倒立摆建模

倒立摆建模样一个不稳定的被控对象，通过引入适当的控制策略使之成为一个能够满足各种性能指标的稳定系统，单节倒立摆系统的控制模型是目前国内外广泛采用的模型是研究各种控制算法的基础。

该系统由计算机，运动控制卡，伺服机构，倒立摆，本体和光电码盘等几部分组成了一个闭环系统。

如图所示： 光电码盘1将小车的位移速度信号反馈给伺服驱动器和运动控制卡，摆杆的位置，速度信号由光电码盘2也反馈回运动控制卡。

计算机从运动控制卡中读取实时数据，确定控制决策（小车向哪个方向移动，移动速度，加速度等。

）并实现该控制决策，产生相应的控制量，使电机带动小车,保持平衡。

1.结构参数倒立摆是不稳定的，如果没有适当的控制力作用在它的上面，它将随时可能向任何方向倾倒。

这里只考虑二维问题，即认为倒立摆只在图3所示平面内运动。

控制力F 作用于小车上。

摆杆长度为l ，质量为m ，小车的质量为M ，小车瞬时位移为x ，摆杆瞬时位置为（x+2L*sin φ），在外力的作用下，系统产生运动。

假设摆杆的重心位于其几何中心。

设输入为作用力F ，输出为摆角φ。

2.系统的运动方程控制要求：在摆受到外力F 时，调节小车的位置x ，保持摆杆平衡。

计运伺伺服摆光电码光电码图2 系统结构组成原理图3 小车受力分析图图4 一级摆受力分析图应用牛顿力学可推导出该倒立摆系统的运动学方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=----=--+=-=+θI Nlcos θPlsin θcos θθml sin θθml mg P sin θθml cos θθml x m N x b F N x M 2 注意:此方程中力矩的方向,由于ϕπθ+=,ϕθcos cos -=,ϕθsin sin -=,故等式前有负号. 约去P 和N,得到方程:F ml ml x b xm M =-+++θθθθsin cos )(2(1)θθcos sin )(xml mgl x m M -=++ (2)3. 线性化设ϕπθ+=假设ϕ与1(单位是弧度) 相比很小，即ϕ远远小于1,则可以进行近似处理,sin ,1cos 2=⎪⎭⎫⎝⎛-=-=dt d θϕθθ设u 代表被控对象的输入力F ,方程(1) 和方程（2）经过线性化后⎩⎨⎧=-++=-+u ml x b x m M xml mgl ml I ϕϕϕ)()(2(3)其中 231ml I =因此倒立摆的状态方程为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+-=+-++-=F m M m M mg x F m M l m M l m M g 4443)4(3)4()(3θθθ4. 单节倒立摆传递函数的推导 对式(3) 进行拉氏变换,得到:⎩⎨⎧=-++=-+)()()()()()()()()(22222s U s s ml s s bX s s X m M s s mlX s mgl s s ml I ϕϕϕ (4) 初始条件为0 时,由于输出角度为φ,求解方程组的第一个方程,可以得到)()()(22s s g mlml I s X ϕ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=把上式代入到(4)中的第二个方程中,得到:)()()()()()()(22222s U s s ml s s s g mlml I b s s s g ml ml I m M =-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++ϕϕϕ整理后得到:den num qbmgl s q mgl m M s q ml I b s sqml s U s =-+-++=)()()()(223ϕ其中])())([(22ml mlI m M q -++=5. 状态空间方程的推导 系统的状态方程：⎩⎨⎧+=+=Du CX y Bu AX X其中: A 为状态矩阵。

B 为输入矩阵。

C 为输出矩阵。

D 为前馈矩阵。

方程组(3) 求解得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+++++++++-==+++++++++-==u Mml m M I ml Mml m M I m M mgl x Mml m M I mbl u Mml m M I ml I Mml m M I gl m x Mml m M I b ml I x x x 2222222222)()()()()()()()(ϕϕϕϕϕ整理后,系统状态空间方程为u Mml m M I ml Mml m M I mlI x x Mml m M I m M mgl Mml m M I mlbMml m M I gl m Mml m M I b ml I x x ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++++⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++-+++++-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡2222222222)(0)(00)()()(010000)()()(00010ϕϕϕϕu x x x y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0001000001ϕϕϕ由直线一级倒立摆的数学模型式可知, 被控对象是个单输入力(F) 、双输出(小车的位移, 摆杆的角度) 的对象。

6.系统稳定性分析一级倒立摆系统的特征方程为det{λI-A}=0，经过Matlab 计算得到系统开环特征根为：λ(A)=(0，5．5651，-0．1428，-5．6041) 系统有一个极点在复平面的右半平面上，有一个极点在原点，因此系统是不稳定的。

由一级倒立摆系统线性状态方程得到： rank[B AB A 2B A 3B]=4 rank[C CA CA 2 CA 3]=4所以一级倒立摆是能控且能观测的。

对于一级倒立摆状态方程，对A 矩阵进行奇异值分解，得到A 矩阵的奇异值阵：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==000001000001.100002996.31)(A svd W定义：被控对象控制的难易程度，即系统状态矩阵最大奇异值的到数称为相对能控度。

A 矩阵的奇异值为W 对角线上的值，所以一级倒立摆的相对能控度，03195.02996.311==δ，δ越小系统的控制难度越高。

PID 控制考虑角度的PID 控制对于一级倒立摆，由前面式子及系统数据，得到数学模型如下：u x x x x ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡5455.408182.1001818.314545.00100006727.21818.000010ϕϕϕϕu x x y ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ϕϕ 01000001系统结构框图如图所示：图1 PID 控制框图图中KD(S)是控制器的传递函数，G(S)是一级倒立摆的传递函数。

考虑到r(s)=0，结构图可以变换成：图2 输入为0时系统框图该系统的输出为：)())(())(())(()())(())((1)()()(1)()(s f num numPID den denPID denPID num s f den denPID num numPID den nums f s G s KD s G s y +=+=+=其中，num —被控对象传递函数的分子项 den 一被控对象传递函数的分母项numPID —PID 控制器传递函数的分子项 denPID —PID 控制器传递函数的分母项被控对象的传递函数是：den num s q bmgl s q mgl m M s q ml I b s s q ml s U s =-+-++=23242)()()()(φ其中， ])())([(22ml ml I m M q -++= PID 控制器的传递函数为：denPID numPID s K s K s K s K K s K s KD I P D I P D =++=++=2)(在工程实际当中，常采用工程整定法，它们是在理论基础上通过实践总结出来的。

这些方法通过并不复杂的经验便能迅速获得调节器的近似最佳整定参数，因而在工程中得到广泛应用。

具体步骤如下： (1)置调节器积分时间T i 到最大值，微分时间T d 为0，比例带置较大值，使系统投入运行。

(2)待系统运行稳定后，逐渐增大K p ，直到系统出现等幅震荡过程，记下此时的比例带并计算两个波峰间的时间T cr (临界震荡周期)。

利用δcr 和T cr ，的值，按照下面给出的经验公式计算：对于PID 调节器：8;2;67.11crdcr i crp T T T T K ===δ 得：K P =40 K I =1 K D =10系统响应曲线如图所示： control 为受控系统，nature 为自然状态：图3 PID 控制一级倒立摆相应曲线从上图中可以看出，进过PID 控制后，倒立摆在1.5达到稳定状态，系统超调量很小，而且没有稳态误差，该方法对单级倒立摆的控制可以很容易实现。

考虑小车位置的PID 控制考虑小车位置的系统结构如图所示：图4 改进系统框图其中，G 1(S ）是摆杆传递函数，G 2(S)是小车传递函数。

由于输入信号r(s)=0，所以可以把结构图4转换成结构图5图5 转换成单输入单输出系统其中，反馈环代表我们前面设计的控制器。

小车位置输出为：)())(())((1)()()(1)()(112212s f den denPID num numPID den num s f s G s KD s G s X +=+=)())()(())()(())()((212112s f den num numPID den den denPID den denPID num += 其中，num l ，den 1，num 2，den 2分别代表被控对象1和被控对象2传递函数的分子和分母。

根据前面的推导： )()(22s s q ml ml I s X φ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=可以推导出小车位置的传递函数为：s q bmgl s q mgl m M s q ml I b s q mgl s q ml I s U s X s G -+-++-+==2324222)()()()()(其中， ])())([(22ml ml I m M q -++=可以看出，den 1=den 2=den ，小车的闭环传递函数可以简化成：)())(())(())(()(12s f num numPID den denPID denPID num s X +=根据上面控制摆角度的Z-N 方法，可以控制小车的位置，但是由Simulink 系统框图4可以看出，此系统为单输入双输出系统，所以我们只能在两个输出量中选择一个作为被控量。

在这种PID 方法中，选择控制优先级高的输出量(摆的角度)作为系统输出。

要想既控制倒立摆的角度又控制小车的位置，简单的PID 方法是无法实现的。

模糊控制一级倒立摆系统模糊控制器结构如图1.首先利用线性二次型状态反馈控制，然后加入模糊控制器以达到更好的控制效果。