专题08 动态几何类压轴题(解析版)2021年中考数学二轮复习之难点突破热点解题方法

专题08 动态几何类压轴题

一、单选题

1．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC =，3BC =．线段PE 的两个端点都在AB 上，且1PE =，P 从点A 出发，沿AB 方向运动，当E 到达点B 时，P 停止运动，在整个运动过程中，空白部分面积DPEC S 四边形的大小变化的情况是（ ）

A ．一直减小

B ．一直增大

C ．先增大后减小

D ．先减小后增大

【答案】C

【分析】 设PD=x ，AB 边上的高为h ，求出h ，并运用相似三角形的性质求出AD ，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．

【详解】

在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，4AC =，3BC =，

5AB ∴===，

设PD x =，则1205

x ≤≤，AB 边上的高为h ，125AC BC h AB ==， //PD BC ， ADP ACB ∆∆∽∴， ∴PD AD BC AC

=， 43AD x ∴=，53PA x = 221415122242333(4)2()23235353210

△△APD CBE S S x x x x x x ∴+=+-=-+=-+， ()22233323()()32103210

276△△△四边形ABC APD CBE DPEC S x S x S S ∴+-----+=-==， ∵203

-<，

∴

3

2

x

≤<时，

DPEC

S

四边形

随x的增大而增大，

312

25

x

<≤时，

DPEC

S

四边形

随x的增大而减小，

故选：C．

【点睛】

本题考查相似三角形的判定和性质，动点问题的函数图象，三角形面积，勾股定理等知识，解题的关键是构建二次函数，学会利用二次函数的增减性解决问题．

2．如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=6，点D为直线AB上一动点，将线段CD绕点C 逆时针旋转60°得到线段CE，连接ED、BE，当BE最小时，线段AD的值为（）

A．5.5B．6C．7.5D．8

【答案】C

【分析】

以BC为边作等边△BCF，连接DF，可证△BCE≌△FCD，可得BE=DF，则DF⊥AB时，DF的长最小，即BE的长最小，即可求解．

【详解】

如图，以BC为边作等边△BCF，连接DF，

∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=6，

∴∠ABC=60°，BC=3，

∵将线段CD绕点C逆时针旋转60°得到线段CE，

∴CD=CE，∠DCE=60°，

∵△BCF是等边三角形，

∴CF=BC=BF=3，∠BCF=∠DCE =60°，

∴∠BCE=∠DCF，且BC=CF，DC=CE，

∴△BCE≌△FCD(SAS)，

∴ BE= DF，

∴DF ⊥AB 时，DF 的长最小，即BE 的长最小，

如图，此时作FD AB '⊥，

∵FBD '∠=180°-60°-60°=60°，D F AB '⊥，

∴ 1 1.52

BD BF '==， ∴7.5AD AB BD '=+='，

故选：C ．

【点睛】

本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题关键．

二、解答题

3．如图，在等腰直角三角形△ABC ，∠ABC=90°，AB=6，P 是射线AB 上一个动点，连接CP ，以CP 为斜边构造等腰直角△CDP （C 、D 、P 按逆时针方向），M 为CP 的中点，连接AD ，MB ．

（1）当点P 在线段AB 上运动时，求证：△CDA ∽CMB ；

（2）设AP x =，△ADP 的面积为y ．

①当012x <<时，求y 关于x 的函数表达式；

②记D 关于直线AC 的对称点为D ，若D 在△APC 的内部，求y 的取值范围．

【答案】（1）见解析；（2）①2134

y x x =-

+；②189y << 【分析】 （1）根据等腰直角三角形的性质得BCM ACD ∠=∠，

CB CM CA CD =，即可证明结论； （2）①分类讨论，当06x <≤时，或当612x <<时，过点D 作DE AB ⊥于点E ，根据（1）的相似三角形，得到AD=AP ，并且用x 表示出长度，即可求出函数表达式；

②当点D 在APC △内部时，06x <<，过点P 作PN AC ⊥于点N ，利用面积法表示出PN 的长，得到x 的范围，即可求出y 的范围．

【详解】

解：（1）∵ABC 和CDP 是等腰直角三角形，

∴45ACB DCP ∠=∠=︒，

∴ACB ACP DCP ACP ∠-∠=∠-∠，即BCM ACD ∠=∠，

∵ABC 和CDP 是等腰直角三角形，

∴

CB CA ==，CP CD = ∵M 是CP 的中点， ∴12

CM CP =

，

∴21CM CD ==， ∴CB CM CA CD =， ∴CDA CMB ；

（2）①∵M 是CP 中点， ∴12

BM MC PC ==，

若06x <≤，如图，过点D 作DE AB ⊥于点E ，

∵AP x =，

∴6PB x =-，

∴PC = ∵DC DA MC MB

=，

∴2DC DA DP PC ===

= ∵DE AB ⊥，

∴12

AE EP x ==，

∴162DE x ==

=-， ∴21111632224

ADP S AP DE x x x x ⎛⎫=⋅=⋅-=-+ ⎪⎝⎭； 若612x <<，如图，过点D 作DE AB ⊥于点E ，

6BP x =-，PC =

DC DA DP ====