二次函数的图像与常见变化
二次函数的图像与性质
二次函数的图像与性质二次函数（quadratic function）是数学中的一类函数，其表达式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a≠0。
这种函数的图像是一条抛物线，其特点是拥有许多有趣的性质和图像的变化规律。
本文将对二次函数的图像与性质进行详细说明。
一、基本形式二次函数的基本形式为y = ax^2，其中a为二次函数的系数，决定了抛物线的开口方向和形状。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
二、顶点二次函数的顶点（vertex）是抛物线的最高点（若开口向下）或最低点（若开口向上）。
顶点可通过求导数或利用抛物线的对称性求得。
顶点的横坐标为x = -b/2a，纵坐标为y = f(x)，其中f(x)为二次函数的表达式。
三、对称轴二次函数图像的对称轴（axis of symmetry）是通过抛物线的顶点，并且与抛物线相互对称的一条直线。
对称轴的方程可以通过对抛物线的表达式进行简单计算得到。
四、焦点和准线焦点（focus）和准线（directrix）是二次函数图像的两个重要元素。
焦点是指在平面上向外弯曲的抛物线上的一个特定点。
焦点的横纵坐标可通过复杂的求解方法得到，这里不再详述。
准线是通过焦点以及与对称轴垂直的直线上的特定点构成的直线段。
准线的方程也可通过复杂的计算得到。
五、零点二次函数的零点（zeros）是函数表达式等于零的横坐标。
其求取方法可以通过方程ax^2 + bx + c = 0来求解。
根据求根公式，可得有两个根、一个根或者无实根。
六、图像的变化规律通过改变二次函数的参数a、b、c的数值，可以使得二次函数的图像发生各种变化。
以下是几种常见的变化规律：1. 改变a的值，a越大，抛物线越“扁平”，开口越朝上或者朝下。
2. 改变b的值，b为线性项的系数，可以使抛物线左右平移。
3. 改变c的值，c为常数项的系数，可以使抛物线上下平移。
七、应用二次函数的图像与性质在实际生活中有广泛的应用。
二次函数的图像及性质
与对数函数的比较
值域：二次函数值域为全体实 数，而对数函数值域为实数加 一个常数
图像：二次函数图像为抛物线， 而对数函数图像为单调递增或 递减的曲线
定义域：二次函数定义域为全 体实数，而对数函数定义域为 正实数
性质：二次函数具有对称性， 而对数函数具有反函数性质
汇报人：
性质：二次函数有最小 值或最大值，反比例函 数在x>0时单调递减， 在x<0时单调递增。
应用：二次函数在数学、 物理等领域有广泛应用， 反比例函数在解决一些 实际问题时也很有用。
与指数函数的比较
开口方向：二次函数开口向上或向下，指数函数开口向右 顶点：二次函数有顶点，指数函数无顶点 函数值：二次函数有最大值或最小值，指数函数无最大值或最小值 图像：二次函数图像是抛物线，指数函数图像是指数曲线
开口变化规律
二次函数的开口方向由系数a决定，a>0时开口向上，a<0时开口向下。
二次函数的开口大小由系数a和b共同决定，a的绝对值越大，开口越小；b的绝对值越大，开口 越大。
二次函数的对称轴为x=-b/2a，对于开口向上的函数，对称轴左侧函数值随x的增大而减小；对 于开口向下的函数，对称轴左侧函数值随x的增大而增大。
图像的对称性
二次函数的对称中心是(k,0)
二次函数的顶点坐标是(h,k)
二次函数的对称轴是x=h
二次函数的开口方向由a决定， a>0向上开口，a<0向下开口
与一次函数的比较
函数表达式：二次函数的一般形式 为y=ax^2+bx+c，一次函数的一 般形式为y=kx+b
开口方向：二次函数的开口方向由 a的符号决定，一次函数的图像是 一条直线，没有开口方向
二次函数图像的变化规律及应用
二次函数图像的变化规律及应用引言：二次函数是高中数学中的重要内容之一，它的图像呈现出一种独特的形态，具有丰富的变化规律和广泛的应用。
本文将从图像的变化规律和应用两个方面，对二次函数进行深入的探讨。
一、图像的变化规律1. 平移变换二次函数的图像可以通过平移变换而得到不同的形态。
平移变换是指在坐标平面上将图像整体向左、右、上、下平移的操作。
对于二次函数y=ax^2+bx+c，当平移向右时，a保持不变，b不变，c减小；当平移向左时，a保持不变，b不变，c增大；当平移向上时，a增大，b不变，c增大；当平移向下时，a减小，b不变，c减小。
通过平移变换，我们可以观察到二次函数图像在平面上的移动轨迹，进而掌握其变化规律。
2. 缩放变换缩放变换是指在坐标平面上将图像整体放大或缩小的操作。
对于二次函数y=ax^2+bx+c，当缩放因子为k时，a不变，b不变，c增大（或减小）k倍。
缩放变换可以改变二次函数图像的大小和形状，通过观察不同缩放因子下的图像，我们可以总结出二次函数图像的缩放规律。
3. 翻折变换翻折变换是指在坐标平面上将图像关于某一直线进行对称的操作。
对于二次函数y=ax^2+bx+c，当翻折轴为x轴时，a不变，b变号，c不变；当翻折轴为y轴时，a变号，b不变，c不变；当翻折轴为直线x=k时，a不变，b变号，c变号。
翻折变换可以改变二次函数图像的位置和形状，通过观察不同翻折轴下的图像，我们可以总结出二次函数图像的翻折规律。
二、图像的应用1. 最值问题二次函数的图像呈现出一个开口朝上或朝下的抛物线形态，通过观察图像的顶点，我们可以得出二次函数的最值。
当抛物线开口朝上时，顶点为最小值；当抛物线开口朝下时，顶点为最大值。
最值问题在实际应用中有广泛的应用，例如在物理学中，我们可以通过最值问题求解物体的最高点或最低点。
2. 零点问题二次函数的图像与x轴的交点称为零点，也叫根或解。
通过观察图像与x轴的交点，我们可以求解二次函数的零点。
二次函数的变化与性质
二次函数的变化与性质对于一个二次函数，它的一般形式可以表示为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c分别代表函数的系数。
本文将从变化与性质两个方面来讨论二次函数。
一、二次函数的变化1. 平移变化二次函数可以通过平移变化来改变其图像在平面上的位置。
为了实现这种平移变化，我们可以添加一个常数d到函数表达式的x上，如y = a(x - d)^2 + bx + c。
当d为正时，图像向右平移，而当d为负时，图像向左平移。
2. 缩放变化通过缩放变化，我们可以改变二次函数图像的形状和幅度。
假设我们有一个二次函数y = ax^2 + bx + c，当乘以一个常数k时，得到的新函数是y = k(ax^2 + bx + c)。
在这种情况下，k的值决定了图像的纵轴上的扩大或缩小程度。
3. 翻转变化通过翻转变化，我们可以在平面上改变二次函数图像的朝向。
常见的翻转变化有关于x轴和y轴的翻转。
对于y = ax^2 + bx + c，将其变为y = -ax^2 - bx - c即可实现关于x轴的翻转；而对于y = ax^2 + bx + c，将其变为y = ax^2 - bx - c则可实现关于y轴的翻转。
二、二次函数的性质1. 开口方向通过判断二次函数的系数a的正负，我们可以确定其开口方向。
当a大于0时，二次函数的图像开口向上；而当a小于0时，二次函数的图像开口向下。
2. 首项系数首项系数a反映了二次函数的图像的陡峭程度。
a的绝对值越大，图像就越陡峭。
当|a|趋近于无穷大时，图像变成了一条直线。
3. 对称轴对称轴是指二次函数图像的中心线，也是图像的对称轴。
对于一般形式的二次函数y = ax^2 + bx + c，其对称轴可以通过x = -b / (2a)来确定。
4. 最值点二次函数图像的最值点是图像的最高点或最低点。
对于开口向上的二次函数，最值点是最低点；而对于开口向下的二次函数，最值点是最高点。
最值点的x坐标可以通过对称轴的x值得到，最值点的y坐标则可以通过将x值带入函数表达式得到。
二次函数的图像和性质(共82张PPT)
y＝ax2
向上
y轴 (0，0)
向下
y轴 (0，0)
4、二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝
2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相
同?它们有什么关系？我们应该采取什么方法
来研究这个问题？
画出函数y＝2x2和函数y＝ 2x2+1的图象， 并加以比较
x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 …
y 1 x2 ··· 2
8
4.5
2 0.5 0 0.5 2 4.5
8
···
x
·· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
y 2x2 · 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8
·· ·
y y x2 8
y 2x2
···
6
y 1 x2
4
2
2
－4
－2 O
24
在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,
在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 .
联系: y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴整体左(右)平移| |个单位(当 >0时,向右平移;当 <0时,向左平移),
再沿对称轴整体上(下)平移|
|个单位 (当
>0时向上平移;当 <0时,向下平移)得到的.
y 1 x2
y1
1 3
x2
2
3
y2
1 3
x2
2
的图像
在同一直角坐标系中
画出函数 y 1 x2 5 y
y1
1 3
x2
2
3
y2
的图像
二次函数的图像和参数的变化
二次函数的图像和参数的变化二次函数是代数学中的一个重要概念，也是数学中常见的函数类型之一。
在二次函数的研究中，了解它的图像和参数的变化十分关键。
本文将从图像和参数两个方面，详细探讨二次函数的变化规律。
一、二次函数的图像变化由于二次函数具有一条抛物线的特点，所以它的图像形状较为固定，但其位置和方向却可以通过参数的改变而产生相应的变化。
我们首先来研究二次函数在参数a不同时的图像变化。
1. 当a>0时，二次函数的抛物线开口向上。
随着a的增大，抛物线的开口越来越宽，同时顶点也向上移动。
当a=1时，抛物线的开口最为标准，即为x^2函数的图像。
当a>1时，抛物线的开口更加宽广；当0<a<1时，抛物线的开口变窄。
总之，参数a的增大会让抛物线的开口变得更大。
2. 当a<0时，二次函数的抛物线开口向下。
随着a的减小，抛物线的开口也越来越宽。
当a=-1时，抛物线的开口最为标准，即为-x^2函数的图像。
当a<-1时，抛物线的开口更加宽广；当-1<a<0时，抛物线的开口变窄。
与正数的情况类似，参数a的减小会让抛物线的开口变得更大。
在参数a不变的情况下，我们再来关注参数p对二次函数图像的变化影响。
1. 当p>0时，二次函数的抛物线的顶点向左移动。
随着p的增大，顶点距离原点的水平偏移越大，抛物线在原点的右侧越陡峭。
当p=1时，抛物线的顶点达到最小值，即抛物线在y轴右侧经过(1,0)的点；当p>1时，抛物线的顶点进一步向左移动。
总之，参数p的增大会让抛物线的顶点向左移动。
2. 当p<0时，二次函数的抛物线的顶点向右移动。
随着p的减小，顶点距离原点的水平偏移越大，抛物线在原点的左侧越陡峭。
当p=-1时，抛物线的顶点达到最小值，即抛物线在y轴左侧经过(-1,0)的点；当p<-1时，抛物线的顶点进一步向右移动。
与正数的情况类似，参数p的减小会让抛物线的顶点向右移动。
二次函数的参数与图像的变化规律
参数调整在数学建模中的应用
调整参数以优化模型 参数变化对模型稳定性的影响 参数调整在控制模型误差中的应用 参数调整在提高模型预测精度中的作用
参数变化在解决实际问题中的应用
优化问题：通过调整参数， 寻找最优解，解决优化问题
参数变化与顶点位置
当a>0时，抛物线开口向上，顶点 为最低点
当a<0时，抛物线开口向下，顶点 为最高点
b=0时，对称轴为y轴
c>0时，抛物线与y轴交于正半轴 c<0时，抛物线与y轴交于负半轴
参数变化与Байду номын сангаас像对称性
当参数a为正数时，二次函数的图像关于y轴对称 当参数a为负数时，二次函数的图像关于x轴对称 当参数b为正数时，二次函数的图像关于一、三象限对称 当参数b为负数时，二次函数的图像关于二、四象限对称
参数k：决定顶 点位置，k>0顶 点在y轴正方向， k<0顶点在y轴 负方向
参数变化规律： a、h、k的变化 都会影响图像的 形状和位置
开口大小
参数a：决定开 口大小，a>0时， 开口向上；a<0 时，开口向下
a的绝对值越大， 开口越小；a的 绝对值越小，开 口越大
图像对称轴：y 轴
顶点坐标：与参 数b和c有关， 一般形式为(b/2a, cb^2/4a)
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添加标题
结合数学与其他学科，拓展二次 函数在实际生活中的应用。
未来研究方向将更加注重实际应 用，努力解决现实问题。
感谢观看
汇报人：XX
03
实际应用
利用参数变化优化图像
二次函数图像
二次函数图像二次函数是一种常见的代数函数，可以用来描述抛物线的形状。
它的一般形式可以表示为y = ax^2 + bx + c。
其中，a、b和c是常数，且a不等于零。
二次函数的图像呈现出拱形或凹形，形状取决于参数a的正负值。
当a大于零时，图像是面向上的拱形，又称为凹向上的抛物线；当a小于零时，图像是面向下的拱形，又称为凹向下的抛物线。
通过改变a、b和c的值，可以调整二次函数的图像位置和形状。
下面将详细介绍二次函数的图像特征和常见变化。
一、二次函数的对称轴和顶点二次函数的对称轴可以通过以下公式求得：x = -b / (2a)。
对称轴是二次函数图像的中轴线，将图像分为两个对称的部分。
对称轴上的点也是图像的顶点。
顶点的纵坐标可以通过将对称轴的x值代入原方程求得，即：y = a*(-b/(2a))^2 + b*(-b/(2a)) + c。
化简后得：y = c - b^2 / (4a)。
二、判别式和零点判别式D可以通过以下公式求得：D = b^2 - 4ac。
判别式D可以帮助我们判断二次函数的零点个数和类型。
当D大于零时，二次函数有两个不同实数的零点；当D等于零时，二次函数有一个重复的实数零点；当D小于零时，二次函数没有实数零点。
计算实数零点可以使用以下公式：x = (-b ± √D) / (2a)。
三、开口方向和极值二次函数的开口方向取决于参数a的正负。
当a大于零时，抛物线开口向上，函数的最小值即为顶点的纵坐标；当a小于零时，抛物线开口向下，函数的最大值即为顶点的纵坐标。
四、图像的平移通过增加或减少常数项c，可以使二次函数的图像上下移动。
当c大于零时，图像向上平移；当c小于零时，图像向下平移。
通过增加或减少线性项b，可以使二次函数的图像左右移动。
当b大于零时，图像向左平移；当b小于零时，图像向右平移。
五、图像的伸缩通过改变参数a的绝对值，可以使二次函数的图像上下翻转。
当|a|大于1时，图像上下翻转，峰值变高，谷底变低；当|a|小于1时，图像上下翻转，峰值变低，谷底变高。
二次函数的图像和性质表格
配方法
将二次函数通过配方转化为顶点式$y=a(xh)^2+k$，其中$(h,k)$为顶点坐标。根据 $a$的正负和顶点坐标可求得最值。
公式法
对于一般形式的二次函数$y=ax^2+bx+c$ ，其最值可通过公式$-frac{b}{2a}$求得对 称轴，再代入原函数求得最值。
04 典型二次函数图 像举例
对称轴与顶点坐标
对称轴
对于一般形式$y=ax^2+bx+c$的二次函 数，其对称轴为直线$x=-frac{b}{2a}$。
VS
顶点坐标
顶点的横坐标为对称轴与抛物线的交点， 即$x=-frac{b}{2a}$，纵坐标为$cfrac{b^2}{4a}$。
与坐标轴交点情况
与$x$轴交点
解方程$ax^2+bx+c=0$，若$Delta=b^2-4ac>0$，则有两个不相等的实数根，即抛物线与$x$轴 有两个交点；若$Delta=0$，则有两个相等的实数根，即抛物线与$x$轴有一个交点；若$Delta<0$ ，则无实数根，即抛物线与$x$轴无交点。
与$y$轴交点
抛物线与$y$轴的交点为点$(0,c)$。
03 二次函数性质分 析
奇偶性判断方法
观察法
通过观察二次函数的表达式，判断其是否满足$f(-x)=f(x)$或$f(-x)=-f(x)$，若满足则函数为偶函数或奇函数。
代数法
将$-x$代入二次函数的表达式，化简后与原函数比较，若相等则为偶函数，若互为相反数则为奇函数。
二次函数表达式
一般形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$ ，其中$a$、$b$、$c$为常数，且$a neq 0$。
二次函数的图像和性质(共48张PPT)
的增大而增大；在对 小；在对称轴的右
称轴的右侧，即当 x 侧，即当 x＞－2ba ＞－2ba时，y 随 x 的 时，y 随 x 的增大
增大而减小，简记为 而增大，简记为
“左增右减” “左减右增”
15
最值
抛物线有最 抛物线有最
3
问题思考
（1） y a x 2的图像及性质
4
（1） y a x 2的图像及性质
5
由以上图形知：
• a 的绝对值越大，抛物线的开口越小 • 函数图象顶点坐标（0,0）
6
（2）y ax2 c 的图像及性质
7
（2）y ax2 c 的图像及性质
函数图象顶点坐标（0,c） 注意：c为y轴截距
A．
B．
C．
D．
26
解析
A、对于直线 y=ax+b 来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线 y=ax2﹣bx 来说，对称轴 x= ＞0，应在 y 轴的右侧，故不合题意，图形错误；
B、对于直线 y=ax+b 来说，由图象可以判断，a＜0，b＞0；而对于抛物线 y=ax2﹣bx 来说，对称轴 x= ＜0，应在 y 轴的左侧，故不合题意，图形错误；
ab＞0(a与b同号) 对称轴在y轴左侧 b
ab＜0(a与b异号) 对称轴在y轴右侧
18
c＝0
经过原点
c＞0
与y轴正半轴相交
c
c＜0
与y轴负半轴相交
19
b2－4ac
b2－4ac＝0 与 x 轴有唯一交 点(顶点)
b2－4ac＞0 b2－4ac＜0
与 x 轴有两个交 点 与 x 轴没有交点
二次函数的图像与性质-完整版课件
二次函数与一元二次方程关系
一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$（$a neq 0$）的解即为二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 与 $x$ 轴交点的横坐标。
当 $Delta = b^2 - 4ac > 0$ 时，二次函数与 $x$ 轴有两个交点；当 $Delta = 0$ 时，有 一个交点；当 $Delta < 0$ 时，没有交点。
• 分析：根据题意设交点坐标为$(-1, y_1)$和$(3, y_2)$，代入直线方程可得两个方程。又因为这两个点也在抛 物线上，所以代入抛物线方程也可得两个方程。联立这四个方程即可求出二次函数的解析式。
• 示例2：已知二次函数$y = ax^2 + bx + c (a • eq 0)$的图像与直线$y = x + m (m • eq 0)$相交于两点，且这两点关于原点对称，求二次函数的解析式。 • 分析：根据题意设交点坐标为$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$，由于两点关于原点对称，所以有$x_1 = -x_2$和
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二次函数的图像与性质-完
整版课件
汇报人：XXX
2024-01-29
• 二次函数基本概念 • 二次函数图像特征 • 二次函数性质探讨 • 典型例题分析与解答 • 实际应用场景举例说明 • 总结回顾与拓展延伸
目录
CONTENTS
零点存在性及个数判断方法
零点定义
二次函数零点存在 性判断方法
对于函数f(x)，若存在x0∈D， 使得f(x0)=0，则称x0为函数 f(x)的零点。
通过判别式Δ=b^2-4ac来判断 。当Δ>0时，二次函数有两个 不相等的零点；当Δ=0时，二 次函数有两个相等的零点（即 一个重根）；当Δ<0时，二次 函数无零点。
二次函数的图像及其性质
单调性
二次函数的开口 方向由系数a决 定，a>0时开口 向上，a<0时开 口向下
二次函数的对称 轴为x=-b/a
二次函数的最值 在对称轴上取得， 即x=-b/2a时的 函数值y=cb^2/4a
二次函数在区间 (-∞,-b/2a)和(b/2a,+∞)上单 调性相反
最值点
二次函数的最值点为顶点 顶点的坐标为(-b/2a, f(-b/2a)) 当a>0时，函数在顶点处取得最小值 当a<0时，函数在顶点处取得最大值
开口大小与一次项 系数和常数项无关
开口变化趋势
二次函数的开口方向由二次项系数a决定，a>0时向上开口，a<0时向下开口。 二次函数的开口大小由二次项系数a和一次项系数b共同决定，a的绝对值越大，开口越小。 二次函数的对称轴为x=-b/2a，当a>0时，对称轴为x=-b/2a；当a<0时，对称轴为x=-b/2a。 二次函数的最值点为顶点，顶点的坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
在物理领域的应用
二次函数在抛物线运动中的应用 二次函数在弹簧振荡中的应用 二次函数在单摆运动中的应用 二次函数在简谐振动中的应用
在其他领域的应用
二次函数在经济学中的应用， 例如计算成本、收益、利润等。
二次函数在生物学中的应用， 例如种群增长、药物疗效等。
二次函数在物理学中的应用， 例如弹簧振动、单摆运动等。
二次函数的应用
解决实际问题
二次函数在物理学中的应用，例如计算抛物线的运动轨迹 二次函数在经济学中的应用，例如计算商品价格与销售量的关系
二次函数在日常生活中的应用，例如计算最优化问题，如最小费用、最大效率等
二次函数在科学实验中的应用，例如模拟实验数据，预测实验结果
二次函数像的特征与变化规律
二次函数像的特征与变化规律二次函数是高中数学中非常重要且常见的一种函数类型，它的像可以通过一系列特征和变化规律来描述和分析。
本文将就二次函数的像的特征和变化规律展开讨论。
一、二次函数像的特征1. 对称性：二次函数的图像通常呈现出一种对称性，称为轴对称。
这种对称性是通过二次函数的顶点和对称轴来实现的。
对称轴是垂直于x轴过顶点的直线，它将图像分为两个对称的部分。
2. 极值点：二次函数的图像在对称轴上有一个极值点，称为顶点。
顶点是二次函数的最高点或最低点，可以通过变化规律来确定。
3. 开口方向：二次函数的图像可以是开口朝上或开口朝下的。
开口方向可以通过二次函数的系数a的正负来判断，如果a>0，则开口朝上；如果a<0，则开口朝下。
二、二次函数像的变化规律1. 平移：二次函数的图像可以进行平移，平移是指将整个图像沿着x轴或y轴的方向进行移动。
当二次函数的图像进行平移时，顶点和对称轴的位置都会发生相应的改变。
2. 缩放：二次函数的图像可以进行缩放，缩放是指将整个图像的大小进行变化。
缩放可以通过二次函数的系数来实现，系数a的绝对值越大，图像的曲率越大，即图像越“扁”。
3. 垂直方向的拉伸和压缩：二次函数的图像可以在垂直方向上进行拉伸和压缩，拉伸和压缩是指将图像在y轴方向上进行拉长或压缩。
拉伸和压缩可以通过二次函数的系数b来实现，b的绝对值越大，图像在y轴方向上的变化越明显。
4. 水平方向的拉伸和压缩：二次函数的图像可以在水平方向上进行拉伸和压缩，拉伸和压缩是指将图像在x轴方向上进行拉长或压缩。
拉伸和压缩可以通过二次函数的系数c来实现，c的绝对值越小，图像在x轴方向上的变化越明显。
根据以上的特征和变化规律，我们可以对二次函数的图像进行准确的描述和分析。
对于学习和理解二次函数来说，熟悉和掌握这些特征和变化规律是非常重要的。
通过对二次函数像的特征和变化规律的深入研究，我们可以更好地应用二次函数解决实际问题，提高数学应用能力。
二次函数的图像
汇报人：
二次函数图像的形状 二次函数图像的平移 二次函数图像的对称变换 二次函数图像的翻折 二次函数图像的交点 二次函数图像的综合应用
二次函数图像的形状
开口方向
向上开口：二次项系数大于0
垂直于x轴：二次项系数等于0
添加标题
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向下开口：二次项系数小于0
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水平线：一次项系数等于0
抛物线与坐标轴交点的应 用
抛物线在实际问题中的建 模应用
在数学竞赛中的应用
二次函数图像的综合应用可以解决数学竞赛中的代数问题。 通过分析二次函数图像，可以解决几何问题。 利用二次函数图像的性质，可以解决数列问题。 二次函数图像的综合应用在数学竞赛中具有广泛的应用价值。
在高中数学中的重要性
二次函数图像是高中数学的重要知识点，是理解和掌握函数性质的关键。 通过二次函数图像的综合应用，可以解决各种实际问题，提高数学应用能力。 二次函数图像在高中数学中占有重要地位，是高考数学的必考内容之一。 掌握二次函数图像的综合应用，有助于提高学生的数学素养和思维能力。
变化规律：顶点不变，开口方 向相反，对称轴不变
举例：y=x^2沿x轴翻折后为 y=-x^2
应用：理解次函 数图像在y轴两侧 对称翻转
效果：改变开口 方向和顶点位置
公式：将二次函 数的一般形式 y=ax^2+bx+c 中的a替换为-a， 得到新的二次函 数
上平移和下平移对函数值的影响：上平移会使函数值增大，下平移会使函数值减小。
上平移和下平移的代数表示：向上平移a个单位，函数解析式变为y=f(x+a)；向下平移 a个单位，函数解析式变为y=f(x-a)。
上平移和下平移的实际应用：在解决实际问题时，可以通过平移二次函数的图像来调整 参数，从而得到最优解。
二次函数的图像和性质ppt课件
二次函数与其他数学知识的综合应用
与三角函数的结合
在解决一些复杂的数学问题时，二次函数与三角函数经常需要结合使用，如振 动和波动的问题。
与解析几何的结合
二次函数图像与直线、圆等几何图形结合时，可以形成一些有趣的几何问题， 如切线、相交弦等。
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习题与解答
基础习题
01
02
03
题目1
请画出二次函数$f(x) = x^2 - 2x$的图像。
题目6
已知二次函数$f(x) = x^2 - 2x$在区间$(1,3)$上有零 点，求该零点的近似值。
答案与解析
题目1答案与解析：答案略，
解析略。
01
题目2答案与解析：答案略，
解析略。
02
题目3答案与解析：答案略，
解析略。
03
题目4答案与解析：答案略，
解析略。
04
题目5答案与解析：答案略，
解析略。
详细描述
对于开口向上的二次函数，其最小值出现在顶点处，可以通过公式x=-b/2a求得顶点的 横坐标，进而求得最小值；对于开口向下的二次函数，其最大值出现在顶点处，同样可
以通过公式x=-b/2a求得顶点的横坐标，进而求得最大值。
二次函数的增减性
总结词
由二次函数的开口方向和对称轴决定，对称轴左边函数值随x增大而减小，对称轴右边函数值随x增大而增大。
05
题目6答案与解析：答案略，
解析略。
06
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二次函数的图像和性质ppt课 件
目
CONTENCT
录
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的图像 • 二次函数的性质 • 二次函数的应用 • 习题与解答
二次函数的基本性质与像变化
二次函数的基本性质与像变化二次函数是高中数学中重要的内容之一，它具有许多特殊的性质和应用。
本文将探讨二次函数的基本性质，包括图像的开口方向、顶点坐标、对称轴和最值点等，并介绍二次函数中的像变化。
1. 开口方向：二次函数的图像可以分为两种开口方向：向上开口和向下开口。
开口向上的二次函数可以表示为 y = ax^2 + bx + c，其中 a > 0；开口向下的二次函数可以表示为 y = ax^2 + bx + c，其中 a < 0。
开口方向决定了二次函数的凹凸性质，开口向上的函数为凹函数，开口向下的函数为凸函数。
2. 顶点坐标和对称轴：二次函数的图像在 x 轴上存在一个顶点，顶点的横坐标为 x = -b/2a，纵坐标为 f(-b/2a)。
其中，b 和 a 分别代表二次函数的一次项系数和二次项系数。
顶点坐标表示了二次函数图像的最低（或最高）点。
对称轴是通过顶点的一条直线，对称轴方程可以表示为 x = -b/2a。
对称轴将二次函数图像分为两个对称的部分。
3. 最值点：根据二次函数的开口方向，可以确定最值点的性质。
对于开口向上的二次函数，最值点为最低点，也就是顶点；对于开口向下的二次函数，最值点为最高点，也就是顶点。
最值点的纵坐标即为函数图像的最小值或最大值。
4. 像的变化：通过改变二次函数的系数，可以对函数图像进行平移、伸缩和翻转等变化。
（1）平移：改变二次函数的常数项 c，可以实现图像在 y 轴方向的平移。
当 c > 0 时，图像向上平移；当 c < 0 时，图像向下平移。
平移后的顶点坐标为 (-b/2a, f(-b/2a) + c)，对称轴方程不变。
（2）伸缩：改变二次函数的系数 a，可以实现图像在 x 轴方向的伸缩。
当 a > 1 时，图像沿 x 轴方向收缩；当 0 < a < 1 时，图像沿 x 轴方向拉伸。
伸缩后的顶点坐标为 (-b/2a, af(-b/2a))，对称轴方程不变。
二次函数的图像与性质课件
一阶导数等于零的点是函数的拐点，也是单调性的分界点。通过分析这
些点的左右两侧的导数符号变化，可以判断出函数的单调性。
二次函数的极值问题
极值的概念
01
02
03
极值
函数在某点的值大于或小 于其邻近点的值，称为该 函数在该点有极值。
极大值
函数在某点的左侧递减， 右侧递增，则该点为极大 值点。
极小值
函数在某点的左侧递增， 右侧递减，则该点为极小 值点。
顶点坐标
总结词
顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
详细描述
二次函数的顶点坐标可以通过公式计算得出，顶点的x坐标为-b/2a，y坐标为cb^2/4a。这个顶点是抛物线的最低点或最高点，取决于抛物线的开口方向。
对称轴
总结词
二次函数的对称轴为x=-b/2a。
详细描述
二次函数的对称轴是一条垂直于x轴的直线，其方程为x=-b/2a。这是抛物线的对称轴，也是顶点的x 坐标。
对于形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$的二次函数，其图像关于x轴对称当且仅当$a > 0$，关于y轴对称当且仅当 $a < 0$。
点对称
总结词
二次函数的图像关于某点对称。
详细描述
对于形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$的二次函数，其图像关于点$(h, k)$对称当且仅当 $f(h+x) = f(h-x)$且$f(k+y) = f(k-y)$。
解方程问题
总结词
通过二次函数的图像与x轴的交点，可以求 解一元二次方程的根。
详细描述
一元二次方程的根即为二次函数图像与x轴 的交点横坐标。通过观察二次函数的开口方 向和与x轴的交点数，可以判断一元二次方 程实数根的个数。
考点07 二次函数的图像与性质(解析版)
考点七二次函数的图像与性质知识点整合一、二次函数的概念一般地，形如y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．二、二次函数解析式的三种形式（1）一般式：y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）．（2）顶点式：y =a （x –h ）2+k （a ，h ，k 为常数，a ≠0），顶点坐标是（h ，k ）．（3）交点式：y =a （x –x 1）（x –x 2），其中x 1，x 2是二次函数与x 轴的交点的横坐标，a ≠0．三、二次函数的图象及性质1．二次函数的图象与性质解析式二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）对称轴x =–2b a顶点（–2b a ，244ac b a-）a 的符号a >0a <0图象开口方向开口向上开口向下最值当x =–2ba 时，y 最小值=244ac b a-当x =–2ba时，y 最大值=244ac b a-最点抛物线有最低点抛物线有最高点增减性当x <–2ba时，y 随x 的增大而减小；当x >–2ba时，y 随x 的增大而增大当x <–2ba时，y 随x 的增大而增大；当x >–2ba时，y 随x 的增大而减小2.二次函数图象的特征与a ，b ，c 的关系字母的符号图象的特征aa >0开口向上a <0开口向下b b =0对称轴为y 轴ab >0（a 与b 同号）对称轴在y 轴左侧ab <0（a 与b 异号）对称轴在y轴右侧c c =0经过原点c >0与y 轴正半轴相交c <0与y 轴负半轴相交b 2–4ac b 2–4ac =0与x 轴有唯一交点（顶点）b 2–4ac >0与x 轴有两个交点b 2–4ac <0与x 轴没有交点四、抛物线的平移1．将抛物线解析式化成顶点式y =a （x –h ）2+k ，顶点坐标为（h ，k ）．2．保持y =ax 2的形状不变，将其顶点平移到（h ，k ）处，具体平移方法如下：3．注意二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．考向一二次函数的有关概念1．二次函数的一般形式的结构特征：①函数的关系式是整式；②自变量的最高次数是2；③二次项系数不等于零．2．一般式，顶点式，交点式是二次函数常见的表达式，它们之间可以互相转化．典例引领变式拓展考向二二次函数的图象与性质二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，叫做抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.二次函数的解析式中，a决定抛物线的形状和开口方向，h、k仅决定抛物线的位置．若两个二次函数的图象形状完全相同且开口方向相同，则它们的二次项系数a必相等．典例引领1x=时有最小值2-，即a-当2x=-时有最大值6，即4解得：89a=，109b=-，∴1118110 333939 a b⎛-=⨯-⨯-⎝②a<0时，如图，1x =时有最大值6，即26a a b -+=当2x =-时有最小值2-，即44a a +解得：89a =-，469b =，∴11181462333939a b ⎛⎫-=⨯--⨯=- ⎪⎝⎭，故答案为：23或2-．4．定义：两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离，抛物线223y x x =-+与直线y x =-【答案】114【分析】此题考查了一次函数，二次函数的性质以及新定义问题，变式拓展【答案】②③④【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，①根据抛物线开口向下可得在y轴右侧，得0b>，抛物线与x=，即对称轴是直线1【答案】②④/④②【分析】本题考查二次函数的图象和性质，结合的数学思想是解题的关键．【详解】解：将点(11933b c b c ++=⎧⎨++=⎩，。
二次函数的图像与性质课件
面积问题
矩形面积问题
通过二次函数表示矩形面 积与边长之间的关系，解 决最大面积问题。
三角形面积问题
利用二次函数表示三角形 面积与高或底之间的关系， 求解最大或最小面积。
梯形面积问题
通过二次函数表示梯形面 积与上底、下底和高之间 的关系，解决面积优化问 题。
利润问题
总利润与销售量关系
利用二次函数表示总利润与销售量之间的关系，找到最大利润点。
韦达定理的应用
韦达定理可用于求解一元二次方程的两个根的平方和、倒数和等问题，简化计算过程。同时，在解决 与二次函数相关的问题时，韦达定理也具有重要的应用价值。例如，在求解二次函数的顶点坐标、对 称轴等问题时，可以利用韦达定理进行求解。
PART 05
二次函数在实际问题中应 用
REPORTING
WENKU DESIGN
定价策略
通过二次函数分析商品定价与销售量、成本之间的关系，制定最优 定价策略。
成本控制
利用二次函数表示成本与产量之间的关系，寻求最低成本方案。
抛物线型问题
抛物线顶点与对称轴
01
通过二次函数的图像分析，确定抛物线的顶点坐标和对称轴方
程。
抛物线开口方向与最值
02
根据二次函数的系数判断抛物线的开口方向，并找到函数的最
与x轴交点
二次函数与x轴的交点即为方程的根。当Δ=b^2-4ac>0时，方程有两个不相等的实根，图像 与x轴有两个交点；当Δ=0时，方程有两个相等的实根（重根），图像与x轴有一个交点；当 Δ<0时，方程无实根，图像与x轴无交点。
PART 03
二次函数性质探讨
REPORTING
WENKU DESIGN
伸缩变换
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二次函数的图像与常见变化
二次函数是高中数学中的重要内容，它在数学和实际生活中都有广泛的应用。
本文将从二次函数的图像和常见的变化入手，探讨其特点和应用。
首先，我们来看二次函数的图像。
一般来说，二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线。
其标准形式为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a不等于零。
当a大于零时，抛物线开口向上；当a小于零时，抛物线开口向下。
在图像的形状上，二次函数的a值决定了抛物线的开口大小。
当a的绝对值越大时，抛物线越“扁平”，开口越大；当a的绝对值越小时，抛物线越“瘦长”，开口越小。
这一特点在实际应用中十分有用，例如在物理学中，通过调整抛物线的形状可以模拟不同的物体运动轨迹。
其次，我们来探讨二次函数的常见变化。
二次函数的图像可以通过平移、缩放和翻转等变换来改变其位置和形状。
这些变化可以通过调整函数中的常数来实现。
首先是平移变化。
当二次函数的图像沿x轴平移时，可以通过改变b的值来实现。
当b大于零时，图像向左平移；当b小于零时，图像向右平移。
这种变化在实际应用中常用于描述物体在坐标轴上的位置变化。
其次是缩放变化。
当二次函数的图像在x轴或y轴方向上进行缩放时，可以通过改变a和c的值来实现。
当a的绝对值大于1时，图像在y轴方向上缩放；当a 的绝对值小于1时，图像在x轴方向上缩放。
而c的值则决定了图像在y轴上的位置。
最后是翻转变化。
当二次函数的图像在x轴或y轴方向上进行翻转时，可以通过改变a的符号来实现。
当a大于零时，图像不发生翻转；当a小于零时，图像在x轴方向上发生翻转。
这种变化在实际应用中常用于描述对称性。
除了以上常见的变化，二次函数的图像还可以通过其他方式进行调整，如通过
改变a、b和c的值的组合来实现复杂的变化。
这些变化在数学和实际问题中都有
广泛的应用，例如在经济学中，通过分析二次函数的图像可以预测市场的变化趋势；在工程学中，通过调整二次函数的图像可以优化设计方案。
综上所述，二次函数的图像和常见变化是数学中的重要内容。
通过理解二次函
数的图像特点和常见变化，我们可以更好地应用二次函数解决实际问题，并在数学学习中深化对函数的理解。
希望本文能够帮助读者更好地掌握二次函数的图像与常见变化。