长为（ ） A ．4 B ．8

C ．10

D ．16

【答案】A

【分析】利用扇形的弧长公式和圆心角，即可计算求解.

【详解】如图，AD 弧长为6π，BC 弧长为8π，因为圆心角为2

π，612

2OA π

π==，

816

2

OB π

π=

=，则母线16124AB =-=.

故选：A.

7．已知函数()221e e 1

x x f x -=+，不等式()

()2

2f x f x >+的解集为（ ）

A ．()(),12,-∞-+∞

B ．()1,2-

C ．()(),21,-∞-+∞

D ．()2,1-

【答案】B

【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，根据函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可； 【详解】解：因为()221e

e 1

x

x

f x -=+，所以()()

22

24e 0e 1x

x

f x -'=<+，所以()f x 在R 上单调递

减，

则()()2

2f x f x >+等价于22x x <+，解得12x -<<，即原不等式的解集为()1,2-.

故选：B.

8．已知双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>的左、右焦点分别是12,F F ，过点1F 且垂直于x 轴

的直线与双曲线交于,A B 两点，现将平面12AF F 沿12F F 所在直线折起，点A 到达点P 处，使二面角12P F F B --的平面角的大小为30，且三棱锥12P BF F -的体积为2

16

a c ，则双

曲线的离心率为（ ）

A

B C ．2 D 【答案】A

【分析】依题意求出A 点坐标，即可得到2

11b AF BF a

==，再由二面角的定义可知1PF B

∠为二面角12P F F B --的平面角，再根据锥体的体积公式得到a b =，从而求出离心率； 【详解】解：由题意可知，直线AB 的方程为x c =-，代入双曲线方程可得2

b

y a

=±，

设点A 在x 轴上方，则2,b A c a ⎛⎫- ⎪⎝

⎭，可得211b

AF BF a ==，所以21b PF a =，

由题意可知121121,F F PF F F BF ⊥⊥，且111PF BF F =，所以12F F ⊥平面1PBF ，

所以1PF B ∠为二面角12P F F B --的平面角，即130PF B ∠=︒， 所以1221142

2121121

111sin 233266

P BF F F PBF PBF b c V V S F F PF PF B c a c a --==⨯=

⨯⨯⨯∠⨯==，即a b =，

又222c a b =+，所以222a c =，可得双曲线的离心率为e = 故选：A ．

9．下列说法正确的是（ ）

A ．样本中心()

,x y 不一定在回归直线上

B ．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数就越接近于1

C ．若所有样本点都在直线21y x =-+上，则2r =-